曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分

一、对弧长的曲线积分

⎰⎰

+=L

L

y

d x d y x f ds y x f 22),(),(

若

⎩

⎨

⎧==)()

(:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式=

dt t y t x t y t x f ⎰'+'β

α)()())

(),((22

对弧长的曲线积分

(,,)((),(),(L

L

f x y z ds f x t y t z t =⎰

⎰

若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

βα≤≤t

则 原式

=

((),(),(f x t y t z t β

α

⎰

常见的参数方程为：

特别的：

2

2

222.2x

y L

L

L

e ds e ds e ds e π+===⎰

⎰⎰

22=2(0)L x y y +≥为上半圆周

二、对坐标的曲线积分

⎰

+L

dy y x q dx y x p ),(),(

计算方法一： 若

⎩

⎨

⎧==)()

(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则

原式=

dt

t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰β

α

对坐标的曲线积分

(,,)(,,)(,,)L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰

():()

()x x t L y y t z z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

起点处

α=t ，终点处β=t 则

原式=

((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt

β

α'''++⎰

计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。

1

1

(,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+⎰

⎰

1

(

)(,)(,)L D

q p

dxdy p x y dx q x y dy x y

∂∂=±--+∂∂⎰⎰⎰

如图：

三、格林公式

⎰⎰=∂∂-∂∂D

dxdy y

p

x q )(

⎰

+L

dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界

特别地：当

y

p x q ∂∂=∂∂时，积分与路径无关，

且

⎰⎰⎰

+=+2

1

21

2211),(),(),(),(21)

,()

,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p

(,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P

x y

∂∂⇔

=∂∂

注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。 四、对面积的曲面积分

1、 当曲面为

⎰⎰⎰⎰++==∑

xy

D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221))

,(,,(),,()

,(μμ

2、 当曲面为

(,)

(,,)(,(,),xz

D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑

==⎰⎰⎰⎰

3、 当曲面为

(,)

(,,)((,),,yz

D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑

==⎰⎰⎰⎰

特别的：

ds ∑

=∑⎰⎰面积。

例：

2

ds r π∑

∑

∑

===⎰⎰⎰⎰

∑

为上半球面

2222(0)x y z z ++=≥

五、对坐标的曲面积分

1、

⎰⎰∑

dxdy

z y x R ),,(中，

∑只能为),(y x f z =，它在xoy 面的投影为xy D ，且外法向量与Z 轴正向的夹角为锐角，则 原式

=

⎰⎰D

dxdy

y x f y x R )),(,,(，否则为负；

2、

⎰⎰∑

dzdx

z y x Q ),,(中，

∑只能为),(z x f y =，它在xoz 面的投影为xz D ，且外法向量与Y 轴正向的夹角为锐角，则 原式

=

⎰⎰D

dxdz

z z x f x R )),,(,(，否则为负；

3、

⎰⎰∑

dydz

z y x P ),,(中，

∑只能为),(z y f x =，它在yoz 面的投影为yz D ，且外法向量与X 轴正向的夹角为锐角，则 原式

=

⎰⎰D

dydz

z y z y f R ),),,((，否则为负；

计算方法：

1

1

(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

∑

∑+∑∑++=

++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰=

1

(

)(,,)(,,)(,,)P Q R dv P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy x y z Ω

∑∂∂∂±++-++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰

注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。

六、高斯公式

dv z

R

y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz )(

∂∂+∂∂+∂∂=++⎰⎰⎰⎰⎰Ω

∑

其中

∑是Ω的边界曲面的外侧。

注：在计算曲面积分时，通过适当的添加平面或曲面，是之变成一个封闭曲面上的曲面积分与所添加平面或曲面上的曲面积分之差，从而对前者利用高斯公式。

例如：计算

2()z x dydz zdxdy ∑

+-⎰⎰，其中∑是旋转抛物面22

1()(02)2z x y z =+≤≤的部分曲面。 练习

1、 求

22

22,:1x y L

e

ds L x y ++=⎰

2、 求

2,:,01L

xds L y x x =≤≤⎰