2018版高中数学苏教版必修一学案：2.3 映射的概念

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人教新课标版数学高一-高中数学人教版必修一1-2-2-3映射教案

1、2、2、3映射学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲一、【学习目标】1、要求学生理解映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”；2、映射由三个部分组成：集合A,集合B及对应法则f，称为映射的三要素；3、会利用映射的定义解决一些简单的问题.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，自学教材22页内容，回答问题（映射）材料：给出以下对应关系如右：<1>这三个对应关系有什么共同特点？<2>像材料中的对应我们称为映射，请你结合教材给出映射的定义；映射定义中的“都有唯一”是什么意思？函数与映射有什么关系？<3>你能举出几个生活中映射的例子吗？结论：<1>①都有三部分组成：A、B、f；②集合A、B均为非空集合；③集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应；<2>一般地，设A、B是两个的集合,如果按某一个确定的，使对于集合A中的，在集合B中都有的y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射.记作“”；“都有唯一”包含两层意思：一是，二是，也就是说有且只有一个的意思，即是或；函数是特殊的映射，映射是函数的推广.三、【练习与巩固】1、自学教材第22页例7，然后完成练习一练习一：<1>你能理解例7中的解题思路吗？试述之；<2>图(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？2、根据今天所学知识，然后完成练习二练习二：设f：A→B是A到B的映射，其中A→B={(x,y)|x,y∈R}，f:(x,y)→(x-y，x+y)，求：(1)A中元素(-1，2)在B中对应的元素；(2)在A中什么元素与B中元素(-1，2)对应？四、【课堂作业】1、必做题：教材第23页练习4；2、选做题：教材第24页习题1.2A组第10题.1、2、2、3映射学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲一、【学习目标】1、要求学生理解映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”；2、映射由三个部分组成：集合A,集合B及对应法则f，称为映射的三要素；3、会利用映射的定义解决一些简单的问题.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生明确本节课的任务，从而能激发学生学习的兴趣.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，自学教材22页内容，回答问题（映射）材料：给出以下对应关系如右：<1>这三个对应关系有什么共同特点？<2>像材料中的对应我们称为映射，请你结合教材给出映射的定义；映射定义中的“都有唯一”是什么意思？函数与映射有什么关系？<3>你能举出几个生活中映射的例子吗？结论：<1>①都有三部分组成：A、B、f；②集合A、B均为非空集合；③集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应；<2>一般地，设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f：A→B”；“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一；函数是特殊的映射，映射是函数的推广.【教学效果】：通过举例学习，学生能分辨出哪一些是映射，哪一些不是映射，达到了教学目标.需要注意的是，讲解的时候举反例是必要的.三、【练习与巩固】1、自学教材第22页例7，然后完成练习一练习一：<1>你能理解例7中的解题思路吗？试述之；<2>图(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？2、根据今天所学知识，然后完成练习二练习二：设f：A→B是A到B的映射，其中A→B={(x,y)|x,y∈R}，f:(x,y)→(x-y，x+y)，求：(1)A中元素(-1，2)在B中对应的元素；(2)在A中什么元素与B中元素(-1，2)对应？【教学效果】：学生们都能顺利的完成练习一，练习二需老师讲解.四、【课堂作业】1、必做题：教材第23页练习4；2、选做题：教材第24页习题1.2A组第10题.五、【小结】这节课主要学习的是映射.映射在高考中的要求不是很高，了解定义，理解函数是特殊的映射即可.学习完之后要达到能分辨出哪些是映射，哪些不是映射.哪些是函数，哪些不是函数.六、【反思】这节课符号比较多，学生学习起来比较艰涩，课前要引导学生做好预习.。

高中数学苏教版高一必修一学案 2.3 映射的概念

2．3映射的概念学习目标 1.了解映射的概念，掌握映射的三要素(难点)；2.会判断给出的两集合，能否构成映射(重点)．预习教材P46－47，完成下面问题：知识点一映射的概念一般地，设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A 到集合B的映射，记为f：A→B.【预习评价】下面各图表示的对应构成映射的有________．解析①②③这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射；对于⑥，A中的元素a3，a4，在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．答案①②③知识点二映射与函数的关系名称区别与联系函数映射区别函数中的两个集合A和B必须是非空数集映射中的两个集合A和B可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可联系函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但不一定是函数函数与映射有何区别与联系？提示函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射，但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数．题型一映射的判断【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应法则f：每一个班级都对应班里的学生．解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．规律方法映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．【训练1】设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则下述对应法则f 中，不能构成从A 到B 的映射的是________． ①f ：x →y ＝x 2 ②f ：x →y ＝3x －2 ③f ：x →y ＝－x ＋4④f ：x →y ＝4－x 2解析对于①，任一实数x 都有唯一的x 2与之对应，是映射，这个映射是一对一；对于②，任一x 都有唯一3x －2与之对应，是映射，一对一．③类似于②.对于④，当x ＝2时，由对应法则y ＝4－x 2得y ＝0，在集合B 中没有元素与之对应，所以④不能构成从A 到B 的映射．答案 ④题型二利用对应法则求对应元素【例2】设集合A 和B 为坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，xy )，那么(1,2)在映射f 作用下的对应元素为________；若在f 作用下的对应元素为(－2，－3)，则它原来的元素为________．解析根据映射的定义，当x ＝1，y ＝2时，x ＋y ＝3，xy ＝2，则(1,2)在映射f 作用下的对应元素为(3,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－2，xy ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3，即(－2，－3)所对应的原来的元素为(－3,1)或(1，－3)．答案 (3,2) (－3,1)或(1，－3)规律方法求一个映射(f ：A →B )中，A 中元素在B 中的对应元素或B 中元素在A 中的对应元素的方法，主要是根据对应法则列方程或方程组求解．【训练2】已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素．解将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素为(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，可得x ＝12.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素为12. 互动探究题型三映射的个数问题【探究(1)从A 到B 可以建立多少个不同的映射？从B 到A 呢？(2)若f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，则从A 到B 的映射中满足条件的映射有几个？解 (1)从A 到B 可以建立8个映射，如下图所示．从B 到A 可以建立9个映射，如图所示．(2)欲使f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，需a ，b ，c 中有两个元素对应－1，一个元素对应2，共可建立3个映射．【探究2】已知集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2,3}，映射f ：A →B 满足A 中元素a 在B 中的对应元素是1，问这样的映射有几个．解由已知f (a )＝1，所以，①f (b )＝f (c )＝1时有1个； ②f (b )＝f (c )＝2或f (b )＝f (c )＝3时各有1个，共2个； ③f (b )＝1，f (c )＝2时有1个； ④f (b )＝1，f (c )＝3时有1个； ⑤f (c )＝1，f (b )＝2时有1个； ⑥f (c )＝1，f (b )＝3时有1个； ⑦f (b )＝2，f (c )＝3时有1个； ⑧f (b )＝3，f (c )＝2时有1个．综上可知，共有不同映射9个．【探究3】已知从集合A 到集合B ＝{0,1,2,3}的映射f ：x →1|x |－1，则集合A 中的元素最多有几个？解 ∵f ：x →1|x |－1是从集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有对应元素．令1|x |－1＝0，该方程无解，分别令1|x |－1＝1,2,3，解得x ＝±2，x ＝±32，x ＝±43， ∴集合A 中的元素最多有6个．【探究4】设M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－2,0,2}． (1)求从M 到N 的映射个数；(2)从M 到N 的映射满足f (a )＞f (b )≥f (c )，试确定这样的映射f 的个数．解 (1)M 中元素a 可以对应N 中的－2,0,2中任意一个，有3种对应方法，同理，M 中元素b ，c 也各有3种对应方法．因此从M 到N 的映射个数为3×3×3＝27. (2)满足f (a )＞f (b )≥f (c )的映射是从M 到N 的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表).f (a ) f (b ) f (c ) 0 －2 －2 2 －2 －2 2 0 －2 2故符合条件的映射有4个．规律方法 (1)映射是一种特殊的对应，一对一，多对一均为映射，但一对多不构成映射．(2)判断两个集合的一种对应能否构成函数，首先判断能否构成映射，且构成映射的两个集合都是数集，这样的映射才能构成函数．①如果集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，那么从集合A 到集合B 的映射共有n m 个，从B 到A 的映射共有m n 个．②映射带有方向性，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的．课堂达标1．若f ：A 中元素(x ，y )对应B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素________与A 中元素(1,2)对应，A 中元素________与B 中元素(1,2)对应．解析由⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝3，1－2＝－1，得B 中元素(3，－1)与A 中(1,2)对应．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－12，所以A 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12与B 中元素(1,2)对应．答案 (3，－1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－122．设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－1，－2，－3}，试问，从集合A 到集合B 的不同映射有________个．解析每个元素都有3种对应，所以3×3×3＝27. 答案 273．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表：映射f 的对应法则如下：映射g则f (g (1))＝________. 解析因为g (1)＝4，所以f (g (1))＝f (4)＝1. 答案 14．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，若B ＝{1}，则A ∩B ＝________. 解析由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1}，则A ＝{－1,1}或A ＝{－1}或A ＝{1}，所以A ∩B ＝∅或{1}．答案 ∅或{1}5．已知B ＝{－1,3,5}，若集合A 使得f ：x →3x －2是A 到B 的映射，求集合A . 解由f ：x →3x －2，分别令：3x －2＝－1，3x －2＝3,3x －2＝5，得x ＝13，53，73. ∴A 是集合{13，53，73}的非空子集．即A 为：{13}，{53}，{73}，{13，53}，{13，73}，{53，73}，{13，53，73}，共7个．课堂小结对映射定义的理解(1)A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；(2)对应关系有“方向性”，即从集合A 到集合B 的对应与从B 到A 的对应关系一般是不同的；(3)集合A 中每一个元素，在集合B 中必须有对应元素，并且对应元素是唯一的； (4)集合A 中不同元素，在集合B 中对应的元素可以是相同的； (5)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有对应元素.。

2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.2空间线面关系的判定(二)

3.2.2空间线面关系的判定(二)【学习目标】1•能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系3能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理•ET问题导学 ------------------------- 知识点一向量法判断线线垂直思考若直线l i的方向向量为山=(1,3,2),直线12的方向向量为犷(1, —1,1),那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？梳理设直线I的方向向量为a = (a1, a2, a3),直线m的方向向量为b= (b1, b2, b3),则I丄m知识点二向量法判断线面垂直思考若直线I的方向向量为p1 =(2, 4， 1 j,平面a的法向量为(12= [3, 2, 3''，则直线I与平面a的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？梳理设直线I的方向向量a= (a1, b1, C1),平面a的法向量尸(a2, b2, C2),则I丄o? a// 1知识点三向量法判断面面垂直思考平面a, B的法向量分别为11=(X1, y1, z”, 1=(X2, y2 , Z2),用向量坐标法表示两平面a, B垂直的关系式是什么？梳理右平面a的法向量为(1= (a i, b i, c i)，平面B的法向量为v= (a2, b2, C2)，贝V a丄3?□丄V i v= 0? _________________题型探究类型一证明线线垂直例1已知正三棱柱ABC-A i B i C i的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC i上的点，且CN =〔CC i.求证：AB i丄MN.H M C反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系T写出点的坐标T求直线的方向向量T证明向量垂直T得到两直线垂直.跟踪训练i 如图，在直三棱柱ABC —A i B i C i中，AC = 3, BC = 4, AB= 5, AA i = 4，求证:AC 丄BC i.类型二证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱ABC —A i B i C i的所有棱长都为2, D为CC i的中点.求证：AB」平面A I BD.反思与感悟用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一：(1)建立空间直角坐标系.(2) 将直线的方向向量用坐标表示.⑶找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：(1)建立空间直角坐标系.(2) 将直线的方向向量用坐标表示.(3) 求出平面的法向量.(4) 判断直线的方向向量与平面的法向量平行跟踪训练2 如图，在长方体ABCD-A I B I C I D I中，AB= AD = 1 , AA i= 2,点P为DD i的中点. 求证：直线PB1±平面FAC.类型三证明面面垂直例 3 在三棱柱ABC —A i B i C i 中，AA i 丄平面ABC , AB丄BC, AB = BC = 2, AA i= 1 , E 为BB i的中点，求证：平面AEC i丄平面AA i C i C.反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1) 常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明(2) 向量法：证明两个平面的法向量互相垂直跟踪训练3 如图，底面ABCD是正方形，AS丄平面ABCD，且AS= AB, E是SC的中点.当堂训练求证：平面BDE丄平面ABCD.1.有如下四个命题①若n i, n2分别是平面a, B的法向量，则n i//敗？a//厲②若山，n2分别是平面a, B的法向量，贝U a丄价n i n2 = 0;③若n是平面a的法向量，a与平面a平行，则n a= 0;④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直其中为真命题的是 _________ .2•若直线l i的方向向量为a= (2 , - 4,4), 12的方向向量为b= (4,6,4)，贝V l i与“的位置关系是3•若直线I的方向向量为a = (i,0,2)，平面a的法向量为尸(-2,0，- 4)，则I与a的位置关玄阜系是 ________ -4. 平面a的一个法向量为m = (i,2,0)，平面B的一个法向量为n = (2 , - i,0),则平面a与平面B的位置关系是 _________ .5. _____________ 已知平面a与平面B垂直，若平面a与平面B的法向量分别为［i= (— 1,0,5), v= (t,5,1)，则t的值为 _____ .厂《规律与方法------------------------------- 1空间垂直关系的解决策略答案精析问题导学知识点一思考11与12垂直，因为w -(J2= 1一 3 + 2= 0,所以山丄卩2，又w ,血是两直线的方向向量，所以I,与12垂直.判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A、B与C、D，计算向量AB与CDX的坐标，若AB CD = 0，则两直线垂直，否则不垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.梳理 a b= 0 a i b i + a2b2 + a3b3 = 0知识点二2思考垂直，因为21 = £2,所以2〃2,即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线I与平面a垂直.判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线I的方向向量与平面a的法向量共线？ I丄a(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直？直线与平面平行或直线在平面内.⑶直线I的方向向量与平面a内的两相交直线的方向向量垂直？ I丄a梳理 a = k2k€ R)知识点三思考X1X2+ y1y2+ Z1Z2= 0.梳理玄但2 + b1 b2+ C1 C2= 0题型探究例1证明设AB中点为O,连结OC,作OOJ/ AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.:T由已知得A —1, 0, 0 ,B l 2， 0， 1 ， ••• M 为BC 中点,•••赢=-4，屮AB i =(1,0,1),••• MN A B i =- 2+ 0 + 2= 0.4 4• MN 丄 AB i , • AB i 丄 MN.跟踪训练1 证明 •••直三棱柱 ABC — A i B i C i 底面三边长 AC = 3,BC = 4,AB = 5, • AC 丄BC , AC 、BC 、C i C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC i 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则 C(0,0,0), A(3,0,0), C i (0,0,4) , B(0,4,0),BC i = (0, — 4,4),BC i = 0, • AC 丄 BC i .例2证明如图所示，取BC 的中点0,连结AO.C 0,空1,因为△ ABC为正三角形，所以AO丄BC.因为在正三棱柱ABC —A i B i C i中，平面ABC丄平面BCC i B i,且平面ABC门平面BCC i B i= BC,所以A0丄平面BCC i B i.取B i C i的中点O i,连结OO i，以0为原点，以OB, OO i, 0A分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(i,0,0)，D(—i,i,0)，A i(0,2，.3)，A(0,0，,3)，B i(i,2,0).所以A B i= (i,2 , —.3),BA i = (—i,2 , . 3),B D = (—2,i,0).因为A B i B A i= i X (—i) + 2X 2+ (—. 3)X .3= 0.AB i BD = i X (—2) + 2 X i + (—3) X 0= 0.所以A B i±B A i, AB i丄BD ,即AB i 丄BA i, AB i 丄BD.又因为BA i n BD = B,所以AB i丄平面A i BD.跟踪训练 2 证明如图建系，C(i,0,0), A(0,i,0), P(0,0,i), B i(i,i,2), PC= (i,0，—i),PA= (0,i, —i), PB i= (i,i,i),4jB i C= (0, —1 , — 2),B i A= (—1,0 , —2).PB i PC = (1,1,1) (1,•，- 1) = 0, 所以見1丄PC，即PB1丄PC.又PB1 PA = (1,1,1) (0,1 , —1) = 0, 所以P B1± P A，即PB1 丄FA.又FA n PC= P,所以PB1丄平面PAC.例3证明由题意知直线AB, BC, B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA, BC, BB1所在直线为x，y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0，0，扌),AC1= (—2,2,1),AC= (—2,2,0),故AA1= (0,0,1),AE= (—2,0 , 设平面AA1C1C的法向量为m = (x, y, z),令 x = 1,得 y = 1,故 n i = (1,1,0).设平面AEC 1的法向量为 n 2 = (a , b , c),| — 2a + 2b + c = 0, 即 1| — 2a + ^c = 0. 令 c = 4,得 a = 1, b =— 1,故 n 2= (1, — 1,4).因为 n 1 n 2= 1x 1+ 1 x (— 1) + 0 x 4= 0,所以 n 1 丄n 2 所以平面AEC 1丄平面AA 1C 1C. 跟踪训练3 证明设AB = BC = CD = DA = AS = 1，建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ,1 1 1则 B(1,0,0), D(0,1,0), A(0,0,0), S(0,0,1), E (2, © 2)，连结 AC ,设 AC 与 BD 相交于点 O ,1 1连结OE ,则点O 的坐标为g , 2 0).因为AS = (0,0,1), oE = (0,0, 2, 所以 OE =2AS ,所以 OE // A S.又因为 AS 丄平面ABCD ，所以OE 丄平面ABCD ,又OE?平面BDE ，所以平面 BDE 丄平面ABCD.当堂训练1.②③④2.垂直3.垂直4.垂直5.5[n i AA i = 0, 则f TI n i AC = 0, z = 0, 即 —2x + 2y = 0.仏 AC 1= 0,则n 2 AE = 0, S。

苏教版数学高一必修1学案 2.3映射的概念

2．3映射的概念教学目标1．理解映射的概念及表达方法．2．会判断一个对应是否为映射．教学过程映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应就叫集合A到集合B的映射．记作f：A→B．若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则集合A到集合B的映射有m n个．【做一做1－1】根据对应法则f：x→2x－1，写出图中给定元素的对应元素．(1)(2)答案：(1)135(2)45 6【做一做1－2】已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的元素，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是________．答案：41．怎样理解映射的概念？剖析：(1)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的．(2)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的．(3)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B 中的元素b．(4)符号“f：A→B”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容可用汉字叙述，如“求正弦”“乘以2再加5”等．但在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示．(5)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．2．为什么说映射是一种特殊的对应？剖析：(1)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系．说其是一种特殊的映射，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应．(2)映射中所允许的“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从A到B的映射f：A→B 实际是要求集合A中的任一元素都必须对应于集合B中惟一的元素．但对集合B中的元素并无任何要求，即允许集合B中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应．题型一映射的概念【例1】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝Q，B＝{x∈Q|x＞0}，f：x→|x|；(2)A＝B＝N*，f：x→|x－2|；(3)A＝{x∈N|x≥2}，B＝{y∈Z|y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋1；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±x．解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0B，即A中的元素0按照对应法则在B中找不到应该对应的元素，故(1)不是映射．(2)中，当x＝2∈A时，|x－2|＝0B，与(1)类似，(2)也不是映射．(3)中，因为y＝(x－1)2≥0，所以对任意x，总有y≥0；又当x∈N时，x2－2x＋1必为整数，即y∈Z．所以当x∈A时，x2－2x＋1∈B，且对A中每一个元素x，在B中都有惟一的y与之对应，故(3)是映射．(4)中，任意一个x都有两个y与之对应，故不是映射．反思：给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是A→B的映射，而后一种不是A→B的映射．题型二映射的个数问题【例2】已知M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，且从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f 的个数为__________．解析：因为从M 到N 的映射满足f (a )＞f (b )≥f (c )，所以，(1)当f (a )＝2时，有⎩⎨⎧ f (b )＝0，f (c )＝0或⎩⎨⎧ f (b )＝－2，f (c )＝－2或⎩⎨⎧ f (b )＝0，f (c )＝－2.(2)当f (a )＝0时，有⎩⎨⎧f (b )＝－2，f (c )＝－2. 综上，从M 到N 满足f (a )＞f (b )≥f (c )的映射f 的个数是4．答案：4反思：对于这类有条件的映射问题，求解时要注意考虑周到，注意分情况讨论，切勿遗漏情况．【例3】已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{6,7}，则以A 为定义域，B 为值域的不同函数的个数为__________．解析：当A 中有三个元素对应B 中元素6时，另一个元素必须对应B 中元素7，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A 中有三个元素对应B 中元素7时，另一个元素必须对应B 中元素6，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A 中有两个元素对应B 中元素6时，剩下两个元素必对应7，这样可组成6个满足题意的函数．所以共可组成4＋4＋6＝14(个)不同函数．答案：14反思：求解此题要特别注意集合B 必须为函数的值域的特别要求，它实际是要求集合B 恰好是集合A 中的所有元素所对应的元素组成的．题型三映射的应用【例4】为了增加破译密文的难度，有一种密码把英文的明文按两个字母一组分组，如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组．例如I am your f riend 添一个o ，分组为：Ia my ou r f ri en do ，得到⎩⎨⎧⎭⎬⎫91，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1325，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521，⎩⎨⎧⎭⎬⎫186，⎩⎨⎧⎭⎬⎫189，⎩⎨⎧⎭⎬⎫514，⎩⎨⎧⎭⎬⎫415．其中9表示I 在26个英文字母中的序号，1表示a 在26个英文字母中的序号，依此类推，然后用一个公式，比如：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x y ⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2x ＋3y y ′＝x ＋4y 来进行变换．由⎩⎨⎧⎭⎬⎫91⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×9＋3×1＝21y ′＝9＋4×1＝13＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2113， 21÷26＝0余21,21对应字母u,13÷26＝0余13,13对应字母m ，即Ia 变成um ．将⎩⎨⎧⎭⎬⎫1325变成x ′＝2×13＋3×25＝101除以26得余数为23，即w ；y ′＝13＋4×25＝113除以26得余数为9，即i ．试按上述方法及变换公式将明文I am your f riend 写成密文．解：因26的倍数除以26所得的余数为0，英文字母中没有与0对应的字母，故令与0对应的字母为z ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×15＋3×21＝93≡15(mod 26)y ′＝15＋4×21＝99≡21(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1521，即ou 不变； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫186⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×18＋3×6＝54≡2(mod 26)y ′＝18＋4×6＝42≡16(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫216，即rf 变成bp ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫189⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×18＋3×9＝63≡11(mod 26)y ′＝18＋4×9＝54≡2(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫112，即ri 变成kb ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫514⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×5＋3×14＝52≡0(mod 26)y ′＝5＋4×14＝61≡9(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫09，即en 变成zi ； ⎩⎨⎧⎭⎬⎫415⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ′＝2×4＋3×15＝53≡1(mod 26)y ′＝4＋4×15＝64≡12(mod 26)＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫112，即do 变成al ．故密文为umwioubpkbzial ．反思：密码学问题涉及到很多的知识，上面的例题只是一种很简单的形式，也是一类很好的映射应用问题，解决此类问题既要读懂题意，又要看准对应法则，按照题目的引例进行计算．1下图中表示的是从集合X 到集合Y 的对应，其中能构成映射的是__________．解析：图象中必须满足对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应．答案：①2若A ＝{(x ，y )|x ∈Z ，|x |＜2，y ∈N *，x ＋y ＜3}，B ＝{0,1,2}，从A 到B 的对应关系f ：(x ，y )→x ＋y ，说明f 是A 到B 的映射，并画出对应图，指出B 中的元素2与A 中的哪个元素对应．分析：按照映射的定义，对于集合A中的每一元素，在集合B中都要有惟一的元素与它对应，但要注意集合A中的多个元素是可以对应于B中的同一个元素的．解：集合A的元素共有六个，用列举法表示为{(－1,2)，(－1,3)，(－1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}．对应图如下图所示：∵集合A中的每一元素，集合B中都有惟一的元素与之对应，∴f是A到B的映射．2与A中对应的元素有三个，即(－1,3)、(0,2)、(1,1)．3(1)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？(2)已知集合A＝{a1，a2}，B＝{b1，b2，b3}，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？分析：当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之．解：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A到B能建立4个不同的映射(见下图)．(2)分A中元素对应B中同一元素和A中元素对应B中不同元素两种情况考虑．A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3个不同的映射；A中2个元素同时对应B 中2个不同的元素的对应有6个，这时有6个不同的映射．所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9个．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是A到B的映射，规定为：f：x→(x＋1，x 2＋1)，试求2在B 中的对应元素及35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在A 中的对应元素．解：由条件知当x ＝2时，x ＋1＝2＋1，x 2＋1＝3．所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)；再由⎩⎨⎧ x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12，说明点35,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在A 中的对应元素为12． 5已知集合A 到集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12，13的映射是f ：x →1|x |－1，那么集合A 中的元素最多有几个？并写出元素最多时的集合A ．解：∵f 是映射，∴A 中的每一个元素在B 中都有惟一元素与它对应，但1|x |－1≠0， ∴0在集合A 中不存在元素与它对应．当1|x |－1＝1时，得x ＝±2；当1|x |－1＝12时，得x ＝±3；当1|x |－1＝13时，得x ＝±4． ∴A 中元素最多只能有6个，即A ＝{－4，－3，－2,2,3,4}．。

高中数学映射教学教案

高中数学映射教学教案
教学目标：让学生了解映射的定义、性质和应用，并掌握相关的解题方法。

教学重点和难点：映射的定义和性质、映射的合成和逆映射、映射在几何中的应用。

教学准备：教材、课件、活动设计、练习题等。

教学流程：
一、引入（5分钟）
教师向学生介绍映射的概念，引导学生思考什么是映射，并举例说明。

二、概念理解（15分钟）
1. 讲解映射的定义和符号表示，让学生掌握映射的基本概念。

2. 讲解映射的性质，帮助学生理解映射的基本性质。

三、运用能力培养（20分钟）
1. 给学生一些简单的映射题目，让学生能够灵活运用映射的知识解题。

2. 引导学生进行映射的合成和逆映射的讨论和解题。

四、拓展应用（10分钟）
1. 讲解映射在几何中的应用，如平移、旋转等。

2. 给学生一些实例题目，帮助学生了解映射在几何中的具体应用。

五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点和难点，巩固学生对映射的理解，激发学生对数学的兴趣。

六、作业布置（5分钟）
布置相关的练习题，让学生复习本节课内容，并巩固所学知识。

教学反思：老师可以根据学生的学习情况调整教学内容和方法，确保学生能够有效地掌握映射的相关知识。

同时，鼓励学生多进行实际操作，加深对映射的理解和应用能力。

高中数学映射的教案

高中数学映射的教案教学目标：1. 理解数学映射的概念和基本性质。

2. 掌握如何判断一个给定关系是否为映射。

3. 能够在实际问题中应用映射的概念解决问题。

教学重点：1. 映射的定义和基本性质。

2. 判断一个给定关系是否为映射。

3. 应用映射解决实际问题。

教学难点：1. 理解映射和函数的区别。

2. 能够准确地判断一个关系是否为映射。

教学准备：1. 教师备好教材、教具和课件。

2. 学生预先学习相关知识。

3. 教师准备案例题目和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾函数的概念，并告诉学生今天将学习数学映射的内容。

二、讲解映射的概念和基本性质（15分钟）1. 教师讲解映射的定义和基本性质，引导学生理解映射的概念。

2. 教师通过示例说明映射的性质，让学生加深对映射的理解。

三、判断关系是否为映射（15分钟）1. 教师讲解判断一个给定关系是否为映射的方法。

2. 教师通过案例指导学生如何判断一个关系是否为映射。

四、应用映射解决实际问题（10分钟）1. 教师给出一个实际问题，引导学生运用映射的概念解决问题。

2. 学生尝试独立解决问题，教师及时给予指导和反馈。

五、课堂练习（10分钟）学生完成几道与映射相关的练习题，巩固所学知识。

六、总结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生对映射的概念进行复习。

七、作业布置（5分钟）布置相关习题作业，督促学生加强练习。

教学反思：本节课主要是对数学映射的基本概念和性质进行讲解，通过案例和练习引导学生深入理解映射的概念。

教学中应注意引导学生掌握映射的判定方法和应用技巧，激发学生对数学的兴趣和学习的动力。

【平煤高中学案必修一】11.映射

§1.2.2映射学习目标：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.知识要点：1.映射的概念：2.映射的三要素：3.映射的性质：4.判断映射的标准：5.映射的个数：典型例题：1.图中用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，各自有何特点？2.下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？(1){|A P P =是数轴上的点}，B R =，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2) {|A P P =是平面直角坐标系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R =∈∈，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； (3){A =x x 是三角形}，{|B x x =是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；(4){|A x x =是新华中学的班级}，{|B x x =是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.3.已知集合{|06}M x x =≤≤，{|03}P y y =≤≤，则下列对应关系中不能看作从M 到P 的映射的是 ( ) A.f ：12x y x →=B. f ：13x y x →=C. f ：x y x →=D. f ：16x y x →= 4.已知集合A N =，{|21,}B a a n n Z ==-∈，映射f : A →B ，使A 中任一元素a 与B 中元素21a -对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是（）A.3B.5C.17D.9 5. 已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射有个？当堂检测1.下列对应:f A B →：① {},0,:;A R B x R x f x x ==∈>→ ②*,,:1;A N B N f x x ==→- ③{}20,,:.A x R x B R f x x =∈>=→ 不是从集合A 到B 映射的有（）. A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③2.设集合{},,A a b c =，集合B R =，以下对应关系一定能建立集合A 到集合B 的映射的是( )A. 对集合A 中的数开平方B. 对集合A 中的数取倒数C. 对集合A 中的数取算术平方根D. 对集合A 中的数立方3.集合{}x x f b a N a b M →=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=:,,,,1，则b a ,的值为 .4. 在映射:f A B →中，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f xy x yx y →-+，则与A 中的元素(1,2)-对应的B 中的元素为（）. A.(3,1)- B.(1,3) C.(1,3)-- D.(3,1)5.设映射2:2f x x x →-+是实数集A R =到实数集B R =的映射，若对于实数B p ∈,在A 中不存在元素和p 对应，则实数p 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.［1,+∞）C.(-∞,1)D.(-∞,1)6.集合{}{}4,3,3,2,1==B A ，从A 到B 的映射f 满足3)3(=f ，这样的映射有个7.{}{}1,0,1,,,-==B c b a A ，f : A →B 满足)()()(c f b f a f =+，则映射f : A →B 的个数为。

高中数学映射教案

高中数学映射教案
一、教学目标：
1. 理解映射的概念和性质；
2. 掌握映射的表示方法；
3. 能够根据给定的映射找出它的定义域、值域和像；
4. 能够进行映射的复合和逆映射的求解；
二、教学重点：
1. 映射的概念和性质；
2. 映射的表示方法；
3. 映射的定义域、值域和像的确定；
4. 映射的复合和逆映射的求解；
三、教学难点：
1. 映射的复合；
2. 映射的逆映射；
四、教学过程：
1. 映射的概念和性质的介绍（10分钟）
教师简单介绍映射的定义及性质，引导学生理解映射的基本概念。

2. 映射的表示方法（15分钟）
教师通过具体例子演示映射的表示方法，解释映射的不同形式表示。

3. 映射的定义域、值域和像（20分钟）
教师讲解如何确定映射的定义域、值域和像的方法，通过实例进行讲解并进行练习。

4. 映射的复合（15分钟）
教师介绍映射的复合的概念和方法，通过例题演示如何进行映射的复合，并让学生自行练习。

5. 映射的逆映射（15分钟）
教师讲解映射的逆映射的概念和求解方法，通过实例进行演示并让学生进行练习。

6. 练习与检测（15分钟）
教师布置相关练习题让学生巩固所学知识，并进行检测。

五、教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握映射的基本概念、性质和运算方法，能够熟练计算映射的复合和逆映射。

教师应该及时收集学生的反馈意见，对教学过程进行调整和改进。

高中数学苏教版必修一《2.3映射的概念》教学课件

y
x O (2)
y
x O (3)
y
x
x
O
(4)
A b是4的原象 a
b c 一对一
对应多对一
f 单值对应
一对多一一对应一定是映射，且存在逆映射．
B 1 2 4叫做b的象 3 4
映射
两个数集之间的对应
函数
课本P47练习1，2题，P48第5，6题．
2.3谢谢大家Fra bibliotek苏教版高中数学
2.3
映射的概念
苏教版高中数学
情境问题：
函数的本质是建立在两个非空数集A、B上的单值对应，在我们的周围，还存在着不是数与数的对应关系，比如： (1)A＝{P|P是数轴上的点}，B＝R，f：点的坐标； (2)对于任意的△ABC，B＝R，f：三角形的面积．如何刻画这些对应关系呢？
1．映射的定义．
f：该生对应的QQ号； (4)A＝{x|x是我校高一年级的班级}，B＝{x|x是我校高一年级的学
生}，f：该班级对应的学生．
2．已知M＝{x|0≤x≤2}，N＝ {y|0≤y≤2}，下列图中表示从M到N的映射共有多少个？
y
y
y
2
2
2
1
O 1 2x
y
2
1
O
1 2x
y
2
1
O
1 2x
y
2
1
1
1
O
1 2x
2．映射的类型．映射可以是“一对一”或“多对一”的对应，但
不能是“一对多”．即映射应是单值对应，或称单射．
1．请分析下列对应，哪些是A到B的映射？ (1)A＝R，B＝{x|x是数轴上的点}，f：实数与数轴上的点对应； (2)A＝{中国，日本，韩国}，B＝{北京，东京，汉城，华盛顿}，

2018-2019学年高中数学必修一苏教版课件：第2章2.3映射的概念

(3)集合 A 中的 0 在 B 中没有元素和它对应，故不是映射．
(4)在 f 的作用下，A 中的 0，1，2，9 分别对应到 B 中的 1，0，1，64，所以是映射．
规律方法判断一个对应是不是映射，应从两个角度去分析： 1．是否是“对于 A 中的每一个元素”． 2．在 B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．
(3)当 f(3)＝1 时，f(1)＝1，f(2)＝0 或 f(1)＝0，f(2)＝1. 综合(1)(2)(3)知有 7 个．答案：D
规律方法 1．解答此类问题的主要方法，依据映射的定义，列举出满足一定条件的所有映射的个数． 2．列举时，需根据条件，找到分类列举的标准，避免重复与遗漏．
[即时演练] 3.已知 A＝{a，b，c}，B＝{1，2}，从 A 到 B 的映射 f：A→B，满足 f(a)＋f(b)＋f(c)＝5 的映射共有________个．
其次，要准确把握映射与函数的关系．
(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义的)的基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．
(2)区别：函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射；而对于映射而言，A 和 B 不一定是数集．
二、一一映射
所以 A 中元素(1，3)在集合 B 中对应元素为(－2，4)．
x－y＝2， x＝3，
(2)依题意可得
所以
x＋y＝4， y＝1.
所以集合中元素(2，4)在 A 中对应的元素为(3，1)．
题型三映射个数的确定 [例 3] 已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{－1，0，1}，满足条件 f(3)＝f(1)＋f(2)的映射 f：A→B 的个数是( ) A．2 B．4 C．6 D．7 分析：f(1)，f(2)，f(3)都是象，根据 B 中的元素－1，

2018版高中数学人教版A版必修一学案：第二单元 §2.3 幂函数 Word版含答案 (5)

§2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点)．预习教材P62－P63，完成下面问题：知识点1对数1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2．常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确．知识点2对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)．【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1.答案 6 1题型一对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________． (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2,3)∪(3,4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log 5125＝6，得(5)6＝125.规律方法指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．【训练1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝⎛⎭⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3. 解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3； (2)因为ln a ＝b ，所以e b ＝a ；(3)因为⎝⎛⎭⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ；(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.题型二利用指数式与对数式的互化求变量的值【例2】 (1)求下列各式的值．①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值． ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2.答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23 ＝43×(－23 )＝4－2＝116；②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816 ＝23×16 ＝2；③由lg 100＝x ，得10x ＝100＝102，即x ＝2；④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x ＝e 2，－x ＝2，x ＝－2. 规律方法对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想．在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法．①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算．【训练2】利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值． (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12 ＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三利用对数的性质及对数恒等式求值【例3】 (1)71－log75；(2)100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9－lg 2；(3)a log ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0)．解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1(10lg 2)2＝94. (3)原式＝(a log ab )log bc ＝b log bc ＝c .规律方法对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．【训练3】 (1)设3log 3(2x＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1．有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确．答案 B2．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．a >12且a ≠1B ．0<a <12C ．a >0且a ≠1D ．a <12解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3．方程lg(2x －3)＝1的解为________．解析由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324．计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________. 解析原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)2－3＝18；(2)⎝⎛⎭⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3； (4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝⎛⎭⎫17a＝b 得log 17b ＝a ； (3)由lg11 000＝－3可得10－3＝11 000； (4)ln 10＝x 可得e x ＝10.课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log aN ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化。

2019—2020年最新高中数学苏教版必修一2.3《映射的概念》教学设计(教案).doc

§2.3 映射的概念课时目标 1.了解映射的概念.2.了解函数与映射的区别与联系．1．一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的________元素，在B中都有______的元素与之对应，那么，这样的__________叫做集合A到集合B的映射，记作________．2．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________．一、填空题1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是________．(填序号)①A中的每一个元素在B中必有元素与之对应；②B中每一个元素在A中必有元素与之对应；③A中的一个元素在B中可以有多个元素与之对应；④A中不同元素在B中对应的元素必不同．2．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列能表示从P到Q的映射的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.3．下列集合A到集合B的对应中，不能构成映射的是________．(填序号)4．下列集合A，B及对应法则能构成函数的是________．(填序号)①A＝B＝R，f(x)＝|x|；②A＝B＝R，f(x)＝1 x ；③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3；④A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0.5．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中映射的个数为______，函数的个数为______．6．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．7．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→12y＋1，则经过两次映射，A中元素1在C中的对应的元素为________．8．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：映射f的对应法则如下：映射g的对应法则如下：则f[g(1)]的值为________．9．已知f是从集合M到N的映射，其中M＝{a，b，c}，N＝{－3,0,3}，则满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的映射f的个数是________．二、解答题10．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋2在B 中的对应元素和B中元素－1在A中的对应元素．11．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应法则f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．能力提升12．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素．13．在下列对应法则中，哪些对应法则是集合A 到集合B 的映射？哪些不是．(1)A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，对应法则f ：“加1”； (2)A ＝(0，＋∞)，B ＝R ，对应法则f ：“求平方根”； (3)A ＝N ，B ＝N ，对应法则f ：“3倍”； (4)A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：“求绝对值”； (5)A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：“求倒数”．1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，若惟一则这个对应就是映射．2．1.4 映射的概念知识梳理1．每一个惟一单值对应f：A→B 2.函数非空数集作业设计1．①2．①②④解析如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应法则f在Q中有惟一元素和它对应，选项③中，当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q.3．①②③解析①、②中的元素2没有对应的元素；③中1的对应有两个；只有④满足映射的定义．4．①③④解析在②中f(0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它对应的数．5．4 2解析 ①、②、③、④都是映射；②、③是函数． 6．4解析由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的对应元素的问题，总共有如图所示的4种可能．7.13解析 A 中元素1在B 中对应的元素为2×1－1＝1，而1在C 中对应的元素为12×1＋1＝13.8．1解析 ∵g(1)＝4，∴f[g(1)]＝f(4)＝1.9．7解析⎩⎪⎨⎪⎧f a 3，f b 0，fc3，⎩⎪⎨⎪⎧f a 3，f b 0，fc3，⎩⎪⎨⎪⎧f a 3，f b 3，fc0，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0. 10．解当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的对应元素是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2. 因为0∉A ，所以－1的对应元素是2. 11．解由f(1)＝4，f(2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝1. 故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的对应值是n 4或n 2＋3n.若n 4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的对应元素是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的对应元素是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2. 12．解将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中对应元素为12. 13．解 (1)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f 是A 到B 的映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则f 不是A 到B 的映射．(3)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射．(5)当x ＝0∈A ，1x无意义，故对应法则f 不是从A 到B 的映射．。

苏教版数学高一苏教版必修1教案2.3映射的概念

2.1.4 映射的概念整体设计教材分析映射与前面学习的集合和函数有着密切的关系，事实上，映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，那么这样的对应(包括对应法则)叫做集合A到集合B的映射.在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，并选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法可以让学生比较直观地认识映射，而后再用抽象的数学符号表示映射.关于映射中象和原象的概念以及映射的分类和一一映射、单射、满射等概念，一般不要涉及，对于函数与映射的关系，只需强调若映射中的两个集合A和B均为非空数集时，这个映射就是函数.三维目标1.了解映射的概念，会借助图象帮助理解映射的概念.2.会根据定义判断映射.3.了解映射是函数概念的一般扩展(将数集扩展到任意元素组成的集合)，函数是一类特殊的映射(非空数集到非空数集的映射).4.采用“举例——观察——比较——讨论——总结”的形式，通过实例找共性，给出映射的定义，最后进行小结，教师起到点拨和深化的作用.重点难点教学重点：映射的概念及判断.教学难点：映射的概念.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一(情境导入)1.老师走进教室，只要环顾一下，不点名，就知道今天有没有同学缺课，缺课的同学有多少.大家知道老师是怎么做到的吗？(每个同学都有唯一的座位)2.为了解学生身体健康状况，现对高一年级全体学生的体重进行统计，设高一年级的全体同学组成集合A，正实数集为集合B，让集合A中任一同学与其体重对应，则得到一个从集合A到集合B的对应.(课本引例)用下图来表示这个对应：你还能举出一些类似的例子吗？(由同学们自由发挥)例如：1.中华人民共和国的任何一个公民都有唯一的身份证号码与之对应；2.数轴上的任何一个点都有唯一的实数与之对应；3.坐标平面内的任何一个点都有唯一的有序实数对与之对应；4.平面上任何一个三角形都有唯一的面积与之对应.这些都是从集合A到集合B的对应，这些对应有没有什么共同的特征？设计思路二(事例导入)在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，现在我们重点研究两个集合中元素之间的对应关系，这要先从我们熟悉的对应说起.出示下图(用投影仪打出一些对应关系，共5个)：1.这5个图中，它们有什么共同特点？应该能看出，各个图都反映了两个集合的元素之间的一种对应关系，即对于集合A中的任一个元素，按照某种法则在集合B中都有确定的(一个或几个)元素与它对应.2.进一步观察，(1)(2)(4)(5)这4个图中的对应有什么共同特点？设计思路三(复习导入)前面学习的集合的有关知识，包括元素与集合的关系，集合之间的包含关系等，两个集合之间的内在联系是通过两个集合中元素与元素的对应关系揭示的.而刚刚学过的函数y=f(x)实际上是定义域A上的元素x到值域B上的元素y之间的一种对应关系，这里定义域A和值域B都必须是非空数集，如果我们把集合A和集合B扩充为任意非空集合(未必是数集)，则这样的对应就未必是函数，那么这个对应又是什么呢？推进新课新知探究对于设计思路一，教师提出问题：这些对应有什么共同的特征？若学生无法归纳，则鼓励他们讨论，只要有人说出“任一”“都有”“唯一”等关键词，都给予热情鼓励.若经讨论仍然没有同学能够说出这些关键词，则可以提示学生从上面例子的句式结构上观察，它们都有同样的句子结构：“……任何一个……都有唯一的……与之对应”.这些例子都是在说明集合A和集合B的元素之间的对应关系，都有一个共同的特征，就是：(板书)集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.这样的对应就是我们今天要学习的映射.然后教师和学生一起把刚才的板书修改完善：(板书)定义：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作：f:A→B对于设计思路二，紧接上面问题，(1)(2)(4)(5)这4个图中的对应有什么共同特点？(用投影仪将这几个图集中在一起)类似思路一，老师鼓励学生自己得出结论：集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.如果有困难，也采用思路一类似的办法，最后同样得到映射的定义.对于设计思路三，函数实际上是定义域A上的元素x到值域B上的元素y之间的一种对应关系，对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这里定义域A和值域B都必须是非空数集.如果我们把函数中定义域A和值域B扩充为任意非空集合，则这样的对应就未必是函数，我们把这样的对应称为映射(板书).然后老师和学生一起把映射的定义叙述并修改完善.记忆技巧：(学生思考、讨论、回答，教师整理、强调)①“任意性”：映射中的两个集合A、B可以是数集、点集或由图形等组成的任意集合，这是映射的“任意性”；②“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,例如A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是“有序的”；③“任一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应，这是映射的“存在性”；④“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的“唯一性”；⑤“在集合B中”：也就是说A中元素的对应元素必在集合B中，这是映射的“封闭性”.(这一点可根据学生的具体学情有选择地教学)映射概念的核心就是“A中之任一对B中之唯一”，这是判断一个对应是不是映射的关键.从形式上看映射有“一对一”和“多对一”，另外，集合A中的元素必须一个不剩，集合B中元素允许剩余，而对应有“一对一”“多对一”“一对多”“多对多”四种情况.三句口诀：1.A中之任一对B中之唯一.2.对一是映射，对多非映射.3.A中一个不剩，B中可以多余.应用示例思路1请同学甲设计一个例题：例题下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？要求：四个对应两个是映射，两个不是映射.两个映射必须分别是“一对一”和“多对一”，两个不是映射的对应必须分别体现没有符合“A中之任一”和“B中之唯一”.同学乙对同学甲编制的题目是否符合老师的要求作出回答，并分析原因，给出正确答案.思路2教师直接给出题目：(用投影仪打出一些对应关系，共4个)例1下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？分析：一个对应是不是能够构成映射，就看它能不能满足映射定义的要求，即抓住关键：A中之任一对B中之唯一.既然“A中任一”，则A中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B中元素没有这个要求，故B中元素可以允许有多余；既然“B中唯一”，则只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”.解：因为(1)(3)的对应满足映射的定义，而(2)不满足“任意性”，(4)不满足“唯一性”，所以(2)(4)不能构成映射，能构成集合A到B的映射的有：(1)(3).错误解法：本题容易在(1)(2)的判断上出现错误.(1)有两个箭头指向同一元素，易判为“不是映射”，(2)中都是一个箭头在指，所以易判为“是映射”.这时要提醒学生：对于(1)，只要A 中的一个元素射出去的箭头只有一个就可以了，至于有多少个箭头指向B 中同一元素就无所谓了；对于(2)，A 中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B 中元素没有这个要求，可以允许有多余.例2 (用投影仪打出)下列对应，哪些是A 到B 的映射？(1) A={x|x≥0}，B={1}，对应法则f:x→y=x 0.(2) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f ：x→y=31x. (3) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f:x→y=(x -2)2. (4) A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，对应法则f ：x→y=81x 2. 解：因为(2)(4)的对应满足映射的定义，所以能构成集合A 到B 的映射；而(1)(3)不满足“任意性”，所以(1)(3)不能构成映射.错误解法分析：判断(1)时，学生容易忽视元素0，判断(2)时，由于C≠B ，也容易发生错误，判断(3)(4)时，由于都是二对一，在求Ａ中所有元素的对应元素组成的集合时容易出现错误，这些都要一一纠正.例3 (用投影仪打出)设集合A={x|0≤x≤1}，B={y|0≤y≤1}，则下图所示的各图象中，表示从集合Ａ到集合Ｂ的映射的是___________.分析：上图的五个图中，显然所有的x ∈A ，①③④⑤中都有y ∈B ，这一点都符合了“Ａ中任一元素都有Ｂ中元素与之对应”，只有②中当21＜x≤1时对应的y B ，即Ｂ中没有元素与之对应，所以②不是映射.④中除了元素0，Ａ中每个元素都有两个元素与之对应，所以④也不是映射.①③⑤中每一个不同的x 都只有唯一的Ｂ中的元素ｙ与之对应，符合了映射的定义，所以①③⑤是映射.答案：①③⑤.点评：本题是由图象的形式给出映射，由于学生对映射的图象表示还不是太熟悉，所以往往会看不懂题目表示的意思，导致解题时无从下手.这时老师可结合前面学过的函数的图象来指导学生读题，指出图象上每一个点都可以用坐标来表示，其中横坐标ｘ就是映射中集合Ａ中的元素，纵坐标ｙ就是集合Ｂ中的元素，这时映射的定义就可以表示为“以集合Ａ中的数为横坐标的点都在图象上(Ａ中任一元素)，其对应的纵坐标都属于集合Ｂ(都有Ｂ中元素与之对应)，且横坐标不同时对应的纵坐标也不同(与ｘ对应的ｙ是唯一的).具体看图时可以看如下三个方面：①横坐标是否都在定义域内，定义域内的数是否都在图象上；②纵坐标是否都在值域内；③与ｘ轴垂直的直线与图象的公共点是否只有一个.例4 已知集合A={1,2,3,m},(m ∈N ),B={4,7,n 4,n 2+3n},(n ∈N ),设x ∈A,y ∈B,“f:x→y=3x+1”是集合A 到集合B 的映射，求m ，n 的值.分析：根据映射的定义，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，而对应法则是“f:x→y=3x+1”，所以1→4，2→7，3→10，m→3m+1.由于对应法则是一次关系式，所以A 中不同元素对应的B 中元素也必须不同，不可能出现“多对一”的情况.而B={4,7,n 4,n 2+3n}，所以10和3m+1必然等于n 4和n 2+3n ，这里又有两种情况：10=n 4，3m+1=n 2+3n ，或者10=n 2+3n,3m+1=n 4，继续解出m 、n ，问题就解决了.解：∵3×1+1＝4 ，3×2+1＝7，3×3+1＝10，又∵对应法则是“f:x→y=3x+1”，∴3m+1不可能等于4、7、10，∴由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+⨯=,133,1013324m n n n 又m,n ∈N ，∴方程组无解. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯=++=,101333,1324n n m n 又m,n ∈N ，解得⎩⎨⎧==.5,2m n 综上所述m=5,n=2.错误解法：一种错误是没有说明这个映射不可能是多对一.因为在1→4，2→7，3→10的情况下，如果不考虑对应法则，m 完全有可能再和4、7、10中的某一个对应，这样需讨论的情况就太多了.所以应该先考虑对应法则，得到这个映射只能是一对一，这时就仅仅剩下两种情况讨论了.另一种错误是不讨论，这时老师可以画图，用箭头来指出有两种情况.点评：本题中，学生非常容易忽略“多对一”，并且只解第一种情况而忘记解第二种情况.所以不论学生是不是出现错误，都要强调先说明“ 3m+1不可能等于4、7、10”，再对两种可能情况分别求解，解方程组的具体过程可以简略一些.知能训练课本第42页练习1、2、3、4.解答：1.(1)因为对应法则是f ：x→2x ＋1，所以1→3，2→5.(2)因为对应法则是g:x→21-x ，所以3→1，5→2. 两个映射f 和g 是互为逆映射.(见备课资料)2.(1)集合A 中一共有3个元素1，4，9，对应法则是“f ：x→x 的平方根”，所以1→±1，4→±2，9→±3，尽管±1，±2，±3都是集合B 中的元素，但这是“二对一”，因而这个对应不符合映射的定义，所以这个对应不是映射.(2)集合A 中存在元素0，由于对应法则是“f ：x→x 的倒数”，所以元素0在集合B 中没有元素与之对应，因而这个对应不符合映射的定义，所以这个对应不是映射.(3)是映射.(4)集合A 是平面内周长为5的所有三角形组成的集合，其中任意一个三角形都有唯一的外心，且外心都是这个平面内的点，由于对应法则为f ：三角形→三角形的外心，所以A 中任一元素都和B 中唯一元素对应，这就符合了映射的定义，因此这个对应是映射.3.(1)根据题目中的对应法则，m→n ，a→b ，t→u ，h→i ，e→f ，i→j ，c→d ，s→t ，所以明文“mathematics”的密文为“nbuifnbujdt”.(2)同上，i→j ，t→u ，s→t ，f→g ，u→v ，n→o ，y→z ，所以密文“ju jt gvooz”的明文是“it is funny”.课堂小结映射是由集合A ，集合B 和对应法则三部分组成的一个整体，判断一个对应是不是映射应该抓住关键：A 中之任一对B 中之唯一.A 中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B 中元素没有这个要求，可以允许有剩余；映射只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射.作业1.若集合A ＝｛0，1，2，3，4，5，6｝，f ：x→y=x 2-4x 是从A 到B 的映射，则集合B 中至少有______________个元素.解答：因为集合A ＝｛0，1，2，3，4，5，6｝，对应法则为f ：x→y=x 2-4x ，所以0、4→0，1、3→-3，2→-4，5→5，6→12，而集合B 必须包含这些元素，因此B 中至少有5个元素.2.已知集合A ＝B ＝｛(x ，y)|x ∈R ，y ∈R ｝，A 到B 的映射f ：(x ，y)→(x+y ，xy).(1)A 中元素(2，-3)对应于B 中哪个元素？(2)B 中元素(2，-3)与A 中哪个元素对应？解答：(1)当x ＝2，y ＝-3时，x ＋y ＝-1，xy ＝-6，所以A 中元素(2，-3)对应于B 中元素(-1，-6).(2)当⎩⎨⎧-==+3,2xy y x 时,得⎩⎨⎧=-=3,1y x 或⎩⎨⎧-==,1,3y x 所以B 中元素(2，-3)与A 中元素(-1，3)和(3，-1)对应.3.阅读课本第44页第12题(阅读题)，找一些生活中与对应和映射有关的实例.设计感想原教材中映射这部分内容是安排在函数这一章的开始，现在苏教版教材安排在函数概念、图象、表示方法、单调性、奇偶性等内容之后.因为映射的概念如果单单从非数学的日常生活方面来看，并不难以理解，但是上升到严格的数学定义和抽象的数学概念就比较深奥.所以教材这样安排一方面是考虑到多数高中学生的认知特点.为了降低难度,教材先让学生对函数有了初步认识，接触了部分具体的函数，在有了一定的体会后，再学习映射，同时对函数的认识也得到进一步加强.另一方面是为了通过循环反复学习，加深了学生对函数概念的理解，有助于他们对函数概念本质的理解，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.本课在教学设计时努力体现新课标的要求.在映射概念引入时，先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，先用图形表示映射，在集合的选择上先选择了能用列举法表示的有限集，对应法则用语言描述，对应形式上分为“一对多”“多对一”“多对一”“一对一”四种情况，让学生认真观察，比较，再引导学生发现其中“一对一”和“多对一”的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识.这样的教学方法可以让学生比较直观地认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射.在教学方法上本课采用启发、讨论的形式，让学生在实例中去观察、比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例、计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用.为了使学生更加容易接受抽象的数学概念，也可以多采用一些日常生活的语言，列举一些学生感兴趣的例子.譬如为了让学生对映射可以“一对一”，也可以“多对一”，但不能“一对多”，也不能“多对多”有深刻印象，可以用“射雕”来比喻：可以“一箭一雕”“多箭一雕”但不能“一箭双雕”“一箭多雕”“多箭多雕”；为了让学生对“A 中任一元素在B 中均有唯一的一个元素与之对应，但允许B 中有一些元素没有A 中任何元素与之对应”有深刻印象，仍然可以用“射雕”来比喻：“鞘中的箭必须射完，而且箭箭中雕，但有些雕可以不是瞄准的目标”.习题详解课本第43页习题2.1(3)1.函数Y=kx+b y=xk+bk＞0 k＜0 k＞0 k＜0单调区间(-∞,+∞)(-∞,+∞)(-∞,0),(0,+∞)(-∞,0),(0,+∞)单调性单调递增单调递减单调递减单调递增2.略.3.(1)单调增区间(-∞，0]，单调减区间[0，＋∞)，最大值是1，无最小值；(2)单调减区间[-1，1]，最大值是2，最小值是-2；(3)单调减区间[0，＋∞)，最大值是0，无最小值；(4)单调增区间(-∞，＋∞)，无最大值和最小值.(1) (2)(3) (4)4.因为a2+1-2a=(a-1)2≥0，所以a2+1≥2a，故f(a2+1)≤f(2a).5.(1)当a、b不全为0时，f(x)为偶函数；当a=b=0时，f(x)既是奇函数，又是偶函数；(2)奇函数；(3)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.6.因为f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x)，所以f(x)是偶函数.图象如图所示.7.证明：(1)设x1＜x2≤0，则f(x1)-f(x2)=-2x12+3-(-2x22+3)=2(x1+x2)(x2-x1).因为x1+x2＜0且x2-x1＞0，所以f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(-∞，0]上是单调增函数；(2)设x1＜x2≤0，则f(x1)-f(x2)=-x13+1-(-x23+1)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22).因为x1＜x2≤0且x1x2≥0，x12＞0，x22≥0，x12+x1x2+x22＞0.而x2-x1＞0，所以f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(-∞，0]上是单调减函数；(3)①设x 1＜x 2＜0，则f(x 1)-f(x 2)=213x --2+23x =3(21x 11x -)=2121)(3x x x x -. 因为x 1x 2＞0，x 1-x 2＜0，所以f(x 1)＜f(x 2)，故f(x)在(-∞，0)上是单调增函数； ②设0＜x 3＜x 4，则f(x 3)-f(x 4)=4343)(3x x x x -.由0＜x 3＜x 4，得x 3x 4＞0,x 3-x 4＜0，所以f(x 3)＜f(x 4)，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数.综上所述，f(x)在(-∞，0)和(0，＋∞)上是单调增函数；(4)①设0＜x 1＜x 2≤1，则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -x 2-21x=x 1-x 2+2112x x x x -=(x 1-x 2)·21121x x x x x -. 因为0＜x 1＜x 2≤1，所以0＜x 1x 2＜1,x 1x 2-1＜0.而x 1-x 2＜0，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(0，1]上是单调减函数；②设1≤x 3＜x 4，则f(x 3)-f(x 4)=(x 3-x 4)·43431x x x x -.因为1≤x 3＜x 4，所以x 3x 4＞1，x 3x 4-1＞0.而x 3-x 4＜0，所以f(x 3)＜f(x 4)，故f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数.综上所述，f(x)在(0，1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数.8.因为B ＝｛-1，3，5｝，f ：x→2x -1，要组成A 到B 的映射，只要A 中的任一元素在对应法则f 下的对应元素都在B 中即可.而0→1，2→3，3→5，所以集合A 只要是｛0，2，3｝的非空子集就可以了.本题答案不唯一，共有7个.9.因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，即x 2-mx+1=x 2+mx+1恒成立，所以m=0.10.因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(0)=f(-0)=-f(0)，所以f(0)=0.又因为x ＞0时，f(x)=1，所以x ＜0时，-x ＞0，f(-x)=1，f(x)=-f(-x)=-1.综上所述，f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,0,0,1x x x11.函数的单调增区间是(-∞，＋∞)，图象如图所示.12.f(x)g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) 增函数增函数增函数增函数13.略.。

苏教版数学高一苏教版必修1学案2.3映射的概念

课堂导学三点剖析一、映射的概念【例1】以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射?(1)设A={矩形},B={实数},对应法则f 为矩形到它的面积的对应;(2)设A={实数},B={正实数},对应法则f 为x →||1x ; (3)设A={α|0°≤α≤180°},P={x|0<x<1},对应法则f 为求余弦;(4)设A={(x,y)|x ∈Z,|x|<2,y ∈N *,x+y<3},B={0,1,2},对应关系为f:(x,y)→x+y.解析:(1)这个对应是A 到B 的映射.因为它是单值对应.不过负实数在A 中没有元素和它对应.(2)不是映射.因为当x=0时,集合B 中没有元素与之对应.(3)不是映射.因为当α=180°或α为钝角时,B 中没有元素和它们对应.(4)应先明确集合A.∵x ∈Z 且|x|<2,∴x ∈{-1,0,1}.又∵y ∈N *且x+y<3,∴A={(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(1,1)}.∵f:(x,y)→x+y,∴A 中每个元素都在B={0,1,2}中能找到唯一的元素与之对应.∴f:(x,y)→x+y 是从A 到B 的映射.温馨提示根据映射的定义,映射应满足存在性(即集合A 中每一个元素在集合B 中都有对应元素)和唯一性(即集合A 中的每一个元素在集合B 中只有唯一的元素与之对应).在所有对应关系中一对一、多对一都是映射,但一对多不是映射.二、映射概念的应用【例2】 (1)已知集合A=R,B={(x,y)|x 、y ∈R},f:A →B 是从A 到B 的映射f:x →(x+1,x 2+1),则2在B 中的对应元素为___________,(23,45)在A 中的对应元素是____________. (2)已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a 4,a 2+3a}且a ∈N,k ∈N,x ∈A,y ∈B,映射f:A →B,使B 中元素y=3x+1和A 中元素x 对应,求a 及k 的值.解析:(1)将x=2代入对应关系,可求得其在B 中的对应元素为(2+1,3).由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,451,2312x x 得x=21, 即(23,45)在A 中的对应元素为21. (2)∵B 中元素y=3x+1和A 中元素x 对应,∴A 中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a 4=10或a 2+3a=10.∵a ∈N,∴由a 2+3a=10,得a=2.∵k 的象是a 4,∴3k+1=16,得k=5.答案:（1）(3+1,3) 21 （2）a=2,k=5 温馨提示根据映射的定义,结合题中所给的对应关系,明确A 中的每一个元素所对应的元素.有时需列方程(或方程组)求解.三、两集合的对应关系的应用【例3】已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A →B 满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:A →B 的个数. 思路分析:紧紧抓住映射f 满足的条件f(a)+f(b)=f(c).由于符合条件的映射有多种类型.需进行分类讨论.可以就集合B 中的有原象的元素个数进行分类讨论，也可以就f(c)的情况进行分类讨论.解:(1)当A 中三个元素都是对应0时,则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c),有一个映射.(2)当A 中三个元素对应B 中两个元素时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个,分别为1+0=1,0+1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1.(3)当A 中的三个元素对应B 中的三个元素时,有两个映射,分别是(-1)+1=0,1+(-1)=0. 因此满足题设条件的映射有7个.温馨提示此题也可以这样进行分类讨论.(1)f(c)=-1.则有f(a)=-1,f(b)=0和f(a)=0，f(b)=-1两种.(2)f(c)=0，则有f(a)=f(b)=0和f(a)=-1，f(b)=1及f(a)=1,f(b)=-1三种.(3)f(c)=1与（1）相似有两种.因此共有7种不同的映射.各个击破类题演练 1下列对应是否是A 到B 的映射？是否是A 到B 的函数？（1）A=R ，B=R ，f:x →y=x1; （2）A={a|a=n,n ∈N *},B={b|b=n 1,n ∈N *},f:a →b=a 1; （3）A={x|x ≥0,x ∈R},B=R ，f:x →y,y 2=x;（4）A={平面M 内的矩形}，B={平面M 内的圆}，f:作矩形的外接圆.解析：（1）当x=0时，y 值不存在，∴不是映射，也不是函数；（2）是映射，也是函数；（3）不是映射，因为是一对多的对应，也就不是函数；（4）是映射；因A 、B 不是数集，∴不是函数.变式提升 1指出以下各对应，哪些是映射，哪些不是映射？为什么？（1）已知A={平面上的圆}，B={平面上的四边形}，从A 到B 的对应法则是：作圆的内接四边形.(2)已知A=Z ，B=Q ，从A 到B 的对应法则是f:y=2x .(3)已知A=N ，B=N ，从A 到B 的对应法则是f:y=|x-3|.(4)已知A=R ，B=-R ，从A 到B 的对应法则是f:y=x 2.解析：（1）不是映射.因为圆内接四边形不唯一确定，即集合A 的圆在集合B 中对应的四边形不止一个.(2)是映射.（3）是映射.（4）是映射.温馨提示要紧扣映射的定义，只要集合A 中任一元素在集合B 中有唯一元素对应，就可叫做映射.如果A 中有两个或两个以上的元素对应B 中同一元素（如（4）），或B 中尚有一些元素在A 中没有原象（如（2）），也是映射所允许的.类题演练 2已知（x,y ）在映射f 下的象是(x+y,x-y)，求象（1，2）在f 下的原象. 解析：由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+,21,23,2,1y x y x y x ∴象（1，2）的原象是（23，-21）. 变式提升 2已知(x,y)在映射f 作用下的象是（x+y,xy ）.（1）求（-2，3）在f 作用下的象；（2）若在f 作用下的象是(2，-3)，求它的原象.解析：（1）∵x=-2,y=3,∴x+y=-2+3=1,xy=(-2)×3=-6.∴(-2,3)在f 作用下的象是（1，-6）.（2）∵⎩⎨⎧-==+.3,2xy y x 解这个方程组得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==.3,1,1,32211y x y x ∴(2,-3)在f 作用下的原象是（3，-1）和（-1，3）.类题演练 3设M={a,b,c}，N={-2，0，2}.从M 到N 的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f 的个数.故符合条件的映射f 有4个.变式提升3设集合M={-1,0,1},N={2,3,4,5,6},映射f:M→N,对任意x∈M都有x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f的个数为（）A.24B.27C.50D.125解析：从M→N建立映射，分3步：第一步给元素找象，并非是N中5个元素都行，还要满足x+f(x)+xf(x)为奇数这个条件. 当x=0时，x+f(x)+xf(x)=f(x)为奇数，f(x)需为奇数，所以只能对应N中3和5两种情况.而当x=-1时，x+f(x)+xf(x)=x,∴当x=-1时，在N中五个元素都可作为“-1”的象.同样，当x=1时，也有5种情况,可建立5×2×5=50个映射.故选C.答案：C。

苏教版高中数学必修1《映射的概念》导学案

2.3 映射的概念【学习目标】(1)了解映射的概念及表示方法；(2)会判断一些简单的对应是否是映射；(3)会结合简单的图示，了解一一映射的概念。

【学习重点】映射的概念【预习内容】问题一：映射概念中涉及哪三个要素？它与前面学过的集合与函数有何联系？问题二：映射是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念，可以更广泛的理解。

集合A 、B 仅仅是数集吗？你能举例说明吗？问题三：对映射有两个关键点：一是第一集合中任一元素在第二集合中存在元素与之对应，二是第二集合中与第一集合中元素对应的元素是唯一，缺一不可。

你能结合下面例子说明吗？(1)A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=； (2)*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；(3){|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=上述三个对应是A 到B 的映射的序号为。

【新知学习】一、复习引入：在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）① 看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系；② 对任意实数a ，数轴上都有唯一的一点A 与此相对应；③ 坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应；④ 任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应；⑤ 高一（2）班的每一个学生与学号一一对应。

本节我们将学习一种特殊的对应—映射。

二、讲解新课：看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集。

问题一：学过的函数的概念与上面的例子有什么异同？你能说出它与（2）（3）（4）的共同特征吗？问题二：你能尝试描述一下映射的概念吗？映射：【新知深化】问题三：你能描述一下映射的概念中的关键字词和相关性质吗？（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）关键字词：问题四：为什么不是集合A 到集合B 的映射？问题五：对应可分为三类：一对一，多对一，一对多。

新人教A版必修一《映射》word学案

5、用映射刻划函数的定义可以这样叙述：设是两个非空数集，那么到的映射就叫做到的函数，记作．其中，．原象集合叫做函数的定义域，象集合（由象构成的集合）叫做函数的值域．很明显，．
三、例题：课本第22页［例7］
思考：课本第23页［思考］
练习：课本第23页练习4
§1.2.2.2映射学案
学习目标：了解映射的概念；了解映射与函数的联系和区别．
学习内容：
一、复习函数的概念：
一般地，我们有：设是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．
二、映射的概念：
一般地，我们有：设是两个非空集合，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素和它对应，那么就称为从集合到集合的一个映射．
对比：1、函中的元素必须是数．
２、的映射和函数都允许一对一或多对一，不能一对多．中不能有剩余元素；中可以有剩余元素．（你能从定义中分析出原因吗？请尝试解释．）
3、与是不同的．
4、对于映射，我们通常把集合中的元素叫“原象”，而把集合中与中的元素相对应的元素叫“象”．所以，集合叫“原象集”，集合叫“象所在的集合”（因为集合中可以有些元素不是象，所以集合不能叫“象集”，只能叫“象所在的集合”．）