指数与指数幂的运算(教学设计)
指数运算教案一
师 生 共 同讨论
−32 = _______ 4 81 _______
（ 8）
210 = ________ 3 312 _______
5
学生
2、判断： 判断：
(1 )(5 − 2 ) = − 2 4 (3 )(4 − 2 ) = 2 (5 )2 n b 2 n = b (7 )( n a ) n
( ( (
（2 （（ 1） 2 a b ） -6 a b ） ÷ （ -3 a b ） （ （ ；
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
1 −3 （2 ） m 4 n 8
பைடு நூலகம்
8
学生
5.计算下列各式 计算下列各式： 例 5.计算下列各式：
（ （1） 3 25 − 125 ）÷ 4 25
练习： 练习：
1、填空： (1)25 的平方根等于_________________ (2)27 的立方根等于_________________ (3)-32 的五次方根等于_______________ (4)16 的四次方根等于_______________ (5)a6 的三次方根等于_______________ (6)0 的七次方根等于________________ （7）
（2 ）
a2 a ⋅3 a 2
（ a〉 0）
三.课堂小结： 课堂小结：
学生
四.课后练习： 课后练习： 练习 计算： 计算：
学生
（ 1）
6
(x − y )
6
（ x〈 y）
b3 a2 ⋅ （2 ） a b6
m ⋅ 3 m2 ⋅ 4 m
（ 3）
( m) ⋅m
幂的运算—幂的乘方教案设计
幂的运算—幂的乘方教案设计幂的运算—幂的乘方教案设计「篇一」幂的运算的小结与思考教案课题：幂的运算的小结与思考教学目标：1、能说出幂的运算的性质；2、会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步的依据；3、能说出零指数幂、负整数指数幂的意义，能用熟悉的事物描述一些较小的正数，并能用科学记数法表示绝对值小于1的数；4、通过具体例子体会本章学习中体现的从具体到抽象、特殊到一般的思考问题的方法，渗透转化、归纳等思想方法，发展合情推理能力和演绎推理能力。
教学重点：运用幂的运算性质进行计算教学难点：运用幂的运算性质进行证明规律教学方法：引导发现，合作交流，充分体现学生的主体地位一、系统梳理知识：幂的运算：1、同底数幂的乘法2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数幂的除法：（1）零指数幂（2）负整数指数幂请你用字母表示以上运算法则。
你认为本章的学习中应该注意哪些问题？二、例题精讲：例1 判断下列等式是否成立：①(-x)2＝-x2。
②(-x3)＝-(-x)3。
③(x-y)2＝(y-x)2。
④(x-y)3＝(y-x)3。
⑤x-a-b＝x-(a+b)。
⑥x+a-b＝x-(b-a)．解：③⑤⑥成立．例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．解：因为103m=(10m)3=43 =64,102n=(10n)2=52=25。
所以103m+2n=103m102n=6425=1680例3 若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．解：∵2m＝x-1。
y＝3+4m＝3+22m．＝3+(2m)2＝3+(x-1)2＝x2-2x+4．例4设＜n＞表示正整数n的个位数，例如＜3＞=3，＜21＞=1，＜1324＞=2，则＜210＞=______．解 210=(24)222=1624。
＜210＞=＜64＞=4例5 1993+9319的个位数字是A．2 B．4 C．6 D．8解1993+9319的个位数字等于993+319的`个位数字．∵ 993=(92)469=81469．319=(34)433=81427．993+319的个位数字等于9+7的个位数字．则 1993+9319的个位数字是6．三、随堂练习：1、已知a=355，b=444，c=533，则有（）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b2、已知3x=a，3y =b，则32x-y等于3、试比较355，444，533的大小．4、已知a=-0.32,b=-3-2,c=(-1/3)-2d=(-1/3)0,比较a、b、c、d的大小并用“，〈”号连接起来。
【新课标必修一】《指数与指数幂的运算(3)》教学案例
课题指数与指数幂的运算（3）教学目标：1. 掌握根式与分数指数幂互化；能熟练地运用分数指数幂运算性质进行化简、求值；2. 熟练指数幂运算性质.提高学生的运算能力。
通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3．培养学生观察、分析问题的能力，严谨的思维和科学正确的计算能力.教学重点难点：1．重点：运用有理指数幂性质进行化简、求值.2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.教法与学法：1．教法选择：引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程.2．学法指导：讨论法、发现法、题组练习法教学过程：一、设置情境，激发探索教学环节教学过程设计意图师生活动设置疑问突出主题1．分数指数幂的概念（1）正数的正分数指数幂的意义为：*(0,,)mn mna a a m n N=>∈正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)mnmna a m n Na-=>∈（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.2．分数指数幂运算性质(0,,)r s r sa a a a r R s R+⋅=>∈∈()(0,,)r s rsa a a r R s R=>∈∈()(0,)r r ra b a b a r R⋅=>∈总结完善复习旧知，为新课作铺垫.学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.老师提问，学生回答二、作法总结，变式演练教学环节教学过程设计意图师生活动三、思维拓展，课堂交流12112x x x x --⎛+ ⎝++11221122x xx x--+=+所以四、归纳小结，课堂延展教学设计说明1．教材地位分析：“指数与指数幂的运算”是高中数学《数学1》第二章《基本初等函数（1）》第一单元《指数函数》的第一节。
【新课标必修一】《指数与指数幂的运算(2)》教学案例
课题指数与指数幂的运算（2）教学目标：1. 理解分数指数幂的概念；掌握有理指数幂的运算性质；会对根式与分数指数幂进行互化；2. 培养学生用“事物相互联系的”观点看问题.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3.培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；教学重点难点：1．重点：分数指数幂的概念和分数指数幂的运算性质；2．难点：分数指数幂的概念的理解教法与学法：1．教法选择：观察法、归纳推理法、类比分析法2．学法指导：讨论法、发现法、题组练习法教学过程：一、设置情境，激发探索教学环节教学过程设计意图师生活动设置疑问突出主题1.填空（1）；_______32______,6453==-（2）______81______,8144=-=；（3）；______)6(______,)3(5544==(4)；_______a_____,a312510==（5）_____)3(___,27755=-=-）（；（6）.______5____,)4(4466==-分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：25101052aa,a)a(=∴=；也可根据n次方根的性质来解：2552510a)a(a==.问题1：观察53102124,a a a a==，结果的指数与被开方数的学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.老师提问，学生回答老师引导学生二、作法总结，变式演练65320)(p p q=⋅2521m m=-三、思维拓展，课堂交流四、归纳小结，课堂延展教学设计说明1．教材地位分析：“指数与指数幂的运算”是高中数学《数学1》第二章《基本初等函数（1）》第一单元《指数函数》的第一节。
“分数指数幂”是“指数与指数幂的运算”第二课时，是在学习了根式的基础上进行的。
分数指数幂是根式的另一种表示，只有学习了根式才能学习指数、指数函数和对数函数。
高中数学《指数与指数幂的运算》导学案
探究1：n次方根的概念
由初中所学知识及示例完成下面填空
示例：①(±2)2＝4，则称±2为4的；
②23=8，则称2为8的；
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的；25=32，则2叫做32的
xn=a，其中n＞1，且n∈N﹡
归纳总结：n次方根的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N﹡.
得x＜ .
3．化简 (a，b>0)的结果是()
A． B．abC． D．a2b
解析原式＝ ÷ ＝a(3＋ )× b(2＋ )× ÷ ＝a － ×b － ＝ .
4．2－ ＋ ＋ － ·8 ＝________.
解析原式＝ ＋ ＋ ＋1－22＝2 －3.
5．已知3a＝2,3b＝ ，则32a－b＝________.
解析由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，
解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
12．计算下列各式的值：
(1)(0.027) － ＋256 ＋(2 ) －3－1＋π0；
(2)7 －3 －6 ＋ ；
(3)(a ·b－ )－ · ÷ (a＞0，b＞0)．
当n为偶数时，
0的任何次方根都是0，记作 =0.
探究2：根式的概念
探究点2在方根的表示中，你知道式子叫什么吗？
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
探究3：根式的运算性质
=2
结论 =a
2、求下列各式的值
(1) =_____ =_________
结论:an开奇次方根,则有 =a
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够运用运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的运算性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作学习，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备1. 教师准备：实数指数幂的相关知识，运算法则的案例，教学PPT等。
2. 学生准备：预习实数指数幂的相关知识，准备好笔记本。
五、教学过程1. 导入新课教师通过复习实数的基本概念，引导学生进入实数指数幂的学习。
2. 知识讲解（1）实数指数幂的概念教师讲解实数指数幂的定义，引导学生理解指数幂的意义。
（2）有理数指数幂的运算性质教师讲解有理数指数幂的运算性质，引导学生掌握运算规律。
（3）实数指数幂的运算法则教师讲解实数指数幂的运算法则，引导学生掌握运算法则。
3. 案例分析教师展示实数指数幂的运算案例，引导学生运用运算法则解决问题。
4. 课堂练习教师布置课堂练习题，学生独立完成，教师进行讲解和辅导。
5. 总结与拓展教师对本节课的知识进行总结，引导学生思考实数指数幂在实际问题中的应用。
6. 课后作业教师布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学反思教师在课后对教学情况进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
七、教学评价通过课堂表现、课后作业和课堂练习，评价学生对实数指数幂及运算法则的掌握程度。
八、教学时间本节课计划用2课时完成。
九、教学资源1. 教学PPT2. 实数指数幂的案例分析资料3. 课堂练习题十、教学拓展引导学生学习实数指数幂在实际问题中的应用，如科学计算、经济学等领域。
六、教学活动设计1. 导入新课：通过复习实数的乘方概念，引导学生自然过渡到实数指数幂的学习。
《指数与指数幂的运算》教案3(3课时)
第三课时：9月22日星期三教学目标
1.掌握根式与分数指数幂的互化；
2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值；
3.培养学生的数学应用意识。
教学重点：有理指数幂运算性质运用。
教学难点：化简、求值的技巧
教学方法：启发引导式
教学过程
（I）复习回顾
2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0）
（II）讲授新课
且要注意符号。
（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。
对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。
如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：
①结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；
分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。
例3．求值：
（III）课堂练习
计算下列各式：
要求：学生板演练习，做完后老师讲评。
（IV）课时小结
通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。
（V）课后作业
第二教材有关题目。
指数与指数幂的运算说课稿
指数与指数幂的运算说课稿(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--指数与指数幂的运算（2）从容说课指数是指数函数的预备知识，初中已经学习了整数指数幂的概念及其运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂.为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，了解无理数指数幂的概念.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是本课教学中的一个难点.教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，它不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法.教学中可以通过根式和分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解.由于学生已经有了负整数指数幂的学习经历，正分数指数幂的概念引入后，学生不难理解负分数指数幂的意义，教学中，可以引导学生自己得出anm=nma1（a ＞0，m 、n 均为正整数，且n ＞1）.三维目标一、知识与技能1.理解分数指数幂的含义，了解有理数指数幂的意义.2.掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辩证地分析问题、认识问题.三、情感态度与价值观1.通过分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解分数指数幂的意义.3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.教学重点1.分数指数幂的含义的理解.2.根式与分数指数幂的互化.3.有理指数幂的运算性质的掌握. 教学难点1.分数指数幂概念的理解.2.有理指数幂的运算和化简.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：上节课学习了n 次方根的有关知识，请同学们根据有关知识快速完成下列练习. （多媒体显示如下练习，生口答）①532=________；②481=________；③102=________；④3123=________. 生：①2 ②3 ③25④34.师：注意观察最终化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？（组织学生交流，及时捕捉与以下结论有关的信息并板书）102=25=2210，3123=34=3312.师：你对上面的总结是什么呢?生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式. 师：当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，是否也可将根式写成分数指数幂的形式？（生思考片刻，师继续阐述）师：这个问题我们的先辈早已解决了，人们在不断探索中发现，这么做不但是可以的，并且还会给计算带来很大方便.于是就建立了分数指数幂的概念.这就是我们本课所要研究的内容.二、讲解新课（一）分数指数幂的意义师：32a ，b ，45c 等通过类比可以写成什么形式说明了什么问题生：a 32，b 21，c 45.当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，也可以写成分数指数幂的形式.师：通过上面的例子你能给出一般性的结论吗? （生在师的指导下，得出一般性的结论） （师板书正分数指数幂的意义）规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =n m a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还能说出来吗？生：负整数指数幂的意义为a －n =n a1（a ≠0，n ∈N *）.师：负分数指数幂的意义如何规定呢你能否根据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢（组织学生讨论交流，得出如下结论）正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿.规定：anm =nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢如果去掉这个规定会产生怎样的局面合作探究：在规定分数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？ （组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a ＞0的合理性）若无此条件会引起混乱，例如，（－1）31和（－1）62应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：（－1）31=31-=－1；（－1）62=62)1(-=61=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.方法引导：在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在例子32a =a 32（a ＞0）中，若无a ＞0这个条件，32a =|a |32；同时，负数开奇次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，53)2(-=－532=－253.知识拓展：负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现在指数上.（二）有理数指数幂的运算法则师：规定分数指数幂的意义之后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）对于任意的有理数r 、s ，均有下面的运算性质： ①a r a s =a r +s（a ＞0，r 、s ∈Q ）；②（a r ）s =a rs（a ＞0，r 、s ∈Q ）；③（ab ）r =a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ）. （三）例题讲解【例1】 求值：832；2521-；（21）－5；（8116）43-.（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，强调严格按照解题步骤书写） 解：832=（23）32=23×32=22=4；2521-=（52）21-=5)21(2-⨯=5－1=51； （21）－5=（2－1）－5=25=32； （8116）43-=（32）)43(4-⨯=（32）－3=827. 【例2】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a ＞0）：a 3·a ；a 2·32a ；3a .（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤） 解：a 3·a =a 3·a 21=a213+=a 27；a 2·32a =a 2·a 32=a322+=a 38；3a =（a ·a 31）21=（a 34）21=a 32.方法引导：利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【例3】 计算下列各式（式中字母都是正数）：（1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）； （2）（m 41n83-）8.解：（1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）=［2×（－6）÷（－3）］a612132-+b653121-+=4ab 0=4a ；（2）（m 41n 83-）8=（m 41）8（n83-）8=m 2n －3=32nm .【例4】 计算下列各式： （1）（325－125）÷425； （2）322aa a ⋅（a ＞0）.解：（1）（325－125）÷425=（532－523）÷521=532÷521－523÷521=52132-－52123-=561－5=65－5； （2）322a a a ⋅=32212a a a ⋅=a32212--=a 65=65a .三、巩固练习课本P 63练习：1，2，3.（生完成后，同桌之间互相交流解答过程） 解：21=a ；a 43=43a ；a53-=531a；a32-=321a.2.（1）32x =x 32；（2）43)(b a +=（a +b ）43；（3）32)(n m -=（m －n ）32； （4）4)(n m -=（m －n ）24=（m －n ）2； （5）56q p =（p 6q 5）21=p 216⨯q215⨯=|p |3q 25；（6）mm 3=m213-=m 25.3.（1）（4936）23=［（76）2］23=（76）3=343216；（2）23×35.1×612=2×321×（32）31×（22×3）61=231311+-×3613121++=2×3=6；（3）a 21a 41a 83-=a834121-+=a 83（a ＞0）；（4）2x31-（21x 31－2x 32）=2×21×x 3131+-－2×2×x )32(31-+-=x 0－4x －1=1－x4. 四、课堂小结师：本节课你有哪些收获能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点） 1.分数指数幂的意义规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =n m a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a nm =nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数，并把整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质.3.有理数指数幂的运算法则 ①a r a s =a r +s（a ＞0，r 、s ∈Q ）；②（a r ）s =a rs（a ＞0，r 、s ∈Q ）；③（ab ）r =a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ）. 五、布置作业课本P 69习题组第2，4题. 板书设计指数与指数幂的运算（2）1.分数指数幂的意义0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义2.有理数指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业。
指数与指数幂的运算优秀教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（ 2 课时）第一课时根式教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I）复习回顾引例：填空（1）0=1（a 0) ；0=1（a0) ；n * )a a a n N（； an a个a n1na(a 0, n N *)(2) m n m n m nmn n n na a a (m,n∈Z)；(a ) a(m,n∈Z)；(ab ) a b (n∈Z)（3）9 _____ ；- 9 _____ ；0 ______ （4）( a)2 _____( a 0) ；a2 ________（II ）讲授新课1 / 151.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a可看作m na a ,所以m n m na a a 可以归入性质m n m na a a ；又因为an( ) 可看作bm na a ，所以na an n n n( ) 可以归入性质( ab) a b (n∈Z)）,这是为下面学习分nb b数指数幂的概念和性质做准备。
为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（n N* ）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。
如：22=4 ，（-2）2=4 2，-2 叫4 的平方根23=8 2 叫8 的立方根；（-2）3=-8 -2 叫-8 的立方根25=32 2 叫32 的 5 次方根⋯2n=a 2 叫 a 的 n 次方根2=4，则2叫4 的平方根；若23=8，2 叫做 8 的立方根；若25=32，则分析：若 22 叫做 32 的 5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a 的n 次方根。
由此，可有：2.n次方根的定义：（板书）一般地，如果nx a ，那么 x 叫做 a的 n 次方根（n th root）,其中n 1，且n N 。
指数与指数幂的运算(二) 必修一教案18
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教学目标
教学重点
教学难点
→
3
a12 ?
；
a 2 (a 3 ) 3 a 3
m n
3
2
2
教学过程
规定 a
n a m (a 0, m, n N * , n 1) ； a
m n
1 a
m n
1
n
a
m
(a 0, m, n N * , n 1)
③ 练 习 ： A. 将 下 列 根 式 写 成 分 数 指 数 幂 形 式 ： n m a (a 0, m, n N n 1) ； 2 35 ； 3 54
2、求值: 27 3 ;
2
16
4 3
;
3 ( )3 ; 5
(
25 3 ) 49
2
3、化简： (3a 3 b 2 )(8a 2 b 3 ) (6a 6 b 6 ) ； (m 4 n 8 )16
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2
1
1
1
1
5
1
3
4.
1 (2n1 )2 ( )2 n1 2 计算： n 2 48
) 16 3 2 4( 3 4 ④ ( ) ( ) 4 ( 2 )3 27 81 3 3 8
（ 2） 、 （P51，例 3）用分数指数幂的形式表或下列 各式（ a ＞0） 解： a3.
2
a a3 a 2 a
3 2 2 2 3
1
3
1 2 2 3
a2 a
8 3
的结果
5.
a10 1 若 a3 3, a10 384, 求a3 [( ) 7 ]n3的值 a3
指数与指数幂的运算(第一课时)教案
2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)一、教材分析：本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容. 二、学习目标：①理解n 次方根与根式的概念;②正确运用根式运算性质化简、求值; ③了解分类讨论思想在解题中的应用.三、教学重点：理解有理数指数幂的含义及其运算性质．四、教学难点：理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n 次方根的运算.五、课时安排：2课时 六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:①当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?21，,...)21(,)21(32 ②当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(③由以上的实例来推断生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系式应该是什么?573021tp ⎪⎭⎫ ⎝⎛=考古学家根据上式可以知道,生物死亡t 年后,体内碳14含量P 的值.那么这些数21，,...)21(,)21(32,573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(，573021t p ⎪⎭⎫ ⎝⎛=的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.2、学生探索,尝试解决问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?若x2=a,则x叫做a的平方根.同理,若x3=a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数.问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?如果一个数的4次方等于a,那么这个数叫做a的4次方根;如果一个数的5次方等于a,那么这个数叫做a的5次方根.问题3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根.问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢?方根的定义:一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.3、信息交流,揭示规律试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(多媒体显示,学生完成)(1)25的平方根是±5;(2)27的立方根是3;;(3)-32的5次方根是-2;(4)16的4次方根是±2;(5)a6的立方根是a2;(6)0的7次方根是0.问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?①以上各数的对应方根都是整数;②第(1)(4)题的答案有两个,第(2)(3)(5)(6)题的答案只有一个;③第(1)(4)题的答案中的两个根互为相反数.问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?一个数的奇次方根只有一个;一个数的偶次方根有两个,且互为相反数.问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?因为任何一个数的偶次方都是非负数,所以负数没有偶次方根;0的n次方等于0,所以0的n次方根等于0.问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢?n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次.(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次,负的n.正的n次方根与负的na>0).注:①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作n 0=0;③当a ≥0时,n a ≥0,所以类似416=±2的写法是错误的. 另外,我们规定:式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 问题9:利用上面所学n 次方根的知识,能否求出下列各式的值? (1)(5)2;(2)38-;(3)416;(4)33)3(-a (a>0). (1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3.问题10:上面的计算涉及了哪几类问题? 主要涉及了(a)n 与n a 的问题.组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论: (1)(n a )n =a.例如,(3)3=27,(-2)5=-32. (2)当n 是奇数时,nn a =a ;当n 是偶数时,nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0(,)0(,a a a a 例如,33)2(-=-2,442=2;553=3,()883-=|-3|=3.4、类比前面的学习，给出并讲解分数指数幂的定义和运算性质 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．（1）．有理指数幂的运算性质①r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>；②rss r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；③srra a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题 让学生先看并一起分析讲解例题．（教材例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 4． 无理指数幂结合教材实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（二） 、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题.【例1】求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-; (3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b ).解：（1）33)8(-=-8；（2）2)10(-=10-=10；（3）44)3(π-=;33-=-ππ（4）2)(b a -=.b a b a -=- 例2、 计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈）（3）1n >，且n N *∈） 【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-；当n =3π-.（3）||x y -，当x y ≥时，x y -；当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n 的奇偶性对式子n na 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.（三）、当堂检测 1.课本.321,54题、、p2、（P 56，例2）求值：①238；②1225-；③51()2-；④3416()81-.学生思考，口答，教师板演、点评． 2、解：① 223338(2)=2323224⨯===； ② 1122225(5)--=12()121555⨯--===； ③ 5151()(2)2---=1(5)232-⨯-==；④334()44162()()813-⨯-=3227()38-==3、用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）①3a 2a 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：①117333222a a a a a +=⋅==②2223a a a =⋅28233aa +==；③421332()a a ====.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)先让学生独自回忆，然后师生共同总结．本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． 以下是本节课重要知识点及需要理解的概念： 1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3． 掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.1.复习课本P 48~50内容,熟悉巩固有关概念和性质;2.课本P 59习题2.1A 组第1、2、4题. 八、教学反思：。
指数函数与指数幂的运算(优秀经典导学案)
必修一 第二章基本初等函数（Ι） 2. 1指数函数 2. 1. 1 指数与指数幂的运算第1课时 根式一、课时目标：1. 理解n 次方根及根式的概念．(重点)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点、难点)预习案阅读教材P 48～P 50例1的有关内容，完成下列问题： 1．如果 ()*∈>Nn n ,1，那么x 叫做a 的n 次方根.2．式子n a 叫做 ，这里n 叫做 ，a 叫做 . 3．根式的性质：(1)n 0＝ (n ∈N *，且n >1)； (2) ()nnaN n 时，*∈= ； (3) n a n＝⎪⎩⎪⎨⎧为偶数)(为奇数)(n a n a .自测练习1．(1)若x 3＝8，则x ＝________； (2)若x 2＝4，则x ＝________. 2. 判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)：(1)(－2)2＝－2 ( ) (2)(3a 3)＝a ( ) (3)(416)＝±2 ( ) 3．化简()()33233--+x x 得（）A ．6B ．x 2C ．6或-x 2D ．-x 2或6或x 24．化简下列各式： （1）()332-； （2）327-； （3）()()4433238-+-； （4）()44b a -.互动探究例1．求下列各式的值．(1)(5)2； (2)(3－3)3； (3)4(－2)4； (4)(3－π)2.[变式训练1] 已知4(a ＋1)4＝－a －1，则实数a 的取值范围是________．例2 . 若代数式2x －1＋2－x 有意义，化简4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4.[变式训练2] 设9612,3322++-+-<<-x x x x x 求的值．课堂检测1．481的运算结果是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．以上都不对2．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A .4m 2B .5mC .6m D .5－m3．下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是( ) A ．①③④ B ．②③④ C ．②③ D ．③④ 4．计算下列各式的值：(1)(3－5)3＝________； (2)(－b )2＝________. 5．当8< x <10时，化简：(x －8)2＋(x －10)2.6．写出使下列各式成立的x 的取值范围． (1) 3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3； (2) (x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.第2课时 指数幂及运算学校：澜沧一中 学科：数学 年级：高一 主备教师：沈琼梅 参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解分数指数幂的含义．(难点)2．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)3．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点) 分数指数幂的意义预习案阅读教材P 50～P 53“思考”的有关内容，完成下列问题：1．（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：nm a = ()1,0>∈>*n N m n a ，且、；（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：nm a -= = ()1,0>∈>*n N m n a ，且、； （3）0的正分数指数幂为 ，0的负分数指数幂 ． 2．有理数指数幂的运算性质：（1）=s r a a ()Q s r a ∈>、,0； （2）()=s ra ()Q s r a ∈>、,0；（3）()=rab ()Q r b a ∈>>,0,0．3. 一般地，无理数指数幂a α (a >0，α是无理数) 是一个确定的 ， 的运算性质同样适用于无理数指数幂．自测练习1．用根式表示下列各式 (式中a 均为正数)：(1) 31a ＝________； (2) 54a ＝________； (3) 23-a ＝________.2. 化简： (1) 12743aa ⋅＝________； (2)b 2b＝________； (3) 331)(ab ＝________.互动探究例1．将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)； (2) 3252)(1x x ( x >0 )； (3) 32432)(--b( b >0 )．[变式训练1] (1)用根式表示下列各式：53x ，53-x ；(2)用分数指数幂表示下列各式：a 2a ，a . (式中a 均为正数)例2. 化简下列各式 (其中字母均表示正数)： (1) 2175.034303101.016])2[()87()064.0(-++-+-----； (2))3(6)(2(656131212132b a b a b a -÷-．[变式训练2] 化简：4xy yx x 3234461)3(-÷⋅-⋅.例3. 已知21a ＋21-a＝3，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2； (3) 21212323----aa a a .[变式训练3] 已知21a ＋21-a ＝3，在题设条件不变的情况下，求a 2 －a－2的值．课堂检测1．下列运算正确的是( )A ．a ·a 2＝ a 2B ．(ab )3＝ab 3C ．(a 2)3＝a 6D ．a 10÷a 2＝a 5 2．233可化为( )A . 2B .33C .327D .273. 41)62581(-的值是________． 4．化简下列各式 (a >0，b >0)：(1)3a ·4a ； (2)a a a ； (3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3.5．已知x ＋y ＝12，x y ＝9，且x < y ，求21212121yx y x +-的值．2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象和性质学校：澜沧一中 学科：数学 年级：高一主备教师：沈琼梅 参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文 审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解指数函数的概念和意义．(重点)2．能借助计算器或计算机画出指数函数的图象．(难点) 3．初步掌握指数函数的有关性质．(重点、难点)预习案阅读教材P 54～P 56的有关内容，完成下列问题：1．一般地，函数 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 . 2．完成下表：a >1 0<a <1自测练习1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )A ．(4)xy =- B ．xy π= C ．4xy =- D ．2x y a +=()10≠>a a ，且2. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数x y 2=的定义域为(0，＋∞)．( ) (2)函数xy -=2在定义域内是增函数．( )(3)函数x y 3=y ＝3x 与x y )31(=的图象关于y 轴对称．( )互动探究当底数a 大小不定时，必须分“a >1”和“0< a < 1”两种情形讨论．指数函数y ＝a x 的图象如图所示，由指数函数y ＝a x 的图象与x ＝1相交于点(1，a )可知：图中的底数的大小关系为0 < a 4 < a 3 < 1 < a 2 < a 1 .①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即当a >1时，底越大，图象越靠近y 轴； ②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即当0< a < 1时，底越小，图象越靠近y 轴． 例1．若指数函数f (x )的图象经过点(2, 9)，求f (x )及f (－1)．[变式训练1] 若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________.例2. 若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0，且a ≠1) 的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0< a < 1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0< a < 1，且b < 0D ．a >1，且b <0[变式训练2] 函数y ＝a x ＋3＋2 (a >0，且a ≠1) 的图象过定点________．例3. 求下列函数的定义域与值域：(1) 114.0-=x y ； (2) 153-=x y ； (3) y ＝2x ＋1.[变式训练3] 求下列函数的定义域和值域：(1) 4-12x y =； (2) 2)31(-=x y .课堂检测1．下列函数是指数函数的是( )A ．y ＝(－2)xB ．y ＝x 3C ．y ＝－2xD ．y ＝2x 2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图所示，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝a x ＋1 (a >0且a ≠1) 恒过定点 ________．4．下列函数是指数函数吗？分别求函数的定义域、值域：(1)y ＝165+x ； (2)y ＝x 3)21(； (3)y ＝x 17.0； (4)y ＝π－x ； (5)y ＝xa )12(- ⎝⎛⎭⎫a >12且a ≠1.第2课时 指数函数及其性质的应用学校：澜沧一中 学科：数学 年级：高一 主备教师：沈琼梅 参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解指数函数单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．(重点、难点) 2．会解指数函数型的应用题．(重点) 3．掌握指数函数的图象变换．(易错点)预习案 阅读教材P 57～P 58的有关内容，完成下列问题：1．a >10<a <1R2．如图是指数函数 ①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c自测练习1．画出函数115,3,(),()35x x x x y y y y ====的图象，说出底数与函数图象的位置关系.2. 指数函数增长模型：原有量N ，平均最长率P ，则经过时间x 后的总量y = .3. 形如 （01a a >≠且）的函数是一种 ，这是非常有用的函数模型.互动探究例1．比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)0.60.4和0.70.4.[变式训练1] 已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m ) > f (n )，则m ，n 的大小关系为________．例2. 如果a －5x > a x ＋7(a > 0且a ≠1)，求x 的取值范围．[变式训练2] 若a x ＋1> x a35)1(- (a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．例3. 已知函数f (x )＝a －12x ＋1(x ∈R )． (1)用定义证明：不论a 为何实数，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f (x )为奇函数，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求f (x )在区间 [1,5] 上的最小值．[变式训练3] 已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明：f (x )为奇函数． (2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明． (3)求f (x )的值域．课堂检测1．若a ＝21)5.0(，b ＝31)5.0(，c ＝41)5.0(，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．a >c >bD ．b <c <a 2．若函数f (x )＝x x -+33与g (x )＝x x --33的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 3．函数f (x )＝x )21(在区间 [－1,2] 上的最大值是________．4．画出函数y ＝12+x 的图象，并根据图象指出它的单调区间．2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算第1课时 对数学校：澜沧一中 学科：数学 年级：高一 主备教师：沈琼梅 参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文 审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点) 2．理解对数的底数和真数的范围．(易混点) 3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点)预习案阅读教材P 62～P 63的有关内容，完成下列问题：1．定义：一般地，如果 (0,1)a a >≠，那么x 叫做 ，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 .2． 定义： 我们通常将以10为底的对数叫做 ， 并把常用对数 简记作 ；在科学技术中常使用以无理数e = 2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫 ，并把自然对数 简记作 .3．指数与对数间的关系： 当0,1a a >≠时， ⇔ .4．对数的性质： ⑴ 没有对数； ⑵ ； ⑶ =a a log .自测练习1．(1) 2x ＝3，则x ＝________； (2) 10x ＝5，则x ＝________； (3)4log 3=b a ，则 . 2. 判断正误 ( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(－2)3＝－8可化为log (－2)(－8)＝3( ) (2)对数运算的实质是求幂指数( ) 3. (1)2713=x 的对数表达式为 ，x = ；(2) x =16log 2的指数表达式为 ，x = .4．计算：21log 16= ， 2.5log 2.5= ，0.4log 1= . 互动探究例1．求下列各式中x 的值：(1) 2327log =x ； (2) 32log 2-=x ； (3) 91log 27=x ； (4) 16log 21=x .[变式训练1] 求下列各式中x 的值：(1) log x 81＝2； (2) x ＝log 8 4； (3) lg x ＝－2； (4) 5 lg x ＝25.例2. 求下列各式中x 的值：(1) log 2 (log 5 x )＝0； (2) log 3 (lg x )＝1； (3) x =+-2231log )12(.[变式训练2] 若lg (ln x )＝1，则x ＝________.课堂检测1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．010＝1与lg1＝0 B ．312731=-与3131log 27-= C ．9log 3＝2与219＝3 D ．5log 5＝1与51＝5 2．在b ＝log 3 (m －1) 中，实数m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)3．ln e ＋ lg 1＝____ ____.4．若312log 19x-=，则x = ．5．求下列各式的值：(1) log 3 27； (2) 1)3-2()32(log -+.第2课时 对数的运算学校：澜沧一中 学科：数学 年级：高一主备教师：沈琼梅 参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文 审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 理解并掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点) 2．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)预习案阅读教材P 64～P 67“思考”的有关内容，完成下列问题： 1．对数的运算性质：如果0,0,1,0>>≠>N M a a ，那么（1）a log (MN)= ； （2）aMlog =N； （3）n a log M = . 2. 换底公式： (1) ＝ log c b log c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1)； (2)log log m n a a nb b m =；(3) log a b ·log b a ＝ (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1)．自测练习1．判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)：(1)log a (－2)＋log a (－4) ＝log a 8 ( ) (2)log a b 2 ＝2log a b ( )(3)log a (M ＋N ) ＝log a M ＋log a N ( ) (4)log a M N＝log a M ÷log a N ( )2. 若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 2 3＝________.互动探究 例1．求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5 log 53； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.[变式训练1] 计算：(1)2log 122＋log 123； (2)lg 500－lg 5； (3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求lg 45.例2. 已知log 189＝a ,18b ＝5，则a ，b 表示log 3645的值．[变式训练2] (1) (log 29)·(log 34)＝( )A .14B .12C ．2D ．4(2) 已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n＝________.例3. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字) (lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)?[变式训练3] 抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)．课堂检测1．log 23·log 32的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 2．设a >0，a ≠1，且x > y >0，n ≥2，n ∈N *，考虑下列等式：①(log a x )n ＝n log a x ； ②log a (xy )＝(log a x )(log a y )； ③log a x y ＝log a x log a y ； ④log a nx ＝1nlog a x ； ⑤a log a x ＝x ；⑥log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ； ⑦log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋yx －y.其中正确等式的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3．若3a ＝2，则2log 36－log 38＝________.4．求下列各式的值：(1)lg 25＋lg 2·lg 5＋lg 2； (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (3)log 535＋2log 122－log 5150－log 514.2. 2. 2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质学校：澜沧一中 学科：数学 年级：高一 主备教师：沈琼梅 参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文 审定教师：沈琼梅一、 课时目标：1. 理解对数函数的概念．(易错点)2. 掌握对数函数的图象及性质．(重点、难点)预习案阅读教材P 70～P 71的有关内容，完成下列问题：1. 一般地，函数 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 . 2 a >1 0< a<1定义域为 ，值域为 .自测练习1．下列函数中，是对数函数的是________(1) y ＝log a x (a >0，且a ≠1)； (2) y ＝log 2 x ＋2； (3) y ＝8log 2 (x ＋1)； (4) y ＝log x 6 (x >0，且x ≠1)； (5) y ＝log 6x .2. 判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)： (1)若f (x )是对数函数，则f (1)＝0 ( ) (2)函数y ＝log 2 x 在R 上是增函数 ( )(3)函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 的图象一定位于y 轴的右侧 ( )互动探究当底数a 大小不定时，必须分“a >1”和“0< a < 1”两种情形讨论．对数函数y ＝log a x 的图象如图所示，由对数函数y ＝log a x 的图象与y ＝1相交于点(a ，1)可知：图中的底数的大小关系为0 < c < d < 1 < a < b .① 在x 轴上侧，图象从右到左相应的底数由大变小，即当a >1时，底越大，图象越靠近x 轴；② 在x 轴下侧，图象从下左到右相应的底数由大变小，即当0< a < 1时，底越小，图象越靠近x 轴． 例1．求下列函数的定义域：(1) y ＝lg (2－x )； (2) y ＝1log 3(3x －2)； (3) y ＝log (2x －1) (－4x ＋8)．y=log b x y=log c x[变式训练1] 函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞) 例2. 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间：(1) y ＝log 3(x －2)； (2) y ＝|x 21log |.[变式训练2] (1) 函数y ＝log 2|x |的图象大致是( )(2) 函数y＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．课堂检测1．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝log a (2x ) (a >0，且a ≠1)B ．y ＝log a (x 2＋1) (a >0，且a ≠1)C ．y ＝x a1log (a >0，且a ≠1) D ．y ＝2lg x2．图中曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A .3，43，35，110B .3，43，110，35C . 43，3，35，110D . 43，3，110，353．函数y ＝log a (x －2) (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________． 4．求下列函数的定义域：(1) f (x )＝lg (4－x )x －3； (2) y ＝log 0.1(4x －3).第2课时 对数函数及其性质的应用学校：澜沧一中 学科：数学 年级：高一 主备教师：沈琼梅 参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．(易混点) 2．理解并掌握对数函数的性质．(重点、难点)预习案 阅读教材P 72~P 73的有关内容，完成下列问题：1．对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且和指数函数(0,1)x y a a a =>≠且互为 . 特点是： .2. 互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称.3. 若函数y ＝f (x )图象上有一点 (a ，b )， 则 (b ，a ) 必在其反函数图象上．反之，若 (b ，a ) 在反函数图象上，则 (a ，b ) 必在原函数图象上．自测练习 1．(1)y ＝10x 的反函数是________； (2)y ＝x )54(的反函数是________； (3)y ＝x 31log 的反函数是________； (4)y ＝log 2 x 的反函数是________．2．若函数x y lg =与函数y ＝x a 的图象关于直线x y =对称，则a =______.互动探究例1．比较下列各组数的大小．(1)log 1245与log 1267； (2)log 123与log 153； (3)log a 2与log a 3； (4)log 120.4与log 40.6.[变式训练1] 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b例2. 解下列不等式：(1) log 2 (2x ＋3) > log 2 (5x －6)； (2) log x 12 >1.[变式训练2] 若实数a 满足log a 23< 1，求a 的取值范围．例3. 已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0，且a ≠1，m ≠1) 是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)探究函数f (x )在 (1，＋∞) 上的单调性； (3)若a ＝2，试求函数f (x )在 [3,5] 上的值域．[变式训练3] 若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1) 在区间 [a ,2a ] 上的最大值是最小值的3倍，求a 的值．课堂检测1．函数y ＝x 21log (x >0)的反函数是( )A ．y ＝21x ，x >0 B ．y ＝x )21(，x ∈R C ．y ＝x 2，x ∈R D ．y ＝2x ，x ∈R 2．函数y ＝log 3 x (1≤ x ≤ 9) 的值域为( )A ．[0，＋∞)B ．RC ．(－∞，2]D ．[0,2]3．比较下列各组数的大小：(1)log 22________log 23； (2)log 32________1；(3)log 134________0；(4)log 43________log 34.4．若log a 25< 1 (a >0，且a ≠1)，求a 的取值范围．2. 3 幂函数学校：澜沧一中 学科：数学 年级：高一 主备教师：沈琼梅 参与教师：刘英华、单祖培、尹继叶、王丝然、张露平、樊明文审定教师：沈琼梅一、课时目标：1. 了解幂函数的概念．(易错点)2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝21x 的图象，了解它们的变化情况．(重点)预习案阅读教材P 77～P 78的有关内容，完成下列问题：1．幂函数的概念：形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数.2321－1y ＝x3.（1）幂函数的图象不过第 象限，都过点 ； （2）当α＞0时，幂函数在上是 ；当α＜ 0时，幂函数在上是 ；（3）当时，幂函数是 ；当时，幂函数是 .自测练习1．下列函数是幂函数的是________．①y ＝2x 2 ②y ＝2x ③y ＝x 3 ④y ＝x －1 2．如图所示是幂函数αx y =在第一象限的图象， 比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< 互动探究例1．已知函数y ＝(m 2＋2m －2) x m ＋2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．[变式训练1] 已知函数f (x )＝(m 2＋2m )xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数？ (2)反比例函数？ (3)二次函数？ (4)幂函数？例2. 已知幂函数的图象过点P ⎝⎛⎭⎫12，4. 讨论y ＝f (x )的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出草图．[0,)+∞(0,)+∞2,2α=-11,1,3,3α=-α[变式训练2] 已知函数y ＝32x .(1)求定义域； (2)判断奇偶性；(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．例3. 比较下列各组数中两个数的大小．(1)5.0)52(与5.0)31(； (2) 1)32(--与1)53(--； (3) 43)32(与32)43(.[变式训练3] 比较大小：(1) 535.1________537.1； (2)0.71.5________0.61.5； (3) 32-2.2________32-8.1； (4)0.15－1.2________0.17－1.2；(5)0.20.6________0.30.4；(6) 87-9________76)98(.课堂检测1．下列函数中是幂函数的是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝2xC ．y ＝x 2D ．y ＝3x ＋22．函数y ＝35x 的图象大致是图中的( )3．下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数4．比较下列各题中数值的大小：(1)1.33,1.43； (2)0.26－1,0.27－1； (3)(－5.2)2，(－5.3)2； (4)2，3，0.72.。
教学设计4：2.1.1 指数与指数幂的运算 第二课时
2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a=352)(a =a 2=a510;②8a =24)(a =a 4=a 28; ③412a =443)(a =a 3=a 412; ④210a=225)(a =a 5=a210.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =n a1(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510a =a510,②8a =a 28,③412a=a412,④210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律,435=543,357=735,57a =a 57,n mx=x nm .(4)53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m 的n 次方根是x nm . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么a m 的n 次方根可表示为na m =a n m ,即a nm =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗? ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =n a1(a≠0),n ∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是a mn =n ma(a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)31=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: （1）a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), （2）(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ), （3）(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例思路1例1求值:①832;②2521-③(21)-5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,21写成2-1,8116写成(32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4;②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5-1=51; ③(21)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; ④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)-3=827.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如832=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a>0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(-3a 61b 65); （2）(m 41n83-)8. 活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n 83-)8=m841⨯n883⨯-=m 2n -3=32n m . 点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:(1)33·33·63;(2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(nm =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4计算下列各式: （1）(125253-)÷425; （2）322aa a •(a ＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. 解：（1）原式=(2531-12521)÷2541=(532-523)÷521 =52132--52123-=561-5=65-5;（2）322a a a •=32212aa a •=a32212--=a 65=65a .思路2例1比较5,311,6123的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为5=635=6125,311=6121,而125＞123＞121,所以6125>6123>6121.所以5>6123>311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值:(1)432981⨯;(2)23×35.1×612.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外432981⨯=421344)3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)432981⨯=［34×(334)21］41=(3324+)41=(3314)41=367=633;(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311++·3613121++=2×3=6.例3计算下列各式的值: （1）［(a 23-b 2)-1·(ab -3)21(b21)7］31;（2）1112121-+-++--a a a aa;(3)14323)(---÷a b b a.活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.解：(1)原式=(a23-b 2)31-(ab -3)61·(b 21)37=a 21b32-a 61b21-b 67=a6121+b672132+--=a 32b 0=a 32;另解：原式=(a 23b -2a 21b 23-·b 27)31 =(a2123+b27232+--)31=(a 2b 0)31=a 32;（2）原式=11111-+-++a aa aa =)1(1-+a a a =)1(11-+-a a a a=)111(1-+-a a a= )1(2--a a =)1(2a a a-;（3）原式=（a 21b32）-3÷(b -4a -1)21=a23-b -2÷b -2a21-=a2123+-b -2+2=a -1=a1. 例4已知a ＞0,对于0≤r≤8,r ∈N *,式子(a )8-r ·)1(4ar能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a 的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：(a )8-r ·)1(4ar=a 28r -·a4r -=a448rr --=a4316r -.16-3r 能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂.点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例5已知f （x ）=e x －e -x ,g （x ）=e x +e -x . （1）求［f （x ）］2－［g （x ）］2的值； （2）设f （x ）f （y ）=4,g （x ）g （y ）=8,求)()(y x g y x g -+的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=［f （x ）+g （x ）］·［f （x ）－g （x ）］=（e x －e -x +e x +e -x ）（e x －e -x －e x －e -x ）=2e x （－2e -x ）=－4e 0=－4; 另解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=(e x -e -x )2-(e x +e -x )2 =e 2x -2e x e -x +e -2x -e 2x -2e x e -x -e -2x =-4e x -x=-4e 0=-4;(2)f （x ）·f （y ）=（e x －e -x ）（e y －e -y ）=e x +y+e -(x+y)－e x -y －e -(x -y)=g （x+y ）－g （x －y ）=4, 同理可得g （x ）g （y ）=g （x+y ）+g （x －y ）=8, 得方程组⎩⎨⎧=++=+8,y)-g(x y)g(x 4,y)-g(x -y)g(x 解得g （x+y ）=6,g （x －y ）=2.所以)()(y x g y x g -+=26=3.点评：将已知条件变形为关于所求量g （x+y ）与g （x －y ）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想. 知能训练课本P 54练习 1、2、3. ［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)下列运算中,正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(-a 2)3=(-a 3)2 C.(a -1)0=0 D.(-a 2)3=-a 6(2)下列各式①42)4(n -,②412)4(+-n ③54a ,④45a （各式的n ∈N ,a ∈R ）中,有意义的是( )A.①②B.①③C.①②③④D.①③④ (3)24362346)()(a a •等于( )A.aB.a 2C.a 3D.a 4(4)把根式－232)(--b a 改写成分数指数幂的形式为( ) A.-2(a -b)52- B.-2(a -b)25-C.-2(a52--b 52-) D.-2(a25--b 25-)(5)化简（a 32b 21）（-3a 21b 31）÷（31a 61b 65）的结果是( )A.6aB.-aC.-9aD.9a2.计算：(1)0.02731-－（－71）-2+25643－3-1+（2－1）0=________.(2)设5x =4,5y =2,则52x -y =________.3.已知x+y=12,xy=9且x ＜y,求21212121yx y x +-的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：21212121yx y x +-=))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=yx yy x x -+-21212.因为x+y=12,xy=9,所以(x -y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因为x ＜y,所以x -y=-2×33=-63.所以原式36612--=33-. 拓展提升1.化简111113131313132---+++++-x xx x x x x x .活动：学生观察式子特点,考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到: x -1=(x31)3-13=(x 31-1)·(x 32+x 31+1); x+1=(x31)3+13=(x 31+1)·(x 32-x 31+1);x -x 31=x 31［(x31)2-1］=x 31(x 31-1)(x 31+1).构建解题思路教师适时启发提示.解：111113131313132---+++++-x xx x x x x x =111)(11)(3131323131333131323331---+++++-x x x x x x x x x=)1()1)(1(1)1)(1(1)1)(1(31313131313132312132313231-+--++-++++++-x x x x x x x x x x x x x=x 31-1+x 32-x 31+1-x 32-x 31=-x 31. 点拨:解这类题目,要注意运用以下公式, (a 21-b 21)(a 21+b 21)=a -b, (a 21±b21)2=a±2a 21b 21+b,(a 31±b 31)(a32 a 31b 31+b 32)=a±b.2.已知a 21+a 21-=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a -1;(2)a 2+a -2;(3)21212323----aa a a .解：(1)将a 21+a21-=3,两边平方,得a+a -1+2=9,即a+a -1=7;(2)将a+a -1=7两边平方,得a 2+a -2+2=49,即a 2+a -2=47; (3)由于a 23-a23-=(a21)3-(a 21-)3, 所以有21212323----aa a a =2121212112121))((-----++-aa a a a a a a =a+a -1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值. 课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a mn=n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a m n-=m na 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ),②(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ),③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).(4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(a n )n m =n mn a ⨯=a m 来计算.作业课本P 59习题2.1A 组 2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.。
幂运算教学设计
幂运算教学设计一、教学目标1. 理解幂的概念，掌握幂运算的基本规则。
2. 掌握幂运算在数学中的应用，如解方程、求导等。
3. 培养学生计算和解决问题的能力。
二、教学内容1. 幂的定义，指数、底数等概念2. 幂运算的基本规则：乘方之间的运算规则、乘方与乘法的运算规则、商的幂运算法则、负指数幂运算法则3. 幂运算在方程、函数、导数等方面的应用三、教学方法1. 讲授法2. 演示法3. 举例法4. 问答式教学5. 讨论式教学四、教学过程1. 导入引入幂运算的概念，列出一些与幂运算有关的问题，如：- 如果a=3，那么a³等于几？- 如果a=4，那么a²等于几？- 如果a=2，那么a⁵等于几？- 如果2³=8，那么3⁴等于几？通过这些问题，让学生了解到幂运算的基本概念。
2. 讲解幂运算的定义及基本规则讲解幂的定义及指数、底数等概念，让学生掌握幂运算的概念。
然后讲解幂运算的基本规则，包括乘方之间的运算规则、乘方与乘法的运算规则、商的幂运算法则、负指数幂运算法则。
3. 讲解幂运算的应用介绍幂运算在方程、函数、导数等方面的应用，包括解幂方程、幂函数、幂次函数和幂函数的导数等，让学生了解到幂运算在数学中的重要作用。
4. 练习让学生在教师的指导下，进行一些幂运算的计算练习。
提供一些练习题，让学生应用所学知识进行解答。
5. 拓展拓展幂运算在其他学科中的应用，如物理、化学等，让学生了解到幂运算在其他学科中的应用。
6. 总结让学生总结所学内容，强化知识点，巩固记忆。
五、教学评价1. 学生自测2. 练习题和作业3. 课堂讨论4. 举行小组赛5. 组织考试，对学生的掌握程度进行评估六、教学资源1. 教材2. PPT3. 电子白板4. 实物道具（幂运算示意图、实物模型）5. 练习题和作业。
【参考教案】《指数与指数幂的运算》(人教)
《指数与指数幂的运算》从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。
进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。
【知识与能力目标】1、掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2、了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；3、理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质。
【过程与方法目标】具体习题，灵活运用根式运算。
由整数指数幂的运算性质理解有理数指数幂的运算性质。
【情感态度价值观目标】1、通过学习n次方根的概念及根式的运算，提高学生的运算能力和逻辑思维。
2、通过分数指数幂的学习，让学生体会严谨的求学态度。
【教学重点】根式与分数指数幂之间的互相转化。
【教学难点】根式运算与有理数指数幂的运算。
通过本节导学案的使用，引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础。
(一)创设情景，揭示课题1、以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性。
2、由实例引入，了解指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；（1）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%。
那么在2010年, 我国的GDP 可望为2000年的多少倍?（2）当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的系573012tp⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么当生物体死亡了１万年后，它体内碳14的含量为多少？（3）对1.07310，10000573012p⎛⎫= ⎪⎝⎭这两个数的意义如何？怎样运算？3、初中根式的概念思考1:４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2:-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3:一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？思考4:如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？思考5:推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？试给出其定义。
指数与指数幂的运算教学设计
指数与指数幂的运算教学设计教学设计：指数与指数幂的运算一、教学目标1.知识与技能：-理解指数的概念；-掌握指数幂与指数的运算规则；-能够用运算规则计算简单的指数幂与指数运算；-能够解决一些实际问题。
2.过程与方法：-采用启发引导和演绎法讲解指数与指数幂的概念和运算规则；-结合实际问题进行训练和应用；-培养学生的逻辑思维和抽象推理能力；-通过合作学习和小组活动提高学生的学习兴趣和合作意识。
3.情感态度价值观：-培养学生的数学兴趣和创新精神；-培养学生的逻辑思维和抽象推理能力；-加强学生的团队协作和沟通能力。
二、教学重点和难点1.教学重点：-指数的概念和运算规则；-指数幂的概念和运算规则。
2.教学难点：-运用运算规则解决一些实际问题。
三、教学准备1.教学材料：教科书、习题集、挂图等；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器等；3.教学环境：课堂、实验室等；4.学生准备：认真预习教材内容。
四、教学过程本教学设计采用扩展和巩固知识点相结合的教学方法，具体分为以下几个步骤：步骤一：导入（5分钟）利用个案讨论的方式引入指数的概念和应用。
例如，陈述一个实际问题：“假设你投资1000元，年利率为3%，每年复利计算，5年后你的本金和利息总共是多少？”让学生思考并讨论。
步骤二：探究指数的概念与性质（15分钟）1.通过观察和分析，引导学生总结指数的概念和性质。
例如，通过做一些实际问题，引导学生找到指数的共同规律和特点，如指数是正整数、底数相同则指数相加等。
2.教师给出正确的定义和公式，并对概念进行解释和说明。
步骤三：研究指数幂的意义（20分钟）1.通过具体例子，引导学生理解指数幂的概念和意义。
例如，计算2的3次方，是指底数2乘以自己三次的结果。
2.结合实际问题，让学生分组进行小组活动，解决有关指数幂的实际问题，并向全班汇报和分享。
步骤四：掌握指数幂的运算规则（20分钟）1.通过实际例子和计算，引导学生总结指数幂的运算规则。
高中数学《指数——无理数指数幂及其运算性质》(第二课时)教学设计
指数（第二课时）4.1.2 无理数指数幂及其运算性质一、内容与内容解析1.内容无理数指数幂的概念与运算性质．2.内容解析对于无理数指数幂的认识,教科书安排了一个探究栏目，从具体的开始．假设有意义，根据有理数指数幂的意义，利用计算工具，由的不足近似值x（有理数）和过剩近似值y（有理数），计算相应的的值,并填入表中．可以发现，当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，相应的都趋向于同一个数．这时，从差趋向于0，也可以进一步说明都趋向于同一个数，这个数就是．也就是说，是一串逐渐增大的有理数指数幂…和另一串逐渐减小的有理数指数幂…逐步逼近的结果．由于实数与数轴上的点一一对应，这一过程也可以在数轴上标示出来（如教科书图4.1-1）．逐步逼近后，根据我们的想象和推断，这个点在数轴上存在，而且是唯一的，它是一个确定的实数,这个数就是．无论是认识,还是认识，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左、右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定，不仅在数轴上确实存在，而且唯一. 这种研究问题的方法是现代数学中常用的方法：选取点所在的一个邻域，运用无限分割的方法，将点所在区间不断缩小，得到区间套，然后运用极限，得到研究问题的答案。
教科书接下来安排了一个“思考”栏目，让学生类比的探究过程，探究。
也是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与它对应．在上述研究的基础上，教科书给出结论：一般地，无理数指数幂（a＞0，α为无理数）是一个确定的实数．这个结论使以后能在实数范围内定义指数函数，在区间（0，+∞）内定义对数函数．这样，我们把指数幂（a＞0）中指数x的取值范围由整数拓展到有理数，并进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数．应当注意的是，在指数幂中，通常要限定a＞0这个条件. 这是为了保证后续的指数函数y=对于任意实数x都有意义，因为只有正数的任何实数次幂才都有意义。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、探究、归纳实数指数幂的运算法则；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的灵活运用；（2）解决实际问题。
三、教学准备1. 教具准备：（1）黑板；（2）粉笔；（3）多媒体教学设备。
2. 学具准备：（1）练习本；（2）计算器。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：幂的定义、运算法则；（2）提出问题：实数指数幂是什么？它有哪些运算法则？2. 自主探究（1）学生自主探究实数指数幂的定义；（2）学生分组讨论实数指数幂的运算法则；（3）各组汇报讨论成果。
3. 课堂讲解（1）讲解实数指数幂的定义；（2）讲解实数指数幂的运算法则；（3）举例说明实数指数幂的运算法则的应用。
4. 巩固练习（1）学生自主完成练习题；（2）教师点评答案，解答疑问。
5. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容；（2）强调实数指数幂的运算法则的运用。
五、课后作业1. 完成练习册相关题目；2. 运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
六、教学拓展1. 对比实数指数幂与整数指数幂的差异；2. 探讨实数指数幂在实际问题中的应用，如放射性衰变、人口增长等。
七、实践操作1. 学生分组，利用计算器验证实数指数幂的运算法则；2. 每组选取一个实际问题，运用实数指数幂及运算法则求解，并分享解题过程。
八、课堂互动1. 教师提问，学生回答；2. 学生互相提问，共同解答；3. 教师点评互动过程，解答疑问。
九、总结反思1. 学生总结本节课所学内容；2. 学生分享自己在实践操作中的收获；3. 教师点评学生表现，总结实数指数幂及运算法则的重要性和实际应用。
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2.1.1（2）指数与指数幂的运算（教学设计）
内容：分数指数幂
一、教学目标
（一）知识目标
（1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。
（2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。
（二）能力目标
（1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．
（2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．
（3）训练学生思维的灵活性
（三）德育目标
（1）激发学生自主学习的兴趣
（2）养成良好的学习习惯
教学重点： 次方根的概念及其取值规律。
教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。
引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。
．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出
及 ，同时追问这里 的由来。
二、师生互动，新课讲解：
1.分数指数幂
看下面的例子：
当0>a 时，
（1）2552510)(a a a ==，又5102=，所以510
510a a =； （2）3443412)(a a a ==，又4123=，所以412
412a a =． 从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？
根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m n m
a a =（0>a ，1*,,>∈n N n m ）．
0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义.
由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0<a 时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式． 例如：3273-=-，而3)27(62=-．
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用．
联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用
(1)a r a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q)
(2)(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q)
(3)(ab)r =a r b r (a>0,b>0, r,∈Q)
3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。
（1） 规定正数的正分数指数幂的意义是：
n m n m
a a = （a>0，m,n ∈N +，且n>1）
（2） 规定正数的负分数指数幂的意义是：
=-m m a n m
a 1
（a>0，m,n ∈N +，且n>1）
（3） 特别指出分数指数幂的底数a 、m 、n 的取值只需式子有意义即可。
例1（课本P51例2）：求值：
23
8；1225-；51()2-；3416()81-
变式训练1： 求下列各式的值：
（1）1225； （2）3227
-； （3）361-⎪⎭⎫ ⎝⎛； （4）431000081-⎪⎭⎫ ⎝⎛． 解 (１) 55)5(25
21221221
===⨯； （2）9
133)3(272)32(332
332
====--⨯--； （3）2166)6(613313===⎪⎭⎫ ⎝⎛---；
（4）27100031010310310000813
343443
=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-．
例2（课本P51例3）用分数指数幂的形式表示下各式（其中a>0） 3a a ；322a a
；
例3（课本P52例4）：计算下列各式（式中字母都是正数） （1）2
11511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷- （2）3
18
84()m n -
（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）
分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.
我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？
其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.
第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.
解：（1）原式=
211115
326236
[2(6)(3)]a b
+-+-
⨯-÷-=0
4ab=4a
（2）原式=
3
1
88
8
4
()()
m n-=23
m n-
例4：（课本P52例5）计算下列各式
（1
）（2
2
(a＞0）
分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
解：（1）原式=
111
324 (25125)25
-÷
=
231
322 (55)5
-÷
=
2131 3222 55
--
-
=
1
6
55
-
= 5
（2）原式
=
125
2
2
236
2
1
3
2
a
a a
a a
--
===⋅
小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.
课堂练习：（课本P54练习NO：1；2；3）
三、课堂小结，巩固反思：
1.这堂课的主要内容是什么？
2.做指数运算时有什么需要注意的地方？
这节课我们学习了指数幂的定义，性质以及一些运算。
在学习中，我们应当逐步深入，领悟从整数到根式再到分数的导出过程，理解由特殊到一般的研究方法，在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。
四、布置作业
A组：
1、（课本P59习题2.1 A组：NO：2（1）（2）（3））
2、（课本P59习题2.1 A组：NO：4（1）~（8））
3、(tb0112901)下列等式中正确的是（D ）
(A) -x =(-x)21 (x ≠0) (B) x
31-= -3x (C) 3162y y = (y<0) (D) 4343)()(x
y y x =- (xy ≠0) 4、(tb0112902)下列各式成立的是（A ）。
(A) 31
324= (B) 32322)(n m n m +=+ (C) (55)ab a b = (D) 3
1
62)2()2(-=- 5、(tb0112911)化简433
)278(b
a --(a>0,b>0)的结果是（C ）。
(A)
b a 23 (B) -b a 23 (C) 448116b a (D) -44811b
a 6、(tb0113012)34
329
-b a (a>0,b>0)化简得（C ）。
(A) 43
23
-b a (B)31
31
-b a (C) 41
23
-b a (D) 49
31
-b a
B 组：
1、（课本P59习题 2.1 B 组：NO ：2）。