上海师范大学学科数学(949)2012年考题

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上海师范大学947考研真题

2003 年上海师范大学学科语文考研真题
二、简述题 1、语文教学应贯彻哪些原则？ 2、如何理解语文的工具性？ 3、阅读教学的作用是什么？ 4、作文批改应贯彻哪些原则？三、论述题 1、举例说明语文学科的人文性问题。 2、语文教学中如何加强思维训练 3、当今时代，为何要进行文言文教学
一、简答题（60 分） 1、语文课程标准对语文教学有何作用（意义/启示）； 2、课堂教学中如何体现学生的主体（好像是这个，反正就是如何体现关注学生之类的）地位； 3、设计单元教案时需要注意哪些问题？二、论述题（40 分）有人在文言文教学中，提出了“文言文与文章”、“文言文与文学”、“文言文与文化”三种方式，谈谈你对此的看法。三、写教案（50 分）是根据一首诗歌写教案，有明确的要求，比如写明教学目标，教学过程，教学方法之类的
2018 年上海师范大学学科语文 947 考研真题一、简答 1、语文核心素养的相关理论 2、结合阅读能力研究阐述“整本书阅读”和“群文” 3、阅读“对阅读教学探索的价值” 二、论述 1、根据写作教学相关理论指出所给材料的长处与不足 2、教学设计屠格涅夫《白菜汤》
2017 年上海师范大学 947 学科语文考研真题
三写教案50是根据一首诗歌写教案有明确的要求比如写明教学目标教学过程教学方法之类的2016年上海师范大学学科语文考研真题一名词解释act阅读测验法课程资源语文教材二简答三论述1以某课为例解释教是为了不教2以写好语言特色表达人物个性的写作教学阐述你的教学设计过程四设计为初中三个年级的学生设计阅读方案并阐述为什么这样设计2015年上海师范大学学科语文考研真题大语文建构主义意境合作学习课程资源批注二简答4151备课要考虑学生哪些因素2阅读经典的意义写作能力是不可教的谈谈看法4如何进行快乐教育三论述2301工具性和人文性相统一谈谈认识2学生语文水平下降什么原因

2012年上海市高考数学试卷(文科)教师版

2012年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案【解答】解：故答案为1﹣2i2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x﹣1＞0}，B={x||x|＜1}，则A∩B=（，1）．【分析】由题意，可先化简两个集合A，B，再求两个集合的交集得到答案【解答】解：由题意A={x|2x﹣1＞0}={x|x＞}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1）3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．【分析】先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为：π4．（4分）（2012•上海）若，是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【分析】根据直线的方向向量的坐标一般为（1，k）可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．【解答】解：∵，是直线l的一个方向向量∴直线l的斜率为即tanα=则l的倾斜角的大小为arctan故答案为：arctan5．（4分）（2012•上海）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．【分析】求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．【解答】解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．【分析】根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体解关于2x的一元二次方程即可．【解答】解：∵4x﹣2x+1﹣3=0∴（2x）2﹣2×2x﹣3=0∴（2x﹣3）（2x+1）=0∵2x＞0∴2x﹣3=0∴x=log23故答案为x=log237．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．【分析】由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+…+v n）==故答案为：8．（4分）（2012•上海）在的二项式展开式中，常数项等于﹣20．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r【解答】解：展开式的通项为T r+1令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣1）3=﹣20故答案为：﹣209．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）=3．【分析】由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2得到g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4，从而解出答案【解答】解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3故答案为：310．（4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．【分析】作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y 轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求【解答】解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2，0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣211．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）【分析】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择相同的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4] ．【分析】先以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立坐标系如图，∵AB=2，AD=1，∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设M（2，b），N（x，1），∵，∴b=∴，，=（2，），∴=，，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、，、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．【分析】先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可【解答】解：依题意，当0≤x≤时，f（x）=2x，当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2，∴f（x）=，，∴y=xf（x）=，y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），若a2010=a2012，则a20+a11的值是．【分析】根据，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．【解答】解：∵，各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+2=f（a n），∴a1=1，，，a7=，，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．（5分）（2012•上海）若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=2，c=﹣1C．b=﹣2，c=﹣1D．b=﹣2，c=3【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0，即∴，解得b=﹣2，c=3故选：D．16．（5分）（2012•上海）对于实数m，n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选：B．17．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【分析】由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=＜∴＜＜∴△ABC是钝角三角形故选：C．18．（5分）（2012•上海）若S n=sin+sin+…+sin（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．100【分析】由于sin＞0，sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S1＞0，…S13=0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．【解答】解：∵sin＞0，sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，∴S1=sin＞0，S2=sin+sin＞0，…，S8=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，…，S12＞0，而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0，S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，∴S14n﹣1∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC 的中点，已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）=，【分析】（1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC 然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式，得到三棱锥P﹣ABC的体积；（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．【解答】解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，∴S△ABC=×2×=又∵PA⊥底面ABC，PA=2∴三棱锥P﹣ABC的体积为：V=×S△ABC×PA=；（2）取BP中点E，连接AE、DE，∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点∴DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（锐角）因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．【解答】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由＞＞解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴＜＜．由＜＜＜＜，得：＜＜．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【分析】（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P 的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．【解答】解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（＜）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．（1）求出双曲线的左焦点F的坐标，设M（x，y），利用|MF|2=（x+）2+y2，求【分析】出x的范围，推出M的坐标．（2）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出平行四边形的面积．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．【解答】解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣，），设M（x，y），则|MF|2=（x+）2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF|==2，得x=，所以M（，）．（2）左焦点F（﹣，），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求平行四边形的面积为S=．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由，得（2﹣k2）x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．23．（18分）（2012•上海）对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，…，a k}（k=1，2，…，m），即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n}．（2）设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：b k=a k（k=1，2，…，m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是{a n}的控制数列，求（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）．【分析】（1）根据题意，可得数列{a n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；（2）依题意可得b k+1≥b k，又a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，从而可得a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，整理即证得结论；（3）根据，可发现，a4k﹣3=a（4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2），a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k）2﹣4k，通过比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞a4k﹣2，而a4k+1＞a4k，a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1）（8k﹣3），从而可求得（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）=（a2﹣a3）+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=2525（1﹣a）．【解答】解：（1）数列{a n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；…4分（2）∵b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1，a2，…，a k+1}，∴b k+1≥b k…6分∵a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k，…8分∴b k=a k…10分（3）对k=1，2，…25，a4k﹣3=a（4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2），a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k）2﹣4k，…12分比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1）（8k﹣3）＜0，即a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k﹣a4k﹣2=2（2a﹣1）（4k﹣1）＞0，即a4k＞a4k﹣2，又a4k+1＞a4k，从而b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2，b4k﹣1=a4k﹣2，b4k=a4k，…15分∴（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）=（a2﹣a3）+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=（1﹣a）（8k﹣3）=2525（1﹣a）…18分。

2012年高考文科数学上海卷-答案

4
4
【考点】直线与直线，直线与平面的位置关系，空间中两条异面直线所成的角的求解，空间几何体的体积公
式的运用。
20【. 答案】（1）解：由
轴上截距的最小值，当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 zmin 2 。
6
4
2
B y=x+z
10
5
C
A
5
10
D
2
4
6
【提示】准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 zmin 2 ，结合图形可求。【考点】简单线性规划。 11.【答案】 2
方程组
1

b

c

0
，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项。
2 2 2b 0
【考点】复数代数形式的混合运算，复数相等的充要条件。
16.【答案】B
m 0 【解析】方程 mx2 ny2 1 的曲线表示椭圆，常数 m, n 的取值为 n 0 ，所以，由 mn 0 得不到程
【考点】复数代数形式的乘除运算。
2.【答案】

1 2
,1
【解析】由题意得，
A

{x
|
2x
1＞0}=
x
|
x

1 2

，
A

{x
|
2x
1

0}=
x
|
x

1 2

，
∴A
B

1 2
,1
，故答案为：

1 2
,1
【提示】由题意，可先化简两个集合 A，B，再求两个集合的交集得到答案。

2012年上海高考数学理科试题及答案word版

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算：31i i-=+12i-（i 为虚数单位）2、若集合{}210A x x =+>，{}12B x x =-<，则A B ⋂＝1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭3、函数2cos ()sin 1x f x x=-的值域是53[,]22--4、若(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为arctan 2（结果用反三角函数值表示）5、在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于160-6、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim (...)n n V V V →∞+++=877、已知函数()x af x e-=（a 为常数），若()f x 在区间[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是(,1]-∞8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为33π9、已知2()y f x x =+是奇函数，且(1)1f =，若()()2g x f x =+，则(1)g -=1-10、在极坐标系中，过点(2,0)M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成()f ρθ=的形式，则()f θ＝1sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是23（结果用最简分数表示）12、在平行四边形A B C D 中，3A π∠=，边A B 、A D 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边B C 、C D 上的点，且满足BM C NBC C D=，则AM AN ⋅ 的取值范围是[2,5]13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,5)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为5414、如图，A D 与B C 是四面体A B C D 中互相垂直的棱，2B C =，若2AD c =，且2AB BD AC CDa +=+=，其中,a c 为常数，则四面体A B C D 的体积的最大值是22213c a c --二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15、若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ B ）A 、2,3b c ==B 、2,3b c =-=C 、2,1b c =-=-D 、2,1b c ==-16、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ C ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定17、设412341010x x x x ≤<<<≤，5510x =，随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值122x x +、232x x +、342x x +、452x x +、512x x +的概率也均为0.2，若记1D ξ、2D ξ分别为1ξ、2ξ的方差，则（ A ）A 、1D ξ＞2D ξB 、1D ξ＝2D ξC 、1D ξ＜2D ξ D 、1D ξ与2D ξ大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关18、设1sin25n n a n π=，12...n n S a a a =+++（n N *∈），在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ D ）A 、25B 、50C 、75D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是矩形，P A ⊥底面A B C D ，E 是P C 的中点，已知2A B =，22AD =，2PA =，求：（1）三角形PC D 的面积（2）异面直线B C 与A E 所成的角的大小22:(1),,,.32(22)23,2,1223232P A A B C D P A C D A D C D C D C D P D P D C D P A D ⊥⊥⊥⊥⊥=+==⨯⨯= 解因为底面所以又所以平面PAD 从而分因为所以三角形的面积为(2):,,(2,0,0),(2,22,0),(1,2,1),(1,2,1),(0,22,0)842cos ,222142.42B C E AE BC AE BC AE BC AE BCBC AE πθθπθ=====⨯=解法一如图所示建立空间直角坐标系则分设与的夹角的，则由此知，异面直线与所成的角的大小是分4,222.412PB F EF AF BC EF AF AE AEF AEF BC AE ππ∠∆=∆∠=解法二:取中点，连接、，则EF 从而AEF （或其补角）是异面直线BC 与AE 所成的角.8分在AEF 中，由、＝、＝知是等腰直角三角形所以因此，异面直线与所成的角的大小是分20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数220,1 1.1022220lg(22)lg(1)lg11103112110,1221010,.3311262133133x x x x x x x x x x x x x x x x x ->⎧-<<⎨+>⎩--<--+=<<<+++>+<-<+-<<-<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩-<< 解:(1)由得由得分因为所以得由得分(2)[1,2],2[0,1],()(2)(2)(2)lg(3)10[0,lg 2].310,.14310,[0,lg 2]yxx x y g x g x g x f x x y x y x ∈-∈==-=-=-=-∈=-=-∈ 当时因此分由单调性可得因为所以所求反函数是分21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？222712:(1)0.5,7,,2493.2949,949/4277tan ,,.63030(2),,(7)7013(P P t P x t y x P y AP O AP O AP arcranv vt t ======∠=∠==+ 解时的横坐标代入抛物线方程得的纵坐标分由得救援船的速度的大小写为海里时分由得故救援船速度的方向为北偏东弧度分设救援船的时速为海里经过t 小时追上失事船此时ar 位置为(7t,12t ).由ctan222222222212),1144()337.1012,144233725,.,25451v 2t v t tt ty +=+++≥≥≥⨯+= 整理得分因为当且仅当t=1时等号成立.所以即因此救援船的时速至少是海里才能追上失事船.分22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：O P ⊥O Q（3）设椭圆222:41C x y +=，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且O M ⊥O N ，求证：O 到直线M N 的距离是定值22121,0,2122222,2122241212y 2128x y xA x y x y x x y x y x y O A ⎛⎫--±⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎧=-⎪⎧=-⎪⎪⎨⎨=+⎪⎪⎩=⎪⎩解：（1）双曲线C ：＝，左顶点A 渐近线方程：y=过点与渐近线y=平行的直线方程为即解方程组得所以所求三角形的面积为S ＝＝2222212112221212122121212122222(2),b 1b 22210212(,)(,),1()(),2()2(1)2PQ y x b PQ y x b x bx b x y x x bP x y Q x y x x b y y x b x b O P O Q x x y y x x b x x bb b b b =+=+⎧---=⎨-=⎩+=⎧⎨=--⎩=++=+=+++=--++=设直线的方程是因直线与已知圆相切故＝，即＝由得设、则又所以20.O P O Q -=⊥故()22222222222222222222(3)231,,23x 2(),21.1144414121d d 11d O N x O N O M O M N O N O N y kx k O M y x k x y kx k kO N k x y k y k kO Mk O M N O M O N O MO NO M===>=-⎧=⎪=⎧+⎪+⎨⎨++=⎩⎪=⎪+⎩+++当直线垂直于轴，则直线的距离为当直线不垂直于轴时，设直线的方程为显然则直线的方程为由得所以＝同理＝－设到直线的距离为因为＝，所以＝2221333,d 133k k O NO M N +=+＝即＝综上，到直线的距离是定值.23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{}(,),,Y a a s t s X t X==∈∈，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ ，使得120a a ⋅=，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P（1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值（2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x =（3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式111122121b 001,k a a a a a a ∈∈=∈=解：（1）选取＝(x,2),Y 中与垂直的元素必有形式（－1，）所以x ＝2b,从而x=4（2）证明：取＝（x ,x ）Y,设＝（s,t ）Y 满足＝由（s+t ）x 得s+t=0,所以s 、t 异号因为-1是X 中唯一的负数，所以s,t 之中一个为-1, 另一个为1，故1Ｘ. 假设x 11111111112,1(,),(,)0,,11,,;t 1,,;x 1.(3),1,2,.{1,1,,,},2,3,nn n n n i i k k k n x x a x x Y a s t Y a a tx s t s t s x tx t x x sx s x x qi n x x k -<<<<<=∈=∈+=-=-=>≥=-=<≤====-= ２２１其中１则０选取并设满足　＝0，即sx 则异号，从而之中恰有一个为。

2012上海师范大学949学科数学答案

一：填空题1. 文法、修辞、逻辑学、算术、几何、天文、音乐2. （1）古希腊的公理化（2）无穷小算法（3）现代公理化（4）信息时代3. 弗赖登塔尔《作为教育任务的数学》《数学教育再探》现实、数学化、再创造4. 基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验5. 埃尔朗根纲领运动群下的不变量（1）具备较高的数学观点，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。

一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。

（2）发生性的，所以空间的直观，数学上的应用，函数的概念是非常必要的。

教几何学，在教科书的卷首应该写上“欧几里得不是为孩子写这本书的”。

（3）一般概念和方法（4）函数6. 实用性功能、思维训练功能、选拔性功能二：简述题1. （1）学生进行数学学习不仅获得了客观性的知识（如四则运算法则（2）学生的数学活动经验是学生对所学数学对象的认识，它反映了学生对数学的真正理解。

数学双基教学要为学生提供更多的从事数学活动的机会，让学生参与其中，引导学生形成正确的数学活动经验。

2. （1）数学教育要适应社会的需求。

教育的作用是要把自然的人培养成社会的人，使其成为社会生产力的组成部分。

所以，社会的政治经济发展、科学技术的需求在很大程度上影响着数学课程的目标和内容。

（2）数学学科的特点决定着数学教育目标的达成。

数学是关于现实世界数量关系和空间形式的科学，也是关于模式的科学。

数学本身的特点包括模型化、数量化、算法化，论述的逻辑严谨性、语言表达的简约性，解决问题的思维过程、辩证因素等诸多方面。

让学生学习和理解这些特点，是数学教育应当达到的目标。

（3）学生的年龄特征是决定数学教育目标的主要依据。

在数学教学过程中，学生既是教学的客体，又是学习的主体。

因此确定数学教育目标，必须慎重考虑学生的年龄特征和认知水平。

教学要求过低，缺乏挑战性，教学内容超过学生的认知水平，学生学不会。

（4）数学教育必须服从总教育目标：全面推进素质教育 3. （1）基本的和重大的数学思想方法：这是一种宏观的数学思考，往往是一个数学学科的出发点，也会依托于一种哲学范畴的数量化。

2012年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案解答：解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，所以A∩B=（﹣，3）故答案为（﹣，3）点评：本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重要，要准确化简3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是．考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．解答：解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x∵﹣1≤sin2x≤1∴﹣≤﹣sin2x≤则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣∴函数f（x）=的值域是故答案为：点评：本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基础题．4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．考点：平面向量坐标表示的应用．专题：计算题．分析：根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．解答：解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2∴α=arctan2故答案为：arctan2点评：本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题．5．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．6．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+…+v n）==故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．考点：指数函数单调性的应用．专题：综合题．分析：由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围解答：解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]点评：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型．8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=﹣1．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案解答：解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．解答：解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得ρ=f（θ）=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及正弦定理的应用，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于基础题．11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5]．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．解答：解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设==λ，λ∈[0，1]，M（2+），N（），所以=（2+）•（）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．点评：本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力．13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点：函数的图象．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：根据题意求得f（x）=，从而y=xf（x）=，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．解答：解：由题意可得，f（x）=，∴y=xf（x）=，设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=10x2dx+（﹣10x2+10x）dx=10×+（﹣10）×+10×=﹣+5﹣==．故答案为：．点评：本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于难题．14．（4分）（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE 都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．解答：解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB=，EF=，所以几何体的体积为：×=．故答案为：．点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．二、选择题（20分）：15．（5分）（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1考点：复数相等的充要条件．专题：计算题；转化思想．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题16．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围解答：解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；压轴题．分析：根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．解答：解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：=（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）=且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选择A．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题．18．（5分）（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；压轴题．分析：由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断解答：解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选D点评：本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为；[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥PA．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，∴PD==2．∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴=（1，，1），=（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ===，∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△PAC中，PC==4．∴AE=PC=2，∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．点评：本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析：（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=，利用，求出，，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．解答：解：（1）双曲线C1：左顶点A（﹣），渐近线方程为：y=±x．过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，由，得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（x1+b）（x2+b）．所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2=b2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=，由得，所以．同理，设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以==3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．（18分）（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．考点：数列与向量的综合；元素与集合关系的判断；平面向量的综合题．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题．分析：（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n．记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n；[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．解答：解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设x k=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n．再取=（x1，x n）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+tx n=0，所以s、t异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x1=tx n＞t≥x1，矛盾；②若t=﹣1，则x n=sx1＜s≤x n，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n先证明若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．任取=（s，t），s、t∈A k，当s、t中出现﹣1时，显然有满足当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．因为A k+1具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈A k+1，使得，从而s1、t1其中有一个为﹣1不妨设s1=﹣1，假设t1∈A k+1，且t1∉A k，则t1=x k+1．由（s，t）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．再用数学归纳法，证明x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立；假设当n=k时，A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，则x i=q i﹣1，i=1，2，…，k 当n=k+1时，若A k+1═{﹣1，x1，x2，…，x k+1}具有性质P，则A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，所以A k+1═{﹣1，q，q2，…，q k﹣1，x k+1}．取=（x k+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，则x k+1=，不可能所以s=﹣1，x k+1=qt=q j≤q k且x k+1＞q k﹣1，因此x k+1=q k综上所述，x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．由于＜＜＜…＜，已经有n﹣1个数对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，＜＜＜…＜…注意到＞＞＞…＞，所以==…=从而数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．点评：本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与向量的综合等知识点，属于难题．本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．。

2012年上海高考数学试卷及答案(理科)

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。

2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。

3．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是。

4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于。

6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。

7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）。

若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是。

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为。

9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。

10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf 。

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）。

12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足||||||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是。

13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图像与x 轴围成的图形的面积为。

14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是。

2012年高考文科数学上海卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共22页）数学试卷第2页（共22页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.计算：3i1i－＋= （i 为虚数单位）. 2.若集合{|21A x x =-＞0},{|||B x x =＜1},则A B = .3.函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是 .4.若=(2,1)d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,n V V V 则12lim()n x V V V →∞+++= .8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数.若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= . 10.满足约束条件||2||2x y ＋≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN 的取值范围是 . 13.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C .函数()(01)y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 14.已知1()1f x x=+.各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=.若20102012a a =,则2021a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则（）A .2,3b c ==B .2,1b c ==-C .2,1b c =-=-D .2,3b c =-=16.对于常数m 、n ,“0mn ＞”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件17.在ABC △中,若222sin +sin sin A B C ＜,则ABC △的形状是（）A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .不能确定18.若*π2ππ=sin sin sin()777n n S n +++∈N ,则在12100,,,S S S 中,正数的个数是（）A .16B .72C .86D .100--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第3页（共22页）数学试卷第4页（共22页）三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点.已知π2BAC ∠=,2AB =,AC =2PA =.求：（Ⅰ）三棱锥P ABC -的体积；（Ⅱ）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()lg(1)f x x =+.（Ⅰ）若(12)()1f x f x --0＜＜,求x 的取值范围；（Ⅱ）若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()([1,2])y g x x =∈的反函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .（Ⅰ）当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向；（Ⅱ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:2=1C x y －.（Ⅰ）设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求过M 点的坐标；（Ⅱ）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（Ⅲ）设斜率为(||k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点.若l 与圆221x y +=相切,求证：OP OQ ⊥.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列数集{}n a ,记12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m ==,即k b 为12,,,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ；（Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=（C 为常数,(1,2,,)k m =）.求证：k k a b =(1,2,,)k m =；（Ⅲ）设m =100,常数1(,1)2a ∈.若(122(1)n n n a an n +=--）,{}n b 是{}n a 的控制数列,求1122100100()()()b a b a b a -+-++-.- 3 - / 11A B =1,12⎛ ⎝【提示】由题意，可先化简两个集合【考点】交集及其运算。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学真题(上海卷)试题及点评

【解读报告作者】姓名：邵红能工作单位：上海市城市科技学校2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）．若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =⋅的取值范围是 .13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）A ．3,2==c b .B ．3,2=-=c b .C ．1,2-=-=c b .D ．1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（）A ．21ξξD D >.B ．21ξξD D =.C ．21ξξD D <. D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关.18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（） A ．25. B ．50. C ．75. D ．100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数)1lg()(+=x x f ．（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分.对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ．（1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）答案要点及解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）. 【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-. 故答案为i 21-.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以}321{<<-=x x B A ，即)3,21(-. 故答案为)3,21(-. 3．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是 .【解析】函数x x x x f 2sin 212cos sin 2)(--=--=，因为12sin 1≤≤-x ，所以212sin 2121≤-≤-x ，232sin 21225-≤--≤-x ，即函数)(x f 的值域为]23,25[--. 故答案为]23,25[--.4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【解析】设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan . 故答案为2arctan .5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 【解析】二项展开式的通项为k kk k k kk x C xx C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(3364-=-=C T .故答案为160-.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78. 故答案为78.7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）．若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .【解析】令a x t -=，则a x t -=在区间),[+∞a 上单调递增，而te y =为增函数，所以要是函数ax e x f -=)(在),1[+∞单调递增，则有1≤a ，所以a 的取值范围是]1,(-∞.故答案为]1,(-∞.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 .【解析】因为半圆面的面积为ππ2212=l ，所以42=l ，即2=l ，即圆锥的母线为2=l ，底面圆的周长πππ22==l r ，所以圆锥的底面半径1=r ，所以圆锥的高322=-=r l h ，所以圆锥的体积为πππ33331313=⨯=h r . 故答案为π33. 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 【解析】因为2)(x x f y +=为奇函数，所以22)()(x x f x x f --=+-，所以22)()(x x f x f --=-，32)1()1(=+=f g ，所以1)1(22)1(2)1()1(-=-=+--=+-=-f f f g . 故答案为1-.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .【解析】设直线上的任一点为P ),(θρ,因为6π=∠PAB ,所以θπ-=∠6OPA , 根据正弦定理得OPAOAOAP OP ∠=∠sin sin , 即)6sin(2)6sin(θπππρ-=-，即)6sin(1)6sin(6sin2θπθππρ-=-=．故答案为)6sin(1θπρ-=.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323=C C C 中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323=C C C ，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718=. 故答案为32. 12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 .【解析】设CDCN BCBM==λ（0≤λ≤1），则BM λ==λ,)1(λ-==)1(λ-，则AN AM ⋅=))((DN AD BM AB ++=])1()[(λλ-++ =⋅+2)1(λ-+2λ+⋅-)1(λ, 又∵⋅=2×1×3cosπ=1，2=4，2=1，∴AM ⋅=6)1(5222++-=+--λλλ，∵0≤λ≤1，∴2≤AM ⋅≤5，即⋅的取值范围是[2,5]. 故答案为[2,5].13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .【解析】当210≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=，当121≤<x 时．线段BC 方程为121150--=--x y ，整理得1010+-=x y ，即函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(x x x x x f y ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(22x x x x x x xf y ，函数与x 轴围成的图形面积为dx x x dx x )1010(102121212+-=+⎰⎰12123213)5310(310x x x +-+=45=. 故答案为45. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是．【解析】过点A 做AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，由AD ⊥BC 可知，BC ⊥平面ADE ，所以BC S V V V ADE ADE C ADE B ⋅=+=--31=ADE S 32，当AB=BD=AC=DC=a 时，四面体ABCD 的体积最大.过E 做EF ⊥DA ，垂足为点F ，已知EA=ED ，所以△ADE 为等腰三角形，所以点E 为AD 的中点，又12222-=-=a BE AB AE ，∴EF=12222--=-c a AF AE ，∴ADE S =EF AD ⋅21=122--c a c ， ∴四面体ABCD 体积的最大值=max V ADE S 32=13222--c a c .故答案为13222--c a c .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）A ．3,2==c b B ．3,2=-=c b C ．1,2-=-=c b D ．1,2-==c b 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ．故答案选B ．16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形．故答案选C ．17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关【解析】由题意可知21ξξE E =，又由题意可知，1ξ的波动性较大，从而有21ξξD D >. 注意：本题也可利用特殊值法．故答案选A ． 18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100【解析】当1≤n ≤24时，n a ＞0，当26≤n ≤49时，n a ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，n a ＞0，当76≤n ≤99时，n a ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有n S ＞0．故答案选D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.【解析】（1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ，又∵32)22(222=+=PD ，CD=2，∴△PCD 的面积为3232221=⨯⨯．（2）解法一：取PB 的中点F ，连接EF,AF, 则EF ∥BC ，∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角．在△ADF 中，EF=2、AF=2,AE=2， ∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴∠AEF=4π， ∴异面直线BC 与AE 所成的角大小为4π．解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0),C(2，22,0),E(1，2,1)，∴AE =(1，2,1)，BC =(0,22,0), 设AE 与BC 的夹角为θ，则ACAE AC AE =θcos =222224=⨯,, 又∵0＜θ≤2π，∴θ=4π．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数)1lg()(+=x x f ．（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数．【解析】（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x .因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x ．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度.（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v . 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．【解析】（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y . 解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x .所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S .（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b .由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x .（lb ylfx ）又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ .（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . 设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分.对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ．（1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式.【解析】（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -，所以x =2b ，从而x =4. （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X .假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1.若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1．（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n .先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1. 假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P.现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，kk k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1.综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. 注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数.由于1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x注意到,12111x x x x x x n n >>>- 所以,12211x x x x x x n n n n ===--- 从而数列的通项公式为n k q xx x x k k k ,,2,1,11121 ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位）2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6、方程14230xx +--=的解是7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x =+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-=16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A 、16B 、72C 、86D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF =M 的坐标；（2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k （k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ .23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）答案要点及解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位）【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-. 故答案为i 21-.2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝【解析】集合}21{}012{>=>-=x x x x A ，}11{}1{<<-=<=x x x x B ，所以}121{<<=x xB A ，即)1,21(. 故答案为)1,21(. 3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是【解析】函数x x x x f 2sin 212)2(cos sin )(+=--=，周期ππ==22T ，即函数)(x f 的周期为π. 故答案为π.4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【解析】因为直线的方向向量为),1(2)21,1(2)1,2(k ==，即直线的斜率21=k ，即21tan =α，所以直线的倾斜角21arctan =α. 故答案为21arctan .5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为【解析】底面圆的周长ππ22=r ，所以圆柱的底面半径1=r ，所以圆柱的侧面积为π4 两个底面积为ππ222=r ．，所以圆柱的表面积为π6. 故答案为π6. 6、方程14230xx +--=的解是【解析】原方程可化为0322)2(2=-⋅-xx ，解得32=x，或12-=x （舍去），∴3log 2=x . 故答案为3log 2.7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78.故答案为78.8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于【解析】r rrr xx C T )1(661-=-+=r r r x C 266)1(--，令r 26-=0，得r =3．故常数项为336)1(-C =－20.故答案为－20.9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 【解析】由12)1()1(=+=f g ，得1)1(-=f ，所以32)1(2)1()1(=+-=+-=-f f g . 故答案为3.10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是【解析】作出约束条件表示的平面区域可知，当2=x ，0=y 时，目标函数取最小值，为－2.故答案为－2.11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323=C C C 中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323=C C C ，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718=. 故答案为32. 12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是【解析】==λ（0≤λ≤1），则BM λ==λ,DC DN )1(λ-==AB )1(λ-，则AM ⋅=))((++=])1()[(AB AD AD AB λλ-++ =AD AB ⋅+2)1(AB λ-+2AD λ+AB AD ⋅-)1(λ, 又∵⋅=0， ∴AM ⋅=λ34-，∵0≤λ≤1，∴1≤AM ⋅≤4，即⋅的取值范围是[1,4]. 故答案为[1,4].13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为【解析】⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,2)(x x x f ,121,210≤<≤≤x x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,222x x x y ,121,210≤<≤≤x x∴围成的面积⎰⎰+-+=12122102)22(2dx x x dx x S =213310x +12123)5310(x x +-=41. 故答案为41. 14、已知1()1f x x =+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是【解析】由题意得，213=a ，325=a ，…，13811=a ， ∵20122010a a =，且.n a ＞0，∴2512010+-=a ，易得2010a =2008a =…=24a =22a =24a =.20a ， ∴.20a +11a =251+-+138=265133+.故答案为265133+. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-= 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ，选D.故答案选D.16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件【解析】∵mn ＞0，∴⎩⎨⎧>>,0,0n m 或⎩⎨⎧<<,0,0n m ．方程22ny mx +=1表示的曲线是椭圆，则一定有⎩⎨⎧>>,0,0n m 故“mn ＞0”是“方程22ny mx +=1表示的是椭圆”的必要不充分条件．故答案选B ．17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.故答案选A ． 18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A 、16B 、72C 、86D 、100【解析】由题意可知，1413S S ==2827S S ==4241S S ==…=9897S S ==0，共14个，其余均为正数，故共有100-14=86个正数．故答案选C ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，AC =2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）【解析】（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ，三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC ．（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角．在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos ．因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos ． 12分20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数【解析】（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x .因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .PA BCDE由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x ．21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3． ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时．由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度．（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t ．由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C右支上一点，若MF =M 的坐标；（2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ . 【解析】（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ，由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M .（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x .所求平行四边形的面积为42||||==y OA S .（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*).由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅，所以OP ⊥OQ .23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共14小题,满分56分)每个空格填对得4分,否则一律得零分1.计算:31ii-=+_______(i 为虚数单位)2.若集合{}{}|210,|||1A x x B x x =->=<,则A B =I _______3.函数()sin 21cos x f x x=-的最小正周期是_______4.若()2,1=d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为_______(结果用反三角函数值表示)5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为_______6.方程14230x x +--=的解是_______7.有一列正方体,棱长组成以1为首项,12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,,n V V V ⋅⋅⋅⋅⋅⋅则()12lim n n V V V →∞++⋅⋅⋅+=_______8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于_______9.已知()y f x =是奇函数,若()()2g x f x =+且()11g =,则()1g -=_______10.满足约束条件||2||2x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是_______11.三位同学参加跳高,跳远,铅球项目的比赛,若每人都是选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_______(结果用最简分数表示)12.在矩形A B C D 中,边,AB AD 的长分别为2,1,若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||B MC N B C CD =uuur uuu ruuu r uuu r,则AM AN ⋅uuu r uuur 的取值范围是_______ 13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ,其中()()10,0,(,1),1,02A B C .函数()()01y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为_______14.已知()11f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足()121,n n a a f a +==,若20002012a a =,则2011a a +的值是_______ 二、填空题(本大题共4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分 15.若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则( ) A.2,3b c == B.2,3b c =-= C.2,1b c =-=- D.2,1b c ==- 16.对于常数,m n ,“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17.在ABC ∆中,若222sin sin sin A B C +<,则ABC ∆的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定18.若()π2ππsin sin sin 777n n S n N *=++⋅⋅⋅+∈,则在12100,,,S S S ⋅⋅⋅中,正数的个数是( )A.16B.72C.86D.100三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)19.(本小题12分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,A B C D 是PC 的中点.已知π,2,3,22B AC A B A C P A ∠===,求:(1)三棱锥P ABC -的体积;(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)20.(本小题14分)已知()()lg 1f x x =+(1)若()()0121f x f x <--<,求x 的取值范围;(2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数.PD C B A21.(本小题14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的难纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?22.(本小题16分)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:21C x y -=(1)设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求点M 的坐标;(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为(||k k <的直线l 交C 于,P Q 两点,若l 与圆221x y +=相切,求证:OP OQ ⊥23.(本小题18分)对于项数为m 的有穷数列{}n a ,记{}()12max ,,,1,2,,n k b a a a k m =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,即k b 为12,,,k a a a ⋅⋅⋅中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ; (2)设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m ka b C -++=(C 为常数,1,2,,k m =⋅⋅⋅).求证:()1,2,,k k b a k m ==⋅⋅⋅(3)设100m =,常数1(,1)2a ∈.若()()1221n n n a an n +=--,{}n b 是{}n a 的控制数列,求()()()1122100100b a b a b a -+-+⋅⋅⋅+-.1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。

2012年考研数学真题(完整版)

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13(C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

上海2012年高考数学文科试卷及答案

上海市2012年高考数学(文科)试卷及答案注意：1 •答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分•1. _____________________________________________________________ 已知函数f(x) x 2 1(x 0)的反函数为f 1(x)，贝V f 1(5) _____________________________ .2 22. 椭圆 ——1的焦点坐标为 ___________________ .9 5u3. _________________________________________________________ 方向向量为d (3, 4)，且过点A(1,1)的直线I 的方程是 ______________________________________ .4. 若lim (1 a)n 0,则实数a 的取值范围是 _____________ .n1 0 2一5.某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为(a,b)，则行列式0 1 12 1 23 2b 的值是 ____________ .a 11000人，教师200人.为了调查师生的健康状况，采用a 9 37.若(x -)的二项展开式中x 的系数为 84，则实数a ___________________ .xr r rr& 已知向量 a (sin ,1) , b (1,cos )，若 ab ，贝V _______ .9.从集合｛1,2,3,4,5｝中随机选取一个数 a ，从｛1,2,3｝中随机选一个数b ，则a b 的概率为 _______ .10.已知函数f(x) 1 log a (x 1)(a0, a 1)的图像恒过定点 P ，又点P 的坐标满足方程mx ny 1，则mn 的最大值为 _________ . 11. 在三棱锥 O ABC 中，OA AB , OA AC , OA 2,AB AC 1, BAC 60，则此三棱锥的体积为 __________________ .4 12. 已知函数f(x) |x| ，当x [ 3,1]时，记f (x)的最大值为|x|m ，最小值为n ,贝U m n _______ .13. _______________________________________________________ 函数f(x) sin n x(n N * , x R)的最小正周期为 ________________________________________________ . 14.若X 是 :一个非空集合, M 是「个以X 的某些子集为兀素的集合，且满足:①X M 、 ;②对于 X 的任意子集A 、B ,当A M 且BM 时，有AU B M ； ③对于X 的任意子集 A 、 B ,当A M 且B M 时，有AI B M ；6.某校师生共 1200人，其中学生分层抽样的方法抽取一个容量为 60人的样本，应抽取学生人数为则称M是集合X的一个“ M —集合类” •例如：M ｛,｛ a , b｝｝是集合X ｛a,b｝的一个“ M —集合类”.已知集合X ｛a,b,c｝，写出一个同时含｛b｝和｛Q的“ M —集合类” ______________ 、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.15 •“ X 1 ”是“ X 2 X 0 ”的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件三、解答题（本大题满分 74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）设复数z 满足z | ：：10，且1 2i z （ i 是虚数单位）在复平面上对应的点在直线 y x上，求z .20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8 分. 如图所示的几何体，是将高为 2、底面半径为1 的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体. 01、O 2、O 2分别为 AB 、BC 、DE 的中点，F 为弧AB 的中点，G 为弧BC 的中点.（1）求这个几何体的表面积；（2）求异面直线FO 1与GO 2所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.21. （本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.16. h , I 2 , I 3是空间二条不同的直线，下列命题正确是A . I 1I 2 , 12 13 I 1 //13B .C . I 1//I 2 , I 2//I 3I 1//I 3I 1 I 2 , I 213 h 〃l 2〃l 3 11 , 117.动点P 从点（1,0）出发，在单位圆上逆时针旋转角,的始边在x 轴的正半轴，顶点在（0,0），且终边与角面结论错误的是 1 3的终边关于到点M （h 13,13共面A . sin2,2 B . sin2三33 C . tan2 2D . ta n 2.2IDu已知共有6 项的数列{a n } , a 1 2 ,定义向量c n (a n >a1）、(n , n 1) (n N ),若 |G 1 |d n |，则满足条件的数列{a n }的个数为()A . 2B . 6C .2515D . 2)18.ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosA - , a -,5 5(1 )当B—时，求边b的值；3(2)设B x 0 x ，求函数f(x) b 2 3cosx的值域.22.(本大题满分16分)本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3 小题满6分.设满足条件P：a n a n 2 2a n 1 (n N*)的数列｛a.｝组成的集合为A，而满足条件Q : a n a n 2 2a n i(n N*)的数列｛a.｝组成的集合为B .(1)判断数列｛a n｝: a n 1 2n和数列｛b n｝ :b n 1 2n是否为集合A或B中的元素？3(2)已知数列｛a n｝: a n (n k),研究｛a.｝是否为集合A或B中的元素；若是，求出实数k的取值范围；若不是，请说明理由.i *(3)已知数列｛a n｝: a n 31( 1) log 2 n(i Z , n N )，若｛a.｝为集合B中的元素，求满足不等式| 2n a n | 60的n的值组成的集合.23.(本大题满分18分)本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.如图所示，在平面直角坐标系xOy上放置一个边长为1的正方形PABC，此正方形沿x轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点P位于原点处，设顶占八、、P x, y的纵坐标与横坐标的函数关系是y f (x), x R，该函数相邻两个零点之间的距离为m .(1)写出m的值，并求出当0 x m时，点P运动路径的长度I ;(2)写出函数y f(x),x 2,2的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：函数性质结论奇偶性单调性递增区间递减区间零点(3)写出方程f(x) 实数根的个数并说明理由.5322参考答案15. A 16. C 17. D 18. C三、解答题(本大题满分 74分) 19.(本题满分12分)解：设 z x yi ( x 、y R ),.......................................... 1 分••• |z| .10 ,••• x 2 y 2 10 , .................................................................3 分而(1 2i)z (1 2i)(x yi) (x 2y) (2x y)i ,....................................... 6 分又••• 1 2i z 在复平面上对应的点在直线y x 上，• x 2y 2x y, (8)分2 2 x y 10 x3^.x3 即'，•或； ............................... 10 分x 3yy 1 y 1 即 z (3 i). (12)分20.(本题满分14分)解: (1) s 表 S 侧 S 底 2 rh 2 2rh 26 8;....... 6 分(2)连结 QF 、GO 2、O 2O 2，则 O 1F PGO 2 ,所以 O 2GO 2为异面直线FO 1与GO 2所成的角 ....... 9分在 Rt O 2O 2G 中，O 2O 2 2 , GO 2 1,...... 12分所以 tan O 2GO 2°2°22，所以 O 2GO 2 arctan 2.GO 2、（本大题满分56 i 分）1.2 2. (2,0), (2,0)3. 4x 3y 1 04. (0, 2)5.2k, k Z113 12. 9&9.10.—11.45 8613. n 为奇数时,2 ;n 为偶数时 J.或写成：3( 1)n2(nN) 14{,{ a},{ b},{ c},{ a , b},{ b , c},{ :c, a},{ a , b , c}},7.所以，异面直线FO 1与GO 2所成的角的大小为arctan2 . 21.（本大题满分 14分解：(1) si nAb sin B b 14分) 35， a sin A a (2)由 si nB si nA2，得 b2sinx ,10分12分6. 50{ ,{ b},{ c},{ b , c},{ a, b, c}},{ ,{ b},{ c},{ a , b},{b , c},{ a ,b , c}}, { ,{ b},{ c},{ b , c},{ c, a},{ a , b ,c}}.f (x) 2sinx 2、3cosx 4sin(x —),sin x —••• f （x ）的值域为（2,4] ........................ 14 分22.（本大题满分16分）⑴ a n a n 21 2n 1 2(n 2)4n 2 , 2a n 1 2 1 2(n 1)4n 2…a n a n 2 2a n 1•- ｛a n ｝为集合A 中的兀素，即｛a n ｝ A. .....................••…2 分b n b n 21 2n 1 2n 225 2n , 2b n 12 1 2n 12 42n--b n b n 22b n 1…｛b n ｝为集合B 中的兀素，即｛b n ｝ B. .................... (4)分3(2) a n a n 2 2a n 1 (n k)(n 2k)3 2(n 1 k)36(1 k),当k 2时，a n a n 2 2a n 1 对 nN *恒成立，此时，｛a n ｝A;…7 分当k 2时，令 n 1, n 1 k 0 ,a nan 22an 1 ；设k 为不超过k 的最大整数，令 n [k] 1 , n 1 [k]0, a n a n 22an 1,此时，｛a n ｝ A , {a n } B.1分3)QB B , a n 31log 2 n ,令 C n 1 | 2n a n | | 2n 31log 2 n | 2n 31log 2 n ,C 3 55.13 60, c 4 70 60,… .................... 1 3分T 数列｛5｝是递增数列• n 的值组成集合｛1,2,3｝ ................ 16分23.（本大题满分18分）解：（1） m 4 , (2)分J■2? 2 x1•…7分⑵ f (x)J (x1)21 x 0 ；"(X0 x 1.2 (x2)21 x 2厂恵x(3) (i )令 g(x) —^|x ，联立方程组y 12 x 得：25x 2 12I2y J 1 (x 5)2...... 10分240 x 2420,24 ■. 6x(4,5)，故f(x) ' x 在区间(4,5)上有且只有一个解； ............... 1 2分 5 12(ii ) f(2) g(2) J 6 0, f (4) g(4) 60,6 3又由于函数f(x)在区间(2,4)上单调递减，6故方程在f (x)—lx 12丨⑴)f (5) g(5) 1 5 ■- 6—p 0，f(6)g(6)2f(8)g(8) 2*6 30又由于函数f (x)分别在区间 (5,6)上单调递增，在区间(6,8)上单调递减，故方程 f(x) 、612|x 在区间(5,8)上有两个解; 所以方程f (x) .6 12 在区间(0,8)上有且只有4个解，由对称性可知，方程f(x) 16 12 x 在区间(x 的解,8,0)上有且只有4个解•又x 0是方程f(x)当区间(2,4)上有且只有一个解;。

2012高考上海文科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题共有14题，满分56分)每题填对得4分，否则一律得零分． 1．计算：311i-=+__________(i 为虚数单位)．2．若集合A ＝{x |2x －1＞0}，B ＝{x ||x |＜1}，则A ∩B ＝__________. 3．函数sin 2 () 1 cos x f x x=-的最小正周期是__________．4．若d ＝(2,1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示)．5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________．6．方程4x －2x ＋1－3＝0的解是__________．7．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim ()n n V V V →∞+++=…__________.8．在(x －1x)6的二项展开式中，常数项等于__________．9．已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝__________. 10．满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是__________．11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________(结果用最简分数表示)．12．在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM C N BC C D =，则AM AN ⋅ 的取值范围是__________．13．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，1)，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________．14．已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2012，则a 20＋a 11的值是__________．二、选择题(本大题共有4题，本大题满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．15．若1+是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝2，c ＝－116．对于常数m ，n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 18．若π2ππsin sinsin777n n S =+++…(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．100三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知π2B AC ∠=，AB ＝2，AC =PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)． 20．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)．(1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围； (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的反函数．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若||M F =，求点M 的坐标； (2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |)的直线l 交C 于P ，Q 两点，若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .23．对于项数为m 的有穷数列{a n }，记b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }(k ＝1,2，…，m )，即b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n }；(2)设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k ＋b m －k ＋1＝C (C 为常数，k ＝1,2，…，m )，求证：b k ＝a k (k ＝1,2，…，m )；(3)设m ＝100，常数a ∈(12，1)，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{b n }是{a n }的控制数列，求(b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋(b100－a100)．1．答案：1－2i解析：＝23i(3i)(1i)33i i i12i 1i(1i)(1i)2-----+===-++-.2．答案：{x|12＜x＜1}解析：由A＝{x|x＞12}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∩B＝{x|12＜x＜1}．3．答案：π解析：f(x)＝sin x cos x＋2＝12sin2x＋2，所以T＝2π2＝π.4．答案：1 arctan2解析：设直线l的倾斜角为α，则1 tan2α=，所以1arctan2α=.5．答案：6π解析：由底面周长为2π可得底面半径为1. S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.6．答案：log23解析：原方程可化为(2x)2－2×2x－3＝(2x－3)(2x＋1)＝0，所以2x＝3，x＝log23.7．答案：8 7解析：棱长是以1为首项、12为公比的等比数列，则体积V1，V2，…，V n是以1为首项、18为公比的等比数列，所以V1＋V2＋…＋V n＝11[1()]818[1()]17818nn⋅-=⋅--，∴128lim()7nnV V V→∞+++=….8．答案：－20解析：展开式的通项为T r＋1＝6C r x6－r·(－1x)r，令6－r＝r，可得r＝3所以T4＝36C x3×(－1x)3＝－36C＝－20.9．答案：3解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.由f (x )为奇函数得f (－1)＝1.所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 10．答案：－2解析：约束条件可化为不等式组22,0,0,22,0,0,22,0,0,22,0,0,x y x y y x x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≤≥⎪⎨--≤≤≤⎪⎪-≤≥≤⎩求z =y －x 最小值，即为求y =x +z 在y 轴上截距的最小值．由图可知(2,0)为最优解，所以z min =0－2=－2.11．答案：23解析：若每人都选择两个项目，共有不同的选法222333C C C 27＝种，而有两人选择的项目完全相同的选法有222332C C A 18＝种，故填23.12．答案：[1,4]解析：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的坐标系．设BM 长为x ，由题意得12x C N =，则CN =2x ，所以点M 的坐标为(2，x )，点N 的坐标为(2－2x,1)．所以AM ·A N＝4－4x ＋x ＝4－3x ，x ∈[0,1]．所以AM ·A N的取值范围为[1,4]． 13．答案：14解析：由题意知12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩则2212,0,2()122,1,2x x xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩设所求面积为S ，则S 如图中阴影部分所示．所以，11222102=2d (22)d S x x x x x +⎰⎰－＋＝3322122111()(1)[()()]3233224⨯+-+--⨯+=.14．答案：326+解析：由a n ＋2＝f (a n )＝11na +，a 1＝1，可得311112a a ==+，5311211312a a ===++，7132513a ==+，9153815a ==+，111851318a ==+.由a 2 012＝201011a +＝a 2 010，可得a 2 010＝a 2 0122则a 2＝a 4＝…＝a 20＝a 2n ＝a 2 010＝a 2 0122所以a 20＋a 11821326=.15． B 由x 1＝1，知x 2＝1则x 1＋x 2＝2＝－b ，即b ＝－2；x 1x 2＝(1－i)＝1－2i 2＝3＝c .16．B mx ＋ny 2＝1表示椭圆的充要条件为m ＞0，n ＞0，m ≠n ，显然m ＞0，n ＞0且m ≠n mn ＞0.而mn ＞0m ＞0，n ＞0且m ≠n .所以应为必要不充分条件． 17． C 由正弦定理可知a 2＋b 2＜c 2，从而222cos 02a b cC ab+-=<，∴C 为钝角，故该三角形为钝角三角形．18． C 由π8πsin sin 77=-，2π9πsin sin 77=-，…，6π13πsin sin 77=-，7π14πsin sin 077==，所以S 13＝S 14＝0.同理S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝S 55＝S 56＝S 69＝S 70＝S 83＝S 84＝S 97＝S 98＝0，所以在S 1，S 2，…，S 100中，其余各项均大于0.故选C 项． 19．解：(1)122A B C S ∆=⨯⨯=，三棱锥P －ABC的体积为112333ABC V S PA ∆=⋅=⨯=(2)取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE =AD ＝2，222223cos 2224ADE +-∠==⨯⨯，所以3arccos 4A D E ∠＝.因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是3arccos 4.20．解：(1)由220,10x x ->⎧⎨+>⎩得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝22lg 1x x -+＜1，得1＜221x x -+＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，2133x -<<.由11,2133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得2133x -<<.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．由单调性可得y ∈[0，lg 2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x，x ∈[0，lg 2]． 21．解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程21249y x =，得P 的纵坐标y P ＝3.由||2AP =/时．由tan ∠OAP ＝730，得∠OAP ＝7arctan30，故救援船速度的方向为北偏东7arctan30弧度．(2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)．由vt =整理得v 2＝144(t 2＋21t)＋337.因为t 2＋21t≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船． 22．解： (1)双曲线C ：22112xy -=，左焦点F(2-，0)，设M (x ，y )，则|MF |2＝(x22＋y 2＝2)2+，由M点是右支上一点，知2x ≥，所以||2M F =+=，得2x =.所以M2．(2)左顶点A(2-，0)，渐近线方程：y =.过点A与渐近线y =平行的直线方程为2y x =+，即1y =+.解方程组,1y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得,41.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝4.(3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b . 因直线PQ1=，即b 2＝k 2＋1.(*) 由22,21,y kx b x y =+⎧⎨-=⎩得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则12221222,21.2kb x x kb x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以 O P O Q ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝2222222222(1)(1)21222k b k bb kb k k k +---+-++=---.由(*)知，0O P O Q ⋅=，所以OP ⊥OQ .23．解：(1)数列{a n }为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5. (2)因为b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }，b k ＋1＝max{a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}，所以b k ＋1≥b k . 因为a k ＋b m －k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m －k ＝C ，所以a k ＋1－a k ＝b m －k ＋1－b m －k ≥0，即a k ＋1≥a k .因此，b k ＝a k . (3)对k ＝1,2，…，25， a 4k －3＝a (4k －3)2＋(4k －3)； a 4k －2＝a (4k －2)2＋(4k －2)； a 4k －1＝a (4k －1)2－(4k －1)； a 4k ＝a (4k )2－(4k )．比较大小，可得a 4k －2＞a 4k －3. 因为12＜a ＜1，所以a 4k －1－a 4k －2＝(a －1)(8k －3)＜0，即a 4k －2＞a 4k －1；a 4k －a 4k －2＝2(2a －1)(4k －1)＞0，即a 4k ＞a 4k －2. 又a 4k ＋1＞a 4k ，从而b 4k －3＝a 4k －3，b 4k －2＝a 4k －2，b 4k －1＝a 4k －2，b 4k ＝a 4k . 因此(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100) ＝(a 2－a 3)＋(a 6－a 7)＋…＋(a 98－a 99)＝251k =∑(a 4k －2－a 4k －1)＝(1－a )251k =∑(8k －3)＝2 525(1－a )．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海理)数学试题及答案

里 A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线
y
=
12 49
x2
；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救
y P
援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t .
（1）当 t = 0.5时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 O
x
两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分）
18．设 an
=
1 n
sin
n 25
，
Sn
= a1 + a2 + + an .
在 S1, S2,, S100中，正数的个数是
（
）
（A）25.
（B）50.
（C）75.
（D）100.
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）[来源:学_科_网 ZP_X_X_K]
19．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，
函数 y = xf (x) (0 x 1) 的图像与 x 轴围成的图形的面积为
.
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D 14．如图，AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.
若 AD=2c，且 AB+BD=AC+CD=2a，其中 a、c 为
（D） D1 与 D2 的大小关系与 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的取值有关.
18．设 an
=
1 n
sin
n 25
，
Sn
= a1 + a2 + + an .
在 S1, S2,, S100中，正数的个数是

2012年高考真题——理科数学(上海卷)

2012年高考真题——理科数学（上海卷）计算：（）（为虚数单位）。

【答案解析】复数。

若集合，，则（）。

【答案解析】集合，，所以，即。

函数的值域是（）。

【答案解析】函数，因为，所以，，即函数的值域为。

若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为（）（结果用反三角函数值表示）。

【答案解析】设倾斜角为，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则，∴=。

在的二项展开式中，常数项等于（）。

【答案解析】二项展开式的通项为，令，得，所以常数项为。

有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则（）。

【答案解析】。

由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，∴++…+==，∴。

已知函数（为常数）。

若在区间上是增函数，则的取值范围是（）。

【答案解析】令，则在区间上单调递增，而为增函数，所以要是函数在单调递增，则有，所以的取值范围是。

若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为（）。

【答案解析】因为半圆面的面积为，所以，即，即圆锥的母线为，底面圆的周长，所以圆锥的底面半径，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为。

已知是奇函数，且，若，则（）。

【答案解析】因为为奇函数，所以，所以，，所以。

如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则（）。

【答案解析】设直线上的任一点为P,因为,所以,根据正弦定理得,即，即。

三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（）（结果用最简分数表示）。

【答案解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。

在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是（）。

【答案解析】[2,5].设=（0≤≤1），则=,=，则===+++,又∴=2×1×=1，=4，=1，∴=，∴0≤≤1，∴2≤≤5，即的取值范围是[2,5].已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为（）。

上海师范大学949学科数学背诵资料

第一章：为什么要学习数学教育学1.西方的3R教育，西方的“七艺”教育，中国古代六艺教育。

（12填空）答：（1）3R：读写算，是为了将学生培养成统治者的最基本的教育，无论在古埃及、古巴比伦和中国等文明古国，还是在稍后崛起的古希腊和古罗马，经世致用的数学都是数学启蒙教育中一个必不可少的内容。

（2）西方的“七艺”教育：文法、修辞、逻辑学、算术、几何、天文、音乐，数学教育的目的是为了训练学生的心智。

（3）中国古代的“六艺”教育：礼、乐、射、御、书、数，数学虽然也属于六艺教育，但其目的主要是为了经世致用，地位不高。

2.19世纪古典教育和科学教育之间展开了怎样的激烈斗争？答：（1）坚持古典教育的人，认为只教授几门课程就能给人的心智以一般的训练，并使得能力迁移到后来的学习中去，他们攻击科学教育课程只重视繁琐的事实，担负不起道德培养的重任。

（2）而倡导科学教育的人，强烈要求把近代科学引入学校教育，坚持自然科学知识应占有最重要的地位，应以实用的知识代替那些传统的不切实际的装饰性知识。

（3）在这场斗争中，科学教育思想首先在产业革命的发祥地英国战胜了古典教育，接着在其他工业大国，例如德国、法国和美国，也都相继建立起以科学为中心的学校课程体系。

数学因其与自然科学有着密不可分的联系，从此在学校教育中占有重要地位。

3.克莱因的主要贡献。

（1）著名数学家克莱因，是一名几何权威。

（2）1872年，克莱因发明了著名的几何学“埃尔朗根”纲领，用运动群下的不变量对几何学进行分类，成为跨时代的数学里程碑。

（3）克莱因后来是世界数学中心哥根廷大学的数学领导人。

（4）1908年，在第四届国际数学家大会上成立了国际数学联盟（IMU）的一个新的下属组织：国际数学教育委员会（ICMI），克莱因当选为该委员会的第一任主席。

(5)他是一位热心倡导数学教育改革的数学家，在1900年之后一再独学教育改革的主要观点。

5、克莱因在1900年之后对教育改革的建议是什么？(12、14、15)答：(1)数学教师应具备较高的数学观点，只有观点高了，事情才会变得明了而简单。

2016上海师范大学949学科数学答案

一：简答题1.问题一：数学中常用的定义方式有哪些？（1）属加种差定义法：该法即按公式“邻近的属+种差=被定义概念”下定义。

其中，种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间的差别。

如，平行四边形的概念，邻近的属是四边形，平行四边形区别于四边形的其他种概念的属性即种差是“一组对边平行且相等”，这样即可给平行四边形下定义为“一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形”。

（2）外延定义：数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。

例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数。

（3）关系定义：它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。

例如，若b=ac，则 a 整除b。

问题二：下定义的要求？（1）定义应当相称（例：无理数），就是定义项和被定义项的外延必须全同。

若定义项的外延大于被定义项的外延，则定义“过宽”；若定义项的外延小于被定义项的外延，则定义“过窄”。

例，“无限小数叫无理数”—过宽；“无理数就是不尽方根”—过窄。

（2）定义要符合逻辑，就是要明白、清晰，不得循环，不得同义反复。

例，“相交成直角的两条直线，叫做互相垂直的直线”与“两边互相垂直的角，叫做直角”这两个定义出现了循环；“类似的图形称为相似形”就是自我定义，空洞无物的同义反复。

（3）定义一般不用否定形式；（4）定义中应没有多余的条件等。

2.（1）社会因素：社会需要是课程选择的主要准则。

适应社会生产的需要；科学技术的发展，应用数学程度提高，人们通过数学学习才能掌握它的科学和技术，科学技术发展直接或间接地影响数学课程的内容改革；政治经济因素是最根本的因素。

（2）学科因素：数学学科的发展，新的数学理论不断地充实到数学课程中；教育学、心理学、认知科学等新理论的发展也制约数学学科的发展。

（3）学生因素：学生身心发展的变化，已有知识水平、思维水平特点；认识兴趣。