2021年湖南省中考数学复习题及答案 (49)
2021年湖南省湘西州中考数学试卷及其答案
2021年湖南省湘西州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（4分）2021的相反数是（）A．1202B．﹣2021C．D．﹣2．（4分）计算﹣1+3的结果是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣43．（4分）据悉，在2021年湘西州“三独”比赛中，某校11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前5名进入决赛．如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小红还需知道这11名同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差4．（4分）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•＝D．1+＝5．（4分）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（）A．11B．22C．33D．447．（4分）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（）A．14B．12.4C．10.5D．9.38．（4分）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则的长度为（）A．9πB．πC．πD．π9．（4分）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y＝的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）A．图象与x轴没有交点B．当x＞0时，y＞0C．图象与y轴的交点是（0，﹣）D．y随x的增大而减小10．（4分）已知点M（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（）A．（10，2），（8，4）或（6，6）B．（8，4），（9，3）或（5，7）C．（8，4），（9，3）或（10，2）D．（10，2），（9，3）或（7，5）二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11．（4分）（﹣）2＝．12．（4分）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为．13．（4分）因式分解：a2﹣2a＝．14．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．15．（4分）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为．16．（4分）若式子+1的值为零，则y＝．17．（4分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是．18．（4分）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝.（用含n的式子表达）三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（6分）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．20．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．21．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．22．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如下表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．（1）该校此次调查共抽取了名学生；（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文活动代号A B C D E23．（10分）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AD＝8，tan∠CAB＝，求：边AC及AB的长．25．（12分）2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？（2）求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？26．（16分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2021年湖南省湘西州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1．（4分）2021的相反数是（）A．1202B．﹣2021C．D．﹣【解答】解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数．根据相反数的定义，则2021的相反数为﹣2021．故选：B．2．（4分）计算﹣1+3的结果是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：﹣1+3＝+（3﹣1）＝2，故选：A．3．（4分）据悉，在2021年湘西州“三独”比赛中，某校11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩，取前5名进入决赛．如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入决赛，小红还需知道这11名同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【解答】解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后共有6个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：B．4．（4分）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•＝D．1+＝【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；B、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝（﹣bc）2＝b2c2，故此选项不符合题意；C、a÷b•，正确，故此选项符合题意；D、1+，故此选项不符合题意；故选：C．5．（4分）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（）A．B．C．D．【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆．故选：B．6．（4分）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（）A．11B．22C．33D．44【解答】解：∵点E是AC的中点，∴AE＝EC＝AC，∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD，∴，∴CD＝2EF＝11，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴菱形ABCD的周长＝4×11＝44，故选：D．7．（4分）如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是（）A．14B．12.4C．10.5D．9.3【解答】解：∵EB＝1.6，BC＝12.4，∴EC＝EB+BC＝14，∵AB⊥EC，∴∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝∠C，又∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，解得：CD＝10.5，故选：C．8．（4分）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则的长度为（）A．9πB．πC．πD．π【解答】解：如图连接OA，OB，则OA＝OB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∴△OAB是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的面积是18，∴AB＝＝3，∴OA＝OB＝3，∴弧AB的长L＝＝＝，故选：C．9．（4分）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y＝的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）A．图象与x轴没有交点B．当x＞0时，y＞0C．图象与y轴的交点是（0，﹣）D．y随x的增大而减小【解答】解：A．由图象可知，图象与x轴没有交点，故说法正确；B．由图象可知，当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，故说法错误；C．当x＝0时，函数值为﹣2，故图象与y轴的交点是（0，﹣2），故说法错误；D．当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小，故说法错误．故选：A．10．（4分）已知点M（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（）A．（10，2），（8，4）或（6，6）B．（8，4），（9，3）或（5，7）C．（8，4），（9，3）或（10，2）D．（10，2），（9，3）或（7，5）【解答】解：分情况讨论：①若O为直角顶点，则点M在y轴上，不合题意舍去；②若A为直角顶点，则MA⊥x轴，∴点M的横坐标为10，把x＝10代入y＝﹣x+12中，得y＝2，∴点M坐标为（10，2）；③若M为直角顶点，如图，作MB⊥x轴，则∠OBM＝∠MBA＝90°，∠OMB+∠AMB＝90°，∵∠AMB+∠MAB＝90°，∴∠OMB＝∠MAB，∴△OMB∽△MAB，∴＝，∴MB2＝OB•AB，∴（﹣x+12）2＝x（10﹣x），解得x＝8或9，∴点M坐标为（8，4）或（9，3），综上所述，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（10，2）、（8，4）、（9，3），故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）11．（4分）（﹣）2＝．【解答】解：（﹣）2＝．故答案为：．12．（4分）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为4×105．【解答】解：400000＝4×105．故答案为：4×105．13．（4分）因式分解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．故答案为：a（a﹣2）．14．（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，∴x≥．故答案为：x≥．15．（4分）实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则多项式mn﹣m﹣n的值为﹣1．【解答】解：∵实数m，n是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根，a＝1，b＝﹣3，c＝2，∴m+n＝﹣＝3，mn＝＝2，∴mn﹣m﹣n＝mn﹣（m+n）＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．16．（4分）若式子+1的值为零，则y＝0．【解答】解：由题意得：+1＝0．∴＝﹣1．∴y﹣2＝﹣2．∴y＝0．当y＝0时，y﹣2≠0．∴该分式方程的解为y＝0．17．（4分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是40°．【解答】解：如图分别延长EB 、DB 到F ，G ，由于纸带对边平行，∴∠1＝∠4＝20°，∵纸带翻折，∴∠3＝∠4＝20°，∴∠DBF ＝∠3+∠4＝40°，∵CD ∥BE ，∴∠2＝∠DBF ＝40°．故答案为：40°．18．（4分）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a 1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a 2＝3，…，则第n 个图形表示的三角形数a n ＝.（用含n 的式子表达）【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．第n 个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n ﹣1）+n ＝．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19．（6分）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．【解答】解：原式＝1﹣2﹣5+4×＝1﹣2﹣5+2＝﹣4．20．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞，解不等式②，得x≤1，在数轴上表示不等式的解集为：，所以不等式组无解．21．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．（1）求证：AB＝ED；（2）求∠AFE的度数．【解答】解：（1）证明：∵∠ECA＝∠DCB，∴∠ECA+∠ACD＝∠DCB+∠ACD，即∠ECD＝∠BCA，由旋转可得CA＝CE，在△BCA和△DCE中，，∴△BCA≌△DCE（SAS）．∴AB＝ED．（2）由（1）中结论可得∠CDE＝∠B＝70°，又CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝70°，∴∠EDA＝180°﹣∠BDE＝180°﹣70°×2＝40°，∴∠AFE＝∠EDA+∠A＝40°+10°＝50°．22．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如下表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．（1）该校此次调查共抽取了50名学生；（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文活动代号A B C D E【解答】解：（1）该校此次调查共抽取的学生数为：10÷20%＝50（名），故答案为：50；（2）选择C舞蹈的人数为：50﹣8﹣10﹣12﹣14＝6（名），补全条形统计图如下：（3）2000×＝240（名），答：估计该校有240名学生参加舞蹈活动．23．（10分）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距20m，求“一心阁”CH的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：设CH为xm，由题意得：∠AHC＝90°，∠CBH＝45°，∠A＝30°，∴BH＝CH＝xm，AH＝CH＝xm，∵AH﹣BH＝AB，∴x﹣x＝20，解得：x＝10（+1）≈27.3，答：“一心阁”CH的高度约为27.3m．24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AD＝8，tan∠CAB＝，求：边AC及AB的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB；（2）解：连接BC，如图，∵∠DAC＝∠OAC，∴tan∠DAC＝tan∠CAB＝，在Rt△DAC中，∵tan∠DAC＝＝，∴CD＝×8＝6，∴AC＝＝＝10，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴tan∠CAB＝＝，∴BC＝×10＝，∴AB＝＝．25．（12分）2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？（2）求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？【解答】解：（1）设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，根据题意得：，解得，答：团队制作一个A类微课的成本为700元，制作一个B类微课的成本为500元；（2）由题意，得w＝（1500﹣700）a+（1000﹣500）×1.5（22﹣a）＝50a+16500；1.5（22﹣a）≥2a，解得a≤，又∵每月制作的A、B两类微课的个数均为整数，∴a的值为0，2，4，6，8．（3）由（2）得w＝50a+16500，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝8时，w有最大值，w＝50×8+16500＝16900（元）．最大答：每月制作A类微课8个时，该团队月利润w最大，最大利润是16900元．26．（16分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），设BC的解析式为y＝kx+b，∵B（4，0），C（0，4），∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．（3）如图1中，由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，此时P（，）．（4）如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，对于抛物线y＝﹣x2+3x+4，当y＝4时，x2﹣3x＝0，解得x＝0或3，∴N1（3，4）．当y＝﹣4时，x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝，∴N2（，﹣4），N3（，﹣4），综上所述，满足条件的点N的坐标为（3，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．。
2021年湖南省衡阳市中考数学试卷(附答案)
2021年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）8的相反数是( )A ．8-B ．8C ．18-D ．8±2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为( )A ．698.9910⨯B ．79.89910⨯C ．4989910⨯D ．80.0989910⨯3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）下列运算结果为6a 的是( )A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．32()aD ．321()2a 5．（3分）下列计算正确的是( )A ．164=±B ．0(2)1-=C ．257+=D ．393=6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是( )A ．众数是82B ．中位数是84C ．方差是84D ．平均数是857．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是( )A．B．C．D．8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为(sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)(︒≈)A．7.5米B．8米C．9米D．10米9．（3分）下列命题是真命题的是()A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为120︒C．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形10．（3分）不等式组1026xx+<⎧⎨-⎩的解集在数轴上可表示为()A．B．C．D．11．（3分）下列说法正确的是( )A ．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B ．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C ．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是34D ．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人12．（3分）如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，8BC =，点M 、N 分别在矩形的边AD 、BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①四边形CMPN 是菱形；②点P 与点A 重合时，5MN =；③PQM ∆的面积S 的取值范围是45S ．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．（33x -x 的取值范围是 ．14．（3分）计算：11a a a-+= ． 15．（3分）因式分解：239a ab -= ．16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 ．（结果保留)π17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 棵．18．（3分）如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A D-段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：2(2)(2)(2)(4)++-++-．x y x y x y x x y20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB DE=，//BC EF．求AC DF，//证：ABC DEF∆≅∆．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，90∆绕A点逆时针方AEB∠=︒，将Rt ABE向旋转90︒得到ADF∆，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知7BC=，求DH的长．BH=，1323．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm．经测量，得到表中数据．双层部分长度()x cm281420单层部分长度()y cm148136124112（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为L cm，求L的取值范围．24．（8分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2DE =，30BDE ∠=︒，求CD 的长．25．（10分）如图，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，动点P 、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点B 时点P 、Q 同时停止运动．过点Q 作//MN OB 分别交AO 、AB 于点M 、N ，连接PM 、PN ．设运动时间为t （秒)．（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；（2）求四边形MNBP 面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l ，总能平分四边形MNBP 的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP ，当OAP BPN ∠=∠时，求点N 到OA 的距离．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2021年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）8的相反数是( )A ．8-B ．8C ．18-D ．8±【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是8-． 故选：A ．2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为( )A ．698.9910⨯B ．79.89910⨯C ．4989910⨯D ．80.0989910⨯【解答】解：7989900009.89910=⨯，故选：B ．3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．是轴对称图形，故本选项符合题意；B ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D ．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．4．（3分）下列运算结果为6a 的是( )A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．32()aD ．321()2a 【解答】解：A ．235a a a ⋅=,故此选项不合题意；B ．12210a a a ÷=,故此选项不合题意；C ．326()a a =,故此选项符合题意；D ．32611()24a a =,故此选项不合题意； 故选：C ．5．（3分）下列计算正确的是( )A 4=±B ．0(2)1-=CD 3=【解答】解：16的算术平方根为44，故A 不符合题意；根据公式01(0)a a =≠可得0(2)1-=，故B 符合题意；≠，故C 不符合题意；3，故D 不符合题意；故选：B ．6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是( )A ．众数是82B ．中位数是84C ．方差是84D ．平均数是85【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，A 、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；B 、数据的中位数为8385842+=，此选项正确，不符合题意； C 、数据的平均数为828283858692856+++++=， 所以方差为222221[(8585)(8385)2(8285)(8685)(9285)]126⨯-+-+⨯-+-+-=，此选项错误，符合题意；D 、由C 选项知此选项正确；故选：C ．7．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：这个组合体的三视图如下：故选：A ．8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为(sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)(︒≈ )A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6BC =米，3sin sin370.65BC BAC AB ∠==︒≈=， 5561033AB BC ∴≈=⨯=（米)， 故选：D ．9．（3分）下列命题是真命题的是( )A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形【解答】解：A ．每个多边形的外角和都是360︒，故错误，假命题；B ．正六边形的内角和是720︒，每个内角是120︒，故正确，真命题；C ．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；D ．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题．故选：B ．10．（3分）不等式组1026x x +<⎧⎨-⎩的解集在数轴上可表示为( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：解不等式10x +<得，1x <-,解不等式26x -得，3x -， ∴不等式组的解集为：31x -<-,在数轴上表示为：故选：A ．11．（3分）下列说法正确的是( )A ．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B ．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C ．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是34D ．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式，A ∴选项错误，彩票的中奖机会是1%说的是可能性，和买的数量无关，B ∴选项错误，根据概率的计算公式，C 选项中摸出红球的概率为37， C ∴选项错误， 200名学生中有85名学生喜欢跳绳，∴跳绳的占比为85100%42.5%200⨯=， 320042.5%1360∴⨯=（人)，D ∴选项正确，故选：D ．12．（3分）如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，8BC =，点M 、N 分别在矩形的边AD 、BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①四边形CMPN 是菱形；②点P 与点A 重合时，5MN =；③PQM ∆的面积S 的取值范围是45S ．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③【解答】解：//PM CN ，PMN MNC ∴∠=∠，MNC PNM ∠=∠，PMN PNM ∴∠=∠，PM PN ∴=，NC NP =，PM CN ∴=，//MP CN ，∴四边形CNPM 是平行四边形，CN NP =，∴四边形CNPM 是菱形，故①正确；如图1，当点P 与A 重合时，设BN x =，则8AN NC x ==-，在Rt ABN ∆中，222AB BN AN +=，即422(8)2x x +=-，解得3x =，835CN ∴=-=，4AB =，8BC =， 2245AC AB BC ∴=+=，1252CQ AC ∴==， 225QN CN CQ ∴=-=，225MN QN ∴==，故②不正确；由题知，当MN 过点D 时，CN 最短，如图2，四边形CMPN 的面积最小，此时1144444CMPN S S ==⨯⨯=菱形， 当P 点与A 点重合时，CN 最长，如图1，四边形CMPN 的面积最大，此时15454S =⨯⨯=， 45S ∴正确，故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．（33x -x 的取值范围是 3x ．【解答】解：根据题意，得30x -，解得，3x ；故答案为：3x ．14．（3分）计算：11a a a-+= 1 ． 【解答】解：原式111a a -+==． 故答案为：1．15．（3分）因式分解：239a ab -= 3(3)a a b - ．【解答】解：239a ab -3(3)a a b =-，故答案为：3(3)a a b -．16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 12π ．（结果保留)π【解答】解：圆锥的侧面积234212ππ=⨯⨯÷=．故答案为：12π．17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 500 棵．【解答】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树(125%)x +棵， 依题意得：600060003(125%)x x-=+，解得：400x =，经检验，400x =是原方程的解，且符合题意，(125%)500x ∴+=．故答案为：500．18．（3分）如图1，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，P 、Q 两点同时从O 点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O A D O ---，点Q 的运动路线为O C B O ---．设运动的时间为x 秒，P 、Q 间的距离为y 厘米，y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为 (233)+ 厘米．【解答】解：由图分析易知：当点P 从O A →运动时，点Q 从O C →运动时，y 不断增大， 当点P 运动到A 点，点Q 运动到C 点时，由图象知此时3y PQ cm ==，23AC cm ∴=，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，132OA OC AC cm ===， 当点P 运动到D 点，Q 运动到B 点，结合图象，易知此时，2y BD cm ==，112OD OB BD cm ∴===， 在Rt ADO ∆中，2222(3)12()AD OA OD cm ++，2AD AB BC DC cm ∴====，如图，当点P 在A D -段上运动，点P 运动到点E 处，点Q 在C B -段上运动，点Q 运动到点F 处时，P 、Q 两点的最短，此时，31322OA OD OE OF AD ⋅⨯====， 2233342AE AF OA OE ==-=-=， ∴当点P 在A D -段上运动且P 、Q 两点间的距离最短时，P 、Q 两点的运动路程之和为：3(3)2233()2cm +⨯=+ 故答案为：(233)+．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：2(2)(2)(2)(4)x y x y x y x x y ++-++-．【解答】解：原式22222(44)(4)(4)x xy y x y x xy =+++-+-222224444x xy y x y x xy =+++-+-23x =．20．（6分）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，AB DE =，//AC DF ，//BC EF ．求证：ABC DEF ∆≅∆．【解答】证明：//AC DF ，CAB FDE ∴∠=∠ (两直线平行，同位角相等),又//BC EF ，CBA FED ∴∠=∠ (两直线平行，同位角相等),在ABC ∆和DEF ∆中，CAB FDE AB DECBA FED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ()ABC DEF ASA ∴∆≅∆．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 64.8 度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：120%7%55%18%---=， ∴其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：36018%64.8︒⨯=︒，故答案为：64.8；（2）50020%100⨯=（吨)，1000.220⨯=（万元）， 答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元；（3）由题意可列树状图：()82 123P∴==一男一女．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，90AEB∠=︒，将Rt ABE∆绕A点逆时针方向旋转90︒得到ADF∆，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知7BH=，13BC=，求DH的长．【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：Rt ABE∆绕A点逆时针方向旋转90︒得到ADF∆，Rt ABE Rt ADF∴∆≅∆，90AEB AFD∴∠=∠=︒，90AFH∴∠=︒，Rt ABE Rt ADF∆≅∆，DAF BAE∴∠=∠,又90DAF FAB∠+∠=︒，90BAE FAB∴∠+∠=︒，90FAE∴∠=︒，在四边形AFHE中，90FAE∠=︒，90AEB∠=︒，90AFH∠=︒，∴四边形AFHE是矩形，又AE AF =，∴矩形AFHE 是正方形；（2）设AE x =．则由（1）以及题意可知：AE EH FH AF x ====,7BH =,13BC AB ==, 在Rt AEB ∆中，222AB AE BE =+，即22213(7)x x =++,解得：5x =,5712BE BH EH ∴=+=+=,12DF BE ∴==,又DH DF FH =+，12517DH ∴=+=．23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x cm ，单层部分的长度为y cm ．经测量，得到表中数据． 双层部分长度()x cm2 8 14 20 单层部分长度()y cm 148 136 124 112（1）根据表中数据规律，求出y 与x 的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm 时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为L cm ，求L 的取值范围．【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，由题知14821368k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得2152k b =-⎧⎨=⎩， y ∴与x 的函数关系式为2152y x =-+；（2）根据题意知1302152x y y x +=⎧⎨=-+⎩， 解得22108x y =⎧⎨=⎩， ∴双层部分的长度为22cm ；（3）由题知，当0x =时，152y =， 当0y =时，76x =， 76152L ∴．24．（8分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若2DE =，30BDE ∠=︒，求CD 的长．【解答】（1）证明：连结OD ，如图所示：AB 是直径，90BDA ∴∠=︒，90BDO ADO ∴∠+∠=︒， 又OB OD =，CDA B ∠=∠， B BDO CDA ∴∠=∠=∠，90CDA ADO ∴∠+∠=︒，OD CD ∴⊥，且OD 为O 半径，CD ∴是O 的切线；（2）解：连结OE ，如图所示：30BDE ∠=︒，260BOE BDE ∴∠=∠=︒，又E 为BD 的中点，60EOD ∴∠=︒，EOD ∴∆为等边三角形，2ED EO OD ∴===，又120BOD BOE EOD ∠=∠+∠=︒，180********DOC BOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，在Rt DOC ∆中，60DOC ∠=︒，2OD =，tan tan6032CD CD DOC OD ∴∠=︒== 23CD ∴= 25．（10分）如图，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，动点P 、Q 同时从点O 出发，分别沿x 轴正方向和y 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P 到达点B 时点P 、Q 同时停止运动．过点Q 作//MN OB 分别交AO 、AB 于点M 、N ，连接PM 、PN ．设运动时间为t （秒)．（1）求点M 的坐标（用含t 的式子表示）；（2）求四边形MNBP 面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l ，总能平分四边形MNBP 的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP ，当OAP BPN ∠=∠时，求点N 到OA 的距离．【解答】解：（1）过点A 作x 轴的垂线，交MN 于点E ，交OB 于点F ，由题意得：2OQ t =，3OP t =，63PB t =-，(0,0)O ，(3,4)A ，(6,0)B ，3OF FB ∴==，4AF =，22345OA AB ==+，//MN OB ，OQM OFA ∴∠=∠，OMQ AOF ∠=∠，OQM AFO ∴∆∆∽， ∴OQ QM AF OF =， ∴243t QM =， 32QM t ∴=， ∴点M 的坐标是3(,2)2t t ． （2）//MN OB ，∴四边形QEFO 是矩形，QE OF ∴=，332ME OF QM t ∴=-=-， OA AB =，ME NE ∴=，263MN ME t ∴==-，MNP BNP MNBP S S S ∆∆∴=+四边形1122MN OQ BP OQ =⋅+⋅⋅11(63)2(63)222t t t t =-⋅+⋅-⋅ 2612t t =-+26(1)6t =--+，点P 到达点B 时，P 、Q 同时停止，02t ∴，1t ∴=时，四边形MNBP 的最大面积为6．（3）63MN t =-，63BP t =-，MN BP ∴=，//MN BP ，∴四边形MNBP 是平行四边形，∴平分四边形MNBP 面积的直线经过四边形的中心，即MB 的中点，设中点为(,)H x y ， 3(,2)2M t t ，(6,0)B ， 133(6)3224x t t ∴=⋅+=+， 202t y t +==． 334x y ∴=+， 化简得：443y x =-， ∴直线l 的解析式为：443y x =-． （4）OA AB =，AOB PBN ∴∠=∠，又OAP BPN ∠=∠， AOP PBN ∴∆∆∽，∴OA OP BP BN=， ∴535632t t t =-， 解得：1118t =．63MN t =-，AE AF OQ =-，332ME t =-， 112563186MN ∴=-⨯=， 112542189AE =-⨯=， 31125321812ME =-⨯=， 22222525125()()12936AM ME AE ∴=+=+=． 设点N 到OA 得距离为h ，1122AMN S MN AE AM h ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴125251125269236h ⋅⋅=⋅⋅， 解得：103h =． ∴点N 到OA 得距离为103．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得：4x x=，解得2x =±， 当2x =±时，42y x ==±， 故“雁点”坐标为(2,2)或(2,2)--；（2）① “雁点”的横坐标与纵坐标相等， 故“雁点”的函数表达式为y x =，物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点” E ， 则25ax x c x ++=，则△2540ac =-=，即4ac =，1a >，故4c <；②4ac =，则250ax x c ++=为2450ax x a++=， 解得4x a =-或1a -，即点M 的坐标为4(a-，0)，由25ax x c x ++=，4ac =， 解得2x a =-，即点E 的坐标为2(a -，2)a-， 故点E 作EH x ⊥轴于点H ，则2HE a =，242()E M MH x x HE a a a =-=---==， 故EMN ∠的度数为45︒；（3）存在，理由：由题意知，点C 在直线y x =上，故设点C 的坐标为(,)t t ， 过点P 作x 轴的平行线交过点C 与y 轴的平行线于点M ，交过点B 与y 轴的平行线于点N ，设点P 的坐标为2(,23)m m m -++，则223BN m m =-++,3PN m =-,PM m t =-,223CM m m t =-++-, 90NPB MPC ∠+∠=︒,90MPC CPM ∠+∠=︒, NPB CPM ∴∠=∠,90CMP PNB ∠=∠=︒,PC PB =,()CMP PNB AAS ∴∆≅∆，PM BN ∴=，CM PN =，即2|23|m t m m -=-++，223|3|m m t m -++-=-，解得1m =1-或32，故点P 的坐标为，3)2或3(2，15)4或(1+，3)2．。
2021年湖南省长沙市中考数学试卷(附答案详解)
2021年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列四个实数中，最大的数是()A. −3B. −1C. πD. 42.(2021·湖南省长沙市·历年真题)2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为()A. 1.004×106B. 1.004×107C. 0.1004×108D. 10.04×1063.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列几何图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列计算正确的是()A. a3⋅a2=a5B. 2a+3a=6aC. a8÷a2=a4D. (a2)3=a55.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，AB//CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE=100°，则∠DHF的度数为()A. 100°B. 80°C. 50°D. 40°6.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54°，则∠BOC的度数为()A. 27°B. 108°C. 116°D. 128°7.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列函数图象中，表示直线y=2x+1的是()A. B. C. D.8.(2021·湖南省长沙市·历年真题)“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是()A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，249.(2021·湖南省长沙市·历年真题)有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是()A. 19B. 16C. 14D. 1310.(2021·湖南省长沙市·历年真题)在一次数学活动课上，某数学老师将1∼10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是()A. 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B. 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C. 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D. 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.(2021·湖南省长沙市·历年真题)分解因式：x2−2021x=______ ．12.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为______ ．13.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE=6，则BC的长为______ ．14.(2021·湖南省长沙市·历年真题)若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为______ ．15.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为______ ．16.(2021·湖南省长沙市·历年真题)某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动.先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图.那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.(2021·湖南省长沙市·历年真题)计算：|−√2|−2sin45°+(1−√3)0+√2×√8．18.(2021·湖南省长沙市·历年真题)先化简，再求值：(x−3)2+(x+3)(x−3)+2x(2−x)，其中x=−1．219. (2021·湖南省长沙市·历年真题)人教版初中数学教科书八年级上册第35−36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC ．求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC ．作法：如图．(1)画B′C′=BC ；(2)分别以点B′，C′为圆心，线段AB ，AC 长为半径画弧，两弧相交于点A′；(3)连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：(1)完成下面证明过程(将正确答案填在相应的空上)：证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC 中，{B′C′=BCA′B′=( )A′C′=( )∴△A′B′C′≌ ______ ．(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______ .(填序号)①AAS②ASA③SAS④SSS20.(2021·湖南省长沙市·历年真题)“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球(每个球除颜色外，其他都相同)的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．(1)求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；(2)请你估计纸箱中白球的数量接近多少？21.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4．(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)求AD的长．22.(2021·湖南省长沙市·历年真题)为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．(1)若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？23.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD=CD，延长BC至E，使得CE=CA，连接AE．(1)求证：∠B=∠ACB；(2)若AB=5，AD=4，求△ABE的周长和面积．24.(2021·湖南省长沙市·历年真题)我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该约定，完成下列各题．(1)若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数”y={−4x(x<0)tx2(x≥0,t≠0,t是常数)的图象上的一对“T点”，则r=______ ，s=______ ，t=______ (将正确答案填在相应的横线上)；(2)关于x的函数y=kx+p(k,p是常数)是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；(3)若关于x的“T函数”y=ax2+bx+c(a>0，且a，b，c是常数)经过坐标原点O，且与直线l：y=mx+n(m≠0,n>0，且m，n是常数)交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，当x1，x2满足(1−x1)−1+x2=1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．25.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在AB⏜上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP⏜上运动(点C与点P，Q不重合)，连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．(1)求sin∠AOQ的值；(2)求AMMN的值；(3)令ME=x，QD=y，直径AB=2R(R>0,R是常数)，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．答案和解析1.【答案】D【知识点】实数大小比较【解析】解：∵−3<−1<π<4，∴最大的数是4，故选：D．先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2.【答案】B【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：10040000=1.004×107．故选：B．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．3.【答案】C【知识点】中心对称图形【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.是中心对称图形，故本选项符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】A【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故此选项符合题意；B.2a+3a=5a，故此选项不合题意；C.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；D.(a2)3=a6，故此选项不合题意；故选：A．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】A【知识点】平行线的性质【解析】解：∵AB//CD，∴∠CHG=∠AGE=100°，∴∠DHF=∠CHG=100°．故选：A．先根据平行线的性质，得出∠CHG的度数，再根据对顶角相等，即可得出∠DHF的度数．本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时关键是注意：两直线平行，同位角相等．6.【答案】B【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵∠A=54°，∴∠BOC=2∠A=108°，故选：B．直接由圆周角定理求解即可．本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7.【答案】B【知识点】一次函数的性质【解析】解：∵k=2>0，b=1>0时，∴直线经过一、二、三象限．故选：B．根据一次函数的性质判断即可．本题考查了一次函数的性质，当k>0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限．8.【答案】C【知识点】中位数、众数【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，故选：C．将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.【答案】A【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：列表如下：由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率为436=19，故选：A．列表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.【答案】A【知识点】有理数的加法【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．∴各选项中，只有A是正确的，故选：A．根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．11.【答案】x(x−2021)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：x2−2021x=x(x−2021)．故答案为：x(x−2021)．直接提取公因式x，即可分解因式．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12.【答案】45°【知识点】垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×4=2，∵OC=2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC=45°，故答案为：45°．利用垂径定理可得AC=BC=12AB=12×4=2，由OC=2可得△AOC为等腰直角三角形，易得结果．本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．13.【答案】12【知识点】菱形的性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，且BD⊥AC，又∵点E是边AB的中点，∴OE=AE=EB=12AB，∴BC=AB=2OE=6×2=12，故答案为：12．根据四边形ABCD是菱形可知对角线相互垂直，得出OE=12AB，AB=BC，即可求出BC．本题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14.【答案】−1【知识点】一元二次方程的解【解析】解：把x=3代入方程x2−kx−12=0得：9−3k−12=0，解得：k=−1，故答案为：−1．把x=3代入方程得出9−3k−12=0，求出方程的解即可．本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．15.【答案】2.4【知识点】角平分线的性质【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵DE=1.6，∴CD=1.6，∴BD=BC−CD=4−1.6=2.4．故答案为：2.4由角平分线的性质可知CD=DE=1.6，得出BD=BC−CD=4−1.6=2.4．本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．16.【答案】50【知识点】扇形统计图、条形统计图【解析】解：∵30÷25%=120(份)，∴一共抽取了120份作品，∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：120−30−28−12=50(份)，故答案为：50．利用共抽取作品数=A等级数÷对应的百分比求解，即可一共抽取的作品份数，进而得到抽取的作品中等级为B的作品数．本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从统计图中获得准确的信息．17.【答案】解：原式=√2−2×√2+1+√162=√2−√2+1+4=5．【知识点】特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算、零指数幂【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算、零指数幂的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：原式=x2−6x+9+x2−9+4x−2x2=−2x，当x=−12时，原式=−2×(−12)=1．【知识点】整式的混合运算【解析】直接利用乘法公式结合整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．19.【答案】△ABC(SSS)④【知识点】尺规作图与一般作图、全等三角形的判定与性质【解析】解：(1)由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，{B′C′=BC A′B′=AB A′C′=AC，∴△A′B′C′≌△ABC(SSS)．故答案为：△ABC(SSS)．(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，故答案为：④．(1)根据SSS证明三角形全等即可．(2)根据SSS证明三角形全等．本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图像信息，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为1500060000=0.25；(2)设袋子中白球的数量为x，则1212+x=0.25，解得x=36，经检验x=36是分式方程的解且符合实际，所以估计纸箱中白球的数量接近36．【知识点】利用频率估计概率、用样本估计总体【解析】(1)用发放景点吉祥物的数量除以游客的总数量即可；(2)设袋子中白球的数量为x，用袋子中红球的数量除以球的总个数=0.25列出方程求解即可．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21.【答案】(1)证明：∵△AOB为等边三角形，∴∠BAO=∠AOB=60°，OA=OB，∵四边形ABCD是平行四边形∴OB=OD=12BD，OA=OC=12AC，∴BD=AC，∴▱ABCD是矩形；(2)解：∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠ABO=60°，∴∠ADB=90°−60°=30°，∴AD=√3AB=4√3．【知识点】平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质【解析】(1)由等边三角形的性质得OA=OB，再由平行四边形的性质得OB=OD=1 2BD，OA=OC=12AC，则BD=AC，即可得出结论；(2)由矩形的性质得∠BAD=90°，则∠ADB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可．本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22.【答案】解：(1)设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了(25−1−x)道题，依题意得：4x−(25−1−x)=86，解得：x=22．答：该参赛同学一共答对了22道题．(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25−y)道题，依题意得：4y−(25−y)≥90，解得：y≥23．答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．【知识点】一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用【解析】(1)设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了(25−1−x)道题，根据总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25−y)道题，根据总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，结合总得分大于或等于90分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.【答案】解：(1)证明：在△ADB和△ADC中：{AD=AD∠ADB=∠ADC BD=CD，∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B=∠ACB；(2)在Rt△ADB中，BD=√AB2−AD2=√52−42=3，∴BD=CD=3，AC=AB=CE=5，∴BE=2BD+CE=2×3+5=11，在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=√42+82=4√5，∴C△ABE=AB+BE+AE=5+11+4√5=16+4√5，S△ABE=12×BE×AD=12×11×4=22．【知识点】线段垂直平分线的概念及其性质、三角形的面积【解析】(1)通过SAS求证△ADB≌△ADC即可证明∠B=∠ACB；(2)利用勾股定理分别计算出BD和AE即可求出△ABE的周长和面积．本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握全等三角形的判定和基本性质以及勾股定理的应用是解题的关键．24.【答案】4 −1 4【知识点】二次函数综合【解析】解：(1)∵A，B关于y轴对称，∴s=−1，r=4，∴A的坐标为(1,4)，把A(1,4)代入是关于x的“T函数”中，得：t=4，故答案为r=4，s=−1，t=4；(2)当k=0时，有y=p，此时存在关于y轴对称得点，∴y=kx+p是“T函数”，当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，∴y=kx+p不是“T函数”；(3)∵y=ax2+bx+c过原点，∴c=0，∵y=ax2+bx+c是“T函数”，∴b=0，∴y=ax2，联立直线l和抛物线得：{y=ax 2y=mx+n，即：ax2−mx−n=0，x1+x2=ma ，x1x2=−na，又∵(1−x1)−1+x2=1，化简得：x1=x2，∴ma =−na，即m=−n，∴y=mx+n=mx−m，当x=1时，y=0，∴直线l必过定点(1,0)．(1)由A，B关于y轴对称求出r，s，由“T函数”的定义求出t；(2)分k=0和k≠0两种情况考虑即可；(3)先根据过原点得出c=0，再由“T函数”得出b的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l的解析式，确定经过的定点即可．本题主要考查和二次函数有关的新定义题型，关键在于读明白新定义的函数的特点，要理解本题中存在关于y轴对称的点是什么意思，过定点问题一般要先写出解析式，然后取x的值得出y．25.【答案】解：(1)如图，连接OP．∵四边形MNPQ是正方形，∴∠OMN=∠ONP=90°，MQ=PN，∵OQ=OP，∴△OMQ≌△ONP(HL)，∴OM=ON，设OM=ON=m，则MQ=2m，OQ=√OM2+MQ2=√5m，∴sin∠AOQ=MQOQ =2m√5m=2√55．(2)由(1)可知OM=ON=m，OQ=OA=√5m，MN=2m，∴AM=OA−OM=√5m−m，∴AMMN =√5m−m2m=√5−12．(3)∵AB=2R，∴OA=OB=OQ=r，∵QM=2MO，∴OM=√5R5，MQ=2√5R5，∵AB是直径，∴∠ACB=∠DCE=90°，∵∠CED=∠AEM，∴∠A=∠D，∵∠AME=∠DMB=90°，∴△AME∽△DMB，∴AMDM =EMBM，∴R−√5R 5y+2√5R5=xR+√5R5，∴y=4R25x −2√5R5，当点C与P重合时，AMAN =EMPN，∴R−√5R 5R+√5R5=2√5R5，∴x=3√5−55R，∴3√5−55R<x<2√55R.【知识点】圆的综合【解析】(1)利用全等三角形的性质证明OM=ON，设OM=ON=m，则MQ=2m，求出OQ，可得结论．(2)利用(1)中结论，求出AM，MN(用m表示即可)．(3)证明△AME∽△DMB，可得AMDM =EMBM，由此构建关系式，可得结论．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2021年湖南省永州市中考数学试卷及答案(Word解析版)
2021年湖南省永州市中考数学试卷及答案(Word解析版)湖南省永州市2021年中考数学试卷一、多项选择题（每个子题3分，共24分）。
1.（3分）（2022？永州）A.B.的倒数是（）2021c．d．2021考点：倒数．分析：根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．解答：解：∵（）×（2021）=1，∴的倒数为2021．故选d．点评：本题考查了倒数的定义，熟记概念是解题的关键．2．（3分）（2021?永州）运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器求键顺序正确的是（）a．c．．考点：计算器―数的开方分析：根据计算器上的键的功能，是先按最后按6，即可得出答案．解答：解：是先按，再按8，是先按2nd 键，再按则+的顺序先按，最后按6，，再按8，按+，按2nd键，按，最后按6，+的近似值b．，再按8，是先按2nd键，再按，故选a．点评：此题主要考查了计算器的使用方法，由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．3．（3分）（2021?永州）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（）a、 B.c.d.试验场地：中心对称图；简单几何的三视图分析：首先判断每个图形的主视图，然后结合中心对称性的定义进行判断；b、主视图是一个三角形，它不是一个中心对称的图形，所以这个选项是正确的；c、主视图是一个圆形，是一个中心对称的图形，所以这个选项是错误的；d、主视图是一个正方形，而正方形是一个中心对称的图形，所以这个选项是错误的；所以选择B.评论：这个问题考察了三个视图的知识和简单几何的中心对称性。
判断中心对称图形就是找到对称中心，旋转180度后与原始图形重合。
4.（3点）（2022？永州）如图所示，在以下条件下可以确定L1‖L2线为（）∠1=∠2∠1+∠3=180°∠3=∠5a．c．d．考点：平行线的判定．分析：平行线的判定定理有①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，根据以上内容判断即可．解答：解：a、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故本选项错误；b、∵∠5=∠3，∠1=∠5，∴∠1=∠3，即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；c、∵∠1+∠3=180°，∴l1∥l2，故本选项正确；d、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；故选c．点评：本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．5．（3分）（2021?永州）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）∠1=∠5b。
2021年中考数学专题复习 专题49 中考数式图规律型试题解法(教师版含解析)
专题49 中考数式图规律型试题解法给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．这类问题成为探索规律性问题。
主要采用归纳法解决。
1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．5.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．【例题1】(2019安徽合肥)观察下列各组式子：①26115 13133⨯-+==⨯；②1262111 353515⨯-+==⨯；③1263117 (575735)⨯-+==⨯ (1)请根据上面的规律写出第 4个式子；(2)请写出第n 个式子，并证明你发现的规律．【答案】(1)1264123797963⨯-+==⨯；(2)()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+， 证明见解析．【解析】(1)1264123797963⨯-+==⨯ (2)()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+ 证明：等式左边122121n n =+-+， ()()()()()2212121?2121?21n n n n n n -+=+-+-+ ()()()2122121?21n n n n ++-=-+ ()()6121?21n n n ⨯-=-+ ∵等式右边为()()612121n n n ⨯--⨯+，与等式左边计算出的结果相等， ∴()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+成立. 【点拨】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.【对点练习】(2019湖南益阳)观察下列等式：①3﹣2＝(﹣1)2，②5﹣2＝(﹣)2，③7﹣2＝(﹣)2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝(﹣)2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(﹣)2(n≥1的整数)．写出第6个等式为13﹣2＝(﹣)2．【例题2】(2019湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为(﹣2)n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1，则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1＝412，即(﹣2)3n＝(22)12，∴(﹣2)3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9＝(﹣2)7×(1﹣2+4)＝(﹣128)×3＝﹣384【对点练习】(2019湖南常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是( )A．0 B．1 C．7 D．8【答案】A【解析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴(2019+1)÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．【点拨】本题属于数字规律探究的问题。
2021年湖南省邵阳市中考数学试卷及答案解析
2021年湖南省邵阳市中考数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．﹣3B．0C．3D．π2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为a×108的形式，则a的值是（）A．0.192B．1.92C．19.2D．1924．（3分）如图，若数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m+n的值可能是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣25．（3分）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB=32．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（）A ．1B ．√2C ．32D ．32√26．（3分）其社区针对5月30日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000份有效问卷．经统计，制成如下数据表格．接种疫苗针数0 1 2 3 人数 2100 2280 1320 300小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）：①计算各部分扇形的圆心角分别为126°，136.8°，79.2°，18°．②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%． ③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ）A ．②①③B ．①③②C ．①②③D ．③①②7．（3分）下列数值不是不等式组{5x −1>3x −4−13x ≤23−x 的整数解的是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．18．（3分）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（ ）A ．小明修车花了15minB ．小明家距离学校1100mC ．小明修好车后花了30min 到达学校D ．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m /s9．（3分）如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点．若∠AOC ＝90°，∠BAC ＝30°，则∠AOB的大小为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°10．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y ＝﹣x +m 不经过第一象限，则关于x 的方程mx 2+x +1＝0的实数根的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）16的算术平方根是 ．12．（3分）因式分解：xy 2﹣x 3＝ ．13．（3分）如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点．若△ABC 的周长为10，则△DEF的周长为 ．14．（3分）已知点A （1，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y =3x 图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是y 1 y 2．（填“＞”“＝”或“＜”）15．（3分）如图，已知线段AB 长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧分别相交于点E ，F ； ②过E ，F 两点作直线，与线段AB 相交于点O ．则AO的长为．16．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是．17．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是钱．18．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE=45，AD＝4，则AB的长为．三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19．（8分）计算：（2021﹣π）0﹣|√3−2|﹣tan60°．20．（8分）先化简，再从﹣1，0，1，2，√2+1中选择一个合适的x 的值代入求值．（1−x x+1）÷x 2−1x 2+2x+1． 21．（8分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 是对角线AC上的两点，且AE ＝CF ．连接DE ，DF ，BE ，BF ．（1）证明：△ADE ≌△CBF ．（2）若AB ＝4√2，AE ＝2，求四边形BEDF 的周长．22．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．23．（8分）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：h ）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．周学习时间频数频率0≤t＜150.051≤t＜2200.202≤t＜3a0.353≤t＜425m4≤t≤5150.15（1）求统计表中a，m的值．（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周学习时间在哪个范围内．（3）已知该校学生约有2000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数．24．（8分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．（1）求抛物线C的对称轴．（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．①求抛物线C1的解析式．②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．26．（10分）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′．（1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时PCBC的值；若不存在，请说明理由．2021年湖南省邵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．﹣3B．0C．3D．π【分析】根据相反数的概念求解即可．解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此﹣3的相反数为3．故选：C．【点评】本题主要考查相反数的概念，熟练掌握相反数的概念并正确应用是解题的关键．2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为a×108的形式，则a的值是（）A．0.192B．1.92C．19.2D．192【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．解：192000000＝1.92×108，故a＝1.92，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）如图，若数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m+n的值可能是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【分析】根据在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大，可得：﹣3＜m＜﹣2＜0＜n ＜1，m+n的结果即可求得．解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴﹣3＜m＜﹣2＜0＜n＜1，∴m+n的值可能是﹣2．故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，确定两个实数的范围是解决本题的关键．5．（3分）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB=32．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（）A ．1B ．√2C ．32D ．32√2【分析】由旋转性质可判定△AOA '为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA '的长． 解：由旋转性质可知，OA ＝OA '＝1，∠AOA '＝90°， 则△AOA '为等腰直角三角形， ∴AA '=√OA 2+OA′2=√1+1=√2． 故选：B ．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．6．（3分）其社区针对5月30日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000份有效问卷．经统计，制成如下数据表格． 接种疫苗针数0 1 2 3 人数210022801320300小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）：①计算各部分扇形的圆心角分别为126°，136.8°，79.2°，18°．②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%． ③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ）A ．②①③B ．①③②C ．①②③D ．③①②【分析】根据制作扇形图的步骤即可求解．解：由题意可知，小杰同学制作扇形统计图的步骤为：先计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%； 再计算各部分扇形的圆心角分别为126°，136.8°，79.2°，18°；然后在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比． 故选：A ．【点评】本题考查了扇形统计图，扇形图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．制作扇形图的步骤如下：①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来． 7．（3分）下列数值不是不等式组{5x −1>3x −4−13x ≤23−x的整数解的是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【分析】先分别求每个不等式的解集，取其解集的公共部分作为不等式组的解集，然后再确定其整数解． 解：{5x −1>3x −4①−13x ≤23−x②， 解不等式①，得：x ＞−32， 解不等式②，得：x ≤1，∴不等式组的解集为：−32＜x ≤1， ∴不等式组的整数解为﹣1，0，1， 故选：A ．【点评】本题考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的步骤准确计算是解题关键．8．（3分）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（）A．小明修车花了15minB．小明家距离学校1100mC．小明修好车后花了30min到达学校D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图象的纵坐标，可得路程．解：A．由横坐标看出，小明修车时间为20﹣5＝15(分钟)，故本选项符合题意；B．由纵坐标看出，小明家学校离家的距离为2100米，故本选项不合题意；C．由横坐标看出，小明修好车后花了30﹣20＝10(min)到达学校，故本选项不合题意；D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2100﹣1100）÷10＝100（米/分钟）=53（m/s），故本选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间，函数图象的纵坐标得出路程是解题关键．9．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB 的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．̂，解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为BC由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．10．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1或2个【分析】由直线解析式求得m≤0,然后确定△的符号即可．解：∵直线y＝﹣x+m不经过第一象限，∴m≤0,当m＝0时，方程mx2+x+1＝0是一次方程，有一个根，当m＜0时，∵关于x的方程mx2+x+1＝0,∴△＝12﹣4m＞0,∴关于x的方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根，故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）16的算术平方根是4．【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．解：∵42＝16，∴√16=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．12．（3分）因式分解：xy2﹣x3＝x(y+x)(y﹣x)．【分析】首先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可．解：xy2﹣x3＝x(y2﹣x2)＝x(y+x)(y﹣x)．故答案为：x(y+x)(y﹣x)．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．13．（3分）如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF 的周长为5．【分析】根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴FD、FE、DE为△ABC中位线，∴DF=12AC，FE=12AB，DE=12BC；∴DF+FE+DE=12AC+12AB+12BC=12（AB+AC+CB）=12×10＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的关键．14．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=3x图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1＞y2．（填“＞”“＝”或“＜”）【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论．解：∵反比例函数y=3x中，k＝3＞0，∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵A （1，y 1），B （2，y 2）， ∴点A 、B 都在第一象限， 又1＜2， ∴y 1＞y 2， 故答案为：＞．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．15．（3分）如图，已知线段AB 长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧分别相交于点E ，F ；②过E ，F 两点作直线，与线段AB 相交于点O ． 则AO 的长为 2 ．【分析】直接利用基本作图方法得出EF 垂直平分AB ,即可得出答案． 解：由基本作图方法可得：EF 垂直平分AB , ∵AB ＝4, ∴AO =12AB ＝2． 故答案为：2．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．16．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是13．【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径， ∴它有6种路径， ∵获得食物的有2种路径， ∴它遇到食物的概率是：26=13．故答案为：13．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．17．（3分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下： 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？ 该问题中物品的价值是 53 钱．【分析】设有x 人，物品的价值为y 钱，由题意：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．列出方程组，解方程组即可． 解：设有x 人，物品的价值为y 钱， 依题意，得：{y =8x −3y =7x +4，解得：{x =7y =53，即该问题中物品的价值是53钱， 故答案为：53．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．（3分）如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为点E ．若sin ∠ADE =45，AD ＝4，则AB 的长为 3 ．【分析】易证∠ACD ＝∠ADE ，由矩形的性质得出∠BAC ＝∠ACD ，则BC AC=45，由此得到AC =BC45=445=5，最后由勾股定理得出结果．解：∵DE ⊥AC ， ∴∠ADE +∠CAD ＝90°， ∵∠ACD +∠CAD ＝90°， ∴∠ACD ＝∠ADE ，∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ， ∴∠BAC ＝∠ACD ， ∵sin ∠ADE =45， ∴BC AC=45，∴AC =BC45=445=5，由勾股定理得，AB =√AC 2−BC 2=√52−42=3， 故答案为：3．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握勾股定理与解直角三角形是解题的关键．三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19．（8分）计算：（2021﹣π）0﹣|√3−2|﹣tan60°．【分析】结合零指数幂，绝对值的化简和60°角的正切值可以求出结果． 解：原式＝1﹣（2−√3）−√3 ＝1﹣2+√3−√3 ＝﹣1．【点评】本题虽是一个简单的计算题，在平时的考试中也属解答题中的简单题型，但主要是想通过这种题型，考查学生对于零指数幂、绝对值的化简和特殊角的三角函数值的掌握情况．解题的时候需要注意绝对值化简时符号的确定，这是学生失分最多的点． 20．（8分）先化简，再从﹣1，0，1，2，√2+1中选择一个合适的x 的值代入求值．（1−x x+1）÷x 2−1x 2+2x+1．【分析】先计算分式的混合运算进行化简，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后根据分式成立的条件确定x 的取值，代入求值即可．解：原式=x+1−x x+1⋅(x+1)2(x+1)(x−1)=1x−1， 又∵x ≠±1，∴x 可以取0，此时原式＝﹣1； x 可以取2，此时原式＝1； x 可以取√2+1，此时原式=1√2+1−1=√22． 【点评】本题考查分式的混合运算，分式成立的条件及二次根式的运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．21．（8分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝CF ．连接DE ，DF ，BE ，BF ． （1）证明：△ADE ≌△CBF ．（2）若AB ＝4√2，AE ＝2，求四边形BEDF 的周长．【分析】（1）由正方形对角线性质可得∠DAE ＝∠BCF ＝45°，再由SAS 可证△ADE ≌△CBF ；（2）由正方形性质及勾股定理可求得BD ＝AC ＝8，DO ＝BO ＝4．再证明四边形BEDF 为菱形，因为AE ＝CF ＝2，所以可得OE ＝2，在Rt △DOE 中用勾股定理求得DE ＝2√5，进而四边形BEDF 的周长为4DE ，即可求得答案．解；（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE ＝∠BCF ＝45°， 在△ADE 和△CBF 中， {AD =BC∠DAE =∠BCF AE =CF， ∴△ADE ≌△CBF （SAS ）． （2）∵AB ＝AD =4√2，∴BD =√AB 2+AD 2=√(4√2)2+(4√2)2=8，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC ＝BD ＝8，DO ＝BO ＝4，OA ＝OC ＝4， 又AE ＝CF ＝2， ∴OA ﹣AE ＝OC ﹣CF , 即OE ＝OF ＝4﹣2＝2， 故四边形BEDF 为菱形． ∵∠DOE ＝90°，∴DE =√DO 2+EO 2=√42+22=2√5． ∴4DE =8√5故四边形BEDF 的周长为8√5．【点评】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键．22．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．【分析】设钢笔购买了x 支，笔记本购买了y 本，篮球个数+钢笔支数+笔记本本数＝56，篮球总价+钢笔总价+笔记本总价＝1000，利用这两个相等关系列出二元一次方程组，解出即得钢笔和笔记本的数量，乘以各自单价即得各自总价． 解：设钢笔购买了x 支，笔记本购买了y 本． 由题意得：{x +y +6=5615x +5y +600=1000，解得：{x =15y =35，∴15×15＝225（元），35×5＝175（元），答：钢笔购买了15支共225元，笔记本购买了35本共175元．【点评】仔细观察发票中的数据，理解合计中的数量即为所购买的篮球、钢笔、笔记本的总数，合计中的金额即为所购买的篮球、钢笔、笔记本的总价和，这是找到相等关系，列出方程组解决问题的关键．23．（8分）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：h ）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．周学习时间频数频率0≤t＜150.051≤t＜2200.202≤t＜3a0.353≤t＜425m4≤t≤5150.15（1）求统计表中a，m的值．（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周学习时间在哪个范围内．（3）已知该校学生约有2000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数．【分析】（1）由周学习时间在0≤t＜1的频数及频率求出样本容量，再由频率＝频数÷样本容量求解即可得出答案；（2）根据中位数的定义可得答案；（3）用总人数乘以样本中3≤t＜4、4≤t≤5的频率和．解：（1）∵样本容量为5÷0.05＝100，∴a＝100×0.35＝35，m＝25÷100＝0.25；（2）∵一共有100个数据，其中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在2≤t＜3范围内，∴甲同学的周学习时间在2≤t＜3范围内；（3）估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数为2000×（0.25+0.15）＝800（人）．【点评】本题考查的是频数（率）分布表、中位数及样本估计总体的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．24．（8分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．（2）根据S阴=12•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．解：（1）设∠BAC＝n°．由题意得π•DE=nπ⋅AD180,AD＝2DE,∴n＝90,∴∠BAC＝90°．(2)∵AD＝2DE＝10(cm),∴S阴=12•BC•AD﹣S扇形AEF=12×10×20−90π⋅102360=(100﹣25π)cm2．【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．（1）求抛物线C的对称轴．（2）当a ＝﹣1时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C 1．①求抛物线C 1的解析式．②设抛物线C 1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线C 1上一动点，过点D 作DE ⊥OA 于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同，故上述两点关于抛物线对称轴对称，即可求解；（2）①用待定系数法即可求解；②当以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似时，则tan ∠DOE ＝2或12，即tan ∠DOE =DE OE =−m 2+m+2m =2或12，即可求解． 解：（1）∵点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同， 故上述两点关于抛物线对称轴对称， 故抛物线的对称轴为直线x =12（1+4）=52；（2）①由题意得：{−1+b +c =0−16+4b +c =0，解得{b =5c =−3，故原抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+5x ﹣3；由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y ＝﹣（x +2）2+5（x +2）﹣3﹣1＝﹣x 2+x +2；②存在，理由：令y ＝﹣x 2+x +2＝0，解得x ＝﹣1或2，令x ＝0，则y ＝2， 故点B 、A 的坐标分别为（﹣1,0）、（2,0），点C （0,2）； ∵tan ∠BCO =OBCO =12， 同理可得：tan ∠CBO ＝2，当以点O ，D ，E 为顶点的三角形与△BOC 相似时， 则tan ∠DOE ＝2或12，设点D 的坐标为（m ，﹣m 2+m +2）， 则tan ∠DOE =DE OE =−m 2+m+2m =2或12， 解得：m ＝﹣2（舍去）或1或1−√332（舍去）或1+√332，故m ＝1或1+√332．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．26．（10分）如图，在Rt △ABC 中，点P 为斜边BC 上一动点，将△ABP 沿直线AP 折叠，使得点B 的对应点为B ′，连接AB ′，CB ′，BB ′，PB ′． （1）如图①，若PB ′⊥AC ，证明：PB ′＝AB ′．（2）如图②，若AB ＝AC ，BP ＝3PC ，求cos ∠B ′AC 的值．（3）如图③，若∠ACB ＝30°，是否存在点P ，使得AB ＝CB ′．若存在，求此时PC BC的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）易证PB '∥AB ．所以∠B 'P A ＝∠BAP ，又由折叠可知∠BAP ＝∠B 'AP ，所以。
湖南省岳阳市2021年中考数学试卷 (Word版,含答案与解析)
湖南省岳阳市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2021·岳阳）在实数 √3 ，-1，0，2中，为负数的是（ ）A. √3B. -1C. 0D. 2 【答案】 B 【考点】正数和负数的认识及应用【解析】【解答】解：A 、 √3 是正数；B 、1是正数，在正数的前面加上“-”的数是负数，所以，-1是负数；C 、0既不是正数，也不是负数；D 、2是正数.故答案为：B【分析】负数小于0，据此判断即可.2.（2021·岳阳）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】 A【考点】轴对称图形【解析】【解答】A. 是轴对称图形，符合题意；B. 不是轴对称图形，不符合题意；C. 不是轴对称图形，不符合题意；D. 不是轴对称图形，不符合题意；故答案为：A.【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐一判断即可.3.（2021·岳阳）下列运算结果正确的是（ ）A. 3a −a =2B. a 2⋅a 4=a 8C. (a +2)(a −2)=a 2−4D. (−a)2=−a 2【答案】 C【考点】同底数幂的乘法，平方差公式及应用，有理数的乘方，合并同类项法则及应用【解析】【解答】解：A 、3a −a =2a ，因此错误；B 、 a 2·a 4=a 6 ，因此错误;C 、 (a +2)(a −2)=a 2−4 ，因此正确；D 、 (−a)2=a 2 ，因此错误；故答案为：C.【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式及幂的乘方分别计算，然后判断即可.4.（2021·岳阳）已知不等式组 {x −1<02x ≥−4，其解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】 D【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组【解析】【解答】解： {x −1<02x ≥−4①② ，解不等式①得： x <1 ，解不等式②得： x ≥−2 ，∴不等式组的解集为： −2≤x <1 ，在数轴上表示为：故答案为：D.【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示，然后判断即可.5.（2021·岳阳）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线 a//b ，则 ∠1 的大小为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°【答案】 C【考点】平行线的性质【解析】【解答】∵a ∥b∴ ∠1+(45°+60°)=180° （两直线平行，同旁内角互补）∴ ∠1=75° .故答案为：C.【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行解答即可.6.（2021·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）A. 五边形的内角和是 720°B. 三角形的任意两边之和大于第三边C. 内错角相等D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】 B【考点】平行线的性质，三角形三边关系，多边形内角与外角，三角形的重心及应用【解析】【解答】A 、五边形的内角和是 540° ，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故答案为：B.【分析】根据多边形的内角和公式、三角形三边关系、平行线的性质及三角形重心的性质分别进行判断即可.7.（2021·岳阳）在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（）A. 9.0，8.9B. 8.9，8.9C. 9.0，9.0D. 8.9，9.0【答案】C【考点】平均数及其计算，众数【解析】【解答】解：该班最后得分为（9.0+9.2+9.0+8.8+9.0）÷5＝9.0（分）.故最后平均得分为9.0分.在五个有效评分中，9.0出现的次数最多，因此众数为：9.0故答案为：C.【分析】根据平均数的定义、众数的定义分别求解即可判断.8.（2021·岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形OABC中，点A(0,2)，点C(2,0)，则互异二次函数y=(x−m)2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（）A. 4，-1B. 5−√172，-1 C. 4，0 D. 5+√172，-1【答案】 D【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：由正方形的性质可知：B（2，2）；若二次函数y=(x−m)2−m与正方形OABC有交点，则共有以下四种情况:当m≤0时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有{m≤0m2−m≤2，解得：−1≤m<0；当0<m≤1时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有{0<m≤1(2−m)2−m≥0，解得：0<m≤1；当1<m≤2时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有{1<m≤2m2−m>0，解得：1<m≤2；当m>2时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有{m>2m2−m≥0(2−m)2−m≤2，解得：2<m≤5+√172；综上可得：m的最大值和最小值分别是5+√172，−1.故答案为：D.【分析】先求出点B（2，2），分四种情况：①当m≤0时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点；②当0<m≤1时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点；③当1<m≤2时，则当O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点；④当m>2时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，据此分别列出不等式组，求解即可.二、填空题9.（2021·岳阳）因式分解：x2+2x+1=________.【答案】(x+1)2【考点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】解：x2+2x+1=(x+1)2.故答案为：(x+1)2.【分析】利用完全平方公式分解即可.10.（2021·岳阳）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹.据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为________. 【答案】5.5×107【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：55000000＝5.5×107.故答案为：5.5×107.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可.11.（2021·岳阳）一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为________.【答案】35【考点】概率公式【解析】【解答】解：袋子中一共有5个球，从袋子中随机摸出一个小球，总的结果数是5个，其中，摸出的小球是白球的结果数为3个，因此，摸出的小球是白球的概率为35；故答案为：35.【分析】利用概率公式计算即可.12.（2021·岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为________.【答案】9【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：由题可知：“△=0”，即62−4k=0；∴k=9；故答案为：9.【分析】由关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，可得△=0，据此解答即可.13.（2021·燕山模拟）要使分式5x−1有意义，则x的取值范围为________．【答案】x≠1【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】解：由题意得x-1≠0,∴x≠1.故答案为x≠1.【分析】先求出x-1≠0，再求取值范围即可。
2021年湖南省株洲市中考数学真题 解析版
2021年湖南省株洲市中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）1．若a的倒数为2，则a＝（）A．B．2C．﹣D．﹣2【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．【解答】解：∵a的倒数为2，∴a＝．故选：A．2．方程﹣1＝2的解是（）A．x＝2B．x＝3C．x＝5D．x＝6【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：﹣1＝2，移项，得＝2+1，合并同类项，得＝3，系数化成1，得x＝6，故选：D．3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（）A．38°B．48°C．58°D．66°【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．【解答】解：∵∠DCE＝132°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣132°＝48°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠DCB＝48°，故选：B．4．某月1日﹣10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（）A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加B．1日﹣6日，乙的步数逐天减少C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多【分析】根据图中给出的甲乙两人这10天的数据，依次判断A，B，C，D选项即可．【解答】解：A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加；故A正确，不符合题意；B．1日﹣5日，乙的步数逐天减少；6日步数的比5日的步数多，故B错误，符合题意；C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等；故C正确，不符合题意；D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多；故D正确，不符合题意；故选：B．5．计算：＝（）A．﹣2B．﹣2C．﹣D．2【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：﹣4×＝﹣4×＝﹣2．故选：A．6．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（）A．1.8升B．16升C．18升D．50升【分析】先将单位换成升，根据：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列式可得结论．【解答】解：根据题意得：3斗＝30升，设可以换得的粝米为x升，则＝，解得：x＝＝18（升），答：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．故选：C．7．不等式组的解集为（）A．x＜1B．x≤2C．1＜x≤2D．无解【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，解不等式﹣x+1＞0，得：x＜1，则不等式组的解集为x＜1．故选：A．8．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠F AI＝（）A．10°B．12°C．14°D．15°【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠F AB＝120°,∠IAB＝108°,∴∠F AI＝∠F AB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°,故选：B．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（）A．M＜﹣1B．﹣1＜M＜0C．M＜0D．M＞0【分析】由图象得x＝1时，y＜0即a+b+c＜0，当y＝0时，得与x轴两个交点，x1x2＝＜0，即可判断M的范围．【解答】解：∵OP＝1，P不在抛物线上，∴当抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），x＝1时，y＝a+b+c＜0，当抛物线y＝0时，得ax2+bx+c＝0，由图象知x1x2＝＜0，∴ac＜0，∴ac（a+b+c）＞0，即M＞0，故选：D．10．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据题意列出h和角度之间的关系式即可判断．【解答】解：由题知，限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2×sinα，①当α＝90°时，h＜（1.4+2）米，即h＜3.4米即可通过该闸口，故①正确；②当α＝45°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜2.814米即可通过该闸口，故②正确；③当α＝60°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜3.132米即可通过该闸口，故③不正确；故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．计算：（2a）2•a3＝4a5．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：（2a）2•a3＝4a2•a3＝（4×1）（a2•a3）＝4a5．故答案为4a5．12．因式分解：6x2﹣4xy＝2x(3x﹣2y)．【分析】直接提取公因式2x,即可分解因式得出答案．【解答】解：6x2﹣4xy＝2x(3x﹣2y)．故答案为：2x(3x﹣2y)．13．据报道，2021年全国高考报名人数为1078万，将1078万用科学记数法表示为1.078×10n，则n＝7．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：1078万＝10780000＝1.078×107，则n＝7．故答案为：7．14．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，∴两次都是“正面朝上”的概率＝．故答案为：．15．如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝4．【分析】由矩形的性质可得AB＝2OD＝4，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵四边形ADBE是矩形，∴AB＝DE，AO＝BO，DO＝OE，∴AB＝DE＝2OD＝4，∵AB＝AC，∴AC＝4，故答案为4．16．中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：中药黄芪焦山楂当归806090销售单价（单位：元/千克）销售额（单位：元）120120360则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为 2.5千克．【分析】利用销售数量＝销售额÷销售单价，可分别求出黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售数量，再求出三者的算术平均数即可得出结论．【解答】解：黄芪的销售量为120÷80＝1.5（千克），焦山楂的销售量为120÷60＝2（千克），当归的销售量为360÷90＝4（千克）．该中药房的这三种中药的平均销售量为＝2.5（千克）．故答案为：2.5．17．点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是k＜0．【分析】根据反比例函数的性质，即可解决问题．【解答】解：∵点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，又∵0＜x1＜x1+1时，y1＜y2，∴函数图象在二四象限，∴k＜0，故答案为k＜0．18．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝21度．【分析】由点P与点A关于直线DQ对称求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠DDB 和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和即可求解．【解答】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝24°，∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形，∴∠DDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，∴∠CDP＝∠DDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝138°，∵AD＝DP，CD＝AD，∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形，∴∠DCP＝（180°﹣∠CDP）＝21°．故答案为：21．三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．（6分）计算：|﹣2|+sin60°﹣2﹣1．【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+×﹣＝2+﹣＝3．20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝﹣,当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．21．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．（1）求证：四边形BFED是平行四边形；（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．【分析】（1）由矩形的性质可得DC∥AB，可得结论；（2）由平行四边形的性质可得DB∥EF，可证∠ABD＝∠F，由锐角三角函数可求解．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，又∵DE＝BF，∴四边形DEFB是平行四边形；（2）∵四边形DEFB是平行四边形，∴DB∥EF，∴∠ABD＝∠F，∴tan∠ABD＝tan F＝，∴，又∵BF＝2，∴BG＝．22．（10分）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．（1）求线段FG的长度；（2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．【分析】（1）在Rt△FGH中，由FG＝2FH，可得结论．（2）求出GE，利用弧长公式求解即可．【解答】解：（1）∵GM∥P A，∴∠FGH＝∠FBP＝30°，∵FH⊥GM，∴∠FHG＝90°，∴FG＝2FH＝（米）．（2）∵EF＝4米，FG＝米．∴EG＝EF﹣FG＝4﹣＝（米），∵∠ABA1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BA＝米，∴点A运动至点A2所经过的路程＝+＝4（米）．23．（10分）目前，国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：BMI＝（G表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米）．已知某区域成人的BMI数值标准为：BMI＜16为瘦弱（不健康）；16≤BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖（不健康）．某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的BMI数值后统计：（男性身体属性与人数统计表）身体属性人数瘦弱2偏瘦2正常1偏胖9肥胖m（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的BMI数值；（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．【分析】（1）样本中身体属性为“正常”的女性人数加上样本中身体属性为“正常”的男性人数即可；（2）根据计算公式求出该女性的BMI数值即可；（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，根据抽取人数为55计算出m的值，即可求解．【解答】解：（1）9+1＝10（人），答：这个样本中身体属性为“正常”的人数是10；（2）BMI＝＝＝20,答：该女性的BMI数值为20；（3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数：≥17，这个样本中身体属性为“不健康”的女性人数：n+4+9+8+4≥27，∵2+2+1+9+m+n+4+9+8+4＝55，∴m+n＝16，由条形统计图得n＜4，,m＝13时，n＝3，这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为＝；m＝14时，n＝2，这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为＝．答：这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值为或．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象（记为Г）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Г于点E．（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U 的最大值．【分析】（1）先求出点A的横坐标，再代入直线y＝2x中求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k；先求出点C的纵坐标，代入直线y＝2x中求出点D 的横坐标，即可得出结论；（2）根据点C的纵坐标求出点E的坐标，进而求出CE＝，进而得出S1＝，由（1）知，A（1，2），D（t，t），求出DE＝﹣t，进而得出S2＝S△ADE＝t2﹣t+﹣1，进而得出U＝S1﹣S2＝﹣（t﹣1）2+，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB⊥y轴，且AB＝1，∴点A的横坐标为1，∵点A在直线y＝2x上，∴y＝2×1＝2，∴点A（1，2），∴B（0，2），∵点A在函数y＝上，∴k＝1×2＝2，∵OC＝t，∴C（0，t），∵CE∥x轴，∴点D的纵坐标为t，∵点D在直线y＝2x上，t＝2x，∴x＝t，∴点D的横坐标为t；（2）由（1）知，k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝，由（1）知，CE∥x轴，∴C（0，t），∴点E的纵坐标为t，∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴x＝，∴E（，t），∴CE＝，∵B（0，2），∴OB＝2．∴S1＝S△OBE＝OB•CE＝×2×＝由（1）知，A（1，2），D（t，t），∴DE＝﹣t，∵CE∥x轴，∴S2＝S△ADE＝DE（y A﹣y D）＝（﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+﹣1，∴U＝S1﹣S2＝﹣（t2﹣t+﹣1）＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣1）2+，∵点C在线段OB上（不含端点），∴0＜t＜2，∴当t＝1时，U最大＝．25．（13分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．①求证：△ACD∽△OBE；②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ECF＝90°，可得结论．（2）①证明∠DAC＝∠EOB，∠DCA＝∠EBO，可得结论．②利用相似三角形的性质求出AC，再求出CM，CG，可得结论．【解答】（1）证明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3OE，∴9（EF2﹣CF2）＝9EC2，∴EF2＝EC2+CF2，∴∠ECF＝90°，∴OC⊥CF，∴直线CF是⊙O的切线．（2）①证明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝2∠BOC，∴∠DAC＝∠EOB，∵∠DCA＝∠EBO，∴△ACD∽△OBE．②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，∴OB：OE＝3：2，∵△ACD∽△OBE，∴＝，∴＝＝，∵AD＝4，∴AC＝6，∵M是AC的中点，∴CM＝MA＝3，∵EG∥OA，∴＝＝，∴CG＝2，∴MG＝CM﹣CG＝3﹣2＝1．26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1．①求证：△AOC≌△DOB；②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值．【分析】（1）△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4××（﹣2）＝8；（2）①由x1+x2＝﹣得到x2＝﹣c＝OC，进而求解；②证明∠CBD＝∠AFO，而tan∠CBD＝＝＝，tan∠AFO＝＝＝＝tan∠CBD＝，即可求解．【解答】解：（1）当若a＝，b＝c＝﹣2时，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4××（﹣2）＝8；（2）①设ax2+bx+c＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，则+x1＝﹣x2＝c，即x2＝﹣c＝OC，x1＝÷x2＝﹣，∵OB＝x2＝CO，∠ACO＝∠ABD，∠COA＝∠BOD＝90°，∴△AOC≌△DOB（AAS）；②∵∠OCA＝∠CAF+∠CF A，∠ACO＝∠CAF+∠CBD，∴∠CBD＝∠AFO，∵OB＝OC，故∠OCD＝45°，∵CD＝OC﹣OD＝OC﹣OA＝﹣c﹣，则DE＝CD＝﹣（c+）＝CE，则BE＝BC﹣CE＝OB﹣CE＝﹣c+（﹣c+），则tan∠CBD＝＝＝，而tan∠AFO＝＝＝＝tan∠CBD＝，解得ca＝﹣2，而＝＝﹣ac＝2，故的值为2．。
2021年湖南省常德市中考数学试卷(附答案)
2021年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）4的倒数为()A．14B．2C．1D．4-2．（3分）若a b>，下列不等式不一定成立的是()A．55a b->-B．55a b-<-C．a bc c>D．a c b c+>+3．（3分）一个多边形的内角和为1800︒，则这个多边形的边数为() A．10B．11C．12D．13 4．（3分）下列计算正确的是()A．326a a a⋅=B．224a a a+=C．325()a a=D．32(0) aa aa=≠5．（3分）舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．正确统计步骤的顺序是()A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①6．（3分）计算：5151(1)(22++-⋅=)A．0B．1C．2D．51 2 -7．（3分）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P．则下列结论成立的是()A．12BE AE=B．PC PD=C ．90EAF AFD ∠+∠=︒ D ．PE EC =8．（3分）阅读理解：如果一个正整数m 能表示为两个正整数a ，b 的平方和，即22m a b =+，那么称m 为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是( ) A ．②④B ．①②④C ．①②D ．①④二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）不等式23x x ->的解集是 ．10．（3分）今年5月11日，国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口141178万人．用科学记数法表示此数为 ．11．（3分）在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是 班．人数 平均数 中位数 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班4587895.812．（3分）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为 ． 13．（3分）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，80BOD ∠=︒，则BCD ∠= ．14．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ，若3CD =，5BD =，则BE 的长为 ．15．（3分）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中16为红珠，14为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有 个．16．（3分）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格中所有线段的和为 .（用含n 的代数式表示）三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分） 17．（5分）计算：012021392sin 45-+⋅-︒． 18．（5分）解方程：220x x --=．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 19．（6分）化简：2593()111a a a a a a +++÷---． 20．（6分）如图，在Rt AOB ∆中，AO BO ⊥，AB y ⊥轴，O 为坐标原点，A 的坐标为(,3)n ，反比例函数11k y x=的图象的一支过A 点，反比例函数22k y x =的图象的一支过B 点，过A 作AH x ⊥轴于H ，若AOH ∆的面积为32． （1）求n 的值；（2）求反比例函数2y 的解析式．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．请根据统计图回答下列问题（1）此次抽样调查的人数是多少人？（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．24．（8分）如图，在Rt ABC∠=︒，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆ABC∆中，90交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．（1）求证：FD是圆O的切线：（2）若4FB=，求AB的长．BC=，8七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，-，(8,0)，(13,10)．F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为(2,0)（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当PBQ∆的面积最大时，求P的坐标．26．（10分）如图1，在ABC=，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过∆中，AB AC点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT BN=，连接BT．（1）求证：BN CN=；（2）在图1中AN上取一点O，使AO OC=，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．①求证：TOM AOC∆∆∽；②设TM与AC相交于点P，求证：//PD CM，12PD CM=．2021年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）4的倒数为( ) A ．14B ．2C ．1D ．4-【解答】解：4的倒数为14． 故选：A ．2．（3分）若a b >，下列不等式不一定成立的是( ) A ．55a b ->-B ．55a b -<-C ．a bc c> D ．a c b c +>+【解答】解：A ．a b >，55a b ∴->-，故本选项不符合题意；B ．a b >，55a b ∴-<-，故本选项不符合题意； C ．a b >，∴当0c >时，a b c c >；当0c <时，a bc c<，故本选项符合题意； D ．a b >，a cbc ∴+>+，故本选项不符合题意；故选：C ．3．（3分）一个多边形的内角和为1800︒，则这个多边形的边数为( ) A ．10B ．11C ．12D ．13【解答】解：根据题意得： (2)1801800n -=，解得：12n =． 故选：C ．4．（3分）下列计算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．224a a a +=C ．325()a a =D ．32(0)a a a a=≠【解答】解：A ．325a a a ⋅=，故本选项不合题意；B ．2222a a a +=，故本选项不合题意；C ．326()a a =，故本选项不合题意；32.(0)a D a a a=≠，故本选项符合题意； 故选：D ．5．（3分）舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．正确统计步骤的顺序是( ) A ．②→③→①→④ B ．③→④→①→② C ．①→②→④→③D ．②→④→③→①【解答】解：正确统计步骤的顺序是：从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表； 按统计表的数据绘制折线统计图；从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势． 故选：D ．6．（3分）计算：1)(= )A ．0B ．1C ．2 D【解答】解：1)===44= 1=．故选：B ．7．（3分）如图，已知F 、E 分别是正方形ABCD 的边AB 与BC 的中点，AE 与DF 交于P ．则下列结论成立的是( )A ．12BE AE =B ．PC PD =C ．90EAF AFD ∠+∠=︒ D ．PE EC =【解答】解：F 、E 分别是正方形ABCD 的边AB 与BC 的中点，AF BE ∴=，在AFD ∆和BEA ∆中， 90AF BE DAF ABE AD BA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()AFD BEA SAS ∴∆≅∆，FDA EAB ∴∠=∠，又90FDA AFD ∠+∠=︒， 90EAB AFD ∴∠+∠=︒，即90EAF AFD ∠+∠=︒，故C 正确，A 、B 、D 无法证明其成立， 故选：C ．8．（3分）阅读理解：如果一个正整数m 能表示为两个正整数a ，b 的平方和，即22m a b =+，那么称m 为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是( ) A ．②④B ．①②④C ．①②D ．①④【解答】解：①7不能表示为两个正整数的平方和， 7∴不是广义勾股数，故①结论正确；②221323=+，13∴是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误； ④设221m a b =+，222m c d =+， 则222212()()m m a b c d ⋅=+⋅+ 22222222a c a d b c b d =+++22222222(2)(2)a c b d abcd a d b c abcd =++++- 22()()ac bd ad bc =++-，当ad bc =时，12m m ⋅不是广义勾股数，∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，故④结论错误， ∴依次正确的是①②．故选：C ．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）不等式23x x ->的解集是 3x > ． 【解答】解：移项得，23x x ->， 合并得，3x >． 故答案为：3x >．10．（3分）今年5月11日，国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口141178万人．用科学记数法表示此数为 91.4117810⨯ ． 【解答】解：141178万91.4117810=⨯， 故答案为：91.4117810⨯．11．（3分）在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是 甲 班．【解答】解：甲班的中位数为91分，乙班的中位数为89分，∴甲班的中位数大于乙班的中位数， ∴甲、乙两班中优秀人数更多的是甲班，故答案为：甲． 12．（3分）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为 3x = ． 【解答】解：去分母得：12x x x -+=+， 解得：3x =，检验：把3x =代入得：(1)60x x -=≠，∴分式方程的解为3x =．故答案为：3x =．13．（3分）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，80BOD ∠=︒，则BCD ∠= 140︒ ．【解答】解：BAD ∠为BD 所对的圆周角且80BOD ∠=︒， 11804022BAD BOD ∴∠=∠=⨯︒=︒，又四边形ABCD 是圆O 的内接四边形， 180BAD BCD ∴∠+∠=︒,180********BCD BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为：140︒．14．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ，若3CD =，5BD =，则BE 的长为 4 ．【解答】解：AD 平分CAB ∠，又DE AB ⊥，DC BC ⊥，3DE DC ∴==，5BD =，2222534BE BD DE ∴=-=-=， 故答案为4．15．（3分）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中16为红珠，14为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有 20 个． 【解答】解：16为红色弹珠，14为绿色弹珠，红色弹珠和绿色弹珠的数量均为正整数，且4，6的最小公倍数为12，∴四种颜色弹珠的总数为12的整数倍，又四种颜色弹珠的总数不超过50个，∴四种颜色弹珠的总数最多为48个，此时蓝色弹珠的个数1148484882064=-⨯-⨯-=（个)．故答案为：20．16．（3分）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格中所有线段的和为 2(1)n n + .（用含n 的代数式表示）【解答】解：第一个图形有11⨯个小正方形，所有线段的和为4212=⨯⨯， 第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12223=⨯⨯， 第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24234=⨯⨯，⋅⋅⋅，按此规律，则第n 个网格中所有线段的和为2(1)n n +； 故答案为：2(1)n n +．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分） 17．（5分）计算：01202139245-+︒．【解答】解：012021345-+︒1133=+⨯- 111=+- 1=．18．（5分）解方程：220x x --=． 【解答】解：分解因式得：(2)(1)0x x -+=， 可得20x -=或10x +=， 解得：12x =，21x =-．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 19．（6分）化简：2593()111a a a a a a +++÷---． 【解答】解：2593()111a a a a a a +++÷--- (1)591[](1)(1)(1)(1)3a a a a a a a a a ++-=+⋅+-+-+ 2591(1)(1)3a a a a a a a +++-=⋅+-+ 2(3)1(1)(1)3a a a a a +-=⋅+-+ 31a a +=+．20．（6分）如图，在Rt AOB ∆中，AO BO ⊥，AB y ⊥轴，O 为坐标原点，A 的坐标为(n ，反比例函数11k y x=的图象的一支过A 点，反比例函数22k y x =的图象的一支过B 点，过A 作AH x ⊥轴于H ，若AOH ∆． （1）求n 的值；（2）求反比例函数2y 的解析式．【解答】解：（1）1322AOH S OH AH ∆=⨯⨯=,即，13322n ⨯=,1n ∴=,(2)过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ，如图所示：AO BO ⊥，AB y ⊥轴，BOQ OAH ∴∆∆∽,且3BQ AH ==∴BQ QOOH HA =,33= 3QO ∴=，点B 位于第二象限，B ∴的坐标(3)-，将点B 坐标代入反比例函数22k y x=中， 23333k =--∴反比例函数2y 的解析式为：233y -=． 五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？【解答】解：（1）设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，销售一台B型新能源汽车的利润是y万元，依题意得：25 3.12 1.3x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：0.30.5xy=⎧⎨=⎩．答：销售一台A型新能源汽车的利润是0.3万元，销售一台B型新能源汽车的利润是0.5万元．（2）设需要采购A型新能源汽车m台，则采购B型新能源汽车(22)m-台，依题意得：1215(22)300m m+-，解得：10m．答：最少需要采购A型新能源汽车10台．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．请根据统计图回答下列问题（1）此次抽样调查的人数是多少人？（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．【解答】解：（1）此次抽样调查的人数为：2010%200÷=（人)；（2）接种B类疫苗的人数的百分比为：80200100%40%÷⨯=，接种C类疫苗的人数为：20015%30⨯=（人)；（3）18000(135%)11700⨯-=（人)，即估计该小区所居住的18000名居民中有11700人进行了新冠疫苗接种．（4）画树状图如图：共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，∴恰好抽到一男和一女的概率为123 205=．24．（8分）如图，在Rt ABC∆中，90ABC∠=︒，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．（1）求证：FD 是圆O 的切线： （2）若4BC =，8FB =，求AB 的长．【解答】（1）证明：连接OD ，由题可知90ABC ∠==︒，AB 为直径，90ADB BDC ∴∠==∠==︒，点E 是BC 的中点， 12DE BC BE EC ∴===， EDC ECD ∴∠==∠，又90ECD CBD ∠+∠==︒，90ABD CBD ∠+∠==︒， ECD ABD ∴∠==∠， OB 和OD 是圆的半径， ODB OBD ∴∠==∠，90ODB BDE EDC BDE ∴∠+∠==∠+∠==︒，即90ODE ∠==︒， 故：FE 是O 的切线．（2）由（1）可知122BE EC DE BC ========， 在Rt FBE ∆中，222282217FE FB BE +==+==2172FD FE DE∴==-==-，又在Rt FDO∆和Rt FBE∆中有：90FDO FBE∠==∠==︒，OFD EFB∠==∠，~FDO FBE∴∆∆，∴FD FBOD BE=，即217282OD-=，求得1712OD-==，2171AB OD∴====-，故：AB长为171-．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为(2,0)-，(8,0)，(13,10)．（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当PBQ∆的面积最大时，求P的坐标．【解答】解：（1）过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：由题意得90EOB DHC ∠=∠=︒， //AB CD ， EBO DCH ∴∠=∠， EBO DCH ∴∆∆∽，∴BO EOCH DH=， (2,0)B -、(8,0)C 、(13,10)D ， 2BO ∴=，1385CH =-=，10DH =，∴2510EO=， 解得：4EO =，∴点E 坐标为(0,4)，设过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为：(2)(8)y a x x =+-，将E 点代入得： 42(8)a =⨯⨯-， 解得：14a =-，∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为：2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++； （2）抛物线的顶点在直线EF 上，理由如下：由（1）可知该抛物线对称轴为直线323122()4b x a =-=-=⨯-，当3x =时，254y =，∴该抛物线的顶点坐标为25(3,)4， 又F 是AD 的中点，(8,10)F ∴，设直线EF 的解析式为：y kx b =+，将(0,4)E ，(8,10)F 代入得， 4108b k b =⎧⎨=+⎩解得：344k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线EF 解析式为：344y x =+， 把3x =代入直线EF 解析式中得：254y =， 故抛物线的顶点在直线EF 上； （3）由（1）（2）可知：(3,10)A ，设直线AB 的解析式为：y k x b ''=+，将(2,0)B -，(3,10)A 代入得： 02103k b k b ''=-+⎧⎨''=+⎩，解得：24k b '=⎧⎨'=⎩， ∴直线AB 的解析式为：24y x =+，//FQ AB ，故可设：直线FQ 的解析式为：12y x b =+，将(8,10)F 代入得： 16b =-，∴直线FQ 的解析式为：26y x =-，当0x =时，6y =-， Q ∴点坐标为(0,6)-，设(0,)M m ，直线BM 的解析式为：22y k x b =+，将M 、B 点代入得： 22202m b k b =⎧⎨=-+⎩，解得：222m k b m⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BM 的解析式为：2my x m =+， 点P 为直线BM 与抛物线的交点，∴联立方程组有：2213442m y x m y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩， 化简得：(2)(82)0x x m +-+=，解得：12x =-（舍去），282x m =-，∴点P 的横坐标为：82m -，则此时，2111121(||||)(6)(822)()2224PBQ P B S MQ x x m m m ∆=⨯⨯+=⨯+⨯-+=-++， 10a =-<，∴当12m =-时，S 取得最大值，∴点P 横坐标为182()92-⨯-=， 将9x =代入抛物线解析式中114y =-， 综上所述，当PBQ ∆的面积最大时，P 的坐标为11(9,)4-． 26．（10分）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，N 是BC 边上的一点，D 为AN 的中点，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于T ，且AT BN =，连接BT ．（1）求证：BN CN =；（2）在图1中AN 上取一点O ，使AO OC =，作N 关于边AC 的对称点M ，连接MT 、MO 、OC 、OT 、CM 得图2．①求证：TOM AOC ∆∆∽；②设TM 与AC 相交于点P ，求证：//PD CM ，12PD CM =．【解答】证明：（1）//AT BC ，ATD BCD ∴∠=∠，点D 是AN 的中点， AD DN ∴=，在ATD ∆和NCD ∆中， ATD BCD ADT CDN AD DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ATD NCD AAS ∴∆≅∆， CN AT ∴=，TD DC =， AT BN =，BN CN ∴=；（2）①AT BN =，//AT BN ， ∴四边形ATBN 是平行四边形， AB AC =，BN CN =， AN BC ∴⊥，∴平行四边形ATBN 是矩形， 90TAN ∴∠=︒，点M ，点N 关于AC 对称， CN MC ∴=，ACN ACM ∠=∠， AT CM ∴=，OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠，90OAC ACN ∠+∠=︒，90OCA ACM OCM ∴∠+∠=︒=∠， OCM TAN ∴∠=∠， 又AT CM =，OA OC =， ()TAO MCO SAS ∴∆≅∆， OT OM ∴=，TOA COM ∠=∠， TOM AOC ∴∠=∠，OT OM OA OC=， TOM AOC ∴∆∆∽；②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，EM CM AT∴==，MEC MCE∴∠=∠，90CAN ACN∠+∠=︒，90CAN ACM∴∠+∠=︒，180TAN NAC ACM∴∠+∠+∠=︒，180TAC ACM∴∠+∠=︒，又180AEM CEM∠+∠=︒，TAC AEM∴∠=∠，//AT EM∴，∴四边形ATEM是平行四边形，TP PM∴=，又TD DC=，//PD CM ∴，12PD CM=．。
2021年湖南省永州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
永州市2021年初中学业水平考试数学（试题卷）（满分150分，考试时量120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．﹣|﹣2021|的相反数为（）A．﹣2021 B．2021 C．﹣D．2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（）A．B．C．D．3．据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（）A．24×103B．2.4×104C．2.4×105D．0.24×1054．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（）A．27 B．12 C．7 D．55．下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1 B．tan30°＝C．＝±2 D．a2•a3＝a66．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．77．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）A．B．C．D．9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（）A．B．C．D．10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5 B．2 C．1 D．0二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是个．12．已知二次根式有意义，则x的取值范围是．13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：．14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是．15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为．16．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段PA+PB的值最小，则点P的坐标是．17．已知函数y＝，若y＝2，则x＝．18．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：（1）43xy•47xy＝（）x+y；（2）+＝．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．20．（8分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．21．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动，根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．200名学生党史知识竞赛成绩的频数表请结合图表解决下列问题：（1）频数表中，a＝ ，b ＝ ；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 组；（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．22．（10分）如图，已知点A ，D ，C ，B 在同一条直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，AE ∥BF ．（1）求证：△AEC ≌△BFD ．（2）判断四边形DECF 的形状，并证明．23．（10分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A 、B 两种经济作物．预计B 种经济作物亩产值比A 种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A 种经济作物年总产值20万元，B 种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A 、B 两种经济作物应各种植多少亩？24．（10分）已知锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，边角总满足关系式：＝＝．（1）如图1，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD （如图2所示），若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝，求景观桥CD 的长度．25．（12分）如图1，AB 是⊙O 的直径，点E 是⊙O 上一动点，且不与A ，B 两点重合，∠EAB 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 作CD ⊥AE ，交AE 的延长线于点D ．组别频数 频率 A 组（60.5～70.5）a 0.3 B 组（70.5～80.5）30 0.15 C 组（80.5～90.5）50 b D 组（90.5～100.5） 60 0.3（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC2＝2AD•AO；（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．26．（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．﹣|﹣2021|的相反数为（）A．﹣2021 B．2021 C．﹣D．【知识考点】相反数；绝对值．【思路分析】根据绝对值的定义、相反数的定义解题即可．【解题过程】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，∴﹣2021的相反数为2021．故选：B．【总结归纳】本题考查绝对值的定义、相反数的定义．。
2021年湖南省中考数学真题分类汇编：数与式(附答案解析)
2021年湖南省中考数学真题分类汇编：数与式一．选择题（共10小题）1．（2021•郴州）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a5C．＝3D．（a+b）2＝a2+b22．（2021•娄底）2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（）A．0.5×105B．5×104C．50×104D．5×105 3．（2021•衡阳）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（）A．98.99×106B．9.899×107C．9899×104D．0.09899×1084．（2021•衡阳）下列计算正确的是（）A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝3 5．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（）A．B．C．D．6．（2021•永州）下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a6 7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．4 8．（2021•常德）计算：（﹣1）•＝（）A．0B．1C．2D．9．（2021•衡阳）下列运算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a3）2D．（a3）2 10．（2021•湘西州）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•＝D．1+＝二．填空题（共10小题）11．（2021•岳阳）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为．12．（2021•郴州）使有意义的x的取值范围是．13．（2021•湘西州）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为．14．（2021•岳阳）已知x+＝，则代数式x+﹣＝．15．（2021•怀化）比较大小：（填写“＞”或“＜”或“＝”）．16．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．17．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n ＝.（用含n的式子表达）18．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是．19．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为.（用含n的代数式表示）20．（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝．三．解答题（共10小题）21．（2021•郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．22．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．23．（2021•怀化）计算：．24．（2021•湘西州）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．25．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．26．（2021•娄底）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．27．（2021•怀化）先化简，再求值：，其中x＝．28．（2021•株洲）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．29．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．30．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．2021年湖南省中考数学真题分类汇编：数与式参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•郴州）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a5C．＝3D．（a+b）2＝a2+b2【考点】算术平方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【专题】整式；二次根式；运算能力．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，二次根式的性质以及完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：A．x2•x3＝x5，故A选项不符合题意；B．（a3）2＝a6，故B选项不符合题意；C．，故C选项符合题意；D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，牢记完全平方公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算，注意二次根式的化简是解题的关键．2．（2021•娄底）2021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加．阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚．5万用科学记数法表示为（）A．0.5×105B．5×104C．50×104D．5×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：5万＝50000＝5×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．3．（2021•衡阳）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（）A．98.99×106B．9.899×107C．9899×104D．0.09899×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：98990000＝9.899×107，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2021•衡阳）下列计算正确的是（）A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝3【考点】算术平方根；立方根；零指数幂．【专题】计算题；数据分析观念；运算能力．【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．【解答】解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意；根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义、公式a0＝1(a≠0)的运用等知识点，熟记运算法则是解题关键．5．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：＝＝，故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．6．（2021•永州）下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a6【考点】算术平方根；同底数幂的乘法；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；整式；数感；运算能力．【分析】根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可．【解答】解：A．因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；B．tan30°＝，因此选项B不符合题意；C.＝2，因此选项C不符合题意；D．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法，掌握零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法的计算方法是正确判断的前提．7．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．4【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系．【专题】二次根式；符号意识．【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴+＝m﹣3+7﹣m＝4．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．8．（2021•常德）计算：（﹣1）•＝（）A．0B．1C．2D．【考点】二次根式的混合运算．【专题】二次根式；运算能力．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣1）•＝×＝×＝＝＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．9．（2021•衡阳）下列运算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a3）2D．（a3）2【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A．a2•a3＝a5,故此选项不合题意；B．a12÷a2＝a10,故此选项不合题意；C．（a3）2＝a6,故此选项符合题意；D．（a3）2＝a6,故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．（2021•湘西州）下列计算结果正确的是（）A．（a3）2＝a5B．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2C．a÷b•＝D．1+＝【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；分式的混合运算．【专题】计算题；整式；分式；运算能力．【分析】根据幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算法则进行计算，然后作出判断．【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；B、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝（﹣bc）2＝b2c2，故此选项不符合题意；C、a÷b•，正确，故此选项符合题意；D、1+，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查幂的乘方，幂的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题基础．二．填空题（共10小题）11．（2021•岳阳）2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为 5.5×107．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】根据科学记数法的方法对55000000进行科学记数即可．【解答】解：55000000＝5.5×107，故答案为：5.5×107．【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的基本方法是解题的关键．12．（2021•郴州）使有意义的x的取值范围是x＞0．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；符号意识．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围．【解答】解：使有意义，则≥0且x≠0，解得：x＞0．故答案为：x＞0．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．13．（2021•湘西州）北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约400000m，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，400000用科学记数法可以表示为4×105．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：400000＝4×105．故答案为：4×105．【点评】本题考查了用科学记数法表示较大的数．掌握用科学记数法表示较大数的方法是解决本题的关键．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（2021•岳阳）已知x+＝，则代数式x+﹣＝0．【考点】二次根式的化简求值．【专题】二次根式；运算能力．【分析】把x+的值代入计算即可．【解答】解：∵x+＝，∴x+﹣＝﹣＝0，故答案为：0．【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的减法法则是解题的关键．15．（2021•怀化）比较大小：＞（填写“＞”或“＜”或“＝”）．【考点】算术平方根；实数大小比较．【专题】实数；数感．【分析】先估算出12，再除以2即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴＜1，即＞，故答案为：＞．【点评】本题考查了算术平方根和估算无理数的大小，能估算的范围是解此题的关键．16．（2021•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【分析】根据二次根式的被开方数不小于0，列出不等式，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，∴x≥．故答案为：x≥．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，注意整式的取值范围可以是全体实数，二次根式的被开方数不小于0，分式的分母不等于0．17．（2021•湘西州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数a n＝.（用含n的式子表达）【考点】数学常识；规律型：图形的变化类．【专题】规律型；推理能力．【分析】由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为1+2＝3；第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6；......据此即可得出第n个图形的三角形数．【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，....．第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n＝．故答案为：．【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，找到图形的序号与三角形数之间的关系是解答的关键．18．（2021•怀化）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是m2﹣m．【考点】有理数的混合运算；列代数式；规律型：数字的变化类．【专题】规律型；运算能力；创新意识．【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．【解答】解：由题意得：2100+2101+2102+ (2199)＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100，＝m2﹣m，故答案为：m2﹣m．【点评】本题主要考查数字的变化规律，观察数字变化规律并利用规律用m的代数式表示出结果是解题的关键．19．（2021•常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）.（用含n的代数式表示）【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；几何直观；应用意识．【分析】根据每个图形可得所有线段的和，找规律可得：①这些数是偶数；②这些数是三个数的积；③三个因数中有一个数是2，另外一个与图形的序号相同，最后一个比图形的序号大1，可得第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）．【解答】解：∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4，•，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）；故答案为：2n（n+1）．【点评】本题考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．20．（2021•益阳）若实数a的立方等于27，则a＝3．【考点】立方根．【专题】实数；运算能力．【分析】根据立方根的定义即可得出答案．【解答】解：∵a3＝27，∴a＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键，即：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x 叫做a的立方根．记作：．三．解答题（共10小题）21．（2021•郴州）计算：（2021﹣π）0﹣|2﹣|+（）﹣1•tan60°．【考点】绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣（2﹣2）+2×＝1﹣2+2+2＝3．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算性质是解答本题的关键．22．（2021•湘潭）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．【考点】绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1＝2﹣1+3﹣4＝0．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．23．（2021•怀化）计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2+9+4×+1＝1﹣2+9+2+1＝11．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．24．（2021•湘西州）计算：（﹣2）0﹣﹣|﹣5|+4sin45°．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】利用绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂法则、二次根式化简方法计算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣2﹣5+4×＝1﹣2﹣5+2＝﹣4．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（2021•娄底）计算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cos45°．【考点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；特殊角的三角函数值．【专题】实数；运算能力．【分析】根据零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝1++2﹣2×＝1+﹣1+2﹣＝2．【点评】本题考查了零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，考核学生的计算能力，正确进行分母有理化是解题的关键．26．（2021•娄底）先化简，再求值：•（1﹣），其中x是1、2、3中的一个合适的数．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝，由题意得：x≠1，x≠±3，当x＝2时，原式＝＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则、分式的分母不为0是解题的关键．27．（2021•怀化）先化简，再求值：，其中x＝．【考点】分式的化简求值；二次根式的混合运算．【专题】分式；运算能力．【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝+•＝+＝+＝＝＝，当x＝+2时，原式＝＝＝．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．28．（2021•株洲）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．【考点】分式的化简求值；二次根式的混合运算．【专题】分式；运算能力．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝﹣，当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．29．（2021•郴州）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（﹣）÷＝[﹣]•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝•（a﹣1）＝，当a＝时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，还要注意运算顺序．30．（2021•湘潭）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（+1）÷＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．。
2021年湖南省常德市中考数学试卷及答案
2021年湖南省常德市中考数学试卷及答案2021年湖南省常德市中考数学试卷及答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）﹣2的相反数是（） A．2B．﹣2 C．2﹣1 D．﹣2．（3分）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（） A．1B．2C．8D．113．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b| C．ab＞0 D．﹣a＞b4．（3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2B．k＞2C．k＞0 D．k＜05．（3分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派谁去参赛更合适（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．37．（3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）第1页（共18页）A． B． C． D．8．（3分）阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号并且规定：=a×d﹣b×c，例如：称为2×2阶行列式，=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=的解可以利用2×2阶行列式表示为：﹣4．二元一次方程组；其中D=，Dx=，Dy=．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组（） A．D=C．Dy=27=﹣7B．Dx=﹣14时，下面说法错误的是D．方程组的解为二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）﹣8的立方根是． 10．（3分）分式方程﹣=0的解为x= ．11．（3分）已知太阳与地球之间的平均距离约为150000000千米，用科学记数法表示为千米．12．（3分）一组数据3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位数是．13．（3分）若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是（只写一个）．14．（3分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为．视力x 4.0≤x＜4.3 第2页（共18页）频数 204.3≤x＜4.6 4.6≤x＜4.9 4.9≤x≤5.2 5.2≤x＜5.5 40 70 60 10 15．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．16．（3分）5个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的数是．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分） 17．（5分）计算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．18．（5分）求不等式组的正整数解．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．（k2≠0）20．（6分）如图，已知一次函数y1=k1x+b（k1≠0）与反比例函数y2=的图象交于A（4，1），B（n，﹣2）两点．第3页（共18页）（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时x的取值范围．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元千克，乙种水果20元/千克．（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？22．（7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）第4页（共18页）23．（8分）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．请你根据统计图回答下列问题：（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？（4）篮球教练在制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．24．（8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD 的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x 轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求第5页（共18页）M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．26．（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC?AC．第6页（共18页）2021年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 1．【解答】解：﹣2的相反数是：2．故选：A． 2．【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3， 4＜x＜10，故选：C． 3．【解答】解：由数轴可得，﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜b，故选项A错误，|a|＞|b|，故选项B错误， ab＜0，故选项C错误，﹣a＞b，故选项D正确，故选：D． 4．【解答】解：由题意，得 k﹣2＞0，解得k＞2，故选：B．第7页（共18页）5．【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，∴甲的成绩最稳定，∴派甲去参赛更好，故选：A． 6．【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cos∠C=3故选：D． 7．【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，故选：D． 8．【解答】解：A、D=B、Dx=C、Dy==﹣7，正确；，=﹣2﹣1×12=﹣14，正确； =2×12﹣1×3=21，不正确；==2，y===﹣3，正确；D、方程组的解：x=故选：C．第8页（共18页）二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分） 9．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2． 10．【解答】解：去分母得：x+2﹣3x=0，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．故答案为：1 11．【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，故答案为：1.5×108． 12．【解答】解：将数据重新排列为﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，所以这组数据的中位数为1，故答案为：1． 13．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4×2×3＞0，解得：b＜﹣2或b＞2．故答案可以为：6． 14．【解答】解：视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70，第9页（共18页）则视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为：故答案为：0.35． 15．=0.35．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°． 16．【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人心想的数是10﹣x，报3的人心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是x﹣12，所以有x﹣12+x=2×3，解得x=9．故答案为9．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分） 17．【解答】解：原式=1﹣（2=1﹣2=﹣2． 18．第10页（共18页）﹣1）+2﹣4，+1+2﹣4，【解答】解：解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤，，不等式组的解集是﹣2＜x≤，不等式组的正整数解是1，2，3，4．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分） 19．【解答】解：原式=[==x﹣3，把x=代入得：原式=﹣3=﹣． 20．【解答】解：（1）∵反比例函数y2=∴k2=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y2=．∵点B（n，﹣2）在反比例函数y2=的图象上，∴n=4÷（﹣2）=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，，解得：，（k2≠0）的图象过点A（4，1），×（x﹣3）2+]×（x﹣3）2∴一次函数的解析式为y=x﹣1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函第11页（共18页）数图象下方，∴y1＜y2时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分） 21．【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意得：解得：．，答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，∴a≤3（120﹣a），解得：a≤90．∵k=﹣10＜0，∴w随a值的增大而减小，∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元． 22．【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB?sin∠A≈0.6，AE=AB?cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD?sin∠D≈0.7，DF=CD?cos∠D≈0.7．第12页（共18页）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分） 23．【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=补全条形统计图如下：×100%=28%，（2）500×12%=60，所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；第13页（共18页）（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率= 24．（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，【解答】证明：∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，∵A、B、C、D 四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°，∵AD=DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，=．∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF．第14页（共18页）七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分） 25．【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=，∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y=x，设直线AB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，∵MN∥AB，∴设直线MN的解析式为y=2x+n，把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，，解得，解方程组得，则N（t，t），∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM =?4?t﹣?t?t =﹣t2+2t=﹣（t﹣3）2+3，当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）设Q（m，m2﹣m），∵∠OPQ=∠ACO，∴当=时，△PQO∽△COA，即=，第15页（共18页）。
2021年湖南省中考数学复习题及答案 (84)
2021年中考数学复习题24．（10分）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝58°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求出∠BOD的度数；（2）请通过计算说明：OE是否平分∠BOC．（3）与∠AOE互补的角是∠BOE和∠COE；【解答】解：（1）∵∠AOC＝58°，OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC＝29°，∴∠BOD＝180°﹣529°＝151°；（2）OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOC+∠COE＝90°，∠DOC＝29°，∴∠COE＝61°．∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝122°，∴∠COE=12∠BOC＝61°．∴∠EOC＝∠BOE＝61°，∴OE平分∠BOC．（3）与∠AOE互补的角是∠BOE和∠COE．25．（10分）已知数轴上有两点A、B，点A表示的数是4，点B表示的数是﹣11，点C是数轴上一动点．（1）如图1，若点C在点B的左侧，且BC：AB＝3：5，求点C到原点的距离．（2）如图2，若点C在A、B两点之间时，以点C为折点，将此数轴向右对折，当A、B两点之间的距离为1时，求C点在数轴上对应的数是多少？（3）如图3，在（1）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度的2倍少5个单位长度/秒．经过4秒，点P、Q之间的距离是点Q、R之间距离的一半，求动点Q的速度．【解答】解：（1）设点C表示的数为a，∵BC：AB＝3：5，∴（﹣11﹣a）：（4+11）＝3：5，∴a＝﹣20，∴点C到原点的距离为20；（2）设点C表示的数为x，根据题意得：（4﹣x）﹣（x+11）＝1，或（x+11）﹣（4﹣x）＝1，∴x＝﹣4或﹣3，∴C点在数轴上对应的数是﹣4或﹣3；（3）设点R的速度为y个单位长度/秒，则点P的速度3y个单位长度/秒，点Q的速度是（2y﹣5）个单位长度/秒，由题意得：|（﹣20+4×3y）﹣[4+4（2y﹣5）]|=12×4×（y+2y﹣5）解得：y＝3或1.4，∴2y﹣5＝1或﹣2.2（不合题意舍去）答：动点Q的速度为1个单位长度/秒．。
2021年湖南省常德市中考数学试卷(附答案详解)
2021年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.4的倒数为()A. 14B. 2C. 1D. −42.若a>b，下列不等式不一定成立的是()A. a−5>b−5B. −5a<−5bC. ac >bcD. a+c>b+c3.一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为()A. 10B. 11C. 12D. 134.下列计算正确的是()A. a3⋅a2=a6B. a2+a2=a4C. (a3)2=a5D. a3a2=a(a≠0) 5.舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表.正确统计步骤的顺序是()A. ②→③→①→④B. ③→④→①→②C. ①→②→④→③D. ②→④→③→①6.计算：(√5+12−1)⋅√5+12=()A. 0B. 1C. 2D. √5−127.如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P.则下列结论成立的是()A. BE=12AEB. PC=PDC. ∠EAF+∠AFD=90°D. PE=EC8.阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m=a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是( )A. ②④B. ①②④C. ①②D. ①④二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9. 不等式2x −3>x 的解集是______ ．10. 今年5月11日，国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口141178万人.用科学记数法表示此数为______ ．11. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是______ 班.人数 平均数 中位数 方差 甲班 45 82 91 19.3 乙班4587895.812. 分式方程1x +1x−1=x+2x(x−1)的解为______ ．13. 如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，∠BOD =80°，则∠BCD = ______ ．14. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若CD =3，BD =5，则BE 的长为______ ．15. 刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中16为红珠，14为绿珠，有8个黑珠.问刘凯的蓝珠最多有______ 个.16. 如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格中所有线段的和为______ .(用含n 的代数式表示)三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.计算：20210+3−1⋅√9−√2sin45°．18.解方程：x2−x−2=0．四、解答题（本大题共8小题，共62.0分）19.化简：(aa−1+5a+9a2−1)÷a+3a−1．20.如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，A的坐标为(n,√3)，反比例函数y1=k1x 的图象的一支过A点，反比例函数y2=k2x的图象的一支过B点，过A作AH⊥x轴于H，若△AOH的面积为√32．(1)求n的值；(2)求反比例函数y2的解析式．21.某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．(1)求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？(2)该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？22.今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆(如图所示)，星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为45°，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为23°，已知小明目高AE=1.4米，距旗杆CG的距离为15.8米，小刚目高BF=1.8米，距小明24.2米，求国旗的宽度CD是多少米？(最后结果保留一位小数)(参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245)23.我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种.为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种.图1与图2是根据此次调查得到的统计图(不完整)．请根据统计图回答下列问题(1)此次抽样调查的人数是多少人？(2)接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？(3)请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．(4)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．24.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．(1)求证：FD是圆O的切线：(2)若BC=4，FB=8，求AB的长．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为(−2,0)，(8,0)，(13,10)．(1)求过B、E、C三点的抛物线的解析式；(2)试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；(3)设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当△PBQ的面积最大时，求P的坐标．26.如图1，在△ABC中，AB=AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT=BN，连接BT．(1)求证：BN=CN；(2)在图1中AN上取一点O，使AO=OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．①求证：△TOM∽△AOC；CM．②设TM与AC相交于点P，求证：PD//CM，PD=12答案和解析1.【答案】A【知识点】倒数【解析】解：4的倒数为14．故选：A．根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，求倒数的方法，是把一个数的分子和分母互换位置即可，是带分数的化成假分数，再把分子分母互换位置，据此解答．本题主要考查倒数的意义．解题的关键是注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．2.【答案】C【知识点】不等式的基本性质【解析】解：A.∵a>b，∴a−5>b−5，故本选项不符合题意；B.∵a>b，∴−5a<−5b，故本选项不符合题意；C.∵a>b，∴当c>0时，ac >bc；当c<0时，ac<bc，故本选项符合题意；D.∵a>b，∴a+c>b+c，故本选项不符合题意；故选：C．根据不等式的性质逐个判断即可．本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．3.【答案】C【知识点】多边形内角与外角【解析】解：根据题意得：(n−2)180°=1800°，解得：n=12．故选：C．n边形的内角和是(n−2)180°，根据多边形的内角和为1800°，就得到一个关于n的方程，从而求出边数．本题根据多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为一个方程问题．4.【答案】D【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故本选项不合题意；B.a2+a2=2a2，故本选项不合题意；C.(a3)2=a6，故本选项不合题意；=a(a≠0)，故本选项符合题意；D.a3a2故选：D．分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．5.【答案】D【知识点】统计图的选择、统计表、调查收集数据的过程与方法【解析】解：正确统计步骤的顺序是：从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表；按统计表的数据绘制折线统计图；从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势．故选：D．根据折线统计图的制作步骤即可求解．本题是一道统计型题目，解题的关键是熟悉折线统计图的制作步骤．6.【答案】B【知识点】二次根式的混合运算【解析】解：(√5+12−1)⋅√5+12=√5+1−22×√5+12=√5−12×√5+12=(√5)2−124=44=1．故选：B．直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．7.【答案】C【知识点】矩形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】解：∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，∴AF=BE，在△AFD和△BEA中，{AF=BE∠DAF=∠ABE=90°AD=BA，∴△AFD≌△BEA(SAS)，∴∠FDA=∠EAB，又∵∠FDA+∠AFD=90°，∴∠EAB+∠AFD=90°，即∠EAF+∠AFD=90°，故C正确，A、B、D无法证明其成立，故选：C．根据已知条件结合正方形性质以及全等三角形性质逐一推理即可选出答案．本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，细心推理是解题的关键．8.【答案】B【知识点】勾股数【解析】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13=22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④两个广义勾股数的积是广义勾股数，故④结论正确，∴次正确的是①②④．故选：B．根据广义勾股数的定义进行判断即可．本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．9.【答案】x>3【知识点】一元一次不等式的解法【解析】解：移项得，2x−x>3，合并得，x>3．故答案为：x>3．根据解一元一次不等式的步骤，移项、合并同类项即可．本题考查了解一元一次不等式，是基础题，比较简单，移项时注意要变号．10.【答案】1.41178×109【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：141178万=1.41178×109，故答案为：1.41178×109．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．11.【答案】甲【知识点】加权平均数、中位数、方差【解析】解：∵甲班的中位数为91分，乙班的中位数为89分，∴甲班的中位数大于乙班的中位数，∴甲、乙两班中优秀人数更多的是甲班，故答案为：甲．根据中位数的意义求解即可．本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的意义．12.【答案】x=3【知识点】分式方程的一般解法【解析】解：去分母得：x−1+x=x+2，解得：x=3，检验：把x=3代入得：x(x−1)=6≠0，∴分式方程的解为x=3．故答案为：x=3．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．13.【答案】140°【知识点】圆内接四边形的性质【解析】解：∵∠BAD为BD⏜所对的圆周角且∠BOD=80°，∴∠BAD=12∠BOD=12×80°=40°，又∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°−∠BAD=180°−40°=140°，故答案为：140°．根据已知条件利用圆周角定理求出∠BAD的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠BCD的度数．本题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理并能知道圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键．14.【答案】4【知识点】角平分线的性质【解析】解：∵AD平分∠ABC，又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=3，∵BD=5，∴BE=√BD2−DE2=√52−32=4，故答案为4．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE=DC=4，再由勾股定理求得BE的长即可．本题考查了角平分线的性质．角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题．15.【答案】20【知识点】有理数的混合运算【解析】解：∵16为红珠，14为绿珠，红球和绿球的数量均为正整数，且4，6的最小公倍数为12，∴四种球的总数为12的整数倍，又∵四种球的总数不超过50个，∴四种球的总数最多为48个，此时蓝珠的个数=48−48×16−48×14−8=20(个)．故答案为：20．由红球、绿球占的比较及两种球的数量均为正整数，即可得出四种球的总数为12的整数倍，结合四种球的总数不超过50个，可得出四种球的总数最多为48个，再利用篮球的个数=四种球的总数−红球的个数−绿球的个数−黑球的个数，即可求出结论．本题考查了有理数的混合运算以及因数和倍数，根据各球所占比例及4，6的最小公倍数，找出四种球的总数为12的整数倍是解题的关键．16.【答案】2n(n+1)【知识点】图形规律问题【解析】解：∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4=2×1×2，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12=2×2×3，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24=2×3×4，⋅⋅⋅，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n(n+1)；故答案为：2n(n+1)．根据每个图形可得所有线段的和，找规律可得：①这些数是偶数；②这些数是三个数的积；③三个因数中有一个数是2，另外一个与图形的序号相同，最后一个比图形的序号大1，可得第n个网格中所有线段的和为2n(n+1)．本题考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．17.【答案】解：20210+3−1⋅√9−√2sin45°=1+13×3−√2×√22=1+1−1=1．【知识点】特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、实数的运算【解析】根据公式a0=1(a≠0)、a−n=1a n(a≠0)，以及二次根式的运算法则，正确计算即可．本题主要考查实数的运算相关法则，其中包括公式的运用、二次根式的运算法则以及特殊角度的三角函数，解题的关键在于要熟练运用计算法则．18.【答案】解：分解因式得：(x−2)(x+1)=0，可得x−2=0或x+1=0，解得：x1=2，x2=−1．【知识点】解一元二次方程-因式分解法【解析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19.【答案】解：(aa−1+5a+9a2−1)÷a+3a−1=[a(a+1)(a+1)(a−1)+5a+9(a+1)(a−1)]⋅a−1a+3 =a2+a+5a+9(a+1)(a−1)⋅a−1a+3=(a+3)2(a+1)(a−1)⋅a−1a+3=a+3a+1．【知识点】分式的混合运算【解析】根据分式的加法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．20.【答案】解：(1)S△AOH=12×OH×AH=√32，即，12n×√3=√32，∴n=1，(2)过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图所示：∵AO⊥BO，AB⊥y轴，∴△BOQ∽△OAH，且BQ=AH=√3，∴BQOH =QOHA，即√31=√3，∴QO=3，∵点B位于第二象限，∴B的坐标(−3,√3)，将点B坐标代入反比例函数y2=k2x中，k2=−3×√3=−3√3，∴反比例函数y2的解析式为：y2=−3√3x．【知识点】反比例函数系数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式【解析】(1)将A的坐标为(n,√3)代入三角形AOH的面积计算公式中即可求出n的值；(2)过点B作BQ⊥x轴于点Q，利用△BOQ∽△OAH求出QO的值，表示出B点坐标，进而求出y2解析式．本题考查反比例函数k的几何意义以及待定系数法求解析式，熟练理解并掌握k的几何意义以及待定系数法求解析式的基本方法是解题的关键．21.【答案】解：(1)设销售一台A型新能源汽车的利润是x万元，销售一台B型新能源汽车的利润是y 万元，依题意得：{2x +5y =3.1x +2y =1.3， 解得：{x =0.3y =0.5． 答：销售一台A 型新能源汽车的利润是0.3万元，销售一台B 型新能源汽车的利润是0.5万元．(2)设需要采购A 型新能源汽车m 台，则采购B 型新能源汽车(22−m)台， 依题意得：(12+0.3)m +(15+0.5)(22−m)≤300，解得：m ≥121316，又∵m 为整数，∴m 可以取的最小值为13．答：最少需要采购A 型新能源汽车13台．【知识点】一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用【解析】(1)设销售一台A 型新能源汽车的利润是x 万元，销售一台B 型新能源汽车的利润是y 万元，根据“销售2台A 型车和5台B 型车，可获利3.1万元，销售1台A 型车和2台B 型车，可获利1.3万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设需要采购A 型新能源汽车m 台，则采购B 型新能源汽车(22−m)台，根据总价=单价×数量，结合总价不超过300万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22.【答案】解：作EM ⊥CG 于M ，FN ⊥CG 于N ，由题意得GB =AG +AB =15.8+24.2=40(米)，则FN =GB =40米，在Rt △EDM 中，∠DEM =45°，∴DM =EM =15.8米，∵MG =AE =1.4米，∴DG =DM +MG =15.8+1.4=17.2(米)，∵NG=FB=1.8米，∴DN=17.2−1.8=15.4(米)，在Rt△CNF中，∠CFN=23°，∵tan∠CFN=CNFN≈0.4245，∴CN=0.4245×40≈17.0(米)，∴CD−CN−DN=17.0−15.4=1.6(米)故国旗的宽度CD约为1.6米．【知识点】解直角三角形的应用【解析】先过点E作EM⊥CG于M，在Rt△DEM中，∠DAM=45°得到DM=EM=15.8米，即可求得DG=17.2米，进而求得DN=15.4米，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数，求得CN，即可根据CD=CN−DN求得即可．本题主要考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)此次抽样调查的人数为：20÷10%=200(人)；(2)接种B类疫苗的人数的百分比为：80÷200×100%=40%，接种C类疫苗的人数为：200×15%=30(人)；(3)18000×(1−35%)=11700(人)，即估计该小区所居住的18000名居民中有11700人进行了新冠疫苗接种．(4)画树状图如图：共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，∴恰好抽到一男和一女的概率为1220=35．【知识点】用样本估计总体、条形统计图、用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】(1)由B类的人数除以所占百分比即可求解；(2)由接种B类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数得出此次抽样调查的人数所占的百分比，再由此次抽样调查的人数乘以接种C类疫苗的人数所占的百分比即可；(3)由该小区所居住的总人数乘以A、B、C三类所占的百分比即可；(4)画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】(1)证明：连接OD，由题可知∠ABC═90°，∵AB为直径，∴∠ADB═∠BDC═90°，∵点E是BC的中点，∴DE=12BC=BE=EC，∴∠EDC═∠ECD，又∵∠ECD+∠CBD═90°，∠ABD+∠CBD═90°，∴∠ECD═∠ABD，∵OB和OD是圆的半径，∴∠ODB═∠OBD，∴∠ODB+∠BDE═∠EDC+∠BDE═90°，即∠ODE═90°，故：FE是⊙O的切线．(2)由(1)可知BE═EC═DE═12BC═2，在Rt△FBE中，FE═√FB2+BE2═√82+22═2√17，∴FD═FE−DE═2√17−2，又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO═∠FBE═90°，∠OFD═∠EFB，∴△FDO∼△FBE，∴FDOD =FBBE，即2√17OD=82，求得OD═√17−12，∴AB═2OD═√17−1，故：AB长为√17−1．【知识点】垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由线段之间的关系推出角的关系，再利用圆的切线判定定理求证即可；(2)利用相似三角形的对应边成比例，求得目标线段的长度．本题主要考查圆的切线的判定，以及相似三角形的性质，其解题突破口是理清各个角之间的关系．25.【答案】解：(1)过点D作x轴垂线交x轴于点H，如图所示：由题意得∠EOB=∠DHC=90°，∵AB//CD，∴∠EBO=∠DCH，∴△EBO∽△DCH，∴BOCH =EODH，∵B(−2,0)、C(8,0)、D(13,10)，∴BO=2，CH=13−8=5，DH=12，∴25=EO10，解得：EO=4，∴点E坐标为(0,4)，设过B、E、C三点的抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x−8)，将E点代入得：4=a ×2×(−8)，解得：a =−14，∴过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为：y =−14(x +2)(x −8)=−14x 2+32x +4；(2)抛物线的顶点在直线EF 上，理由如下：由(1)可知该抛物线对称轴为直线x =−b 2a =−322×(−14)=3， 当x =3时，y =254，∴该抛物线的顶点坐标为(3,254)，又∵F 是AD 的中点，∴F(8,10)，设直线EF 的解析式为：y =kx +b ，将E(0,4)，F(8,10)代入得，{4=b 10=8k +b 解得：{k =34b =4， ∴直线EF 解析式为：y =34x +4，把x =3代入直线EF 解析式中得：y =254， 故抛物线的顶点在直线EF 上；(3)由(1)(2)可知：A(3,10)，设直线AB 的解析式为：y =k′x +b′，将B(−2,0)，A(3,10)代入得：{0=−2k′+b′10=3k′+b′，解得：{k′=2b′=4， ∴直线AB 的解析式为：y =2x +4，∵FQ//AB ，故可设：直线FQ 的解析式为：y =2x +b 1，将F(8,10)代入得：b 1=−6，∴直线FQ 的解析式为：y =2x −6，当x =0时，y =−6，∴Q 点坐标为(0,−6)，设M(0,m)，直线BM 的解析式为：y =k 2x +b 2，将M 、B 点代入得：{m =b 20=−2k 2+b 2，解得：{k 2=m 2b 2=m， ∴直线BM 的解析式为：y =m 2x +m ，∵点P 为直线BM 与抛物线的交点，∴联立方程组有：{y =m 2x +m y =−14x 2+32x +4， 化简得：(x +2)(x −8+2m)=0，解得：x 1=−2(舍去)，x 2=8−2m ，∴点P 的横坐标为：8−2m ，则此时，S △PBQ =12×MQ ×(|x P |+|x B |)=12×(m +6)×(8−2m +2)=−(m +12)2+1214，∵a =−1<0，∴当m =−12时，S 取得最大值，∴点P 横坐标为8−2×(−12)=9，将x =9代入抛物线解析式中y =−114，综上所述，当△PBQ 的面积最大时，P 的坐标为(9,−114).【知识点】二次函数综合【解析】(1)过点D 作x 轴垂线交x 轴于点H ，利用△EBO∽△DCH 求出E 点坐标，进而根据B 、E 、C 三点坐标即可求出抛物线解析式；(2)求出抛物线顶点坐标以及直线EF 的解析式，代入验证即可判定顶点是否在直线EF 上；(3)根据AB//FQ ，求出点Q 坐标，再设M 为(0,m)通过直线BM 与抛物线的交点表示出P 点坐标，从而可表示出△PBQ 的面积结合二次函数最值问题即可求出面积最大值时点P 的坐标．本题属于中考压轴大题，考查二次函数综合应用，涉及三角形的相似、二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数综合性质、能数形相结合并能细心的推理运算是解题的关键． 26.【答案】证明：(1)∵AT//BC ，∴∠ATD =∠BCD ，∵点D 是AN 的中点，∴AD =DN ，在△ATD 和△NCD 中，{∠ATD =∠BCD ∠ADT =∠CDN AD =DN，∴△ATD≌△NCD(AAS)，∴CN=AT，TD=DC，∵AT=BN，∴BN=CN；(2)①∵AT=BN，AT//BN，∴四边形ATBN是平行四边形，∵AB=AC，BN=CN，∴AN⊥BC，∴平行四边形ATBN是矩形，∴∠TAN=90°，∵点M，点N关于AC对称，∴CN=MC，∠ACN=∠ACM，∴AT=CM，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠ACN=90°，∴∠OCA+∠ACM=90°=∠OCM，∴∠OCM=∠TAN，又∵AT=CM，OA=OC，∴△TAO≌△MCO(SAS)，∴OT=OM，∠TOA=∠COM，∴∠TOM=∠AOC，OTOA =OMOC，∴△TOM∽△AOC；②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，∴EM=CM=AT，∴∠MEC=∠MCE，∵∠CAN+∠ACN=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∴∠TAN+∠NAC+∠ACM=180°，∴∠TAC+∠ACM=180°，又∵∠AEM+∠CEM=180°，∴∠TAC=∠AEM，∴AT//EM，∴四边形ATEM是平行四边形，∴TP=PM，又∵TD=DC，CM．∴PD//CM，PD=12【知识点】相似形综合【解析】(1)由“AAS”可证△ATD≌△NCD，可得CN=AT=BN；(2)①由轴对称的性质可得CN=MC=AT，∠ACN=∠ACM，由“SAS”可证△TAO≌△MCO，可得OT=OM，∠TOA=∠COM，即可得结论；②将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，由旋转的性质可得EM=CM=AT，由角的数量关系可证∠TAC=∠AEM，可得AT//EM，可证四边形ATEM 是平行四边形，可得TP=PM，由三角形中位线定理可得结论．本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，证明四边形ATEM是平行四边形是解题的关键．。
2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程(含答案解析)
2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程一．选择题（共11小题）1．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x−12）2=12B．（x−14）2=12C．（x−14）2=316D．（x−14）2=5162．小亮根据x的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入x2+12x﹣15求值，估算一元二次方程的近似解x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15﹣0.590.84 2.29 3.76 5.25由此可确定一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x的范围正确的是（）A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．1.4＜x＜1.5 3．一元二次方程x2+6x+9＝0的常数项是（）A．0B．1C．6D．94．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜14B．k≤14C．k＞14D．k≥145．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．﹣2018B．2018C．2020D．20226．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 7．下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根8．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A．（1+n）2＝931B．n（n﹣1）＝931C．1+n+n2＝931D．n+n2＝9319．某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．60（1﹣2x ）＝40 B ．60（1﹣x ）2＝40 C ．40（1+2x ）＝60D ．40（1+x ）2＝6010．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ） A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x +1）＝45C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x +1）＝4511．若12﹣3k ＜0，则关于x 的一元二次方程x 2+4x +k ＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断二．填空题（共19小题）12．若关于x 的方程kx 2﹣kx +1＝0有两个相等的实数根，则实数k 的值为 ． 13．如果关于x 的一元二次方程（m +1）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，那么m 的取值范围是 ．14．已知关于x 的一元二次方程（14m ﹣1）x 2﹣x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．15．若一元二次方程x 2﹣c ＝0的一个根为x ＝1，则另一个根为 ． 16．一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2的根是 ．17．若关于x 的一元二次方程x 2+3x +a ＝0有一个实数根为x ＝﹣2，则另一个实数根为 ． 18．若关于x 的方程2x 2+x ﹣m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 ． 19．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x +n ﹣3＝0有两个相等实数根，则1m−n 的值是 ．20．如果（m +2）x |m |+x ﹣2＝0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为 ． 21．已知a ，b 是方程x 2+3x ﹣1＝0的两根，则a 2b +ab 2的值是 ．22．若a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两个不同的实数根，则a 3﹣a 2+5b ﹣2＝ ． 23．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，则k 的取值范围是 ． 24．若方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两个根分别为x 1和x 2，则1x 1+1x 2= ．25．关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的系数满足ac ＞0，则此方程的根x ＝ ．26．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子3m2+6m﹣mn的值为．27．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为．28．如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．29．已知关于x的方程x2﹣mx+1＝0的一个根为1，那么m的值是．30．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为．三．解答题（共20小题）31．解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．32．若一元二次方程x2﹣x＝1的两个实数根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．33．已知关于x的方程2x2﹣5x+k＝0的一个根是1，求k的值和另一个根．34．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．35．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．36．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．根据上述材料，解答下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a﹣b＝6，ab+c2﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．37．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，化简：|1−m|+√m2+4m+4．38．解方程：（2x+3）2＝（x﹣1）2．39．解下列一元二次方程（1）x2+4x﹣8＝0（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）40．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．41．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？42．解下列方程（x﹣2）2﹣9＝0．43．解方程：x2+5＝6x．44．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．45．已知关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．46．已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12＝0的两根．（1）当k＝﹣7时，求Rt△ABC的周长；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及△ABC的周长．47．在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝m n+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．48．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？49．解方程：（1）x2﹣16＝0；（2）4x2+1＝﹣4x．50．解方程：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0．（2）3x2﹣5x﹣1＝0．2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x−12）2=12B．（x−14）2=12C．（x−14）2=316D．（x−14）2=516【解答】解：4x2﹣2x﹣1＝0，x2−12x=14，x2−12x+（14）2=14+（14）2，（x−14）2=516．故选：D．2．小亮根据x的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入x2+12x﹣15求值，估算一元二次方程的近似解x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15﹣0.590.84 2.29 3.76 5.25由此可确定一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x的范围正确的是（）A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．1.4＜x＜1.5【解答】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y＝0，即这个数是x2+12x ﹣15＝0的一个根．x2+12x﹣15＝0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2．故选：A．3．一元二次方程x2+6x+9＝0的常数项是（）A．0B．1C．6D．9【解答】解：方程x2+6x+9＝0是一元二次方程的一般形式，其中常数项是9．故选：D．4．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜14B．k≤14C．k＞14D．k≥14【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得k≤1 4．故选：B．5．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．﹣2018B．2018C．2020D．2022【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2020，则原式＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018．故选：A．6．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+1=−k 2，解得：x2＝1，k＝2，则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．故选：A．7．下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根【解答】解：∵△＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2，而a，b是不为0的常数，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．8．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A ．（1+n ）2＝931B ．n （n ﹣1）＝931C ．1+n +n 2＝931D ．n +n 2＝931【解答】解：由题意，得 n 2+n +1＝931， 故选：C ．9．某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．60（1﹣2x ）＝40 B ．60（1﹣x ）2＝40 C ．40（1+2x ）＝60D ．40（1+x ）2＝60【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程： 60（1﹣x ）2＝40． 故选：B ．10．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ） A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x +1）＝45C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x +1）＝45【解答】解：本次比赛共有x 个参赛棋手， 所以可列方程为：12x （x ﹣1）＝45．故选：A ．11．若12﹣3k ＜0，则关于x 的一元二次方程x 2+4x +k ＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断【解答】解：△＝42﹣4k ＝16﹣4k ， ∵12﹣3k ＜0， ∴k ＞4，∴16﹣4k ＜0，即△＜0， ∴方程无实数根． 故选：C ．二．填空题（共19小题）12．若关于x 的方程kx 2﹣kx +1＝0有两个相等的实数根，则实数k 的值为 4 ． 【解答】解：根据题意得k ≠0且△＝k 2﹣4k ＝0， 解得k ＝4． 故答案为4．13．如果关于x 的一元二次方程（m +1）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，那么m 的取值范围是 m ≥﹣2且m ≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得m +1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（m +1）×（﹣1）≥0， 解得m ≥﹣2且m ≠﹣1． 故答案为m ≥﹣2且m ≠﹣1．14．已知关于x 的一元二次方程（14m ﹣1）x 2﹣x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是 m ≤5且m ≠4 ．【解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴△=1−4×(14m −1)≥0且14m −1≠0，解得：m ≤5且m ≠4， 故答案为：m ≤5且m ≠4．15．若一元二次方程x 2﹣c ＝0的一个根为x ＝1，则另一个根为 x ＝﹣1 ． 【解答】解：把x ＝1代入方程得：c ＝1， 方程为x 2﹣1＝0，即x 2＝1， 开方得：x ＝1或x ＝﹣1， 则另一根为x ＝﹣1． 故答案为：x ＝﹣1．16．一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2的根是 x 1＝2，x 2＝4 ． 【解答】解：（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2， （x ﹣3）（x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0， （x ﹣2）（x ﹣3﹣1）＝0， x ﹣2＝0或x ﹣3﹣1＝0， 所以x 1＝2，x 2＝4． 故答案为：x 1＝2，x 2＝4．17．若关于x 的一元二次方程x 2+3x +a ＝0有一个实数根为x ＝﹣2，则另一个实数根为 ﹣1 ．【解答】解：设另一个实数根为t，根据题意得﹣2+t＝﹣3，解得t＝﹣1．故答案为﹣1．18．若关于x的方程2x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于−18．【解答】解：∵关于x的方程2x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣m）＝0，解得：m=−1 8，故答案为：−1 8．19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+n﹣3＝0有两个相等实数根，则1m−n的值是﹣3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+n﹣3＝0有两个相等实数根，∴m≠0，△＝（﹣2）2﹣4m（n﹣3）＝0，解得：mn﹣3m＝1，除以m得：n﹣3=1 m，∴1m−n＝﹣3，故答案为：﹣3．20．如果（m+2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为2．【解答】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，解得m＝±2，m≠﹣2，∴m＝2，故答案为：2．21．已知a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则a2b+ab2的值是3．【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3，ab＝﹣1，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3，故答案为：3．22．若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝3．【解答】解：∵a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两个不同的实数根，∴a 2﹣a ＝5，a +b ＝1，∴a 3﹣a 2＝5a ，∴a 3﹣a 2+5b ﹣2＝5a +5b ﹣2＝5（a +b ）﹣2＝5×1﹣2＝3．故答案为：3．23．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，则k 的取值范围是 k ＞98 ．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k ×2＜0且k ≠0，解得k ＞98，故答案为：k ＞98．24．若方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两个根分别为x 1和x 2，则1x 1+1x 2= −34 ． 【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝﹣4，所以1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=3−4=−34． 故答案为−34．25．关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的系数满足ac ＞0，则此方程的根x ＝b±√b 2+4ac 2a ．【解答】解：∵ax 2﹣bx ﹣c ＝0，∴△＝b 2+4ac ，∵对于任意实数b ，b 2≥0，ac ＞0，∴b 2+4ac ＞0，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根．∴x =b±√b 2+4ac 2a ． 故答案为：b±√b 2+4ac 2a ．26．已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，则式子3m 2+6m ﹣mn 的值为 4 ．【解答】解：∵m 是方程x 2+2x ﹣1＝0的根，∴m 2+2m ﹣1＝0，∴m 2+2m ＝1，∴3m 2+6m ﹣mn ＝2（m 2+2m ）﹣mn ＝2×1﹣mn ＝2﹣mn ，∵m ，n 是方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，∴mn ＝﹣1，∴3m 2+6m ﹣mn ＝2﹣2×（﹣1）＝4．故答案为4．27．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x 步，根据题意，可列方程为 x （x +12）＝864 ．【解答】解：∵矩形的宽为x 步，且宽比长少12步，∴矩形的长为（x +12）步．依题意，得：x （x +12）＝864．故答案为：x （x +12）＝864．28．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有两个相等的实数根，那么实数k 的值是94 ．【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k ＝0，解得k =94．故答案为94． 29．已知关于x 的方程x 2﹣mx +1＝0的一个根为1，那么m 的值是 2 ．【解答】解：当x ＝1时，方程x 2﹣mx +1＝0为12﹣m +1＝0，即2﹣m ＝0，解得m ＝2，故答案为：2．30．已知关于x 的方程a （x +c ）2+b ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x 的方程a （x +c ﹣2）2+b ＝0的两根分别为 3，0 ．【解答】解：方法一：∵方程a （x +c ）2+b ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的两根分别为﹣2，1，∴a （﹣2+c ）2+b ＝0或a （1+c ）2+b ＝0，∴（﹣2+c ）2=−b a 或（1+c ）2=−b a ，∴﹣2+c +1+c ＝0，解得，c＝0.5，∴（﹣2+0.5）2=−b a，∴−ba=94，∵a（x+c﹣2）2+b＝0，∴（x+0.5﹣2）2=9 4，解得，x1＝3，x2＝0，故答案为：3，0．方法二：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，∴方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为：﹣2+2＝0或1+2＝3，故答案为：3，0．三．解答题（共20小题）31．解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．【解答】解：（1）将方程整理为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0，则（x﹣1）（5x+1）＝0，∴x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2；（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．32．若一元二次方程x2﹣x＝1的两个实数根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．【解答】解：∵x2﹣x＝1，∴x2﹣x﹣1＝0，∴x1+x2＝1、x1x2＝﹣1，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣1﹣1+1＝﹣1．33．已知关于x 的方程2x 2﹣5x +k ＝0的一个根是1，求k 的值和另一个根．【解答】解：将x ＝1代入原方程，得：2×12﹣5×1+k ＝0，解得：k ＝3，∴原方程为2x 2﹣5x +3＝0，∴方程的另一个根为52−1=32． 34．已知：关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．【解答】（1）证明：∵a ＝1，b ＝﹣（m ﹣1），c ＝﹣m ，∴△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（m ﹣1）]2﹣4×1×（﹣m ）＝m 2+2m +1＝（m +1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：将x ＝1代入原方程，得：12﹣（m ﹣1）×1﹣m ＝0，解得：m ＝1，∴原方程为x 2﹣1＝0，∴方程的另一个根为0﹣1＝﹣1．35．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x 元/件（20≤x ≤40）．（1）请用含售价x （元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．【解答】解：（1）∵该商品的售价为x 元/件（20≤x ≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x ）＝（180﹣3x ）件．（2）①依题意，得：（x ﹣20）（180﹣3x ）＝900，整理，得：x 2﹣80x +1500＝0，解得：x 1＝30，x 2＝50（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．36．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．根据上述材料，解答下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a﹣b＝6，ab+c2﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1＝（x﹣y）2+（y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝0，y﹣1＝0，∴y＝1，x＝1，∴x+2y＝1+2＝3；（2）∵a﹣b＝6，即a＝b+6，代入得：b（b+6）+c2﹣4c+13＝0，整理得：（b2+6b+9）+（c2﹣4c+4）＝（b+3）2+（c﹣2）2＝0，∴b+3＝0，c﹣2＝0，解得b＝﹣3，c＝2，则a＝3，则a+b+c＝3﹣3+2＝2．37．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，化简：|1−m|+√m2+4m+4．【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4（m﹣1）2﹣4（m2+5）＞0，即﹣8m﹣16＞0，解得：m＜﹣2，则|1−m|+√m2+4m+4＝|1﹣m|+|m+2|＝1﹣m﹣m﹣2＝﹣2m﹣1．38．解方程：（2x+3）2＝（x﹣1）2．【解答】解：方法一：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴2x+3＝x﹣1或2x+3＝1﹣x，解得x1＝﹣4，x2=−2 3．方法二：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴（2x+3）2﹣（x﹣1）2＝0，则（2x+3+x﹣1）（2x+3﹣x+1）＝0，∴3x+2＝0或x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2=−2 3．39．解下列一元二次方程（1）x2+4x﹣8＝0（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）【解答】解：（1）∵x2+4x﹣8＝0，∴x2+4x＝8，则x2+4x+4＝8+4，即（x+2）2＝12，∴x+2＝±2√3，∴x1＝﹣2+2√3，x2＝﹣2﹣2√3；（2）∵（x﹣3）2＝5（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，解得x1＝3，x2＝8．40．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得：△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，解得：m＜0．∴m的取值范围是m＜0．（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝12，∴(x1+x2)2−2x1x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），∴m的值是﹣2．41．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2＝28.8，解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．（2）设每杯售价定为a元，由题意得：（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，解得：a1＝21，a2＝20．∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．42．解下列方程（x ﹣2）2﹣9＝0．【解答】解：∵（x ﹣2）2﹣9＝0，∴（x ﹣2）2＝9，∴x ﹣2＝±3，∴x ﹣2＝3或x ﹣2＝﹣3，解得，x 1＝5，x 2＝﹣1．43．解方程：x 2+5＝6x ．【解答】解：x 2+5＝6x ，x 2﹣6x +5＝0，（x ﹣1）（x ﹣5）＝0，x ﹣1＝0，x ﹣5＝0，x 1＝1，x 2＝5．44．如图1，有一张长40cm ，宽20cm 的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm ，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm 2，求纸盒的高．【解答】解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm ），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm ）．答：纸盒底面长方形的长为17cm ，宽为14cm ．（2）设当纸盒的高为xcm 时，纸盒的底面积是150cm 2，依题意，得：(40−2x)2×（20﹣2x ）＝150，化简，得：x 2﹣30x +125＝0，解得：x 1＝5，x 2＝25．当x ＝5时，20﹣2x ＝10＞0，符合题意；当x ＝25时，20﹣2x ＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．45．已知关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤94且k≠0，∵x1+x2=−3k，x1x2=1k，而x1+x2+x1x2＝4，∴−3k+1k=4，解得k＝1，经检验，k＝1为分式方程的解，∴k的值为1．46．已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12＝0的两根．（1）当k＝﹣7时，求Rt△ABC的周长；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及△ABC的周长．【解答】解：（1）当k＝﹣7时，方程为x2﹣17x+12＝0，解得x1＝3，x2＝4，此时直角三角形的两直角边分别为3，4，所以斜边为√32+42=5，所以Rt△ABC的周长为3+4＝5＝12；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，即一元二次方程x2+kx+12＝0的两根相等，则△＝k2﹣4×12＝0，解得k＝±4√3，因为两直角边的和为﹣k＞0，所以k＝﹣4√3，所以两直角边为2√3，2√3，所以斜边为2√3×√2=2√6，所以△ABC的周长为2√3+2√3+2√6=4√3+2√6．47．在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝m n+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．【解答】解：（1）（﹣2）⊗（﹣1）＝（﹣2）﹣1+（﹣2）×（﹣1）﹣3=−32；（2）由题意得x⊗1＝x+x﹣3＝﹣27，解得x＝﹣12；（3）（﹣y）⊗2＝y2﹣2y﹣3＝（y﹣1）2﹣4，∵（y﹣1）2﹣4的最小值为﹣4，∴a的值为﹣4．48．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？【解答】解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：6000（1+x）2＝7260，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：每月盈利的平均增长率为10%．（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．49．解方程：（1）x2﹣16＝0；（2）4x2+1＝﹣4x．【解答】解：（1）x2﹣16＝0，x2＝16，x＝±4，即x1＝4，x2＝﹣4；（2）4x2+1＝﹣4x，4x2+4x+1＝0，（2x+1）2＝0，2x+1＝0，即x1＝x2=−1 2．50．解方程：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0．（2）3x2﹣5x﹣1＝0．【解答】解：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣4）（3x﹣2）＝0，x﹣4＝0，3x﹣2＝0，x1＝4，x2=2 3；（2）3x2﹣5x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣1）＝37，x=5±√37 2×3，x1=5+√376，x2=5−√376．第21 页共21 页。
湖南省2021年中考数学真题分项汇编—专题02 整式和因式分解(含答案解析)
专题02 整式和因式分解一、单选题1. （2021·湖南衡阳市·中考真题）下列运算结果为的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方法则逐项计算即可.【详解】A选项, , 不符合题意；B选项, , 不符合题意；C选项, , 符合题意；D选项, , 不符合题意．故选: C.【点睛】本题考查同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方和积的乘方法则．同底数幂相乘, 底数不变, 指数相加；同底数幂相除, 底数不变, 指数相减；幂的乘方, 底数不变, 指数相乘；积的乘方, 等于把积的每一个因式的积的乘方, 再把所得的幂相乘．2. （2021·湖南中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据零指数幂, 特殊角三角函数值, 算术平方根的定义, 同底数幂乘法的计算法则分别计算即可. 【详解】解: A., 此选项正确；B., 此选项错误；C., 此选项错误；D., 此选项错误；故选: A.【点睛】本题考查零指数幂, 特殊角三角函数值, 算术平方根的定义, 同底数幂乘法, 熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键.3．（2021·湖南中考真题）已知, 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可得.【详解】A., 此项错误, 不符题意；B., 此项错误, 不符题意；C., 此项正确, 符合题意；D., 此项错误, 不符题意；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项、整式的乘法、同底数幂的除法、积的乘方, 熟练掌握各运算法则是解题关键．4. （2021·湖南娄底市·中考真题）下列式子正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据幂的乘方, 底数不变, 指数相乘;同底数幂相乘, 底数不变指数相加;合并同类项法则. 对各选项分析判断后利用排除法求解选择正确选项即可.【详解】A、, 因为不属于同类项, 不能进行加减合并, 故A错误；B.,故B正确；C., 故C错误；D., 故D错误．故选: B.【点睛】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项, 熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5. （2021·湖南张家界市·中考真题）下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】直接利用合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法来计算即可.【详解】解: A, 不能合并同类项, 故选项错误, 不符合题意；B, , 故选项错误, 不符合题意；C, , 故选项正确, 符合题意；D, , 故选项错误, 不符合题意；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法, 解题的关键是: 熟练掌握合并同类项, 完全平方差公式、幂的乘方、同底数幂的除法的基本运算法则．6. （2021·湖南常德市·中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项可直接进行排除选项.【详解】A.原计算错误, 该选项不符合题意；B.原计算错误, 该选项不符合题意；C.原计算错误, 该选项不符合题意；D.正确, 该选项符合题意；故选: D.【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项, 熟练掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项是解题的关键．7. （2021·湖南中考真题）下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、二次根式的性质以及完全平方公式分别计算各项后, 再进行判断即可得到答案.【详解】解: A., 故选项A计算错误, 不符合题意；B., 故选项B计算错误, 不符合题意；C., 此选项计算正确, 故符合题意；D.故选项D计算错误, 不符合题意；故选: C.【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方运算、二次根式的性质以及完全平方公式, 熟练掌握运算法则是解答此题的关键．8. （2021·湖南长沙市·中考真题）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项判断即可得.【详解】A., 此项正确；B., 此项错误；C., 此项错误；D., 此项错误；故选: A.【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方, 熟练掌握各运算法则是解题关键．9. （2021·湖南岳阳市·中考真题）下列运算结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】逐一分析各选项, 利用对应法则进行计算即可判断出正确选项.【详解】解: A选项中: , 因此错误；B选项中: , 因此错误;C选项中: , 因此正确；D选项中: , 因此错误；故选: C.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式、乘方的运算性质等内容, 解决本题的关键是牢记相关运算法则和公式即可．二、填空题10. （2021·湖南株洲市·中考真题）计算: __________.【答案】.【分析】根据单项式乘以单项式法则以及同底数的幂的乘法, 底数不变, 指数相加, 计算即可．【详解】解: .故答案: .【点睛】本题考查单项式乘以单项式, 熟练掌握单项式乘以单项式法则, 同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．11. （2021·湖南长沙市·中考真题）分解因式：______.x x【答案】(2021)【分析】利用提公因式法进行因式分解即可得.【详解】解: ,故答案为: .【点睛】本题考查了利用提公因式法进行因式分解, 熟练掌握提公因式法是解题关键．12. （2021·湖南株洲市·中考真题）因式分解：__________.【答案】()232x x y -【分析】直接提出公因式即可完成因式分解.【详解】解: ;故答案为: .【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解, 解决本题的关键是找到它们的公因式, 提出公因式后再检查分解是否彻底即可, 本题为基础题, 考查了学生对基础知识的掌握与运用．13. （2021·湖南岳阳市·中考真题）因式分解: ______.【答案】.【详解】解: .故答案为: .【点睛】此题考查了运用公式法因式分解, 熟练掌握完全平方公式是解答此题的关键．14. （2021·湖南邵阳市·中考真题）因式分解：______.【答案】()()x y x y x -+【分析】提公因式与平方差公式相结合解题.【详解】解: ,故答案为: .【点睛】本题考查因式分解, 涉及提公因式与平方差公式, 是重要考点, 难度较易, 掌握相关是解题关键． 15. （2021·湖南衡阳市·中考真题）因式分解：__________.【答案】()33a a b -【分析】利用提取公因式法因式分解即可【详解】解:故答案为:()33a a b -【点睛】本题考查提取公因式法因式分解, 熟练掌握因式分解的方法是关键16．（2021·湖南中考真题）若x, y 均为实数, , , 则______；_______．【答案】20211【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可.【详解】解: ∵,∴, ,4347(43)(47)202120212021xy xy x y y x y x x y +⋅=⨯=⨯=，故答案为: 2021；∵=4)3(4347202147xy xy xy xy =⋅⨯，即20212021xy x y +=，∴xy x y =+， ∴111x y x y xy++==， 故答案为: 1.【点睛】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点, 熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键.17．（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：, , , ……, 已知按一定规律排列的一组数：, , , ……, , 若, 用含的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将, , , ……, 用含的代数式表示, 再计算的和, 即可计算的和.【详解】由题意规律可得：.∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++==， ∵22991001012222222+++++=-，∴10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++． 令012992222S ++++=①12310022222S ++++=②②-①, 得 ∴10010110110199992222222m m m ++++=+++=100(21)m -故答案为: . 【点睛】本题考查规律问题, 用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键.18．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格, 其中第一个图形有个正方形, 所有线段的和为4, 第二个图形有个小正方形, 所有线段的和为12, 第三个图形有个小正方形, 所有线段的和为24, 按此规律, 则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1.2.3和4个图案找出普遍规律, 进而得出第n 个图案的规律为Sn=4n+2n ×(n -1), 得出结论即可.【详解】解: 观察图形可知:第1个图案由1个小正方形组成, 共用的木条根数第2个图案由4个小正方形组成, 共用的木条根数第3个图案由9个小正方形组成, 共用的木条根数第4个图案由16个小正方形组成, 共用的木条根数…由此发现规律是:第n 个图案由n2个小正方形组成, 共用的木条根数故答案为: 2n2+2n.【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类, 熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．三、解答题19. （2021·湖南衡阳市·中考真题）计算: .【答案】23x【分析】利用完全平方公式,平方差公式,单项式乘以多项式的法则, 计算合并同类项即可【详解】解:22222=+++-+-x y y x y x xy4x4442=.3x【点睛】本题考查了完全平方公式, 平方差公式, 单项式乘以多项式, 合并同类项, 熟练掌握公式, 准确合并计算是解题的关键.20. （2021·湖南中考真题）先化简, 再求值: , 其中.【答案】, 7.【分析】先计算完全平方公式、平方差公式, 再计算整式的加减法, 然后将代入求值即可得.【详解】解：原式,25=+，x将代入得: 原式.【点睛】本题考查了整式的化简求值, 熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键.21. （2021·湖南长沙市·中考真题）先化简, 再求值: , 其中.【答案】, 1.【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式, 再计算整式的加减, 然后将的值代入即可得.【详解】解：原式,=-，2x将代入得: 原式.【点睛】本题考查了整式的化简求值, 熟练掌握整式的运算法则是解题关键．。
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2021年中考数学复习题
22．（7分）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是±√57的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
【解答】解：由题意得，2a﹣1＝9，得a＝5；3a+b﹣9＝8，得b＝2，
∵√49＜√57＜√64，﹣8＜−√57＜−7，
∴c＝7或﹣8，
∴a+2b+c＝16或1，
16的算术平方根为4；1的算术平方根是1．
23．（10分）已知，在△ABC中，∠ACB＝30°
（1）如图1，当AB＝AC＝2，求BC的值；
（2）如图2，当AB＝AC，点P是△ABC内一点，且P A＝2，PB=√21，PC＝3，求∠APC的度数；
（3）如图3，当AC＝4，AB=√7（CB＞CA），点P是△ABC内一动点，则P A+PB+PC 的最小值为√43．
【解答】解：（1）如图1中，作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，AP⊥BC，
∴BP＝PC，
在Rt△ACP中，∵AC＝2，∠C＝30°，
∴PC＝AC•cos30°=√3，
∴BC＝2PC＝2√3．
（2）如图2中，将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△QAC．
∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴P A＝AQ＝2，PB＝QC=√21，
∵∠P AQ＝120°，
∴PQ＝2√3，
∴PQ2+PC2＝QC2，
∴∠QPC＝90°，
∵∠APQ＝30°，
∴∠APC＝30°+90°＝120°．
（3）如图3中，将△BCP绕点C逆时针旋转60°得到△CB′P′，连接PP′，AB′，则∠ACB′＝90°．
∵P A+PB+PC＝P A+PP′+P′B′，
∴当A，P，P′，B′共线时，P A+PB+PC的值最小，最小值＝AB′的长，
由AB=√7，AC＝4，∠C＝30°，可得BC＝CB′＝3√3，
∴AB′=√AC2+CB′2=√43．
故答案为√43．。