[数学]二阶线性微分方程理论及解法

f ( x) 0 时, 称为二阶齐次线性微分方程； f ( x) 0 时, 称为二阶非齐次线性微分方程.
y P ( x ) y Q( x ) 复习: 一阶非齐次线性微分方程：
通解: y C e
P ( x) d x
e
P ( x) d x

P ( x) d x Q( x) e dx
即y 是①的解. 又Y 中含有两个独立任意常数，证毕！
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例如, 方程
而对应齐次方程 因此该方程的通解为
有特解
的通解为
Y C1 cos x C2 sin x
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推广*. 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性
无关特解, 的通解为 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
齐次方程通解Y
非齐次方程特解
y
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一、二阶齐次线性微分方程解的结构 定理1. 若函数 y1 ( x), y2 ( x) 是二阶线性齐次微分方程
y P( x) y Q( x) y 0 的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
也是该方程的解. （解的叠加原理） 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且 y2 y1 e x x 2x 常数 y3 y1 e x
因而线性无关, 故原方程通解为
y C1 (e x x) C2 (e 2 x x) 代入初始条件 y (0) 1, y(0) 3, 得 C1 1, C2 2 , 故所求特解为 y 2e 2 x e x .
定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得 则称这 n 个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在 ( , ) 上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 必须全为 0 ,
① 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 ② y Y ( x) y * ( x) 是非齐次方程的通解 . 证: 将 y Y ( x) y * ( x) 代入方程①左端, 得 ( Y y * ) P( x) ( Y y * ) Q( x) ( Y y * ) ( Y P( x) Y Q( x) Y ) f ( x) 0 f ( x)
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☆ 两个函数Hale Waihona Puke Baidu性相关性的充要条件： 线性相关 线性无关 即 成比例！ 不成比例！ 常数 必线性相关
y1 ( x) y2 ( x)
注：0 与任意函数
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定理 2. 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 为该方程的通解.
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第三节 二阶线性微分方程的理论及解法
一、二阶齐次线性微分方程解的结构 二、二阶非齐次线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
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二阶线性微分方程：
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
C1 0 C2 0 0
证毕.
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注：y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 未必是已知方程的通解. 例如, 但是 并不是通解！ 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性 相关性的概念.
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有特解 例如, 方程 y2 常数, 故方程的通解为 y1
推论*.
且
是 n 阶齐次线性微分方程
的 n 个线性无关解, 则该方程的通解为
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数 )
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二、二阶非齐次线性微分方程解的结构 定理 3. 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程
的特解.
k 1
n
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例1. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 的解, C1 , C2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ). （89 考研）
( B) C1 y1 C2 y2 ( C1 C2 ) y3 ; (C ) C1 y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3 ;
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C2 [ y2 P( x) y2 Q( x ) y 2 ] C1 [ y1
Y ( x) y ( x)
齐次线性微分 方程通解 非齐次线性微分 方程特解
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定理 4. （非齐次方程之解的叠加原理） 分别是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x) (k 1, 2 ,, n )
的特解, 是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x)
提示:
y1 y3 , y2 y3 线性无关. （反证法可证）
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例2. 已知微分方程 y p( x) y q( x) y f ( x) 有三 个解 y1 x , y2 e x , y3 e 2 x , 求此方程满足初始条件 y (0) 1, y(0) 3 的特解 .