高中数学经典例题 错题详解

高中数学经典例题、错题

详解

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（）

M N

A M N

B

M N

C

M N

D

映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）

映射与函数的区别与联系：

函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。

映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。

映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射

方向性

上题答案应选C

【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。

本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。

【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素

【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1

【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（）

【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8

【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（）

A、f(x) ﹥0

B、f(x) ﹤0

C、f(x)·f(-x)≤0

D、f(x)-f(-x) ﹥0

奇函数性质：

1、图象关于原点对称；

2、满足f(-x) = - f(x) ；

3、关于原点对称的区间上单调性一致；

4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

偶函数性质：

1、图象关于y轴对称；

2、满足f(-x) = f(x) ；

3、关于原点对称的区间上单调性相反；

4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0；

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

基本性质：

唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x，f(x)=0)。

通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x 2。 两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。 两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。 两个偶函数的乘积为一个偶函数。 两个奇函数的乘积为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。 两个偶函数的商为一个偶函数。 两个奇函数的商为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。 一个偶函数的导数为一个奇函数。 一个奇函数的导数为一个偶函数。

两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数

【分析】 f(x)为奇函数，则f(-x) = -f(x)，

当X ﹤0时，f(x) = -f(-x) = -[-(-x) – 1] = -x+1>0,所以A 正确，B 错误； f(x)·f(-x)=（x-1）（-x+1）﹤0，故C 错误； f(x)-f(-x)= （x-1）-（-x+1）﹤0,故D 错误

【例5】 已知函数f(x)是偶函数，且x ≤0时，f(x)=

x

x

-+11，求：（1）f(5)的值； （2）f(x)=0时x 的值；（3）当x ＞0时，f(x)的解析式

【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题，函数的性质及应用 【分析及解答】

（1）根据题意，由偶函数的性质f(x)= f(-x)，可得f(5)= f(-5)=

）（）（5--15-1+=—3

2

（2）当x ≤0时，f(x)=0 可求x ，然后结合f(x)= f(-x)，即可求解满足条件的x ， 即当x ≤0时，

x

x

-+11=0 可得x=—1；又f(1)= f(-1)，所以当f(x)=0时，x=±1 （3）当x ＞0时，根据偶函数性质f(x)= f(-x)=

)(1)(1x x ---+=x

x

+-11

【例6】 若f(x)=e x +ae -x 为偶函数，则f(x-1)＜e

e 1

2+的解集为（ ）

A.（2，+∞）

B.（0,2）

C.（-∞，2）

D.（-∞，0）∪（2，+∞） 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析及解答】

根据函数奇偶性的性质先求出a 值，结合函数单调性的性质求解即可 ∵f(x)=e x +ae -x 为偶函数，∴f(-x)=e -x +ae x = f(x)= e x +ae -x ，∴a=1， ∴f(x)=e x +e -x 在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，

则由f(x-1)＜e

e 1

2+=e+e 1， ∴ -1 ＜x-1＜1， 求得 0 ＜x ＜2 故B 正确

【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键 【例7】 函数f(x)=

2

1x

b ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(21

)=52，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）证明f(x)在(-1,1)上为增函数；（3）解不等式f(2x-1)+ f(x) ＜0