MATLAB在复变函数中的应用
2---浅谈Matlab在_复变函数_教学中的应用

2---浅谈Matlab在_复变函数_教学中的应⽤1、引⾔复变函数理论是数学的⼀个重要分⽀,是很多专业必修的基础课。
但由于课程本⾝的特点,在实际教学中,很多学⽣认为该门课程抽象、枯燥、难以理解。
M atlab 是美国MathWorks 公司20世纪80年代中期推出的数学软件,其优秀的数值计算能⼒和卓越的数据可视化能⼒使其很快在数学软件中脱颖⽽出。
利⽤Matlab 可以实现复变函数的数据计算并可以⽅便地将函数及表达式以图形化的形式显⽰出来,使数据关系更加清晰明了。
本⽂以⼏个实例来讨论M atlab 在《复变函数》教学中的应⽤。
2、Matlab 在复变函数论教学中的应⽤实例(1)复变函数的图形化表⽰Matlab 可以将复变函数以图形化的形式显⽰出来,便于学⽣加深对复变函数内容的理解。
图1为复变函数sin(z)的图像,x 轴和y 轴分别表⽰变量的实部和虚部,纵轴表⽰宗量的实部,颜⾊表⽰宗量的虚部,虚部数值⼤⼩由右侧的颜⾊条表⽰。
从图中可以清楚的看出,函数sin (z)的实部和虚部在⼀定的区域中都可以⼤于1,因⽽其模的数值也可以⼤于1。
相对于函数的数学公式表⽰⽅法,图形化的表⽰更直观,更易于理解和记忆。
图1复变函数sin(z)的图形图2复变函数ln(z)的图形⼀图2是函数lnz 的图形,图中底⾯上的两个坐标分别是变量的实部和虚部,纵轴同样表⽰函数lnz 的实部,颜⾊表⽰lnz 的虚部。
由于lnz 是多值函数,对于同⼀个实部,虚部可以相差2π的整数倍,所以我们⽤四个颜⾊不同的图形表⽰其中的四个分⽀。
这四个图形形状完全⼀样,区别仅在颜⾊不同,表⽰虚部相差2π的整数倍。
需要说明的是,图中⾕底即是ln0的位置,虽然图形上有数值显⽰,但实际并⽆意义,这与计算机的数据处理过程有关。
还可以利⽤纵轴表⽰函数lnz 的虚部,⽤颜⾊表⽰实部,如图3所⽰。
图3复变函数ln(z)的图形⼆(2)幂级数展开式讨论利⽤Matlab 也可以讨论幂级数展开问题。
matlab 复变函数
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matlab 复变函数一、介绍MATLAB是一个非常强大的数学软件,可以处理各种复杂的数学问题,包括复变函数。
复变函数是一种在复平面上定义的函数,它可以用来描述许多物理和工程现象。
因此,MATLAB提供了许多功能强大的工具来处理和分析复变函数。
二、基本概念1. 复平面复平面是由实部和虚部组成的平面。
在MATLAB中,可以使用complex(x,y)函数创建一个复数。
其中x表示实部,y表示虚部。
2. 复变函数复变函数是一个将一个或多个复数映射到另一个复数的函数。
在MATLAB中,可以使用z = f(w)来表示一个复变函数。
3. 解析性解析性是指一个函数在其定义域内存在导数。
如果一个函数在某个点处存在导数,则称该点为解析点。
4. 共轭共轭是指将一个复数的虚部取负后得到的结果。
在MATLAB中,可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。
5. 模长模长是指一个复数到原点距离。
在MATLAB中,可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。
三、常用操作1. 绘制图形绘制图形是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB 中,可以使用plot函数来绘制复变函数的图形。
2. 计算导数计算导数是分析复变函数的重要操作之一。
在MATLAB中,可以使用diff函数来计算复变函数的导数。
3. 计算积分计算积分也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB中,可以使用integral函数来计算复变函数的积分。
4. 计算共轭计算共轭是处理和分析复变函数时经常需要进行的操作之一。
在MATLAB中,可以使用conj(z)来计算一个复数的共轭。
5. 计算模长计算模长也是处理和分析复变函数时必不可少的操作之一。
在MATLAB中,可以使用abs(z)来计算一个复数的模长。
四、常用工具箱1. Symbolic Math ToolboxSymbolic Math Toolbox是一个用于求解符号数学问题的工具箱。
它提供了许多功能强大的工具来处理和分析符号表达式。
MATLAB在复变函数与积分变换里的应用

MATLAB在复变函数与积分变换里的应用目录1复数的生成 (1)2 复常数的运算 (1)2.1—2.3 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1)2.4—2..8两个复数之间进行乘除法运算、幂运算、指数对数运算及方程求根 (2)2..9MA TLAB极坐标绘图 (6)3 泰勒级数的展开 (3)4 留数计算和有理函数的部分分式展开 (4)4.1 留数计算 (4)4.2 有理函数的部分分式展开 (5)5 Fourier变换及其逆变换 (6)6 Laplace变换及其逆变换由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系 (7)参考文献 (10)复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具. 本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier 变换、Laplace变换和图形绘制等几个问题.可以使用MATLAB来进行复变函数的各种运算,还可以使用matlab进行Taylor级数展开以及Laplace变换和Fourier变换。
1.复数的生成复数的生成有两种形式。
a: z=a+b*iexample1:>> z=2+3*iz =2.0000 +3.0000ib: z=r*exp(i*theta)example2: >> z=2*exp(i*30)z =0.3085 - 1.9761i2.复数的运算2.1、复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式real(x)返回复数的实部imag(x)返回复数的虚部example3: >> z=4+5*i;>> real(z)ans =4>> imag(z)ans =52.2、共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式conj(x)返回复数的共轭复数example4: >> z=4+5*i;>> conj(z)ans =4.0000 -5.0000i2.3复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。
【毕业论文】MATLAB在复变函数课程中的实现
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摘 要《复变函数》是电子、信号、通讯、控制系统等学科必备的基础课,又是数学分析的后继课,它的理论和方法深刻渗透到代数学、解析数论、微分方程、计算数学等数学的各个分支,有着十分重要的意义。
同时,MATLAB是我专业的重要课程之一,作为数值计算型的数学类科技应用软件,它具有数据分析、可视化及应用程序设计等功能,以成为数学分析、复变函数等课程的基本应用工具。
本论文用MATLAB软件对《复变函数》中的留数、有理分式展开、Taylor级数展开等问题进行求解。
作为复变函数课程中的主要学习部分,三者在复变函数中有着重要的地位。
通过计算机实现对复变函数主要计算问题的实践,体现利用MATLAB软件求解复杂数学理论问题的规范性、简洁性、灵活性。
同时,寓理论教学、实验演示于一体,使一些抽象的知识或运算能用可视化的图形表示,达到传统理论教学无法实现的效果,并利用软件对自己的设计方案进行分析,进而加深对复变函数理论知识的理解。
通过复变函数的系统性和严谨性,为我们进一步系统地学习复变函数知识打下良好的基础。
关键词:留数,Taylor级数,洛朗级数,MATLABAbstract"Complex Function" not only is the foundational course of electronic, signal, communication, control systems and other disciplines, but also the follow-on course of Mathematical analysis. "Complex Function", whose theory and methods have infiltrated into the various branches of algebra, analytic number theory, differential equations, mathematical calculations, is of great significance. At the same time, MATLAB is one of the most important courses of information and computing science. As the mathematic technology application software of numerical calculation, it has the functions of data analysis, visualization and application program design, and has become a basic application tool of mathematical analysis course and complex function course. This thesis discussed residues, Taylor Series, Fourier transform and linear differential equation of complex function with the MATLAB. As the main part in the course of complex function, the three parts play the significant role in complex function. So that students can solve the main calculation problems of complex function with the computer after they have the understanding of theoretical, which shows MATLAB software’s normative, simplicity, flexibility when solving complex mathematical academic problems. At the same time, it makes some abstract knowledge or calculations can be represented by visual graphics, and curves with the combination of academic teaching and practice demonstration, and hit the target that the traditional theory of teaching can not achieve. Besides, it analyses the designed project with software, then we can learn more about the understanding of complex function theoretical knowledge. According to the systematic and rigorous complex function, we will have a better foundation of studying Complex Function.Key words: residues, Taylor series, Laurent series, MATLAB目 录第一章前言 (1)1.1 复变函数的发展及其应用 (1)1.2 MATLAB软件的发展及其应用 (2)1.3 本论文研究的主要内容和意义 (2)1.4 本论文应解决的主要问题 (3)第二章复变函数基本知识 (5)2.1 有理函数部分分式展开 (5)2.2 泰勒级数和洛朗级数 (5)2.3 留数及留数的应用 (7)2.4 MATLAB画复变函数图形指令 (9)第三章计算与程序实现 (11)3.1 有理函数部分分式展开和留数计算 (11)3.2 泰勒级数展开与洛朗级数展开 (19)3.3 留数的应用 (19)第四章结论与展望 (26)4.1 结论 (26)4.2 对进一步研究的展望 (26)参考文献 (27)致 谢 (28)附 录 (29)第一章 前 言1.1 复变函数的发展及其应用复变函数论产生于十八世纪。
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用
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浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用作者:韩英李雁飞汪贤华弓亚鑫舒心来源:《科技资讯》2014年第32期摘要:复变函数课程的理论比较枯燥。
论文设计了MATLAB软件在复变函数教学中的几个典型案例,将MATLAB引入课堂教学,通过数学实验,让学生感受“看得见”的数学,使得复变函数的理论学习达到事半功倍的效果。
关键词:MATLAB 复变函数泰勒级数洛朗级数中图分类号:O174.55 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2014)11(b)-0121-03“复变函数”课程是通信工程、电子工程、自动化等工科专业必修的专业基础课,该课程理论性强、内容抽象,工科学生普遍感到学习困难。
为了解决这个问题,我们在复变函数的教学中引入MATLAB实践内容,使得复变函数的教学理论与实验相结合,教与学相结合,引导学生利用软件对教学内容进行仿真,激发其学习积极性与主动性,提高其对于复变函数内容的理解。
该文就MATLAB在复变函数中的几点应用加以分析。
通过计算机实现对复变函数主要计算问题的实验,达到传统理论教学无法实现的效果。
1 利用MATLAB进行复变函数的简单运算复数的表示式突出三角表示法和指数表示法,而这两种表示法中辐角的计算公式较复杂,利用MATLAB可以把复数的实部,虚部,共轭复数,辐角,模等利用简单的命令求出。
例1、计算,,,,的值及实部,虚部,共轭复数,辐角,模。
解:在MATLAB工具窗输入以下矩阵A=[((1+i)*(2-i)^2*(3-i)^3)/((3+4)^4*(2+i)^5) i^i i^(2^1/2)(-8)^(1/3) log(1+i)]A= -0.0016+0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000+1.0000i 1.0000+1.7321i 0.3466+ 0.7854i>>real(A)-0.0016 0.20790 1.0000 0.3466>> imag(A)ans = 0.00050 1.0000 1.7321 0.7854>> angle(A)ans = 2.85780 1.5708 1.0472 1.1552>> abs(A)ans = 0.0017 0.2079 1.00002.0000 0.8585>> conj(A)ans=-0.0016-0.0005i 0.2079+0.0000i 0.0000-1.0000i 1.0000-1.7321i 0.3466-0.7854i用MATLAB可直接计算出复数的四则运算和初等函数的值。
浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用
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浅谈MATLAB在复变函数教学中的几点应用【摘要】MATLAB在复变函数教学中扮演着重要的角色。
本文首先介绍了MATLAB在教学中的重要性和复变函数教学的特点,然后详细探讨了MATLAB在复变函数图像绘制、数值计算、符号计算、实例分析和数据分析中的应用。
通过这些具体案例,可以看出MATLAB在复变函数教学中的多方面作用。
文章总结了MATLAB在复变函数教学中的重要性,并指出MATLAB的应用提升了教学效果。
未来,MATLAB在复变函数教学中的应用还有待进一步探索和提升,可以为学生提供更加直观、灵活和高效的学习体验。
MATLAB的应用有望在复变函数教学中取得更大的突破和发展。
【关键词】MATLAB, 复变函数, 教学, 图像绘制, 数值计算, 符号计算, 实例分析, 数据分析, 教学效果, 未来发展。
1. 引言1.1 MATLAB在教学中的重要性MATLAB在复变函数教学中不仅可以提高学生的学习效率,还能够拓展他们的数学思维和计算能力。
将MATLAB作为教学工具引入复变函数课程中,对于学生的学习和发展具有重要意义。
1.2 复变函数教学的特点复变函数是数学分析中的一个重要分支,包括解析函数、共轭函数、共轭解析函数等概念。
复变函数教学在数学及工程类专业中占据着重要的地位,因为它涉及到很多实际问题的解决办法,如电路分析、信号处理、图像处理等。
复变函数的特点主要表现在以下几个方面:1. 抽象性高:与实数函数不同,复变函数的定义域和值域都是复数集合,这使得复变函数的概念和性质更加抽象和深奥。
学生往往难以直观理解复变函数的含义和应用。
2. 几何意义强:复变函数可以看作平面上的点在复平面上的映射,而复平面是由实数轴和虚数轴组成的,因此复变函数的图像常常与平面几何有关,如曲线、区域、奇点等概念在复变函数中具有重要意义。
3. 计算方法多样:复变函数的计算方法包括解析计算、数值计算、符号计算等多种方式,学生需要掌握多种计算方法,并能灵活运用于实际问题中。
MATLAB在复变函数中的应用
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MATLAB在复变函数中的应用
郭秀凤;卢亮
【期刊名称】《科教文汇》
【年(卷),期】2015(000)008
【摘要】利用MATLAB软件在计算和绘图方面的优势,本文通过具体实例分析,介绍了MATLAB软件在复变函数教学中的应用。
【总页数】2页(P53-54)
【作者】郭秀凤;卢亮
【作者单位】贺州学院理学院广西·贺州 542899;贺州学院理学院广西·贺州542899
【正文语种】中文
【中图分类】G642
【相关文献】
1.例谈MATLAB在复变函数学习中的应用 [J], 龚桂琼;赵蕾;王文雅;赵小容;孟红静;吕凯军;
2.MATLAB软件在《复变函数与积分变换》教学中的几点应用 [J], 田献珍;温鲜
3.Matlab在复变函数与积分变换课堂教学中的应用 [J], 徐彬
4.Matlab在复变函数与积分变换课堂教学中的应用 [J], 徐彬;
5.MATLAB在复变函数教学中的可视化应用探讨 [J], 陈莉
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matlab在复变函数中的应用
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matlab在复变函数中的应用
Matlab 可以用来解决复变函数的典型问题,包括离散傅里叶变换,谱图比较,滤波器设计,系统的频率响应及系统建模等。
下面介绍几个可以使用Matlab对复变函数执行分析的典型功能:
(1)离散傅里叶变换(DFT)
使用Matlab的fft()函数可以计算傅立叶变换,从而研究信号的频率成分。
(2)谱图比较
使用Matlab的fft2()函数可以比较两个信号在频域上的区别,从而研究信号的特性。
(3)滤波器设计
使用Matlab的filter()函数可以实现几种不同的滤波器类型,这些滤波器可以用来削弱或去除某些特性的运动员。
(4)系统的频率响应
使用Matlab的freqz()函数可以计算系统的频率响应,从而研究系统的行为特性。
(5)系统建模
使用Matlab的sysfir()函数可以构建基于频率响应的系统模型,从而调整系统的参数来优化系统性能。
总之,Matlab能够帮助完成复变函数Ada Fourier变换和谱图比较,滤波器设计,系统的频率响应及系统建模等功能,是复变函数分析的有力工具。
Matlab在复变函数中应用
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第9章 Matlab在复变函数中的应用从根本上讲,复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸,但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当它引进了“留数”的概念,且在引入了Taylor级数展开,Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
本章将重点介绍使用Matlab来进行复变函数的各种计算;介绍留数的概念及Matlab的实现;介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开(Laurent展开、Laplace变换和Fourier 变换)。
9.1 复数及其矩阵的生成。
在Matlab中,复数的单位为i和j,即:i = j =19.1.1 复数的生成在Matlab中,产生复数的方法有两种:1.由z = x + y*i产生,可简写成z = x + y i ;2.由z = r*exp (i*theta)产生,可简写成z = r*exp (theta i ),其中r为复数z的模,theta 为复数z辐角的弧度值。
9.1.2 复数矩阵的输入Matlab的矩阵元素允许是复数、复变量和由它们组成的表达式。
复数矩阵的输入方法有两种:1. 与实数矩阵相同的输入方法(见第1章)2. 将实部、虚部矩阵分开输入,再写成和的形式例9-1>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2 复数的运算9.2.1 复数的实部与虚部复数的实部和虚部用命令real和imag提取。
格式:real (z) %返回复数z的实部imag (z) %返回复数z的虚部9.2.2 共轭复数复数的共轭复数由命令conj实现。
格式:conj (z) %返回复数z的共轭复数9.2.3 复向量或复矩阵的转置复向量或复矩阵的转置符合两个规则:1. 符合实矩阵转置原则2. 转置后的元素均为共轭复数格式:Z’%Z的共轭转置例9-2>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i>> A'ans =1.0000 + 5.0000i -2.0000 + 6.0000i3.0000 + 8.0000i4.0000 - 9.0000i若要得Z的非共轭转置,可用Z .’或conj (Z’)。
第9章Matlab在复变函数中应用
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第9章 Matlab在复变函数中的应用从根本上讲,复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸,但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当它引进了“留数”的概念,且在引入了Taylor级数展开,Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
本章将重点介绍使用Matlab来进行复变函数的各种计算;介绍留数的概念及Matlab的实现;介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开(Laurent展开、Laplace变换和Fourier 变换)。
9.1 复数及其矩阵的生成。
在Matlab中,复数的单位为i和j,即:i = j =19.1.1 复数的生成在Matlab中,产生复数的方法有两种:1.由z = x + y*i产生,可简写成z = x + y i ;2.由z = r*exp (i*theta)产生,可简写成z = r*exp (theta i ),其中r为复数z的模,theta 为复数z辐角的弧度值。
9.1.2 复数矩阵的输入Matlab的矩阵元素允许是复数、复变量和由它们组成的表达式。
复数矩阵的输入方法有两种:1. 与实数矩阵相同的输入方法(见第1章)2. 将实部、虚部矩阵分开输入,再写成和的形式例9-1>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2 复数的运算9.2.1 复数的实部与虚部复数的实部和虚部用命令real和imag提取。
格式:real (z) %返回复数z的实部imag (z) %返回复数z的虚部9.2.2 共轭复数复数的共轭复数由命令conj实现。
格式:conj (z) %返回复数z的共轭复数9.2.3 复向量或复矩阵的转置复向量或复矩阵的转置符合两个规则:1. 符合实矩阵转置原则2. 转置后的元素均为共轭复数格式:Z’%Z的共轭转置例9-2>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i>> A'ans =1.0000 + 5.0000i -2.0000 + 6.0000i3.0000 + 8.0000i4.0000 - 9.0000i若要得Z 的非共轭转置,可用Z .’或conj (Z ’)。
Matlab在复变函数中应用
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Matlab在复变函数中应⽤MATLAB在复变函数中的应⽤复变函数的运算是实变函数运算的⼀种延伸,但由于其⾃⾝的⼀些特殊的性质⽽显得不同,特别是当它引进了“留数”的概念,且在引⼊了Taylor级数展开Laplace 变换和Fourier变换之后⽽使其显得更为重要了。
使⽤MATLAB来进⾏复变函数的各种运算;介绍留数的概念及MAT–LAB的实现;介绍在复变函数中有重要应⽤的Taylor展开(Laurent展开Laplace变换和Fourier变换)。
1 复数和复矩阵的⽣成在MATLAB中,复数单位为)1ji,其值在⼯作空间中都显⽰为=sq rt=(-0+。
.1i00001.1 复数的⽣成复数可由iz+=。
a=语句⽣成,也可简写成biaz*+b另⼀种⽣成复数的语句是)exp(ithetar=,也可简写成)=,*irz*其中theta为复数辐⾓的弧度值,r为复数的模。
1.2 创建复矩阵创建复矩阵的⽅法有两种。
(1)如同⼀般的矩阵⼀样以前⾯介绍的⼏种⽅式输⼊矩阵例如:)]iA**ii=+3[i*-+*,),235336exp(23,exp(9im=;)2,3(rand]5466.07271.05681.02897.07027.05341.08385.03420.03704.03412.03093.06602.0[i i i i ii ++++++注意实、虚矩阵应⼤⼩相同。
2 复数的运算1.复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。
调⽤形式 )(x real返回复数x 的实部)(x imag返回复数x 的虚部2.共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调⽤形式)(x conj返回复数x 的共轭复数3.复数的模和辐⾓复数的模和辐⾓的求解由功能函数abs 和angle 实现。
调⽤形式 )(x abs 复数x 的模)(x angle复数x 的辐⾓例:求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐⾓(1)i231+ (2)i i i --131 (3)ii i 2)52)(43(-+(4)i i i +-2184由MATLAB 输⼊如下:]21^48^,2/)52()43(),1/(3/1),23/(1[i i i i i i i i i i a +*--*=--+=.0--i ---50002308.30000i0000i.3.1i500013.0000real%实部)(aans=0.2308 1.5000 –3.5000 1.0000 imag%虚部(a)ans=–0.1538 –2.5000 –13.0000 –3.00000.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i–3.5000+13.0000i 1.0000+3.0000i abs%模(a)ans=0.2774 2.9155 13.4629 3.1623angle%辐⾓)(aans=–0.5880 –1.0304 –1.8228 -1.24904.复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。
MATLAB在复变函数中的应用 ppt课件

0.9501 + 0.4565i 0.4860 + 0.4447i 0.2311 + 0.0185i 0.8913 + 0.6154i 0.6068 + 0.8214i 0.7621 + 0.7919i
4
2 复数的运算
2.1 复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角
1.复数实部和虚部
real(X) 返回复数X的实部
fourier(f,v)=F(v)=int(f(x)*exp(-i*v*x),x,-inf,inf) ➢ F=fourier(f,u,v): 以v代替x且对u积分。且有
fourier(f,u,v)=F(v)=int(f(u)*exp(-i*v*u),u,-inf,inf)
% complex08.m syms s v w x F1=fourier(1/t) F2=fourier(exp(-x^2),x,t) F3=fourier(exp(-t)*sym(‘Heaviside(t)’),v) F4=fourier(diff(sym(‘F(x)’)),x,w)
MATLAB在复变函数中的应用

1 1)求函数(z 1)(z 2)在点
2)求函数 cos z 在 一、
点的泰勒展式(五次幂多项式近似)
z0 0 点的泰勒展式(五次幂多项式近似)
1 的实部、虚部、共轭复数、模与辐角分别是:0.5000、-0.5000、0.5000 1i
+ 0.5000i、0.7071、-0.7854
1i 的实部、虚部、共轭复数、模与辐角分别是:0、-1.0000、0.0000 + 1i
实 1.0000i、1.0000、-1.5708 验 结 二、方程所有的根为:2^(1/2)*(1/2 + i/2)、2^(1/2)*(1/2 - i/2)、 果
2^(1/2)*(- 1/2 + i/2)、2^(1/2)*(- 1/2 - i/2) 三、Res[f(z),1]=3; Res[f(z),0]=2 四、Res[f(z),2]=1; Res[f(z),1]=-1 由留数定理知
实 验 总 结
总分:
实 验 成 绩 评 定
1.实验报告格式排版 2.实验设计思路(科学性、可行性、创新性) 3.实验代码编写(规范性、正确性、复杂性) 4.实验结果分析(正 码
一、>> a=[1/(1+i),(1-i)/(1+i)] a =0.5000 - 0.5000i 0.0000 - 1.0000i >> real(a) ans =0.5000 0 >> imag(a) ans =0.5000 -1.0000 >> conj(a) ans =0.5000 + 0.5000i 0.0000 + 1.0000i >> abs(a) ans =0.7071 1.0000 >> angle(a) ans =-0.7854 -1.5708 二、>> solve('x^4+1=0') ans =2^(1/2)*(1/2 + i/2) 2^(1/2)*(1/2 - i/2) 2^(1/2)*(- 1/2 + i/2) 2^(1/2)*(- 1/2 - i/2) 三、>> [r,p,k]=residue([5,-2],[1,-1,0]) r= 3 2 p= 1 0 k = [] 四、>> [r,p,k]=residue([1],[1,-3,2]) r = 1 -1 p=2 1 k = [] 五、1、>> syms x >> taylor(1/(x^2-3*x+2)) ans =(63*x^5)/64 + (31*x^4)/32 + (15*x^3)/16 + (7*x^2)/8 + (3*x)/4 + 1/2 2、>> syms x >> taylor(cos(x)) ans =x^4/24 - x^2/2 + 1 通过本次试验,我对复变函数在 matlab 中的应用有了一定的了解,学习到了复 变函数在 matlab 中的算法的结构以及基本的字符的表示。学习到了留数在 matlab 中 的代码的表示以及对留数的概念有了更加深入的了解。意识到 Matlab 软件和数学分 析多元微分学的结合利于实践学习。深刻了解到复变函数问题在数学软件中的应 用。通过练习更加熟练了这个软件,从中学到了很多知识。 评分小项 分值 10 分 30 分 30 分 20 分 10 分 得分
MATLAB在复函

MATLAB在《复变函数》教学中的应用(图文)时间:2011-04-22 作者:秩名论文导读:复变函数与实变函数在MATLAB中的计算有着相似之处,因为不管自变量是实数还是复数,都是将自变量的值直接代入函数表达式中去计算。
而MATLAB对复变函数和实变函数运算时最大的区别在于MATLAB只对复变函数的主值进行计算。
关键词:MATLAB,复变函数复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。
它推动了许多学科的发展,在解决某些实际问题中也是强有力的工具,因此《复变函数》课程是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的主要基础课。
和其他数学课程一样,它的学习有着较为枯燥的一面。
如何把枯燥的内容变得生动有趣,这是每个授课教师必须要正视的问题。
MATLAB是一种具有强大数值计算,分析和图形处理功能的科学计算语言,其应用领域极为广泛,而且使用方便、调试容易,代码少、效率高,有人称为第四代程序设计语言,本文则把《复变函数》的教学过程和MATLAB结合起来,旨在提高学生学习数学的兴趣,减轻教师的负担,优化学习环境,缩短课时,实现低价高效的教学效果。
1.MATLAB在复变函数计算中的应用复变函数与实变函数在MATLAB中的计算有着相似之处,因为不管自变量是实数还是复数,都是将自变量的值直接代入函数表达式中去计算。
而MATLAB对复变函数和实变函数运算时最大的区别在于MATLAB只对复变函数的主值进行计算。
我们学习实变函数里的一些初等函数时,总是先用描点法等作出函数的图像,然后根据图像得出函数的相关性质,而复变函数同样可以采取这样的方法,以增加学生的创新思维和学习兴趣,下面举几个例子加以说明。
例一:计算的函数值、函数值的实部、虚部、辐角、模、共轭函数,并作出函数图像,MATLAB程序如下:function fbhs0z0=sin(2+3i)z1=real(z0)z2=imag(z0)z3=angle(z0)z4=abs(z0)z5=conj(z0)z=5*cplxgrid(30);cplxmap(z,sin(z));colorbar('vert');title('sin(z)');运行结果如下:z0 = 9.1545 - 4.1689iz1 = 9.1545z2 =-4.1689z3 = -0.4273z4 = 10.0591z5 = 9.1545 + 4.1689i图1:的函数图像从图中可以看出,为单值函数,的绝对值可以大于1,在图形上轴所表示的函数的实部已经几乎达到60.例二:计算函数在处的留数。
Matlab在复变函数中应用

第9章 Matlab在复变函数中的应用从根本上讲,复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸,但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当它引进了“留数”的概念,且在引入了Taylor级数展开,Laplace 变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
本章将重点介绍使用Matlab来进行复变函数的各种计算;介绍留数的概念及Matlab的实现;介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开(Laurent展开、Laplace变换和Fourier 变换)。
9.1 复数及其矩阵的生成。
在Matlab中,复数的单位为i和j,即:i = j =19.1.1 复数的生成在Matlab中,产生复数的方法有两种:1.由z = x + y*i产生,可简写成z = x + y i ;2.由z = r*exp (i*theta)产生,可简写成z = r*exp (theta i ),其中r为复数z的模,theta 为复数z辐角的弧度值。
9.1.2 复数矩阵的输入Matlab的矩阵元素允许是复数、复变量和由它们组成的表达式。
复数矩阵的输入方法有两种:1. 与实数矩阵相同的输入方法(见第1章)2. 将实部、虚部矩阵分开输入,再写成和的形式例9-1>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i9.2 复数的运算9.2.1 复数的实部与虚部复数的实部和虚部用命令real和imag提取。
格式:real (z) %返回复数z的实部imag (z) %返回复数z的虚部9.2.2 共轭复数复数的共轭复数由命令conj实现。
格式:conj (z) %返回复数z的共轭复数9.2.3 复向量或复矩阵的转置复向量或复矩阵的转置符合两个规则:1. 符合实矩阵转置原则2. 转置后的元素均为共轭复数格式:Z’%Z的共轭转置例9-2>> A=[1,3;-2,4]-[5 8;6 -9]*iA =1.0000 - 5.0000i 3.0000 - 8.0000i-2.0000 - 6.0000i 4.0000 + 9.0000i>> A'ans =1.0000 + 5.0000i -2.0000 + 6.0000i3.0000 + 8.0000i4.0000 - 9.0000i若要得Z的非共轭转置,可用Z .’或conj (Z’)。
Matlab在复变函数中的应用实验课(0903)

Matlab在复变函数中应用运城学院应用数学系1MATLAB 在复变函数中的应用复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸,但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当它引进了“留数”的概念,且在引入了Taylor 级数展开Laplace 变换和Fourier 变换之后而使其显得更为重要了。
使用MATLAB 来进行复变函数的各种运算;介绍留数的概念及MAT –LAB 的实现;介绍在复变函数中有重要应用的Taylor 展开(Laurent 展开Laplace 变换和Fourier 变换)。
1 复数和复矩阵的生成在MATLAB 中,复数单位为)1(-==sqrt j i ,其值在工作空间中都显示为i 0000.10+。
1.1 复数的生成复数可由i b a z *+=语句生成,也可简写成bi a z +=。
另一种生成复数的语句是)exp(theta i r z **=,也可简写成)exp(i theta r z *=,其中theta 为复数辐角的弧度值,r 为复数的模。
1.2 创建复矩阵创建复矩阵的方法。
如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵例如:)]33exp(23),6exp(9,32,53[i i i i A ***+-*+= 2 复数的运算1.复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。
调用形式 )(x real返回复数x 的实部)(x imag返回复数x 的虚部2.共轭复数复数的共轭可由函数conj 实现。
调用形式)(x conj返回复数x 的共轭复数3.复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs 和angle 实现。
调用形式 )(x abs 复数x 的模)(x angle复数x 的辐角例:求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角(1)i 231+ (2)i ii --131 (3)i i i 2)52)(43(-+(4)i i i+-2184由MATLAB 输入如下:iiia+iiiii*-+=]---*=1[ii2/)52(),/(21^448^),3(3/12),31/(a=.015385000.2.1--5000--.0-23080000i0000ii.3.3i5000000013..1(areal%实部)ans=0.2308 1.5000 –3.5000 1.0000imag%虚部)(aans=–0.1538 –2.5000 –13.0000 –3.0000)conj%共轭复数(aans=0.2308+0.1538i 1.5000+2.5000i–3.5000+13.0000i1.0000+3.0000iabs%模(a)ans=0.2774 2.9155 13.4629 3.1623angle%辐角(a)ans=–0.5880 –1.0304 –1.8228 -1.24904.复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。
Matlab在《复变函数与积分变换》中的应用

Matlab在《复变函数与积分变换》中的应用Matlab在《复变函数与积分变换》中的应用摘要:复变函数与积分变换工程是应用必备的基础课,在解决实际问题中也有十分重要的意义。
MATLAB是集数值计算、图形处理、图像处理、符号计算文字处理、数字建模、实时控制、动态仿真、信号处理等功能为一体的数学应用软件【1】。
将MATLAB应用到复变函数与积分变换的学习中,可以为复变函数与积分变换的计算和应用带来极大的方便。
关键字:复变函数积分变换 MATLAB 应用前言:把复变函数与积分变换的学习和MATLAB结合起来,就可以把复杂繁琐的计算交于计算机,而把主要精力集中在建立和优化数学模型上。
可以利用MATLAB可以对一个复常数进行基本的求模,求幅角,求实部、虚部的运算。
更进一步地,还可以求复数的指数、对数,对复数进行三角运算。
在对于复变函数的研究中,可以求解复变函数的留数,并用来求复变函数的积分,对复变函数进行泰勒级数展开。
在积分变换方面,可以对函数进行傅里叶变换、逆变换,进行拉普拉斯变换、逆变换。
1.复数的基本运算1.1复数的实部和虚部real (z) 返回复数z 的实部imag (z) 返回复数z 的虚部1.2共轭复数conj (z) 返回复数z 的共轭复数1.3复数的模和辐角abs (z) 返回复数z 的模angle (z) 返回复数z 的辐角1.4 复数的乘除法* 乘法:模相乘,辐角相加/ 除法:模相除,辐角相减1.5 复数的平方根sqrt (z) 返回复数z 的平方根值1.7复数的幂运算z^n 返回复数z 的n 次幂1.8 复数的指数运算和对数运算exp(z) 返回复数z的以e为底的指数值log(z) 返回复数z的以e为底的对数值1.9 复数的三角运算sin (z)、cos (z)、tan (z)、cot (z)、sec (z)、asin (z)、…等函数,返回复数z 的函数值。
1.10复数方程求根solve (‘f (x) = 0’) 求方程f (x) = 0 的根例1求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模、辐角【2】。
Matlab在复变函数中应用

Matlab在复变函数中应用数学实验(一)西安交通大学理学院二??八年十一月MATLAB在复变函数中的应用复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸,但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同,特别是当它引进了“留数”的概念,且在引入了Taylor级数展开Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
使用MATLAB来进行复变函数的各种运算;介绍留数的概念及MATLAB的实现;介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开和Laurent展开;利用Matlab 实现Laplace变换和Fourier变换。
1 复数和复矩阵的生成i,j,sqrt(,1)在MATLAB中,复数单位为,其值在工作空间中都显示为0,1.0000i。
1.1 复数的生成z,a,b,iz,a,bi复数可由语句生成,也可简写成。
z,r,exp(i,theta)另一种生成复数的语句是,也可简写成z,r,exp(thetai),其中theta为复数辐角的弧度值,r为复数的模。
1.2 创建复矩阵创建复矩阵的方法有两种。
(1)如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵A,[3,5,i,,2,3i,9,exp(i,6),23,exp(33i)]例如: (2)可将实、虚矩阵分开创建,再写成和的形式例如:re,rand(3,2) ;im,rand(3,2) ;com,re,i,imcom,[0.6602,0.3093i0.3412,0.3704i0.3420,0.8385i0.5341,0.7027i0.2897,0.5681i0.7271,0.5466i]注意实、虚矩阵应大小相同。
2 复数的运算1,复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式real(x)x 返回复数的实部imag(x)x 返回复数的虚部2(共轭复数复数的共轭可由函数conj实现。
调用形式conj(x)x 返回复数的共轭复数3(复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
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MATLAB 在复变函数中的应用( 姓名 12010245271 2010级2班)[摘要]复变函数中涉及许多复杂的数值计算问题,例如,对其手工求解较为复杂,而MATLAB 语言正是处理非线性问题的很好工具,既能进行数值求解,又能绘制有关曲线,非常方便实用。
另外,利用其可减少工作量,节约时间,加深理解,同样可以培养应用能力。
[关键词] 复数 matlab 语言一、 问题的提出MATLAB 是一种具有强大数值计算,分析和图形处理功能的科学计算语言,其应用领域极为广泛,而且使用方便、调试容易,代码少、效率高,有人称为第四代程序设计语结合起来。
它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。
MATLAB 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用.它是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能……二、 复数和复矩阵的生成复数可由i b a z *+=语句生成,也可简写成bi a z +=。
另一种生成复数的语句是)exp(theta i r z **=,也可简写成)exp(i theta r z *=,其中theta 为复数辐角的弧度值,r 为复数的模。
1 创建复矩阵创建复矩阵的方法。
如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如:)]33exp(23),6exp(9,32,53[i i i i A ***+-*+=2 复数的运算1.复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。
调用形式)(x real返回复数x 的实部)(x imag返回复数x 的虚部2.共轭复数复数的共轭可由函数conj实现。
调用形式conj返回复数x的共轭复数)(x3.复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
调用形式(xabs复数x的模)angle复数x的辐角(x)例一:计算的函数值、函数值的实部、虚部、辐角、模、共轭函数,并作出函数图像,MATLAB程序如下:function fbhs0z0=sin(2+3i)z1=real(z0)z2=imag(z0)z3=angle(z0)z4=abs(z0)z5=conj(z0)z=5*cplxgrid(30);cplxmap(z,sin(z));colorbar('vert');title('sin(z)');运行结果如下:z0 = 9.1545 - 4.1689iz1 = 9.1545z2 =-4.1689z3 = -0.4273z4 = 10.0591z5 = 9.1545 + 4.1689i图1:的函数图像从图中可以看出,为单值函数,的绝对值可以大于1,在图形上轴所表示的函数的实部已经几乎达到60.4.复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。
例复数的乘除法演示。
x*=pi4i)3/exp(x=.2-00004641i.3pi=3iy*exp()5/y=4271.2-7634.1ipiy*=*1i35/)exp(1y=.2+42717634.1ix/yans=i5423.02181.1-1/y x=ansI 3260.11394.0-由此例可见,i 5/)( 相当于)5/()(i * ,和i *5/)( 不相等。
5.复数的平方根复灵敏的平方根运算由函数sprt 实现。
调用形式)(x sprt返回复数x 的平方根值6.复数的幂运算复数的幂运算的形式为n x ^,结果返回复数x 的n 次幂。
例 求下列各式的值 )6/1()^1(-=ans0.8660+0.5000 i7.复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp 和log 实现。
调用形式)exp(x 返回复数x 的以e 为底的指数值)log(x返回复数x 的以e 为底的对数值例 求下列式的值 )log(i -=ansi 5708.10-)43log(i +-=ansi 2143.26094.1+8.复数的三角函数运算复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数复数三角函数表9. 复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve 实现。
见下面的例子.例 求方程083=+x 所有的根)083^('=+'x solve=ans[ –2])]2/1(^31[*-i)]2/1(^31[*+i3 留数留数定义:设a 是)(z f 的孤立奇点,C 是a 的充分小邻域内一条把a 点包含在其内部的闭路,积分⎰Cdzz f i)(21π称为)(z f 在a 点的留数或残数,记作]),([Re a z f s 。
在MATLAB 中,可由函数residue 实现。
residue 留数函数(部分分式展开)),(],,[A B residue K P R = 函数返回留数,极点和2个多项式比值)(/)(s A s B 的部分分式展开的直接项。
)()()()2()2()1()1()()(s K n P s n R P s R P s R s A s B +-++-+-=如果没有重根,则向量B 和A 为分子、分母以s 降幂排列的多项式系数,留数返回为向量R 、极点在向量P 的位置,直接项返回到向量K 。
如果存在M 重极点即有)1()(-+==m j P j P 则展开项包括以下形式mj P s m j R j P s j R j P s j R ))(()1())(()1()()(2--+++-++-),,(],[K P R residue A B = 有3个输入变量和2个输出变量,函数转换部分因式展开还为系数为B 和A 的多项式比的形式。
例:计算函数在处的留数。
解:因为在扩充复平面有三个极点,分别为1,-1,,MATLAB 程序如下:function fbhs1 clearsyms zz1=exp(z)/(z^2-1);B1=limit(z1*(z-1),z,1)B2=limit(z1*(z+1),z,-1)B= B1+ B2运行结果如下:B1 =1/2*exp(1)B2 =-1/2*exp(-1)B =1/2*exp(1)-1/2*exp(-1)2.MATLAB绘图功能在复变函数中的应用随着计算机处理数据和图形的功能越来越强,复变函数和计算机的结合已经成为必然的选择。
比如从定理的推导证明到繁杂的运算,单调乏味,十分影响学习的兴趣。
和计算机结合起来就不同了,利用绘图功能将该函数用图形直观的表达出来,由此可以通过图形来观察出函数图形的一些性质,这使得教学过程直观生动。
例四:用MATLAB作出复变函数和函数的图像。
MATLAB程序如下:function fbhsz=cplxgrid(30);cplxmap(z,z.^4);colorbar('vert');title('z^4');图2函数的图像图3函数函数的图像从图2中可以看出,自变量的取值在水平面的单位园内,x 轴是实轴,y 轴是虚轴。
画函数时,是以坐标系的z 轴表示函数的实部,其大小变化范围为,上面的每一个横条都有相同的实部值,因为平面上的颜色表示虚部,从颜色轴对应的数值看出变化范围也是,还可以从图中看出,函数是一个单值函数,它所形成的曲面对应三个高峰和三个低谷,对应函数的实部有三个极大值和三个极小值。
并且,还可以从图形中看出该函数是单值的。
函数的MATLAB 程序如下:z=cplxgrid(30); cplxroot(5); colorbar('vert'); title('z^(1/5)'); 从图3中可以看出函数为多值函数,0和为该函数的两个支点。
4 Taylor 级数展开Taylor 级数开展在复变函数中有很重要的地位,如分析复变函数的解析性等。
函数)(x f 在0x x =点的Taylor 级数开展为+-''+-'+-+=!3/)0)(0(!2/)0)(0()0)(0(0)(3^2^x x x f x x x f x x x f x x f在MATLAB 中可由函数taylor 来实现。
taylor 泰勒级数展开 )(f taylor 返回f 函数的五次幂多项式近似。
此功能函数可有3个附加参数。
),(n f taylor 返回1-n 次幂多项式。
),(a f taylor 返回a 点附近的幂多项式近似。
),(x r taylor使用独立变量代替函数)(f findsym 。
例 求下列函数在指定点的泰勒开展式(参见参考资料【4】P.143.12)。
(1)10,/12-=z z(2)4/0,pi z tgz =;MATLAB 实现为: )1,2^/1(-x taylor5)^1(64)^1(53)^1(42)^1(323+*++*++*++*+*+x x x x x)4/),(tan(pi x taylor=ans*+*-*+*-*+*-*+3/103)^4/1(3/82)^4/1(22/121pi x pi x pi x5)^4/1(15/644)^4/1(pi x pi x *-*+*-例 再看下面的展开式 )10,/)(sin(x x taylor=ans8^362880/16^5040/14^120/12^6/11x x x x *+*-*+*-展开式说明0=x 是此函数的伪奇点!这里的taylor 展开式运算实质上是符号运算,因此在MATLAB 中执行此命令前应先定义符号变量z x syms,,否则MATLAB 将给出出错信息!5 Laplace 变换及其逆变换1.Laplace 变换)(F laplace L =返回以默认独立变量T 对符号函数F 的Laplace 变换。
函数返回默认为s 的函数。
如果)(s F F =,则Laplace 函数返回t 的函数)(t L L =。
其中定义L 为对t 的积分inf),0),exp()(int()(t s t F s L *-*=。
),(t F laplace L =以t 代替s 的Laplace 变换。
),(t F l a p l a c e 等价于),0),exp()(int()(inf x t x F t L *-*=。
),,(z w F laplace L = 以z 代替s 的Laplace 变换(相对于w 的积分)。
),,(z w F laplace 等价于i,0),exp()(int()(w z w F z L *-*=。
例如:syms a s t w x)5^(x laplace=ans6^/120s))(exp(s a paplace *=ans)/(1a t -)),(sin(t x w laplace *=ans)2^2^/(w t w +),),((t w w x cons laplace *=ans)2^2^/(x t t +)),2/3(^(t sym x laplace=ans)2/5(^/)2/1(^4/3t pi *))))((((''x F sym diff laplace=ans)0(),),((F s s x x F laplace -*2.Laplace 逆变换)(L ilaplace F = 返回以默认独立变量s 的数量符号L 的Laplace 变换,默认返回t 的函数。