第9章_直梁

IZ

64
d4
IZ / 64d 4 3 WZ d ymax d /2 32
常见简单几何形状截面的惯性矩和抗弯 截面模量等，几何参数可查阅资料。
第九章 直梁弯曲
例 9-5
一矩形截面梁，如图所示。计算1-1截面上A、B、C、D各点处
的正应力，并指明是拉应力还是压应力。 解 (1)计算1-1截面上弯矩
第九章 直梁弯曲
推断和假设
假设：(1) 梁在纯弯曲时，各横截 面始终保持为平面，并垂直于梁轴。
此即弯曲变形的平面假设。
(2) 纵向纤维之间没有相互挤压,每 根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。 中性层：从伸长到缩短区，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短。这 一长度不变的过渡层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线 在纯弯曲的条件下，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴作 相对转动，横截面之间并无互相错动的变形，而每根纵向纤维 则处于简单的拉伸或压缩的受力状态。
P P P
P P P
工程力学中的梁，包括结构物中的各种梁，也 包括机械中的转轴和轮齿轴等。
第九章 直梁弯曲
基本概念
轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁。
平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
Q max P M max Pl
Q O
x P
第九章 直梁弯曲
例9-3
一简支梁 AB ,受均布载荷 q 的作用，试作此梁的弯矩图。
解： 1、求支反力
由对称性知： ql FA FB 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
ql Q = FA qx = qx (0 < x < 1) 2 qx2 qlx qx2 M = FA x = (0 ≤x < 1) 2 2 2
均布荷载
q(x)
集中力偶
任意分布荷载
第九章 直梁弯曲
梁的支座
固定铰支座 这种支座可阻止梁 在支承处沿水平和垂直方向的移动， 但不能阻止梁绕铰链中心的转动。 活动铰支座（辊轴支座） 这种 支座能阻止梁沿垂直于支承面方向 的移动，但不能阻止梁沿着支承面 的移动，也不能阻止梁绕铰链中心 的转动。
固定端 这种支座使梁的端截 面即不能沿水平方向和垂直方向 移动，也不能绕某一点转动。
Iz——横截面对中性轴z的惯性矩
第九章 直梁弯曲
梁弯曲时任一截面上弯曲正应力的最大值。
横截面对称于中性轴的梁，当y=ymax时弯曲正应力最大。
max
max
My max IZ
抗弯截面系数 单位：长度的三次方
M M I Z / y max WZ
横截面不对称于中性轴的梁:

i max
M P 200 1.5 103 200103 1 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
bh2 1.8 32 Ix 4.05103 m 4 12 12
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
M1 y A 3001.5 102 A 111106 N/m2 拉应力 2 Ix 4.0510
第九章 直梁弯曲
纯弯曲时梁的正应力
进一步分析得到： (1) 由于直梁弯曲时,横截面上只有正应 力σ ，而无剪应力。 (2) 正应力的分布规律 (3) 弯曲时截面上的弯矩可以看成是整 个截面上各点的内力对中性轴的力矩所 组成。 My 曲梁也适用 正应力计算公式 Iz
σ——横截面上任一点处的正应力 M —— 横截面上的弯矩 y —— 横截面上任一点到中性轴 的距离
§9－3
弯曲内力—剪力和弯矩
截面法过程：切取、替代、平衡
Y 0 : F
A
P Q 0 1 Q FA P 1
剪力
M
C
0 : FAx P ( x a) M 0 1 M FAx P ( x a) 1
弯矩
第九章 直梁弯曲
剪力Q的符号：若被保留的梁段的截面上的剪力Q对该
My I
Z
1
y max
My 2 IZ
y1和y2分别代表中性轴到最大拉应 力点和最大压应力点的距离。
T形截面梁
第九章 直梁弯曲
截面的轴惯性矩和抗弯截面横量
截面的轴惯性矩和抗弯模量是衡量截面抗弯能力的 几何参数,可以用积分法和有关定理推导出公式计算。 直径为d的实心圆截面, 其对中性轴z的惯性矩： 抗弯模量：
第九章 直梁弯曲
解：（1）求支座反力 由静力平衡方程
M
A
0 FB 4 P 1.5 0
FB 3.75kN
Y 0
FA FB P 0
FA 6.25kN
（ 2 ） 求 截 面 n-n 上 的 弯 矩 剪 力 和 弯 矩，以 n-n 以左部分为研究对象
Y 0 m
§9－5
梁弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。
各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。
第九章 直梁弯曲
梁在纯弯曲时的实验观察
当梁发生纯弯曲变形时,可 观察到下列一些现象： (1)两条纵线都弯成曲线 a’a’ 和 b’b’ ,且靠近底面的纵线bb伸长了, 而靠近顶面的纵线aa 缩短了。 (2)两条横线仍保持为直线,只 是相互倾斜了一个角度,但仍垂 直于弯成曲线的纵线。 (3)在纵线伸长区,梁的宽度减小;在纵线缩短区,梁的宽度增大。情况 与轴向拉伸、压缩时的变形相似。
第九章 直梁弯曲
例 9-2 一悬臂梁AB，在自由端受集中力P 作用， 如图所示。试作此梁的剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
Q = P (0 < x < 1) M = Px (0 ≤x < 1)
(2) 画剪力图和弯矩图 剪力图是水平线 弯矩图是一条倾斜直线
在集中力作用处，弯矩图上在此出现折角(即两侧斜率不同)。
梁上集中力偶作用处,弯矩图有突变，突变的值即为该处集中力 偶的力偶矩。 若力偶为顺时针转向,弯矩图向上突变,反之弯矩图 向下突变(自左至右)。 绝对值最大的弯矩总是出现在下述截面上；集中力作用处；集中 力偶作用处和剪力等于零的截面上。
第九章 直梁弯曲
第九章 直梁弯曲
主要内容：
弯曲的概念与实例
梁的计算简图—静定梁的形式
弯曲内力—剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 梁弯曲正应力 梁弯曲正应力强度条件 梁的弯曲变形计算和刚度校核 简单超静定梁的解法
提高梁承载能力的措施
第九章 直梁弯曲
§9－1 弯曲的概念与实例
P
横向力：作用于杆件 上且都垂直于杆的轴 线的外力。 弯曲：在横向力作用 下，杆的轴线将弯曲 成一条曲线的变形形 式。 梁：凡是以弯曲变 形为主的杆件。
0
Q FA 6.25kN M FA 0.8 5kN m
0
若以右部分为研究对 象，结果相同。
第九章 直梁弯曲
§9－4
梁的剪力和弯矩方程
剪力图和弯矩图
剪力图和弯矩图绘制的基本方法
Q Q(x)
M M (x)
x表示横截面在梁 轴线上的位置
剪力和弯矩图：根据剪力方程和弯矩方程用图线把剪力和弯矩 沿梁轴线的变化情况表示出来的图线。 作图时，要选择一个适当的比例尺，以横截面位置 x 为横坐标， 剪力和弯矩 M 值为纵坐标，并将正剪力和正弯矩画在x轴的上 边，负的画在下面。
截面作“顺时针转”的Q为正，反之为 负。 弯矩M的符号规定：在图示的变形情况下，即在横截面 m-m处弯曲变形凸向下时，这一横截面上 的弯矩规定为正，反之为负。
剪力符号规定
弯矩符号规定
第九章 直梁弯曲
例9-1
一简支梁AB，如图所示，在点 C 处作
用一集中力P=10kN，求距A 端0.8m处截面 n-n 上的剪力和弯矩。
的自重不计。
第九章 直梁弯曲
解 可将吊车简化为一简支梁
当电葫芦行至梁中点时所引起的弯 矩最大，这时的弯矩图如图。 在中点处横截面上的弯矩为
FA
FB
(3) 画剪力图和弯矩图
Q max M max ql 2 ql 2 8
第九章 直梁弯曲
例 9-4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所 示。试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
Y 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程 距A端为x1和x2两截面处截开 AC 段 CB 段
第九章 直梁弯曲
静定梁的基本形式
简支梁 梁的一端为固定铰 支座，另一端为活动铰支座。 外伸梁 梁有一个固定铰支座和 一个活动铰支座，而梁的一端或两 端伸出支座之外。 悬臂梁 端自由。 梁的一端固定，另一
简支梁或外伸梁的两个铰支座之间的距离称为跨度 悬臂梁的跨度是固定端到自由端的距离
第九章 直梁弯曲
WZ
max
IZ 1.067106 ymax
M max 141 MN/m2 150MN/m2 WZ
故压板的强度足够
第九章 直梁弯曲
例9-8 一起重量原为 50kN 的吊车,其跨度l = 10.5m (如图)，由 45a号工字钢制成。为发挥其潜力，现欲将 起重量提高到Q =70kN，试校核梁的强度；若强度不足， 再计算其可能承载的起重量。设梁的材料为 Q235钢， 许用应力[σ]=140MN/m2，电葫芦自重G = 15kN，梁
第九章 直梁弯曲
例 9-7
一螺旋压板夹紧装置 ( 如图) ，已知压紧力 P = 3 kN，a=
50mm，材料的许用弯曲应力[σ］= 150MN/m2。试校核压板AC的强度。 解：压板可简化为一简支梁 绘制弯矩图如图 最大弯矩在截面B上 M max Pa 150N m 校核压板的强度 30 203 14 203 需计算B处截面 I Z 10.67 109 m 4 12 12 对其中性轴的惯 性矩 抗弯截面 系数为 最大正应 力则为
第九章 直梁弯曲
§9－6
梁弯曲正应力强度条件
等截面直梁的最大正应力
M y max max max IZ
或
M max max WZ
弯曲正应来自百度文库强度条件
M max max= ≤[ ] WZ
梁正应力强度条件,可用来解决强度校核，设 计截面尺寸和确定许可载荷这三类问题。
第九章 直梁弯曲
例 9-6 某设备中要一根支承物料重量的梁，可简化为受均布 载荷的简支梁(如图)。 已知梁的跨长l = 2.83m，所受均布载 荷的集度q = 23 KN/m，材料为 45 号钢，许用弯曲正应力 ［ σ ］= 140MN/m2，问该梁应该选用几号工字钢?
M1 yB 3001.5 102 B 111106 N/m2 Ix 4.05102
M y M 0 A 1 C 1 0 N/m2 Ix Ix
压应力 压应力
M1 yD 3001.5 102 D 74.1106 N/m2 2 Ix 4.0510
M ( x1 ) FA x
x1 FA x2 FB
Pb x1 (0 ≤ x1 ≤a) l
Pab/l
M ( x2 ) FA x2 P( x2 a) Pa (l x2 ) (a ≤x2 l ) l Pab M max l
(3) 画弯矩图
第九章 直梁弯曲
弯矩图的特点
梁上没有均布载荷作用的部分,弯矩图为倾斜直线。而且若均布 载荷q向下时, 弯矩图自左而右向下斜；反之, 自左而右向上斜 。 梁上有均布载荷作用的一段，弯矩图为抛物线，而且若均布载 荷q向下时，抛物线开口向下。反之,抛物线开口向上。
非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但 外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第九章 直梁弯曲
§9－2 梁的计算简图—静定梁的形式
梁的载荷
集中力（或集中载荷） 当外力在梁上 的分布范围远远小于梁的长度时，便可简 化为作用于一点的集中力。 分布载荷 沿梁全长或部分长度连续 分布的横向力。通常以沿梁轴每单位长 度上所受的力，即载荷密度 q 来表示 集中力偶 作用在微小梁段的外力 偶称为集中力偶。 M F1 集中力 q
解：这是一个设计梁的截面问题。
在梁跨中点横截面上的最大弯矩为
1 2 23 (2.83) 2 M max ql 23kN m 8 8 所需的抗弯截面模量为
M max 23103 WZ 165cm3 [ ] 140106
查型钢规格表,选用18号工字钢，Wz=185cm3。