8.10有交互作用双因素方差分析假设检验

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双因素方差的定义和使用条件

双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。

该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。

双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。

使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。

2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。

3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。

4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。

5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。

双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。

2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。

3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。

4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。

以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。

交互作用双因子方差分析

st
xijk
j1 k 1
称为水平 Ai 下的样本均值；
x• j•
1 rt
r i1
t
xijk
k 1
称为水平 B j 下的样本均值。
r s t
考虑总变差平方和 ST 2 xijk x 2 的如下分解：
i1 j1 k 1
r s t
ST 2
xijk x 2
i1 j1 k1 rst
若 H01 成立，即 1 2 r 0 ，那么，虽然不能苛求做为诸i 的估计值之平方和的若干倍的S A2
rst
r
（ xi•• x 2 st xi•• x 2 ）恰好等于零，
i1 j1 k 1
i 1
但相对于 SE
2
来说一定不应太大，倘若
SA2 SE2
超过某个界
限值k1 ，我们就有理由拒绝H01 ，故
0.
s
类似地，由 j
j 1
s j 1
u• j u
1 r
s j 1
r i 1
uij
su
0
r
r
r
ij uij ui• u• j u uij u• j ru• j ru• j 0
i 1
i 1
i 1
s
s
s
ij uij ui u• j u uij ui• sui• sui• 0
2
=
xijk xij• xi•• x x• j• x xij• xi•• x• j• x
i1 j 1 k 1
r s t
rst
rst
xijk xij• 2 xi•• x 2 x• j• x 2
i1 j1 k 1
i 1 j 1 k 1

商务统计学 8.10有交互作用双因素方差分析假设检验

i=1 j=1 s=1
å 其中，X ij×
=
1 t
t s =1
X ijs
是水平组合
下的样本均值
邋 ? k r t
交互作用离差平方和 SSAB =
( X ij鬃- X i 鬃- X j? + X )2
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
令T=
X ijt = krtX
i=1 j=1 s=1
构建检验统计量
邋 ? k r t
总离差平方和 SST =
( X ijs - X )2
i=1 j=1 s=1
邋 ? 其中，X
=
1 krt
k i =1
rt j=1 s=1
Xijs 是数据的总平均
组间离差平方和
邋 ? 邋 k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
其中，X
i鬃 =
1 rt
rt
X ijs
j=1 s=1
为水平
邋 ? 邋 1 k
X = X SSB =
r
t ( X鬃j - X )2 其中，鬃j
kt i=1 j=1 s=1
kt i=1 s=1
ijs 为水平
下的样本均值下的样本均值
构建检验统计量
邋 ? 随机误差平方和 SSE = k
r
t
( X ijs -
X
)2
ij×
T2 krt
邋 ? å k r t
SSA =
( X i鬃- X )2
i=1 j=1 s=1
=1 rt
k
Ti鬃2 -
i =1
T2 krt

交互作用双因子方差分析

交互作用双因子方差分析交互作用双因子方差分析（Two-way ANOVA with interaction）是一种用于分析两个自变量对因变量的影响以及这两个自变量之间是否存在交互作用的统计分析方法。

在实验设计和数据分析中应用广泛，尤其适用于探究多个因素对结果的影响和相互作用的情况。

交互作用双因子方差分析是在传统的方差分析的基础上进一步扩展的方法，将实验因素划分为两个或更多的自变量，并考察这些自变量之间是否存在相互作用。

与传统的单因子方差分析相比，交互作用双因子方差分析可以更全面地分析因素对结果的影响，从而更准确地解释实验结果。

在进行交互作用双因子方差分析之前，首先需要构建一个实验设计矩阵，确定两个自变量的水平以及实验对象的分组情况。

然后，通过对数据进行方差分析，可以得到各自变量的主效应（main effects）和交互作用效应（interaction effects）的显著性检验结果。

主效应是指自变量对因变量的独立影响，通过比较不同水平下因变量的均值差异来进行检验。

交互作用效应是指两个自变量同时作用对因变量的影响，通过比较不同组合下因变量的均值差异来进行检验。

显著性检验可以使用方差分析表（ANOVA table）来进行，通过计算误差平方和与因子平方和来判断各效应的显著性。

双因子方差分析的优势在于可以准确地评估两个自变量的影响，并且可以检验出两个自变量之间是否存在交互作用。

通过交互作用效应的检验，可以了解不同因素之间的复杂关系，进一步深入理解研究对象的特性。

然而，交互作用双因子方差分析也存在一些注意事项。

首先，样本量需要足够大，以保证分析结果的稳定性和可靠性。

其次，实验设计需要合理，各水平之间应该具有一定的平衡性。

此外，还需要注意数据的正态性和方差齐性，以确保方差分析的准确性。

总之，交互作用双因子方差分析是一种重要的统计分析方法，可以分析两个自变量对因变量的影响和相互作用。

通过准确评估各自变量的主效应和交互作用效应，可以更加全面地解释实验结果，为研究提供有力的支持和指导。

双因素ANOVA交互作用分析

双因素ANOVA交互作用分析双因素ANOVA（Analysis of Variance）是一种常用的统计方法，用于分析两个或多个因素对于一个或多个连续变量的影响。

在双因素ANOVA中，我们可以研究两个因素的主效应以及它们之间的交互作用。

本文将介绍双因素ANOVA交互作用分析的基本概念、假设检验和结果解读。

一、基本概念双因素ANOVA交互作用分析是一种多元方差分析方法，用于研究两个因素对于一个或多个连续变量的影响，并探究这两个因素之间是否存在交互作用。

在双因素ANOVA中，我们将变量分为两个因素：因素A 和因素B。

因素A可以是一个分类变量，比如性别（男、女），因素B 也可以是一个分类变量，比如治疗组（A组、B组）。

我们希望通过双因素ANOVA来分析因素A、因素B以及它们之间的交互作用对于连续变量的影响。

二、假设检验在双因素ANOVA交互作用分析中，我们需要进行三个假设检验：因素A 的主效应、因素B的主效应以及因素A和因素B之间的交互作用。

1. 因素A的主效应假设因素A对于连续变量有显著影响，我们可以进行如下假设检验：H0：因素A对于连续变量没有显著影响H1：因素A对于连续变量有显著影响2. 因素B的主效应假设因素B对于连续变量有显著影响，我们可以进行如下假设检验：H0：因素B对于连续变量没有显著影响H1：因素B对于连续变量有显著影响3. 因素A和因素B之间的交互作用假设因素A和因素B之间存在交互作用，我们可以进行如下假设检验：H0：因素A和因素B之间不存在交互作用H1：因素A和因素B之间存在交互作用三、结果解读在进行双因素ANOVA交互作用分析后，我们可以得到以下结果：1. 主效应结果如果因素A的主效应和因素B的主效应都显著，说明因素A和因素B对于连续变量都有显著影响。

如果只有一个因素的主效应显著，说明只有这个因素对于连续变量有显著影响。

如果两个因素的主效应都不显著，说明这两个因素对于连续变量没有显著影响。

双因素方差分析

由于存在两个因素的影响，就产生一个新问题，两因素对指标的影响是否正好是它们每个因素对指标的影响的迭加?
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析二、有交互作用的方差分析三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方差分析，就是双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都不显著．下面着重考察因素B.
方差来源平方和自由度
A B 误差总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用，则只需要在各个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．

双因素方差分析课件

特点
能够同时考虑两个因素对连续变量的影响，并比较不同因素之间的交互作用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多个连续变量的影响，并分析不同因素之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别的平均值差异来检验多个总体均值是否相等的一种统计方法。
02
它将数据总变异分为组内变异和组间变异，通过比较组间变异与组内变异的比例来判断各总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变量”和“组变量”，并设置相应的级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统计软件，可以进行各种统计分析，包括双因素方差分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件，广泛应用于各种统计分析，包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk，其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。

8.9有交互作用双因素方差分析问题描述

r
mij
j =1
=1 k
k
1
i=1 mi鬃= r
r
mj
j =1
å1 r
mi× = r
mij
j =1
å m×j
=
1 k
k i =1
mij
ai = mi× - m
bj = m×j - m
i =1, 2,..., k
j =1, 2,..., r i =1, 2,..., k j =1, 2,..., r
(ab)ij = mij - mi鬃- m j + m
ì ï
X ij
= mij
+ ai
+bj
+ (ab)ij
+e ijs
ï ïï
e ijs
~
N (0,s
2 ), 各e ijs独立
í ï
i
=1, 2,..., k;
j
=1, 2,..., r; s
=1, 2,..., t
邋邋 ï k
r
k
r
ï ïî
ai
i =1
= 0; bj
i =1
= 0; (ab)ij
i =1
… ..., X krt
… T鬃r
… X 鬃r
…
Ti鬃
X i鬃
…
…
Tk鬃
X k鬃
总和总均值
TX
有交互作用双因素方差分析问题描述
所考察的因素记为
因素共有个水平因素共有个水平
Xijs ~ N(mij ,s 2)(i =1, 2,..., k; j =1, 2,..., r; s =1, 2,...,t) 其中，

双因素方差分析方法

(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素的离差平方和, 的离差平方和对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素的离差平方和, 的离差平方和对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.

8.10有交互作用双因素方差分析假设检验

(kr(t - 1)) Nhomakorabea=
SSB/(r SSE / (kr(t
1) - 1))
=
MSB MSE
~
F (r
-
1, kr(t
-
1))
FA
=
SSA s2
(k - 1)
SSE s2
(kr(t - 1))
=
SSA/(k SSE / (kr(t
1) - 1))
=
MSA MSE
~
F(k
-
1,
kr(t
-
1))
FA´
B
提出假设
检验假设 H0 : a1 = a2 = ... = ak = 0 H1 : a1, a2 ,..., ak不全为零
检验假设 H0¢: b1 = b2 = ... = br = 0 H1¢: b1,b2 ,..., br不全为零
检验假设 H0ⅱ: (ab)ij = 0 H1ⅱ: (ab)ij 不全为零 (i =1, 2,..., k; j =1, 2,..., r)
得出检验结论
表有交互作用双因素方差分析表
差异来源离差平方和自由度
F值
F 临界值
P值
因素 A 因素 B
交互作用
SSA k - 1
SSA/(k - 1) FA =
SSE / (kr (t - 1))
Fa (k - 1, kr (t - 1))
SSB r - 1
SSB /(r - 1) FB =
SSE / (kr (t - 1))
i=1 j=1 s=1
å 其中，X ij×
=
1 t
t s =1
X ijs
是水平组合

《双因素方差分析》word版

§5.3 双因素方差分析I 无交互作用的双因素方差分析(1) 数学模型现在考虑影响试验指标的因素有两个：A, B 。

因素A 有水平r 个；有水平s 个；因素A, B 的各种组合水平均只作一次试验；两因素之间无交互作用。

数据结构表假设：(1*) {:1;1}ij Y i r j s ≤≤≤≤独立；(2*) 2~(,)ij ij Y N μσ，即具有相同的方差； (3*) ij ij ij Y e μ=+，其中 2~(0,)ij e N σ，且{}ij e 独立；数学模型： ij i j ij ij Y e μαβγ=++++ ，其中：111()r s ij i j rs μμ-===∑∑—总平均值； 11s i ij j s μμ-⋅==∑; 11r j ij i r μμ-⋅==∑;i i αμμ⋅=-—因素A 在水平Ai 下对试验指标的效应值；j j βμμ⋅=-—因素B 在水平Bj 下对试验指标的效应值；s B2rA12122212s s r r rs Y Y Y Y Y2r Y ⋅⋅12..s Y Y Y ⋅⋅⋅10r i i α==∑; 10s j j β==∑;ij ij i i γμμαβ=---—因素A, B 的交互效应值； {}ij e —随机部分，假定：独立同正态分布；注： “无交互作用”等价于：0ij γ=，即ij i i μμαβ=++；(2) 方差分析(i) 假设检验问题两种因素分别进行检验：0112:0r H ααα====即因素A 对试验指标影响不显著；0212:0s H βββ====即因素B 对试验指标影响不显著；注：当01H 和02H 成立时，,(1;1)ij i r j s μμ=≤≤≤≤.(ii) 构造F-统计量及否定域设()111r siji j Y rs Y-===∑∑；11si ij j Y s Y -⋅==∑；11rj ij i Y r Y -⋅==∑；2211()rsT ij i j S Y Y ===-∑∑；221()rA i i S s Y Y ⋅==-∑；221()sB j j S r Y Y ⋅==-∑；2211()rsE ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑；注：注意，2211()rsE ij i j i j S Y Y Y Y ⋅⋅===--+∑∑211()r sij ij i i j j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===+----++∑∑ 211[()()]rsij i j ij i j i j e e e e μμμμ⋅⋅⋅⋅===--++--+∑∑211()rsij i j i j e e e e ⋅⋅===--+∑∑.这里利用了“无交互效应”的假设条件：0ij ij i j γμμμμ⋅⋅=--+=.由此可见，2E S 与α⋅及β⋅无关，即与假设01H 和02H 是否成立无关。

有交互影响的双因素方差分析

2、有交互影响的双因素方差分析假设两个因素A 和B ，因素A 有a 个水平，因素B 有b 个水平，对每一个水平A i B j重复了n 次试验。

X ijk 为在因素A 的第i 个水平，因素B 的第j 个水平下进行第k 次试验时的观察值(i ＝1，2... a ；j ＝1，2，...b ；k ＝1，2，...,n)。

有交互影响的双因素方差分析表如下：表9-12 有交互影响的双因素分析表其中：21()ai SSA bn i X A ==*∑-21()bj SSB na j X B==*-∑211(())ab i j SSAB n i jij X AB A B =-=--+∑∑2111()()abni j k SSE ijk ijA B X ====-⨯∑∑∑ 在显著性水平α下，如果F>临界值F α，则拒绝原假设，认为差异显著。

小案例9-2：不同路段和不同时间段对行车时间的影响城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验共获得了20个行车时间的数据，如表9-13。

试分析路段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影响。

路段与时段对行车时间的影响：交互作用无交互作用图9-1 有无交互作用的图示表9-13 不同的路段和不同的时间段对行车时间的影响数据表 (单位：min)路段(列变量)路段1路段2 时段（行变量）高峰期26 19 24 20 27 23 25 22 2521 非高峰期20 18 17 17 22 13 21 16 1712通过计算，可以得到如表9-14所示的交互作用方差分析表。

可以得到：不同路段对行车时间有显著影响，不同时段对行车时间有显著影响，而路段与时段的交互作用对行车时间没有显著影响。

表9-14 交互作用方差分析表差异源 SS df MS F P 值样本 174.0500 1 174.0500 44.0633 0.00000 列 92.4500 1 92.4500 23.4051 0.00002 交互 0.0500 1 0.0500 0.01270.9118内部 63.200 16 3.9500总计329.7519。

双因素方差分析

双因素方差分析标题：双因素方差分析的应用与解读摘要：本文通过介绍双因素方差分析的基本原理和方法，以及其在实际研究中的应用，帮助读者了解和理解该统计方法的概念和分析原理。

文章中还将详细探讨如何正确解读双因素方差分析结果，以及常见的误解和注意事项。

最后，本文将探讨该方法的局限性和发展前景，为读者提供一个全面的视角来评估该统计方法的实用性和适用性。

第一部分：引言双因素方差分析是一种常用的统计方法，用于研究两个或更多因素对某个变量的影响。

在实际研究中，我们常常需要探究不同因素对某一现象的综合影响，例如产品价格和广告投入对销售额的影响。

双因素方差分析能够帮助我们进行出色的统计分析，确保数据结果的准确性和可信度。

第二部分：双因素方差分析的基本原理和方法双因素方差分析是一种通过计算因素之间的差异来确定不同因素对某一现象的影响程度的方法。

它通过将数据分为不同的组别，并计算组间差异和组内差异，来判断不同因素是否对现象产生显著影响。

这种方法将数据集划分为两个或更多的因素组，然后通过计算组别间的方差和组内的方差来确定每个因素的影响程度。

第三部分：双因素方差分析的应用双因素方差分析在许多领域中得到了广泛应用。

例如，在医学研究中，我们可以使用双因素方差分析来确定一个新药物对不同性别和不同年龄组的病人的治疗效果。

在市场营销领域，我们可以使用双因素方差分析来探究不同价格和不同广告投入对产品销售额的影响。

在教育领域，我们可以使用双因素方差分析来研究不同教学方法和不同学生能力水平对学生成绩的影响。

这些例子仅仅是说明双因素方差分析的应用领域的一部分，该方法在实际研究中的应用潜力巨大。

第四部分：正确解读双因素方差分析结果正确解读双因素方差分析结果是使用该方法的关键。

首先，我们需要了解P值和显著性水平的概念。

P值表示观测到的差异出现在无关因素组中的概率。

显著性水平则是在假设检验中用来判断观测到的差异是否真实存在的标准。

其次，我们需要关注效应大小。

双因素方差分析

1)(m
1))
在H0B 成立时, 检验统计量
FB
SSMB (m 1) SSE (l 1)(m 1)
H0B真
~ F(m
1,(l
1)(m
1))
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 要说明因素A有无显著影响, 就是要检验如下假设：
H0A：1 = 2 = … = l = 0, H1A：1, 2, …,l 不全为零
lm
➢ 误差平方和： SSE
( xij xi. x. j x )2
i1 j1
lm
➢ 总离差平方和： SST
( xij x )2
i1 j1
➢ 可以证明： SST = SSMA + SSMB + SSE
概率论与数理统计
❖ 1.无交互作用的双因素方差分析
➢ 可以证明：构造检验统计量
ij~N(0, 2), 且相互独立, 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m,
l
ai 0,
i 1
m
j 0
j1
其中表示平均的效应, i和j分别表示因素A的第i个水平和因素B的第j个水平的附加效应, ij为随机误差,假定ij
相互独立并且服从等方差的正态分布．
概率论与数理统计
❖1. 无交互作用的双因素方差分析
SSMA SSMB SSE
SSMA / (l – 1) MSA / MSE PA SSMB / (m – 1) MSB / MSE PB SSE / (l – 1)(m – 1)
全部
lm – 1
SSMA + SSMB +SSE
其中MSA = SSMA/(l – 1), MSB = SSMB/(m – 1),

3考虑交互作用的双因子方差分析

§6.3 考虑交互作用的双因子方差分析在前一节中，我们介绍了无重复观测、不考虑交互作用的双因子方差分析。

在这种方差分析中，我们设随机变量 j i ξ 的均值 j i j i βαμμ++= ，也就是说，假设因子A 和因子B 的作用只是简单的叠加关系。

但是，在很多实际问题中，A 和 B 的作用并不只是简单的叠加关系。

例如，某种农作物有1A 、2A 两个品种，分别施以 1B 、2B 两种不同的肥料，每种组合进行1从表格中第1列数据来看，品种 2A 比 1A 好，从 1A 改为 2A ，产量大约可以提高216485=- ；从表格中第1行数据来看，肥料 2B 比 1B 好，从 1B 改为 2B ，产量大约可以提高346498=- 。

如果因子A 和 B 的作用，即品种和肥料的作用，是简单的叠加关系，那么，从组合),(11B A 改为 ),(22B A ，产量大约可以提高到119342164)6498()6485(64=++=-+-+ 。

事实上，在水平组合 ),(22B A 下，产量只有 77 ，与 119 相距甚远。

由此可见，品种和肥料的作用，并不是简单的叠加关系。

对于品种 1A 来说，肥料 2B 比 1B 好，对于品种 2A 来说，则恰恰相反，肥料 1B 比 2B 好。

在品种和肥料之间，显然有一个如何搭配组合的问题，搭配得好，产量就高，搭配得不好，产量就不高。

我们把这种由于各个因子的各种水平的搭配组合而产生的作用，称为交互作用。

在实际问题中，交互作用是经常存在的。

但是，在前面介绍的的双因子方差分析中，因为没有重复观测，很难把交互作用与随机误差区分开来，所以我们不得不放弃考虑交互作用。

如果我们在进行双因子方差分析时，对每一种水平组合多作几次重复观测，就能比较容易地辨别出，哪些是交互作用，哪些是随机误差的作用。

下面，我们来看一下，有重复观测、考虑交互作用的双因子方差分析应如何处理。

问题设某个指标的取值可能与 A 、B 两个因子有关，因子 A 有 r 个水平：r A A A ,,,21 ；因子B 有 s 个水平：s B B B ,,,21 。

双因素方差分析法 (3)

双因素方差分析法引言双因素方差分析法是一种经典的统计分析方法，用于研究两个或更多因素对于观测变量产生的影响。

它可以帮助研究者理解因素之间的相互作用以及它们对观测变量的影响程度。

在本文中，我们将介绍双因素方差分析法的基本原理、假设条件、计算方法以及结果解读。

基本原理双因素方差分析法基于线性模型的思想，假设观测变量的总体均值可以划分为不同因素的影响以及随机误差的贡献。

通过分析各个因素的变化对总体均值的影响，我们可以确定它们是否显著。

在双因素方差分析法中，我们关注的是两个因素对观测变量的影响，分别称为因素A和因素B。

它们都被假设为固定效应因素，即我们关注的是这两个特定的因素对观测变量的影响，而不是从更广泛的总体中随机选择因素。

我们还假设各个因素的影响是相互独立的，即因素A和因素B之间没有相互作用。

假设条件在进行双因素方差分析法之前，我们需要满足一些假设条件。

首先，观测变量需要满足正态性假设，即在每个组别中，它们的分布应该是正态分布的。

其次，观测变量的方差应该相等，即方差齐性假设。

最后，观测值之间应该相互独立。

计算方法总平方和我们首先计算总平方和（SST），它表示观测变量的总体变异程度。

总平方和可以通过以下公式计算：SST = SSA + SSB + SSAB + SSE其中，SSA、SSB、SSAB和SSE分别表示因素A、因素B、因素A和因素B的交互作用以及误差的平方和。

自由度自由度用于衡量观测数据中可以自由变动的数量，它可以用于计算各个方差分量。

在双因素方差分析法中，自由度的计算方法如下：•自由度(A) = 组数(A) - 1•自由度(B) = 组数(B) - 1•自由度(AB) = (组数(A) - 1) * (组数(B) - 1)•自由度(E) = 总样本数 - 组数(A) * 组数(B)均方和均方和是指在给定自由度下的平方和除以对应的自由度得到的值。

在双因素方差分析法中，我们可以计算因素A、因素B、因素A和因素B的交互作用以及误差的均方和。

商务统计学 8.10有交互作用双因素方差分析假设检验

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小结
1. 提出假设 2. 构建检验统计量 3. 得出检验结论
思考练习
有交互作用双因素方差分析问题研究时构建的检验统计量服从什么分布？相应的自由度是多少？
SSAB /((k - 1)(r - 1))
SSAB (k - 1)(r - 1) FA´ B = SSE / (kr(t - 1))
Fa (r - 1, kr (t - 1)) Fa ((k - 1)(r - 1), kr (t - 1))
误差 SSE kr(t - 1)
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总计 SST krt - 1
邋k t
T鬃j =
X ijt = ktX鬃i
i=1 s=1
邋r t
Ti鬃 =
X ijt = rtX i鬃
j=1 s=1
t
å Tij鬃= X ijt = tX ij
s =1
邋 ? 邋 ? 则有 k r t
SST =
( X ijs - X )2
i=1 j=1 s=1
k
=
i =1
rt
X2 ijs
-
j=1 s=1
1 rt
rt
X ijs
j=1 s=1
为水平
邋 ? 邋 1 k
X = X SSB =
r
t ( X鬃j - X )2 其中，鬃j
kt i=1 j=1 s=1
kt i=1 s=1
ijs 为水平
下的样本均值下的样本均值
构建检验统计量
邋 ? 随机误差平方和 SSE = k
r
t
( X ijs -
X
)2
ij×
得出检验结论
表有交互作用双因素方差分析表