逆矩阵及伴随矩阵
第三节 逆矩阵
A21 A22 A2 n
An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
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定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1
A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
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证明
AA
1
A 显然 A 0， 有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
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定理2.4 定理2.5 定义2.13
若 若
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A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
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8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
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四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
求逆矩阵知识点总结
求逆矩阵知识点总结一、定义矩阵的逆是指存在一个矩阵使得它与原矩阵相乘得到单位矩阵。
具体来说，如果矩阵A的逆矩阵存在，我们用A^-1来表示它，那么矩阵A的逆矩阵定义为满足下式的矩阵B：A *B = B * A = I其中，I是单位矩阵。
二、求解方法1. 初等变换法利用行初等变换把矩阵A转换为单位矩阵，所做的初等行变换同时作用于一个相同次序的单位矩阵，然后将单位矩阵转换得到的矩阵即是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法对于n阶方阵A，它的伴随矩阵定义为其每个元素的代数余子式。
A的伴随矩阵记作Adj(A)，则有A^-1 = (1/det(A)) * Adj(A)，其中det(A)是A的行列式。
3. 初等矩阵法对于矩阵A，构造一个n阶单位矩阵In，然后对In进行一系列的乘法和加减操作所得到的新矩阵记为B，如果B=A^-1，则B就是矩阵A的逆矩阵。
三、性质1. 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵A有逆矩阵，那么这个逆矩阵是唯一的。
也就是说，如果存在矩阵B和C，使得A*B=I和A*C=I，那么B=C。
2. 若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且有(A*B)^-1=B^-1*A^-13. (A^-1)^-1 = A4. (A^T)^-1 = (A^-1)^T5. 行列式为0的矩阵没有逆矩阵。
四、应用求逆矩阵在实际应用中有着广泛的作用，其中包括但不限于以下几个方面。
1. 线性方程组求解线性方程组Ax=b时，如果A是可逆矩阵，则可以直接用逆矩阵求解：x=A^-1*b。
2. 信号处理在信号处理领域中，矩阵的逆可以用来解决信号的解耦、滤波等问题。
3. 机器学习矩阵的逆在机器学习中也有重要的应用，比如用于参数的最小二乘估计以及矩阵分解等问题。
4. 几何变换在计算机图形学和几何变换领域，矩阵的逆可以用来表示坐标点的逆向变换。
总结求逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，有着广泛的应用。
本文从定义、求解方法、性质和应用等方面对求逆矩阵的知识点进行了总结，希望能帮助读者更好地理解和应用这一概念。
《逆矩阵与伴随矩阵》课件
伴随矩阵的元素由原矩阵 的代数余子式构成，其元 素位置与原矩阵对应元素 位置互换。
ABCD
伴随矩阵的定义基于代数 余子式，通过代数余子式 构建出一个新的矩阵，即 为伴随矩阵。
伴随矩阵的行列式称为伴 随行列式，其值等于原矩 阵行列式的代数余子式之 和。
伴随矩阵的性质
01 伴随矩阵与原矩阵的行数和列数相同。
逆矩阵的存在条件
可逆矩阵
如果一个矩阵满足其行列式值不为0，则该矩阵是可 逆的。
奇异值
对于奇异值分解，如果一个矩阵的奇异值都为0，则 该矩阵是不可逆的。
线性方程组
如果线性方程组无解或有无穷多解，则系数矩阵不可 逆。
逆矩阵的性质
逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩 阵
$AA^{-1} = A^{-1}A = I$。
逆矩阵的定义与性 质
逆矩阵的定义
逆矩阵
设$A$是一个$n times n$矩阵， 如果存在一个$n times n$矩阵 $B$，使得$AB = BA = I$，则称 $B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{1}$。
逆矩阵的唯一性
一个矩阵的逆矩阵是唯一的，记 作$A^{-1}$。
逆矩阵与行列式
一个可逆矩阵的行列式值不为0， 即$|A| neq 0$。
《逆矩阵与伴随矩阵 》PPT课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 逆矩阵的定义与性质 • 伴随矩阵的定义与性质 • 逆矩阵与伴随矩阵的应用 • 逆矩阵与伴随矩阵的运算规则 • 逆矩阵与伴随矩阵的特殊情况 • 逆矩阵与伴随矩阵的实例分析
01
，得到伴随矩阵。
若原矩阵可逆，则可以通过伴随 矩阵计算行列式的值。
线性代数2-5
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
3
4 1 1− λ
= (1 − λ ) + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ ) (− 3 + λ )
(1 − λ )3 + 2(1 − λ )2 + λ − 3 =
解
1 2 3 1 2 3 A = 2 1 2 = 0 −3 −4 1 3 3 0 1 0
1
−3 −4 可逆 0 −3 −4 = = 4 ≠ 0, 所以 A可逆 . 1 0
0 1 0
代数余子式的符号不能丢 2 3 1 2 , 可得 3 3 2 2 2 2 1 = −3, A12 = − = −4, A13 = = 5, 3 1 3 1 3
例 4
解线性方程组 x1 − 2 x2 + x3 = −2, 2 x1 + x2 + −3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3 由于方程组的系数行列式
解
−2 1 D= 2 1 − 3 = −5 ≠ 0, 知方程组有唯一解， 知方程组有唯一解， −1 1 −1 1
a11 ⋯ a1 , j −1 b1 a1 , j + 1 ⋯ a1 n D j = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 ⋯ a n , j −1 bn a n , j +1 ⋯ a nn
逆否命题 如果线性方程组 (1) 无解或有超过一个 以上的解，则它的系数行列式必为零. 以上的解，则它的系数行列式必为零.
a的逆的伴随等于a的伴随的逆证明
a的逆的伴随等于a的伴随的逆证明主题：a的逆的伴随等于a的伴随的逆证明在线性代数中，矩阵的逆和伴随是非常重要的概念。
它们在解线性方程组、求解矩阵的特征值和特征向量等方面起着关键作用。
而关于矩阵逆和伴随的性质之一就是：矩阵a的逆的伴随等于a的伴随的逆。
本文将对这一性质进行深入探讨，并给出证明过程。
1. 矩阵的逆在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是矩阵A是可逆的。
2. 矩阵的伴随对于n阶方阵A，定义它的伴随矩阵为adj(A)，其中adj(A)的元素是A的代数余子式。
伴随矩阵在求解矩阵的逆、计算矩阵的幂等问题中具有重要作用。
3. 证明：a的逆的伴随等于a的伴随的逆现在来证明性质：矩阵a的逆的伴随等于a的伴随的逆。
假设矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵记为A^-1。
我们有以下证明过程：（1）证明A^-1的伴随是adj(A)的逆由伴随矩阵的性质可知，对于任意的n阶方阵A，有A*adj(A)=det(A)I（其中det(A)为A的行列式）。
A*adj(A)是一个数量，记作k。
（2）证明A的伴随的逆是(A^-1)的伴随我们知道，A的伴随矩阵的元素是A的代数余子式，记为adj(A)=(A_ij)，其中A_ij是矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式。
则A的伴随的逆矩阵记为(adj(A))^-1。
（3）结合（1）和（2），得出结论因为A*adj(A)是一个数量k，而A*adj(A)=det(A)I，所以A*adj(A)的逆矩阵是1/det(A)*I。
我们得出结论：矩阵a的逆的伴随等于a的伴随的逆。
这一性质在矩阵运算、线性方程组求解等领域具有重要的理论意义和实际应用价值。
4. 个人观点和理解对于矩阵的逆和伴随，我深有体会。
在实际工程问题中，常常需要对矩阵进行求逆操作，或者利用伴随矩阵来解决相关问题。
伴随矩阵求逆矩阵例题
伴随矩阵求逆矩阵例题摘要：1.伴随矩阵的概念及其性质2.利用伴随矩阵求逆矩阵的方法3.例题讲解4.总结与扩展正文：一、伴随矩阵的概念及其性质伴随矩阵是线性代数中一种重要的矩阵，与一个矩阵A 密切相关。
伴随矩阵B(A) 的元素是矩阵A 的代数余子式，即B(A) 的第i 行第j 列的元素为A 的第(j-i) 行第(i-1) 列的代数余子式。
伴随矩阵具有以下性质：1.伴随矩阵的转置等于原矩阵的逆矩阵，即B(A)^T = A^-1。
2.伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的相反数，即det(B(A)) = -det(A)。
二、利用伴随矩阵求逆矩阵的方法根据伴随矩阵的性质，可以得到求逆矩阵的公式：A^-1 = B(A)^T。
利用这个公式，可以通过计算伴随矩阵来求解逆矩阵。
三、例题讲解例1：求下列矩阵的逆矩阵：begin{bmatrix}1 &2 & 37 & 8 & 9end{bmatrix}解：先计算伴随矩阵B(A)：begin{bmatrix}-3 & -6 & -9-8 & -10 & -12-7 & -8 & -9end{bmatrix}然后计算B(A)^T：begin{bmatrix}-3 & 6 & 98 & 10 & 127 & 8 & 9end{bmatrix}最后，A^-1 = B(A)^T = begin{bmatrix} -3 & 6 & 98 & 10 & 127 & 8 & 9end{bmatrix}例2：求下列矩阵的逆矩阵：begin{bmatrix}0 & 2 & 00 & 0 & 3end{bmatrix}解：先计算伴随矩阵B(A)：begin{bmatrix}2 & 0 & 00 & 3 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}然后计算B(A)^T：begin{bmatrix}2 & 0 & 00 & 3 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}最后，A^-1 = B(A)^T = begin{bmatrix} 2 & 0 & 00 & 3 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}四、总结与扩展本篇文章介绍了如何利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，通过计算伴随矩阵及其转置，可以方便地求得逆矩阵。
用伴随矩阵求逆的合理解释
用伴随矩阵求逆的合理解释
伴随矩阵（Adjoint Matrix）也称为矩阵的伴随矩阵、伴随系数矩阵，它是线性代数中的
一种非常常见的概念，可以用来求解线性方程组，是矩阵求逆的一种高效方法。
首先，什么是伴随矩阵，伴随矩阵就是某个矩阵A的伴随矩阵C(A)，它是定义在A矩阵上的，A具有n个行n个列，而C(A)具有n个行n个列，每个元素Cij与A互为伴随。
即，Cij=Aij，因此说伴随矩阵可以用来表示矩阵的逆的。
其次，为什么要使用伴随矩阵来求解矩阵的逆，由于可以大大简化计算量，使用伴随矩阵
来计算逆矩阵可以大大减少计算量，避免使用大量复杂的矩阵乘法。
例如，求解3阶矩阵
A的逆，其中Aij是3阶矩阵A中第i行第j列的元素，其计算量为O(n^4) ，而使用伴
随矩阵只需要O(n^3)的计算量。
此外，伴随矩阵也可以用于解决一些其他的数学问题，通过按行或按列求和计算，可以找
出不同的特征值及伴随矩阵。
可以利用这种方法来求解系统的几何形状，求解多隔计算机
图形的位置变换，从而推导出很多复杂的图形动画方法。
同时，利用伴随矩阵还可以解决
一些概率统计问题，可以在一系列重要变量之间找出成正比例的关系，从而求解概率问题。
最后，在线性代数中，伴随矩阵无疑是一种有效的矩阵求逆方法，它能够大大简化计算量，而且还可以拓展用于解决几何形状，图形动画及概率统计的问题等，也是数学中常用的线
性代数工具。
在总结，伴随矩阵可以用来求解矩阵的逆，是线性代数中的一种有用的工具，可以大大减
少计算量，同时还可以拓展用于解决更多的数学问题。
矩阵的行列式,伴随阵,逆
temp=b[z][j];
b[z][j]=b[j][z];
b[j][z]=temp;
}
printf("Because |A|!=0,the original matrix have 逆矩阵!\n");
printf("The 伴随矩阵 A* is:\n");
//判断条件:若|A|==0，则原矩阵无逆矩阵，反之则存在逆矩阵
else
{
n_1(a,b,n); //调用n_1()函数，得到原矩阵各元素对应的"余子式",存放在数组b[N][N]中
for(z=0;z<n;z++) //求代数余子式，此时b[N][N]中存放的为原矩阵各元素对应的"代数余子式"
for(j=0;j<n;j++)
if((z+j)%2!=0 && b[z][j]!=0)
b[z][j]=-b[z][j];
for(z=0;z<n;z++) //对b[N][N]转置,此时b[N][N]中存放的为原矩阵的伴随矩阵
for(j=z+2;j<n;j++)
printf("The original matrix is:\n");
for(z=0;z<n;z++) //打印原矩阵
{
for(j=0;j<n;j++)
printf("%5d",a[z][j]);
printf("\n");
}
if(k>=l&&g<m)
矩阵求逆的几种方法总结（C++）
矩阵求逆的⼏种⽅法总结（C++）矩阵求逆运算有多种算法：1. 伴随矩阵的思想，分别算出其伴随矩阵和⾏列式，再算出逆矩阵；2. LU分解法（若选主元即为LUP分解法: Ax = b ==> PAx = Pb ==>LUx = Pb ==> Ly = Pb ==> Ux = y，每步重新选主元），它有两种不同的实现；A-1=(LU)-1=U-1L-1，将A分解为LU后，对L和U分别求逆，再相乘；通过解线程⽅程组Ax=b的⽅式求逆矩阵。
b分别取单位阵的各个列向量，所得到的解向量x就是逆矩阵的各个列向量，拼成逆矩阵即可。
下⾯是这两种⽅法的c++代码实现，所有代码均利⽤常规数据集验证过。
⽂内程序旨在实现求逆运算核⼼思想，某些异常检测的功能就未实现（如矩阵维数检测、矩阵奇异等）。
注意：⽂中A阵均为⽅阵。
伴随矩阵法C++程序：1 #include <iostream>2 #include <ctime> //⽤于产⽣随机数据的种⼦34#define N 3 //测试矩阵维数定义56//按第⼀⾏展开计算|A|7double getA(double arcs[N][N],int n)8 {9if(n==1)10 {11return arcs[0][0];12 }13double ans = 0;14double temp[N][N]={0.0};15int i,j,k;16for(i=0;i<n;i++)17 {18for(j=0;j<n-1;j++)19 {20for(k=0;k<n-1;k++)21 {22 temp[j][k] = arcs[j+1][(k>=i)?k+1:k];2324 }25 }26double t = getA(temp,n-1);27if(i%2==0)28 {29 ans += arcs[0][i]*t;30 }31else32 {33 ans -= arcs[0][i]*t;34 }35 }36return ans;37 }3839//计算每⼀⾏每⼀列的每个元素所对应的余⼦式，组成A*40void getAStart(double arcs[N][N],int n,double ans[N][N])41 {42if(n==1)43 {44 ans[0][0] = 1;45return;46 }47int i,j,k,t;48double temp[N][N];49for(i=0;i<n;i++)50 {51for(j=0;j<n;j++)52 {53for(k=0;k<n-1;k++)54 {55for(t=0;t<n-1;t++)56 {57 temp[k][t] = arcs[k>=i?k+1:k][t>=j?t+1:t];58 }59 }606162 ans[j][i] = getA(temp,n-1); //此处顺便进⾏了转置63if((i+j)%2 == 1)64 {65 ans[j][i] = - ans[j][i];66 }67 }68 }69 }7071//得到给定矩阵src的逆矩阵保存到des中。
逆矩阵伴随法
逆矩阵伴随法
逆矩阵伴随法是一种求解矩阵逆的方法。
在矩阵运算中，矩阵逆是一
个非常重要的概念，它可以帮助我们解决很多实际问题。
逆矩阵伴随
法是一种比较常用的求解矩阵逆的方法，下面我们来详细介绍一下。
逆矩阵伴随法的基本思想是，通过伴随矩阵来求解矩阵的逆。
伴随矩
阵是原矩阵的转置矩阵的代数余子式矩阵，它的每个元素都是原矩阵
的代数余子式。
具体来说，设A是一个n阶矩阵，它的伴随矩阵记作adj(A)，则有：
adj(A) = (A的代数余子式矩阵)T
其中，A的代数余子式矩阵是一个n阶矩阵，它的每个元素都是A的
代数余子式。
根据逆矩阵的定义，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A-1。
因此，我们可
以通过求解伴随矩阵来求解矩阵的逆。
具体来说，假设A是一个n阶矩阵，且det(A)≠0，则A的逆矩阵为：
A-1 = adj(A) / det(A)
其中，det(A)是A的行列式，adj(A)是A的伴随矩阵。
逆矩阵伴随法的优点是，它的计算比较简单，只需要求解矩阵的行列式和代数余子式即可。
但是，它的缺点是，当矩阵的阶数比较大时，计算量会非常大，因此不适合用于大规模矩阵的求解。
总之，逆矩阵伴随法是一种比较常用的求解矩阵逆的方法，它的基本思想是通过伴随矩阵来求解矩阵的逆。
虽然它的计算比较简单，但是当矩阵的阶数比较大时，计算量会非常大，因此需要根据实际情况选择合适的方法来求解矩阵逆。
伴随矩阵求逆矩阵例题
伴随矩阵求逆矩阵例题（实用版）目录1.伴随矩阵求逆矩阵的定义与公式2.伴随矩阵求逆矩阵的例子3.伴随矩阵求逆矩阵的特殊求法4.如何利用伴随矩阵求逆矩阵正文一、伴随矩阵求逆矩阵的定义与公式伴随矩阵求逆矩阵是一种求矩阵逆矩阵的方法，它通过矩阵的伴随矩阵来求解。
设矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，矩阵 A 的逆矩阵为 A^-1，那么有以下公式：A^-1 = A* / |A|其中，|A|表示矩阵 A 的行列式。
二、伴随矩阵求逆矩阵的例子下面我们通过一个例子来说明如何利用伴随矩阵求逆矩阵。
例：求下列矩阵的逆矩阵：begin{bmatrix}1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{bmatrix}首先，我们求出该矩阵的伴随矩阵 A*：begin{bmatrix}1 & 0 & 00 & 1 & 00 & 0 & 1end{bmatrix}然后，我们计算矩阵 A 的行列式|A|：|A| = 1 * 8 - 2 * 7 + 3 * 6 = 2最后，利用公式 A^-1 = A* / |A|，求得矩阵 A 的逆矩阵：A^-1 = begin{bmatrix}1/2 & -1/2 & -1/2-1/2 & 1/2 & -1/21/2 & -1/2 & 1/2end{bmatrix}三、伴随矩阵求逆矩阵的特殊求法当矩阵 A 是大于等于二阶矩阵时，可以采用以下特殊求法求解逆矩阵：1.主对角元素：将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以（x，y 为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从 1 开始）。
2.非主对角元素：原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以（x，y 为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从 1 开始）。
求逆矩阵的方法
求逆矩阵的方法逆矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在数学和工程领域有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要求解矩阵的逆，因此了解求逆矩阵的方法是非常重要的。
本文将介绍几种常见的求逆矩阵的方法，希望能对大家有所帮助。
方法一，伴随矩阵法。
伴随矩阵法是求解逆矩阵的一种常用方法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它的逆矩阵存在。
我们可以通过计算伴随矩阵来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式，如果行列式为0，则矩阵A不存在逆矩阵；2. 计算矩阵A的伴随矩阵，即将矩阵A的每个元素的代数余子式组成的矩阵进行转置；3. 将伴随矩阵除以矩阵A的行列式，得到矩阵A的逆矩阵。
方法二，初等变换法。
初等变换法是另一种求解逆矩阵的常用方法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它的逆矩阵存在。
我们可以通过初等变换将矩阵A转化为单位矩阵，然后将单位矩阵通过相同的初等变换得到A的逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A和单位矩阵拼接成一个2n阶的矩阵；2. 通过初等行变换将矩阵A转化为单位矩阵，此时单位矩阵部分就是A的逆矩阵。
方法三，高斯-约当消元法。
高斯-约当消元法也是一种常用的求解逆矩阵的方法。
通过将矩阵A和单位矩阵拼接在一起，然后通过初等行变换将矩阵A转化为单位矩阵，此时单位矩阵部分就是A的逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A和单位矩阵拼接成一个2n阶的矩阵；2. 通过高斯-约当消元法将矩阵A转化为单位矩阵，此时单位矩阵部分就是A的逆矩阵。
方法四，矩阵分块法。
矩阵分块法是一种比较直观的求解逆矩阵的方法。
对于一个2n 阶矩阵A，我们可以将其分块成四个n阶子矩阵，然后通过矩阵分块的运算规则来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A分块成四个n阶子矩阵，记为A = [A11, A12;A21, A22]；2. 如果A22存在逆矩阵，那么A的逆矩阵可以通过以下公式求解，A的逆矩阵 = [A11 A12 A22^(-1) A21]^(-1), -A11A12^(-1); -A22^(-1) A21, A22^(-1)]。
伴随矩阵法求逆矩阵解题步骤
伴随矩阵法求逆矩阵解题步骤嘿，朋友们，今天咱们聊聊一个看似复杂但其实超级有趣的数学话题——伴随矩阵法求逆矩阵。
这可是个热门话题，别看名字听起来高大上，其实它跟咱们的日常生活也有不少关联。
你知道吗，有时候我们在做决定的时候，心里也会想：“这条路该怎么走？这件事该怎么处理？”就像求逆矩阵，都是在寻找一种反向的解决方案呢。
先来了解一下什么是伴随矩阵。
想象一下，伴随矩阵就像是你身边那个总是支持你的好朋友，默默地在你需要的时候出现在你身边。
伴随矩阵其实是通过原矩阵的行列式和余子式来计算出来的。
行列式，听起来有点吓人，但其实就像是你把一堆物品整齐排列后的结果。
越复杂的排列，行列式的值就越复杂。
没事，别慌，慢慢来。
咱们先算出一个矩阵的行列式，假设咱们的矩阵叫做A。
A是个二阶矩阵，就两个行两个列。
行列式的计算方式简单得很，只需要交叉相乘，然后相减就好。
比如，矩阵A = (begin{pmatrix a & b c & d end{pmatrix)，行列式就是ad bc。
简单吧？这就是A的独特“身份标识”，接下来咱们来找到它的伴随矩阵。
伴随矩阵，听起来很神秘，其实它就是把原矩阵中的每个元素替换成它的余子式，然后再转置一下。
说白了，就是把每个元素换个位置，像拼图一样。
余子式嘛，简单来说，就是在删除相应的行和列后剩下的部分的行列式。
如果觉得复杂，不妨想象成换座位游戏，选谁的旁边就看谁的余子式了。
把所有的余子式都求出来，再转置，就得到了伴随矩阵，像是一道美味的数学料理。
咱们要用这个伴随矩阵来求逆矩阵。
这个时候，咱们需要用到一个公式，听起来有点公式感，但其实简单得很：逆矩阵A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)。
这其中的det(A)就是之前计算的行列式，而adj(A)就是你刚刚求出来的伴随矩阵。
把这两个结合在一起，完美无瑕！把伴随矩阵乘以行列式的倒数，就能得到逆矩阵。
就像找到了一扇新的门，开启了新世界。
逆矩阵（伴随矩阵法）
逆矩阵（伴随矩阵法）算法过程：计算判断|A|是否为0利⽤原矩阵⽣成A*（伴随）矩阵，具体：A*⼆维数组中第[i][j]个元素，除去该⾏该列，其他元素进⼊临时数组，计算临时数组⾏列式值，即为A*[i][j]具体：最后矩阵A*/|A| 即为该矩阵的逆矩阵源码:#include<iostream>#include<iomanip>#include<cmath>using namespace std;//By Vove.float Cal_Det(float s[9][9],int n);//计算⾏列式|A|class Matrix{//矩阵⽅阵public:friend voidCal_Astar(Matrix &A);//计算A*friend floatCal_Aij(Matrix &A,int i,int j);//计算Aij->A*Matrix();void Input();void Cheak_IsSolvable();float CalDet_A();void Inverse_of_A();void ToAstar(int j,inti,float s){Astar[j][i]=s;}float getAkl(int k,intl){return A[k][l];}void Dis_A(floats[9][9]);void Display(int t);private:int n;//⾏，列r=cfloat A[9][9];//矩阵Afloat Astar[9][9]; //A*float Det_A; //|A|值float IOA[9][9]; //inverse of A A的逆矩阵};int main(){while(1){Matrix A;A.Input();A.Display(1); //输出矩阵AA.Cheak_IsSolvable();//检查是否可解Cal_Astar(A); //计算A*A.Inverse_of_A(); //计算A*/|A|A.Display(3); //输出逆矩阵}return 1;}void Cal_Astar(Matrix &A){for(int i=0;ifor(int j=0;jA.ToAstar(j,i,pow(-1,i j 2)*Cal_Aij(A,i,j));//存⼊A*数组A.Display(2);}float Cal_Aij(Matrix &A,int i,int j){float Aij[9][9]={0};int x=0,y=0; //Aij的下标for(int k=0;k //k l -> A的下标for(int l=0;lif(k!=i&&l!=j){Aij[x][y]=A.getAkl(k,l);y ;if(!(y%((A.n)-1))){//进位x ;y=0;}}}}return Cal_Det(Aij,(A.n)-1);}float Cal_Det(float s[9][9],int n){float sum=0; //存|A|值for(int i=0;iif(s[i][i]){//对⾓线元素不为0for(int m=i 1;mif(s[m][i]){float temp=-(s[m][i])/s[i][i];for(int p=0;ps[m][p]=s[m][p] temp*s[i][p];}else continue;}}else {//若对⾓线元素为0int m;for(m=i 1;mif(s[m][i]){//使对⾓线元素⾮0for(int p=0;ps[i][p]=s[m][p] s[i][p];break;}else continue;}if(m==n) return sum; //sum=0;i--;}}sum=s[0][0];//求对⾓积for(i=1;isum=sum*s[i][i];return sum;}void Matrix::Dis_A(float s[9][9]){for(int i=0;icout<<"|";for(int j=0;jcout<<setw(8)<<s[i][j];cout<<"|"<<endl;}cout<<endl;}Matrix::Matrix(){n=9;for(int i=0;i<9;i )for(int j=0;j<9;j )A[i][j]=Astar[i][j]=IOA[i][j]=0;}void Matrix::Input(){cout<<"\t\t矩阵>>>>>>>>>>>逆矩阵"<<endl<<endl; cout<<"⽅阵A的⾏列数n:";while(1){cin>>n;if(n>1&&n<10) break;else cout<<"n值错误，重新输⼊：";}cout<<"矩阵各值:"<<endl;for(int i=0;ifor(int j=0;jcin>>A[i][j];}void Matrix::Cheak_IsSolvable(){while(1){if(Det_A=CalDet_A()) break;else{cout<<"此矩阵的⾏列式为0，⽆解"<<endl;Input();}}}float Matrix::CalDet_A(){float temp[9][9]={0};for(int i=0;i //临时赋值for(int j=0;jtemp[i][j]=A[i][j];float s=Cal_Det(temp,n);cout<<"|A|="<<s<<endl<<endl;return s;}void Matrix::Inverse_of_A(){for(int i=0;ifor(int j=0;jIOA[i][j]=Astar[i][j]/Det_A;}void Matrix::Display(int t){switch (t){case 1: cout<<"---A :"<<endl;Dis_A(A);break; case 2: cout<<"---A*:"<<endl;Dis_A(Astar);break;case 3: cout<<"---inverse of A:"<<endl;Dis_A(IOA);break;}}。
矩阵求逆伴随矩阵方法
矩阵求逆伴随矩阵方法矩阵求逆伴随矩阵方法可以用来求解矩阵的逆矩阵。
逆矩阵是指能够将原矩阵乘上一个逆矩阵得到单位矩阵的矩阵。
矩阵的逆不存在的情况下，就无法使用逆矩阵求解方程组等一系列问题。
因此，求解逆矩阵是非常重要的。
在矩阵求逆伴随矩阵方法中，首先需要求出矩阵的伴随矩阵。
伴随矩阵也被称为伪逆矩阵或伪反转矩阵，它的作用是将原矩阵变成一个具有相似特征的矩阵。
伴随矩阵的求解需要用到矩阵的行列式和余子式，这些数学概念需要在数学基础中学习。
矩阵的伴随矩阵可以使用如下公式进行计算：$$ A^{-1}=\frac{1}{\left| A\right|}\textbf{A}^*_i^j $$ 其中，$\textbf{A}^*_i^j$表示矩阵$\textbf{A}$的余子式。
需要注意的是，只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵，非方阵只有伪逆矩阵。
另外，在计算矩阵的逆矩阵时，需要注意矩阵的行列式是否为0，如果行列式为0，则矩阵不存在逆矩阵。
矩阵求逆伴随矩阵方法的步骤如下：1. 求解矩阵的行列式$\left| A\right|$（需要保证矩阵为方阵）；2. 求解矩阵的余子式$\textbf{A}^*_i^j$（需要保证矩阵为方阵）； 3. 根据公式$\textbf{A}^{-1}=\frac{1}{\left|\textbf{A}\right|}\textbf{A}^*_i^j$计算矩阵的逆矩阵。
有了逆矩阵，我们就可以使用矩阵乘法来求解方程组等问题。
例如，对于方程组$\textbf{Ax}=\textbf{b}$，如果矩阵$\textbf{A}$存在逆矩阵，那么我们可以将方程组变形为$\textbf{x}=\textbf{A}^{-1}\textbf{b}$，然后使用逆矩阵求解向量$\textbf{x}$的值。
除了矩阵求逆伴随矩阵方法，还有其他求逆矩阵的方法，例如高斯-约旦消元法、LU分解法、Jacobi迭代法等。
每种方法都有其适用范围和注意事项，需要根据实际情况选择合适的求解方法。