(完整版)选修21空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结
空间向量知识点归纳总结知识要点。
1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图〕。
运算律：⑴加法交换律：a+b=b+a⑵加法结合律:(a + h) + ^=a + (b+^)⑶数乘分配律：A(a+b) = >M + Ab3.共线向量。
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合, 那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，N平行于5,记作allb o 当我们说向量办5共线(或ab)时，表示办5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
(2)共线向量定理：空间任意两个向量旅b ^^6), ab 存在实数A,使a= Ah o4.共面向量(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理：如果两个向量讣不共线，p与向量恥共面的条件是存在实数x, y使”=灯+ yb o5.空间向量根本定理：如果三个向量乳氏0不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组，使p = xci + yb + z,c。
假设三向量打f不共面，我们把｛a^c｝叫做空间的一个基底, 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O.A.B.C是不共面的四点，那么对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数兀,中，使OP = xOA^yOB + zOC o6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O-小屮，对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组（“⑵，使5X岚+昴+齐，有序实数组g⑵叫作向量A在空间直角坐标系O-W中的坐标，记作*,y,z）, x叫横坐标，y叫纵坐标，乙叫竖坐标。
空间向量知识点归纳总结
适用标准文案空间向量知识点概括总结知识重点。
1.空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量。
注：（ 1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（ 2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.空间向量的运算。
定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘运算以下（如图）。
OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP a(R)运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：⑶数乘分派律：3.共线向量。
(a b ) c a (b c) (a b )a b（1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于b，记作a // b。
当我们说向量 a 、b共线（或 a //b）时，表示 a 、b的有向线段所在的直线可能是同向来线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间随意两个向量a、b（b≠0），a // b存在实数λ，使a＝λb。
4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间随意的两向量都是共面的。
（ 2）共面向量定理：假如两个向量a, b 不共线，p与向量 a,b 共面的条件是存在实数x, y 使p xa yb 。
5. 空间向量基本定理：假如三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一直量p，存在一个独一的有序实数组 x, y, z ，使p xa yb zc。
若三向量 ab,,c不共面，我们把 { a, b, c} 叫做空间的一个基底，a,b , c 叫做基向量，空间随意三个不共面的向量都能够组成空间的一个基底。
推论：设 O , A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在独一的三个有序实数x, y, z ，使OP xOA yOB zOC 。
6. 空间向量的直角坐标系：（ 1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点 A ，存在独一的有序实数组( x, y, z) ，使OA xi yi zk ，有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作 A(x, y,z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标。
空间向量免费知识点总结
空间向量免费知识点总结一、基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指n维实数空间中的元素，通常以n维列向量的形式表示。
例如，在三维空间中，一个向量可以表示为\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]2. 向量的模长向量的模长也叫向量的长度，表示向量的大小。
在三维空间中，向量\[ \mathbf{v} =\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]的模长可以表示为\[ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]3. 向量的方向向量的方向是指向量的指向。
在三维空间中，向量\[ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]的方向可以表示为\[ \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \frac{1}{|\mathbf{v}|} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]4. 向量的标准化将向量沿着其方向进行缩放，使得其模长等于1。
这样的向量称为单位向量。
5. 向量的相等两个向量相等，当且仅当它们的对应分量都相等。
6. 向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，在空间中表示为\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta} \]其中\[ \theta \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]之间的夹角。
7. 向量的叉积向量的叉积也称为矢量积或外积，在空间中表示为\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta} \mathbf{n} \]其中\[ \theta \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]之间的夹角，\[ \mathbf{n} \]为\[ \mathbf{a} \]和\[ \mathbf{b} \]的方向向量。
(完整版)空间向量知识点归纳(期末复习),推荐文档
空间向量期末复习知识要点:1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
;;OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：ab b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
a b b a//当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是a b a b a b同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使a b b 0 a b＝λ。
ab 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,a b p,a b 数使。
,x y p xa yb =+5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一,,a b c p个唯一的有序实数组，使。
,,x y z p xa yb zc =++若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空,,a b c{,,}a b c ,,a b c 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实,,,O A B C P 数，使。
,,x y z OP xOA yOB zOC =++6. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作,a bO ，则叫做向量与的夹角，记作；且规定,OA a OB b == AOB ∠a b,a b <> ，显然有；若，则称与互相垂直，记作：0,a b π≤<>≤ ,,a b b a <>=<> ,2a b π<>= a b。
空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2) 向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
OB = OA+ AB = a+b .BA = OA-OB = a-b .OP = λa(λGR)运算律：⑴加法交换律：a + b =b + a ⑵加法结合律：(^ + fe) + c = + + c)⑶数乘分配律：+ b) = λa + λb运算法则：三角形法则、平行四边形法则.平行六面体法则 3. 共线向量。
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，N 平行于方，记作N 〃b 。
(2 )共线向量定理：空间任意两个向量万、b (方≠6),ababAB = λAC OC = XOA+ yOB(^^x + y = l) a 土(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
(2) 共面向量定理：如果两个向量",5不共线，0与向量久5共面的条件是存在实数—♦兀」'使p = xa + yb 9(3) 四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AP = xAB + yAC共面向量©OP = XOA + yOB +zOC(其中兀 + y + z = 1)在一个唯一的有序实数组x,y,Z f使p = xa+ yb +zc 9—♦若三向量GbE不共面，我们把｛a.b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量, 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设o,4,5C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数X,y.Z f使OP = XOA + yOB + zOC O6.空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系0 —厂Z中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(兀”Z), 使OA = xi + yi+忑，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-XK中的坐标, 记作A(X,y,z), X叫横坐标，y叫纵坐标，Z叫竖坐标。
空间向量的知识点总结
空间向量的知识点总结空间向量是指空间中的一条具有方向和大小的有向线段，在数学上通常表示为箭头上有一个加粗的字母来表示。
一、空间向量的概念空间向量是指具有方向和大小的有向线段，它是向量的一种特殊形式。
它与平面向量类似，但是空间向量不仅有大小和方向，而且还有位置。
空间向量可以用某个点P到另一个点Q的有向线段来表示，表示为PQ→。
空间向量的大小可以通过计算两点之间的距离来得到，而它的方向可以通过计算两个点之间的夹角来得到。
二、空间向量的基本运算1、空间向量的加法设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，那么 a+b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
这表示a+b等于a与b的x、y、z分量分别相加得到的结果。
2、空间向量的数乘设空间向量a=(x,y,z)，k为实数，则ka=(kx,ky,kz)。
这表示空间向量a的每个分量都乘以k得到的结果。
3、空间向量的减法空间向量的减法定义为a-b=a+(-b)，即对b取反再进行加法操作。
4、空间向量的数量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a·b = x1x2+y1y2+z1z2。
这表示a·b等于a与b的x、y、z分量分别相乘并求和的结果。
5、空间向量的向量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a×b = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。
这表示a×b等于a与b按照右手定则进行叉乘得到的结果。
三、空间向量的坐标表示空间向量可以用坐标表示。
设点A(a1,a2,a3)和点B(b1,b2,b3)，则AB向量可以表示为AB=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。
四、空间向量的运算律1、给定三个空间向量a，b，c，则有以下运算律：（1）加法交换律：a+b = b+a（2）加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)（3）数乘结合律：k(la) = (kl)a（4）分配律：k(a+b) = ka+kb2、空间向量的数量积定理给定三个空间向量a，b，c以及实数k，则有以下数量积定理：（1）数量积交换律：a·b = b·a（2）数量积结合律：a·(b+c) = a·b+a·c（3）数量积与数乘结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）对于a≠0，b≠0，有a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|表示a的大小，θ表示a与b的夹角。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中一个重要的概念，它在解决立体几何问题时具有独特的优势。
以下是对空间向量知识点的详细总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义空间向量是既有大小又有方向的量。
与平面向量类似，但所处的空间维度更高。
2、空间向量的表示可以用有向线段表示，其起点和终点分别表示向量的起点和终点。
也可以用坐标表示，如在空间直角坐标系中，向量＼（＼overrightarrow{AB}＼）的坐标为＼（（x_B x_A, y_B y_A, z_B z_A)＼）。
3、空间向量的模空间向量的模长计算公式为＼（＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ z^2}＼），其中＼（＼overrightarrow{a} ＝（x, y, z)＼）。
4、单位向量模长为 1 的向量称为单位向量。
对于向量＼（＼overrightarrow{a}＼），其单位向量为＼（＼frac{＼overrightarrow{a}｝｛＼vert\overrightarrow{a}＼vert}＼）。
5、零向量模长为 0 的向量称为零向量，其方向任意。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法满足三角形法则和平行四边形法则。
＼（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_a ＋ x_b, y_a ＋ y_b, z_a ＋ z_b)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_a x_b, y_a y_b, z_a z_b)＼）。
2、数乘运算实数＼（λ\）与空间向量＼（＼overrightarrow{a}＼）的乘积是一个空间向量，记作＼（λ\overrightarrow{a}＼）。
＼（λ\overrightarrow{a} ＝（λx_a, λy_a, λz_a)＼）。
3、数量积（点积）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＼vert\overrightarrow{b}＼vert ＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b} ＞＼）。
空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为a a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x z y x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x y x 其中 （4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>(++++=zy x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
空间向量相关知识点总结
空间向量相关知识点总结一、空间向量的定义和基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的一种特殊的向量，它可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
空间向量具有大小和方向，是空间中的一个几何概念。
2. 空间向量的基本概念（1）长度：空间向量的长度也称为模，它表示向量的大小，一般用|AB|表示，其中A和B分别表示向量的起点和终点。
（2）方向：空间向量的方向是指向量的指向，可以用一组坐标表示，也可以用夹角表示。
（3）共线：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。
（4）共面：如果三个向量在同一个平面内，则它们是共面的。
二、空间向量的运算1. 空间向量的加减法（1）几何法：向量的加法就是将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相连，新的向量就是两个向量的和向量；向量的减法就是将减数的起点和被减数的终点相接，然后将减数的终点和被减数的起点相连，新的向量就是两个向量的差向量。
（2）坐标法：向量的加减法也可以用坐标表示，对应坐标相加或者相减即可。
2. 数乘向量的数乘即将向量与一个常数相乘，结果是一个新的向量，其大小是原向量的模与常数的乘积，方向与原向量的方向一致（如果是负数，则方向相反）。
3. 空间向量的数量积和向量积（1）数量积：也称为点积或内积，即将两个向量的对应坐标相乘再相加，结果是一个标量。
（2）向量积：也称为叉积或外积，即将两个向量的叉乘结果是一个新的向量，其大小是原向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所构成的平面。
三、空间向量的几何应用1. 向量的方向余弦（1）定义：设向量a=(x, y, z)，则a的方向余弦分别为l=x/|a|，m=y/|a|，n=z/|a|，它们互为方向余弦。
（2）性质：方向余弦l、m、n满足l²+m²+n²=1。
（3）应用：方向余弦可用于求向量的夹角、判断向量的共线性等。
2. 向量的投影（1）定义：设向量a和b不共线，a在b上的投影为向量a在b方向上的分量，记为prj_b a。
空间向量的知识点归纳的总结
a b a1b1 a2b2 a3b3 ，
a // b a1 b1, a2 b2, a3 b3 ( R) ，
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 。
②若 A( x1, y1, z1) ， B( x2 , y2, z2 ) ，则 AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1) 。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1，这个基底叫单位正交基底，用
{ i , j ,k} 表示。
（ 3）空间向量的直角坐标运算律：
①若 a (a1, a2, a3 ) ， b (b1, b2, b3) ，则 a b (a1 b1, a2 b2 ,a3 b3) ，
a b (a1 b1, a2 b2,a3 b3 ) ， a ( a1 , a2, a3 )( R) ，
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实用标准文案
例 4. 如图，在空间四边形 OABC中， OA 8， AB 6 ， AC 4 ，BC 5 ， OAC 45 ，
OAB 60 ，求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。
O
A
C
说明：由图形知向量的夹角易出错，如
B OA, AC 135 易错写成 OA, AC 45 ，
切记！
例 5. 长方体 ABCD 与 B1C 的交点，又 AF
r
r
rr
a Pb a b(b 0) ；
a b ab 0
x1 , y2 y1, z2 z1) . x1 x2 y1 y2 z1z2 0 .
4. 夹角公式 设 a ＝ (a1, a2,a3) ，b ＝ (b1,b2,b3) ，则 cos , a b
ab11 a2b2 a3b3
空间向量知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量(知识点梳理)
-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。
(完整版)空间向量知识点归纳总结(经典),推荐文档
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
;;OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。
ab b a //（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λa bb 0 a b a。
b （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x y x 其中（4）与共线的单位向量为a 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实,a b p ,a b数使。
,x y p xa yb =+（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存,,a b cp 在一个唯一的有序实数组，使。
,,x y z p xa yb zc =++若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，,,a b c {,,}a b c,,a b c 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
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第三章空间向量与立体几何1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
⑵加法结合律：（a b ） c ⑶数乘分配律：（a b ） 3. 共线向量。
（1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作a 〃b 。
当我们说向量a 、b 共线（或a// b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线 可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （ b 工0 ），a// b 存在实数入， 使a =入b 。
4. 共面向量（1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
rr（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b 不共线，P 与向量a,b 共面的条件是存在实数x, y 使p xa yb 。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量P ， 存在一个唯一的有序实数组x, y,z ，使p xa yb zc 。
若三向量ab,c 不共面，我们把｛a,b,c ｝叫做空间的一个基底，a,b,c 叫做基向2. uuu r OB a b a (b c)b a量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个uuu uuu uuu uuur有序实数x, y,z，使OP xOA yOB zOC。
ib平移前7. 空间向量的直角坐标系：(1) 空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 O xyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组 (x,y,z)，使OA xi yi zk ，有序实数组(x, y,z)叫作向量A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作A(x, y, z)， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
(2) 右手直角坐标系：右手握住z 轴，当右手的四指从正向x 轴以90°角度转 向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向；(3) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正 交基底，用｛i, j,k ｝表示。
(4) )空间向量的直角坐标运算律： ① 若 a (SQ®) , b (Dbb)，则 r r a b (a i b i ,a 2 d),OB = b (两个向量的起点一疋要相同)，则叫做向量匕 匸与的夹角，记作日，且♦— ——6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量^、，在空间任取一点0,作二石,B^ = 180°错误正确 b9尸吒规定—3』＞e 0刘:0° < <r r ra b (a i b i,a2b?,% b s), a (印，a?, a3)( R),r ra b a1b l a2b2a3b3,a//b a i b i,a? b?,a s b s( R)或乞竺冬b i b2 b3r ra b a1b1a2b2 a3t s 0。
卄uuu②若A(X i,y i,Z i) , B(X2,y2,Z2)，则AB (x? X i, y? y i, z?乙)。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
r r(5)模长公式：若a⑻总讒)，b 4,鸟4)，贝U | a | \ a a a, a^ a3?，| b | . b b b i? b^ b3?(6)夹角公式：cos'a b 且卑1 a 1 | b |J a i a2 a3 晶b2 bT(7)两点间的距离公式：若A(x i, y i, Z i)，B(X2,y2,Z2)，则|AB| .ABF , (x? X i)2(y? y i)2(z? Z i)2，或d A,B ■(X? X i)2(y? y i)2 (Z? Z i)2(8 )空间线段P i(x i,y i,Z i), P2(x2, y2, Z2)的中点M (x, y, z)的坐标：X i x? y i y? N Z?2 , 2 , 2(9)球面方程：x2 y2 z2 R28. 空间向量的数量积。
(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O, uuu r uuu r r r r r作OA a,OB b，贝U AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b ;且规定r r r r r0 a,b ，显然有a,b b,a ；若a,b ，则称a与b互相垂直，2 记作：a b 。
uuu r uur r(2)向量的模：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：I a |。
r r r r(3)向量的数量积：已知向量a,b，则ia 11 b i cos a,b叫做a,b的数量r r r r积，记作a b，即a b i a 11 b i cos a, b 。
(4)空间向量数量积的性质：(5)空间向量数量积运算律：① a e | a | cos 5,2 。
② a b a b 0。
③ |a|2 a a =(a)2, |a| (a)2r r r r r r①(a) b (a b) a ( b)。
r r②a b r b a (交换律)。
③a (b C) a b a c (分配律)。
9. 空间向量在立体几何证明中的应用：AB ⑻总代）,。
（bbb）uuu uuu（1）证明AB//CD，即证明AB // CD，也就是证明印b1,a2b2,a3 b3或a i a 2 a3D b2 b3uuu uuur（2）证明AB CD，即证明AB CD 0，也就是证明a?b2 a s b s 0uuu uuu （3）证明AB// （平面）（或在面内），即证明AB垂直于平面的法向量或证明AB 与平面内的基底共面；uuu uuur（4）证明AB ，即证明AB平行于平面的法向量或证明AB垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；（5）证明两平面〃（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；（6）证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一个面内。
10. 运用向量的坐标运算解题的步骤：（1）建坐标系，求相关点的坐标（2）求相关向量的坐标（3）运用向量运算解题11. 用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题：（1）两条直线的夹角：r r设直线l ,m的方向向量分别为a,b，= cos a,b两直线l , m所成的角为(0 < < — ), cos r r2）直线与平面的夹角：设直线I 的方向向量分别为a ，平面 的法向量分别为u ,cos Q — ccs < > cosO = -cos <>法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角直线1与平面所成的角为（。
<< 2），sin（3） 二面角：0 ①方向向量法:] • |1.IB CD②法向量法:12. 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题 (1)点与直线的距离：d AP sin (先求 cos AP, a )如图A ,空间一点P 到平面 的距离为d,已知平面uuu rAP 与n 不共线,分析：过P 作P0丄于0,连结0A.uuu uuu则 d=| P0 |= | PA | cos APO. uuu r uuu r ••• PO 丄，n ，二 PO // n .uuu r••• cos /APO=|cos PA,n |.um r• d=|PA ||cos PA,n |=^i|n|已知a,b 是异面直线,CD 为a,b 的公垂线，n 是直线CD 的方向向量，A, B 分别在直 线a,b 上的一个法向量为n ,且d CD(3)异面直线间的距离：—fr n ABnn AB d CD |—— nbn/ 0 i /丿/uur r(2)点到平面的距离：d=| Pua n 1|n|(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例)(7) 面积射影定理ISS -cos(平面多边形及其射影的面积分别是 S、S ',它们所在平面所成锐二面角的为).(4)其它距离冋题：① 平行线的距离(转化为点到直线的距离) ② 直线与平面的距离(转化为点到平面的距离) ③ 平面与平面的距离(转化为点到平面的距离) 13.补充：(1) 三余弦定理设AC 是a 内的任一条直线，且BC 丄AC ,垂足为C,又设A0与AB 所成的角 为1 , AB 与AC 所成的角为2 , A0与 AC 所成的角为•则cos cos 1COS 2.(2) 三射线定理若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1 ・2sin 2,与sin 2 sin 2二面角的棱所成的角是B ,则有 1 sin 22 2sin 1 sin 2 cos . 2|180o点Q 到直线I 距离 (12)(当且仅当 90°时等号成立).(3)h 丄J(|a||b|)2 (a b)2 uu u|a|(点P 在直线丨上，直线丨的方向向量a=PA ，向量UJUb= PQ).(4) 异面直线上两点距离公式dJh 2 m 2 n 2 m2mncos 匚 -- 2 -------- 2 ------------------------ 广巴uuu 订h m n 2mn cos( EA , AFJ h 2 m 2 n 2 2mn cos ( E AA ' F )(两条异面直线a 、b 所成的角为B,其公垂线段AA '的长度为h.在直线a 、 b 上分别取两点 E 、F , A'E m , AF n , EF d).(5)三个向量和的平方公式r r r r 2b c 2c ar b r a 22 r c2r b2r a2rc)(6) h 、J 、22l l 2 2b c 2 | a | |b | cos ：, a,b..： 2| b | |c|cos ：.b,c 长度为丨的线段在三 条两两互 相垂直 l3，夹角分别为12、 3 ,则有.2 .2 2 2 2 , ・ 2I 2 I 3 cos 1cos 2 cos 3 1 sin2 | c| | a | cos. c, a.：:的直线上的射影长分别为 1sin 2 2 sin 2 3 2（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是I,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是C1和S,则①S斜棱柱侧c i|②V斜棱柱sj（9）欧拉定理（欧拉公式）V F E 2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.①E=各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E ^nF2②若每个顶点引出的棱数为m,贝师点数V与棱数E的关系：.E丄mV2（10）球的组合体①球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.②球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.③球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为—a ,外接球的半径为一6 a .12 4。