量子力学自旋与全同粒子

Sx 2
x 1
1
2 2 2 ˆ 的本征值 2 x2 y z 3
9
2 x
2 y
2 z
反对易关系
ˆ , ˆ } 0 {
Prove
ˆ x ˆy ˆ y ˆx 0 ˆ y ˆz ˆ z ˆy 0 ˆ ˆ ˆ ˆ z x x y 0
易关系
4
ˆ ˆ ˆ S S iS
自旋角动量平方算符
ˆ S ˆ S ˆ S ˆ iS ˆ S x y y x z ˆ ˆ ˆ S ˆ iS ˆ S y S z S z y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ S S S S i S x y y z x
7.1 电子自旋(Electron spin)
Stern-Gerlach实验
基态氢原子在非均匀磁场中
Conclusion: 磁矩平行或反平行于外加磁场
M (Magnetic moment) parallel or anti-parallel to B (Magnetic field)
Problem：Where does the M come from?
* *
b c
*
a b ˆx b* d
12
再由 ˆ z ˆx
ˆ x ˆ z 0 得到
2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ S Sx S y Sz
2 ˆ ˆ 平方分量间的对易关系 [ S , S ] 0
( x, y, z)
ˆ 2S ˆ S ˆ S ˆ2 0 S x x ˆ2 ˆ 2 ˆ ˆ S S S S 0 y y ˆ2 ˆ 2 ˆ ˆ S S S S 0 z z
ˆ ˆ S 2
ˆ ˆx Sx 2 ˆ ˆy Sy 2 ˆ ˆz Sz 2
7
对 易 关 系
ˆ ˆ ˆ 2i
泡利算符平方算符
2
ˆ x ˆy ˆ y ˆ x 2i ˆz ˆ y ˆz ˆ z ˆ y 2i ˆx ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 i z x x z y
2 2 2 2 ˆ ˆ x y z
ˆ ,2 ˆx ] 0 [ ˆ ,2 ˆy] 0 [ ˆ ,2 ˆz ] 0 [
8
ˆ ˆ ] 0 [
2 ,
本征值
ˆy ˆ z 的本征值都是 1 ˆx
2 ˆ ˆ x Sx
1 1 ˆ x ˆy ˆ y ˆ x ( ˆ y ˆz ˆ z ˆ y ) ˆy ˆ y ( ˆ y ˆz ˆ z ˆy) 2i 2i 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆz ˆ y ˆ z ˆy y z y z y y 2i
2 2 x
3 2 S S S S 4 若将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的 一般形式:
ˆ 2 的本征值 S
2 y 2 z
6
S s(s 1)
2
2
s为自旋量子数
1 (s ) 2
S z ms
3．泡利算符
ms 为“磁”量子 ( ms 1 ) 2 数
ˆ 为了讨论问题方便，引入泡利算符
2
（ M B ——玻尔磁子）
回旋磁比率：
M sz e （SI） Sz c 轨道磁矩与轨道角动量的关系： e e Ml L （SI） Ml L 2 2c
Mlz e Lz 2
（SI）
M Hale Waihona Puke z e Sz （CGS）
（CGS）
M lz e Lz 2 c
5
1.自旋算符的本征值
x
由于在空间任意方向上的投影只有两个取值 ， 2 ˆ 的本征值是 ˆ 、 S ˆ 、S 所以 S z y
Sx
ˆ S
2 x、
2
ˆ S z
2
Sy
2
Sz
2
ˆ S
2 y、
2 的本征值都是 4
2
即
2 2 2 Sx S y Sz 4
1
乌仑贝克. 哥德斯米脱假设
（1）每个电子具有自旋角动量 S
的取值只能有两个 S z
，它在空间任意方向
（2）每个电子具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量的关系是
2
。
e MS S
在任意 方面上 的投影
（SI）
e MS S c
（CGS）
e M sz M B （SI） 2 e M sz M B （CGS） 2c
（CGS）
自磁矩是轨道磁矩的两倍
3
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
1．自旋算符 为了描述电子的自旋特性，引入一个厄米算 ˆ 来表征电子的自旋角动量 S 。 符S [注意]：自旋角动量是电子内部的一种固有特性， 在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量， 它不能表示为坐标和动量的函数。
S 是自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对


0
10
4．自旋算符的矩阵表示 自旋算符在 S 、 S z 表象中的矩阵形式，可根据 算符的一般理论，算符在其自身表象中为对角矩 阵，矩阵元就是其本征得到：
2
3 2 1 0 2 ˆ S 4 0 1
1 0 ˆ 3 0 1
2
1 0 ˆ Sz 2 0 1
现在来研究
1 0 ˆz 0 1
的矩阵形式
11
ˆy ˆ x 、
a b ˆ x 的矩阵形式为 ˆx 设 c d
由
ˆ ˆx
x
故有
a a
*
a c a b * * b d c d d * d （a, d 必为实数）