概率论1至7章课后答案
概率论与数理统计学1至7章课后答案
一、习题详解：3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ----⎧--+≥≥=⎨⎩其他求}{12,35P X Y <≤<≤.解：因为 257(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤<==+--=----745672322220.02343.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1)且 0)1,2(===Y X P ，6.053)2,2(452223=====C C C Y X P 4.052)1,3(451233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 81)21()3,0(3====Y X P ，83)21()21()1,1(2113====C Y X P 83)21()21()1,2(1223====C Y X P ，81)21()3,3(3====Y X P故(X ,Y )3.4设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,a x y x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 (1) 确定常数a ;(2) 求}{0.5, 1.5P X Y ≤≤(3) 求{(,)}P X Y D ∈,这里D 是由0,0,1x y x y ==+=这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为dxdy y x a dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰--=+∞∞-+∞∞-102)6(),(dx x x a dx y x a ⎰⎰---=---=10221022])4()6[(2])6(21[a dx x a 9)5(210=-=⎰由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得9a =1，故a =1/9.(2) dxdy y x Y X P ⎰⎰--=≤≤5.005.10)6(91)5.1,5.0( dx x dx y y x ⎰⎰--=--=5.005.005.102]89)6(23[91]21)6([91 125)687(5.00=-=⎰dx x (3) 1101{(,)}(,)(6)9xDP X Y D f x y dxdy dx x y dy -∈==--⎰⎰⎰⎰278)1211(181]21)6([9110210102=--=--=⎰⎰-dx x x dx y y x x3.5 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1) 求分布函数(,)F x y ; (2) 求}{P Y X ≤解：(1) 求分布函数(,)F x y ; 当0,0x y >>，(2)220(,)(,)22(1)(1)yxyxx yu v u v x y F x y f u v dudv e dudv e du e dv e e -+-----∞-∞====--⎰⎰⎰⎰⎰⎰其他情形，由于(,)f x y =0，显然有(,)F x y =0。
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计课后习题答案1-8章-习题解答
第一章 思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A 3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()AB A B (2) ()()A B A B解:(1)()()AB A B AB AB B B ==,(2) ()()AB AB ()A BA B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==.5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
概率论与数理统计学1至7章课后答案
第二章作业题解:掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。
即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a甲、乙两人投篮时, 命中率分别为 和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。
所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k ，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P设事件A 在每次试验中发生的概率均为 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出 信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为 的泊 松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于 解：设应配备m 名设备维修人员。
1—7章概率论课后习题及答案
第一章 随机事件及其概率§1.1-2 随机试验、随机事件1. 多项选择题:⑴ 以下命题正确的是 （ ） A .()()AB AB A =； B .,A B AB A ⊂=若则；C .,A B B A ⊂⊂若则；D .,A B A B B ⊂=若则.⑵某学生做了三道题，以i A 表示“第i 题做对了的事件”)3,2,1(=i ，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ ） A .123123123A A A A A A A A A ； B .122331A A A A A A ； C .122331A A A A A A ； D .123123123123A A A A A A A A A A A A .2. A 、B 、C 为三个事件，说明下述运算关系的含义：⑴ A ； ⑵ B C ； ⑶ AB C ； ⑷ A B C ； ⑸ AB C ； ⑹ABC .3. 一个工人生产了三个零件，以i A 与i A )3,2,1(=i 分别表示他生产的第i 个零件为正 品、次品的事件.试用i A 与i A )3,2,1(=i 表示以下事件：⑴ 全是正品；⑵ 至少有一个零件是次品；⑶ 恰有一个零件是次品；⑷ 至少有两个零件是次品.§1.3-4 事件的概率、古典概型1. 多项选择题:⑴ 下列命题中,正确的是 （ ） A .B B A B A =；B .B A B A =；C .C B A C B A = ；D .()∅=)(B A AB . ⑵ 若事件A 与B 相容，则有 （ ） A .()()()P AB P A P B =+； B .()()()()P A B P A P B P AB =+-；C .()1()()P A B P A P B =--；D .()1()()P A B P A P B =-.⑶ 事件A 与B 互相对立的充要条件是 （ ） A .()()()P AB P A P B = ； B .()0()1P AB P AB ==且；C .AB A B =∅=Ω且；D . AB =∅.2. 袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只. 从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率.3. 求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.4. 10把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率.5. 将三封信随机地放入标号为1、2、3、4的四个空邮筒中,求以下概率：(１) 恰有三个邮筒各有一封信；（２）第二个邮筒恰有两封信；（３）恰好有一个邮筒有三封信．6. 将20个足球球队随机地分成两组，每组10个队，进行比赛．求上一届分别为第一、二名的两个队被分在同一小组的概率．§1.5 条件概率1. 多项选择题:⑴ 已知0)(>B P 且∅=21A A ,则（ ）成立.A .1(|)0P AB ≥； B .1212(()|)(|)(|)P A A B P A B A B =+；C .12(|)0P A A B =；D . 12(|)1P A A B =.⑵ 若0)(,0(>>B P A P ）且)(|(A P B A P =），则（ ）成立.A .(|)()PB A P B =；B .(|)()P A B P A =；C .,A B 相容；D .,A B 不相容.2. 已知61)|(.41)|(,31)(===B A P A B P A P ，求)(B A P3. 某种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为0.7.求一只已用到了3000小时还未坏的灯泡还可以再用500小时的概率.4.两个箱子中装有同类型的零件，第一箱装有60只，其中15只一等品；第二箱装有40只，其中15只一等品.求在以下两种取法下恰好取到一只一等品的概率：⑴将两个箱子都打开，取出所有的零件混放在一堆，从中任取一只零件；⑵从两个箱子中任意挑出一个箱子，然后从该箱中随机地取出一只零件.5.某市男性的色盲发病率为7 %,女性的色盲发病率为0.5 % .今有一人到医院求治色盲,求此人为女性的概率.(设该市性别结构为男:女=0.502:0.498)6.袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一只球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率.§1.6 独立性1. 多项选择题 ：⑴ 对于事件A 与B ，以下命题正确的是( ).A .若B A 、互不相容,则B A 、也互不相容；B .若B A 、相容,则B A 、也相容；C .若B A 、独立，则B A 、也独立；D .若B A 、对立，则B A 、也对立. ⑵ 若事件A 与B 独立，且0)(,0)(>>B P A P ， 则（ ）成立.A .(|)()PB A P B =；B .(|)()P A B P A =；C .B A 、相容；D .B A 、不相容.2. 已知C B A 、、互相独立，证明C B A 、、也互相独立.3. 一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为8180，求此射手每次射击的命中率.*4. 设C B A 、、为互相独立的事件，求证B A AB B A -、、 都与C 独立.5. 甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率.6. 甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大.7. 某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．第二章 一维随机变量及其分布§2.1 离散型随机变量及其概率分布1．填空题：⑴ 当c = 时()/,(1,,)P X k c N k N ===是随机变量X 的概率分布，当c = 时()(1)/,(1,,)P Y k c N k N ==-=是随机变量Y 的概率分布； ⑵ 当a = 时)0,,1,0(!)(>===λλ k k a k Y P k是随机变量Y 的概率分布； ⑶ 进行重复的独立试验，并设每次试验成功的概率都是0.6. 以X 表示直到试验获得成功时所需要的试验次数，则X 的分布律为； ⑷ 某射手对某一目标进行射击，每次射击的命中率都是,p 射中了就停止射击且至多只 射击10次. 以X 表示射击的次数，则X 的分布律为； ⑸ 将一枚质量均匀的硬币独立地抛掷n 次，以X 表示此n 次抛掷中落地后正面向上的次数，则X 的分布律为 .2．设在15只同类型的零件中有2只是次品，从中取3次，每次任取1只，以X 表示取出的3只中次品的只数. 分别求出在 ⑴ 每次取出后记录是否为次品，再放回去；⑵ 取后不放回，两种情形下X 的分布律.3．一只袋子中装有大小、质量相同的6只球,其中3只球上各标有1个点,2只球上各标有2个点,1只球上标有3个点.从袋子中任取3只球，以X 表示取出的3只球上点数的和. ⑴ 求X 的分布律；⑵ 求概率(46),(46),(46),(46)P X P X P X P X <≤≤<<<≤≤.4．某厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的可能性都是6.0. 现在为某件事的可行与否个别地征求每个顾问的意见，并按多数顾问的意见作决策.求作出正确决策的概率.5．袋子中装有5只白球，3只黑球，从中任取1只，如果是黑球就不放回去，并从其它地方取来一只白球放入袋中，再从袋中取1只球. 如此继续下去，直到取到白球为止. 求直到取到白球为止时所需的取球次数X 的分布律.§2.2 连续型随机变量及其概率分布1．多项选择题：以下函数中能成为某随机变量的概率密度的是 ( )A .⎪⎩⎪⎨⎧<<=它其20,0,cos )(πx x x f ； B .⎪⎩⎪⎨⎧<<=它其πx x x f 0,0,2cos )( ； C .⎪⎩⎪⎨⎧<<-=它其22,0,cos )(ππx x x f ； D .⎩⎨⎧<<=它其10,0,)(x xe x f x . 2．设随机变量X 的概率分布律如右,求X 的分布函数及)32(),30(),2(≤≤<<≤X P X P X P .3．设一只袋中装有依次标有数字-1、2、2、2、3、3的六只球，从此袋中任取一只球，并以X 表示取得的球上所标有的数字.求X 的分布律与分布函数.4．设连续型随机变量X 的概率密度如右，试求：⑴ 系数A ；⑵ X 的分布函数；⑶ (0.10.7)P X <<5．设连续型随机变量X ⑴ 系数k ；⑵ X 的概率密度；⑶ (||0.5)P X <.6．设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x A B x x R =+∈，试求：⑴ 系数A 与B ；⑵ X 的概率密度；⑶ X 在区间(,)a b 内取值的概率.§2.31．设离散型随机变量X 的分布律如右，求12,22,12+=-=+=X W X V X U 的分布律.2．设随机变量X 的概率密度为,0,0,)(<≥⎩⎨⎧=-x x e x f x 求随机变量X e Y =的概率密度.3．设随机变量X 在区间(0,)π上服从均匀分布，求：⑴ 随机变量2ln Y X =-的概率密度；⑵ 随机变量sin Z X =的分布函数与概率密度.4．设连续型随机变量X 的概率密度为2/2()()x f x e x R -=∈,求||Y X =的密度.*5．设1()F x 与2()F x 分别为两个随机变量的分布函数，证明：当0,0a b ≥≥且1a b +=时，)()()(21x bF x aF x +=φ可以作为某个随机变量的分布函数.§2.4 一维随机变量的数字特征1．一批零件中有9件合格品与3件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边. 求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.2．设随机变量X 的概率密度为||()0.5,,x f x e x -=-∞<<+∞求,EX DX .3．设随机变量X 的概率密度为2(1),01(),0,x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它求EX 与DX .4．某路公汽起点站每5分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的5分钟内均匀分布.求每个乘客候车时间的期望(假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上车).5．某工厂生产的设备的寿命X(以年计)的概率密度为/400.25,()0,x xef xx->⎧=⎨<⎩，工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可以调换.若出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.*6．某工厂计划开发一种新产品，预计这种产品出售一件将获利500元，而积压一件将损失2000元. 而且预测到这种产品的销售量Y(件)服从指数分布(0.0001)E. 问要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？第三章 多维随机变量及其分布§3.1 二维随机变量1．设随机变量),(Y X 只取下列数组中的值：)0,0(、)1,1(-、)31,1(-、)0,2(且相应的概率依次为61、31、121、125.求随机变量),(Y X 的分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.2．一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字1、2、2、3. 从此袋中任取一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以X 与Y 表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求X 与Y 的联合分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.3．设随机变量),(Y X 的概率密度，其它+∞≤≤+∞≤≤⎩⎨⎧=+-y x ce y x f y x 0,0,0,),()(2 试求：⑴ 常数c ；⑵ ),(Y X 的分布函数),(y x F ；⑶ }1{≤+Y X P .4．设随机变量),(Y X 的概率密度为 4.8(2),01,0(,)0,y x x y xf x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩，其它求关于X 、Y 的边缘概率密度.5．设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴、y 轴及直线12+=x y 所围成，试求：⑴ ),(Y X 的概率密度),(y x f ；⑵ 求关于X 、Y 的边缘概率密度.*6．设某班车起点站上车的人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<乘客中途下车与否相互独立，并以Y 表示在中途下车的人数.求：⑴ 在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；⑵ (,)X Y 的分布律.§1．设随机变量X 与Y 相互独立右表给出二维随机变量),(Y X 律及边缘分布律中的部分数值.试将 其余数值填入表中的空白处.2．设随机变量),(Y X 分布律如右:⑴ a 、b 、c 时X 与Y 相互独立？⑵写出),(Y X 的分布律与边缘分布律.3．设随机变量X 在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量Y 在X ~1中等可能地取一个整数.求：⑴=X 2时Y ,的条件分布律；⑵=Y 1时X ,的条件分布律.4．设随机变量),(Y X 的概率密度为其它0,0,0,),()(>>⎩⎨⎧=+-y x e y x f y x .⑴ 求)|(|x y f X Y ；⑵ 求)|(|y x f Y X ；⑶ 说明X 与Y 的独立性.*5． 箱子中装有12只开关(其中2只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随机变量如下：0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品； 0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品 ，试在放回抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于X 与Y 的条件分布律，并说明X 与Y 的独立性.* 6．设随机变量),(Y X 的概率密度为,||,10(,)0,cy x x f x y <--<<⎧=⎨⎩，其它求参数c 与条件概率密度)|(,)|(||y x f x y f Y X X Y .§3.31. 设),(Y X 的分布律如右,求 ⑴0|3{,}2|2{====X Y P Y X P ⑵ ),max(Y X V =的分布律；⑶ ),min(Y X U =的分布律；⑷ Y X W +=的分布律.2．设X 与Y 是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为1λ、2λ的泊松分布. 证明Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布.3．设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从参数为0.25p =的两点分布，记随机变量Z 为1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩为奇数，非为奇数求X 与Z 的联合分布律与EZ .4．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为321100,,(),(),32000,0,yxX Y x y e e f x f y x y --⎧⎧≥≥⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩求随机变量U X Y =+的概率密度.5．某种商品一周的需求量X 是一个随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,)(x x xe x f x .设各周的需求量是相互独立的，试求：⑴ 两周；⑵ 三周的需求量的概率密度.6．设某种型号的电子管的寿命(以小时记)近似地服从(1160)E 分布. 随机地选取4只，将其串联在一条线路中，求此段线路的寿命超过180小时的概率。
概率论与数理统计学1至7章课后答案
第五章作业题解5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率.解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得)2100|7300(|)94005200(<-=<<X P X P982100700112222=-=-≥εσ.5.2 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布, 使用切比雪夫不等式证明 1{02}P X λλλ-<<≥. 解：因为)(~λP X ，所以λμ==)(X E 。
λσ==)(2X Var 故由切比雪夫不等式，得)|(|)20(λλλ<-=<<X P X P λλλλεσ111222-=-=-≥不等式得证.5.3 设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量, 期望是10千克, 方差是0.1千克2. 求100袋这种大米的总重量在990至1010千克之间的概率.解：设第i 袋大米的重量为X i ，(i =1,2,…,100)，则100袋大米的总重量为∑==1001i i X X 。
因为 10)(=i X E ，1.0)(=i X Var ，所以 100010100)(=⨯=X E ，101.0100)(=⨯=X Var 由中心极限定理知，101000-X 近似服从)1,0(N故 )10|1000(|)1010990(<-=<<X P X P1)10(2)10|101000(|-Φ≈<-=X P998.01999.021)16.3(2=-⨯=-Φ=5.4 一加法器同时收到20个噪声电压,(1,2,,20)i V i = ，设它们是相互独立的随机变量，并且都服从区间[0,10]上的均匀分布。
记201k k V V ==∑，求(105)P V >的近似值。
概率论及数理统计习题集及答案
第1章概率论的基本概念§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。
设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。
A BL RC D1.甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案§1 .8.1：用A,B,C,D表示开关闭合，于是T = AB∪CD,从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)422p224-+==pppp-2：(1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章随机变量及其分布0-分布和泊松分布§2.211 某程控交换机在一分钟接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X有分布律：X 23 , Y～π(X), 试求：p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3) 已知Y≤2, 求X=2 的概率。
§2.3贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.6均匀分布和指数分布2 假设打一次所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。
§2.7正态分布1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(2<X ≤5) , P(- 4<X ≤10), P(|X|>2),P(X>3)； (1)确定c ，使得 P(X>c) = P(X<c)。
概率论课后习题答案第一章
2008年4月第一章1.1 解⑴记9件合格品分别为正1正2�6�7正9记不合格品为次则Ω正1正2正1正3正1正4�6�7正1正9正1次正2正3正2正4�6�7正2正9正2次正3正4�6�7正3正9正3次�6�7 正8正9正8次正9次A正1次正2次正3次�6�7正9次⑵记2个白球分别为w1w23个黑球分别为b1b2b34个红球分别为r1r2r3r4。
则Ωw1w2b1b2b3r1r2r3r4 ⅰA w1w2。
ⅱB r1r2r3r4。
1.2 解⑴事件ABC表示该生是三年级男生但不是运动员。
⑵ABCC等价于CAB表示全系运动员都是三年级的男生。
⑶当全系运动员都是三年级学生时。
⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。
1.3 解⑴1niiA⑵22221222211nCDniCDiCDCDnCDACDCD ⑶11nnijijjiAA⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”可表为1nijijijAA。
1.4 解1—4显然5和6的证法分别类似于课文第10—12页1.5式和1.6式的证法。
1.5 解样本点总数为28A8×7。
所得分数为既约分数必须分子分母或为71113中的两个或246812中的一个和71113中的一个组合所以事件A“所得分数为既约分数”包含28A218A×15A3×22×3×52×3×6个样本点。
于是PA23698714。
1.6 解样本点总数为5310。
所取三条线段能构成一个三角形这三条线段必须是3、5、7或5、7、9。
所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点于是PA310。
17解显然样本点总数为13事件A“恰好组成MATHEMATICIAN”包含3222个样本点。
所以3222481313PA 18解任意固定红“车”的位置黑“车”可处在9×10-189个不同位置当它处于和红“车”同行或同列的9817个位置之一时正好互相“吃掉”。
概率论与数理统计课后习题集及答案详解
概率论与数理统计课后习题集及解答第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-=)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= 0.97－0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B511)()()()()|(2102621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品 所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.13.01.04.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________. 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________. 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅-⋅-⋅-++.二．单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ⋃B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ⋃B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)41)()(≥--A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案. 6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是 (A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324． 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i -=, 31239)|(c c B A P i i -=)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=146.0484007056)201843533656398411()220(12==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=⨯⨯==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率. 解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z Pα723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时 0)(=x X ϕ 当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,18)3(,9)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为3122 0 122 则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______.iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y 解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是 (A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D)y arctan 1π解. )2()2(}2{)()(y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e ==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(m in(1))2,(m in()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m in(1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.1310)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P 1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P 1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii.13)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ⎰⎰∞--=-==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x x ϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布.解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ 其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 =54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时 1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时D 1z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219921811811)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解. i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X －Y) = _______. 解. D(2X －Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ～N(－3, 1), Y ～N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y + 7, 则Z ～____. 解. 因为Z = X －2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)－2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X －2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ～N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅(i = 1, 2, …, n) 又设∑==ni i X X 1, 则27)()()(11nX E X E X E ni i ni i ===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. ),2(~p B X , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[－1, 2]上服从均匀分布, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧-=101Y 000<=>X X X , 则方差D(Y) = _______.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤-xY因为 33)0()1(20==>==⎰dx X P Y P 0)0()0(====X P Y P3131)0()1(01==<=-=⎰-dx X P Y P于是 313132)(=-=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=-=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010, 则∑==31i i X X 服从_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N(0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______.解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以),cov(Y X = 0.8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为:⎩⎨⎧=02)(x x ϕ 其它10≤≤x , ⎩⎨⎧=--0)()5(y e y ϕ 其它5>y , 则E(XY) = ________. 解. 322)()(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==⎰⎰∞+--∞+∞-dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1－2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+-==4639441262=⨯+⨯+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)－E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. 0)()()(22=-=Y E X E UV E .所以 cov(X,Y) = E(UV)－E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2, x 3所对应的概率为(A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=--=--++=++=p p p p p p p x p x p x X E 7.0221=+p p9.5)1(94)(21213232221212=--++=++=p p p p p x p x p x X E 1.35821=+p p解得 p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案.4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望(A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X 表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X 的分布律为157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ～N(μ, 42), Y ～N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ－4}, P 2 = P{Y≥ μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2 (C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2 解. P 1 = {X ≤ μ－4} =)1(1)1(14Φ-=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X －Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)－E 2(X) = E(Y 2)－E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)－E(ξ)E(η)E(ξη) =)()()])([(22Y E X E Y X Y X E -=-+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)－E(Y)] = )()(22Y E X E - 所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑∑∑∞=∞=-∞=+ 2222)11()1()1(a aa a a a a f =+-+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+-+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E∑∑∑∞=∞=+∞=+-+++=+-++=11111)1()1(11)1()1()1(k kkk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=-∞= 23)1(2)11(12)1(a a a a a aa a f +=+-+=+,所以2222)1(211)(a a a a a aX E +=-+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=-+=-=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2xx πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===⎰⎰-∞+∞-πππϕxdx xdx x x X E⎰-=-=222222cos 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 122222-=+=⎰πππdx x x 3.求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 25.015.0)1(40.0145.002)(sin =⨯-+⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X 的概率分布, ii. ⎪⎭⎫⎝⎛+XE 11 解. 假设X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =2P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅ P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =3219667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+-04),()(22y xxye y x ϕ其它0,0>>y x求)(22Y X E +. 解. ⎰⎰⎰⎰>>+-∞+∞-∞+∞-+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=⎰⎰∞+-rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ 其它l x ≤≤0, Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0(X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ 其它l y x ≤≤,0.又设Z = |X －Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤ x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l }⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-=∞+∞-∞+∞-21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ⎰⎰⎰⎰-+-=l y lxdy dx x y l dx dy y x l2002])([1])([13212122022ldy y l dx x ll l=+=⎰⎰ 6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =-=-=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =-=-=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<-∞=--x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+∞--dt te t ||21+μμμ==⎰⎰∞+-∞+∞--0||21dt e dt e tt⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+-02dt e t t+20022μμμ+==⎰⎰∞+-∞+-dt e dt e t t所以 22)]([)()(2222=-+=-=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x 其它122≤+y x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).解. 01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41sin 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=-=X E X E X D , 41)]([)()(22=-=Y E Y E Y D0)()()()()(=-=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少? 解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ～B(5, 0.8)33.0)8.0()0(5===X P , 41.0)8.0(2.05)1(4=⨯⨯==X P20.0)8.0(2.0)2(3225=⨯⨯==c X P , 06.020.041.033.01)3(=---=≥X P又设YE(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (－2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度)(t f 、数学期望和方差.解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=-05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y .X 、Y 的联合密度: ⎩⎨⎧≥≥=+-,00,0,25),()(5y x e y x f y x关于T 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)(当 0<t 时⎰⎰⎰⎰≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)(当 0≥t 时⎰⎰⎰⎰≥≥≤++-≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy edxdy y x f t Y X P t T P t Ft t tx t y x x t y t x te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525----------=-==⎰⎰⎰所以 ⎩⎨⎧<≥--=--0,00,51)(55t t te e t F t t T所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==-0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ⎰⎰∞+∞-∞+-===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以⎰⎰∞+∞-∞+-=-=-=-=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT第四章 大数定律和中心极限定理一. 填空题1. 设Y n 是n 次伯努利试验中事件A 出现的次数, p 为A 在每次试验中出现的概率, 则对任意 ε > 0, 有=⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n __________. 解. =⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n 1－011||lim =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n Y P n n2. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X －Y| ≥ 6) ≤ _______. 解. E(X －Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0 D(X －Y) = D(X) + D(Y)－)()(2Y D X D XY ρ= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3所以 1213636)()6|(|2==-≤≥-Y X D Y X P二. 选择题1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, n S 近似服从正态分布, 只要n X X X ,,,21 ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布解. 列维－林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求n X X X ,,,21 既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.三. 计算题1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ～B(400, 0.02) 由棣莫佛－拉普拉斯定理:。
概率论课后答案1-7章(修改版)
第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{Λ=S ；（3）},,,,{ΛTTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。
2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。
解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P ，5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。
（2）4只中至少有2只红球。
（3）4只中没有白球。
解: （1）所求概率为338412131425=C C C C ； （2） 所求概率为165674952014124418342824==++C C C C C C ； （3）所求概率为16574953541247==C C 。
8，（1）设,1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求)|(),|(),|(B A A P A B P B A P ⋃,)|(),|(AB A P B A AB P ⋃.（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。
概率论与数理统计学1至7章课后答案
概率论与数理统计学1至7章课后答案(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章作业题解:掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足 式.解：由表格知并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ；363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ；365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。
即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a甲、乙两人投篮时, 命中率分别为 和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ======== 两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。
所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k ，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P设事件A 在每次试验中发生的概率均为 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论课后习题答案1～7章
习题一1． 略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3. 略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）=517=（17）5 （亦可用独立性求解，下同）（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P（A2）=5567=(67)5(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A3）=1-P(A1)=1-(17)59. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：（1）n件是同时取出的；（2）n件是无放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的.【解】（1）P（A）=C C/Cm n m nM N M N--(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n N种，n次抽取中有m次为正品的组合数为C m n种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有P m M种，从N-M件次品中取n-m件的排列数为P n mN M--种，故P（A）=C P PPm m n mn M N MnN--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P（A）=C CCm n mM N MnN--可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n次抽取中有m次为正品的组合数为C m n种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有M m种取法，n-m次取得次品，每次都有N-M种取法，共有（N-M）n-m种取法，故()C ()/m m n mnnP A M N M N-=-此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为M N，则取得m 件正品的概率为()C 1mn mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1)1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3)2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 【解】（1）223151115()()22232p C ==(2)1342111C ()()22245/325p ==16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212333()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617． 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】4111152222410C C C C C 131C 21p =-=18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1）()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A ===（2）()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+-0.70.510.70.60.54-==+-24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球} 由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知 （1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2)()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯ 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为(0.8)0.1n ≤故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32. 证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】(|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B = 亦即()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B =故A 与B 相互独立.33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】（1）3101100C (0.35)(0.65)0.5138kk k k p -===∑(2)10102104C (0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1）2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1）111p n =-(2)23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3)12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥38. 将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）.【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====,24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此213319()1()()181616P A P A P A =--=--=或12143323C C C 9()416P A ==43. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率. 【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44. 掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45. 设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246. 证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得 ()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有()()P AC P BC ≥同理由(|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率. 【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A nn P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j n n kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k k n n k n n nn n n n--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+ 111(1)C (1)n n k nn n+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品}由题知(),()m nP B P B m n m n==++1(|),(|)12r P A B P A B == 则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+121212rrr m m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。
概率论和数理统计学1至7章课后答案解析
一、第六章习题详解6.1 证明（6.2.1）和(6.2.2)式.证明： (1) ∑∑∑===+=+==ni i n i i n i i nb X a n b aX n Y n Y 111)(1)(11b X a b X n a ni i +=+=∑=1)1((2) ∑∑==+-+=--=n i i n i i Yb X a b aX n Y Y n S 12122)]()[(1)(11 2212212)(1)]([1X ni i n i i S a X X n a X X a n =-=-=∑∑==6.2设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2σ的总体的样本, X 与2S 分别为该样本均值。
证明与2(),()/E X Var X n μσ==. 证：()E X =1212111[()]()()n n E X X X E X X X n nn n μμ++=++==()Var X =22121222111[()]()()n n Var X X X E X X X n nnn nσσ++=++==6.3 设n X X X ,,,21 是抽自均值为μ、方差为2σ的总体的样本,2211()1ni i S X X n ==--∑, 证明: (1) 2S =)(11212X n X n ni i --=∑= (2) 2()E S =2σ= 证：(1) ∑∑==+--=--=n i i i n i i X X X X n X X n S 122122)2(11)(11 ]2)([112112X n X X X n n i i n i i +--=∑∑== ])(2)([11212X n X n X X n n i i +--=∑=)(11212X n X n ni i --=∑= (2) )(11)(2122X n X E n S E n i i --=∑=)]()([11212X nE X E n ni i --=∑= ]})()([])()([{11212X E X Var n EX X Var n ni i i +-+-=∑= )}()({1122122μσμσ+-+-=∑=nn n ni )]()([112222μσμσn n n +-+-=222)(11σσσ=--=n n6.4 在例6.2.3 中, 设每箱装n 瓶洗净剂. 若想要n 瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超 过0.3毫升的概率近似为95%, 请问n 至少应该等于多少？ 解：因为1)3.0(2)/3.0|/(|)3.0|(|-Φ≈<-=<-n nnX P X P σσμμ依题意有，95.01)3.0(2=-Φn ，即)96.1(975.0)3.0(Φ==Φn于是 96.13.0=n ，解之得 7.42=n 所以n 应至少等于43.6.5 假设某种类型的电阻器的阻值服从均值 μ=200 欧姆, 标准差σ=10 欧姆的分布,在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.(1) 求这25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率; (2) 求这25个电阻总阻值不超过5100 欧姆的概率.解：由抽样分布定理，知nX /σμ-近似服从标准正态分布N (0,1)，因此(1) )25/10200199()25/10200202()202199(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0(1)1()5.0()1(Φ+-Φ=-Φ-Φ=5328.06915.018413.0=+-= (2) )204()255100()5100(≤=≤=≤X P X P X n P9772.0)2()25/10200204(=Φ=-Φ≈6.6 假设某种设备每天停机时间服从均值μ=4 小时、标准差σ=0.8小时的分布. (1) 求一个月(30天) 中, 每天平均停机时间在1到5小时之间的概率; (2) 求一个月(30天) 中, 总的停机时间不超过115 小时的概率. 解：(1))30/8.041()30/8.045()/1()/5()51(-Φ--Φ=-Φ--Φ≈≤≤nnX P σμσμ1)54.20()85.6(≈-Φ-Φ=(2) )30115()11530(≤=≤X P X P 1271.08729.01)14.1(1)30/8.0430/115(=-=Φ-=-Φ≈6.7 设~n T t ，证明()0,2,3,.E T n ==证：)(n t 分布的概率密度为: +∞<<-∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛+Γ+Γ=+-t n x n n n x f n ,1)2/(]2/)1[()(212π，()()E T xf x dx +∞-∞==⎰=112222212211(1)10n n nx x x dx d n n nx n ++--+∞+∞-∞-∞-+∞-∞⎫⎫+=++⎪⎪⎭⎭⎫=+=⎪⎭⎰⎰6.8 设总体X ~N(150，252), 现在从中抽取样本大小为25的样本, {140147.5}P X ≤≤. 解： 已知150=μ，25=σ，25=n ，)25/25150140()25/251505.147()5.147140(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0()2()2()5.0(Φ-Φ=-Φ--Φ=2857.09615.09772.0=-=6.9 设某大城市市民的年收入服从均值μ=1.5万元、标准差σ=0.5万元的正态分布. 现 随机调查了100 个人, 求他们的平均年收入落在下列围的概率: (1) 大于1.6万元; (2) 小于1.3万元; (3) 落在区间[1.2，1.6] .解：设X 为人均年收入，则)5.0,5.1(~2N X ，则)1005.0,5.1(~2N X ，得 (1) )100/5.05.16.1(1)6.1(1)6.1(-Φ-≈≤-=>X P X P0228.09772.01)2(1=-=Φ-=(2) 011)4(1)4()100/5.05.13.1()3.1(=-≈Φ-=-Φ=-Φ≈<X P(3) )100/5.05.12.1()100/5.05.16.1()6.12.1(-Φ--Φ≈<<X P9772.0)6()2(=-Φ-Φ=6.10 假设总体分布为N(12，22), 今从中抽取样本125,,,X X X . 求(1) 样本均值X 大于13的概率; (2) 样本的最小值小于10的概率; (3) 样本的最大值大于15的概率.解：因为 )2,12(~2N X ，所以22~(12,)5X N ，得(1) )5/21213(1)13(1)13(-Φ-≈≤-=>X P X P1314.08686.01)12.1(1=-=Φ-=(2) 设样本的最小值为Y ，则),,,(521X X X Min Y =，于是)10(1)10(≥-=<Y P Y P)10()10()10(1521≥≥≥-=X P X P X P)]21210(1[1)]10(1[15151-Φ-∏-=<-∏-===i i i X P5785.0)8413.0(1)1(1)]1(1[155151=-=Φ∏-=-Φ-∏-===i i(3) 设样本的最大值为Z ，则),,,(521X X X Max Z =，于是)15(1)15(≤-=>Z P Z P)15()15()15(1521≤≤≤-=X P X P X P)21215(151-Φ∏-==i 2923.0)9332.0(1)5.1(1551=-=Φ∏-==i6.11设总体),(~2σμN X ，从中抽取容量样本1216,,,X X X , 2S 为样本方差. 计算22 2.04S P σ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.解 因为),,(~2σμN X 由定理2, 得),1(~)1(21222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑=n X X S n ni i χσσ 所以,1)1(22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n S n E σ),1(2)1(22-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n S n D σ于是,)(22σ=S E ).1/(2)(42-=n S D σ 当16=n 时, ,15/2)(42σ=S D 且2222{/ 2.04}{15/30.615}P S P S σσ≤=≤}615.30/15{122>-=σS P99.001.01=-=).578.30)15((201.0=χ第六章 《样本与统计量》定理、公式、公理小结及补充：。
《概率论与数理统计》第三版_科学出版社_课后习题答案.所有章节
第二章 随机变量 2.12.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计学1至7章课后答案解析
第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。
并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。
即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{Λ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。
所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{Λ===k k X P k，求 };6,4,2{)1(Λ=X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++==ΛΛΛX P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊 松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论第二版习题答案
概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在统计学、金融学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
第二版的概率论教材通常会在第一版的基础上进行修订和补充，以反映最新的研究成果和教学方法。
以下是一些概率论习题的答案示例，这些答案仅供参考，具体习题的答案可能会根据教材的不同而有所变化。
第一章：概率空间1. 习题1：描述一个概率空间的基本元素。
- 答案：一个概率空间由三个基本元素组成：样本空间(Ω)，事件集合(F)，以及概率测度(P)。
样本空间包含了所有可能的结果，事件集合是样本空间的子集，概率测度为每个事件分配一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性。
2. 习题2：证明如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B) = P(A) +P(B)。
- 答案：由于A和B互斥，即A∩B = ∅，根据概率测度的性质，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
由于A和B互斥，P(A∩B) = 0，因此P(A∪B) = P(A) + P(B)。
第二章：随机变量及其分布1. 习题1：定义离散型随机变量和连续型随机变量。
- 答案：离散型随机变量是其取值可以列举的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。
连续型随机变量是其取值无法一一列举的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。
2. 习题2：如果X是一个随机变量，求E(X)和Var(X)。
- 答案：期望E(X)是随机变量X的平均值，定义为E(X) = ∑x *P(X = x)（对于离散型随机变量）或E(X) = ∫x * f(x) d x（对于连续型随机变量）。
方差Var(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
第三章：多维随机变量及其分布1. 习题1：描述联合分布函数和边缘分布函数的关系。
- 答案：联合分布函数给出了两个或多个随机变量同时取特定值的概率，而边缘分布函数是通过对联合分布函数进行积分或求和得到的，它给出了单个随机变量的分布。
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一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{6.18.0≤=x x B具体写出下列各事件：(1) AB ; (2) B A - ; (3) B A -; (4) B A ⋃（1）AB }{18.0≤=x x ；(2) B A -=}{8.05.0≤≤x x ；(3) B A -=}{28.05.00≤⋃≤≤x x x ;(4) B A ⋃=}{26.15.00≤⋃≤≤x x x1.4 用作图法说明下列各命题成立：略1.5 用作图法说明下列各命题成立：略1.6 按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃, 并说明理由.解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤，而由加法公式，有：)()()(B P A P B A P +≤⋃1.7 若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：175.0)()()()(=-+=⋃WE P E P W P E W P(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=WE P W P E W P(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=⋃-=E W P E W P .1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。
试问：(1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少?(2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?解：(1) 由于B AB A AB ⊆⊆,，故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ⊆时P(AB)取到最大值。
最大值是0.6.(2) 由于)()()()(B A P B P A P AB P ⋃-+=。
显然当1)(=⋃B A P 时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一个发生的概率.解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：7.0)()()()()()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P1.10 计算下列各题：(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A ⋃B) = 0.6, 求P(AB);(2) 设P(A) = 0.8, P(A ⋃B) = 0.4, 求P(AB);(3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。
解：（1）通过作图，可以知道，3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P（2）6.0))()((1)(1)(=---=-=B A P A P AB P AB P 7.0)(1)()()()(1))()()((1)(1)()()3(=-=+--=-+-=⋃-==A P B P AB P B P A P AB P B P A P B A P B A P AB P 由于1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？ 解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1,2,3。
三只球放入四只杯中，放法有44464⨯⨯=种，每种放法等可能。
对事件1A ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。
放法4×3×2种，故83)(1=A P(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。
对事件3A ：必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故161)(3=A P 。
169161831)(2=--=A P1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少?解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。
.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。
故前后两次出现的点数之和为3的概率为181。
同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是91,121。
1.13 在整数9,2,1,0 中任取三个数, 求下列事件的概率：(1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5. 解：从10个数中任取三个数，共有120310=C 种取法，亦即基本事件总数为120。
(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有624=C 种，故所求概率为201。
(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有1025=C 种，故所求概率为121。
1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。
现从这12 只乒乓球中随机地取出两 只, 求下列事件的概率：(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.解：分别用321,,A A A 表示事件：(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则,111666)(,33146628)(212242212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P 。
1.15 已知4.0)(,7.0)(==B P A P ，5.0)(=B A P , 求).)((B B A P ⋃ 解：)())()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ⋃=⋂⋃=⋃ 由于0)(=B B P ，故5.0)()()()()())((=-==⋃B P B A P A P B P AB P B B A P1.16 已知4.0)(,6.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P 。
计算下列二式：(1) );(B A P ⋃（2）);(B A P ⋃解：（1）;8.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P AB P B P A P B A P（2）;6.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P B A P B P A P B A P 注意：因为5.0)(=B A P ，所以5.0)(1)(=-=B A P B A P 。
1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。
现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：(1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品;(2) 第三次才取到次品;(3) 第三次取到次品.解：用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”（3,2,1=i ），则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”（3,2,1=i ）。
11212115331421(),()()()20441938P A P A A P A P A A ====⨯= (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：3125()18P A A A =。
(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：1231213121514535()()()()201918228P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯= （3）事件“第三次取到次品”的概率为：41 此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。
再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。
用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”（2,1=i ）， 则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：1)(12=A A P ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：21)()()(12121==A A P A P A A P 。
区别是显然的。
1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。