§6_伴随矩阵及习题32页PPT
伴随矩阵定义
伴随矩阵定义在线性代数中，伴随矩阵是一个方阵，它是原矩阵的行列式的各元素的代数余子式组成的矩阵。
伴随矩阵的性质和应用十分广泛，它在矩阵求逆、线性方程组的求解、行列式的计算等方面都有着重要的作用。
伴随矩阵的定义给定一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记作adj(A)，由A的各元素的代数余子式组成。
其中，第i行第j列元素的代数余子式记作Aij，它是A的第i行第j列元素的代数余数，即Aij=(-1)^(i+j)Mij，其中Mij是A的第i行第j列元素的余子式。
伴随矩阵的计算方法对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵adj(A)的计算方法如下：1. 计算A的每个元素的代数余子式Mij；2. 将Mij的符号和位置调整，得到矩阵C；3. 对矩阵C进行转置，得到伴随矩阵adj(A)。
伴随矩阵的性质伴随矩阵有以下几个重要的性质：1. 若A为可逆矩阵，则adj(A)为可逆矩阵，且(adj(A))^-1=(1/|A|)A，其中|A|为A的行列式。
2. 若A为非奇异矩阵，则A^-1=(1/|A|)adj(A)，其中|A|为A 的行列式。
3. 若A为对称矩阵，则adj(A)也为对称矩阵。
4. 若A为反对称矩阵，则adj(A)也为反对称矩阵。
伴随矩阵的应用伴随矩阵在矩阵求逆、线性方程组的求解、行列式的计算等方面都有着重要的应用。
1. 矩阵求逆若A为可逆矩阵，则A的逆矩阵A^-1=(1/|A|)adj(A)。
因此，我们可以通过计算伴随矩阵来求解可逆矩阵的逆矩阵。
2. 线性方程组的求解若A为非奇异矩阵，则线性方程组Ax=b的解为x=A^-1b=(1/|A|)adj(A)b。
因此，我们可以通过计算伴随矩阵来求解非奇异线性方程组的解。
3. 行列式的计算由于|A|=det(A)=tr(adj(A)A)，其中det(A)为A的行列式，tr(B)为矩阵B的迹。
因此，我们可以通过计算伴随矩阵和原矩阵的乘积的迹来计算原矩阵的行列式。
总结伴随矩阵是一个方阵，它是原矩阵的行列式的各元素的代数余子式组成的矩阵。
伴随矩阵及习题.ppt
方阵的多项式：
f (x)
ak x k
a x k 1
k 1
a1 x a0
f
( A)
a Ak k
a A k 1
k 1
a A 1
aE 0
方阵的行列式：
满足: 1 AT A; 2 A n A;
3 AB A B
转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A .
❖练习 求矩阵 X使满足
AXB C
其中
1
A
2
3
2 2 4
3 1 3
2 B 5
1 3
1 C 2
3
3 0 1
解：若
B 1式，有
即
A1, 存B在1 ，则用 左乘A上式1 ， A1 AXBB1 A1CB1
X A1CB1
可解得 | A，| 2 ，| B故|知1 都可逆A．, B且
右乘上
21
A11 4
7. 初等矩阵与初等变换的关系：
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
定理：设A是m n矩 阵 ， 对A施 行 一 次 初 等 行 变 换 ，2来自323A21 4
6 3
2 A12 3
1 3
3
1 A22 3
3 6
3
2 A13 3
得
2 2
4
12
A23 3
2 4
2 6 4
A* 3 6
5
2 2 2
23
A31 2
4 1
13
A32 2
5 1
12
A33 2
2 2
所以
伴随矩阵及习题
练习 求矩阵 X 使满足 AXB C 其中 1 2 3 1 3 2 1 B A 2 2 1 5 3 C 2 0 3 4 3 3 1
解：若 A , B B1右乘上式，有 即
1 1
1 A 存在，则用 左乘上式，
A1 AXBB1 A1CB1
X A1CB1
A, B 都可逆．且
可解得 | A | 2 ，| B | 1 ，故知
A11
2 1 4 3 2 1 3 3
2
A21
A22
2 3 4 3
6
A31
2 3 2 1 1 3 2 1
4
A12 A13
3
1 3 3 3
6
A32
5
2 2 3 4
2
A23
1 2 3 4
2
A33
1 2 2 2
2
得
6 4 2 A* 3 6 5 2 2 2
所以
1 3 1 A 1 A* | A| 2 1
对角阵、数量阵、单位阵
2. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减） 加法满足
1 交换律：A B B A. 2 结合律： A B C A B C . 3 A 0 A, 其中A与O是同型矩阵. 4 A A O .
T
T
A;
T T T T
2 A B A B ; 3 A A ; 4 AB B A .
伴随矩阵
伴随矩阵在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。
如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。
然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。
A的伴随矩阵可按如下步骤定义：1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式）2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了）即：n阶方阵的伴随矩阵A*为A11 A12 (1)A21 A22 (2)。
An1 An2 ……Ann例如：A是一个2x2矩阵，a11，a12a21，a22则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式此图片为相应代数余子式的计算过程。
则A的伴随矩阵A* 为A11 A21A12 A22即a22 , -a12-a21, a11（余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。
特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。
原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如1 2 32 2 1 ------->3 4 3+2 6 -4-3 -6 52 2 -2其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等基本性质：(1)AA*=A*A=|A|E;(2)|A*|=|A|n-1具体求法①当矩阵是大于等于二阶时：主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式.非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的.主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
伴随矩阵
线性代数知识点全面总结PPT课件
一、向量组的线性相关性主要知识网络图
运算
概念
n 线性表示
维
判定
向 量 组 的 线
向 量 线性相关
概念
判定 概念
充要条件 充分条件
性 相
线性无关
判定
充要条件
6、n阶方阵的行列式 (1) |AT| = |A|;
(3) |AB| = |A||B| ; (5) |A*| = |A|n-1 .
(2) |kA| = kn|A| ; (4) |A-1| = |A|-1 ;
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四、典型例题
1、方阵的幂运算 2、求逆矩阵 3、解矩阵方程 4、A*题
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2.对A经过有限次初等变换得到B， 则A等价B.
~ ~ 求逆，
行
A E E
A1
A E E 列 A1
用途
求矩阵A的秩、最简型、标准形. 求线第性20方页/程共6组1页的解.
概念 性质
初等方阵
对单位矩阵实施一次初等变换而得到的 矩阵称为初等方阵.
三种初等变换对应三种初等方阵.
初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同 种的初等矩阵.
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵，则AT ＝A 。 6、若A为反对称矩阵，则AT＝－A 。
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三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) A + B = B + A ; (2) (A + B ) + C = A + ( B + C ); (3) A + O = O + A = A; (4) A + (－A) = O; (5) k(lA) = (kl)A ; (6) (k+l)A = kA+ lA ; (7) k( A + B )= kA + kB ; (8) 1A = A, OA = O 。
伴随矩阵的性质与应用_考研必看
( )
*
证明 (1) 当秩 ( A) = n 时 A A* = A
n
A ≠ 0 ，由于 AA* = A E ，两边同时取行列式，得 故秩 A* = n . A E得AA* = 0
所以 A* ≠ 0
( )
(2) 当秩 ( A) = n − 1时， A = 0 ，由 AA* =
从而可知 A* 的每一列都是方程组 AX = 0 的解向量,故由此可得 A* ≤ n − 秩( A) = 1 ， 又因为 所以
-2-
k n −1 A21 k n −1 A22 n −1 k A2 n
k n −1 An1 A11 n −1 k An 2 n −1 A12 =k A k n −1 Ann 1n
A21 An1 A22 An 2 n −1 * =k A A2 n Ann
n −1
(
)
*
(A
−1
−A
* *
)
1 * 1 1− A * = − 1 A* = = − A A A A A
*
*
(A )
* *
1− A = A
n −1
A
n−2
*
1.8 A*
( ) = (A )
T
T *
证明 由于 AA* = A* A = A E 所以 又
(A )
* T
AT AT
* T
( ) = (A )
*
* T
AT E = AT A*
* T T *
( )
T
= A A*
T T *
矩阵教学课件
例如:
13 2
6 2
5 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2) 只有一行的矩阵 A a1,a2 ,,an ,称为行矩阵(或行向量).
(3) 只有一列的矩阵
a1
B
a2
,
an
称为列矩阵(或列向量).
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
(4) 元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
例8: 设列矩阵X = (x1 x2 ···xn)T, 满足XTX = 1, E为n 阶单位 矩阵, H = E – 2XXT, 证明: H为对称矩阵, 且HHT = E.
证明: 自学 （见P49）
第二章 矩阵
§2 矩阵的运算
五、方阵的行列式 定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位
置不变),称为方阵A的行列式,记作|A| 或det A. 例
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念 §2 矩阵的运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵 §5 矩阵的初等变换 §6 矩阵的秩
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
一、矩阵的定义 定义: 由m×n个数aij (i = 1,2, ∙ ∙ ∙, m ; j = 1,2, ∙ ∙ ∙, n) 排
成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1、x2、…xn到变量y1、y2、…ym的线性变换，
其中aij为常数。
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念
,
x
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质与其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论与线性代数中的一个根本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的根本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质与伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义与其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比拟特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算与讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进展系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质与应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，如此矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
求伴随矩阵的方法
求伴随矩阵的方法伴随矩阵（adjoint matrix），也叫伴随阵、共轭矩阵或伴阵，是线性代数中的一个概念。
与一个矩阵A相对应的伴随矩阵，通常表示为adj(A)或A^*，是一个矩阵，通过对原矩阵的转置再对每个元素取复共轭得到。
伴随矩阵在线性代数中具有广泛的应用，特别是在求逆矩阵、解线性方程组和线性变换等问题中。
下面将详细介绍伴随矩阵的方法和应用。
一、伴随矩阵的定义和性质给定一个n阶矩阵A=[a_{ij}]，其中a_{ij}表示矩阵A中第i行第j列的元素。
那么与A对应的伴随矩阵adj(A)是一个n阶矩阵，表示为adj(A)=[b_{ij}]，其中b_{ij}表示的是矩阵A的第i列第j行的余子式。
余子式是指将矩阵A中的第i行和第j列元素删去后，所得到的矩阵的行列式。
余子式可以通过求代数余子式（将每个元素的位置上取代数余子式），再根据行列式的性质进行计算得到。
根据伴随矩阵的定义，可以得到以下性质：1. 矩阵A与它的伴随矩阵adj(A)的乘积等于它们的行列式，即A·adj(A)=，A，·I，其中，A，表示矩阵A的行列式，I是单位矩阵。
2. 如果矩阵A可逆（即行列式不等于0），则A的逆矩阵可以表示为A^{-1}=(1/，A，)·adj(A)。
3. 如果矩阵A是实数矩阵，那么它的伴随矩阵adj(A)是A的转置矩阵的元素取负数后再取共轭得到的。
求解伴随矩阵的方法通常有两种：代数余子式法和性质法。
1.代数余子式法代数余子式法是一种基于代数余子式的计算方法。
它的基本步骤如下：Step 1：确定矩阵A的元素a_{ij}；Step 2：计算a_{ij}的代数余子式M_{ij}，即将矩阵A中第i行和第j列的元素删去后所得到的矩阵的行列式；Step 3：根据伴随矩阵的定义，得到伴随矩阵的元素b_{ij}=(-1)^{i+j}·M_{ij}，即将代数余子式乘以(-1)^{i+j}；Step 4：将得到的元素组成一个矩阵，即为伴随矩阵adj(A)。
伴随矩阵例题
伴随矩阵例题下面是伴随矩阵例题的解法：伴随矩阵（Adjugate matrix）是矩阵代数中的一个概念。
给定一个n × n的矩阵A，它的伴随矩阵记作adj(A)或A*，定义如下：1.计算A的余子式矩阵C：对于A中的每个元素a[i][j]，计算去掉第i行和第j列后剩余元素构成的(n-1) × (n-1)子矩阵的行列式。
2.利用C计算伴随矩阵：将C中每个元素的符号按照如下规则确定，然后转置得到伴随矩阵。
•a[i][j]的符号：当i + j为奇数时，取负；否则取正。
下面举一个简单的例题来说明如何计算伴随矩阵：假设有一个3 × 3的矩阵A：A = | 1 2 -1 | | 0 3 4 | | 2 1 0 |首先，我们需要计算A的余子式矩阵C。
针对每个元素a[i][j]，去掉第i行和第j 列后形成的2 × 2子矩阵的行列式如下所示：C = | (3 * 0) - (1 * 4) (2 * 0) - (-1 * 4) (2 * 3) - (-1 * 2) | | (0 * 0) - (4 * 4) (2 * 0) - (-1 * 4) (2 * 3) - (-1 * 2) | | (0 * 3) - (4 * 1) (1 * 3) - (-1 * 1) (1 * 4) - (-1 * 0) |简化上述计算可得：C = | -4 4 8 | | -16 4 6 | | -4 4 5 |然后，我们需要进行符号的调整。
根据规则，奇数行加负号，偶数行不变：C = | -4 4 8 | | 16 -4 -6 | | -4 4 5 |最后，将C进行转置，得到伴随矩阵adj(A)或A*：adj(A) = | -4 16 -4 | | 4 -4 4 | | 8 -6 5 |以上就是计算伴随矩阵的步骤及一个例题的解答。