苏教版高一数学必修一知识点归纳总结

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苏教版高一数学必修一知识点归纳总结
【一】
一、集合及其表示
1、集合的含义：
“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。

数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。

所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。

比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。

2、集合的表示
通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。

a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作dA。

有一些特殊的集合需要记忆：
非负整数集(即自然数集)N正整数集N*或N+
整数集Z有理数集Q实数集R
集合的表示方法：列举法与描述法。

①列举法：{a,b,c……}
②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。

如{xR|x-
3>2},{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}
③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}。

苏教版高一知识点总结

苏教版高一知识点总结### 苏教版高一知识点总结#### 数学1. 集合与函数- 集合的基本概念：元素、集合、子集、并集、交集、补集。

- 函数的定义、性质、表示法。

- 函数的单调性、奇偶性、周期性。

2. 三角函数- 三角函数的定义：正弦、余弦、正切。

- 三角恒等变换：和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式。

3. 解析几何- 直线的方程：点斜式、斜截式、一般式。

- 圆的方程：标准式、一般式。

- 直线与圆的位置关系。

4. 不等式与方程- 不等式的性质：可加性、乘法性质。

- 一元二次不等式的解法。

- 线性方程组的解法。

5. 数列- 等差数列与等比数列的定义、通项公式、求和公式。

#### 物理1. 力学基础- 力的基本概念：重力、弹力、摩擦力。

- 牛顿运动定律：第一、第二、第三定律。

2. 运动学- 描述运动的物理量：位移、速度、加速度。

- 匀速直线运动、匀变速直线运动。

3. 能量守恒与转换- 功、功率、能量的概念。

- 能量守恒定律。

4. 动力学- 动量守恒定律。

- 碰撞问题。

#### 化学1. 原子结构- 原子的组成：质子、中子、电子。

- 原子核外电子的排布。

2. 化学键与分子结构- 离子键、共价键。

- 分子的极性。

3. 化学反应- 化学反应的类型：合成、分解、置换、复分解。

- 化学方程式的书写。

4. 化学计量- 摩尔概念、摩尔质量。

- 物质的量与质量、体积、浓度的关系。

#### 生物1. 细胞结构与功能- 细胞的组成：细胞膜、细胞质、细胞核。

- 细胞器的功能。

2. 遗传与进化- DNA的结构与功能。

- 遗传的基本规律。

3. 生态与环境- 生态系统的组成与功能。

- 人类活动对环境的影响。

#### 语文1. 文学鉴赏- 文学作品的类型：诗歌、散文、小说。

- 文学鉴赏的基本方法。

2. 文言文阅读- 古文的句式结构。

- 常见古汉语词汇的用法。

3. 现代文阅读- 文章结构的分析。

- 作者观点与写作手法。

苏教版高中数学必修一第一章集合知识点整理

第一章集合§1．1集合基础知识点：⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；*正整数集，记作N或N；N内排除0的集. +整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；5.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现如:方程(x-2)(x-1)=0的解集表示为1, 2,而不是1, 的。

. 21, 2 ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；2⑶非负奇数；⑷方程x+1=0的解；⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。

例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。

（2）A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A. 典型例题例1．用“∈”或“”符号填空：2⑴8 N；⑵0 N；⑶-3 Z；⑷ Q； 1⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国A。

苏教版高一数学知识点总结

苏教版高一数学知识点总结高一上册数学必修一知识点梳理空间几何体表面积体积公式：1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高,3、a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-h-高V=Sh6、棱锥S-h-高V=Sh/37、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、r-底半径h-高V=πr^2h/312、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)高一数学必修五知识点总结空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

苏教版高中数学必修1知识点总结及题型

如果您想要完整电子版，关注后私信发送数字333即可！高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1．集合：一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．2．元素：构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为.知识点二集合与元素的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.知识点三集合的特性及分类1．集合元素的特性_______、________、________.2．集合的分类：(1)有限集：含有_______元素的集合；(2)无限集：含有_______元素的集合．3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集) 整数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点四集合的表示方法1．列举法：把集合的元素______________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法2．描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集________(或________)真子集如果集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集________(或________)2.子集的性质(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．(3)如果A⊆B，B⊆C，则________．(4)如果A⊆B，B⊆C，则________．3．集合相等知识点六集合的运算 1．交集 2．并集自然语言符号语言图形语言由_________________ _________________组成的集合，称为A 与B 的并集A ∪B ＝_______________3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质 A ∩B ＝________ A ∪B ＝________ A ∩A ＝________ A ∪A ＝________ A ∩∅＝________ A ∪∅＝________ A ⊆B ⇔A ∩B ＝________A ⊆B ⇔A ∪B ＝________4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________． 5．补集文字语言对于一个集合A ，由全集U 中__________的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作________符号语言 ∁U A ＝________________图形语言典例精讲题型一 * 判断能否构成集合1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是。

高一数学上册知识点归纳苏教版

高一数学上册知识点归纳苏教版高一数学上册知识点归纳 (苏教版)高一是学生入门阶段的重要学年，也是数学学科中的重要转折点。

在高一数学上册中，学生开始接触更为抽象和深入的数学概念，需要建立起良好的数学基础。

本文将对高一数学上册苏教版的知识点进行归纳和总结，以帮助学生更好地掌握这些内容。

一、函数和方程1. 实数集与绝对值：通过对实数的相关性质进行学习，了解实数集合的划分，并理解绝对值的概念及其在实际问题中的运用。

2. 函数的概念：认识函数的定义及其基本性质，掌握函数的表示方法和函数的图像。

3. 一次函数：学习怎样通过函数的定义域、值域、单调性等特点来描述一次函数，能够解一次方程、不等式及应用问题。

4. 二次函数：掌握二次函数的标准式和一般式，研究二次函数的图像、性质及应用问题，了解与二次函数相关的方程和不等式。

5. 指数与对数函数：了解指数函数和对数函数的性质，能够运用指数和对数的知识解决实际问题。

6. 复合函数与函数的运算：掌握复合函数的概念和性质，熟悉函数的加减乘除、乘方、反函数等运算方法。

二、三角函数与解三角形1. 三角函数基本概念：了解三角函数的定义、性质及其图像，学习正弦函数、余弦函数等的变换规律。

2. 几何应用：掌握解直角三角形的基本原理和方法，能够利用三角函数解决有关角度和长度的实际问题。

3. 三角函数的图像与周期性：研究正弦函数和余弦函数的图像特点及其周期性，了解相位差对图像的影响。

4. 三角函数的相等与化简：掌握三角函数相等的条件和化简方法，能够将复杂的三角函数式子化简为简单的形式。

5. 解非直角三角形：学习解非直角三角形的基本原理和方法，能够运用正弦定理和余弦定理解决相关问题。

三、空间几何与向量1. 点、直线与平面：了解点、直线和平面的基本概念及相互关系，学习如何确定点、直线和平面的位置和方向。

2. 空间几何条件：掌握平面的平行、垂直和夹角等性质，能够判断线段、直线和平面之间的位置关系。

苏教版高中数学必修一知识点总结

苏教版高中数学必修一知识点总结【篇一：苏教版高中数学必修一知识点总结】必修一第一章集合与函数概念 1.用字母表示下列集合。

必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

优秀文档，精彩无限！优质文档，精彩无限！优秀文档，精彩无限！优质文档，精彩无限！引言 1.课程内容：必修课程由5 个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：三角函数、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有3 个系列：选修系列1：由2 个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图选修系列2：由3 个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数的引入选修2—3：计数原理、概率，统计案例。

高一上册数学苏教版知识点

高一上册数学苏教版知识点数学是一门需要掌握基本知识点才能够从根本上理解和运用的学科。

本文将介绍高一上册数学苏教版中的一些重要知识点，帮助同学们更好地掌握数学知识。

一、函数与方程1. 函数的基本概念函数是一种具有特定关系的映射关系，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。

函数的定义域、值域以及图像是理解函数的重要方面。

2. 一次函数与二次函数一次函数是形如y=kx+b的函数表达式，其中k为斜率，b为截距。

二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数表达式，其中a、b、c 为常数。

3. 方程与不等式方程是含有等号的数学表达式，例如ax+b=0，其中a、b为已知常数。

不等式则是含有不等关系的数学表达式，例如ax+b>0。

二、几何与三角1. 平面几何基本定义基本图形包括点、线、面以及它们之间的关系。

例如，直线上的点称为线上的点，在同一平面内的点称为共面。

2. 相似与全等相似指两个物体在形状上相似，但尺寸可能不同。

全等则指两个物体在形状和尺寸上完全相同。

3. 三角函数的概念三角函数是描述角度与边长之间关系的函数，包括正弦、余弦、正切等。

这些函数在解三角形问题时经常被使用。

三、数列与数学归纳法1. 数列的定义与性质数列是按一定顺序排列的一组数，可以是等差数列、等比数列等。

数列的通项公式和前n项和公式是数列的重要性质。

2. 数列的应用数列在实际问题中的应用非常广泛，例如等差数列可以描述人口增长，等比数列可以描述物质的衰减等。

四、概率与统计1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，位于0到1之间。

事件的概率可以通过实验次数与事件发生次数的比值来计算。

2. 排列与组合排列指的是从n个元素中取出r个元素进行排列，组合指的是从n个元素中取出r个元素进行组合。

3. 统计的基本概念统计是关于数据收集、整理、分析和解释的学科。

通过统计可以得到对现象的客观描述和分析。

综上所述，高一上册数学苏教版的知识点包括函数与方程、几何与三角、数列与数学归纳法、概率与统计等内容。

苏教版高中数学必修一知识点总会

高中数学必修一一、集合1.1集合的含义及其表示1.定义：一般的，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素。

2.特别的，自然数集记作N，正整数集记作N*或N+，,整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.3.集合的元素常用小写拉丁字母表示.如果α是集合A 的元素，那么就记作α∈A，读作“α属于A”，例如2∈R；如果α不是集合A的元素，那么就记作α∉A，读作：α不属于A，例如2∉Q.4.集合中的元素具有确定性（a∈A和a不属于A，二者必居其一）、互异性（若a∈A，b∉A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

5.集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法。

6.一般的含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。

7.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø，例如，集合{x|x2+x+1=0,x∈R}就是空集。

1.2子集、全集、补集1.子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（若α∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B 包含集合A”.2.如果A⊆B并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B,读作“A真包含于B”，如{α}{α，b}.3.根据子集的定义，我们知道A⊆A，也就是说，任何一个集合是它本身的子集.对于空集Ø，我们规定Ø⊆A，即空集是任何集合的子集.4.设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为C sA(读作“A在S中的补集”），即C sA={x|x∈S，且x∉A}.5.如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常可以记作U.例如，在实数范围内讨论集合时，R便可以看做一个全集U.1.3交集、并集1.一般的，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作：“A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.2.一般的，由所有属于集合A，或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.3.为了叙述方便，在以后的学习中，我们常常会用到区间的概念.设a，b∈R，且a＜b，规定[a,b]={x|a≤x≤b}，(a,b)={x|a＜x＜b}，[a,b)={x|a≤x＜b}，(a,b]={x|a＜x≤b}，（a，+∞）={x|x＞a}，（-∞，b）={x|x＜b}，（-∞，+∞）=R.[a,b],(a,b)分别叫做闭区间、开区间：[a,b),(a,b]叫做半开半闭区间：a,b叫做相应区间的端点.读法：∞读作：无穷大；+∞读作：正无穷大（简读：正无穷）；-∞读作负无穷大（简读：负无穷）.[a,b]读作：闭区间a到b；(a,b)读作：开区间a到b；[a,b)读作：左闭右开a到b；(a,b]读作：左开右闭a到b；（a，+∞）读作：开区间a到正无穷；（-∞，b）读作：开区间负无穷到b；（-∞，+∞）读作：负无穷到正无穷；[a，+∞）读作：闭区间a到正无穷；（-∞，b]读作：开区间负无穷到b。

苏教版高中数学必修知识点总结

苏教版高中数学必修知识点总结高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义：集合是由一些确定的元素所组成的整体。

2.集合的元素有三个特性：1) 确定性：元素是确定的，如“世界上最高的山”。

2) 互异性：元素不重复，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。

3) 无序性：元素排列顺序不影响集合本身，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。

3.集合的表示方法：1) 用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。

2) 用拉丁字母表示集合，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。

3) 集合的表示方法有列举法和描述法。

4.常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作N*或N+；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R。

5.列举法：{a,b,c……}。

6.描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，如{x R| x-3>2}，{x| x-3>2}。

7.语言描述法：如{不是直角三角形的三角形}。

8.Venn图。

4、集合的分类：1) 有限集：含有有限个元素的集合。

2) 无限集：含有无限个元素的集合。

3) 空集：不含任何元素的集合，记为Φ。

二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集：A B表示A是B的子集，即A中的元素都属于B。

注意：A B有两种可能：(1) A是B的一部分；(2) A与B是同一集合。

反之：A B表示A不包含于B，或B不包含于A。

2.“相等”关系：A=B表示A和B的元素完全相同，即任何一个集合都是它本身的子集。

实例：设A={x|x-1=0}，B={-1,1}，则“元素相同则两集合相等”，即：①任何一个集合是它本身的子集。

A A；②真子集：如果A B，且A B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）；③如果A B，B C，则A C；④如果A B且B A，则A=B。

新教材苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数知识点考点重点难点归纳总结

第六章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数 (1)6.2指数函数 (6)第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6)第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11)6.3对数函数 (16)第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16)第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20)6.1幂函数知识点1幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞) 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0)(1,1)考点类型1 幂函数的概念【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．(1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.类型2 比较大小【例2】比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)0.25与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；(5)(－3)与(－2).[思路点拨] 可以借助幂函数y ＝x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且13>14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭⎪⎫14. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数，且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2，6．25＝2.5.∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25<6.25.(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0，所以(－3)>(－2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．类型3 幂函数的图象及应用【例3】点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． [解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数． (2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数． 3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．类型4 幂函数性质的综合应用【例4】已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)<(3－2a )的a 的取值范围．1．函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？ [提示] 偶函数． 2．x>y时，x 、y 与0的大小关系有多少种？[提示] 0<x <y ，x <y <0，x >0>y .[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. ∴有(a ＋1)<(3－2a ).∵y ＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1. 所以a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解． 2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．6.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质知识点1指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数1.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．2.为什么底数应满足a>0且a≠1?[提示]①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.考点类型1指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝a x；④y＝2·3x.A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．类型2 利用单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58与1； (3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2；(5)0.20.6与0.30.4；(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫25.[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)∵0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数，－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.(6)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭⎪⎫23， ∵f (x )＝x 在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象．类型3 利用指数函数的单调性解不等式【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0，故原不等式的解集为{x |x ≥0}． (2)分情况讨论①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上为减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5.②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数． ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0. 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5，综上所述当0<a <1时，x <－1或x >5，当a >1时，－1<x <5.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．类型4 图象变换及其应用【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路点拨] 题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )，因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上．题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．第2课时指数函数的图象与性质的应用知识点指数型函数形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )．考点类型1 求函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(4)y ＝4x ＋2x ＋2－3.[解] (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝2的定义域为{x |x ≠4}．又1x －4≠0，即2≠1，故y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]．由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0， ∴0≤1－2x <1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．(4)函数 y ＝4x ＋2x ＋2－3的定义域为R .设t ＝2x ，则t >0.所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7，t >0. 因为函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数，所以y >－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．1．若将本例(2)中函数换为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫130，∴x ≤0即函数的定义域为(－∞，0]．2．若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域．[解] 由于x ∈[0,2]则2x ＝t ∈[1,4]，所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7.t ∈[1,4]，∵函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y ∈[2,29]．1．对于y ＝a f (x )这类函数(1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．类型2 指数型函数的应用题【例2】某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．[解] (1)1年后城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127 ≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．类型3 指数函数性质的综合应用【例3】已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．[思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．[解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)<0， ∴f (x )在定义域R 上为减函数，由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2， ∴3t 2－2t －k >0恒成立，∴Δ＝(－2)2＋12k <0，解得k <－13， ∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．类型4 复合函数的单调性【例4】判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 2－2x 的单调性分别如何？ [提示] y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x单调递减．y ＝x 2－2x 在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．6.3对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质知识点1对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．1.函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．知识点2对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<02.对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”，当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．知识点3反函数(1)对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．考点类型1对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．(1)y＝log a x2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log8x；(4)y＝log x a(x＞0，且x≠1)．[思路点拨]依据对数函数的定义来判断．[解](1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.类型2对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；(4)f (x )＝x ln(1－2x )．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12 x ＋1>0，即log 12 x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)要使函数式有意义需满足⎩⎨⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. (4)由题意知⎩⎨⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．类型3 比较对数式的大小【例3】比较下列各组值的大小： (1)log 534与log 543； (2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log534<log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215，所以1log213<1log215，所以log132<log152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132<log152.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．第2课时对数函数的图象与性质的应用知识点图象变换(1)平移变换当b＞0时，将y＝log a x的图象向左平移b个单位，得到y＝log a(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝log a(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝log a x的图象向上平移b个单位，得到y＝log a x＋b的图象，将y＝log a x的图象向下平移b个单位，得到y＝log a x－b的图象．(2)对称变换要得到y＝log a 1x的图象，应将y＝log a x的图象关于x轴对称．考点类型1与对数函数相关的图象【例1】作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．[解]步骤如下：(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．(3)将y＝log2(x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y＝|log2(x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x ＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.类型2值域问题x的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是【例2】(1)已知函数f(x)＝2log12________．(2)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．x在定义域[2,4]上为减函数求解．[思路点拨](1)中利用f(x)＝2log12(2)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．x在[2,4]上为减函数，(1)[－4，－2][∵f(x)＝2log122＝－2；∴x＝2时，f(x)max＝2log124＝－4.x＝4时，f(x)min＝2log12∴f(x)的值域为[－4，－2]．](2)[解]∵－x2－4x＋12＞0，又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，∴0＜－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．(2)配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c )，求函数值域问题时，可以用配方法．(3)单调性法根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．(4)换元法求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象，求出y 的取值范围．类型3 对数函数的综合问题【例3】已知函数f (x )＝lg (2－x )－lg (2＋x )．(1)求值：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．[思路点拨] (1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021＝0. (2)由题知⎩⎨⎧2－x >0，2＋x >0⇒－2<x <2，又f (－x )＝lg (2＋x )－lg (2－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)设－2<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝lg 2－x 12＋x 1－lg 2－x 22＋x 2＝lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)， ∵(2－x 1)(2＋x 2)－(2＋x 1)(2－x 2)＝4(x 2－x 1)>0.又(2－x 1)(2＋x 2)>0，(2＋x 1)(2－x 2)>0，∴(2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>1，∴lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>0.从而f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用(1)常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．(2)解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．类型4 解对数不等式【例4】解下列关于x 的不等式： (1)log 17 x >log 17(4－x )； (2)log a (2x －5)>log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎨⎧ x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4. 当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 52<x <4.对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如log a x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log a a b)，再借助y＝log a x的单调性求解．(3)形如log f(x)a>log g(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．。

苏教版高一数学知识点总结

苏教版高一数学知识点总结
高一数学是初高中数学的过渡阶段，是学生从基础知识向高深知识的过渡时期。

下面是对苏教版高一数学的知识点进行总结：
1. 矩阵与行列式
- 矩阵的基本概念和运算法则
- 矩阵的逆与转置
- 矩阵的秩与模型应用
- 行列式的定义和性质
2. 函数与方程
- 一元二次函数的性质、图像和应用
- 指数函数、对数函数的性质和图像
- 幂函数、分式函数的性质和图像
- 二次函数、双曲线、椭圆的性质和图像
- 一元一次方程组和一元二次方程的解法
- 一元二次方程及其应用
3. 三角函数
- 弧度制和角度制的转换
- 任意角的三角函数的定义和性质
- 三角函数的基本关系式
- 三角函数的图像、性质和应用
4. 平面几何
- 二维坐标系的建立和运用
- 直线、圆和双曲线的方程
- 直线的位置关系、垂直关系和平行关系
- 直线的斜率、倾斜角和法线方程
- 圆和双曲线的性质和参数方程
5. 空间几何
- 三维坐标系的建立和运用
- 空间直线和平面的方程
- 直线与直线、直线与平面的位置关系
- 平面与平面的位置关系
- 空间几何体的体积和表面积
6. 统计与概率
- 随机事件与概率的基本概念
- 概率的运算法则和计数原理
- 基本离散型随机变量及其分布律
- 二项分布和正态分布的性质和应用
以上是苏教版高一数学的主要知识点，每个知识点都有其特点和应用场景。

在学习过程中，要注重理论与实践相结合，同时注重数学思维的培养和数学方法的掌握。

希望这份总结对你有帮助！。

苏教版高一数学知识点总结

苏教版高一数学知识点总结高一数学是高中数学的一个重要阶段，是学生从初中数学到高中数学的过渡阶段。

苏教版高一数学主要包括了数与代数、函数与方程、平面几何、空间几何、数列与数列求和、概率与统计等内容。

下面是苏教版高一数学知识点的详细总结。

一、数与代数1. 自然数、整数、有理数、无理数、实数的概念和性质；2. 数的基本运算：加法、减法、乘法、除法以及乘方运算；3. 数的因式分解与整除性质；4. 分数的概念和性质，以及分数的基本运算；5. 百分数、百分数的表示、百分数的计算；6. 比例、比例的性质、比例的计算；7. 理解代数式、等式的含义和性质，掌握代数式的运算法则；8. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法和性质；9. 解一元一次方程、一元一次不等式、一元一次方程组、一元一次不等式组的方法。

二、函数与方程1. 二次函数的概念、图象以及性质；2. 平方根函数的概念、图象以及性质；3. 三角函数的概念、图象以及性质；4. 根据函数的图象确定函数的性质；5. 理解函数的复合与反函数的概念；6. 理解函数的定义域和值域的概念；7. 解二次方程、二次不等式、二元二次方程组的方法；8. 解绝对值方程和不等式的方法；9. 解三角方程和三角不等式的方法。

三、平面几何1. 角的概念、性质和角度的计算；2. 直线和射线的概念和性质；3. 平行线与平行线的判定；4. 垂线、高线的概念以及性质；5. 三角形的分类、性质以及判断两个三角形是否全等的方法；6. 三角形的基本线段关系、一次函数解三角形问题的应用；7. 三角形的内角和、外角和的计算；8. 三角形的解题策略。

四、空间几何1. 空间直线与平面的位置关系及其判定；2. 点、直线、平面的投影；3. 空间中两直线、两平面之间的位置关系及其判定；4. 空间中平行线与平面的交线及其交点的位置关系；5. 球与平面的位置关系及其判定；6. 球面的投影、剖面和截面；7. 空间中点与直线的距离、点与平面的距离，直线与平面的距离。

苏教版高中数学知识点必修1集合、函数

高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念〖1.1 〗集合【1.1.1 】集合的含义与表示（ 1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法： { x | x 具有的性质 } ，其中 x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集 . ②含有无限个元素的集合叫做无限集叫做空集 ( ).【 1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质. ③不含有任何元素的集合示意图A B（或子集B A)A B真子集（或B A）A中的任一元素都属于 BA B，且 B中至少有一元素不属于A(1)A A(2) A(3)若 A B 且 B C，则 A C(4)若 A B 且 B A，则 A B（ 1）A （ A 为非空子集）(2)若 A B 且 B C，则A CA(B)B A或B A集合A 中的任一元素都BA B(1)A相等属于 B， B 中的任A(2)B一元素都属于 AA(B)（ 7）已知集合A 有 n(n 1) 个元素，则它有2n个子集，它有 2n1个真子集，它有 2n1个非空子集，它有2n 2 非空真子集 .【 1.1.3 】集合的基本运算（ 8）交集、并集、补集名称记号意义性质{ x |x A, 且（1） A A AA （2） A交集B（3） A B Ax B}A B B{ x |x A, 或（1） A A AA （2） A A并集B（3） A B Ax B}A B B{ x | x U , 且x A} 痧U(A B) ( U A)(?U B)1 A(e UA)补集e U A痧U(A B) ( U A) (?U B)2 A (e U A) U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式的解法示意图A B A B不等式解集| x | a( a 0) { x | a x a}| x | a(a 0) x | x a 或 x a}把 ax b 看成一个整体，化成 | x | a ，| ax b | c,| ax b | c(c 0)| x | a(a 0) 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式b24ac 0 0 0二次函数y ax2bx c(a 0)的图象O 一元二次方程b b24acax2bx c 0(a 0) x1,22ax1x2b无实根（其中 x1 x2 ) 2a的根ax2bx c 0(a 0) { x | x xx2} { x | x b }R1或 x2a的解集ax2bx c 0(a 0) { x |x1x x2}的解集〖1.2 〗函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念①设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ， B 以及 A 到 B 的对应法则f）叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作 f : A B ．②函数的三要素: 定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（ 2）区间的概念及表示法①设 a,b 是两个实数，且 a b，满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 [a,b] ；满足 a xb的实数 x 的集合叫做开区间，记做 (a, b) ；满足 a x b ，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [a ,b )， (a,b] ；满足 x a, x a, x ,b x 的b实数 x 的集合分别记做[ a, ),( a, ),( , b],( ,b) ．注意：对于集合 { x | a x b} 与区间 (a,b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必须a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：① f ( x) 是整式时，定义域是全体实数．② f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③ f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ y tan x 中， x k (k Z ) ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若 f (x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ，其复合函数 f[ g( x)] 的定义域应由不等式 a g( x) b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f (x) 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a( y) x2b( y) x c( y) 0 ，则在 a( y) 0 时，由于 x, y 为实数，故必须有b2 ( y) 4a( y)c( y)，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【 1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（ 6）映射的概念①设A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及 A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A到B的映射，记作f :AB ．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且a A,bB ．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖 1.3 〗函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象性质判定方法函数的单调性如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2, 当x1<．．x2 时，都有 f(x 1)<f(x 2) ，．．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数．．．．如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2，当x1<．．x2 时，都有 f(x1)>f(x 2) ，．．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．．．． y y=f(X) f(x 2 ) f(x 1 ) o 1 x 2 x x y y=f(X)f(x ) 1 f(x ) 2 o x 1 x 2 x （ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，函数，减函数减去一个增函数为减函数．增函数减去一个减函数为增③对于复合函数 y f [ g( x)] ，令 u g ( x) ，若 y f (u) 为增， ug( x) 为增，则 y f [ g( x)] 为增；若 yf (u) 为减， u g( x) 为减，则 yf [ g( x)] 为增；若 yf (u) 为增，u g (x) 为减，则y f [ g (x)] 为减；若 y f (u) 为减， u g( x) 为增，则 y f [ g (x)] 为减．（ 2）打“√”函数 f ( )a ( a 0) 的图象与性质 x xxf ( x) 分别在 (, a] 、[ a, ) 上为增函数，分别在y[ a,0) 、 (0, a ] 上为减函数．（ 3）最大（小）值定义①一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数Mo x满足：（ 1）对于任意的x I ，都有 f ( x) M ；（2）存在 x0I ，使得 f ( x0 ) M ．那么，我们称M 是函数 f (x) 的最大值，记作 f max ( x) M ．②一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（ 1）对于任意的 x I ，都有 f ( x) m ；（ 2）存在 x0I ，使得f (x0 ) m ．那么，我们称m 是函数 f ( x) 的最小值，记作f max ( x) m ．【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质函数的奇偶性定义图象判定方法如果对于函数f(x) 定义（ 1）利用定义（要域内任意一个x ，都有先判断定义域是否f( － x)=－f(x) ,那么函数关于原点对称）．．．．．．．．．．（ 2）利用图象（图f(x) 叫做奇函数．．．．象关于原点对称）如果对于函数f(x) 定义（ 1）利用定义（要域内任意一个x ，都有先判断定义域是否f( － x)=f(x) ,那么函数关于原点对称）．．．．．．．．．（ 2）利用图象（图f(x) 叫做偶函数．．．．象关于 y 轴对称）②若函数 f ( x) 为奇函数，且在x 0 处有定义，则f (0) 0 ．③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换y f ( x)②伸缩变换h 0,左移h个单位y f (x h) y f( x)k 0,上移k个单位y f (x)kh 0,右移 | h|个单位k 0,下移 | k|个单位y f( x)0 1,伸1,缩yf( x)0 A 1,缩A 1,伸③对称变换y f (x) y Af( x)y f( x)x轴f ( x)y f( x)y轴yy f( x)yf( x) 原点 y f ( x) 直线 y xyf 1 ( x )yf ( x)y f( x) 去掉 y 轴左边图象y f (| x |)保留 y 轴右边图象，并作其关于 y轴对称图象yf ( x)（ 2）识图保留 x 轴上方图象 y | f ( x) | 将 x 轴下方图象翻折上去对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数 ( Ⅰ)〖 2.1 〗指数函数【 2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念①如果 n 1x a a R x R n ，且n N ，那么 x 叫做 a 的n 次方根．当 n 是奇数时， a 的n 次 , , , 方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 na 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时，a0 ．③根式的性质： ( na)n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n a (a 0)| a | (a 0) ．a（ 2）分数指数幂的概念mn m①正数的正分数指数幂的意义是：a n a ( a 0, , N , 且n 1) ．0 的正分数指数幂等于0． m nm m②正数的负分数指数幂的意义是：a n ( 1 ) n n ( 1 )m( a 0,m, n N , 且 n1) ． 0 的负分数a a指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质① r s r s ( 0, , ) ② rs rs a a a a r s ( a ) a (a 0,r , s R) R()r r r (0, 0, ) ③ab a b a b r R【 2.1.2】指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 y a x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1 0 a 1y y a x y a x y图象y 1y 1(0,1)(0,1)O xO x 定义域R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当x 0 时， y 1 ．奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数a x 1 ( x 0) a x 1 (x 0)函数值的a x 1 ( x 0) a x 1 (x 0) 变化情况a x a x1 ( x 0) 1 (x 0)a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2 〗对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义①若 a x N (a 0,且 a 1)，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x log aN ，其中 a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：x log a N a x N ( a 0, a 1, N 0) ．（ 2）几个重要的对数恒等式log a 1 0 ， log a a 1， log a a b b ．（ 3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log 10 N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828 ⋯）．（4）对数的运算性质如果 a 0, a 1, M 0, N 0，那么①加法： log a M log a N log a (MN )②减法： log aMlog a N log a MN ③数乘： n log a M log a M n( nR) ④ a log a N N⑤ log a b M nn log a M (b 0, n R) ⑥换底公式： log aN logb N(b 0, 且 b 1)blog b a【 2.2.2 】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数名称对数函数定义函数 y log a x(a 0 且 a 1) 叫做对数函数 a 1 0 a 1x 1x1yy log a x yy log a x图象O(1,0)x(1,0)Ox定义域 (0, )值域R过定点图象过定点 (1,0) ，即当x 1时， y 0 ．奇偶性非奇非偶单调性在 (0, ) 上是增函数在 (0, ) 上是减函数log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1)函数值的 log a x 0 (x 1)log a x0 (x 1)变化情况log a x 0 (0 x 1)log a x0 (0 x 1)a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6) 反函数的概念设函数 y f ( x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子y f ( x) 中解出 x ，得式子 x ( y) ．如果对于 y 在 C 中的任何一个值，通过式子 x( y) ，在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x( y)x表示 x 是 y 的函数，函数 x ( y) 叫做函数 y f ( x) 的反函数，记作 x f 1( y) ，习惯上改写成 y f 1( x) ．（ 7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f ( x) 中反解出xf 1 ( y) ； ③将 x f 1( y) 改写成 y f 1( x) ，并注明反函数的定义域．（ 8）反函数的性质①原函数yf ( x) 与反函数yf 1 (x) 的图象关于直线 y x 对称． ②函数 y f (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1(x) 的值域、定义域．③若 P(a, b) 在原函数 y f (x) 的图象上，则 P '(b, a) 在反函数 y f 1( x) 的图象上．④一般地，函数 yf (x) 要有反函数则它必须为单调函数．〖 2.3 〗幂函数（ 1）幂函数的定义一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质① 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0, ) 都有定义，并且图象都通过点(1,1) ．③单调性：如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) 上为增函数．如果0 ，则幂函数的图象在(0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q（其中 p, q 互质，pq qp 和 q Z ），若 p 为奇数 q 为奇数时，则y x p是奇函数，若p 为奇数 q 为偶数时，则yx p是偶函数，q若 p 为偶数 q 为奇数时，则y x p是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数y x , x (0, ) ，当1 时，若 0x 1，其图象在直线y x 下方，若 x 1 ，其图象在直线 y x 上方，当1时，若 0x1 ，其图象在直线y x 上方，若 x1 ，其图象在直线y x下方．〖补充知识〗二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式①一般式： f ( x) ax2bx c(a 0) ②顶点式： f (x) a( xh) 2k ( a 0) ③两根式：f ( x)a( x x1)( x x2 )( a 0) （ 2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f ( x) 更方便．（ 3）二次函数图象的性质①二次函数 f ( x) ax2bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b , 顶点坐标是2a( b , 4ac b2) ．2a 4a②当 a 0 时，抛物线开口向上，函数在( , b ] 上递减，在[ b ,) 上递增，当x b 时，2a 2a 2af min ( x)4ac b20 时，抛物线开口向下，函数在( ,b b ) 上递减，当4a；当 a ] 上递增，在 [ ,2a 2ax b4ac b2时， f max (x) ．2a4a③二次函数 f ( x)ax2bx c(a 0) 当b24ac 0 时，图象与 x 轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | | x1x2 | ．|a|（ 4）一元二次方程ax2bx c 0(a 0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程 ax2bx c 0(a 0) 的两实根为 x1, x2，且 x1x2．令 f ( x) ax2bxc ，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：号．①k＜x1≤ x2 a ②对称轴位置： xb③判别式：④端点函数值符2ay ybf (k )0 a 0x2a O k Ok xx2x x x2x1 1xbf (k) 0 a2a②x1≤ x2＜ ky yf (k) 0ba 0x2aO x2O k x1k x x1x2xxb a 0f(k) 0 2a③x ＜ k＜x 2af( k) ＜ 01y ya 0 f(k ) 0 O kx1 O kx1 x2xx2xf (k ) 0a 0④k1＜ x1≤ x2＜ k2ya 0 f (k 1 ) 0 f (k 2 ) 0 x 1 x 2 O k k 2 x 1yxb2a k 1 k 2 O x 1 x 2 xf(k ) 0xb1f ( k 2 )0 a 02a⑤有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1＜x1（或 x2）＜ k2f( k1) f( k2)0，并同时考虑 f( k1)=0 或 f( k2)=0 这两种情况是否也符合yya 0f (k 1 ) 0f (k 1 ) 0x kk 2O 12O x 1x2xk 1 x 2 x k 1f (k 2 ) 0 a 0f (k 2 ) 0⑥k1＜ x1＜ k2≤ p1＜ x2＜ p2此结论可直接由⑤推出．（ 5）二次函数f (x) ax 2bx c(a 0) 在闭区间 [ p, q] 上的最值设 f (x) 在区间 [ p, q] 上的最大值为 M ，最小值为 m ，令 x 01( p q) ．（Ⅰ）当 a 0 时（开口向上） 2①若b p ，则 m f ( p) ②若 p b q ，则 m f ( b) ③若 b q ，则 m f(q) 2a 2a 2a 2af f f f (q) (p) (p) (q) O x f O x O x f ((p)bb ) f b )) f ( f( 2a 2a (q) 2a b bM f x 0 ，则 M f ( p)①若 x 0 ，则 ( q)②2a2af f(p) x(q)0 x 0Ox Oxb ) ff f(b (q) 2af ((p))2a( Ⅱ ) 当 a 0 时( 开口向下)①若 b2a p ，则 Mf ( p)②若p b 2a q ，则 Mf ( b 2a ) ③若 b 2aq ，则Mf ( q)f( b )f (b ) f f ( b )2a 2af 2a (q)f(p) (p)O x O x Oxf ff(q)(q)(p) bb x0 ，则 m f( p) ． ①若 x0 ，则 m f (q)②2a2abbf ()f f ( 2a )f 2a(q)(p) x 0x 0O x O x f f(q)(p)第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1 、函数零点的概念：对于函数 y f(x)( x D ) ，把使 f (x)0 成立的实数 x 叫做函数 y f (x)( x D )的零点。

高一数学重要知识点苏教版

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苏教版高一数学知识点总结

苏教版高一数学知识点总结一、函数与方程1. 函数的概念与性质•函数的定义•函数的自变量、函数值和定义域、值域的概念•函数的图像和奇偶性•函数的单调性和最值•反函数的概念与性质2. 一次函数与二次函数•一次函数的概念与性质•一次函数的图像和函数方程•斜率的意义及计算•二次函数的概念与性质•二次函数的图像和函数方程•抛物线的性质和顶点坐标的计算3. 指数与对数函数•指数函数的概念与性质•指数函数的图像和函数方程•对数函数的概念与性质•对数函数的图像和函数方程•指数与对数函数的性质和运算法则4. 三角函数•三角函数的概念与性质•三角函数的图像和函数方程•正弦、余弦和正切函数的周期性和对称性•三角函数的和差化积公式和倍角公式•三角函数的反函数和反函数的性质二、导数与微分1. 导数的概念与性质•导数的定义和几何意义•导数的计算和图形表示•导数的四则运算规则和组合函数求导2. 微分的概念与应用•微分的定义和几何意义•微分的计算和应用•极值问题与最优化问题的求解3. 函数的导数与图像•函数的单调性与导数的关系•函数的凹凸性与导数的关系•函数的极值与导数的关系•函数的图像与导数的关系三、排列与组合1. 排列与组合的基本概念•排列和组合的定义和区别•排列数和组合数的计算方法•二项式定理和应用2. 乘法原理与加法原理•乘法原理和加法原理的概念和应用•置换群、循环群和全排列的计算•计算不重复排列和组合的方法3. 特殊排列和特殊组合•重复排列和重复组合的计算•圆排列和圆组合的计算•二项式系数的性质和应用四、概率与统计1. 随机事件与概率•随机事件的概念和性质•频率与概率的关系•概率的计算和性质•概率的加法定理和乘法定理•独立事件和条件概率的计算2. 分布与随机变量•随机变量的概念和性质•离散随机变量和连续随机变量•期望值和方差的计算•二项分布和正态分布的性质和应用3. 统计与抽样调查•统计的概念和基本思想•抽样调查的方法和步骤•总体和样本的统计量•区间估计和假设检验以上是苏教版高一数学的主要知识点总结。

苏教版高一数学必修一知识点归纳总结