(完整版)一元二次方程动点问题讲解

1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
C
当L位于CD的左侧时,与AC L
Q
交于点Q,则PQ=X
p
A·
∴S△APQ=½×x×x=½x²
DB
(0＜x≤2)
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
为（415）0蚂cm蚁²?未爬完OA这段距离 A ·P
·0
B
解：设离开A点x秒后，
op=50-2x oq=3x
∴S△OPQ=½×(50-2X)×3X
Q
∴450=½×(50-2X)×3X
∴X²-25X+150=0
C
解得：X₁=10;X₂=15
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
BC上; C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上;
ii)求货轮从出发到两船相遇共航行
·客A轮
了多少海里?(结果保留根号)
· D 货轮
C
B
ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留 根号)
解：设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D作
DF⊥ CB，连接DE，则
点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的
直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米
时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?
解：设AP=X，PB=8-X ∴S◇=底×高
以题意得方程：CQ×PB=16
·A
R
P
即得方程：x×(8-x)=16
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(2)解：∠
BAC=45°,AD=2,
L
∴S△ABC=3，S△ADC=2
p
∴当1＜x＜2时可能平分
1 32 1 1 x2
A·
2
22
x 3 ∴负值不符合题意，应舍去
x 3 时可能平分
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
为 解4：5当0c蚂m蚁²?爬完OA这段距离用 了25秒，再继续爬时；
A·
·0 P
B
OQ=3X； OP=2X-50；
∴S△OPQ=½×(2X-50)×3X
解：设x秒后，三角形的面积为8 D
C
则AP=Xcm PB=6-X
Q
BQ=2X 依题意列方程：½2x(6-x)=8
整理 得到 x2 6x 8 0
解这个方程，得
x1 2, x2 4
∵0≤x≤6
A· P
·B
所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面积等于8cm²
n--5
例3：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A
C DB
例5：客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮
从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品
送达客轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-B-C上的某
点E处,已知AB=BC=200海里, ∠ABC=90°,客轮速度是货
轮速度的2倍.
i)选择:两船相遇之处E点(B )A.在线段AB上; B.在线段
A·
DB
∴2:1=pQ:3-X ∴pQ=2(3-X) ∴(2≤x＜3)
∴S△PQB=½PB×PQ=½（3-x)×2（3-x)=（3-x)²
∴S△=S△ABC-S△PBQ=3-（3-x)²∴(2≤x＜3)
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例3：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A
点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的
直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米
时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?
解：设AP=X，PB=8-X ∴S△ABC=32 S△APQ=½(X)² S△BPQ=½(8-X)²
一元二次方程中的动点问题
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
为45A0·cmP²? 0·
B A·
·0 P
B
Q
Q
C