高中数学(人教A版)教材《对数函数》导学课件1
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（2）因为4－x＞0，即x＜4， 所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．
高中数学（人教A版）教材《对数函数 》导学 课件1 （公开 课课件 ）
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新知探究
例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的 物价为x． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
追问1 解决这个问题，显然要依据函数的定义．那么依据定义应该 怎样进行判断呢？
函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意 一个y∈(0，1]，是否都有唯一确定的数x和它对应．
y
(
1
)
5
x 730
2
y
(1)5 2
x≥ 0
xΒιβλιοθήκη Baidu
730 x ≥ 0 至少
为减函数，所以
这个交点是唯一的交点．这个交点的意义是，已知死亡生物体内碳14的
含量为y0，则可以找到与其对应的唯一的一个死亡时间x0．这说明对任 意一个y∈(0，1]，在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x和它对应．所以x也
是y的函数．
通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，可将x＝logay(a＞0，且 a≠1)改写为：y＝logax(a＞0，且a≠1)．这就是对数函数．
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新知探究
追问：如果用解析式法表示一个函数，除了要确定其解析式，还要确 定其定义域，才能确定下来这个函数．现在我们已经确定了一般的对 数函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1)，那么通过与指数函数对比， 你能给出一般的对数函数的定义域吗？
新知探究
追问2 若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间
呢？如右图，观察
y
(
1
)
5
x 730
x≥
0
的图象，过y轴正半轴上任意一点
2
(行0，线y与0)（y 0＜(1y)05≤7x301）x 作≥x0轴 的的图平象行有线几，个结交合点指？数这函说数明的对单任调意性一，个这y条∈平(0，
对数函数的概念
整体感知
在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的 问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对 其蕴含的规律作进一步的研究．
新知探究
问题1 在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14
的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律是函数
y
根据指数函数的定义域可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是(0， ＋∞)．于是就得到了：
定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 （logarithmic function），其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
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2
1]，都有几个x与其对应？能否将x看成是y的函数？
所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的 函数，就要确定，对于任意一个y∈(0，1]， 是否都有唯一确定的数x和它对应．
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新知探究
从图象上看，这条平行于x轴的直线，与 的图象
有一个交点(x0，y0)，又因为指数函数
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新知探究
追问3 能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？
根据指数与对数的运算关系，可以将
y
(
1
)
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x 730
x≥
0
这种对应关系，
2
改写为 x log y 0 y ≤1． 习惯上用x表示自变量，用y表示函数值，
5730 1
(
1
)
5
x
73（0 x≥
2
0）．进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？你能设计
一个方案来研究这个问题吗？
要判断其是否为函数，首先要从函数的定义进行思考，然后考察其是 否符合函数的定义．在考察的时候，一方面可以观察图象上进行定性 的分析，另一方面可以依据函数的定义和性质进行定量的推理判断．
新知探究
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0
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新知探究
例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的 物价为x． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ 对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换 为y关于x的函数．
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例1 求下列函数的定义域： （1）y＝log3x2； （2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．
解：（1）因为x2＞0，即x≠0， 所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
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例1 求下列函数的定义域： （1）y＝log3x2； （2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)． 追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？
求解的依据是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域(0，＋∞)．那 么（1）中的x2和（2）中的(4－x)的取值范围就是(0，＋∞)，于是得到 不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域．
2
于是就得到函数
y
log
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1
x，x
0，1，它刻画了时间y随碳14含量x的
2
衰减而变化的规律．
新知探究
问题2 对一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，根据指数与对 数的运算关系，转换成x＝logay(a＞0，且a≠1)，能否将x看成 是y的函数？
根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，y＝ax单调递减；当a＞1时，y＝ ax单调递增．所以考虑一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，对任意一 个y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的数x和它对应．因此，x也是y的函数．
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例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的 物价为x． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
追问1 解决这个问题，显然要依据函数的定义．那么依据定义应该 怎样进行判断呢？
函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意 一个y∈(0，1]，是否都有唯一确定的数x和它对应．
y
(
1
)
5
x 730
2
y
(1)5 2
x≥ 0
xΒιβλιοθήκη Baidu
730 x ≥ 0 至少
为减函数，所以
这个交点是唯一的交点．这个交点的意义是，已知死亡生物体内碳14的
含量为y0，则可以找到与其对应的唯一的一个死亡时间x0．这说明对任 意一个y∈(0，1]，在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x和它对应．所以x也
是y的函数．
通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，可将x＝logay(a＞0，且 a≠1)改写为：y＝logax(a＞0，且a≠1)．这就是对数函数．
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追问：如果用解析式法表示一个函数，除了要确定其解析式，还要确 定其定义域，才能确定下来这个函数．现在我们已经确定了一般的对 数函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1)，那么通过与指数函数对比， 你能给出一般的对数函数的定义域吗？
新知探究
追问2 若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间
呢？如右图，观察
y
(
1
)
5
x 730
x≥
0
的图象，过y轴正半轴上任意一点
2
(行0，线y与0)（y 0＜(1y)05≤7x301）x 作≥x0轴 的的图平象行有线几，个结交合点指？数这函说数明的对单任调意性一，个这y条∈平(0，
对数函数的概念
整体感知
在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的 问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对 其蕴含的规律作进一步的研究．
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问题1 在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14
的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律是函数
y
根据指数函数的定义域可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是(0， ＋∞)．于是就得到了：
定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 （logarithmic function），其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
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2
1]，都有几个x与其对应？能否将x看成是y的函数？
所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的 函数，就要确定，对于任意一个y∈(0，1]， 是否都有唯一确定的数x和它对应．
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从图象上看，这条平行于x轴的直线，与 的图象
有一个交点(x0，y0)，又因为指数函数
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追问3 能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？
根据指数与对数的运算关系，可以将
y
(
1
)
5
x 730
x≥
0
这种对应关系，
2
改写为 x log y 0 y ≤1． 习惯上用x表示自变量，用y表示函数值，
5730 1
(
1
)
5
x
73（0 x≥
2
0）．进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？你能设计
一个方案来研究这个问题吗？
要判断其是否为函数，首先要从函数的定义进行思考，然后考察其是 否符合函数的定义．在考察的时候，一方面可以观察图象上进行定性 的分析，另一方面可以依据函数的定义和性质进行定量的推理判断．
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物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0
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例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过y年后的 物价为x． （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ 对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换 为y关于x的函数．
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例1 求下列函数的定义域： （1）y＝log3x2； （2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)．
解：（1）因为x2＞0，即x≠0， 所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
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例1 求下列函数的定义域： （1）y＝log3x2； （2）y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1)． 追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？
求解的依据是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域(0，＋∞)．那 么（1）中的x2和（2）中的(4－x)的取值范围就是(0，＋∞)，于是得到 不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域．
2
于是就得到函数
y
log
5730
1
x，x
0，1，它刻画了时间y随碳14含量x的
2
衰减而变化的规律．
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问题2 对一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，根据指数与对 数的运算关系，转换成x＝logay(a＞0，且a≠1)，能否将x看成 是y的函数？
根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，y＝ax单调递减；当a＞1时，y＝ ax单调递增．所以考虑一般的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，对任意一 个y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的数x和它对应．因此，x也是y的函数．