第八章 数字信号处理中的有限长效应概论
数字信号处理教学课件ppt作者杨毅明2013版第8章有限脉冲响应滤波器的设计
有限脉冲响应滤波器的单位脉冲响应长度是有限的，它的差分方程或输入输出方程是其输出没有反馈。
有限脉冲响应滤波器的系统函数是其系统函数的分母为1。
故设计有限脉冲响应滤波器不适合采用无限脉冲响应滤波器的设计方法。
第8章 有限脉冲响应滤波器的设计)1( )()()(10−−=∑−=N m n x m h n y N m 阶为)1( )()(10上个零点，极点都在原点有−=∑−=−N z n h z H N n n (8.1)(8.2)从有限脉冲响应滤波器的差分方程和系统函数来看，有限脉冲响应滤波器具有3个主要优点：（1）其系统肯定是稳定的，（2）它容易得到因果系统，（3）它能获得线性相位的性能。
正是由于有限脉冲响应滤波器的这些特殊性，在设计有限脉冲响应滤波器时，一般使用另一种频谱表示法。
8.1 系统频谱的本质（可以不讲）单位脉冲响应代表系统的性能，也代表系统，其系统函数和系统频谱都是系统的一种描述，都代表系统，它们之间的关系是复数z和虚指数e jω的关系。
8.1.1 系统频谱的含意不管是信号还是单位脉冲响应，它们的傅里叶变换都是复数，可以用实部和虚部来表示，也可以用幅度和相位来表示，极坐标方式能够直观地体现正弦成分的幅度和初始相位。
从显示信号的正弦波成分方面来看，该方程表示合成序列x(n)的正弦波成分是)(arg |)(|)](Im[)](Re[)()](arg[表示相位ωωωωωX j e X X j X X =+=)( )(21)(20积分的本质是求和∫=πωωωπd e X n x n j )]}(arg[{}|)(|21{)(21ωωωωωπωωπX n j n j e d X d e X +⋅=(8.3)(8.4)(8.5)若改写正弦波成分的总相位，频谱相位和时间的关系就显现出来了：相位除以角频率得到的商具有时间的概念。
如果arg[X(ω)]<0，表示这个频率ω的正弦波将沿着时序轴n向右移位，这种现象叫做延时。
第8章 数字信号处理中的有限字长效应
11
第8章 数字信号处理中的有限字长效应
2013-8-21
8.2 量化效应
8.2.1 量化误差
例如当数 x 被量化时，就会引入量化误差 e ，有 e Q[ x] x 式中 Q[ x] 为 x 的量化值，即经过截尾或舍入后的值。 e 的范围取决于数的表示形式及量化方法。 8.1 表示舍入处理时的量化特 图 性； 8.2 则的分别表示截尾处理时定点制补码表示的数与原码、 图 反码表示的数 的量化特性。 (8-1)
xa t x n xa nT
采样
量化
ˆ x n
图 8.3 A/D 转换的非线性模型
量化方法无论是采取截尾还是舍入处理， 其误差都可以表示为 e Q[ x] x 。 因此，量化后的采样值可表示为 ˆ x(n) Q[ x(n)] x(n) e(n) 截尾和舍入的情况下有所不同。 (8-2)
2
第8章 数字信号处理中的有限字长效应
2013-8-21
8.1 引言
2、有限字长对数字系统的影响——产生误差 （1）有限字长产生的三种主要误差 a、输入的模拟信号经过 A/D 转换成离散信号时产生的量化效应。 b、系数用有限长二进制数实现时产生的量化效应。 c、数字运算过程中，因为存贮单元的有限字长必须对运算结果作出处理 而产生的各种误差。 （2）三种误差对数字系统造成的影响 前两种是对模拟量量化所引起的误差，后一种是由于数字量在运算过程中 经常需要对运算结果做尾数处理所引起的误差。 这三种因素对一个数字系统所造成的影响是很复杂的，它与系统的结构、 采用的数制、量化方式和运算方式及系统所采用的字长有关。 要同时对所有这些因素进行综合分析是困难的。同时要精确地知道误差的 大小有时也是没有必要的。 因此可以简化分析，对以上三种效应分别进行单独分析。
量化效应与有限字长效应
ˆ H ( z)
y ( n ) e( n )
三、数字系统零输入极限环振荡
1、数字系统在数字运算时由于尾数处理产生非先行作 用，系统引入非先行环节，可能使零输入响应不衰 减到零，而形成振荡，即零输入极限环振荡。 2、举例说明：有数字系统（一阶IIR滤波器）
1 H ( z) , a 0.510 0.100 2 1 1 az ˆ ˆ y (n) ay(n 1) x(n), y (n) Q[ay (n 1)] x(n)
(z
N
i
zl )
a k
1 H ( z) (1 z1 z 1 )(1 z 2 z 1 )
分析级联型结构与直接型结构极点对系数得灵敏度。
直接型结构
x(n) y (n) x(n)
级联型结构
y (n)
j Im[ z ]
z1 z 2 Re[z]
1 1
1、级联型结构：
1 z1 1 H ( z) , 系数方程： 1 1 (1 z1 z )(1 z 2 z ) 2 z 2
k 1 k 0 N
M
B( z ) A( z )
b0 (1 z j z 1 ) (1 zi z 1 )
i 1 j 1 N
M
零点为： z z j , 系数量化：
j 1,2,3,, M(除0零点）
极点为： z zi , i 1,2,3,ห้องสมุดไป่ตู้ N(除0极点）
均值：me E[(e(n)] eP(e)de
2 方差： e E (e(n) me ) 2 (e me ) 2 P(e)de
ADC的量化噪声分析也可以分为截尾分布和舍入分布 两种情况。
数字信号处理教程答案
数字信号处理教程 课后习题及答案目录第一章 离散时间信号与系统 第二章 Z 变换第三章 离散傅立叶变换 第四章 快速傅立叶变换 第五章 数字滤波器的基本结构第六章 无限长单位冲激响应（IIR ）数字滤波器的设计方法 第七章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法 第八章 数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 。
直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量)，结果)(n y 中变量是 n ，; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m )，（2）移位（ n ）,（3）相乘，00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（ ③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n 如此题所示，因而要分段求解。
2 。
已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ，并画图)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ分析:①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……｝，例如小题(2)为()∑∑∑+-=+-=--+===-=-+≥nN n m mn n nN n m mn n m nn m m n h m x n y N n n 111N -00)()()( , 1)3(αββααβ全重叠时当()()()()βααβαβαβαββααβαβαβ==≠--=--=---+++--,)(,100111n n N N n N n n N n n nN n y ∑∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(:解0)()1(0=<n y n n 时当, 1)2(00部分重叠时当-+≤≤N n n n ()∑∑∑==--===-=nn m mnn n n m mn n m nn m m n h m x n y 0)()()(αββααβ()()βαβαβαβααβαβαβ≠--=--=-+-++-,100111nn n n n n n n())(,1)(00βαα=-+=-n n n y n n)(n y ={1，2，3，3，2，1｝ ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ；③卷积和求解时，n 的分段处理。
程佩青《数字信号处理教程(第三版)》课后习题答案精编版
第一章 离散时间信号与系统
1 .直接计算下面两个序列的卷积和 y( n ) = x( n )* h( n )
h (n )
=
⎧an ⎨
⎩0
, 0 ≤ n ≤ N −1 , 其他n
x (n )
=
⎧⎪ β ⎨
n−n 0
⎪⎩ 0
,n0 ≤ n , n < n0
请用公式表示。
分析：
①注意卷积和公式中求和式中是哑变量 m （ n 看作参量），
y (n ) ={1，2，3，3，2，1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时， n 的分段处理。
6
解：(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
α β =
− n +1− n0
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教学课件第八章数字信号处理中的有限字长效应
6
▪ 精度问题（小数）
➢ 1/3、㏒2 2
1/3=0.33333… 4bit: 0.0101 (0.3125) 8bit: 0.0101010 (0.328125)
▪ 动态-128~127
16bit: -32768~32767
2
8.1 引言
▪ 数字系统中因有限字长的影响，引起系统 误差的三个因素：
➢字的长短
字长越长精度越高
➢ 数的表示方法
定点制，浮点制 原码，补码，反码
4
8.1 引言
➢尾数的处理
舍入，截尾
➢ 可采用的运算方式 如乘除法中的溢出问题
➢ 系统结构等 如滤波器的结构问题，采用级联结构
5
8.1 引言
▪ 研究有限字长效应的意义：
➢ ⑴ 字长一定，分析误差，获得处理可信度信 息；
➢ ⑵ 字长一定，分析误差，选用合适的系统结 构和运算方式；
8.1 引言
▪ 有限字长效应的概念 所有的数字软硬件处理、参与计算的参
数以及输入、输出信号都是存储在有限字 长的存储单元中的，也就是说参与数字处 理的所有参量都是有限字长的。
因此，相对于理论情况，数字信号处理 都只能是有限精度的，都是有误差的。
这就是DSP中的有限字长效应。
1
8.1 引言
▪ 有限字长
➢ ⑴ A/D变换中的量化效应； ➢ ⑵ 诸如数字滤波器等数字处理系统中系数等
用有限位二进制数表示时产生的量化效应； ➢ ⑶ 在DSP处理中，如加、乘运算，为限制位数
而进行的尾数处理(如截断和舍入)，为防止溢 出而压缩信号电平的有限字长效应等；
有限字长效应数字信号处理课件
详细描述
在数字信号处理中，许多算法涉及到大量的 数值计算和数据运算，这些运算的精度和稳 定性对算法的结果产生重要影响。有限字长 效应可能会影响算法的稳定性，导致算法性 能下降或结果不准确。因此，在数字信号处 理中需要充分考虑有限字长效应对算法稳定 性的影响。
04
有限字长效应的优化方法
动态范围压缩技术
有限字长效应数字信号处理 课件
目录
• 有限字长效应概述 • 有限字长效应在数字信号处理中的应用 • 有限字长效应对数字信号处理的影响 • 有限字长效应的优化方法 • 有限字长效应的未来研究方向
01
有限字长效应概述
定义与特性
定义
有限字长效应是指由于数字信号处理 过程中量化误差、截断误差等导致的 信号失真现象。
更精确的量化技术
总结词
量化是数字信号处理中的重要环节，精确的量化能够更 好地保留信号信息，提高处理效果。未来需要研究更精 确的量化技术。
详细描述
通过改进量化方法和优化量化参数，可以减小量化误差 ，提高数字信号处理的精度和效果。此外，还可以结合 机器学习和人工智能等技术，实现自适应量化，进一步 提高处理效果。
05
有限字长效应的未来研究方向
更高效的算法设计
要点一
总结词
随着数字信号处理技术的发展，对算法效率的要求越来越 高。为了提高算法的执行效率，需要研究更高效的算法设 计方法。
要点二
详细描述
通过优化算法结构、减少冗余计算和采用并行处理等技术 ，可以显著提高数字信号处理算法的执行效率，从而缩短 处理时间，提高实时性能。
更深入的理论研究
总结词
数字信号处理是一门理论和实践并重的学科，理论研 究是推动学科发展的重要驱动力。未来需要更深入地 研究有限字长效应的理论基础。
数字信号处理中的有限长效应
分析：
y[k ] y[k 1] x[k ]
乘法运算采用舍入量化处理，相应的差分方程为
y[k ] x[k ] Q{ y[k 1]}
设： y[1]=0 b=3, =1/2=0.100, x [k]=(7/8)d [k] = 0.111d [k]
y[0] x[0] Q{ y[1]} 7 8 0.111
8.3.2 FIR系数量化效应
系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题， 但会影响频率特性。 若要求频响误差为E(ej)，则所需字长为
j
E (e
)
( N 1)q 2
( N 1)2
( b 1)实际中，需要在估计字长的Fra bibliotek础上加上3~4位
8.4.1
IIR DF 的极限环振荡
由于字长有限，IIR DF零输入下也有固定不变 的输出，或输出在一定范围内出现震荡现象。
C
H e ( z)H e ( z
1
) z dz
1
e[k]所通过系统的系统函数 He(z)=1/A(z)
2 2
q
2
12
ˆ y[k ]
z 1 e0[k]
a1
z 1
e1[k]
eM +1[k]
a2
z 1 bM
e2[k]
eM+2 [k]
a N
z 1
eM[k]
eM+ N[k]
直接I型结构乘积量化误差单个噪声源模型
直接I型结构乘积量化误差分析
联合噪声方差
e E e [k ] ( M N 1)
数字信号处理(程佩青)课后习题解答(8)
第八章 数字信号处理中有限字长效应1. 设数字滤波器的系统函数为：21174081822.07235682.11017221333.0)(---+-=z z z z H现用8 bit 字长的寄存器来存放其系数，试求此时表示式。
该滤波器的实际 )( ∧z H分析：把所有正数用b+1=8bit 寄存器长度表示，其中第一位存整数位，后七位用来存小数位。
2111022101022101022107421875.07265625.11015625.0)( )7421875.0()1011111.0( )11011110110.0()74081822.0( )7265625.1()1011101.1( )11011100100.1()7235682.1( )015625.0()0000010.0( )100000010001.0()017221333.0( , ,8 :---∧+-=∴=→⋅⋅⋅==→⋅⋅⋅==→⋅⋅⋅=z z z z H bit小数后七位用来存第一位用来存整数位号正数字长的寄存器存放无符设解).(),(,)().(),(0n ,00n ,)1(21)(,)(28)(? 50 , )( . ,.01,,, ,2222 ,,5 .)(4321c b d b a n x b P c n n a d c b a d c b a s b n重作当尾数采用舍入处理时重作其输入为所示系统研究种响应比较大时如何比较这两问时响应。
求出未量化系统在中输入的响应系统对。
试计算已量化的符号位和前四位即只保留乘法的结果作截尾处理。
或是其中寄存器值为符号位即位寄存器表示成原码量都用网络中的系数和所有变系统用定点算法实现。
⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-≤≤⨯+⨯+⨯+⨯=----32)(,,)(])41(6132[)(4111611132)411)(1(21)()()(1121)(4111)( )(:111111→-=∴-⋅--⋅=--=⋅=⇒-⋅=-=------n y n n u n y z z z z z H z X z Y z z X z z H a n 较大时即当解5.0)0()0(,5.0)0()0(,====∧x y x y 未量化时，截尾量化后666503906.0)5(625.0)5(^==y y 625.0)1(625.0)1(==∧y y 65625.0)2(625.0)2(==∧y y 6640625.0)3(625.0)3(==∧y y 666015625.0)4(625.0)4(==∧y y ,32)(,→n y n 未作量化处理时较大时当85)(y →∧n 作截尾处理时1111121)(4111)(:)(---+⋅=-+=z z X z z z H c 解)1(21)()()(141--=⋅=∴z z H z X z Y 0)(,),()41(21)(→=n y n n u n y n较大时当5.0)0()0(,5.0)0()0(,====∧x y x y 未量化截尾量化后125.0)1(125.0)1(==∧y y 03125.0)2(0)2(==∧y y 0078125.0)3(0)3(==∧y y 001953125.0)4(0)4(==∧y y 50004882812.0)5(0)5(==∧y y 0)(,→∞→∧，时，当未作量化处理n y n:,4111)()()( )(:1可得由解--==z z X z Y z H b)()1(41)(n x n y n y +-=()[]。
数字滤波器的有限字长效应
二、数的量化误差范围
❖ 量化对尾数处理产生的误差，其量化方式 可分为：
❖ 1.截尾量化：即把尾数全部截断不要。 ❖ 2.舍入量化：即把小于q/2的尾数舍去，把
大于尾数“入”上来。 ❖ 其中q=2-b,称为量化步阶，b为字长的位数。
1.截尾量化
❖ 截尾量化可分为： ❖ （1）对于正数的截尾量化误差 ❖ （2）对于负数的截尾量化误差
❖ 从x10=0.75和x10=-0.75看看原码、补码、反 码的表示方法。
❖ 解:（1）原码为
❖ x10=0.75=>(x2)原=0.110原码 0. 1 1 0 0
❖ x10=-0.75=>(x2)原=1.110原码 1. 1 1 0 0
❖ 通用公式：
正数： 0. 2-1……...2-b
负数： 1. 2-1……...2-b
(4)e(n)在误差范围内均匀分布（等概率分布的随机变量）即 P(e)（概率密度）下的面积=1
b1-b 最小误差 最大误差
（2）对于负数的截尾量化误差
截尾量化误差与负数表示方式有关。
负数原码表示，其截尾量化误差：
负数补码表示，其截尾量化误差：
发生在被截去的位 数上的数都为0情况。
同样，负数截尾量化误差，最大误差=±q,最小误差=0.
b
b1-b
0. 2-1 ……………..2-b 0 0 …………...0
上面我们分析了量化误差的范围，但 要精确地知道误差究竟是多大，几乎是 不可能的。视信号具体情况而定。
所以我们只要知道量化误差的平均效 应即可。它可以作为设计的依据。例如： A/D变换器量化误差--决定A/D所需字长。
1、量化误差信号e(n)四个假设
为了进行统计分析，对e(n)的统计特性作以下假设：
第八章 数字信号处理中的有限字长效应
截尾误差： ET = QT [ x ] − x = −
i = b +1
∑a 2
i
b1
−i
≤ 0 （8-17）
0 ≤ ET < ∆
− ∆ < ET ≤ 0
13
14
二进制数的表示及其对量化的影响 （13）
二进制数的表示及其对量化的影响 （14） 2.定点制舍入
反码时：
x = −1 + ∑ a i 2 − i + 2 − b1
A/D变换的量化效应 （3）
ˆ (n) ，则量化误差（绝对误差）为： 如令采样值为 x
一、量化误差的统计分析
通常假定 e(n) 9平稳随机序列 9与抽样信号不相关 9序列本身的任意两个值之间不相关（白噪声序列） 9在误差范围内是均匀分布
ˆ ( n) − x ( n) e(n) = Q[ x(n)] − x(n) = x
i =1
b1
补码时：
x = −1 + ∑ a i 2 − i
i =1
b1
截尾后：
QT [ x ] = − ∑ ai 2 − i
i =1
b
截尾后：
QT [ x ] = −1 + ∑ a i 2 − i
i =1
b
截尾误差： ET = QT [ x ] − x =
i = b +1
∑a 2
i
b1
−i
≥0
（8-14）
23 24
A/D变换的量化效应 （4） 所谓统计分析就是研究随机过程的统计特性，特别是各阶矩特性， 尤其是一阶矩（均值） me 和二阶矩（方差）σ
2 e
A/D变换的量化效应 （5） 方差为：
第八章 数字信号处理中的有限字长效应
=
E
e
2 f
(n)
=
E⎢
h(m )e(n − m )
h(l)e(n − l)⎥
⎢⎣ m = 0
l=0
⎥⎦
∞∞
∑ ∑ =
h ( m ) h ( l ) E [e ( n − m ) e ( n − l ) ]
m=0 l=0
由于 e ( n ) 是白色的，各变量之间互不相关，即
E
[e ( n
−
m
)e(n
σ
2 f
=
σ
2 e
1 0 .999
1 − 0 .999
⋅1 0 .999
=
2 −16 3
1 1 − 0 .999 2
= 2 .5444
× 10 − 3
§8.2 有限字长运算对数字滤波器的影响
DF 的实现，涉及到两种运算：相乘、求和。
定点制运算中，每一次乘法运算之后都要作一次舍入（截尾）处理，因此引 入了非线性，采用统计分析的方法，将舍入误差作为独立噪声 e(n)迭加在信号 上，因而仍可用线性流图表示定点相乘。
图 e(n)的均匀等概率分布
误差 e(n)的均值和方差：
截尾量化噪声：
∫ ∫ me =
∞
ep (e)de =
−∞
0 −q
1 q
ede
=
−q
2
∫ σ
2 e
=
∞ −∞
(e
−
me
)2
p ( e ) de
=
q2
12
有直流分量，会影响信号的频谱结构。
舍入量化噪声：
me = 0
σ
2 e
=
q2 12
可见，量化噪声的方差与 A/D 变换的字长直接有关，字长越长，量化噪声 越小。
数字信号处理中的有限字长效应
本章主要讨论数字信号处理中的有限字 长效应。它主要反映在下列问题中： ■ 输入信号量化误差 ■ 系数量化误差 ■ 乘积量化误差 ■ 避免加法器溢出对动态范围的要求 ■ 精度的限制和加法器溢出引起的振荡
7.1 数的表示
7.2 A/D变换的字长效应
7.3 乘积的舍入误差 7.4 系数量化的影响
7.5 极限环振荡
1.零输入极限环振荡
这种振荡发生在IIR数字滤波器 系统中。现设有一个稳定的IIR数字 滤波器，其算术运算精度无限，若当 n＞n0 时输入停止，则滤波器的输出 当n＞n0时，将逐渐衰减趋向于零。
进一步分析极限环的振荡幅度与字长 的关系，根据舍入的定义
2.溢出振荡
另一种极限环振荡是由于滤波器中加 法器的溢出引起的，当采用定点制补码形 式时，加法器的传输特性可如图7-21所示， 其中x表示加法器的输入，f(x)表示输出。 若x1 和x2 作补码加法，它的输出将是f［x1 ＋x2］，这一结论留给读者自己证明。
由上述e(n)的第4条假定，舍入时 误差的概率分布如图7-6(a)所示。补码 截尾时误差的概率分布如图7-6(b)所示。 用这些概率密度函数易于计算误 差信号的均值和方差。 舍入时
图7-6 误差的概率分布图
2.量化噪声通过线性系统
当一个量化的信号通过一个线性系统
时，输入的误差(或噪声)也会在最后的输
① 原码表示法
原码也称“符号－幅度码”，它的尾 数部分代表数的绝对值(即幅度大小)，符 号位代表数的正负号，用0代表正数，用1 代表负数。
② 反码和补码表示法
给定一个十进制的小数(x)10，若是正
数，反码和补码的表示和原码一样；若是 负数，原码、反码和补码表示都不同。
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乘法运算：1）尾数相乘阶码相加 2）调整阶码 3）截尾或舍入尾数处理
加法运算：1）对阶使阶码相等 2）尾数相加 3）调整阶码 4）截尾或舍入尾数处理
定点制： 运算快速简单，只有乘法有舍入或截尾误差 数的动态范围小，可能出现溢出
浮点制： 数的动态范围大，不会溢出 运算速度慢，加法和乘法都有舍入或截尾误差
第8章 数字信号处理的有限字长效应
表现在以下几个方面： （a）A/D变换器的量化误差 即A/D变换器将模拟输入信号变为一组离散
电平时产生的量化误差。 （b）系数的量化误差 即把系统系数用有限二进制数表示时产生
的量化误差。 （c）算术运算的运算误差 数字运算运程中，为限制位数而进行尾数处
理，以及为防止溢出而压缩信号电平的有效字长 效应。
设系统只有单极点，理想DF的系统函数可表示为
M
M
H (z) B(z)
bk z k
k 0
bk z k
k 0
A(z)
N
1 ak zk
N
(1 pr z 1)
k 1
r 1
因字长有限，滤波器系数ak、bk量化后将产生误差
1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。
2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。 严重时，使系统失去稳定。
N
N
pr1
(1
pl
p
1 r
)
( pr pl )
l 1
l 1
lr
lr
极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低
极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高
对级联或并联型，每个子系统最多只有两个共轭极 点，故对系数量化影响较小。
8.3.2 FIR系数量化效应 系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题， 但会影响频率特性。 若要求频响误差为E(ej)，则所需字长为
将系数量化误差所造成的零、极点位置误差作为 对系数量化灵敏度的度量。
量化后极点
pˆ r pr pr , r 1,N
位置误差
N
pr
k 1
pr ak
ak
第r个极点对第k个系数变化的敏感度
pr /ak越大，ak对pr的影响越大，反之亦然。
D( z )
pr ak
prk
prN k
ak
D( z ) pr z pr
十进制纯小数转二进制纯小数:乘2取整法， 直到小数部分为0或达到要求的位数。
例：把十进制数0.625转为二进制数
0.625×2=1.250，小数部分为0.250，整数部 分为1，应为第一位的数字；
0.250×2=0.500，小数部分为0.500，整数部 分为0，应为第二位的数字；
0.500×2=1.000，小数部分为0.000，整数部 分为1，应为第三位的数字；
8.2 A/D变换的量化效应
模拟信号经过A/D转换为b位数字信号，即
xˆ[k] x[k] e[k]
精确抽样值
量化误差
分析A/D转换器的量化效应目的在于选择合适 的字长，以满足信噪比指标。
e[k]统计假设 1) e[k]是平稳随机序列
2) e[k] 是白噪声，且e[k1]和e[k2]不相关 3) e[k]和x[k]不相关
所以(0.625)10=(0.101)2
8.1.3 定点表示产生误差
（1）加法：任何加法运算不会增加字长，但 可能产生溢出
xB1: 0.110-->0. 110
- xB2: 1.010-->1. 010 xB1-xB2=1.5 1.100
溢出，使其变为负数
（2）乘法：不会溢出，但字长加倍
例：b=3=>0.101 ×0.011 101 101
8.1.1 定点二进制数的表示
定点二进制数x有原码、反码和补码三种表示形式
若x=0.X1 X2 Xb，则其原码、反码和补码分别定义为
[ x]原
1
x
0.X1 x 1.X
X2 1X
Xb 2X
b
0 x 1 1 x 0
[x]反
1
x 0.X1 x 1.X
X2 1X
Xb 2X
b
0 x 1 1 x 0
4) e[k]等概率分布
P{e[k ]}
1q
e[k ]
q 2 0
q2
舍入量化误差的概率密度函数曲线
信号x[k]的平均功率为
2 x
量化误差方差
2 e
E
e2[k]
q2 12
输入信号的信噪比SNR为
SNR
10
log
10
2 x
2 e
6.02b
10.79
10 log 10(
2 x
)dB
字长增加一位，SNR增加6db
q
2q
3q
4q
截掉b位后数据
b
Q[x] 0 n 2n
n1
舍入量化
Q[x]
3q2qΒιβλιοθήκη qx4q 3q 2q q
q 2q 3q 4q
q
2q
3q
4q
视b+1位后数据的大 小决定b位数据的值
截尾误差
ET Q[x] x
正数和补码负数截尾误差范围为
q ET 0
q 2b
原码负数和反码负数截尾误差范围为
0 ET q
舍入误差范围
q 2 ER q 2
区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。
8.1.5 浮点制：将一个数表示成尾数和指数两部分 x 2c M 0.5 M 1 如 3 0.75 22 表示成 0.11 2010
尾数 bm 1位 决定运算精度
阶码 bc 1位 决定动态范围
0.001111
成为六位数，截尾变成0.001。 产生误差。
8.1.4 量化及量化误差
理论上十进制数可用无穷多为二进制数表示
x 0 n 2n
n1
符号位
有效数字位
实际中，只能用有限位近似表示(b+1)位)，这种 过程称为量化。
量化方式
截尾量化
Q[x]
3q
2q
q
x
4q 3q 2q q
q 2q 3q 4q
8.3.1 IIR系数量化效应
{ak}量化后的值 aˆk ak ak , k 1,N
量化后极点位置
N
1 ak z k ak z k 0
k 1
为了保持稳定，设极点在单位圆内接近z=1
N
ak 1 ak
k 1
保持稳定性的IIR DF系数的最小字长
ak q 2(b1) max{ ak } 2
x 0 x 1 [x]补 2 x 1 x 0
8.1.2 十进制数转二进制数 转换方法:除2取余法，直到商为0。 例：把十进制数49转为二进制数 49÷2，商24余1，余数应为第一位上的数字； 24÷2，商12余0，余数应为第二位上的数字； 12÷2，商6余0，余数应为第三位上的数字； 6÷2，商3余0，余数应为第四位上的数字； 3÷2，商1余1，余数应为第五位上的数字； 1÷2，商0余1，余数应为第六位上的数字； 所以（49）10=（110001）2