弹簧问题解题方法

• 例1．如图所示，质量分别为m和2m的A、B两个木块间 用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙。用 水平力F将B向左压，静止后弹簧储存的弹性势能为E。 若突然撤去F，那么A离开墙后，弹簧的弹性势能最大值 将是多大？
解：A离开墙前A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧恢复 原长过程，弹性势能全部转化为B的动能，因此A刚离开墙时刻， B的动能为E。A离开墙后，该系统动量守恒，机械能也守恒。 当A、B共速时，系统动能最小，因此弹性势能最大。A刚离开 墙时刻B的动量和A、B共速时A、B的总动量相等，由动能和动 量的关系Ek=p2/2m知，A刚离开墙时刻B的动能和A、B共速时系 统的动能之比为3∶2，因此A、B共速时系统的总动能是2E/3， 这时的弹性势能最大，为E/3。
五.弹簧振子的简谐运动 弹簧振子的简谐运动
• 轻弹簧一端固定，另一端系一个小球，便组成一个弹簧振子。 无论此装置水平放置还是竖直放置，在忽略摩擦阻力和空气阻 力的情况下，弹簧振子的振动都是简谐运动。 • 弹簧振子做简谐运动过程中机械能守恒。水平放置的弹簧振子 的总机械能E等于弹簧的弹性势能Ep和振子的动能Ek之和，还等 于通过平衡位置时振子的动能（即最大动能），或等于振子位 于最大位移处时弹簧的弹性势能（即最大势能），即 E=Ep+Ek=Epm=Ekm • 简谐运动的特点之一就是对称性。振动过程中，振子在离平衡 位置距离相等的对称点，所受回复力大小、位移大小、速度大 小、加速度大小、振子动能等都是相同的。
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• 例1．质量分别为m和2m的小球P、Q用细线相连，P用轻弹簧悬挂在天 花板下，开始系统处于静止。下列说法中正确的是 A．若突然剪断细 线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g • B．若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为0和g • C．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g • D．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为3g和0
四.临界问题
• 两个相互接触的物体被弹簧弹出，这两个物体在什 么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开” 既可以认为已经分开，也可以认为还未分开。认为 已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为 未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。 同时利用这两个结论，就能分析出当时弹簧所处的 状态。这种临界问题又分以下两种情况：
2．除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那 除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。
么两个物体分离时弹簧必然不是原长。 么两个物体分离时弹簧必然不是原长 例4．如图所示，质量均为m=500g的木块A、B叠放在一起，轻弹簧的 劲度为k=100N/m，上、下两端分别和B与水平面相连。原来系统处于 静止。现用竖直向上的拉力F拉A，使它以a=2.0m/s2的加速度向上做匀 加速运动。求：⑴经过多长时间A与B恰好分离？⑵上述过程中拉力F 的最小值F1和最大值F2各多大？⑶刚施加拉力F瞬间A、B间压力多大？
解：A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，动能增加；C→D 小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，因此在C位置小 球动能最大。从B到D小球的运动是简谐运动的一部分，且C为平衡位置， 因此在C、D间必定有一个B´点，满足BC=B´C，小球在B´点的速度和 加速度大小都和在B点时相同；从C到D位移逐渐增大，回复力逐渐增大， 加速度也逐渐增大，因此小球在D点加速度最大，且大于g。从A→C小 球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，因此重力势能 的减少大于动能的增大。从B→D小球重力势能减小，弹性势能增加， 且B点动能大于D点动能，因此重力势能减少和动能减少之和等于弹性 势能增加。选D。
解：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为 零，弹簧对P的拉力仍为3mg竖直向上，因 此剪断瞬间P的加速度为向上2g，而Q的加 速度为向下g；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突 然变为零，细线对P、Q的拉力也立即变为 零，因此P、Q的加速度均为竖直向下，大 小均为g。选C。
• 例2、如图2所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧 质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量 m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加 一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速 直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是 恒力，g=10m/s2,则F的最小值是 ，F的最大值 是 。
解：振动能量等于振子在最远点处时弹簧的弹性势能。在B或C射入，不改变最 大弹性势能，因此不改变振动能量，也不改变振幅；但由于振子质量增大，加 速度减小，因此周期增大。 振动能量还等于振子在平衡位置时的动能。在O点射入，射入过程子弹和木块 水平动量守恒，相当于完全非弹性碰撞，动能有损失，继续振动的最大动能减 小，振动能量减小，振幅减小；简谐运动周期与振幅无关，但与弹簧的劲度和 振子的质量有关。子弹射入后，振子质量增大，因此周期变大。选D。
• 例3．如图所示，小球P、Q质量均为m，分别用轻弹簧b和细线c悬挂 在天花板下，再用另一细线d、e与左边的固定墙相连，静止时细线d、 e水平，b、c与竖直方向夹角均为θ=37º。下列判断正确的是 A．剪断d 瞬间P的加速度大小为0.6g • B．剪断d瞬间P的加速度大小为0.75g • C．剪断e前c的拉力大小为0.8mg • D．剪断e后瞬间c的拉力大小为1.25mg
解：若撤去F前弹簧的压缩量很小，弹性势能小于弹簧恢复原长过程A、 B克服摩擦阻力做的功，那么撤去F后，A、B虽能向右滑动，但弹簧还未 恢复原长A、B就停止滑动，没有分离。 只要A、B在向右运动过程的某时刻分开了，由于分离时A、B间的弹力 为零，因此A的加速度是aA=µg；而此时A、B的加速度相同，因此B的加 速度aB=µg，即B受的合力只能是滑动摩擦力，所以弹簧必然是原长。选 B。
• 例3．如图9所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接 着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体A、B和轻弹簧竖立静 止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使 物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设 整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2 ，求： （1） 此过程中所加外力F的最大值和最小值。 • （2）此过程中外力F所做的功。
解：剪断d瞬间弹簧b对小球的拉力大小和方 向都未来得及发生变化，因此重力和弹簧拉力 的合力与剪断前d对P的拉力大小相等，为 0.75mg，因此加速度大小为0.75g，水平向右； 剪断e前c的拉力大小为1.25mg，剪断e后，沿细 线方向上的合力充当向心力，因此c的拉力大小 立即减小到0.8mg。选B。
1．仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物 体必然是在弹簧原长时分开的。
• 例1．如图所示，两个木块A、B叠放在一起，B与轻弹簧相连，弹簧下 端固定在水平面上，用竖直向下的力F压A，使弹簧压缩量足够大后， 停止压缩，系统保持静止。这时，若突然撤去压力F，A、B将被弹出 且分离。下列判断正确的是 • A．木块A、B分离时，弹簧的长度恰等于原长 B．木块A、B分离时， 弹簧处于压缩状态，弹力大小等于B的重力 • C．木块A、B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A、B的总重 力 • D．木块A、B分离时，弹簧的长度可能大于原长
弹簧问题解题方法
一.考纲要求 考纲要求
• 轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻 质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查 力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及 能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类 命题几乎每年高考卷面均有所见，应引起足 够重视.
二.解题突破点 解题突破点
• 1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧 时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一 般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出 形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大 小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化. • 2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在 瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力 . 大小不变，即弹簧的弹力不突变. • 3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力， 再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守 恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：Wk=-（ kx22- kx12），弹力的 功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式Ep= kx2，高考不作定量要 求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以 能量的转化与守恒的角度来求解.
三.弹力的大小 弹力的大小
• • • 弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即F=kx，其中x是 弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩短量，不是弹簧的实际长度）。 高中研究的弹簧都是轻弹簧（不计弹簧自身的质量）。 不论弹簧处于何种运动状态（静止、匀速或变速），轻弹簧两端所受的弹 力一定等大反向。证明如下：以轻弹簧为对象，设两端受到的弹力分别为 F1、F2，根据牛顿第二定律，F1+F2=ma，由于m=0，因此F1+F2=0，即F1、F2 一定等大反向。 弹簧的弹力属于接触力，弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力。 如果弹簧的一端和其它物体脱离接触，或处于拉伸状态的弹簧突然被剪断， 那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。 在弹簧两端都保持与其它物体接触的条件下，弹簧弹力的大小F=kx与形变 量x成正比。由于形变量的改变需要一定时间，因此这种情况下，弹力的大 小不会突然改变，即弹簧弹力大小的改变需要一定的时间。（这一点与绳 不同，高中物理研究中，是不考虑绳的形变的，因此绳两端所受弹力的改 变可以是瞬时的。）
• 例3．如图5所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B 相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有 竖直向下的力F，整个装置处于静止状态． • （1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动 到最高点时，B对A的弹力有多大？ • （2）要使A、B不分离，力F应满足什么条件？
• 例2．如图所示，轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置 有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位 置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下 降阶段下列判断中正确的是 A．在B位置小球动能最大 • B．在C位置小球加速度最大 • C．从A→C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加 • D．从B→D位置小球重力势能的减少小于弹簧弹性势能的增加
六.源自文库性势能问题 弹性势能问题
• 机械能包括动能、重力势能和弹性势能。 其中弹性势能的计算式 高中不要求掌握， 但要求知道：对一根确定的弹簧，形变量 越大，弹性势能越大；形变量相同时，弹 性势能相同。因此关系到弹性势能的计算 有以下两种常见的模式：
1．利用能量守恒定律求弹性势能。 ．利用能量守恒定律求弹性势能。
解：以A为对象，既然已分开，那么A 就只受重力，加速度竖直向下，大小为g； 又未分开，A、B加速度相同，因此B的加 速度也是竖直向下，大小为g，说明B受 的合力为重力，所以弹簧对B没有弹力， 弹簧必定处于原长。选A。此结论与两物 体质量是否相同无关。
• 例2．如图所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端与木块B相连，木 块A紧靠木块B放置，A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ。用水平力F 向左压A，使弹簧被压缩一定程度后，系统保持静止。若突然撤去水 平力F，A、B向右运动，下列判断正确的是 A．A、B一定会在向右运 动过程的某时刻分开 • B．若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定是原长 • C．若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长短 • D．若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长长
• 例1．如图所示，木块P和轻弹簧组成的弹簧振子在光滑水平面上做简 谐运动，O为平衡位置，B、C为木块到达的最左端和最右端。有一颗 子弹竖直向下射入P并立即留在P中和P共同振动。下列判断正确的是 A．若子弹是在C位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变 • B．若子弹是在B位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期变小 • C．若子弹是在O位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变 • D．若子弹是在O位置射入木块的，则射入后振幅减小，周期变大