一个相似三角形基本图形在解题中的应用

C
一个相似三角形基本图形在解题中的应用
教学目标
（1）能运用相似三角形的判定方法判断两个直角三角形相似；
（2）在理解基本图形基础上，学会在折叠、测量等问题中应用基本图形并能进行拓展；
（3）通过对基本图形的应用与拓展，培养学生独立思考的习惯，发展学生的探究意识，提高学生的总结、归纳能力、阅读理解能力和创新能力。

教学重点：会将基本图形在折叠、测量等问题中加以应用和拓展 教学难点：在复杂的图形中分解出基本图形和基本图形的拓展 教学过程 一、 引入
如图，AD ∥BC ，∠A=900， E 是AB 上一点，且AE=BC ，∠1=∠2，
（1）Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？请说明理由； （2）△CDE 是不是直角三角形？请说明理由
【设计意图】课本中的习题，在解题的思路和方法上都具有典型性和代表性，在引导学生将知识转化为能力的过程中，充分发挥习题的示范、启发作用，对于强化学生的“四基”（即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验），开发智力，培养创新精神具有积极的作用。

同时，课本习题的结论具有广阔的探究拓展空间，历届中考中，根植于课本，在课本中寻找命题生长点的原题与拓展题屡见不鲜。

因此，重视课本典型习题的挖掘，用活课本习题十分重要。

二、阅读感知
B
C
此图是由两个全等的直角三角形构成的直角梯形。

【设计意图】引导学生学会观察基本图形 三、基本图形的应用 1.在折叠问题中的应用
例1(07台州) 如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知
折叠CE =3
tan 4
EDA ∠=．
（1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
例2（08宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸．．．
的短边长为a ． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠： 第一步 将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的点B '处，铺平后得折痕AE ；
第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF ．
则:AD AB 的值是 ，AD AB ，的长分别是 ， ． （2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．
（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案，它的四个顶点
E F G H ，，，分别在“16开”纸的边AB BC CD DA ，，，上，求DG 的长． （4）已知梯形MNPQ 中，MN PQ ∥，90M =∠，2MN MQ PQ ==，且四个顶点M N P Q ，，，都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．
A
B
C D B
C
A
D E G
H
F F
E B
4开 2开
8开 16图1
图2
图3
a
【设计意图】
1.中考中折叠问题比较常见，且折叠时常用矩形纸折叠，问题中隐含直角三角形；
2.在折叠问题中应用基本图形；
3.例3的图形比较复杂，要求学生能在复杂的图形中能分解出基本图形，提高图形的识别能力；
4.从例1到例3由浅入深，激发学生的好奇性和探究性。

2.在面积求值问题中的应用
例3如图，直线上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）
Ａ．4
Ｂ．6
Ｃ．16 Ｄ．55
练习.在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ .
3.在动态问题中的应用
例4【05漳州】如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，顶点D ，C 分别在AM ，BN 上运动(点D 不与A 重合，点C 不与B 重合)，E 是AB 上的动点(点E 不与A ，B 重合)，在运动过程中始终保持DE ⊥CE ，且AD+DE=AB=a 。

（1）求证：△ADE ∽△BEC ；
（2）当点E 为AB 边的中点时(如图2)，
求证：①AD+BC=CD ；②DE ，CE 分别平分∠ADC ，∠BCD ； （3）设AE=m ，请探究：△BEC 的周长是否与m 值有关，若有关请用含m 的代数式表示△BEC 的周长；若无关请说明理由。

c
b
a
3
2
1
S 4
S 3
S 2
S 1
4.在测量问题中的应用
例5（08金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米 变式：
如图所示，已知正方形ABCD ，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，EG ⊥CF ，且AF=1
4
AD ，
求证：（1）CE 平分∠BCF ；
（2）14
AB 2=CG*FG.
前三类基本图形的应用都是∠1=∠2，且∠3=900的情况，在实际问题中还会碰到∠1=∠4或∠3≠900
三、基本图形的拓展
例6（08莆田）阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=900，点P 在BC 边上，当 ∠APD=900时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到BP*PC=AB*CD.解答下列问题：
(1)模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，求证：BP*PC=AB*CD.
(2)拓展应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=600，AO ⊥BC 于点O ，以O 为原点，以BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点P 为线段OC 上一动点（不与端点O 、C 重合）. ①当∠APD=600时，点P 的坐标；
②过点P 作PE ⊥PD ，交y 轴于点E ，设OP=x ，OE=y 求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
此题是对基本图形的拓展，学生在阅读理解的基础上，利用“阅读理解”中提供的方法进行迁移，用它解决“模型探究”中的问题，并进一步应用“模型探究”中的结论解决“拓展应用”
中的问题。

此题要求学生在阅读理解的基础上解决问题，对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新精神和实践能力，体现了新课程理念。

四、感悟深化
主要归纳为三点：直角三角形相似的证明与应用；基本图形的应用；归纳出基本图形的优点。

课堂小结不是走形式，是发散到聚合的过程，是对一节课学习内容的进一步提炼和升华。

五、布置作业
1.完成本堂课中没有详细解答的例题；
2.（07荆门)如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△
PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．
(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值； (2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
图
3.仿照本堂课自己寻找出一些基本图形。

作业既是对本节课学习内容的巩固，更是对数学思想和数学方法的掌握和提升。

教学设计说明 中考试题中，有许多都是课本例题或习题的变式，因此，教师在日常教学中，应充分挖掘习题的潜在规律，对习题进行适当的变式、归纳、拓展与延伸，使学生不是只鼓励的学会做一道习题，而是对此类型题的理解达到融会贯通，从而拓展解决问题的思维空间。

对于即将面临中考的学生，不但会解题，更重要的是要掌握一些数学思想和方法，提高各方面的能力，能从容的解决学习中遇到的问题。

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