海淀2014年高三一模理科数学
2014年海淀区高考一模成绩分析及复习指导
2014年高考说明 理科综合学科
调整重点 坚持以往命题方向，继续调整试卷结构，把 握好理综卷与其它学科间的平衡，难度在2013年 基础上保持相对稳定。试题知识的覆盖范围要更 加宽泛，同时避免对生僻知识的考查。注意命题 素材和考查内容与学生生活体验、生产实际的联 系。运用生产生活和科学实验的真实情境考查学 生应用学科知识分析和解决实际问题的能力，关 注学生的科学素养。坚持能力立意，全面考查各 项学科能力，突出实验探究能力的考查。 进一步提高试卷的区分度。
高考改革规划
• (三)2016年 实施新的高考方案，其要点是调整考试方式、 考试内容、试卷结构、考试科目的分值。 • 1.考试科目 (1)文史类：语文、数学(文)、文科综合 (2)理工类：语文、数学(理)、理科综合 (3)英语文理同卷，实行社会化考试，一年两 次考试，学生可多次参加，按最好成绩计入 高考总分，成绩3年内有效。
பைடு நூலகம்
化学学科要通过生产、生活中的一些真实情境和实验观察、 自然体验，考查学生联系实际深化、应用知识的策略和学科素养。 数学学科要注重基本的数学能力、数学素养和学习潜能的考查； 突出主干知识，考查基本的数学思想、方法，强调通性通法； 注意数学应用，考查学生利用数学概念、原理和方法， 结合数据分析、图像解析等内容，解释现实世界中的现象， 解决生产生活中的数学问题；考查学生分析、解决综合问题的能力。
英语学科要突出语言的实际应用， 回归到本学科应有的位置上。 英语学科的考查限于基础知识和 基本能力，体现课程标准的基本要求。
关键词梳理概括：
回归学科本质，体现学科价值，考试 内容定位于学以致用，„„重点考查 学生的基础知识、基本技能、基本方 法，重点考查学生的认识和思维，注 重联系生产生活实际„„ 用学生熟悉 的情境和表述方式进行考查，„„
数学理卷·2014届北京市海淀区高三上学期期末考试(2014.01)扫描版
---------------------------------------------4 分
（Ⅱ）由题意可得点 A(−2,0), M (1, 3) , 2
------------------------------------------6 分
所以由题意可设直线 l : y = 1 x + n , n ≠ 1 .------------------------------------------7 分 2Leabharlann +1>0
，解得
a > −e2 ,-------------------9 分
所以此时 −e2 < a < 0 ；
-----------------------------------------------10 分
②当 a > 0 时， F(x), F '(x) 的情况如下表：
第 8 页 共 11 页
=
1 2
x1
+
n
−
3 2
+
1 2
x2
+n− 3 2
=1+
n −1
+
n −1
x1 − 1
x2 −1
x1 − 1 x2 − 1
= 1 + (n − 1)(x1 + x2 − 2) x1x2 − ( x1 + x2 ) + 1
=1−
(n − 1)(n + 2) n2 + n − 2
=
0，
---------------------------------13 分
所以 sin A = 1 − cos2 A = 4 ,------------------------------------7 分 5
2014北京市海淀区高三(一模)数 学(理)
2014北京市海淀区高三（一模）数学（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）已知集合A={1，2，}，集合B={y|y=x2，x∈A}，则A∩B=（）A．{} B．{2} C．{1} D．∅2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（0，2）C．（0，1）D．（2，0）3．（5分）下列函数f（x）图象中，满足f（）＞f（3）＞f（2）的只可能是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的普通方程为（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y=0 D．x+y﹣2=05．（5分）在数列{a n}中，“a n=2a n﹣1，n=2，3，4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种7．（5分）某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=ln（x+1）上，若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）A．a=0 B．a=1 C．a=2 D．a＞2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．10．（5分）函数y=x﹣x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于．11．（5分）如图，AB切圆O于B，AB=，AC=1，则AO的长为．12．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切，则m= ．13．（5分）如图，已知△ABC中，∠BAD=30°，∠CAD=45°，AB=3，AC=2，则= ．14．（5分）已知向量序列：，，，…，，…满足如下条件：||=4||=2，2•=﹣1且﹣=（n=2，3，4，…）．若•=0，则k= ；||，||，||，…，||，…中第项最小．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sin xcos x，过两点A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1））的直线的斜率记为g （t）．（Ⅰ）求g（0）的值；（Ⅱ）写出函数g（t）的解析式，求g（t）在[﹣，]上的取值范围．16．（13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．17．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．19．（14分）已知A，B是椭圆C：2x2+3y2=9上两点，点M的坐标为（1，0）．（Ⅰ）当A，B两点关于x轴对称，且△MAB为等边三角形时，求AB的长；（Ⅱ）当A，B两点不关于x轴对称时，证明：△MAB不可能为等边三角形．20．（13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）A （n）：A1，A2，A3，…，A n与B（n）：B1，B2，B3，…，B n，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段A i A i+1⊥B i B i+1，其中i=1，2，3，…，n﹣1，则称A（n）与B（n）互为正交点列．（Ⅰ）求A（3）：A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）的正交点列B（3）；（Ⅱ）判断A（4）：A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）是否存在正交点列B（4）？并说明理由；（Ⅲ）∀n≥5，n∈N，是否都存在无正交点列的有序整点列A（n）？并证明你的结论．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=时，y=，∴B={1，4，}，∴A∩B={1}．故选：C．2．【解答】∵z=（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=2，∴复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（2，0）．故选：D．3．【解答】由所给的不等式可得，函数是先减后增型的，故排除A，B，由于C的图象关于x=1对称，左减右增，有f（）=f（）＜f（3），故排除CD图象在（0，1）上递减且递减较快，在（1，+∞）递增，递增较慢，可能满足f（）＞f（3）＞f（2），故选D．4．【解答】将直线l的参数方程为（t为参数），利用代入法，化成普通方程为x﹣y﹣2=0．故选：A．5．【解答】若“{a n}是公比为2的等比数列，则当n≥2时，a n=2a n﹣1，成立．当a n=0，n=1，2，3，4，…时满足a n=2a n﹣1，n=2，3，4，但此时{a n}不是等比数列，∴“a n=2a n﹣1，n=2，3，4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．故选：B．【解答】记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，6．21212112；共5种摆法，故选B7．【解答】∵原价是：48×42=2016（元），2016×0.6=1209.6（元），∵每张订单金额（6折后）满300元时可减免100，∴若分成10，10，11，11，由于48×10=480，480×0.6=288，达不到满300元时可减免100，∴应分成9，11，11，11．∴只能减免3次，故答案选：C．8．【解答】设点B（x，ln（x+1）），则点A，B的中点的坐标是（，），由于此点在曲线M：y=上，故有=，即ln（x+1）=，此方程的根即两函数y=ln（x+1）与y=的交点的横坐标，由于此二函数一为增函数，一为减函数，故两函数y=ln（x+1）与y=的交点个数为1，故符合条件的关联点仅有一个，所以a=1故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】由三视图知：几何体为三棱柱，且三棱柱的高为8，底面三角形的一条边长为6，该边上的高为4，∴几何体的体积V=×6×4×8=96．故答案为：96．10．【解答】由方程组，解得，x1=0，x2=1．故所求图形的面积为S=（ x﹣x2）dx=（x2﹣x3）=．故答案为：．11．【解答】设圆的半径为r，则∵AB切圆O于B，∴AB2=AC•（AC+2r），∵AB=，AC=1，∴3=1+2r，∴r=1，∴AO=AC+1=2．故答案为：2．12．【解答】抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，圆x2+y2+mx﹣=0的圆心O（﹣，0），半径r=，∵圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y2=4x的准线相切，∴圆心O（﹣，0）到准线为x=﹣1的距离d=r，∴d=|﹣1|=，解得m=，故答案为：．13．【解答】过C作CE∥AB，与AD的延长线相交于E，则∠AEC=30°．在△AEC中，∵∠CAD=45°，∴，∴CE=2，∵CE∥AB，AB=3，∴===．故答案为：．14．【解答】∵﹣=，∴=+（k﹣1），又∵||=4||=2，2•=﹣1∴||=2，||=，•=∴•=•[+（k﹣1）]=+（k﹣1）•=22+（k﹣1）（）=0，解得k=9∴=[+（k﹣1）]2=+（k﹣1）2+2（k﹣1）•=22+（k﹣1）2﹣（k﹣1）=（k﹣3）2+3，故当k=3时，上式取最小值，即||最小，故答案为：9；3三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=2sin xcos x，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴g（t）在上的取值范围是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）16．【解答】（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：=（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）=36，众数为33．（2分）（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a=34时，X=136元，当a＞35时，X=35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，（4分）P（X=136）=，P（X=147）=，P（X=154）=，P（X=189）=，P（X=203）=，X的分布列为：X 136 147 154 189 203P（9分）=．（11分）（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入=36×4.5×30=4860元，乙公司被抽取员工该月收入=165.5×30=4965元．（13分）17．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD∴AE⊥平面BCD．（3分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，（4分）不妨设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1．由图1条件计算得，，，EF=，则，．∵AE⊥平面BCD，∴平面DCB的法向量为=（0，0，）．（6分）设平面ADC的法向量为=（x，y，z），则，即令z=1，得=（﹣1，，1）．（8分）∴cos＜＞==，∴二面角A﹣DC﹣B的余弦值为．（9分）（Ⅲ）解：设，其中λ∈[0，1]．∵，∴，其中λ∈[0，1]，（10分）∴，（11分）由，即，（12分）解得，（13分）∴在线段AF上存在点M，使，且．（14分）18．【解答】（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a ≠0，g'（x ）=a （e ax﹣1），由g'（x ）=0得x=0，g'（x ），g （x ）的情况如下： x （﹣∞，0）0 （0，+∞） g'（x ）﹣ 0 + g （x ） ↘ 极小值 ↗ 所以g （x ）的最小值为g （0）=1﹣b ，所以实数b 的取值范围是b ＜1；综上，实数b 的取值范围是b ＜1．法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y=ax+b 的上方，等价于∀x ，a ∈R ，都有e ax ＞ax+b ，即∀x ，a ∈R ，b ＜e ax ﹣ax 恒成立，令t=ax ，则等价于∀t ∈R ，b ＜e t ﹣t 恒成立，令g （t ）=e t ﹣t ，则 g'（t ）=e t ﹣1，由g'（t ）=0得t=0，g'（t ），g （t ）的情况如下： t （﹣∞，0）0 （0，+∞） g'（t ）﹣ 0 + g （t ） ↘极小值 ↗所以 g （t ）=e t ﹣t 的最小值为g （0）=1，实数b 的取值范围是b ＜1．19．【解答】（Ⅰ）解：设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）因为△ABM 为等边三角形，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点A （x 0，y 0）在椭圆上， 所以 消去y 0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）得到 ，解得x 0=2或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当x0=2时，；当时，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），则，且x1∈[﹣，]，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设B（x2，y2），同理可得，且x2∈[﹣，]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因为在[﹣，]上单调所以，有x1=x2⇔|MA|=|MB|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）因为A，B不关于x轴对称，所以x1≠x2．所以|MA|≠|MB|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以△ABM不可能为等边三角形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．【解答】（Ⅰ）设点列A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）的正交点列是B1，B2，B3，由正交点列的定义可知B1（0，2），B3（5，2），设B2（x，y），，，由正交点列的定义可知，，即，解得所以点列A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）的正交点列是B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）．（3分）（Ⅱ）由题可得，设点列B1，B2，B3，B4是点列A1，A2，A3，A4的正交点列，则可设，λ1，λ2，λ3∈Z因为A1与B1，A4与B4相同，所以有因为λ1，λ2，λ3∈Z，方程（2）显然不成立，所以有序整点列A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）不存在正交点列；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）∀n≥5，n∈N，都存在整点列A（n）无正交点列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∀n≥5，n∈N，设，其中a i，b i是一对互质整数，i=1，2，3…，n﹣1若有序整点列B1，B2，B3，…B n是点列A1，A2，A3，…A n正交点列，则，则有①当n为偶数时，取A1（0，0），．由于B1，B2，B3，…B n是整点列，所以有λi∈Z，i=1，2，3，…，n﹣1．等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A1，A2，A3，…A n无正交点列；②当n为奇数时，取A1（0，0），a1=3，b1=2，，由于B1，B2，B3，…B n是整点列，所以有λi∈Z，i=1，2，3，…，n﹣1．等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A1，A2，A3，…A n无正交点列．综上所述，∀n≥5，n∈N，都不存在无正交点列的有序整数点列A（n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）。
【2014海淀一模】北京市海淀区2014届高三下学期期中练习数学文扫描版含答案
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科）2014.4 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.B2.B3.C4.C5.A6.D7. C8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 1 10. 方案三11. 35,712. ③,2()817f x x x=-+13. 15214.π[0,)2{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成π(0,)2不扣分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.解：（Ⅰ）ππππ()sin sin()6663f=-----------------------------------1分ππsin sin()66=-----------------------------------2分ππsin sin66=+---------------------------------3分π2sin16==---------------------------------4分（Ⅱ）1()sin sin22f x x x x=-+---------------------------------6分1sin2x x=+sin()3xπ=+--------------------------------8分因为ππ22x-≤≤所以ππ5π636x-≤+≤--------------------------------10分所以1πsin()123x -≤+≤ --------------------------------12分所以()f x 的取值范围是1[,1]2- --------------------------------13分16.解：(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A55()10.45100P A =-= --------------------------------5分 (Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机 ，选出两人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 共7种.记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M ，则7()0.710P M == --------------------------------13分 17.解：（Ⅰ）因为D ,M 分别为,AC BD 中点，所以DM //EF ---------------------2分 又1EF A EF ⊂平面，1DM A EF ⊄平面所以1//DM A EF 平面. -----------------------4分 （Ⅱ）因为1A E BD ⊥，EF BD ⊥且1A EEF E =所以1BD A EF ⊥平面 -------------7分 又11A F A EF ⊂平面所以1BD A F ⊥ ------------------------9分（Ⅲ）直线1A B 与直线CD 不能垂直 ---------------------------------------10分因为1A BD BCD ⊥平面平面,1A BDBCD BD =平面平面,EF BD ⊥,EF CBD ⊂平面，所以 1EF A BD ⊥平面. ---------------------------------------12分 因为11A B A BD ⊂平面，所以1A B EF ⊥， 又因为//EF DM ，所以1A B DM ⊥. 假设1A B CD ⊥，因为1A B DM ⊥，CDDM D =，所以1A B BCD ⊥平面， ------------------------------------------13分 所以1A B BD ⊥，这与1A BD ∠为锐角矛盾所以直线1A B 与直线CD 不能垂直. ---------------------------------------14分18.解：(Ⅰ) 定义域为()0,+∞ ------------------------------------1分'()ln 1f x x =+ ------------------------------------2分令'()0f x =，得 1ex =------------------------------------3分 '()f x 与()f x 的情况如下：分所以()f x 的单调减区间为1(0,)e ，单调增区间为1(,)e+∞--------------------------6分 (Ⅱ) 证明1：设1()ln g x x x=+，0x > ------------------------------------7分 22111'()x g x x x x-=-= -------------------------------8分 '()g x 与()g x 的情况如下：所以()(1)1g x g ≥=，即 1ln 1x x+≥在0x >时恒成立， ----------------------10分 所以，当1k ≤时，1ln x k x+≥， 所以ln 1x x kx +≥，即ln 1x x kx ≥-，所以，当1k ≤时，有()1f x kx ≥-. ------------------------13分 证明2：令()()(1)ln 1g x f x kx x x kx =--=-+ ----------------------------------7分'()ln 1g x x k =+- -----------------------------------8分令'()0g x =，得1e k x -= -----------------------------------9分'()g x 与()g x 的情况如下：分()g x 的最小值为11(e )1e k k g --=- -------------------11分当1k ≤时，1e 1k -≤，所以11e 0k --≥故()0g x ≥ -----------------------------12分 即当1k ≤时，()1f x kx ≥-. ------------------------------------13分 19.解：（Ⅰ）证明：因为,A B 在椭圆上，所以2211222224,2 4.x y x y ②①ìï+=ïíï+=ïî -----------------------------------1分 因为,A B 关于点(1,0)M 对称，所以12122,0x x y y +=+=， --------------------------------2分将21212,x x y y =-=-代入②得2211(2)24x y -+= ③，由①和③消1y 解得11x =， ------------------------------------------4分 所以 121x x ==. ------------------------------------------5分 （Ⅱ）当直线AB不存在斜率时，(0,A B -，可得AB MA ==∆ABM 不是等边三角形. -----------------------6分当直线AB 存在斜率时，显然斜率不为0.设直线AB ：3y kx =+，AB 中点为00(,)N x y ，联立2224,3,x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)12140k x kx +++=， ------------------7分2221444(12)143256k k k ∆=-+⋅=-由0∆>，得到274k >① -----------------------------------8分 又1221212kx x k -+=+, 1221412x x k⋅=+ 所以0002263,31212k x y kx k k -==+=++， 所以 2263(,)1212k N k k-++ -------------------------------------------10分 假设∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ， 又因为(1,0)M ，所以1MNk k ⨯=-， 即2231216112k k kk +⨯=---+， ---------------------11分 化简 22310k k ++=，解得1=-k 或12k =----------------12分 这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意k 不能使得⊥MN AB ,故∆ABM 不能为等边三角形. ------------14分 20.解：（Ⅰ）有序整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列.-------------------------1分理由如下：由题设可知 1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ,1223(2,3)(33)B B B B ==-，，, 因为 12120=A A B B ,23230=A A B B 所以 12122323⊥⊥A A B B A A B B ，.所以整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列. ----------------------------3分 （Ⅱ）证明 ：由题意可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)B B B B B B λλλ=-==-，,123λλλ∈，，Z 因为1144,与与A B A B 相同，所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9①3+3+3=1②因为λλλ∈123，，Z ，方程②不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列.----------8分 （Ⅲ）存在无正交点列的整点列(5)A . -------------------------------------------9分当5n =时，设1(,),,,i i i i i i A A a b a b +=∈Z 其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,4i = 若有序整点列12345,,,,B B B B B 是点列12345,,,,A A A A A 的正交点列, 则1(,),1,2,3,4i i i i i B B b a i λ+=-= ，由441i+1=11+==∑∑i i i i i A AB B得44=1144=11,.i i i i i i i i i i b a a b λλ==⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①②取1,(0,0)A =3,1,2,3,4i a i =,12342,1,1,1b b b b ==-==- 由于12345,,,,B B B B B 是整点列，所以有,1,2,3,4i i λ∈=Z .等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列(5)A . -----------------------------------13分。
2014北京市海淀区高三第一学期期末数学理科试有答案
海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理科2）2014.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4 D.3π,(1,0)4- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-C.13- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72B8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.DABC左视图16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数e ().1axf x x =-（I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.EC 1B 1A 1CBA19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.。
2014-2015海淀区高三第一学期期末数学(理)试题(有答案)高清版
数学（理）答案及评分参考一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）15（10）11）3 （12）2π3（13）13；4（14）11,,A B D 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）ϕ的值是π6. ………………2分0x 的值是53. (5)分（Ⅱ）由题意可得：11ππ()cos(π())cos(π)sin π3362f x x x x +=++=+=-. ………………7分所以1π()()cos(π)sin π36f x f x x x ++=+- ππcos πcos sin πsin sin π66x x x =--………………8分1πsin πsin π2x x x =--3ππsin ππ)23x x x =-=+. ………………10分 因为11[,]23x ∈-，所以ππ2ππ633x -≤+≤.所以当ππ03x +=，即13x =-时，()g x当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x 取得最小值2-. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为530350⨯=，女同学的人数为520250⨯=. ………………4分（Ⅱ）由题意可得：2323551(3)10A A P X A ===. ………………6分 因为321105a b +++=， 所以15b =. ………………8分 所以113232101105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………10分 （Ⅲ）2212s s =. (13)分（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1AB BB .因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB平面11ABB A ，所以 AB 平面11BB C C . ………………1分 因为 1B C 平面11BB C C ，所以1ABB C . ………………2分在菱形11BB C C 中，11BC B C .因为 1BC 平面1ABC ，AB平面1ABC ，1BC AB B ，CBC 1B 1A 1A所以 1B C 平面1ABC . (4)分 因为1AC 平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC .………………5分（Ⅱ）EF ∥平面ABC ，理由如下： (6)分取BC 的中点G ，连接,GE GA . 因为 E 是1B C 的中点， 所以GE ∥1BB ，且GE 112BB . 因为 F 是1AA 的中点， 所以AF112AA . 在正方形11ABB A 中，1AA ∥1BB ，1AA 1BB .所以 GE ∥AF ，且GEAF .所以 四边形GEFA 为平行四边形.所以 EF ∥GA . ………………8分 因为 EF平面ABC ，GA平面ABC ，所以 EF ∥平面ABC . ………………9分（Ⅲ）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB .由（Ⅰ）可知：AB平面11BB C C . 以点B 为坐标原点，分别以1,BA BB 所在的直线为,x y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设(2,0,0)A ，则1(0,2,0)B . 在菱形11BB C C 中，11=60BB C ∠，所以(0,C -，1(0,1C .GFECB C 1B 1A 1A设平面1ACC 的一个法向量为(,,1)x y =n .因为10,0AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即(,,1)(2,0,(,,1)(0,2,0)0,x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩所以20,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即=n .………………11分由（Ⅰ）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.………………12分所以1113((0,3,2cos ,CBCB CB ⋅⋅<>===⋅n n n . 所以二面角1B AC C --的余弦值为7.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由22143x y +=得：2,a b ==. 所以椭圆M 的短轴长为………………2分 因为1c ==， 所以12c e a ==，即M 的离心率为12. ………………4分（Ⅱ）由题意知：1(2,0),(1,0)C F --，设000(,)(22)B x y x -<<，则2200143x y+=. (7)分因为10000(1,)(2,)BF BC x y x y ⋅=---⋅---2200023x x y =+++………………9分20013504x x =++>，………………11分 所以π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上. (13)分另解：由题意可设直线l 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y .由221,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得：22(34)690m y my +--=. 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+. ………………7分 所以1122(2,)(2,)CA CB x y x y ⋅=+⋅+21212(1)()1m y y m y y =++++22296(1)13434m m m m m -=++⋅+++ 25034m -=<+. ………………9分因为cos (1,0)CA CB C CA CB⋅=∈-⋅，所以π(,π)2C ∠∈. ………………11分所以π(0,)2B ∠∈.所以点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 是偶函数，证明如下： ………………1分对于ππ[,]22x ∀∈-，则ππ[,]22x -∈-. ………………2分因为()cos()sin()cos sin ()f x a x x x a x x x f x -=---=+=，所以()f x 是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）当0a >时，因为 ()cos sin 0f x a x x x =+>，ππ[,]22x ∈-恒成立， 所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0. ………………5分 当0a =时，令()sin 0f x x x ==，由ππ[,]22x ∈-， 得0x =.所以集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1. ………………6分 当0a <时，因为 π'()sin sin cos (1)sin cos 0,(0,)2f x a x x x x a x x x x =-++=-+>∈，所以函数()f x 是π[0,]2上的增函数. ………………8分因为ππ(0)0,()022f a f =<=>，所以()f x 在π(0,)2上只有一个零点.由()f x 是偶函数可知，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为 2. ………………10分综上所述，当0a >时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0；当0a =时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1；当0a <时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2.（Ⅲ）函数()f x 有3个极值点. ………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为123224(,),(,),(,)a a a a a a T ∈，所以21(,)0T d a a =，23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =.………………1分因为24(,)a a T ∈，所以42(,)0T d a a =.所以4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a =++≤++=.所以当244143(,),(,),(,)a a a a a a T ∈时，4()T l a 取得最大值2. ………………3分 （Ⅱ）由(,)T d a b 的定义可知：(,)(,)1T T d a b d b a +=.所以122113311()[(,)(,)][(,)(,)]n T i T T T T i la d a a d a a d a a d a a ==+++∑1111[(,)(,)][(,)(,)]T n T n T n n T n n d a a d a a d a a d a a --+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++21(1)2n C n n ==-. ………………6分设删去的两个数为(),()T k T m l a l a ，则1()()(1)2T k T m l a l a n n M +=--. 由题意可知：()1,()1T k T m l a n l a n ≤-≤-，且当其中一个不等式中等号成立，不放设()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =.所以()2T m l a n ≤-. ………………7分 所以()()1223T k T m l a l a n n n +≤-+-=-. 所以1()()(1)232T k T m l a l a n n M n +=--≤-，即1(5)32M n n ≥-+. ………………8分（Ⅲ）对于满足()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）的每一个集合T ，集合S 中都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立，理由如下：任取集合T ，由()1T i l a n <-（1,2,3,,i n =）可知，12(),(),,()T T T n l a l a l a ⋅⋅⋅中存在最大数，不妨记为()T l f （若最大数不唯一，任取一个）.因为()1T l f n <-，所以存在e S ∈，使得(,)0T d f e =，即(,)e f T ∈. 由()1T l f ≥可设集合{|(,)}G x S f x T =∈∈≠∅. 则G 中一定存在元素g 使得(,)1T d g e =. 否则，()()1T T l e l f ≥+，与()T l f 是最大数矛盾.所以(,)1T d f g =，(,)1T d g e =，即(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=. ………………14分。
北京市海淀区2014届高三一模 数学(文)试题 Word版含解析
一、选择题：1.52i=- ( ) A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -2.已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A AB =-==∈=则 ( )A.{}1- B.{}0 C. {}1 D.Æ3.抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有( ) A.0个B.1个C. 2个D. 4个4.平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60︒，则()⋅+a a b = ( ) A.1B. 3C.5D. 75.函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是( )6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．37.已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8.已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题9.双曲线221 3x y m -=的离心率为2，则m =__________.10.李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______考点：流程图11.在ABC ∆中，3a =，5b =，120C =，则sin ______,_______.sin Ac B==12.某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++.能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为 _________（填写相应函数的序号），若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________.13.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.14.设不等式组20,20x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω.(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝ ;(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是 .。
2014年北京市海淀区高三一模数学(文)试题和答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学 （文科） 2014.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.52i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i - 2. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈=则 A.{}1- B.{}0 C. {}1 D.Æ 3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60︒，则()⋅+a a b = A.1B.3C.5D. 75. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是A BCD6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为 A.1 B.2C.12D.3 7. 已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.双曲线221 3x y m -=的离心率为2，则m =__________.10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______方案一： 方案二： 方案三：11. 在ABC ∆中，3a =，5b =，120C =，则s i n ______,_______.s i n Ac B==12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++. 能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为 _________（填写相应函数的序号），若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________. 13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组20,20x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω.(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝ ;(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.O y x O y xO yxO y x 俯视图主视图侧视图求()f x 在[,]22-上的取值范围.16．（本小题满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题，答题情况如下表：(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ；（Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.18. （本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1k ≤时，求证：()1f x kx ≥-恒成立. 19. （本小题满分14分）已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 关于点(1,0)M 对称时，求证：121x x ==；（Ⅱ）当直线AB 经过点(0,3) 时，求证：MAB ∆不可能为等边三角形. 20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,nA A A A 与()B n ：123,,,,nB B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）试判断(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B ：123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列，并说明理由；（Ⅱ）求证：(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ；（Ⅲ）是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31：几何证明(.
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31:几何证明一、选择题1 .(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题如图,PC 与圆O 相切于点C ,直线PO 交圆O 于,A B 两点,弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中,错误..的结论是( A .BEC ∆∽DEA ∆ B .ACE ACP ∠=∠C .2DE OE EP =⋅D .2PC PA AB =⋅2 .(顺义区2013届高三第一次统练数学理科如图,AC AB ,分别与圆O 相切于点ADE C B ,,是⊙O 的割线,连接CE BE BD CD ,,,.则(A .DE AD AB ⋅=2B .CE AC DE CD ⋅=⋅ C .CE BD CD BE ⋅=⋅ D .CD BD AE AD ⋅=⋅3 .(2012北京理5.如图.90=∠ACB ,AB CD ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E .则(A .DB AD CB CE ⋅=⋅ B .AB AD CB CE ⋅=⋅C .2CD AB AD =⋅ D .2CD CB CE =⋅4 .(北京市石景山区2013届高三一模数学理试题如图,直线AM 与圆相切于点M , ABC 与ADE 是圆的两条割线,且AD BD ⊥,连接EC MD ,.则下面结论中,错误..的结论是 ( A .90=∠ECAB .DBA DMA CEM ∠+∠=∠C .AE AD AM ⋅=2D .BC AB AE AD ⋅=⋅5 .(北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理试题如图,已知AB 是⊙O 的一条弦,点P 为AB 上一点, PC OP ⊥,PC 交⊙O 于C ,若4AP =, 2PB =,则PC 的长是(A .3B.C .2D6 .(2011年高考(北京理如图,,,AD AE BC 分别于圆O 切于点,,D E F ,延长AF 与圆O 交于点G ,给出下列三个结论:①AD AE AB BC CA +=++;②AF AG AD AE ⋅=⋅; ③AFB ∆∽ADG ∆,其中正确的结论的序号是 ( A .①② B .②③ C .①③ D .①②③BABCOP7 .(2013北京房山二模数学理科试题及答案如图,,,,A B C D 是⊙O 上的四个点,过点B 的切线与DC 的延长线交于点E .若110BCD ︒∠=,则DBE ∠= (A .75︒B .70︒C .60︒D .55︒二、填空题D C B PAO9. (2013北京丰台二模数学理科试题及答案如图,已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D ,若4=AD ,3=BD ,4=OC ,则CD 的长为______.19.(海淀区北师特学校13届高三第四次月考理如图,BC 是半径为2的圆O 的直径,点P 在BC 的延长线上,PA 是圆O 的切线,点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点,则ABP ∠= ;PB PC ⋅= .14. (2013北京朝阳二模数学理科如图,PC 切圆O 于点C ,割线PAB 经过圆心O ,,4=PC 8=PB ,则=∠COP tan _______,△OBC 的面积是_________.F26.(2013届北京丰台区一模理科如图,已知直线PD 切⊙O 于点D ,直线PO 交⊙O 于点F E ,.若21PF PD =+=,则⊙O的半径为 ;EFD ∠= .27.(2013北京高考数学(理如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线, PB 与圆O相交于D.若3=PA ,916PD DB =::,则PD =_________;AB =___________.(20题图等22. (2013北京昌平二模数学理科圆O 于点A ,AC 为圆北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31:几何证明参考答案一、选择题 1. 【答案】D解:由切割线定理可知2PC PA PB =⋅,所以D 错误,所以选D.2. 答案C 由切线长定理知2AB AD AE =⋅,所以A 错误.选C.3. 【解析】在ACB ∆中,∠ACB=90º,CD ⊥AB 于点D,所以DB AD CD ∙=2,由切割线定理的CB CE CD ∙=2,所以CE ·CB=AD ·DB.【答案】A 4. D 5. B6. 【答案】A【命题立意】本题考查了平面几何问题,圆以及圆的切线问题的研究,通过圆的切线所具有的性质反映出平面几何中的转化思想以及三角形的相似关系.【解析】因为,,AD AE BC 都是圆的切线,所以B D B E=,CE CF =,所以A B B C C A A++=+++,所以①正确;因为,,AD AE BC 都是圆的切线,所以AD AE =,由切割线定理得2AF AG AD AD AE ⋅==⋅,所以②正确; 由切线定理知ACD BDF BFD ∠=∠=∠,ABF BDF BFD ∠=∠+∠,所以③错误,选择A. 7. B二、填空题8. 2459. 2; 11. 【答案】5【解析】取BD 的中点,连结OM ,则O M B D ⊥,因为8BD =,所以4,549DM MB AM ===+=,所以22290819OM AO AM =-=-=,所以半径5OB ====,即5OC =。
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习 理科数学 Word版含答案.
北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模数学 (理科 2014.5本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.sin(150-的值为A .12-B .12 C. D2.已知命题:p “0a ∀>,有e 1a≥成立”,则p ⌝为 A. 0a ∃≤,有e 1a≤成立 B. 0a ∃≤,有e 1a≥成立 C. 0a ∃>,有e 1a<成立 D. 0a ∃>,有e 1a≤成立 3. 执行如图所示的程序框图,若输出的S 为4,则输入的x 应为A.-2B.16C.-2或8D. -2或164. 在极坐标系中,圆θρsin 2=的圆心到极轴的距离为 A .1C.D. 25.已知(,P x y 是不等式组10,30,0x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点,(1,2A ,O 为坐标原点,则OA OP ⋅的最大值A.2B.3C.5D.66.一观览车的主架示意图如图所示,其中O 为轮轴的中心,距地面32m (即OM 长,巨轮的半径为30m ,AM =2BP =m ,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置,经过t 分钟,该吊舱P 距离地面的高度为(h t m ,则(h t =A.ππ30sin(30122t -+B.ππ30sin(3062t -+ C.ππ30sin(3262t -+ D.ππ30sin(62t -7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=,则8a 的取值范围是A. (2,4B. (,2-∞C. (2,+∞D.(4,+∞8.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点,点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点,则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 满足不等式20x x -<的x 的取值范围是________.10.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =,则双曲线的离心率为________.11.已知5(1ax +的展开式中3x 的系数是10,则实数a 的值是12.已知斜三棱柱的三视图如图所示,该斜三棱柱的体积为______.13. 已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线,则1l 与2l 的距离的最大值为_____.14.已知集合{1,2,3,,100}M =,A 是集合M 的非空子集,把集合A 中的各元素之和记作(S A .①满足(8S A =的集合A 的个数为_____;②(S A 的所有不同取值的个数为_____.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分在锐角ABC ∆中,a A =且b .1D D主视图俯视图(Ⅰ求B 的大小;(Ⅱ若3a c =,求c 的值.16.(本小题满分14分如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ,AB AC ⊥,1AC AB AA ==,,E F 分别是棱BC ,1A A 的中点,G 为棱1CC 上的一点,且1C F //平面AEG . (Ⅰ求1CG CC 的值;(Ⅱ求证:1EG A C ⊥;(Ⅲ求二面角1A AG E --的余弦值.17.(本小题满分13分某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ,两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计,在非限行日,A 车日出车频率0.6,B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下:现将汽车日出车频率理解为日出车概率,且A ,B 两车出车相互独立. (Ⅰ求该单位在星期一恰好出车一台的概率;(Ⅱ设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和,求X 的分布列及其数学期望E (X .18.(本小题满分13分已知函数((sin cos ,(0,f x x a x x x π=-+∈.(Ⅰ当π2a =时,求函数(f x 值域; (Ⅱ当π2a >时,求函数(f x 的单调区间.19.(本小题满分14分已知椭圆G,其短轴两端点为(0,1,(0,1A B -. (Ⅰ求椭圆G 的方程;(Ⅱ若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ,并说明理由.120.(本小题满分13分对于自然数数组(,,a b c ,如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果(,,a b c 的极差1d ≥,可实施如下操作f :若,,a b c 中最大的数唯一,则把最大数减2,其余两个数各增加1;若,,a b c 中最大的数有两个,则把最大数各减1,第三个数加2,此为一次操作,操作结果记为1(,,f a b c ,其级差为1d .若11d ≥,则继续对1(,,f a b c 实施操作f ,…,实施n 次操作后的结果记为(,,n f a b c ,其极差记为n d .例如:1(1,3,3(3,2,2f =,2(1,3,3(1,3,3f =. (Ⅰ若(,,(1,3,14a b c =,求12,d d 和2014d 的值; (Ⅱ已知(,,a b c 的极差为d 且a b c <<,若1,2,3,n =时,恒有n d d =,求d 的所有可能取值;(Ⅲ若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在n 满足0n d =.数学(理科参考答案2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2014北京海淀区一模数学文 试卷及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文科）2014.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.A. B. C. D.2. 已知集合A. B. C. D.3. 抛物线上到其焦点距离为5的点有A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量满足，，且的夹角为，则=A.1B. 3C.5D. 75. 函数的部分图象可能是A B C D6. 已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比为A．1 B．2 C． D．37. 已知和是指数函数，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点.那么曲线关于曲线的关联点的个数为A．0 B．1 C．2 D．4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.双曲线的离心率为2，则__________.10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______方案一：方案二：方案三：11. 在中，，，，则12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①，；②；③.能较准确反映商场月销售额与月份x关系的函数模型为 _________（填写相应函数的序号），若所选函数满足，则=_____________.13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为.(1) 若与有且只有一个公共点，则＝ ;(2) 记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求;（Ⅱ）求在上的取值范围.16．（本小题满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题，答题情况如下表：答对题目89数女213128男337169(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，于（不同于点），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥，如图2所示.（Ⅰ）若M是FC的中点，求证：直线//平面；（Ⅱ）求证：BD⊥；（Ⅲ）若平面平面，试判断直线与直线CD能否垂直？并说明理由.18. （本小题满分13分）已知函数.(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ) 当时，求证：恒成立.19. （本小题满分14分）已知是椭圆上两点，点的坐标为.（Ⅰ）当关于点对称时，求证：；（Ⅱ）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.（Ⅰ）试判断：与：是否互为正交点列，并说明理由；（Ⅱ）求证：：不存在正交点列；（Ⅲ）是否存在无正交点列的有序整数点列？并证明你的结论.。
2014年北京市海淀区高三一模数学(理)试题和答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2014.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则 A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0,2) C.()1,0 D. (2,0)1((2)f >的只可能是A BC D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.48. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为 线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点 的个数为a ，则 A ．0a = B ．1a = C ．2a = D ．2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______. 10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______. 11.如图，AB 切圆O 于B ，AB =1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠=，45CAD ∠=，3,2AB AC ==，则BDDC=________. 14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n =）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sincos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t .（Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式,求()g t 在33[,]22-上的取值范围. 16. （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、10天的数据，制表如下：35件以内（含35AB D俯视图主视图侧视图件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.18. （本小题满分13分）已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1) 处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值；(Ⅱ)对任意实数a ， 曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点， 点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长；（Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由； （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市海淀区2014届高三上学期期中考试 理科数学
海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D.()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C ) A. 2-B. 12-C.12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（D ） A. 2[,0)3- B.[1,0)- C.[2,3) D. (0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③()f x 在(,0)2π-上单调递减.其中，正确结论的个数为（C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市高三一模理科数学分类汇编2：导数
北京市高三一模数学理分类汇编2：导数.【北京市海淀区一模理】（12）设某商品的需求函数为1005QP ，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中'EQ Q P EP Q，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 . 【答案】(10,20)【北京市门头沟区一模理】10．曲线3y x =与直线1x =及x 轴所围成的图形的面积为 ． 【答案】14【北京市门头沟区一模理】18．(本小题满分13分）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． （Ⅰ）当102a <≤时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()24g x x bx =-+，当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f x g x ≥恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）2/2211(1)()a ax x a f x a x x x --+--=--= ……………2分2[(1)](1)(0)ax a x x x---=-> 令/()0f x =得121,1ax x a -== ……………3分 当12a =时，()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞上单减 ………4分当102a <<时，11aa->，在(0,1)和1(,)aa-+∞上，有()0f x '<，函数()f x 单减，在1(1,)a a-上， ()0f x '>，函数()f x 单增 ……………6分（Ⅱ）当14a =时，13a a -=，13()ln 144f x x x x=-+- 由（Ⅰ）知，函数()f x 在(0,1)上是单减，在(1,2)上单增 所以函数()f x 在(0,2)的最小值为1(1)2f =-…………………8分 若对任意1(0,2)x ∈，当2[1,2]x ∈时，12()()f x g x ≥恒成立， 只需当[1,2]x ∈时，max 1()2g x ≤-即可 所以1(1)21(2)2g g ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，…………………11分代入解得 114b ≥所以实数b 的取值范围是11[,)4+∞． …………………13分 【北京市朝阳区一模理】18. （本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x xf x x -+'=+, 所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax ax ax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x --<,或211a x +->；由()0f x '<得221111a a x a a-+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,a a --∞和211()a a +-+∞, 单调递减区间221111(a a a a --+-. ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>221111a a x +---<<； 由()0f x '<得211a x +-<,或211a x -->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,a a +--∞和211()a a --+∞, 单调递增区间221111(a a a a +---. ……………12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. 【北京市东城区一模理】(18)（本小题共14分）已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零． （Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立； (Ⅲ) 若函数()()aF x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）解：23e ()2e f x x x'=+-. …………2分由题意有0()0f x '=即2003e 2e 0x x +-=，解得0e x =或03e x =-（舍去）．…4分得(e)0f =即2221e 2e 3e ln e 02b +--=，解得21e 2b =-． …………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知2221e ()2e 3e ln (0)22f x x x x x =+-+>，()f x '23e (e)(3e)2e (0)x x x x x x-+=+-=>． 在区间(0,e)上，有()0f x '<；在区间(e,)+∞上，有()0f x '>． 故()f x 在(0,e)单调递减，在(e,)+∞单调递增，于是函数()f x 在(0,)+∞上的最小值是(e)0f =． …………9分 故当0x >时，有()0f x ≥恒成立． …………10分(Ⅲ)解： 23e ()()2e a a F x f x x x x-'=+=++(0)x >．当23e a >时，则223e ()2e 23e 2e a F x x a x-=++≥-，当且仅当23e x a -时等号成立，故()F x 的最小值223e 2e m a =-2e >，符合题意； …………13分当23e a =时，函数()2e F x x =+在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意；当23e a <时，函数23e ()2e a F x x x-=++在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a 的取值范围是2(3e ,)+∞． …………14分【北京市石景山区一模理】18．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …………1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； ……5分（2）当0a <时2()()'()x a x a f x x+--=.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：x (0,)a - a - (,)a -+∞ '()f x - 0+ ()f x 极小值由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是)a -；单调递增区间是,)a -+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x ≤-在[1,2]上恒成立. …………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分【北京市西城区高三一模理】18.（本小题满分13分）已知函数()e (1)axa f x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.【答案】（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)x f x x x'=⋅+-． ……2分 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ……4分 （Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()e axx a x f x a x++-'=，0x ≠． ………6分 ① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞……8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． …………10分 ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ……11分 ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． …………13分 【北京市海淀区一模理】(18)（本小题满分13分）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R .221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e (2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<. ………………………………………2分令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0xf x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,).………………………………………3分 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：x2(,)k-∞2k 2(,1)k- 1-(1,)-+∞'()f x +-+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-.………………………………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：x(,1)-∞-1-2(1,)k-2k 2(,)k+∞ '()f x +-+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k-.………………………………………7分（Ⅱ）当1k时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值.当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， ………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.………………………………………9分当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.………………………………………10分因为2e e k -<，1102k <-<，所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<， 所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. ………………………………………12分 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.………………………………………13分【北京市房山区一模理】18．（本小题共13分）已知函数mx x x f -+=)1ln()(．（I ）当1m =时，求函数)(x f 的单调递减区间； （II ）求函数)(x f 的极值；（III ）若函数()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围．【答案】解：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()+∞-,1， 当1m =时，()ln(1)f x x x =+-，∴1()11f x x'=-+ ……………………2分 由()0f x '<得1101x -<+，即01xx-<+解得0x >或1x <-， 又1x >-，0x ∴>∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． ……………………4分（II ）m xx f -+='11)(，)1(->x （1）0≤m 时，0)(≥'x f 恒成立)(x f 在),1(∞+-上单调递增，无极值. ……………………6分（2）0>m 时，由于111->-m所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛--11,1m 上单调递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,11m 上单调递减， 从而1ln )11()(--=-=m m mf x f 极大值． ……………………9分 （III ）由（II ）问显然可知，当0≤m 时，()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上为增函数，∴在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦不可能恰有两个零点． ……………………10分当0>m 时，由（II ）问知()=f x 极大值1(1)f m-， 又(0)0f =，0∴为()f x 的一个零点． ……………………11分∴若()f x 在20,1e ⎡⎤-⎣⎦恰有两个零点，只需22(1)01011f e e m ⎧-≤⎪⎨<-<-⎪⎩ 即222(1)011m e m e ⎧--≤⎪⎨<<⎪⎩2211m e ∴≤<- ……………………13分 （注明：如有其它解法，酌情给分）。
2014北京市海淀区高三(一模)数 学(文)
2014北京市海淀区高三（一模）数学（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）=（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=sinπx，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣1} B．{0} C．{1} D．∅3．（5分）抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点有（）A．0个B．1个C．2个D．4个4．（5分）平面向量，满足||=2，||=1且，的夹角为60°则•（+）=（）A．1 B．3 C．5 D．75．（5分）函数f（x）=2x+sinx的部分图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S1，S2+a2，S3成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．1 B．2 C．D．37．（5分）已知f（x）=a x和g（x）=b x是指数函数，则“f（2）＞g（2）”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=lnx上，若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）双曲线﹣=1的离心率为2，则m= ．10．（5分）李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是11．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，C=120°，则= ，c= ．12．（5分）某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f（x）=p•q x（q＞0，q≠1）；②f（x）=log p x+q（p＞0，q≠1）；③f（x）=x2+px+q．能较准确反映商场月销售额f（x）与月份x关系的函数模型为（填写相应函数的序号），若所选函数满足f（1）=10，f（3）=2，则f（x）= ．13．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为．14．（5分）设不等式组表示的区域为Ω1，不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω2．（1）若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则a= ；（2）记S（a）为Ω1与Ω2公共部分的面积，则函数S（a）的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣sin（x﹣）（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求f（x）在[﹣，]上的取值范围．16．（13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题情况如下表：答对题目数[0，8）8 9 10 女 2 13 12 8男 3 37 16 9 （Ⅰ）如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；（Ⅱ）从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率．17．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E（不同于点D），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；（Ⅱ）求证：BD⊥A1F；（Ⅲ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k≤1时，求证：f（x）≥kx﹣1恒成立．19．（14分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C：x2+2y2=4上两点，点M的坐标为（1，0）．（Ⅰ）当A，B关于点M（1，0）对称时，求证：x1=x2=1；（Ⅱ）当直线AB经过点（0，3）时，求证：△MAB不可能为等边三角形．20．（13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）A （n）：A1，A2，A3，…，A n与B（n）：B1，B2，B3，…，B n，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段A i A i+1⊥B i B i+1，其中i=1，2，3，…，n﹣1，则称A（n）与B（n）互为正交点列．（Ⅰ）试判断A（3）：A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）与B（3）：B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）是否互为正交点列，并说明理由；（Ⅱ）求证：A（4）：A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）不存在正交点列B（4）；（Ⅲ）是否存在无正交点列B（5）的有序整数点列A（5）？并证明你的结论．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】=．故选：B．2．【解答】∵集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=sinπx，x∈A}={0}，∴A∩B={0}，故选：B．3．【解答】抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，则抛物线顶点到准线的距离为2，因为抛物线到焦点的距离和到准线的距离相等，则根据抛物线的对称性可知抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点有2个．故选：C．4．【解答】==22+2×1×cos60°=5．故选：C．5．【解答】函数f（x）=2x+sinx是奇函数，故其图象关于原点对称，故排除B；又当0＜x＜时，函数值为正，仅有A满足，故它的图象可能是A中的图．故选：A．6．【解答】∵S1，S2+a2，S3成等差数列，∴2（S2+a2）=S1+S3，又数列{a n}为等比数列，∴2（a1+2a1q）=a1+（a1+a1q+a1q2），整理得：a1q2﹣3a1q=0，又a1≠0，∴q2﹣3q=0，∵q≠0，解得：q=3．故选：D．7．【解答】∵f（x）=a x和g（x）=b x是指数函数，∴a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，若“f（2）＞g（2）”，则a2＞b2，即a＞b，成立，若a＞b，则f（2）＞g（2）成立，∴“f（2）＞g（2）”是“a＞b”的充分必要条件，故选：C．8．【解答】如图所示：设线段AB与曲线 y=的交点为C，如图所示，令点B（x，lnx），则点C（，lnx）．由于点C在函数y=lnx的图象上，故有lnx=，即 lnx=．故曲线G关于曲线M的关联点的个数，即为函数y=lnx 和曲线y=的交点的个数．在同一个坐标系中，画出函数y=lnx 和曲线y=的图象，数形结合可得函数y=lnx 和曲线y=的交点的个数为1，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】∵双曲线﹣=1的离心率为2，∴=2，解得m=1．故答案为：1．10．【解答】方案一，所用时间为8+5+13+7+15+6=54分钟；方案二，所用时间为8+15+7=30分钟；方案三，所用时间为15+7=22分钟．故答案为：方案三．11．【解答】由正弦定理可知==，由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC=25+9﹣=49，∴c=7．故答案为：，7．12．【解答】（1）因为f（x）=pq x，f（x）=log q x+q是单调函数，f（x）=x2+px+q中，f′（x）=2x+3p，令f′（x）=0，得x=p，f（x）有一个零点，可以出现一个递增区间和一个递减区间，所以应选f（x）=x2+px+q模拟函数．（2）∵f（1）=10，f（3）=2，∴解得，p=﹣8，q=17，∴f（x）=x2﹣8x+17故答案为：③，x2﹣8x+1713．【解答】由已知中的三视图可知：该几何体是以侧视图为底面的三棱柱，底面面积S=×6×4=12，底面周长c=6+2=16，高h=8，故这个零件的表面积为2S+ch=152，故答案为：15214．【解答】（1）作出不等式组对应的平面区域，若Ω1与Ω2有且只有一个公共点，则圆心O到直线x+ay+2=0的距离d=1，即，即a2=3，解得a=．（2）当不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω2．若a=0时，Ω1与Ω2公共部分的区域面积最小为0，当a＞0时，不等式组对应的平面区域在圆的下方，此时Ω1与Ω2公共部分的区域最大为半圆，面积为；若a＜0，不等式组对应的平面区域在圆的上方，此时Ω1与Ω2公共部分的区域最大为半圆，面积为；总上S（a）∈，故答案为：，．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）由题意可得===．（Ⅱ）∵==，∵，∴，，所以，f（x）的取值范围是．16．【解答】（Ⅰ）答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A则．（Ⅱ）设答对题目数少于8道的司机为 A、B、C、D、E，其中A、B为女司机，选出两人包含：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE共7种．记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M，则．17．【解答】（Ⅰ）证明：因为D，M分别为AC，CF中点，所以DM∥EF，（2分）又EF⊂平面A1EF，DM⊄平面A1EF所以DM∥平面A1EF．（4分）（Ⅱ）证明：因为A1E⊥BD，EF⊥BD，且A1E∩EF=E，所以BD⊥平面A1EF，（7分）又A1F⊂平面A1EF所以BD⊥A1F．（9分）（Ⅲ）解：直线A1B与直线CD不能垂直，（10分）因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD=BD，EF⊥BD，EF⊂平面CBD，所以 EF⊥平面A1BD．（12分）因为A1B⊂平面A1BD，所以A1B⊥EF，又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM．假设A1B⊥CD，因为A1B⊥DM，CD∩DM=D，所以A1B⊥平面BCD，（13分）所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾所以直线A1B与直线CD不能垂直．（14分）18．【解答】（Ⅰ）定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得，f′（x）与f（x）的情况如下：xf′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以f（x）的单调减区间为，单调增区间为（Ⅱ）方法一：要证xlnx≥kx﹣1（x＞0），即证，设，x＞0，，g'（x）与g（x）的情况如下：x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以g（x）≥g（1）=1，即在x＞0时恒成立，所以，当k≤1时，，所以xlnx+1≥kx，即xlnx≥kx﹣1，所以，当k≤1时，有f（x）≥kx．方法二：令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=xlnx﹣kx+1，g′（x）=lnx+1﹣k，令g′（x）=0，得x=e k﹣1 ，g′（x）与g（x）的情况如下：x （0，e k﹣1）e k﹣1（e k﹣1，+∞）g′（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗g（x）的最小值为g（e k﹣1）=1﹣e k﹣1，当k≤1时，e k﹣1≤1，所以1﹣e k﹣1≥0故g（x）≥0．即当k≤1时，f（x）≥kx﹣1．19．【解答】证明：（Ⅰ）因为A，B在椭圆上，所以因为A，B关于点M（1，0）对称，所以x1+x2=2，y1+y2=0，将x2=2﹣x1，y2=﹣y1代入②得③，由①和③消y1解得x1=1，所以 x1=x2=1．（Ⅱ）当直线AB不存在斜率时，，可得，△ABM不是等边三角形．当直线AB存在斜率时，显然斜率不为0．设直线AB：y=kx+3，AB中点为N（x0，y0），联立消去y得（1+2k2）x2+12kx+14=0，△=144k2﹣4（1+2k2）•14=32k2﹣56，由△＞0，得到①又，所以，所以假设△ABM为等边三角形，则有MN⊥AB，又因为M（1，0），所以k MN×k=﹣1，即，化简 2k2+3k+1=0，解得k=﹣1或这与①式矛盾，所以假设不成立．因此对于任意k不能使得MN⊥AB，故△ABM不能为等边三角形．20．【解答】（Ⅰ）有序整点列A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）与B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）互为正交点列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）理由如下：由题设可知，，因为，所以 A1A2⊥B1B2，A2A3⊥B2B3．所以整点列A1（0，2），A2（3，0），A3（5，2）与B1（0，2），B2（2，5），B3（5，2）互为正交点列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）证明：由题意可得，设点列B1，B2，B3，B4是点列A1，A2，A3，A4的正交点列，则可设，λ1，λ2，λ3∈Z因为A1与B1，A4与B4相同，所以有因为λ1，λ2，λ3∈Z，方程②不成立，所以有序整点列A1（0，0），A2（3，1），A3（6，0），A4（9，1）不存在正交点列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）存在无正交点列的整点列A（5）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当n=5时，设，其中a i，b i是一对互质整数，i=1，2，3，4若有序整点列B1，B2，B3，B4，B5是点列A1，A2，A3，A4，A5的正交点列，则，由得取A1（0，0），a i=3，i=1，2，3，4，b1=2，b2=﹣1，b3=1，b4=﹣1由于B1，B2，B3，B4，B5是整点列，所以有λi∈Z，i=1，2，3，4．等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列A（5）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）。
北京市海淀区2014年高三二模数学(理)含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2014.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.sin(150)-的值为A ．12-B ．12C． D2.已知命题:p “0a ∀>，有e 1a≥成立”，则p ⌝为A. 0a ∃≤，有e 1a≤成立B. 0a ∃≤，有e 1a≥成立 C. 0a ∃>，有e 1a<成立D. 0a ∃>，有e 1a≤成立3. 执行如图所示的程序框图，若输出的S 为4，则输入的x 应为 A.-2 B.16 C.-2或8D.-2或164. 在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心到极轴的距离为A ．1D. 25.已知(,)P x y 是不等式组10,30,0x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点，(1,2)A ，O 为坐标原点，则OA OP ⋅的最大值A.2B.3C.5D.66.一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径为30m ，AM =2BP =m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为()h t m ，则()h t =A.ππ30sin()30122t -+ B.ππ30sin()3062t -+ C.ππ30sin()3262t -+D.ππ30sin()62t -7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是A. (2,4)B. (,2)-∞C. (2,)+∞D.(4,)+∞8.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N1D分别是线段1D E 与1C F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有 A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.满足不等式20x x -<的x 的取值范围是________.10.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率为________.11.已知5(1)ax +的展开式中3x 的系数是10，则实数a 的值是12.已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______.13.已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为_____.14.已知集合{1,2,3,,100}M =，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作()S A .①满足()8S A =的集合A 的个数为_____；②()S A 的所有不同取值的个数为_____.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，a A =且b .（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若3a c =，求c 的值.16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，,E F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F //平面AEG .（Ⅰ）求1CGCC 的值；（Ⅱ）求证：1EG A C ⊥；（Ⅲ）求二面角1A AG E --的余弦值.17.（本小题满分13分） 主视图俯视图1某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6，B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A ，B 两车出车相互独立. (Ⅰ)求该单位在星期一恰好出车一台的概率；(Ⅱ)设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望E (X ).18.（本小题满分13分）已知函数()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈.（Ⅰ）当π2a =时，求函数()f x 值域； （Ⅱ）当π2a >时，求函数()f x 的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆G(0,1),(0,1)A B -. （Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由.20.（本小题满分13分）对于自然数数组(,,)a b c ，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果(,,)a b c 的极差1d ≥，可实施如下操作f ：若,,a b c 中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若,,a b c 中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为1(,,)f a b c ，其级差为1d .若11d ≥，则继续对1(,,)f a b c 实施操作f ，…，实施n 次操作后的结果记为(,,)n f a b c ，其极差记为n d .例如：1(1,3,3)(3,2,2)f =，2(1,3,3)(1,3,3)f =.（Ⅰ）若(,,)(1,3,14)a b c =，求12,d d 和2014d 的值； （Ⅱ）已知(,,)a b c 的极差为d 且a b c <<，若1,2,3,n =时，恒有n d d =，求d 的所有可能取值；（Ⅲ）若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足0n d =.海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题(学生版) Word
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题一、选择题1 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立,则称数列{}n a 为周期数列,周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>,11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 （ ）A ．若34a =,则m 可以取3个不同的值 B．若m =则数列{}n a 是周期为3的数列 C ．T ∀∈*N 且2T ≥,存在1m >,{}n a 是周期为T 的数列 D ．Q m ∃∈且2m ≥,数列{}n a 是周期数列2 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列}{n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >,9910010a a ->,99100101a a -<-.给出下列结论:① 01q <<; ② 9910110a a ⋅->; ③ 100T 的值是n T 中最大的;④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198. 其中正确的结论是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后)1(≥n ，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为)(n f ，则=)3(f ；=)(n f .4 ．5 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于各数互不相等的整数数组(n i i i i ,,,,321⋅⋅⋅)(n 是不小于3的正整数),若对任意的q p ,∈{n ，，⋅⋅⋅3,2,1},当q p <时有q p i i >,则称q p i i ,是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.则数组(5,2,4,3,1) 2 4（3题图）6 ．（2013朝阳二模数学理科）数列{21}n-的前n 项1,3,7,,21n - 组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ,从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n = 个数,其所有可能的k 个数的乘积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),记12n n S T T T =+++ .例如当1n =时,1{1}A =,11T =,11S =;当2n =时,2{1,3}A =,113T =+,213T =⨯,213137S =++⨯=.则当3n =时,3S =______;试写出n S =______.7 ．（2013届西城区一模理科）记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为m a x {,,}m i n {,a b ca tbc a b =⋅,}bc ca ．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______； （ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．8 ．（海淀区北师特学校13届高三第四次月考理科）对任意x ∈R ，函数()f x满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ． 9 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-， 则(2,2)f = ，(,2)f n = ．10．（2013北京东城高三二模数学理科）在数列{}n a 中,若对任意的*n ∈N ,都有211n n n na a t a a +++-=(t 为常数),则称数列{}n a 为比等差数列,t 称为比公差.现给出以下命题:①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;②若数列{}n a 满足122n n a n-=,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差12t =;③若数列{}n c 满足11c =,21c =,12n n n c c c --=+(3n ≥),则该数列不是比等差数列; ④若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是 .11．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）将整数1,2,3,,25 填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .12．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）在数列{}n a 中,如果对任意的*n ∈N ,都有211n n n na a a a λ+++-=(λ为常数),则称数列{}n a 为比等差数列,λ称为比公差.现给出以下命题:①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,,则该数列不是比等差数列; ②若数列{}n a 满足123-⋅=n n a ,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差0=λ;③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是____ .三、解答题13．（海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理））已知数集12{,,A a a =,}n a 12(1a a =<<,2)n a n <≥具有性质P:对任意的(2)k k n ≤≤,,(1)i j i j n ∃≤≤≤,使得k i j a a a =+成立. (Ⅰ)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由; (Ⅱ)求证:122n a a a ≤++1(2)n a n -+≥;(Ⅲ)若72n a =,求数集A 中所有元素的和的最小值.14．（2013届北京海滨一模理科）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.15．（西城区2013届高三上学期期末考试数学理科）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．16．（2011年高考（北京理））若数列12:,,(2)n n A a a a n ≥ 满足1||1(1,2,,1)k k a a k n +-==- ,则称n A 为E 数列.记12()n n S A a a a =+++ (Ⅰ)写出一个满足150a a ==,且5()0S A >的E 数列5A ;(Ⅱ)若112,2000a n ==,证明: E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =;(Ⅲ)对任意给定的整数(2)n n ≥,是否存在首项为0的E 数列n A ,使得()0n S A =?如果存在,写出一个满足条件的E 数列n A ;如果不存在,说明理由.17．（2013丰台二模数学理科）已知等差数列{}n a 的通项公式为23-=n a n ,等比数列{}n b 中,1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈,U A B =⋃,把集合U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列{}n c .(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式,并写出数列{}n c 的前4项;(Ⅱ)把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ,求数列{}n d 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列{}n c 的前n 项和.nS18．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）设1210(,,,)x x x τ= 是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列,定义1011()|23|kk k S xx τ+==-∑,其中111x x =.(Ⅰ)若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=,求()S τ的值;(Ⅱ)求()S τ的最大值; (Ⅲ)求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.19．（顺义13届高三第一次统练理科）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且点()n S n ,在函数221-=+x y的图像上.(I)求数列{}n a 的通项公式;(II)设数列{}n b 满足:()*,011N ∈=+=+n a b b b n n n ,求数列{}n b 的前n 项和公式;(III)在第(II)问的条件下,若对于任意的*N ∈n 不等式1+<n n b b λ恒成立,求实数λ的取值范围20．（丰台区2013届高三上学期期末理 ）已知曲线2:2(0)C y x y =≥，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足120n x x x <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，一列点(,0)(1,2,)i i B a i =⋅⋅⋅在x 轴上，且10(i i i B A B B -∆是坐标原点）是以i A 为直角顶点的等腰直角三角形．（Ⅰ）求1A 、1B 的坐标； （Ⅱ）求数列{}n y 的通项公式；（Ⅲ）令1,2iy i i ib c a -==，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有11n niii i b c ==<∑∑，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．21．（海淀区2013届高三上学期期末理科）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.22．（石景山区2013届高三上学期期末理）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)23．（朝阳区2013届高三上学期期中考试（理））给定一个n 项的实数列12,,,(N)n a a a n *∈ ,任意选取一个实数c ,变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c --- ,再将得到的数列继续实施这样的变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数c 可以不相同,第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ,其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后,数列中的各项均为0,则称11()T c ,22()T c ,,()k k T c 为 “k 次归零变换”.(Ⅰ)对数列:1,3,5,7,给出一个 “k 次归零变换”,其中4k ≤; (Ⅱ)证明:对任意n 项数列,都存在“n 次归零变换”;(Ⅲ)对于数列231,2,3,,nn ,是否存在“1n -次归零变换”?请说明理由.24．（2013届丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为n （n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：① 1230n a a a a ++++= ；② 1231n a a a a ++++= . （Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ，试证：（1）21≤k S ； （2）111.22ni i a in =≤-∑25．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分14分)设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++ (其中k 、b 、p 是常数) .(I)当0k =,3b =,4p =-时,求123n a a a a ++++ ;(II)当1k =,0b =,0p =时,若33a =,915a =,求数列{}n a 的通项公式;(III)若数列{}n a 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当1k =,0b =,0p =时,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,212a a -=,试问:是否存在这样的“封闭数列”{}n a ,使得对任意*N n ∈,都有0n S ≠,且12311111111218n S S S S <++++< .若存在,求数列{}n a 的首项1a 的所有取值;若不存在,说明理由.26．（昌平区2013届高三上学期期末理）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； （Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++= ，求函数)(m g 的最小值．27．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知实数12,,,n x x x (2n ≥)满足||1(1,2,3,,)i x i n ≤= ,记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑.(Ⅰ)求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值; (Ⅱ)当3n =时,求123(,,)S x x x 的最小值; (Ⅲ)求12(,,,)n S x x x 的最小值. 注:1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x (1i j n ≤<≤)的乘积之和.28．（北京四中2013届高三上学期期中测验数学(理)）已知A (,),B (,)是函数的图象上的任意两点(可以重合),点M 在直线21=x 上,且.(1)求+的值及+的值 (2)已知,当时,+++,求;(3)在(2)的条件下,设=,为数列{}的前项和,若存在正整数、,使得不等式成立,求和的值.29．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）(本小题满分13分)设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数．．a 的所有可能值;(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.30．（2013北京房山二模数学理科试题）设3>m ,对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令k b 为)(,,,21m k a a a k≤ 中的最大值,称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”.例如数列3,的创新数列为3,5,5,7.考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{}n c .(Ⅰ)若5m =,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列{}n c ;(Ⅱ)是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)是否存在数列{}n c ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列{}n c 的个数;若不存在,请说明理由.22221212a a a a a a a a ------31．（东城区2013届高三上学期期末考试数学理科）已知实数组成的数组123(,,,,)n x x x x 满足条件：①10nii x==∑； ②11ni i x ==∑.(Ⅰ) 当2n =时，求1x ，2x 的值； （Ⅱ）当3n =时，求证：123321x x x ++≤； （Ⅲ）设123n a a a a ≥≥≥≥ ,且1n a a >(2)n ≥，求证：111()2ni in i a xa a =≤-∑.32．（东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设1a ，2a ，…20a 是首项为1，公比为2的等比数列，对于满足190≤≤k 的整数k ，数列1b ，2b ，…20b 由⎩⎨⎧-++20k n k n a a 时，当时，当20-20201≤<-≤≤n k k n 确定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2014.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}211,2,,,,2A B y y x x A A B ⎧⎫===∈=⎨⎬⎩⎭集合则A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B.{}2 C.{}1 D.φ 2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A. (1,0)B. (0,2)C.()1,0D. (2,0) 3.下列函数()f x 图象中，满足1()(3)(2)4f f f >>的只可能是A B C D4.已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则直线l 的普通方程为A.02=--y xB.02=+-y xC.0x y +=D.02=-+y x 5.在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -== ”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有A. 4种B.5种C.6种D.9种7.某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2 C.3 D.4 8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln(1)y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则A ．0a =B ．1a =C ．2a =D ．2a >二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.10. 函数2y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______.11.如图，AB 切圆O 于B，AB =1AC =，则AO 的长为_______．12. 已知圆04122=-++mx y x 与抛物线24y x =的准线相切，则=m _______．13.如图，已知ABC ∆中，30BAD ∠= ，45CAD ∠= ，3,2AB AC ==，则BDDC=_____________.14.已知向量序列：123,,,,,n a a a a 满足如下条件：1||4||2==a d ，121⋅=-a d 且1n n --=a a d （2,3,4,n = ）.若10k ⋅=a a ，则k =________；123||,||,||,,||,n a a a a 中第_____项最小.AB俯视图主视图侧视图三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数ππ()2sin cos 66f x x x =，过两点(,()),(1,(1))A t f t B t f t ++的直线的斜率记为()g t . （Ⅰ）求(0)g 的值；（II ）写出函数()g t 的解析式，求()g t 在33[,]22-上的取值范围.16. （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ，将∆ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值．（Ⅲ）在线段AF 上是否存在点M 使得//EM 平面ADC ？若存在,请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由.1图 图 2B F18. （本小题满分13分）已知曲线:e ax C y =.(Ⅰ)若曲线C 在点(0,1)处的切线为2y x m =+，求实数a 和m 的值； (Ⅱ)对任意实数a ，曲线C 总在直线l :y ax b =+的上方，求实数b 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长； （Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =- ， 则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）求(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列(3)B ；（Ⅱ）判断(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 是否存在正交点列(4)B ？并说明理由； （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，是否都存在无正交点列的有序整点列()A n ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学 （理科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. C2. D3. D4. A5. B6. B7. C8. B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 96 10.16 11. 2 12. 34 13. 14. 9；3 (本题第一空3分，第二空2分)三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15．解： （Ⅰ）π()sin3f x x = ---------------------------2分 (1)(0)(0)1f fg -=------------------------------3分πsinsin 03=-=. -------------------------------5分 （Ⅱ）(1)()π()sin()sin 1333f t f tg t t t t t ππ+-==+-+- ------------------------------6分πππsincos cos sin sin 33333t t t ππ=+- ------------------------------7分1ππsin 2323t t =-+ ------------------------------8分 ππsin()33t =-- ------------------------------10分因为33[,]22t ∈-，所以ππ5ππ[,]3366t -∈-， ------------------------------11分 所以 π1s i n ()[1,]332t π-∈-， -----------------------------12分 所以()g t 在33[,]22-上的取值范围是1[,1]2- -----------------------------13分16.解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分 （Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，354(35)7X a =⨯+-⨯元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分{说明：X 取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止} X--------------------------------------9分{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}13231()1361471541892031010101010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1655==165.5()10元 --------------------------------------11分 （Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. ------------------------------------13分 17．（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ，又在ABD ∆中，AE BD ⊥于E ，AE ⊂平面ABD所以AE ⊥平面BCD . --------------------------------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE EF ⊥.由题意可知EF BD ⊥，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以,,EF ED EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz---------------------------4分不妨设2AB BD DC AD ====，则1BE ED ==. 由图1条件计算得，AE =BC =3BF =则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0)E D B A F C --------5分 (0,1,DC AD ==.由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA. -----------------------------------6分 设平面ADC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.y y +==⎪⎩ 令1z =，则1y x ==，所以1)=-n .------------------------------------8分 平面DCB 的法向量为EA所以cos ,||||EA EA EA ⋅<>==⋅n n n， 所以二面角A DC B --------------------------------9分 （Ⅲ）设AM AF λ=，其中[0,1]λ∈.由于3AF = ，所以3AM AF λλ== ，其中[0,1]λ∈ --------------------------10分所以,0,(13EM EA AM λλ⎛=+=- ⎝ --------------------------11分 由0EM ⋅= n0λ=-(1- ---------------------------12分解得3=(0,1)4λ∈.-----------------------------13分 所以在线段AF 上存在点M 使EM ADC ∥平面，且34AM AF =.-------------14分 18．解（Ⅰ）e axy a '=， -----------------------------------2分因为曲线C 在点（0，1）处的切线为L ：2y x m =+，所以120m =⨯+且0|2x y ='=. ----------------------------------4分 解得1m =，2a = -----------------------------------5分 （Ⅱ）法1：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ,a R ∈，都有e ax ax b >+，即∀x ,a ∈R ，e 0ax ax b -->恒成立， --------------------------------------6分 令()e axg x ax b =--， ----------------------------------------7分 ①若a=0，则()1g x b =-，所以实数b 的取值范围是1b <； ----------------------------------------8分 ②若0a ≠,()(e 1)axg x a '=-，由'()0g x =得0x =， ----------------------------------------9分 '(),g x 的情况如下：-----------------------------------------11分 所以()g x 的最小值为(0)1g b =-， -------------------------------------------12分 所以实数b 的取值范围是1b <；综上，实数b 的取值范围是1b <． --------------------------------------13分 法2：对于任意实数a ，曲线C 总在直线的y ax b =+的上方，等价于∀x ,a R ∈，都有e ax ax b >+，即∀x ,a ∈R ，e ax b ax <-恒成立， -------------------------------------------6分 令t ax =，则等价于∀t ∈R ，e t b t <-恒成立，令()e tg t t =-，则 ()e 1tg t '=-， -----------------------------------------7分 由'()0g t =得0t =， ----------------------------------------9分 '(),()g t g t 的情况如下：-----------------------------------------11分 所以 ()e tg t t =-的最小值为(0)1g =， ------------------------------------------12分 实数b 的取值范围是1b <． --------------------------------------------13分 19．解：（Ⅰ） 设00(,)A x y ,00(,)-B x y ， ---------------------------------------1分因为∆ABM为等边三角形，所以00|||1|3=-y x . ---------------------------------2分 又点00(,)A x y 在椭圆上，所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去0y ， -----------------------------------------3分 得到 2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，----------------------------------4分 当02=x时，||=AB 当043=-x时，||9=AB . -----------------------------------------5分{说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB :=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y 得222(23)6390+++-=k x kmx m ， ------------------6分由0∆>得到 222960--<m k ① ----------------------------7分 所以122623+=-+kmx x k ,121224()223+=++=+my y k x x m k， ----------------------------8分 所以2232(,)2323-++km mN k k ，又(1,0)M如果∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ， --------------------------9分所以1MN k k ⨯=-， 即2222313123mk k km k +⨯=---+， ------------------------------10分 化简2320k km ++=，② ------------------------------11分由②得232k m k+=-，代入① 得2222(32)23(32)0k k k +-+<， 化简得 2340+<k ，不成立， -------------------------------------13分{此步化简成42291880k k k ++<或4291880k k ++<或22(32)(34)0k k ++<都给分} 故∆ABM 不能为等边三角形.-------------------------------------14分法2：设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ===----------------8分 设22(,)B x y，同理可得||MB =2[3,3]x ∈- -----------------9分 因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调 所以，有12x x =⇔||||MA MB =， ---------------------------------11分 因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠.所以||||MA MB ≠， ---------------------------------13分 所以∆ABM 不可能为等边三角形. ---------------------------------14分20.解：（Ⅰ）设点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123,,B B B ,由正交点列的定义可知13(0,2),(5,2)B B ,设2(,)B x y ，1223(3,2),(2,2)=-= A A A A ，1223(,2)(5,2)=-=-- B B x y B B x y ，， 由正交点列的定义可知 12120A A B B ⋅= ,23230A A B B ⋅=,即32(2)0,,2(5)2(2)0x y x y --=⎧⎨-+-=⎩ 解得25=⎧⎨=⎩x y所以点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 的正交点列是123(0,2),(2,5),(5,2)B B B .------3分（Ⅱ）由题可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)λλλ=-==- B B B B B B ，,λλλ∈123，，Z 因为1144,A B A B 与与相同，所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9,（1）3+3+3=1.（2）因为λλλ∈123，，Z ，方程（2）显然不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列；---------------8分 （Ⅲ）5n n ∀≥∈，N ，都存在整点列()A n 无正交点列. -------------------------9分5n n ∀≥∈，N ，设1(,),i i i i A A a b += 其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,1i n =-若有序整点列123,,, n B B B B 是点列123,,,n A A A A 正交点列,则1(,),1,2,3,,1λ+=-=- i i i i i B B b a i n ，则有 11=1111=11,(1).(2)n n i i i i i n n i i i i i b a a b λλ--=--=⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑ ①当n 为偶数时，取1,(0,0)A 1,=3=,1,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩i i i a b i n i 为奇数，，为偶数. 由于123,,, n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =- .等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列；②当n 为奇数时，取1,(0,0)A 11=3,2=a b ,1,=3=,2,3,,1-1⎧=-⎨⎩ i i i a b i n i 为奇数，，为偶数, 由于123,,, n B B B B 是整点列，所以有i λ∈Z ，1,2,3,,1i n =- .等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列123,,,n A A A A 无正交点列.综上所述，5n n ∀≥∈，N ，都不存在无正交点列的有序整数点列()A n ----------13分。