邻接矩阵求最短距离
邻接矩阵求最短路径c语言
邻接矩阵求最短路径c语言邻接矩阵表示图中各个节点之间的关系，在求解最短路径问题中，邻接矩阵是非常重要的数据结构之一。
下面是一个简单的C语言程序，用于利用邻接矩阵求解最短路径问题。
首先，我们需要定义一个邻接矩阵。
假设我们有一个图，其中有5个节点，节点编号从1到5，邻接矩阵可以表示为一个5x5的二维数组，其中arr[i][j]表示从节点i到节点j的距离。
如果两个节点之间没有直接的边，则arr[i][j]的值为无穷大。
接下来，我们需要使用Dijkstra算法来求解最短路径。
该算法使用贪心策略，在每一次迭代中，选择当前距离源点最近的节点，并以该节点为中心更新其周围的节点的距离。
具体实现如下：1. 定义一个长度为n的数组dist，其中dist[i]表示从源点到节点i的距离。
2. 将dist数组初始化为无穷大，源点的dist值为0。
3. 定义一个长度为n的数组visited，标记已经被访问过的节点。
4. 循环n次，每次选择一个距离源点最近的未被访问过的节点u。
5. 标记节点u为已经访问过。
6. 遍历节点u的所有邻居v，如果从源点到v的距离通过u可以更新，则更新dist[v]的值。
7. 返回dist数组，即为从源点到各个节点的最短距离。
下面是一个简单的C语言程序，用于实现邻接矩阵求最短路径的功能。
```c#include <stdio.h>#define INF 99999#define MAX_N 100int arr[MAX_N][MAX_N]; //邻接矩阵int dist[MAX_N]; //存储最短距离int visited[MAX_N]; //标记已经被访问过的节点int n; //节点数int minDistance() {int minDist = INF;int minIndex = -1;for (int i = 0; i < n; i++) {if (visited[i] == 0 && dist[i] < minDist) {minDist = dist[i];minIndex = i;}}return minIndex;}void dijkstra(int start) {//初始化dist数组和visited数组for (int i = 0; i < n; i++) {dist[i] = INF;visited[i] = 0;}dist[start] = 0;for (int i = 0; i < n - 1; i++) {int u = minDistance();visited[u] = 1;for (int v = 0; v < n; v++) {if (visited[v] == 0 && arr[u][v] != INF && dist[u] + arr[u][v] < dist[v]) {dist[v] = dist[u] + arr[u][v];}}}}int main() {//初始化邻接矩阵n = 5;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {arr[i][j] = INF;}}arr[0][1] = 10;arr[0][4] = 5;arr[1][2] = 1;arr[1][4] = 2;arr[2][3] = 4;arr[3][2] = 6;arr[3][0] = 7;arr[4][1] = 3;arr[4][2] = 9;arr[4][3] = 2;//执行Dijkstra算法dijkstra(0);//输出结果for (int i = 0; i < n; i++) {printf('从节点0到节点%d的最短距离是%d ', i, dist[i]);}return 0;}```代码中，我们使用了INF表示两个节点之间没有直接的边。
floyd算法步骤详解
floyd算法步骤详解Floyd算法步骤详解Floyd算法，又称为弗洛伊德算法，是一种解决任意两点间最短路径的算法。
该算法的核心思想是动态规划，通过遍历每一个中间节点来更新每条路径上的最短距离。
下面，我们来详细了解一下Floyd算法的步骤。
步骤1：构造邻接矩阵我们需要构造出一个邻接矩阵，用来表示地图上的各个节点之间的连接情况。
邻接矩阵一般用二维数组来表示，其中数组的下标表示节点编号，数组的值表示两个节点之间的距离或权值。
如果两个节点之间没有连接，则可以用一个很大的数表示它们之间的距离。
步骤2：初始化距离矩阵接下来，我们需要初始化一个距离矩阵，用来存储任意两点之间的最短距离。
距离矩阵同样也是一个二维数组，其中数组的下标表示起点和终点的节点编号，数组的值表示两个节点之间的最短距离。
初始化的时候，如果两个节点之间有连接，则距离矩阵中的对应位置存储的值为它们之间的距离，否则设置为一个很大的数。
步骤3：遍历中间节点接下来，我们需要遍历每一个中间节点，更新距离矩阵中的值。
具体的遍历方式是，从起点到终点遍历所有的中间节点，如果中间节点可以使起点和终点之间的距离更短，则更新距离矩阵中的值。
步骤4：更新距离矩阵在遍历中间节点的过程中，我们需要不断地更新距离矩阵中的值。
具体的更新方式是，如果起点到中间节点的距离加上中间节点到终点的距离小于起点到终点的距离，则更新距离矩阵中对应的值。
步骤5：输出最短路径在完成所有的遍历之后，距离矩阵中存储的就是任意两点之间的最短距离。
我们可以根据这个矩阵来输出任意两点之间的最短路径。
具体的输出方式是，从起点开始，依次找到距离它最近的节点，直到到达终点为止。
总结Floyd算法是一种经典的解决任意两点间最短路径的算法，虽然它的时间复杂度比较高，但是它的思想和实现方式都非常简单，容易理解。
如果你想深入学习算法和数据结构，那么Floyd算法是一个非常好的入门选择。
最短距离算法范文
最短距离算法范文最短路径算法被广泛应用于许多领域，例如路由算法、导航系统、网络优化等。
本文将介绍三种常见的最短距离算法：Dijkstra算法、贝尔曼-福特算法和弗洛伊德算法。
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种基于贪心的算法，用于解决单源最短路径问题。
在一个有向加权图中，该算法从源节点开始，逐步选择与源节点距离最短的节点，直到到达目标节点。
具体步骤如下：1）创建一个距离列表，记录源节点到每个节点的距离，初始状态为无限大。
2）将源节点的距离设置为0，并标记为已访问。
3）从源节点开始，遍历与当前节点相邻的节点，并更新距离列表中的距离。
4）选择一个当前距离最小的节点，标记为已访问。
5）重复步骤3和步骤4，直到目标节点被标记为已访问或没有节点可访问。
2.贝尔曼-福特算法：贝尔曼-福特算法是一种解决任意两个节点之间最短路径的算法。
该算法通过多次迭代，逐步更新节点之间的距离，直到收敛到最短路径为止。
具体步骤如下：1）创建一个距离列表，记录源节点到每个节点的初始距离，初始状态为无限大。
2）将源节点的距离设置为0。
3）重复以下步骤N-1次（N为图中节点的个数）：a)遍历图中的每条边，如果当前边的权重与源节点到边的起点的距离之和小于边的终点的距离，则更新边终点的距离。
4）遍历图中的每条边，如果存在一条边满足上述条件，则图中存在负权重环，算法无法得出最短路径。
5）如果没有负权重环，则距离列表即为最短路径。
3.弗洛伊德算法：弗洛伊德算法是一种解决任意两个节点之间最短路径的算法。
该算法通过多次迭代，逐步更新节点之间的距离，直到收敛到最短路径为止。
与贝尔曼-福特算法不同的是，弗洛伊德算法可以处理含有负权重边的图。
具体步骤如下：1）创建一个邻接矩阵，用于记录每对节点之间的初始距离。
2）通过多次迭代，根据节点之间的中间节点更新距离矩阵。
3）重复以下步骤N次（N为图中节点的个数）：a)遍历图中的每对节点，如果当前节点之间的距离大于通过一些中间节点的距离之和，则更新距离矩阵中的距离。
邻接矩阵的应用
邻接矩阵的应用
邻接矩阵是表示图的一种方法，特别是在处理大型图时，邻接矩阵比邻接表更加高效。
以下是一些邻接矩阵的应用：
1. 社交网络分析：邻接矩阵可以用于表示社交网络中的关系。
如果两个人之间有连接（例如在社交媒体上互相关注或好友），则矩阵中的相应位置为1，否则为0。
通过分析这种矩阵，可以理解社区的结构和动态。
2. 生物信息学：在基因组学和系统生物学中，邻接矩阵用于表示生物分子之间的关系。
例如，蛋白质相互作用网络可以用邻接矩阵表示，其中行和列代表蛋白质，值表示两个蛋白质之间的相互作用强度。
3. 地理信息系统（GIS）：在GIS中，邻接矩阵用于表示地理对象之间的关系，如点、线和多边形之间的相邻关系。
这种矩阵在计算面积、距离和其他空间分析任务时非常有用。
4. 路由算法：在计算机科学中，邻接矩阵用于表示图中的路径，常用于路由算法。
例如，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法可以使用邻接矩阵来查找最短路径。
5. 交通规划：在交通规划中，邻接矩阵用于表示道路网络，可以用于查找最短路径、计算交通流量等。
6. 游戏开发：在游戏开发中，邻接矩阵可以用于表示游戏对象之间的关系，如角色、物品和障碍物之间的相邻关系。
这种矩阵常用于碰撞检测、路径查找和游戏逻辑。
总的来说，邻接矩阵在许多领域都有广泛的应用，尤其是在需要高效处理图结构的场景中。
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
最短路径 dijkstra算法的matlab代码实现
最短路径dijkstra算法的matlab代码实现如何用Matlab实现Dijkstra算法求解最短路径问题？Dijkstra算法是一种用于计算图中的最短路径的经典算法。
该算法以一个起始节点为基础，通过不断更新节点到其他节点的最短距离，直到找到最短路径为止。
本文将一步一步地回答如何使用Matlab实现Dijkstra算法，以及如何在Matlab中构建图并求解最短路径。
第一步：构建图Dijkstra算法是基于图的算法，因此我们首先需要在Matlab中构建一个图。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式表示。
这里我们选择使用邻接矩阵来表示图。
在Matlab中，可以使用矩阵来表示邻接矩阵。
假设我们的图有n个节点，我们可以创建一个n×n的矩阵来表示图的邻接矩阵。
如果节点i和节点j 之间有一条边，则将邻接矩阵中的第i行第j列的元素设置为边的权重，如果没有边相连，则将元素设置为一个较大的值（例如无穷大）表示不可达。
现在，我们可以开始构建邻接矩阵。
这里以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个包含6个节点的无向图，如下所示：0 1 2 3 4 5-0 0 4 3 0 0 01 4 0 1 4 0 02 3 1 0 2 1 03 04 2 0 3 24 0 0 1 3 0 25 0 0 0 2 2 0在Matlab中，可以将邻接矩阵表示为一个n×n的矩阵。
在这个例子中，我们可以这样定义邻接矩阵：G = [0 4 3 0 0 0;4 0 1 4 0 0;3 1 0 2 1 0;0 4 2 0 3 2;0 0 1 3 0 2;0 0 0 2 2 0];第二步：实现Dijkstra算法在Matlab中，我们可以使用一些循环和条件语句来实现Dijkstra算法。
下面是一个基本的Dijkstra算法的实现流程：1. 创建一个数组dist，用于存储从起始节点到其他节点的最短距离。
初始时，将起始节点到自身的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。
dijkstra算法邻接矩阵
一、概述Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪婪算法，可用于解决具有非负权重的有向图或无向图的最短路径问题。
邻接矩阵是一种用于表示图的数据结构，它可以方便地用于实现Dijkstra算法。
本文将探讨Dijkstra算法在邻接矩阵中的应用。
二、Dijkstra算法简介1. Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻在1956年提出的，用于解决有权图的单源最短路径问题。
Dijkstra算法采用贪婪的策略，通过逐步扩展已找到的最短路径来逐步确定最终的最短路径。
2. 算法步骤：1) 初始化将起始顶点到自身的距离设为0，其他顶点到起始顶点的距离设为无穷大。
2) 选取起始顶点，并标记为已访问。
3) 更新起始顶点的邻居顶点到起始顶点的距离。
4) 从尚未访问的顶点中选择距离起始顶点最近的顶点，标记为已访问。
5) 重复步骤3-4直到所有顶点都已访问。
3. Dijkstra算法特点：1) 适用于无负权边的图。
2) 时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数，适用于稠密图。
3) 通过堆优化可以达到O(ElogV)的时间复杂度，适用于稀疏图。
三、邻接矩阵1. 邻接矩阵是一种用于表示图的数据结构，它是一个二维数组，数组的大小为n*n，n为图的顶点数。
邻接矩阵的行和列分别表示图的顶点，数组中的值表示对应顶点之间的边的权重或者边的存在情况。
2. 邻接矩阵的优点：1) 直观，易于理解。
2) 方便获取顶点之间的关系和权重。
3) 方便实现Dijkstra算法。
3. 邻接矩阵的缺点：1) 浪费空间，对于稀疏图来说，矩阵中大部分元素为0，浪费了大量内存空间。
2) 在图中存在大量边的情况下，矩阵的大小过大。
四、Dijkstra算法在邻接矩阵中的应用1. 初始化邻接矩阵在使用Dijkstra算法求解最短路径问题时，首先需要构建图的邻接矩阵。
对于有权图，将存在的边的权重填入对应位置，对于不存在的边，可以用无穷大表示。
【算法总结】图论-最短路径
【算法总结】图论-最短路径【算法总结】图论-最短路径⼀、概念最短路径问题。
即寻找图中某两个特定结点间最短的路径长度。
所谓图上的路径，即从图中⼀个起始结点到⼀个终⽌结点途中经过的所有结点序列，路径的长度即所经过的边权和。
⼆、Floyd算法⽤邻接矩阵保存原图，那么此时邻接矩阵中edge[i][j]的值即表⽰从结点i到结点j，中间不经过任何结点时距离的最⼩值(若它们之间有多条边，取最⼩权值保存⾄邻接矩阵；也可能为⽆穷，即不可达)。
假设结点编号为 1 到 N，我们再考虑从结点i到结点j中间只能经过编号⼩于等于1的结点（也可以不经过）时最短路径长度。
与原始状况相⽐，在中间路径上可以经过的结点增加了编号为1 的结点。
我们⼜知道，最短路径上的结点⼀定不会出现重复（不考虑存在负权值的情况）。
那么，某两个结点间若由于允许经过结点 1 ⽽出现了新的最短路径，则该路径被结点 1 分割成两部分：由 i 到结点 1，同时中间路径上不经过结点 1 的第⼀段路径；由结点 1 到 j，中间路径上同样不经过结点 1 的第⼆段路径，其路径总长度为edge[i][1] + edge[1][j]。
要确定该路径是否⽐不允许经过结点1时更短，我们⽐较edge[i][1] + edge[1][j]与edge[i][j]之间的⼤⼩关系。
若前者较⼩，则说明中间路径经过结点1时⽐原来更短，则⽤该值代表由i 到j 中间路径结点编号⼩于等于1的最短路径长度；否则，该路径长度将依然保持原值edge[i][j]，即虽然允许经过结点1，但是不经过时路径长度最短。
考虑更⼀般的情况，若edge[i][j]表⽰从结点i到结点j，中间只能经过编号⼩于k的点时的最短路径长度，我们可以由这些值确定当中间允许经过编号⼩于等于k的结点时，它们之间的最短路径长度。
同样，与原情况相⽐，新情况中允许出现在中间路径的结点新增了编号为 k 的结点，同理我们确定 edge[i][k] + edge[k][j]的值与edge[i][j]的值，若前者较⼩则该值代表了新情况中从结点i到结点j的最短路径长度；否则，新情况中该路径长度依旧保持不变。
单源最短路径问题实验报告
单源最短路径问题实验报告
单源最短路径问题是计算机科学中极其重要的问题之一，它能够找出
两个节点之间的最短路径。
本次实验我们采用迪杰斯特拉算法来求解
单源最短路径问题。
首先，我们采用邻接矩阵法来表示一个有向无权图G=(V,E)，其中V
表示点集，E表示边集。
图G中有V个节点，并且每条边都有一个权重。
接下来，我们采用迪杰斯特拉算法来求解单源最短路径问题，具体算
法流程如下：
1. 初始化：初始化源点作为起点，且此数据源点距离自身节点权值为0，其他节点距离起点权值为无穷大。
2. 迭代：选择与当前节点最近的一个邻接点，计算它到其余每个节点
的距离，如果当前节点到其余每个节点的距离大于当前节点的距离，
则更新距离。
3. 结束：直到当前点求出的路径最短路径逐渐稳定下来，即可求出最
短路径的结果，结束算法。
本次实验我们编写一个程序，将算法流程实现在计算中，并对该程序
运行时钟，来衡量算法的效果。
该程序运行内容是它从零到最后，使
用迪杰斯特拉算法求解一个特定的单源最短路径问题，整个过程消耗
的时间是17ms。
通过本次实验，我们验证了迪杰斯特拉算法在求解单源最短路径问题
时的有效性，同时也了解了它的运行效率。
在实际应用中，此算法的
运行效率将会有很大的启示作用。
综上所述，本次实验采用了迪杰斯特拉算法求解单源最短路径问题，充分证明了此算法的有效性，也证明了它的运行效率。
是一种有效的算法，可以用于实际应用中。
多源最短路径算法
多源最短路径算法多源最短路径算法是指求出给定图中所有节点对之间的最短路径。
其经典的应用包括路由算法、网络拓扑分析、交通规划等。
常见的单源最短路径算法包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福德算法。
然而，这些算法需要在两个节点之间进行多次重复计算，因此效率较低。
相对于单源算法，多源最短路径算法能够利用节点之间的相互关系，从而减少计算量。
下面介绍两种常见的多源最短路径算法：Floyd算法和Johnson算法。
1. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法，基于矩阵运算实现。
其思想是通过中间节点逐步优化两个节点之间的距离。
首先初始化一个邻接矩阵，其中每一个元素表示两个节点之间的距离，若节点之间没有边，则距离为无穷大。
随着算法的迭代，邻接矩阵中的元素逐渐发生变化，直到最终达到最短路径。
具体实现方式如下：1. 初始化邻接矩阵。
2. 对于每一对节点i和j，尝试通过节点k优化它们之间的距离，即将路线i->j改为i->k->j。
3. 若新的路径更优，则更新矩阵中的距离值，即dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j]。
4. 重复2、3步骤，直至所有节点之间的最短路径被求出。
时间复杂度：O(n^3)2. Johnson算法Johnson算法是一种利用贝尔曼-福德算法和迪杰斯特拉算法结合的方法，用于解决负权边问题。
其基本思想是对图进行一次预处理，将每个节点的权值设为一个非负数，从而转化为正权边问题。
然后利用迪杰斯特拉算法求解每个节点之间的最短路径。
具体实现方式如下：1. 为图中的所有节点添加一个新的虚拟节点s，并将其与所有节点连接。
2. 对于原始图中的每一个边(i,j)，将其权值修改为w(i,j)+h(i)-h(j)，其中h(i)表示从节点s到节点i的最短路径长度。
3. 利用贝尔曼-福德算法求解从s出发到所有其他节点的最短路径。
如果出现负权环，则算法失败。
4. 利用迪杰斯特拉算法分别求解每对节点之间的最短路径，即dist[i][j]=dist[i][j]+h(j)-h(i)。
floyd算法求解邻接矩阵的最短距离矩阵
floyd算法求解邻接矩阵的最短距离矩阵摘要：1.Floyd 算法简介2.邻接矩阵的概念3.最短距离矩阵的计算方法4.Floyd 算法的应用实例5.总结正文：【1.Floyd 算法简介】Floyd 算法是一种用于寻找加权图中所有顶点之间最短路径的算法，由Robert C.Floyd 于1968 年提出。
该算法主要应用于计算邻接矩阵的最短距离矩阵，适用于存在负权边的图，但不适用于存在负权环的图。
【2.邻接矩阵的概念】邻接矩阵是一种用于表示有向图或无向图中顶点之间关系的矩阵。
设图G 有n 个顶点，用A 表示邻接矩阵，则A 是一个n×n 的矩阵，其中A[i][j] 表示顶点i 到顶点j 的边的权值。
如果顶点i 到顶点j 没有边相连，则A[i][j] 为无穷大或一个很大的数。
【3.最短距离矩阵的计算方法】最短距离矩阵是用于表示图中所有顶点之间最短路径长度的矩阵。
设D 为最短距离矩阵，则D[i][j] 表示顶点i 到顶点j 的最短路径长度。
通过Floyd 算法，可以计算出邻接矩阵A 的最短距离矩阵D，计算方法如下：1.初始化D 为单位矩阵，即D[i][j]=1（i≠j）；2.遍历所有顶点k，对于每条边(i, k) 和(k, j)，更新D[i][j] =min(D[i][j], D[i][k] + D[k][j])；3.当遍历完所有顶点后，D[i][j] 即为顶点i 到顶点j 的最短路径长度。
【4.Floyd 算法的应用实例】假设有一个无向图，共有4 个顶点A、B、C、D，边的权值如下：- A 到B 的权值为1；- A 到C 的权值为4；- B 到C 的权值为2；- B 到D 的权值为5；- C 到D 的权值为1。
通过Floyd 算法计算最短距离矩阵，结果如下：- D[A][B] = 1；- D[A][C] = 5；- D[A][D] = 6；- D[B][C] = 3；- D[B][D] = 6；- D[C][D] = 2。
Floyd算法
Floyd算法Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。
核心思路：通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。
矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path 来记录两点间的最短路径。
算法过程：把图用邻接距阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=无穷大。
定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。
把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。
在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。
比如，要寻找从V5到V1的路径。
根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。
优缺点分析：Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，稠密图效果最佳，边权可正可负。
此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。
优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单；缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。
Floyd算法的基本思想：（1）利用二维数组A[1..n-1][1..n-1], A[i][j]记录当前vi到vj的最短路径长度，数组A的初值等于图的代权临街矩阵;（2）集合S记录当前允许的中间顶点，初值S=Φ;（3）依次向S中加入v0 ,v1… vn-1，每加入一个顶点，对A[i][j]进行一次修正：设S={v0 ,v1… vk-1}，加入vk，则A(k)[i][j] = min{ A(k-1)[i][j]，A(k-1)[i][k]+A(k-1)[k][j]}。
弗洛伊德算法求经过所有结点的最短路径
弗洛伊德算法求经过所有结点的最短路径
弗洛伊德算法（Floyd算法）是一种用于寻找图中所有节点对之间最短路径的算法。
该算法通过动态规划的思想求解，时间复杂度为O(N^3)，其中N为节点数目。
具体步骤如下：
1. 初始化一个二维数组dis，用于存储每对节点之间的最短路径长度，初始值为邻接矩阵中的权值。
2. 依次枚举每个节点k，将其加入到当前的最短路径中，在此基础上更新邻接矩阵中的距离，更新方法为dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j])。
3. 重复第2步，直到枚举完所有节点，此时dis中存储的就是每对节点之间的最短路径长度。
4. 如果要求出最短路径上的具体路径，则需要记录一个二维数组path，path[i][j]表示节点i到节点j的最短路径经过的最后一个节点。
具体记录方法为如果
dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]，则更新path[i][j] = k。
5. 最后通过递归找到每对节点之间的具体路径即可。
示例代码如下（C++实现）：
void Floyd() {
for(int k = 1; k <= N; ++k) {
for(int i = 1; i <= N; ++i) {
for(int j = 1; j <= N; ++j) {
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
if(dis[i][j] == dis[i][k] + dis[k][j]) {
path[i][j] = k;
}
}
}
}
}。
邻接矩阵法
邻接矩阵法邻接矩阵法是图论中一种常用的表示图结构的方法。
它通过一个二维矩阵来表示图中各个顶点之间的连接关系。
在邻接矩阵中，矩阵的行和列分别代表图中的顶点，而矩阵中的元素则表示对应顶点之间是否存在边。
邻接矩阵的定义假设有一个无向图G=(V,E)，其中V为顶点集合，E为边集合。
邻接矩阵A是一个n×n的方阵，其中n为图中顶点的个数。
邻接矩阵A满足以下条件：•如果顶点i和顶点j之间存在边，则A[i][j]=1；•如果顶点i和顶点j之间不存在边，则A[i][j]=0。
对于有向图来说，邻接矩阵也可以用来表示其连接关系，只是在有向图中，边具有方向性。
邻接矩阵的应用邻接矩阵作为一种常见的图表示方法，在许多算法和应用中都得到了广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景：1. 图遍历通过邻接矩阵，我们可以方便地遍历图中的顶点和边。
对于一个顶点i，我们只需要遍历邻接矩阵的第i行（或第i列），就可以获取到与该顶点直接相连的所有顶点。
2. 最短路径算法邻接矩阵常被用于求解最短路径问题，例如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
在这些算法中，通过邻接矩阵来表示各个顶点之间的距离或权重，然后根据具体的算法逻辑来计算最短路径。
3. 最小生成树邻接矩阵也可以用于求解最小生成树问题，例如Prim算法和Kruskal算法。
在这些算法中，邻接矩阵用来表示图中各个顶点之间的连接关系，并根据具体的算法逻辑选择合适的边来构建最小生成树。
4. 图的连通性判断通过邻接矩阵，我们可以判断一个图是否是连通图。
如果一个无向图的邻接矩阵是对称且连通的，则说明该图是一个连通图。
如果一个有向图的邻接矩阵是强连通的，则说明该有向图是强连通图。
邻接矩阵的优缺点邻接矩阵作为一种图的表示方法，具有以下优点：•表示简单：邻接矩阵直观地表示了图中各个顶点之间的连接关系，易于理解和实现。
•查询高效：通过邻接矩阵，可以快速判断两个顶点之间是否存在边，时间复杂度为O(1)。
最短路问题的求解
最短路径问题的求解最短路径问题是信息学竞赛中常见的一类中等难题，这是一个非常能联系实际的问题，甚至有时一些看似跟最短路径问题无关的问题也可以归结为最短路径问题。
本文就简要分析一下此类问题的算法，以使大家一起探讨一下该类问题，也使没参加信息学竞赛的同学对信息学竞赛有个简单了解。
下面我们以具体例题来看看这类问题的解法：例1、假设A、B、C、D、E各个城市之间旅费如下图所示。
某人想从城市A 出发游览各城市一遍，而所用费用最少。
试编程序输出结果。
解这类题时同学们往往不得要领，不少同学采用穷举法把所有可能的情况全部列出，再找出其中最短的那条路径；或是采用递归或深度搜索，找出所有路径，再找出最短的那条。
这两种方法可见都是费时非常多的解法，如果城市数目多的话则很可能要超时了。
实际上我们知道，递归、深度搜索等算法一般用于求所有解问题（例如求A 出发每个城市走一遍一共有哪几种走法），而这几种算法对于求最短路径这类最优解问题显然是不合适的，以下介绍的几种算法就要优越很多。
首先，对于这类图我们都应该先建立一个邻接矩阵来存放任意两点间的距离数据，以便在程序中方便调用，如下：const dis:array[1..5,1..5] of integer =( ( 0, 7, 3,10,15),( 7, 0, 5,13,12),( 3, 5, 0, 5,10),(10,13, 5, 0,11),(15,12,10,11, 0));以下是几种解法：一、宽度优先搜索宽度优先搜索并不是一种很优秀的算法，只里只是简单介绍一下它的算法。
具体方法是：1、从A点开始依次展开得到AB、AC、AD、AE四个新结点（第二层结点），当然每个新结点要记录下其距离；2、再次以AB展开得到ABC、ABD、ABE三个新结点（第三层结点），而由AC结点可展开得到ACB、ACD、ACE三个新结点，自然AD可以展开得到ADB、ADC、ADE，AE可以展开得到AEB、AEC、AED等新结点，对于每个结点也须记录下其距离；3、再把第三层结点全部展开，得到所有的第四层结点：ABCD、ABCE、ABDC、ABDE、ABEC、ABED……AEDB、AEDC，每个结点也需记录下其距离；4、再把第四层结点全部展开，得到所有的第五层结点：ABCDE、ABCED、……、AEDBC、AEDCB，每个结点也需记录下其距离；5、到此，所有可能的结点均已展开，而第五层结点中最小的那个就是题目的解了。
最短路径dijkstra 邻接矩阵 邻接表
最短路径算法Dijkstra是一种常用的图论算法，用于求解一个节点到其他所有节点的最短路径。
它采用了一种贪心的策略，通过逐步扩展已找到的最短路径集合来逐步逼近所有节点的最短路径。
在这篇文章中，我将从最短路径算法的基本概念开始，逐步深入介绍Dijkstra算法的原理和具体实现，并对邻接矩阵和邻接表两种表示图的方式进行详细的比较和分析。
1. 最短路径算法的基本概念最短路径算法是图论中的一个重要问题，它的核心任务就是寻找图中两个节点之间的最短路径。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如交通规划、网络路由等领域。
在这个问题中，最短路径通常指的是路径上的权重之和最小，也就是从一个起点节点到其他节点的距离最短。
2. Dijkstra算法的原理和实现Dijkstra算法是一种经典的最短路径算法，它的核心思想是通过维护一个集合，逐步扩展已找到的最短路径集合来获得所有节点的最短路径。
具体实现时，Dijkstra算法使用了一个优先队列来维护待选节点和其对应的最短距离，然后逐步从优先队列中选取最短距离的节点进行扩展，直到所有节点都被扩展。
3. 邻接矩阵和邻接表的比较在实际应用中，图的存储方式有很多种，其中最常用的是邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一种二维数组，其元素表示了图中节点之间的关系，而邻接表则是通过链表等数据结构来表示图的边。
在实际应用中，邻接矩阵具有更快的边查询速度，而邻接表则更适合稀疏图的存储。
总结回顾通过本文的介绍，相信读者对最短路径算法Dijkstra有了更深入的理解。
我们从最短路径算法的基本概念开始，介绍了Dijkstra算法的原理和实现，并对邻接矩阵和邻接表进行了详细的比较和分析。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择最适合的图的表示方式，以便更高效地解决最短路径问题。
个人观点和理解作为一种经典的最短路径算法，Dijkstra算法在实际应用中有着广泛的价值。
通过对图的逐步扩展，Dijkstra算法能够高效地求解出图中节点之间的最短路径，可应用于交通规划、网络路由等众多领域。
floyd算法求解邻接矩阵的最短距离矩阵
floyd算法求解邻接矩阵的最短距离矩阵Floyd算法用于求解任意两个顶点之间的最短路径。
给定一个有向图的邻接矩阵，算法通过不断迭代更新矩阵中的元素来计算最短距离矩阵。
首先，初始化最短距离矩阵为邻接矩阵本身。
然后，通过对每一个中间顶点进行遍历，如果存在一条路径经过中间顶点使得路径长度更短，则更新最短距离矩阵中的相应元素。
以下是Floyd算法的Python实现：```pythondef floyd(adj_matrix):num_vertices = len(adj_matrix)dist_matrix = adj_matrix.copy()for k in range(num_vertices):for i in range(num_vertices):for j in range(num_vertices):if dist_matrix[i][j] > dist_matrix[i][k] + dist_matrix[k][j]: dist_matrix[i][j] = dist_matrix[i][k] + dist_matrix[k][j] return dist_matrix```其中，adj_matrix是一个包含顶点间距离的邻接矩阵，dist_matrix是一个用于存储最短距离的矩阵。
示例：假设有一个有向图G，顶点集合为{A, B, C, D}，邻接矩阵为：```A B C DA 0 3 ∞ 7B ∞ 0 2 ∞C 5 ∞ 0 1D ∞ ∞ ∞ 0```运行floyd(G)将得到最短距离矩阵：```A B C DA 0 3 5 6B ∞ 0 2 3C 5 8 0 1D ∞ ∞ ∞ 0```最终得到的dist_matrix中，dist_matrix[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短距离。
如果顶点i和顶点j之间不存在路径，则对应元素为无穷大。
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（一）实验目的本实验的目的是通过理解图的逻辑结构和存储结构，进一步提高使用理论知识指导解决实际问题的能力。
（二）实验内容1、编写生成创建一个图存储全国铁路系统的数据结构；2、编写输出遍历图中所有城市枢纽的函数；3、编写实现任意两城市之间最短铁路路程的函数；4、编写实现输出这任意两城市铁路线最短距离以及沿途比经过的铁路站点的城市。
(三）实验要求1、掌握图型数据结构的机器内表示和存储；2、掌握图型结构之上的算法设计与实现；3、对迪杰斯特拉算和程序的时间复杂度、空间复杂度分析。
4、掌握最短路径算法思路和实现。
(四)实验设计思路实验中我采用邻接矩阵来创建和存储一个全铁路系统的有向图,并实现了对途中所有节点的遍历。
程序采用迪杰斯特拉(Dijkstra)算法，实现了对图中任意两城市之间的最短距离的求解，并编写输出最短路径和所有经过的城市名。
例如：输入北京到西安时，输出450km(四)程序清单#i n c l u d e<s t d i o.h>#i n c l u d e<s t d l i b.h>#i n c l u d e<s t r i n g.h>#d e f i n e I N F I N I T Y10000#d e f i n e m a x100#d e f i n e l e n20#d e f i n e N U L L0s t r u c t v e r t e x{i n t n u m;c h a rd a t a[le n];};s t r u c t g r a p h{i n t n,e;v e r t e x v e x s[m a x];i n t e d g e s[m a x][m a x];};v o i d c r e a t e g r a p h(g r a p h*g r a){i n t i,j,k,w;c h a r b[l e n],t[l e n];p r i n t f("请输入全国铁路枢纽城市个数:\n");s c a n f("%d",&g r a->n);p r i n t f("请输入全部枢纽城市之间的干线数:\n");s c a n f("%d",&g r a->e);f o r(i=0;i<g r a->n;i++){p r i n t f("请输入第%d个城市名称：\n",i+1);s c a n f("%s",g r a->v e x s[i].d a t a);g r a->v e x s[i].n u m=i;}f o r(i=0;i<g r a->n;i++)f o r(j=0;j<g r a->n;j++)g r a->e d g e s[i][j]=I N F I N I T Y;f o r(k=0;k<g r a->e;k++){p r i n t f("输入第%d条铁路干线的信息：\n",k+1);p r i n t f("起点站序号：\n");s c a n f("%s",b);p r i n t f("终点站序号：\n");s c a n f("%s",t);p r i n t f("起始站和终点站干线长度：");s c a n f("%d",&w);i=0;w h i l e(i<g r a->n&&s t r c m p(g r a->v e x s[i].d a t a,b)!=N U L L) i++;i f(i>=g r a->n){p r i n t f("输入起点的城市不正确！\n");e x i t(1);}j=0;w h i l e(j<g r a->n&&s t r c m p(g r a->v e x s[j].d a t a,t)!=N U L L) j++;i f(i>=g r a->n){p r i n t f("输入终点的城市不正确！\n");e x i t(2);}g r a->e d g e s[i][j]=w;}}v o i d d i s p l a y(g r a p h*g r a){i n t i,j,f l a g=0;d o u b le s u m=0;i f(!g r a->v e x s[0].d a t a)p r i n t f("没有铁路城市信息!请先创建铁路信息.\n");e l s e{p r i n t f("全国铁路枢纽城市的信息如下：\n");f o r(i=0;i<g r a->n;i++){f o r(j=0;j<g r a->n;j++)s u m+=g r a->e d g e s[i][j];i f(((i n t)s u m/g r a->n)>=I N F I N I T Y)f l a g=1;p r i n t f("城市名称\t序号\n");p r i n t f("%s\t\t%d\n",g r a->v e x s[i].d a t a,i);i f(f l a g)p r i n t f("\t该城市不可达其他城市.\n");e l s e{p r i n t f("\t\t可达以下城市：\n");p r i n t f("\t城市名称\t\t序号\t\t铁路线距离\n");f o r(j=0;j<g r a->n;j++){i f(g r a->e d g e s[i][j]<I N F I N I T Y)p r i n t f("\t%s\t\t\t%d\t\t\t%l d(K m)\n",g r a->v e x s[j].d a t a,g r a->v e x s[j].n u m,g r a->e d g e s[i][j]);}}f l a g=0;s u m=0;p r i n t f("\n");}}}v o i d s h o r t P a t h(g r a p h*g r a,i n t v0,i n t p[][m a x],i n t d[m a x]) {i n t v,w,i,j,m i n;i n t f i n a l[m a x];f o r(v=0;v<g r a->n;v++){f i n a l[v]=0;d[v]=g r a->e d g e s[v0][v];f o r(w=0;w<m a x;w++)p[v][w]=-1;i f(d[v]<I N F I N I T Y){p[v][0]=v0;p[v][1]=v;}}d[v0]=0;f i n a l[v0]=1;f o r(i=1;i<g r a->n;i++){m i n=I N F I N I T Y;f o r(w=0;w<g r a->n;w++){i f(!f i n a l[w]){i f(d[w]<m i n){v=w;m i n=d[w];}}}f i n a l[v]=1;f o r(w=0;w<g r a->n;w++){i f(!f i n a l[w]&&(m i n+g r a->e d g e s[v][w]<d[w])){d[w]=m i n+g r a->e d g e s[v][w];f o r(j=0;p[v][j]>-1&&j<g r a->n;j++){p[w][j]=p[v][j];}p[w][j]=w;}}}}v o i d f i n d p a t h(g r a p h*g r a){i n t i,j,v0,v e n d,f l a g1=0,f l a g2=0;i n t d[m a x],p[m a x][m a x];c h a r s c i t y[l e n],e c i t y[l e n];p r i n t f("输入铁路起始站城市名称：\n");s c a n f("%s",s c i t y);p r i n t f("输入铁路终止站城市名称：\n");s c a n f("%s",e c i t y);f o r(i=0;i<g r a->n;i++){i f(s t r c m p(g r a->v e x s[i].d a t a,s c i t y)==N U L L){v0=g r a->v e x s[i].n u m;f l a g1=1;}i f(s t r c m p(g r a->v e x s[i].d a t a,e c i t y)==N U L L){v e n d=g r a->v e x s[i].n u m;f l a g2=1;}}i f(f l a g1==N U L L){p r i n t f("输入的起始站错误！");e x i t(1);}i f(f l a g2==N U L L){p r i n t f("输入的终止站错误！");e x i t(2);}e l s e{s h o r t P a t h(g r a,v0,p,d);f o r(i=0;i<g r a->n;i++){i f(i==v e n d){i f(d[i]>=I N F I N I T Y)p r i n t f("从%s到%s不可达！\n",g r a->v e x s[v0].d a t a,g r a->v e x s[v e n d].d a t a);e l s e{p r i n t f("从%s城市出发到%s城市最短路径经过的城市为:\n",g r a->v e x s[v0].d a t a,g r a->v e x s[v e n d].d a t a);i f(p[i][v0]>-1){f o r(j=0;p[i][j]!=-1;j++){i f(j!=0)p r i n t f("->");p r i n t f("%5s",g r a->v e x s[p[i][j]].d a t a);}p r i n t f("\n");}p r i n t f("最短路径长为:%l d(k m)\n",d[i]);p r i n t f("\n");}}}}}i n t m a i n(){g r a p h g r a;c h a r c h;d o{p r i n t f("┌———————————————————─┐\n");p r i n t f("│┈┈☆☆欢迎使用铁路查询系统☆☆┈┈│\n");p r i n t f("│请选择下面操作│\n");p r i n t f("│ 1.创建铁路系统2.查看全部铁路信息│\n");p r i n t f("│ 3.任意两城市铁路信息查询4.退出铁路系统│\n");p r i n t f("└——————————————————─┘\n\t");s c a n f("%c",&c h);s w i t c h(c h){c a s e'1':c r e a t e g r a p h(&g r a);g e t c h a r();b r e a k;c a s e'2':d i s p l a y(&g r a);ge t c h a r();b r e a k;c a s e'3':f i n d p a t h(&g r a);g e t ch a r();b r e a k;c a s e'4':p r i n t f("┈┈┈☆☆欢迎下次使用铁路信息系统☆☆┈┈┈┈┈\n");b r e a k;}}w h i l e(c h!='4');r e t u r n0;}（五）实验结果1创建铁路系统：2.查询全部铁路信息：3.任意两城市信息查询：（六）实验思考实验采用邻接表存储有向图，怎么具体实现迪杰斯特拉算法？先定义一个数组对每个顶点到其余城市可达距离，其余和邻接矩阵迪杰斯特拉算法相同。