MATLAB在复变函数中的应用

MATLAB 在复变函数中的应用（ 姓名 12010245271 2010级2班）[摘要]复变函数中涉及许多复杂的数值计算问题，例如，对其手工求解较为复杂，而MATLAB 语言正是处理非线性问题的很好工具，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，非常方便实用。

另外，利用其可减少工作量，节约时间，加深理解，同样可以培养应用能力。

[关键词] 复数 matlab 语言一、 问题的提出MATLAB 是一种具有强大数值计算，分析和图形处理功能的科学计算语言，其应用领域极为广泛，而且使用方便、调试容易，代码少、效率高，有人称为第四代程序设计语结合起来。

它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。

MATLAB 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用.它是一种集数值计算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能……二、 复数和复矩阵的生成复数可由i b a z *+=语句生成，也可简写成bi a z +=。

另一种生成复数的语句是)exp(theta i r z **=，也可简写成)exp(i theta r z *=，其中theta 为复数辐角的弧度值，r 为复数的模。

1 创建复矩阵创建复矩阵的方法。

如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：)]33exp(23),6exp(9,32,53[i i i i A ***+-*+=2 复数的运算1．复数的实部和虚部复数的实部和虚部的提取可由函数real 和imag 实现。

调用形式)(x real返回复数x 的实部)(x imag返回复数x 的虚部2．共轭复数复数的共轭可由函数conj实现。

调用形式conj返回复数x的共轭复数)(x3．复数的模和辐角复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。

调用形式(xabs复数x的模)angle复数x的辐角(x)例一：计算的函数值、函数值的实部、虚部、辐角、模、共轭函数，并作出函数图像，MATLAB程序如下：function fbhs0z0=sin(2+3i)z1=real(z0)z2=imag(z0)z3=angle(z0)z4=abs(z0)z5=conj(z0)z=5*cplxgrid(30);cplxmap(z,sin(z));colorbar('vert');title('sin(z)');运行结果如下：z0 = 9.1545 - 4.1689iz1 = 9.1545z2 =-4.1689z3 = -0.4273z4 = 10.0591z5 = 9.1545 + 4.1689i图1：的函数图像从图中可以看出，为单值函数，的绝对值可以大于1，在图形上轴所表示的函数的实部已经几乎达到60.4．复数的乘除法复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。

例复数的乘除法演示。

x*=pi4i)3/exp(x=.2-00004641i.3pi=3iy*exp()5/y=4271.2-7634.1ipiy*=*1i35/)exp(1y=.2+42717634.1ix/yans=i5423.02181.1-1/y x=ansI 3260.11394.0-由此例可见，i 5/)( 相当于)5/()(i * ，和i *5/)( 不相等。

5．复数的平方根复灵敏的平方根运算由函数sprt 实现。

调用形式)(x sprt返回复数x 的平方根值6．复数的幂运算复数的幂运算的形式为n x ^，结果返回复数x 的n 次幂。

例 求下列各式的值 )6/1()^1(-=ans0.8660+0.5000 i7．复数的指数和对数运算复数的指数和对数运算分别由函数exp 和log 实现。

调用形式)exp(x 返回复数x 的以e 为底的指数值)log(x返回复数x 的以e 为底的对数值例 求下列式的值 )log(i -=ansi 5708.10-)43log(i +-=ansi 2143.26094.1+8．复数的三角函数运算复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数复数三角函数表9． 复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve 实现。

见下面的例子.例 求方程083=+x 所有的根)083^('=+'x solve=ans[ –2])]2/1(^31[*-i)]2/1(^31[*+i3 留数留数定义：设a 是)(z f 的孤立奇点，C 是a 的充分小邻域内一条把a 点包含在其内部的闭路，积分⎰Cdzz f i)(21π称为)(z f 在a 点的留数或残数，记作]),([Re a z f s 。

在MATLAB 中，可由函数residue 实现。

residue 留数函数（部分分式展开）),(],,[A B residue K P R = 函数返回留数，极点和2个多项式比值)(/)(s A s B 的部分分式展开的直接项。

)()()()2()2()1()1()()(s K n P s n R P s R P s R s A s B +-++-+-=如果没有重根，则向量B 和A 为分子、分母以s 降幂排列的多项式系数，留数返回为向量R 、极点在向量P 的位置，直接项返回到向量K 。

如果存在M 重极点即有)1()(-+==m j P j P 则展开项包括以下形式mj P s m j R j P s j R j P s j R ))(()1())(()1()()(2--+++-++-),,(],[K P R residue A B = 有3个输入变量和2个输出变量，函数转换部分因式展开还为系数为B 和A 的多项式比的形式。

例：计算函数在处的留数。

解：因为在扩充复平面有三个极点，分别为1，-1，，MATLAB 程序如下：function fbhs1 clearsyms zz1=exp(z)/(z^2-1);B1=limit(z1*(z-1),z,1)B2=limit(z1*(z+1),z,-1)B= B1+ B2运行结果如下：B1 =1/2*exp(1)B2 =-1/2*exp(-1)B =1/2*exp(1)-1/2*exp(-1)2.MATLAB绘图功能在复变函数中的应用随着计算机处理数据和图形的功能越来越强，复变函数和计算机的结合已经成为必然的选择。

比如从定理的推导证明到繁杂的运算，单调乏味，十分影响学习的兴趣。

和计算机结合起来就不同了，利用绘图功能将该函数用图形直观的表达出来，由此可以通过图形来观察出函数图形的一些性质，这使得教学过程直观生动。

例四：用MATLAB作出复变函数和函数的图像。

MATLAB程序如下：function fbhsz=cplxgrid(30);cplxmap(z,z.^4);colorbar('vert');title('z^4');图2函数的图像图3函数函数的图像从图2中可以看出，自变量的取值在水平面的单位园内，x 轴是实轴，y 轴是虚轴。

画函数时，是以坐标系的z 轴表示函数的实部，其大小变化范围为，上面的每一个横条都有相同的实部值，因为平面上的颜色表示虚部，从颜色轴对应的数值看出变化范围也是，还可以从图中看出，函数是一个单值函数，它所形成的曲面对应三个高峰和三个低谷，对应函数的实部有三个极大值和三个极小值。

并且，还可以从图形中看出该函数是单值的。

函数的MATLAB 程序如下:z=cplxgrid(30); cplxroot(5); colorbar('vert'); title('z^(1/5)'); 从图3中可以看出函数为多值函数，0和为该函数的两个支点。

4 Taylor 级数展开Taylor 级数开展在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。

函数)(x f 在0x x =点的Taylor 级数开展为+-''+-'+-+=!3/)0)(0(!2/)0)(0()0)(0(0)(3^2^x x x f x x x f x x x f x x f在MATLAB 中可由函数taylor 来实现。

taylor 泰勒级数展开 )(f taylor 返回f 函数的五次幂多项式近似。

此功能函数可有3个附加参数。

),(n f taylor 返回1-n 次幂多项式。

),(a f taylor 返回a 点附近的幂多项式近似。

),(x r taylor使用独立变量代替函数)(f findsym 。

例 求下列函数在指定点的泰勒开展式（参见参考资料【4】P.143.12）。

（1）10,/12-=z z（2）4/0,pi z tgz =；MATLAB 实现为： )1,2^/1(-x taylor5)^1(64)^1(53)^1(42)^1(323+*++*++*++*+*+x x x x x)4/),(tan(pi x taylor=ans*+*-*+*-*+*-*+3/103)^4/1(3/82)^4/1(22/121pi x pi x pi x5)^4/1(15/644)^4/1(pi x pi x *-*+*-例 再看下面的展开式 )10,/)(sin(x x taylor=ans8^362880/16^5040/14^120/12^6/11x x x x *+*-*+*-展开式说明0=x 是此函数的伪奇点！这里的taylor 展开式运算实质上是符号运算，因此在MATLAB 中执行此命令前应先定义符号变量z x syms,，否则MATLAB 将给出出错信息！5 Laplace 变换及其逆变换1．Laplace 变换)(F laplace L =返回以默认独立变量T 对符号函数F 的Laplace 变换。

函数返回默认为s 的函数。

如果)(s F F =，则Laplace 函数返回t 的函数)(t L L =。

其中定义L 为对t 的积分inf),0),exp()(int()(t s t F s L *-*=。

),(t F laplace L =以t 代替s 的Laplace 变换。

),(t F l a p l a c e 等价于),0),exp()(int()(inf x t x F t L *-*=。

),,(z w F laplace L = 以z 代替s 的Laplace 变换（相对于w 的积分）。

),,(z w F laplace 等价于i,0),exp()(int()(w z w F z L *-*=。

例如：syms a s t w x)5^(x laplace=ans6^/120s))(exp(s a paplace *=ans)/(1a t -)),(sin(t x w laplace *=ans)2^2^/(w t w +),),((t w w x cons laplace *=ans)2^2^/(x t t +)),2/3(^(t sym x laplace=ans)2/5(^/)2/1(^4/3t pi *))))((((''x F sym diff laplace=ans)0(),),((F s s x x F laplace -*2．Laplace 逆变换)(L ilaplace F = 返回以默认独立变量s 的数量符号L 的Laplace 变换，默认返回t 的函数。