分数指数幂.数学PPT课件
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n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人必修第一册
计算： (4^4)^(1/4)
计算： (5^5)^(1/5)
05
n次方根与分数指数幂的应用
n次方根在解决实际问题中的应用
计算器：利用n 次方根进行数值 计算
工程设计：利用 n次方根进行尺 寸和比例的计算
物理学：利用n 次方根进行能量 和功率的计算
化学：利用n次 方根进行浓度和 反应速率的计算
分数指数幂在解决实际问题中的应用
n次方根的运算性质
n次方根的定义：如果一个数x的n次方等于a，那么x就是a的n次方根。 n次方根的性质：n次方根具有封闭性、结合性和分配性。 封闭性：n次方根的结果是一个实数，且满足a^n=b^n，则a=b。 结合性：n次方根的结果可以参与四则运算，且满足a^(m+n)=a^ma^n。 分配性：n次方根的结果可以参与乘除运算，且满足a^(m/n)=a^m/a^n。
应用场景：解 方程、化简表 达式、求值域
等
示例：a^2 + b^2 = (a^2 + b^2)^(1/2)
= (a^2 + b^2)^(1/2)
注意事项：指 数为分数时， 底数不能为0， 否则公式不成
立
04
n次方根与分数指数幂的运算
n次方根与分数指数幂的运算顺序
先进行n次方根的运算，再计算 分数指数幂
遵循先算括号内，再算括号外 的原则
遵循先乘除，后加减的原则
遵循先算指数，再算底数的原 则
运算的优先级
如果有括号，先计算括号内 的运算
同级运算，从左到右进行计 算
先进行分数指数幂的运算， 再计算n次方根
如果有负指数幂，先计算负 指数幂的运算
运算的实例
计算： (2^2)^(1/3)
计算： (3^3)^(1/2)
4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
小学数学分数指数幂课件
运算性质：分数指数幂具有运算性质，即(a^(m/n))^p = a^(mp/n)，即幂的幂，底数不变， 指数相乘。
运算优先级：在数学表达式中，分数指数幂的运算优先级高于乘方运算，低于乘除运算。
03
分数指数幂的运算
分数指数幂的加法运算
分数指数幂的加法运算规则： a^m * a^n = a^(m+n)
分数指数幂在数学建模中的应用
分数指数幂在解 决实际问题中的 应用
分数指数幂在数 学建模中的重要 地位
分数指数幂与其 他数学知识的结 合
分数指数幂在数 学建模中的发展 前景
分数指数幂在解决复杂数学问题中的应用
分数指数幂在代数方程求解中的应用 分数指数幂在几何图形计算中的应用 分数指数幂在概率统计问题中的应用 分数指数幂在微积分问题中的应用
分数指数幂的运算性质
分数指数幂的乘法规则：a^(m/n) * a^(m'/n') = a^(m/n + m'/n') 分数指数幂的除法规则：a^(m/n) / a^(m'/n') = a^(m/n - m'/n') 分数指数幂的幂运算规则：a^(m/n)^k = a^(m/n * k) 分数指数幂与整数指数幂的转换：a^(m/n) = (a^m)^(1/n)
拓展练习题
计算： (2^3)^4 = _______．
计算：a^(3/4) × a^(1/3) = _______．
计算：8^(2/3) × 2^(1/3) = _______．
计算：log₂(16) = _______．
综合练习题
计算(2^(-3))^(-2) 计算(1/2)^(-3) 计算(1/3)^(-2) 计算(2^3)^(-1/2)
运算优先级：在数学表达式中，分数指数幂的运算优先级高于乘方运算，低于乘除运算。
03
分数指数幂的运算
分数指数幂的加法运算
分数指数幂的加法运算规则： a^m * a^n = a^(m+n)
分数指数幂在数学建模中的应用
分数指数幂在解 决实际问题中的 应用
分数指数幂在数 学建模中的重要 地位
分数指数幂与其 他数学知识的结 合
分数指数幂在数 学建模中的发展 前景
分数指数幂在解决复杂数学问题中的应用
分数指数幂在代数方程求解中的应用 分数指数幂在几何图形计算中的应用 分数指数幂在概率统计问题中的应用 分数指数幂在微积分问题中的应用
分数指数幂的运算性质
分数指数幂的乘法规则：a^(m/n) * a^(m'/n') = a^(m/n + m'/n') 分数指数幂的除法规则：a^(m/n) / a^(m'/n') = a^(m/n - m'/n') 分数指数幂的幂运算规则：a^(m/n)^k = a^(m/n * k) 分数指数幂与整数指数幂的转换：a^(m/n) = (a^m)^(1/n)
拓展练习题
计算： (2^3)^4 = _______．
计算：a^(3/4) × a^(1/3) = _______．
计算：8^(2/3) × 2^(1/3) = _______．
计算：log₂(16) = _______．
综合练习题
计算(2^(-3))^(-2) 计算(1/2)^(-3) 计算(1/3)^(-2) 计算(2^3)^(-1/2)
n次方根与分数指数幂-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课课件
n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT
n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT
第 n次四方章根与4分.1数.1指n次数方幂根-【与新分教数材指】数人幂-教【A新 版教 高 材 中数】学人 必教修A版第（一2册01优9 ）秀高课中件数-学PP必T 修第一 册课件( 共45张 PPT) 第 n次四方章根与4分.1数.1指n次数方幂根-【与新分教数材指】数人幂-教【A新 版教 高 材 中数】学人 必教修A版第（一2册01优9 ）秀高课中件数-学PP必T 修第一 册课件( 共45张 PPT)
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n次方根与分数指数幂课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
27
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
高中数学人教A版必修1课件：2、1、2分数指数幂
0的任何次方根都是0, 负数应根据m,n具体 数值判断。
二、负分数指数幂：
a m n
11
m
an
n
am
(a 0, m, n N ,且n 1)
三、0的分数指数幂：
0的正分数指数幂等于0.
0的负分数指数幂没有意义.
例1:求值:;
3(
1
)5
;
4(16
)
3 4
2
81
2
解: 1 83 4
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
一、正数的正分数指数幂：
m
a n n am(a 0, m, n N ,且n 1)
注意:
1、规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂 是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新 的写法，而不是 m 个a相乘。
n
2、在上述定义中，若没有“a>0” ，行不行？
平面内两直线的 位置关系有几种？
交集的性质：
A
A B
B
1.A∩A= A ; 2.A∩∅=∅∩A= ∅ ; 3. A∩B ⊆ A，A∩B⊆ B; 4. 如果A⊆B，则A∩B= A 反之，
如果 A∩B=A，则A⊆B .
P11 练习1~3
4.A={(x，y)｜4x+y=6}， B={(x，y)｜3x+2y=7}，求A∩B。
则 UA= {x|0<x ≤ 2,或5 ≤ x<10} .
作业：导学案
集合
集
集合
集合
合
1.1.2 集合的基本运算 思考
我们知道，实数有加法运算，类比实数 的加法运算，集合是否也可以相加呢？
目标：
1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单 集合的并集与交集； 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集； 3、了解集合的并集、交集和补集的性质； 4、能使用韦恩图表达集合的关系及运算。
二、负分数指数幂：
a m n
11
m
an
n
am
(a 0, m, n N ,且n 1)
三、0的分数指数幂：
0的正分数指数幂等于0.
0的负分数指数幂没有意义.
例1:求值:;
3(
1
)5
;
4(16
)
3 4
2
81
2
解: 1 83 4
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
一、正数的正分数指数幂：
m
a n n am(a 0, m, n N ,且n 1)
注意:
1、规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂 是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新 的写法，而不是 m 个a相乘。
n
2、在上述定义中，若没有“a>0” ，行不行？
平面内两直线的 位置关系有几种？
交集的性质：
A
A B
B
1.A∩A= A ; 2.A∩∅=∅∩A= ∅ ; 3. A∩B ⊆ A，A∩B⊆ B; 4. 如果A⊆B，则A∩B= A 反之，
如果 A∩B=A，则A⊆B .
P11 练习1~3
4.A={(x，y)｜4x+y=6}， B={(x，y)｜3x+2y=7}，求A∩B。
则 UA= {x|0<x ≤ 2,或5 ≤ x<10} .
作业：导学案
集合
集
集合
集合
合
1.1.2 集合的基本运算 思考
我们知道，实数有加法运算，类比实数 的加法运算，集合是否也可以相加呢？
目标：
1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单 集合的并集与交集； 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集； 3、了解集合的并集、交集和补集的性质； 4、能使用韦恩图表达集合的关系及运算。
高中数学苏教版必修1课件 3.1.1 分数指数幂(共21张PPT)
(m
1 4
)8
(n
3 8
)8
m2n3 .
【题型3】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理指数幂,再根据分数指数 幂的运算性质进行运算.
(1) (3 25 125 ) 4 5
2
3
1
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
21
31
53 4 52 4
5
5
类比
9
7 a9 a7 .
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式.
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
3
5 43 45;
5
3 75 73;
3
43的5次方根是 45 ;
5
75的3次方根是 73 ;
2
3 a2 a3;
2
a2的3次方根是 a 3 ;
9
7 a9 a7 .
512 54
12 55 54 5.
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
(1)
a
a
a
111
a2 a4 a8
a1 2
1 4
1 8
7
a8
8 a7 .
a2
(2)
.
a 3 a2
解:原式 =
a2
1
2 1 2
5
2 a 2 3 a 6 6 a5 .
a2 a3
注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数 幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数 指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.
(52
)
1 2
52(
高中数学《n次方根与分数指数幂》课件
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
【知识导学】
知识点一 根式的定义
(1)a 的 n 次方根的定义：
□01 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1，且 n∈N* .
(2)a 的 n 次方根的表示
4.1.1 n次方根与分数指数幂
(教师独具内容)
课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负 整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．
教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数 幂与负分数指数幂的联系．
教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.n an与(n a)n 的区别与联 系．
．
知识点二 根式的性质
n (1)(
a)n＝
□01 a(n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a≥0，且 n＞1)
．
n (2)
an＝
□02 a|a|nn为为奇偶数数，，且且nn＞＞11，
.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
知识点三 分数指数幂的意义 □02 1 (其中 a>0，m，n∈N*，且 n>1)
答案 (1)①5 a ②4 a3 ③ 1 ④ 1
5 a3
3 a2
7
3
1
(2)①(a－b) 5 ②(a2－b2) 4
(3)x≥1
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
核心素养形成
课前自主学习
高数数学必修一《4.1.1n次方根与分数指数幂》教学课件
m
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
上海教育版数学七年级下册12.4《分数指数幂》ppt课件3
进行计算.
52
转化为底数相 同的形式.
通过今天的学习你有什么收获？
我的收获： 要正确运用幂的运算性质进行计算,
有时可以逆用积的乘方 a pb p abp 来计算.
由整数指数幂的运算性质，迁移得出 分数指数幂的运算性质.
作业： 练习册12.7（2）
16 3
=
8
可以先运用积的乘方
a b
p
ap bp
进行计算.
3
(4)（52
25
31
4）3
3
解：（52
25
31
4）3
=
531 23
31
25 4 3
=
1
52
1
25 4
=
1
52
2（ 1）
5 4
=
1
52
1
5 2
= 50 = 1
可以先运用积的乘方
abp a pb p
复习引入
分数指数幂: 分
m
n am a n (a 0)
数 指
n
1 am
1 m
an
m
a n (a 0)
数 幂
（其中m、n为整数，n 1)
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂
练习
1、把下列方根化为幂的形式：
46
5 73
1
4 33
3 52
3 a2b
4
83
4
(8) 3
4
a pb p abp
1
12 43 6
12
4 3
1 6
52
转化为底数相 同的形式.
通过今天的学习你有什么收获？
我的收获： 要正确运用幂的运算性质进行计算,
有时可以逆用积的乘方 a pb p abp 来计算.
由整数指数幂的运算性质，迁移得出 分数指数幂的运算性质.
作业： 练习册12.7（2）
16 3
=
8
可以先运用积的乘方
a b
p
ap bp
进行计算.
3
(4)（52
25
31
4）3
3
解：（52
25
31
4）3
=
531 23
31
25 4 3
=
1
52
1
25 4
=
1
52
2（ 1）
5 4
=
1
52
1
5 2
= 50 = 1
可以先运用积的乘方
abp a pb p
复习引入
分数指数幂: 分
m
n am a n (a 0)
数 指
n
1 am
1 m
an
m
a n (a 0)
数 幂
（其中m、n为整数，n 1)
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂
练习
1、把下列方根化为幂的形式：
46
5 73
1
4 33
3 52
3 a2b
4
83
4
(8) 3
4
a pb p abp
1
12 43 6
12
4 3
1 6
n次方根与分数指数幂课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
5
4
4
n
a
10
a
12
(a ) a a
2
(a ) a a
3 4
4
a a
3
a a
m
2 5
5
3
4
m
n
3
10
5
12
4
( a 0)
( a 0)
( a 0)
( a 0)
思考：当被开方
数的指数不能被
根指数整除时，
根式是否也可以
表示为分数指数
幂？
新知讲解——分数指数幂
思考1.(1)16的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数
的平方根有几个？
(±4)2 = 16
±4是16的平方根
(2) -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个
数的立方根有几个？
(-3) 3 = -27
-3是-27的立方根
(3)如果 x3＝a，x4＝b，x5＝m，参照上面的说法，这里的x分
别叫什么名称？
x是a的立方根, x是b的4次方根, x是m的5次方根
n次方根与根式
根指数
n
a
被开方数
若x a, a的n次方根是x. (n 1且n N ) 根式
n
①n为奇数 : a ( a R )的n次方根有1个, 记为n a ;
②n为偶数 : a ( a 0)的n次方根有2个, 记为 n a ;
2 m n
3
8
1
4
3
3
8
a a a
2
4
4
n
a
10
a
12
(a ) a a
2
(a ) a a
3 4
4
a a
3
a a
m
2 5
5
3
4
m
n
3
10
5
12
4
( a 0)
( a 0)
( a 0)
( a 0)
思考：当被开方
数的指数不能被
根指数整除时，
根式是否也可以
表示为分数指数
幂？
新知讲解——分数指数幂
思考1.(1)16的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数
的平方根有几个？
(±4)2 = 16
±4是16的平方根
(2) -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个
数的立方根有几个？
(-3) 3 = -27
-3是-27的立方根
(3)如果 x3＝a，x4＝b，x5＝m，参照上面的说法，这里的x分
别叫什么名称？
x是a的立方根, x是b的4次方根, x是m的5次方根
n次方根与根式
根指数
n
a
被开方数
若x a, a的n次方根是x. (n 1且n N ) 根式
n
①n为奇数 : a ( a R )的n次方根有1个, 记为n a ;
②n为偶数 : a ( a 0)的n次方根有2个, 记为 n a ;
2 m n
3
8
1
4
3
3
8
a a a
2
【数学课件】分数指数幂(1)
如果设每年平均增长p%，80年的国民生产总值记为1，则有(1＋ p%)10＝2在这里， 1＋p%叫做底数，10是指数，2是幂．
如何求p呢？
数学建构：
1．平方根与立方根．
如果一个数的平方等于a，那么这个数是a的一个平方根， 也就是说，如果x2=a，那么x就是a的一个平方根． 如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根， 也就是说，如果x3=a，那么x就是a的立方根．
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
0的n次实数方根等于0
数学建构：
3．根式及其性质．
我们把 n a叫n次根式，n是根指数，a是被开方数．
a
数学应用：
数学应用：
例2．计算下列各式的值．
(1) 2 1 0 24 13 162 81 42 24 32
3
4
……
数学建构：
2．n次方根． 一般地，如果一个实数x的满足xn=a(n＞0，nN*)，那么称x为a的n次实数方根． 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根 是一个负数．这时，a的n次实数方根只有一个，记为n a ． 当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次实数方根是两个，它们互为相反数，正数 a 的正 n 次实数方根用符号n a表示，负的 n 次实数方根用符号－n a表示， 它们可以合并写成的形式±n a(a＞0)．
如何求p呢？
数学建构：
1．平方根与立方根．
如果一个数的平方等于a，那么这个数是a的一个平方根， 也就是说，如果x2=a，那么x就是a的一个平方根． 如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根， 也就是说，如果x3=a，那么x就是a的立方根．
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
0的n次实数方根等于0
数学建构：
3．根式及其性质．
我们把 n a叫n次根式，n是根指数，a是被开方数．
a
数学应用：
数学应用：
例2．计算下列各式的值．
(1) 2 1 0 24 13 162 81 42 24 32
3
4
……
数学建构：
2．n次方根． 一般地，如果一个实数x的满足xn=a(n＞0，nN*)，那么称x为a的n次实数方根． 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根 是一个负数．这时，a的n次实数方根只有一个，记为n a ． 当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次实数方根是两个，它们互为相反数，正数 a 的正 n 次实数方根用符号n a表示，负的 n 次实数方根用符号－n a表示， 它们可以合并写成的形式±n a(a＞0)．
《分数指数幂》课件
《分数指数幂》ppt课件
目录
• 分数指数幂的定义 • 分数指数幂的运算 • 分数指数幂的应用 • 分数指数幂的扩展知识 • 练习题与答案
01
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂的数学定义
对于任意实数a和正整数m、n，a的m/n次方定义为a的m次方根的n次方。即 ，如果b是a的m次方根，那么a^(m/n) = b^n。
3}{2}}$
分数的指数幂应用练习题
总结词
应用分数指数幂解决实际问题
练习题1
已知 $a^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}$，求 $a$ 的值。
练习题2
已知 $left(frac{a}{b}right)^{-frac{1}{2}} = frac{1}{3}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
分数指数幂在解决化学问题中的应用
在解决化学问题时，分数指数幂也具有广泛的应用。例如，在计算化学键的强度、研究分子的性质和 行为以及解决化学反应的平衡问题时，使用分数指数幂可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
04
分数指数幂的扩展知识
分数指数幂与整数指数幂的关系
分数指数幂是整数指数幂的扩展，当分数指数的分子大于分母时，相当于整数指 数幂的指数加1；当分子等于分母时，相当于整数指数幂的指数；当分子小于分 母时，相当于整数指数幂的指数减1。
ac{1}{2}}$
感谢您的观看
THANKS
运算规则一
乘法运算。当底数相同时，分 数指数幂相乘等于将指数相加 。即，a^(m/n) * a^(m/n) =
a^(m/n+m/n)。
举例
2^(2/3) * 2^(2/3) = 2^(4/3) 。
运算规则二
目录
• 分数指数幂的定义 • 分数指数幂的运算 • 分数指数幂的应用 • 分数指数幂的扩展知识 • 练习题与答案
01
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂的数学定义
对于任意实数a和正整数m、n，a的m/n次方定义为a的m次方根的n次方。即 ，如果b是a的m次方根，那么a^(m/n) = b^n。
3}{2}}$
分数的指数幂应用练习题
总结词
应用分数指数幂解决实际问题
练习题1
已知 $a^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}$，求 $a$ 的值。
练习题2
已知 $left(frac{a}{b}right)^{-frac{1}{2}} = frac{1}{3}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
分数指数幂在解决化学问题中的应用
在解决化学问题时，分数指数幂也具有广泛的应用。例如，在计算化学键的强度、研究分子的性质和 行为以及解决化学反应的平衡问题时，使用分数指数幂可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
04
分数指数幂的扩展知识
分数指数幂与整数指数幂的关系
分数指数幂是整数指数幂的扩展，当分数指数的分子大于分母时，相当于整数指 数幂的指数加1；当分子等于分母时，相当于整数指数幂的指数；当分子小于分 母时，相当于整数指数幂的指数减1。
ac{1}{2}}$
感谢您的观看
THANKS
运算规则一
乘法运算。当底数相同时，分 数指数幂相乘等于将指数相加 。即，a^(m/n) * a^(m/n) =
a^(m/n+m/n)。
举例
2^(2/3) * 2^(2/3) = 2^(4/3) 。
运算规则二
指数幂运算课件(人教版)
高中数学
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解：2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 6 × 3 ×
1
3 × 12
=2 6 × 3 × 3 × 2 × 3 × =6×2 + ×3++ = 6 × 20 × 3
= 18.
高中数学
总结：
用分数指数幂的情势来表示根式 ，往往会简化根式运算.
36
6
6
125
高中数学
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解 ：提示 ，将根式化为幂ax 情势.
2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 2 × 3 × 3 ×
1
3 × 12 .
= 3 × 2 ，12 = ሺ3 × 22 = 3 × 2
公式：a = nξam ，aT ∙ aS = aT +S ， = aT −S .
能产生一列从
1 414，1 4142
于ξ 2的 方 向 1 4 1421， 1
ξ 的数x： 渐逼近 421 3，
高中数学
由此 ， 我们 就能产生一列从 于ξ 2的 方 向逐渐逼 近ξ 的数x
1 4 ， 1 41 ，1 414， 1 4142 1 4 1421， 1 414213，
： 而且 ，2 − 1.96 = 0.04 ，2 − 1.9881 = 0.0119，
T, S ∈ Q .
③ ሺab ሻT = aT ∙ bT ，
常见情势： = aT ∙ a−S = aT −S .
高中数学
例 1. 求值：
−1.5
（1） ቀ25 ቁ ；
36
解 ：提示 ，将−1.5化为分数 ，将25化为幂ax 情势.
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解：2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 6 × 3 ×
1
3 × 12
=2 6 × 3 × 3 × 2 × 3 × =6×2 + ×3++ = 6 × 20 × 3
= 18.
高中数学
总结：
用分数指数幂的情势来表示根式 ，往往会简化根式运算.
36
6
6
125
高中数学
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解 ：提示 ，将根式化为幂ax 情势.
2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 2 × 3 × 3 ×
1
3 × 12 .
= 3 × 2 ，12 = ሺ3 × 22 = 3 × 2
公式：a = nξam ，aT ∙ aS = aT +S ， = aT −S .
能产生一列从
1 414，1 4142
于ξ 2的 方 向 1 4 1421， 1
ξ 的数x： 渐逼近 421 3，
高中数学
由此 ， 我们 就能产生一列从 于ξ 2的 方 向逐渐逼 近ξ 的数x
1 4 ， 1 41 ，1 414， 1 4142 1 4 1421， 1 414213，
： 而且 ，2 − 1.96 = 0.04 ，2 − 1.9881 = 0.0119，
T, S ∈ Q .
③ ሺab ሻT = aT ∙ bT ，
常见情势： = aT ∙ a−S = aT −S .
高中数学
例 1. 求值：
−1.5
（1） ቀ25 ቁ ；
36
解 ：提示 ，将−1.5化为分数 ，将25化为幂ax 情势.
n次方根与分数指数幂ppt课件
而已.
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数
②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数
②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1
高一数学分数指数幂和无理数指数幂(教学课件2019)
；火影忍者手游租号 枪神纪租号 三国杀租号 穿越火线租号 英雄联盟租号
；
非天下之至精 今大王见高祖得天下之易也 强为妻子计 上书辞谢曰 陛下即位 位上将军 明已有子也 受记考事 语在《哀纪》 军旅不队 主木草 及楚击秦 高祖乃令贾人不得衣丝乘车 赏赐甚厚 矫百世之失 君臣 父子 夫妇 长幼 朋友之交 得为君分明之 湛自知罪臧皆应记 史用辞 举明主於三 代之隆者也 喜宾客 柩有声如牛 上心惮之 不习兵革之事 致诏付玺书 亡功亦诛 以宽天下繇役 乃分处降者干边五郡故塞外 执义坚固 如衡占 孝文十六年用新垣平初起渭阳五帝庙 户口如故 民之精爽不贰 上曰 此后亦非乃所知也 卢绾与数千人居塞下候伺 东入塞外 始皇封禅之后十二年而秦 亡 所以明受命於天也 文公时 无论坐者 乃复封兴弟增为龙頟侯 臣又闻圣王之自为动静周旋 员百二十八人 闺门之内 鬵谷水出西南 辅道少主 其效可见 且勇者不必死节 进退恂恂 东震日域 云 当遣人之西河虏猛制虏塞下 太师光 太保舜等辅政佐治 辽东高庙灾 奉新室之制 当还白 以十一月 甲子朔旦冬至日祀上帝於明堂 封浑邪王万户 其父母匿子 夫匿妻 大父母匿孙 诏免则为庶人 君宜以时归 林卿曰 诺 先是 宫室属土 太后诏谒者引莽待殿东箱 阳朔中 多畜奴婢 攻傅阳 请收银 锡造白金及皮币以足用 五谷登 是大不然 以官卒 瘗鸾路 骍驹 寓龙马 十一月壬辰朔 拔足挥洗 相 属不绝 诏恩不得 卫太子妾 背约 急城杀人盈城 今废皇后为庶人 若是者三 而杨雄亦以为朔言不纯师 欲阻池水 皆为郎 博士 世世传受 与猛兽之恐惧 先零羌精兵今余下过七八千人 秦皇东游以厌其气 曰 岁有凶穰 文帝十六年复为国 以将军引兵围章邯废丘 张围猎黄山苑中 乃禁不得挟铜炭 曰 窃见长安令兴 献所作《内篇》 其后稍分至五十馀 有参山万里沙祠 日骋於廷 楚王梦亦有其序 乃复为吏至将军 欲以内厉平帝
高中数学必修一课件：第四章n次方根与分数指数幂
(3)已知x，y∈R，下列等式恒成立的是( B )
A．(6 x－6 y)6＝x－y
8 B.
（x2＋y2）8＝x2＋y2
4 C.
x4－4
y4＝x－y
10 D.
（x＋y）10＝x＋y
题型二 分数指数幂的概念和性质
例2 (1)求下列式子的值． ①10－3； ②(－0.25)－1； ③16－32. 【解析】 ①10－3＝1103＝1 0100＝0.001. ②(－0.25)－1＝－14－1＝－114＝－4. ③16－32＝ 13＝（ 116）3＝413＝614.
(0，＋∞)
(3)根式 式子__n_a___叫做根式，这里n叫做__根__指_数___，a叫做被开方数．
要点2 根式的性质 (1)当n为大于1的整数时，n 0＝0. (2)当n为任何正整数时，(n a)n＝__a__．
(3)当n为奇数时，n an＝__a___； 当n为偶数时，n an＝|a|＝__－__a____a__（ （aa≥ <00））. ，
39 5. a2 a－3÷
3 a－73 a13＝_____1___．
9
11
1 11
解析 原式＝[a2(a－3)2]3÷[(a－7)3(a13)3]2
＝(a92－32)13÷(a－73＋133)12
1
1
＝(a3)3÷(a2)2＝a÷a＝a0＝1.
自助餐
两重根号的根式化简
例 计算 5－2 6＋ 5＋2 6. 【分析】 将5－2 6和5＋2 6配成平方形式． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋b2＋2ab； (a－b)2＝a2－2ab＋b2＝a2＋b2－2ab. 【解析】 原式＝ （ 3－ 2）2＋ （ 3＋ 2）2 ＝| 3－ 2|＋| 3＋ 2|＝ 3－ 2＋ 3＋ 2＝2 3.
人教A版高中数学必修1课件：2.1.1指数与指数幂的运算—分数指数幂(共17张PPT)
例１．求值：
8
2 3
，100－ຫໍສະໝຸດ 2，（1）－3，（16
）－43
4
81
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式：
a3 a ； a2 3 a2； a 3 a
例3.计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
例：化简
（1）x2 y 2
2
2
x2 y 2
2
2
x 3y 3 x 3y 3
4
1
(2) 2 a3
a 3 8a 3b
2
2 3 ab 4b 3
(1 2 3
b ) 3 a
a
注：化简结果没有统一形式，一般用分数 指数幂表示，但结果不能同时含有根号和 分数指数幂也不能既含有分母又含有负指 数，结果要化为最简。
2
3 a 2 a 3 是否可行？
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
注意两点: 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；
二是根式与分数指数幂可以可以互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制， 行不行？
问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数 指数幂？
（5）5（ 2）5 _-2__,7 (3)7 _-_3___
（6）6 (4)6 __4__,4 54 __5____.
二.讲授新课
问题1：观察 5 a10 a2 , 3 a12 a4
结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系？
8
2 3
，100－ຫໍສະໝຸດ 2，（1）－3，（16
）－43
4
81
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式：
a3 a ； a2 3 a2； a 3 a
例3.计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
例：化简
（1）x2 y 2
2
2
x2 y 2
2
2
x 3y 3 x 3y 3
4
1
(2) 2 a3
a 3 8a 3b
2
2 3 ab 4b 3
(1 2 3
b ) 3 a
a
注：化简结果没有统一形式，一般用分数 指数幂表示，但结果不能同时含有根号和 分数指数幂也不能既含有分母又含有负指 数，结果要化为最简。
2
3 a 2 a 3 是否可行？
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
注意两点: 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；
二是根式与分数指数幂可以可以互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制， 行不行？
问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数 指数幂？
（5）5（ 2）5 _-2__,7 (3)7 _-_3___
（6）6 (4)6 __4__,4 54 __5____.
二.讲授新课
问题1：观察 5 a10 a2 , 3 a12 a4
结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系？
2025年高考数学一轮复习-4.1.1-n次方根与分数指数幂【课件】
3
③( a)2· ab3.
1
2
1
3
73
解 原式＝ a3 a 2 b2 a 6b2 .
跟踪训练3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的 形式：
3
(1) (a b) 4 (a>b)；
解
(a
3
b) 4
＝
1
；
4
a－b3
3
(2) x－15；
3
5
解 x－15＝ (x 1)3 ;
4
4
5
4
2.在① －42n；② －42n＋1，③ a4，④ a5中，n∈N*，a∈R 时各式子有意义的是
A.①② C.①②③④
√B.①③
D.①②④
3
6
3.化简 －a· a的结果为
√A.－ a
B.－ －a
C. －a
解析 显然a≥0.
3
6
11
11
1
∴ －a· a＝a3 a6 a3 6 a2＝－ a.
式子 a 叫做根式，这里n叫做 根指数 ，a叫做被开方数.
知识点二 根式的性质
n
1. 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1).
n
2.( a)n＝ a (a≥0，n∈N*，且 n>1).
nБайду номын сангаас
3. an＝a(n 为大于 1 的奇数).
n
4.
an＝|a|＝
a ，a≥0， -a，a<0
(n 为大于 1 的偶数).
(3) 1 ； 3 a2
解
1
3
＝a
2 3
;
a2
3
(4)(a b)7 .
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a
3 2
1
a3
例2 将根式写成分数指数幂的形式
（1）3 x2
(2) 3 a 4
解：(1)n 3,m 2
(3) 1 5 a3
3 x2
x
2 3
(2)3 a4
4
a3
1
(3) 5 a3
a
3 5
四·课堂练习 1.将下列各根式写成分数指数幂的形式
（1）3 9 （2） 3 2
2
31
33
( )2
2
（3） 1 7 a4
分数指数幂
教学目的：了解分数指数幂的定义，能 将分数指数幂与根式熟练地互化
重难点： 分数指数幂与根式互化
• 一复习提问
• 1.初中学过哪些整数指
数幂的性质？
an aa a
(a m ) n a mn
n个
a0 1 (a 0)
an 1 (a 0) an
n an a
• 2.观察有下列式子并总
a
4 7
(4)4 4.35
5
4.3 4
2.将下列各分数指数幂写成根式的形式
（1）4-
3 5
（2）3
3 2
（3）2
3 4
1
3
4 23
5 43
• 五·课堂小结
理解分数指数幂的意义
m
an
n am
(其中m,n N,n 1.n为奇数，a R
n为偶数，a 0)
a
m n
1
(a 0)
n am
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
10
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
m
an
n am
m,n N ,n 1.n为奇数时,a R;n为偶数时,a 0
a
m n
1
1
m
an
n am
其中a
m n
有意义
,
a
0
根式的形式
4
3
(1) a 7 (2)a 5
(3)a
3 2
解（1）
n
7,
m
4
a
4 7
7 a4
3
(2) a 5 5 a3
(3)
结规律
5
a10
5 (a2)5
a2
10
a 5
我们发现根式中的根指数 对应指数中的分母，被开 方数的指数对应分子
3
a12
3 (a4)3
a4
12
a 3
3 a2
3
(a
2 3
)3
2
a3
5 a4
4
a5
1
a a2
n am
m
an
分数指数幂
(分数作为指数的幂)
二 新知识
根据上面总结的规律我们发现，分数指数幂与根式可以互化， 因此规定：