概率论第19讲

N(0,1) ( X Y ) (1 2 )
( X Y ) (1 2 )
S m1 n1
m1 n1
S2
换形式
( X Y ) (1 2 )
2
m1 n1
(m
1)S12 m
n
(n 1)S22 2
1
2
分母互换
( X Y ) (1 2 )
m1 n1
(m 1)S12 (n 1)S22
解 n=100, α =0.05, X 15.2， zα/2=1.96, 将
这些结果代入到 (7.6.6) 式, 得λ 的置信系数约
为0.95的置信区间为 [14.44, 15.96]。
小结
本讲首先介绍两正态总体均值差的置信区 间；然后介绍大样本情形下非正态总体均值参 数的近似置信区间，给出了二项分布总体分布
(7.6.4)式是(7.6.1)式的特殊情形。
记 pˆ X Yn / n， 对现在的情形，(7.6.3)式变为
pˆ z 2 pˆ (1 pˆ )/n ，pˆ z 2 pˆ (1 pˆ )/n . (7.6.5)
这就是二项分布参数 p的置信系数约为1-α 的置信区间。
例7.6.2 商品检验部门随机抽查了某公司 生产的产品100件，发现其中合格品为84件， 试求产品合格率的置信系数为0.95的置信区间。
n
X i n
i1
X
~ N (0,1) ,
n / n
(7.6.1)
因而，近似地有
P
X
/
n
z / 2 1 .
于是，μ 的置信系数约为1-α 的置信区间为
X
n
z 2，X
n
z
2
.
( 7.6.2)
若σ2未知，就用其某个估计(如S2) 来代替，得
X
S n
z
2，X
S n
z
2
.
(7.6.3)
概率论与数理统计 第十九讲
主讲教师：程维虎教授 北京工业大学应用数理学院
§7.5 正态总体的区间估计(二)
在实际问题中，经常会遇到两个正态总 体的区间估计问题。例如：考察新技术对提 高产品的某项质量指标的作用，将实施新技
术前的产品质量指标看成正态总体N(1, 12),
实施新技术后产品质量指标看成正态总体
例7.6.1 某公司欲估计其生产的电池寿命。 现从产品中随机抽取 50 只电池做寿命试验。 这些电池的寿命的平均值为2.266 (单位：100 小时)，标准差 S=1.935。求该公司生产的电池 平均寿命的置信系数为 95% 的置信区间。
解 查正态分布表，得 zα /2= z0.025=1.96， 由公式 (7.6.3)，得电池平均寿命的置信系数为 95%的置信区间为
再由(7.5.6)式，得1-2 的置信系数为1- 的
置信区间
X Y tmn2 ( / 2)S m1 n1
[0.101，2.901] .
在这两个例子中，1-2 的置信区间都 包含了零，也就是说：1可能大于2，也可 能小于 2。这时我们认为二者没有显著差异。
§7.6 非正态总体的区间估计
前面两节讨论了正态总体分布参数的区间
纱中分别抽取样本 X1, …, X200和 Y1, …, Y100，
其均值分别为:X 5.32，Y 5.76， 求 1- 2
的置信系数为 0.95 的区间估计。
解 1 = 2.18, 2 = 1.76, m=200, n=100, = 0.05。由 (7.5.5) 式, 得 1-2 的置信系数为 1- 的置信区间为
X 501.1, S12 2.4；Y 499.7，S22 4.7 . 求1-2 的置信系数为0.95的区间估计。
解 由m =12, n =17, = 0.05及 (7.5.7)式，
可算出
S (12 1) 2.4 (17 1) 4.7 1.94. 12 17 2
查 t 分布表，得 tm+n-2(α /2) = t27(0.025)=2.05，
X Y z /2
(12
/
m)
(
2 2
/
n)
0.899，0.019.
例7.5.2 某公司利用两条自动化流水线灌装 矿泉水。设这两条流水线所装矿泉水的体积 (单
位: 毫升) 分别为X～N(1, 2) 和 Y～N(2, 2)。
现从生产线上分别抽取 X1, …, X12和Y1, …, Y17 , 样本均值与样本方差分别为:
(m 1)S12 σ2
~
χ
2，
m1
(n
1) S22 σ2
~
χ
2 n1
，
且二者相互独立。
根据 2分布的可加性，有
(m
1)S12
(n
1)S
2 2
σ2
~
χ
2 mn2
；
另一方面，由(7.5.1) 式，有
(7.5.3)
X Y (1 2 ) ~ N 0, 1， (7.5.4)
m1 n1
且(7.5.3)式与(7.5.4)式中的随机变量相互独立。 由 t 分布的定义，得
2.261
1.935 50
Fra Baidu bibliotek
1.96，2.261
1.935 50
1.96
[1.730，2.802].
7.6.1 二项分布
设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p， 现在做 n 次试验，以Yn记事件 A 发生的次数, 则Yn ~ B(n, p)。依中心极限定理，对充分大 的 n，近似地有
Yn np X p ~ N (0,1). (7.6.4) np(1 p) p(1 p) / n
只要 n 很大，(7.6.3)式所提供的置信区间在应 用上还是令人满意的。那么, n 究竟多大才算 很大呢？
很明显，对相同的 n, (7.6.3) 式所给出的 置信区间的近似程度随总体分布与正态分布的 接近程度而变化。因此，理论上很难给出 n 很 大的一个界限。
但许多应用实践表明：当 n≥30时，近似 程度是可以接受的；当 n≥50时，近似程度是 很好的。
解 n=100, Yn=20, pˆ Yn / n 0.20, α =0.10, zα/2=1.645, 将这些结果代入到(7.6.5)式，得 p 的置信系数约为0.90的近似置信区间为[0.134, 0.226]。
例7.6.4 公共汽车站在单位时间内(如半小 时或1小时或一天等)到达的乘客数服从泊松分 布P(λ), 对不同的车站, 所不同的仅仅是参数 λ 的取值不同。现对一城市某一公共汽车站进 行了100个单位时间的调查。这里单位时间是 20分钟。计算得到每20分钟内来到该车站的 乘客数平均值为 15.2 人。求参数λ 的置信系数 为 95%的置信区间。
估计。但是在实际应用中，我们有时不能判断
手中的数据是否服从正态分布或者有足够理由
认为它们不服从正态分布。这时，只要样本大
小 n 比较大，总体均值 μ 的置信区间仍可用正 态总体情形的公式
X
n
z 2，X
n
z
2
,
或
X
S n
z
/2,
X
S n
z
/ 2
.
σ2已知时 σ2未知时
所不同的是：这时的置信区间是近似的。
2
(m n 2)
~ tm+n -2 .
χ 2m+n-2
利用该定理，可得到 μ1-μ2 的置信系数为 1-α的置信区间。
I.
当
2 1
和
22均已知
时，由(7.5.1)式，得
1
2
的置信区间为：
X Y z /2
(
2 1
/
m)
(
2 2
/
n)
； (7.5.5)
II.
当
2 1
2 2
2但未知 时，由(7.5.2)式，得
0.84(1 0.84)
100
0.77, 0.91.
例7.6.3 在环境保护问题中, 饮水质量研究 占有重要地位，其中一项工作是检查饮用水中 是否存在某类微生物。假设在随机抽取的100 份一定容积的水样中有20份含有这种类型的微 生物。试求同样容积的这种水含有这种微生物 的概率 p的置信系数约为0.90的置信区间。
解 n=100, Yn=84, pˆ Yn / n 0.84,α=0.05,
zα/2=1.96, 将这些结果代入到(7.6.5)式，得 p 的置信系数约为0.95的置信区间为
pˆ z 2 pˆ (1 pˆ )/n ，pˆ z 2 pˆ (1 pˆ )/n
0.84-1.96
0.84(1 0.84) , 0.84-1.96 100
其中 S 2 (m 1)S12 (n 1)S22 . mn2
证明 I.由基本定理(见定理6.3.1)，知
X
~
N (1,
2 1
/
m)，Y
~
N (2 ,
2 2
/ n) .
由两样本相互独立，知 X 与Y也相互独立。
故，(7.5.1) 式成立；
II.
当12
2 2
2
时，S12与S22
都是
2
的估计，由基本定理，得
这是求一般总体均值置信区间的一种简单 有效的方法，其理论依据是中心极限定理，它 要求样本大小 n 比较大。因此，该方法称为大 样本方法。
设总体均值为 μ , 方差为 σ2 , X1, X2, …, Xn为来自该总体的样本。因为这些 Xi 是独立 同分布的，据中心极限定理，对充分大的 n,
下式近似成立
参数 p 及泊松分布总体分布参数 λ 的近似置信
区间表达式。
作业：p151，7.11至7.13。
1 2 的置信区间为：
X Y tmn2 ( / 2)S m1 n1 ， (7.5.6)
其中
S
(m
1)S12
(n
1)
S
2 2
.
mn2
(7.5.7)
例7.5.1 比较棉花品种优劣。假设用甲、
乙两种棉花纺出的棉纱强度分别为 X～N(1, 2.182)和Y ～N(2, 1.762)。试验者从这两种棉
Y～N(2, 22)，样本均值与样本方差为
Y
1 n
n
i1
Yi
,
S
2 2
n
1
1
m
i1
(Yi
Y )2.
I. 当两样本相互独立时，有
X Y
~ N 1 2 ,
σ12 m
2 2
n
；
(7.5.1)
II.
当
2 1
2 2
2，
2未知时，
(X
Y ) (1 2 )
S m1 n1
~
tmn2 .
(7.5.2)
N(2, 22)。
于是，评价新技术的效果问题，就归结
为考察1-2是否大于零(或小于零)的问题。
定理7.5.1 设X1, X2, ···, Xm是抽自正态
总体 X 的简单样本，X～N(1, 12)，样本均
值与样本方差为
X
1 m
m i1
X
，
i
S12
1m m 1 i1 ( X i
X )2；
Y1, Y2, ···, Yn 是抽自正态总体 Y 的简单样本，