树的概念和定义
分别简述树、树枝、连支的概念
树、树枝、连支的概念树（Tree）是一种抽象的数据类型，通常用于表示具有层次结构的数据。
树由一个根节点和若干个子节点组成，每个子节点可以进一步分解为更小的子树。
树的概念可以广泛应用于各种领域，如计算机科学、图形学、人工智能等。
在计算机科学中，树通常被用于表示具有层次结构的数据，例如文件系统、组织结构、XML文档等。
树可以表示为一种特殊的图（Graph），其中每个节点都有一个父节点，除了根节点外。
树中的每个节点可以有多个子节点，但只有一个父节点。
这种结构使得树在处理具有层次结构的数据时非常方便。
树的定义和性质：每个节点都有一个值。
根节点的值是唯一的。
每个子节点的值都是唯一的。
每个子节点可以进一步分解为更小的子树。
树中的每个节点只有一个父节点，但可以有多个子节点。
树可以表示为一种特殊的图，其中每个节点都有一个父节点。
树可以用于表示具有层次结构的数据，例如文件系统、组织结构等。
树枝（Branch）是树的一部分，它从树的根节点开始，经过若干个子节点，最终到达一个叶子节点。
树枝由根节点、若干个子节点和连接这些节点的边组成。
在树中，根节点没有父节点，叶子节点没有子节点。
树枝的概念可以用于表示树的结构和层次关系。
连支（Connected Component）是指图形中相互连接的顶点组成的子图。
在一个无向图中，如果任意两个顶点之间都存在一条路径相连，则称该图为连通的。
在连通图中，任意两个顶点之间都存在一条路径，因此连支可以被定义为连通图的子图。
在非连通图中，连支可以被定义为与连通图的连通分量相对应的子图。
树的概念和定义
第十四讲
性质5: 对于具有n个结点的完全二叉树， 如果按照从上到 下和从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从1开始顺序编号， 则对于任意的序号为i的结点有：
（1） 如i=1，则序号为i的结点是根结点， 无双亲结点； 如 i>1， 则序号为i的结点的双亲结点序号为［i/2］。
（2） 如2×i>n，则序号为i的结点无左孩子；如2×i≤n，则 序号为i的结点的左孩子结点的序号为2×i。
第十四讲 树的概念与定义
精选完整ppt课件
1
第十四讲
树是n（n≥0）个结点的有限集合T。当n=0时，称为空树； 当n>0时， 该集合满足如下条件：
(1) 其中必有一个称为根（root）的特定结点，它没有直接 前驱，但有零个或多个直接后继。
(2) 其余n-1个结点可以划分成m（m≥0）个互不相交的有限 集T1，T2，T3，…，Tm，其中Ti又是一棵树，称为根root的子 树。 每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但有零个或 多个直接后继。
精选完整ppt课件
13
第十四讲
(6) Parent（bt， x）：求双亲函数。求二叉树bt中结点x的双 亲结点。若结点x是二叉树的根结点或二叉树bt中无结点x， 则返回“空”。
(7) LeftChild（bt， x）：求左孩子。 若结点x为叶子结点或x 不在bt中， 则返回“空”。
(8) RightChild（bt， x）：求右孩子。 若结点x为叶子结点或x 不在bt中， 则返回“空”。
(11) TraverseTree（Tree，Visit（））： 树Tree存在，Visit（） 是对结点进行访问的函数。按照某种次序对树Tree的每个结点调 用Visit（）函数访问一次且最多一次。若Visit（）失败， 则操 作失败。
数据结构树的知识点总结
数据结构树的知识点总结一、树的基本概念。
1. 树的定义。
- 树是n（n ≥ 0）个结点的有限集。
当n = 0时，称为空树。
在任意一棵非空树中：- 有且仅有一个特定的称为根（root）的结点。
- 当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、…、Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（sub - tree）。
2. 结点的度、树的度。
- 结点的度：结点拥有的子树个数称为结点的度。
- 树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。
3. 叶子结点（终端结点）和分支结点（非终端结点）- 叶子结点：度为0的结点称为叶子结点或终端结点。
- 分支结点：度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。
- 除根结点之外，分支结点也称为内部结点。
4. 树的深度（高度）- 树的层次从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。
树中结点的最大层次称为树的深度（或高度）。
二、二叉树。
1. 二叉树的定义。
- 二叉树是n（n ≥ 0）个结点的有限集合：- 或者为空二叉树，即n = 0。
- 或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
2. 二叉树的特点。
- 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
3. 特殊的二叉树。
- 满二叉树。
- 一棵深度为k且有2^k - 1个结点的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点是每一层上的结点数都是最大结点数。
- 完全二叉树。
- 深度为k的、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。
完全二叉树的叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上；如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子。
三、二叉树的存储结构。
1. 顺序存储结构。
- 二叉树的顺序存储结构就是用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素。
树的基本概念与特点
树的基本概念与特点树，被广泛应用于生物学、计算机科学、数学等领域，是一种重要的数据结构。
本文将介绍树的基本概念与特点，并对其进行详细论述。
一、概念树是一种由节点和边组成的非线性数据结构。
它以一个称为根节点的特殊节点作为起点，每个节点可以有零个或多个子节点，且子节点之间没有任何顺序关系。
二、特点1. 分层结构：树的节点可以按照层次分布。
根节点处于第一层，根节点的子节点处于第二层，依次类推。
2. 唯一路径：树中的任意两个节点之间只存在唯一的路径。
即从根节点到任意一个节点，只有一条路径可达。
3. 无环结构：树是无环的，即不存在环形路径。
每个节点只能通过一条路径与其他节点相连。
4. 子树概念：树中的每个节点都可以看作是一个子树的根节点。
子树是由其下属的节点及其子节点构成的一颗完整树。
三、常见类型树有许多常见的类型，每种类型都有其特定的应用场景和特点。
以下列举几种常见的树类型：1. 二叉树：每个节点最多只有两个子节点的树称为二叉树。
二叉树有许多变种，例如满二叉树、完全二叉树等。
2. 二叉搜索树：在二叉搜索树中，每个节点的值都大于其左子树中的任意节点的值，小于其右子树中的任意节点的值。
这个特性使得查找、插入和删除操作具有较高的效率。
3. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。
这保证了树的整体高度较低，提高了查找、插入和删除操作的效率。
4. B树：B树是一种自平衡的搜索树，它可以拥有多个子节点。
它的出色特性使得它被广泛应用于文件系统和数据库的设计中。
5. 红黑树：红黑树是一种特殊的二叉搜索树，具有一些平衡性质。
红黑树的高度近似于log(n)，使得它的查找、插入和删除操作具有较好的性能。
四、应用场景树的应用场景非常广泛。
下面列举几个常见的应用场景：1. 文件系统：文件系统通常使用树的结构来组织文件和目录。
每个目录可以包含多个子目录或文件。
2. 数据库：数据库中的索引通常使用树的结构，如B树和红黑树，以提高查询效率。
数据结构第七章 树和森林
7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻， 也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币， 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据 信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树 的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来 后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是 一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此， 树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是数学中的一个分支，研究各种图形的结构和性质。
其中，树是图论中非常重要的一个概念。
本文将介绍树的定义和性质，并探讨它在图论中的应用。
一、树的定义在图论中，树是一种特殊的无向图，它是一个连通的无环图。
这意味着树中的任意两个顶点之间都存在唯一的路径，并且不存在回路。
在树中，有一个特殊的顶点被称为“根”，其他顶点都与根有一条直接的路径相连。
根据根与其他顶点之间的距离可以将树分为不同的层次。
二、树的性质1. 顶点数与边数关系在一个树中，边的数量等于顶点数减1。
这可以通过归纳证明来证明。
2. 树的层次关系在树中，从根开始，每一层的顶点都与上一层的顶点相连。
树的层次关系可以用来刻画树中的信息流动或者依赖关系。
3. 叶子节点在树中，没有子节点的顶点被称为叶子节点。
树的叶子节点是最末端的节点，它们没有子节点与之相连。
4. 子树在一个树中，任意一个顶点都可以看作是一个树的根。
以某个顶点为根的子树包含了该顶点以及与之直接相连的所有顶点。
5. 树的深度树的深度是指树中从根到最深的叶子节点的层数。
树的深度也可以看作是树的高度，表示树的层数。
三、图论中树的应用图论中的树在很多问题中起到了重要的作用，下面列举几个常见的应用。
1. 最小生成树最小生成树是指在一个连通的带权无向图中选择一棵边的子集，使得这棵子树包含了图中的所有顶点，并且权重之和最小。
最小生成树常被用于网络设计、电路布局等问题中。
2. 网络路由在一个网络中，通过树的结构可以确定数据的传输路径，有效地避免了数据的冗余和混乱。
树结构的拓扑设计对于确定最短路径、避免环路等问题非常有帮助。
3. 数据压缩树结构可以用于数据的压缩和解压缩。
通过构建哈夫曼树，可以实现对数据的高效压缩，去除冗余信息，提高存储和传输效率。
4. 优先级队列优先级队列常通过堆这种数据结构来实现，而堆可以看作是一种特殊的树。
通过构建堆结构，可以高效地实现插入和删除操作，常被用于任务调度、最短路径算法等场景。
图论课件第二章_树
图论及其应用
应用数学学院
1
第二章 树
本章主要内容
一、树的概念与性质
二、生成树
三、最小生成树
2
本次课主要内容
(一)、树的概念与应用 (二)、树的性质 (三)、树的中心与形心
16
2 m ( G ) d ( v ) k 1 kn 2 ( k ) 2 n 1 2 n 2
v V ( G )
所以，有：m (G)>n-1,与G是树矛盾！ 例10 设G是森林且恰有2k个奇数顶点，则在G中有k条 边不重合的路P1, P2 ,…, Pk,使得：
v2 e2 e5 v1 v4 e4 e3 e6 v3
e1
7
该问题归结于在图中求所谓的最小生成树问题。或 称为赋权图中的最小连接问题。 例4 化学中的分子结构与树 例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为： h h h h h h h h h h h h h h
h h h
h
h
h
8
例5 电网络中独立回路与图的生成树 早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学 家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所 谓生成树的关系。即：如果电路是(n, m)图，则独立回路的 个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就 可以得到一独立回路。 例6 通信网络中的组播树 在单播模型中，数据包通过网络沿着单一路径从源主机向 目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数 据包，而这一地址却代表一个主机组。为了向所有接收者传 递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路 径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树 和Steiner树 。
山东科技大学 离散数学7-6对偶图与着色7-7 树+复习
7-8 根树及其应用
一、根树
1、有向树 定义7-8.1 如果一个有向图在不考虑边的方向时
是一棵树，那么，该有向图称为 有向树。
2、根树
定义7-8.2 一棵有向树,如果恰有一个 结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1, 则称为根树(rooted tree)。 入度为0的结点称为T的树根。 出度为0的结点称为树叶。 出度不为0的结点称为分支点或内点。
7. 设a和b是格<A, ≤>中的两个元素，证明 (1)a∧b=b 当且仅当a∨b=a (2) a∧b < b和a∧b <a 当且仅当a与b是不可比较的 证明： (1)在格中吸收律满足, 则 由a∧b=b, a∨b=a∨(a∧b)=a 反之, 若a∨b=a, 则a∧b= (a∨b)∧b=b (2)若a∧b < b和a∧b <a, 即表明a∧b ≠b和a∧b ≠a, 用反证法： 假设a与b是可比较的, 则 a≤b，a∧b=a，矛盾; b≤a，a∧b=b，矛盾 因此a与b是不可比较的。 反之, a与b是不可比较的, 则a≤b和b≤a均不成立, 即a∧b ≠b和a∧b ≠a 根据∧的定义：a∧b≤a 和 a∧b≤b, 故 a∧b < b和a∧b <a
点中的某一个称为根,其他所有结点被分成有限个
在有向树中，结点的出现次序是没有意义的。 但实际应用中，有时要给出同一级中结点的相对 次序，这便导出有序树的概念。 4、有序数：在根树中规定了每一层上结点的次 序，称为有序树。
为表示结点间的关系，有时借用家族中的术语。
定义 在以v0为根的树中， （1）v1，v2,…，vk称为v0的 儿子，v0称为它们的 父亲。vi，vj 同为一顶点v的儿子时，称它们为兄弟。 （2）顶点间的父子关系的传递闭包称为顶点间
树木 植物概念
树是具有木质树干及树枝的植物，可存活多年。
一般将乔木称为树，主干，植株一，分枝距离地面较高，可以形成树冠。
树有很多种。
树木是木本植物的总称，包含乔木、灌木和木质藤本之分，树木主要是种子植物，蕨类植物中只有树蕨为树木，中国约有8000种树木。
分为榕树；杨树；柳树；柏树等。
俗语中也有将比较大的灌木称为“树”的，如石榴树、茶树等。
树在减少土地侵蚀及调整气候上相当的重要，树可以从空气中吸收二氧化碳，将大量的碳储存在组织内。
树木和森林是许多物种的栖息地。
热带雨林是世界上生物多样性最丰富的地方之一。
树可以提供遮阴及保护，木材可供建筑用，木炭可以用来加热及烹煮，果子可以用来作为食物。
在世界各地的森林面积正在下降，目的是要增加可以农业使用的土地。
由于树的长寿及实用，在许多神话中也有树的出现。
2015年有报告估计地球上共有约3万亿棵大树，当中约1.39万亿棵在热带和亚热带，6100亿棵在温带，7400亿棵在围绕北极的北方森林。
与11000年前比较，人类活动已导致树的数量减少一半。
现时人类每年除去约150亿棵树，只植回约50亿棵。
虽然树是一个常用的词语，但没有一个广为认同的定义，不管是植物学上的定义或是日常生活的定义都没有。
因为树本意是一个人为分类法，不同的树之间没有血缘关系。
一般称为树的都集中在两类当中，便是双子叶植物(阔叶树)和松柏门(针叶树)，可两个门或网都包括了很多草本植物和灌木。
但在这两类外仍有很多类型的树，包括了竹、棕榈、苏铁、银杏、买麻藤等其他种子植物，何况种子植物便是由前裸子植物演化而成的。
初期的维管植物虽然演化出木质的树干，但实际生育器官较简单，类似蕨类植物的如鳞木和芦木及其遗孑的桫椤目。
树木广义树是泛指中等至高大的植物。
有细长茎（或树干）可以支持叶子或枝条离地面相当的高度。
树也常用高度来定义，高度在0.5至10米（1.6至32.8英尺）的中至大型植物都算树的，包括了灌木向小型乔木过渡与大型草本植物，所以树木的最小高度也只是大致的定义而已。
《数据结构——C语言描述》第6章：树
先根遍历: -+a*b–cd/ef 中根遍历: a+b*c–d–e/f 后根遍历: abcd-*+ef/-
typedef struct Node { datatype data; struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; } BTnode,*Btree;
满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结 点的二叉树称为满二叉树。 完全二叉树：深度为k，有n个结点的 二叉树当且仅当其每一个结点都与深度 为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一 对应时，称为完全二叉树。
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1 3 5 7
树的度：树中最大的结点的度数即为 树的度。图6.1中的树的度为3。 结点的层次(level)：从根结点算起， 根为第一层，它的孩子为第二层……。 若某结点在第l层，则其孩子结点就在 第l+1层。图6.1中，结点A的层次为1， 结点M的层次为4。 树的高度(depth)：树中结点的最大层 次数。图6.1中的树的高度为4。 森林(forest)：m(m≥0)棵互不相交的 树的集合。
树的基本概念
基本概念结点的层次（Level）从根开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层。
二叉树的高度：树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。
二叉树在计算机科学中，二叉树是每个结点最多有两个子树的有序树。
通常子树的根被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。
二叉树常被用作二叉查找树和二叉堆。
二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
二叉树的第i层至多有2的（i-1）次方个结点；深度为k的二叉树至多有2的k次− 1个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0 = n2 + 1。
树和二叉树的2个主要差别：1. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为2；2. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。
……树是一种重要的非线性数据结构，直观地看，它是数据元素（在树中称为结点）按分支关系组织起来的结构，很象自然界中的树那样。
树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可用树形象表示。
树在计算机领域中也得到广泛应用，如在编译源程序如下时，可用树表示源源程序如下的语法结构。
又如在数据库系统中，树型结构也是信息的重要组织形式之一。
一切具有层次关系的问题都可用树来描述。
一、树的概述树结构的特点是：它的每一个结点都可以有不止一个直接后继，除根结点外的所有结点都有且只有一个直接前趋。
以下具体地给出树的定义及树的数据结构表示。
（一）树的定义树是由一个或多个结点组成的有限集合，其中：⒈必有一个特定的称为根(ROOT)的结点；⒉剩下的结点被分成ｎ>=0个互不相交的集合T1、T2、......Tn，而且，这些集合的每一个又都是树。
树T1、T2、......Tn被称作根的子树(Subtree)。
树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。
图论第2章
比如
1 2 3 7 4 5 8
6
(4, 3, 5, 3, 4, 5)
很容易验证上述过程可逆。 注： 以上讨论的生成树的棵数均指标定图而言。标定图的 生成树的数量远大于非标定图生成树的数量。如标定图K6 有66-2 = 1296 棵生成树，而不同构的6阶树仅6棵。
三、回路系统简介
定义 设 T 是图G=(V, E)的一棵生成树，m和n分别是G的边 数与顶点数，e1, e2,…, em-n+1 为T的弦，设 Cr 是 T 加 er 产生 的圈(r = 1, 2,…, m-n+1)，称 Cr 为对应于弦 er 的基本回路， {C1, C2,…, Cm-n+1}称为对应于生成树T的基本回路系统。
第二章 树
树的概念与性质
树的中心与形心 生成树 最小生成树
yzwang@
2.1 树的概念与性质
一、树的概念
定义 不含圈的图称为无圈图，连通的无圈图称为树。树 常用符号T 表示。
例 下面的图均是树。
T1
T2
T3
T4
注：平凡图称为平凡树。
定义 无圈图称为森林。
注；(1) 树与森林都是简单图;
n1 2 n3 2n4 (k 2)nk。
推论 假定(n, m)图G 是由k棵树组成的森林，则m = n-k。 证明 设G 的每棵树的点数与边数分别是ni 和mi (1≤i≤k) 。 则mi = ni -1, i =1, 2,…, k。 因此
树的基本术语
树的基本术语一、树的定义树（Tree）是一种非线性的数据结构，它由n（n>=1）个节点组成的有限集合。
其中，有且只有一个节点被称为根节点，其余节点被分为若干互不相交的、且看作一个整体（子树）来处理的、有限集合。
二、树的基本术语为了更好地理解树的概念，我们需要了解一些树的基本术语：1. 节点（Node）节点是树的基本构成单元，每个节点包含数据和指向其他节点的指针或引用。
节点可以有零个或多个子节点。
2. 根节点（Root）根节点是树的顶端节点，它是树中唯一一个没有父节点的节点。
根节点用于标识树的起点。
3. 父节点（Parent）一个节点的直接上层节点称为其父节点。
一个节点可以有零个或一个父节点。
4. 子节点（Child）一个节点的直接下层节点称为其子节点。
一个节点可以有零个或多个子节点。
5. 兄弟节点（Sibling）拥有共同父节点的节点称为兄弟节点。
兄弟节点之间的关系是平等的。
6. 叶节点（Leaf）没有子节点的节点称为叶节点，也可以叫做终端节点。
7. 子树（Subtree）子树是由一个节点及其所有子孙节点组成的树。
每个子节点可以看作是该子树的根节点。
8. 深度（Depth）节点的深度是指从根节点到该节点的唯一路径上的边的数量。
根节点的深度为0。
9. 高度（Height）节点的高度是指从该节点到最深叶节点的路径上的边的数量。
叶节点的高度为0。
整棵树的高度是指根节点的高度。
10. 祖先节点（Ancestor）一个节点的祖先节点是从根节点到该节点的路径上的所有节点。
11. 后代节点（Descendant）一个节点的后代节点是从该节点到叶节点的所有节点。
三、树的分类树可以分为多种不同的类型，常见的树包括二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树等。
1. 二叉树（Binary Tree）二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以是空树，也可以是非空树。
2. 二叉搜索树（Binary Search Tree）二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中任意节点的左子树中的值都小于该节点的值，任意节点的右子树中的值都大于该节点的值。
树1
有何特征？
2.二叉树
2）从一棵二叉树到树的转换规则是： (1)若结点X是双亲Y的左孩子，则把X的右孩子，右孩子的右孩 子…都与Y用连线相连； (2)去掉原有的双亲到右孩子的连线。
2.二叉树
3) 树和二叉树间的转换实例
2.二叉树
2.6 二叉树的性质
性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。 证明：可用数学归纳法予以证明。 当i=1时有2i-1=20=1，同时第一层上只有一个根结点，故命题成立。 设当i=k时成立，即第k层上至多有2k-1个结点。 当i=k+1时，由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，所以第k+1层 上至多有22k-1=2k个结点，故命题成立。
1.树的基本概念
结点的层次：从根结点开始，根结点为第一 层，根的孩子为第二层，根的孩子的孩子为 第三层，依次类推。 如：结点M的层次为4。 树的深度：树中结点的最大层次数。 如：该树的深度为4。 堂兄弟：双亲在同一层上的结点互称为堂兄 弟。 例如结点E，G，H互为堂兄弟。 路径：若存在一个结点序列k1,k2,…,kj, 可 使k1到达kj, 则称这个结序序列是k1到达kj 的一条路径。
树的引入
树的引入
树与线性表的逻辑特征比较
线性表是一种线性结构
线性结构的逻辑特征是：有且仅有一个开始结点和一个 终端结点，且所有结点都最多只有一个直接前趋和一个 直接后继。
树是一种非线性结构
非线性结构的逻辑特征是一个结点可能有多个直接前趋 和直接后继。
结构特征
线性表 树 线性结构 非线性结构
直接前趋个数
1.树的基本概念
1.2树的直观表示形式
(1)直观表示法
使用圆圈表示结点，连线表示结点间的关系，结点的名字可写在圆 圈内或圆圈旁
分别简述树、树枝、连支的概念
分别简述树、树枝、连支的概念树是植物界中的一类重要生物体，也是地球上最古老、最广泛分布的植物类型之一。
树木的形态特征和结构给予它们独特的生态功能和美学价值。
本文将分别简述树、树枝和连支的概念，介绍它们在生物学和环境科学领域的重要性。
一、树的概念树是指生长在陆地上、高度较大并存活较长时间的植物。
树木一般由根、茎和叶组成。
根在地下扎根，吸收水分和养分；茎是树木的主体部分，支撑和输送水分和养分；叶则是进行光合作用的器官。
树木的高度通常大于5米，可以达到十几米乃至更高的高度。
树木可以分为阔叶树和针叶树两类，根据叶子的形态和习性进行区分。
树在自然界中有着重要的地位。
首先，树木通过光合作用将二氧化碳转化为氧气，是地球上的主要氧气来源之一。
其次，树木的根系有助于保持土壤的稳定性，防止水土流失和地质灾害的发生。
此外，树木为许多动物提供了栖息地，有助于维持生物多样性。
二、树枝的概念树枝是树的主干分枝，属于树木的一部分。
树枝生长在树干上，与树干呈一定角度。
树枝通常较细长，也可以分为主枝和次枝。
主枝是从树干上生长出来的大型分支，次枝则从主枝上分出。
树枝的末端一般会长出叶子或花朵。
树枝在树木的生长和发育中起到重要的作用。
首先，树枝可以扩大树木的生物表面积，增加光合作用的地方，提高光能的吸收效率。
其次，树枝的生长也是树木生长的标志之一，树枝的长度和分布密度能够反映树木的生长状态和环境变化。
此外，树枝也为许多动物提供了栖息和觅食的场所。
三、连支的概念连支是树枝分布于树干上的整体形态。
它描述了树干上连续的树枝排列方式和形态规律。
连支在树木的生长过程中有着重要的地位。
树的连支形态直接影响树冠的形成和树木的整体结构。
连支的形态主要受到树木的遗传性和环境条件的影响。
在树木生长过程中，连支的位置和数量会受到多种因素的影响，包括光照、水分、营养等。
合理的连支分布和形态可以有效提高树木的光合作用效率和生长水平。
总结：树、树枝和连支作为树木的重要构成部分，在生物学和环境科学领域具有重要的研究价值。
树,二叉树,森林
二叉树
二叉树性质（续） ② 高度为k的二叉树最多有2k-1个结点(k≥1) 证明：
高度为k的二叉树只有在每一层都达到最大结点数时，整个二叉树的结点数 才能达到最大。即当每层的结点数目都达到该层的最大结点数2i-1时（性质 2），对应的二叉树的结点数目取得最大值(等比数列求和) a1(1-qn)/(1-q)
因此如果把完全二叉树的各个结点按编号顺序依次存放到一个一维数组， 对于完全二叉树中任意结点i的双亲结点序号、左孩子结点序号和右孩子 结点序号都可由公式计算得到，具体做法是将n个结点存放到一维数组 a[n+1]中。这便是完全二叉树的顺序存储。
二叉树
带有结点编号的完全二叉树
二叉树
对于非完全二叉树是构造虚结点完成顺序存储
树的基本概念
A B E K L F C G H M D I J
back
树的基本概念
3、树的表示方法 （4种）
树形表示 文氏图表示 凹入表示
嵌套括号表示
A(B,C(D,E))
二叉树
二叉树是树型结构的一个重要类型，许多实际问题抽象 出来的数据结构都是二叉树的形式，此外一般的树也可以 简单的转换为二叉树，因此二叉树是特别重要的一种树结 构。 1、二叉树的定义： 二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个有限结点构成、 每个结点最多有两个孩子且有左右区分的有序树合。 n=0的树称为空二叉树；n>0的二叉树由一个根结点 和两个互不相交的、分别称作左子树和右子树的子二叉树 构成。
树、森林和二叉树的关系
树、森林和二叉树的关系
孩子兄弟表示法（二叉链表表示法）： 链表中每个结点设有两个链域，分别指向该结点的第一个孩 子结点和下一个兄弟（右兄弟）结点。
树、森林和二叉树的关系
软件技术--树与二叉树
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;
树的基本概念与分类
树的基本概念与分类在自然界中，树是地球上最常见且最重要的植物之一。
它们生长得高大而壮观，为我们提供氧气、食物、木材等各种资源。
本文将介绍树的基本概念以及根据不同的分类标准对树进行分类。
一、基本概念树是一种由根、茎和叶组成的多年生植物。
它具有以下几个基本特征：1. 根：树的根是位于地下的部分，主要负责吸收水分和养分，并固定树的位置。
树的根通常分为主根和侧根，它们一起构成了根系。
2. 茎：树的茎是位于地上的部分，负责承载树的各个组成部分。
树的茎具有坚硬的纤维素，可以抵御外界的压力，并通过树皮进行保护。
3. 叶：树的叶是负责光合作用的重要器官，通过叶子的叶绿素吸收阳光，并将它转化为植物所需的能量。
树的叶通常具有扁平的形状，有利于最大程度地吸收阳光。
二、分类根据不同的分类标准，树可以被分为多个不同的类别。
以下是根据植物形态学和生物学特征的分类方法：1. 根据叶形分类（1）针叶树：这类树木的叶子一般为针状，如松树、云杉等。
它们有很好的适应能力，在寒冷或干燥的环境中生长。
（2）阔叶树：这类树木的叶子较为宽大，通常为扁平形状。
常见的阔叶树包括橡树、枫树等。
2. 根据叶序分类（1）对生树：这类树木的叶子一般对生在茎上，如杨树、枫树等。
（2）互生树：这类树木的叶子互生在茎上，如梧桐树、枸杞树等。
3. 根据果实分类（1）裸子植物：这类树木的种子裸露在果实的外部，如松树、柏树等。
（2）被子植物：这类树木的种子被果实所包裹，如苹果树、橙树等。
4. 根据习性分类（1）落叶乔木：这类树木的叶子在秋季时会逐渐变黄并脱落，如槭树、枫树等。
（2）常绿乔木：这类树木的叶子在全年都保持绿色，如松树、杉树等。
5. 根据生长地区分类（1）寒带树：这类树木适应寒冷的气候，通常生长在高纬度地区，如北极松、冷杉等。
（2）温带树：这类树木适应温和的气候，通常生长在中纬度地区，如橡树、枫树等。
（3）热带树：这类树木适应炎热的气候，通常生长在低纬度地区，如棕榈树、榕树等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当i=j+1时，根据完全二叉树的定义， 若其左孩子存在，
则其左孩子结点的序号一定等于序号为 j的结点的右孩子的序
号加1， 即其左孩子结点的序号等于 （2×j+1）+1=2（j+1） =2×i， 且有2×i≤n；如果2×i>n， 则左孩子不存在。 若右 孩子结点存在，则其右孩子结点的序号应等于其左孩子结点 的序号加1，即右孩子结点的序号为2×i+1，且有2×i+1≤n；
性质5: 对于具有n个结点的完全二叉树， 如果按照从上到
下和从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从 1 开始顺序编号，
则对于任意的序号为i的结点有： （1） 如i=1，则序号为i的结点是根结点， 无双亲结点； 如 i>1， 则序号为i的结点的双亲结点序号为［i/2］。 （2） 如2×i>n，则序号为i的结点无左孩子；如2×i≤n，则
若二叉树为空，则空操作，否则依次执行如下3个操作：
(1) 按中序遍历左子树； (2) 访问根结点； (3) 按中序遍历右子树。 · 后序遍历（LRD）操作过程：
若二叉树为空，则空操作，否则依次执行如下3个操作：
(1) 按后序遍历左子树； (2) 按后序遍历右子树； (3) 访问根结点。
A B C D (a) 单支二叉树 (b) 顺 序 存 储 结 构 A B C D
图6.5 单支二叉树与其顺序存储结构
2. 链式存储结构 对于任意的二叉树来说，每个结点只有两个孩子，一个
双亲结点。我们可以设计每个结点至少包括三个域：数据域、
左孩子域和右孩子： LChild
Data
RChild
其中，LChild域指向该结点的左孩子， Data域记录该结点的 信息，RChild域指向该结点的右孩子。
LCh ild
RChild
图6.7 二叉树结点的基本结构
我们用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、 遍历
右子树， 那么对二叉树的遍历顺序就可以有六种方式：
(1) 访问根，遍历左子树，遍历右子树（记做DLR）。 (2) 访问根，遍历右子树，遍历左子树（记做DRL）。 (3) 遍历左子树，访问根，遍历右子树（记做LDR）。 (4) 遍历左子树，遍历右子树，访问根（记做LRD）。 (5) 遍历右子树，访问根，遍历左子树（记做RDL）。 (6) 遍历右子树，遍历左子树，访问根（记做RLD）。
用C语言可以这样声明二叉树的二叉链表结点的结构：
typedef struct Node { DataType data; struct Node *LChild; struct Node *RChild; }BiTNode, *BiTree;
有时，为了便于找到父结点，可以增加一个 Parent域， Parent 域指向该结点的父结点。 该结点结构如下： LChild
其左孩子不存在。同理，如果2×i+1=3≤n， 说明其右孩子存在
且序号为3；如果3>n，则二叉树中不存在序号为 3的结点， 其 右孩子不存在。 假设对于序号为 j(1≤j≤i)的结点，当2×j≤n时，其左孩子存 在且序号为 2×j ，当 2×j>n 时，其左孩子不存在；当 2×j+1≤n
时， 其右孩子存在且序号为2×j+1，当2×j+1>n时，其右孩子
域有2n-(n-1)=n+1个。
不同的存储结构实现二叉树的操作也不同。如要找某个
结点的父结点，在三叉链表中很容易实现；在二叉链表中则 需从根指针出发一一查找。可见，在具体应用中，需要根据 二叉树的形态和需要进行的操作来决定二叉树的存储结构。
二叉树的遍历
LCh ild
Data Data
RChild
E
第二次经过
(b) 遍历中三次经过结点的情形
中序遍历二叉树的递归过程
最早提出遍历问题是对存储在计算机中的表达式求值。例 如：（a+b*c）-d/e。该表达式用二叉树表示如图6.9所示。当我 们对此二叉树进行先序、中序、后序遍历时，便可获得表达式 的前缀、 中缀、 后缀书写形式：
前缀： -+a*bc/de
二叉树的存储结构
二叉树的结构是非线性的， 每一结点最多可有两个后继。 二叉树的存储结构有两种： 顺序存储结构和链式存储结构。 1. 顺序存储结构
A B D H I J E K L (b) 二叉树的顺序存储结构 F C G A B C D E F G H I J K L
(a) 满二叉树
图6.4 二叉树与顺序存储结构
完全二叉树： 深度为 k ，结点数为 n 的二叉树，如果其结点 1~n 的位置 序号分别与满二叉树的结点 1~n 的位置序号一一对应，则为 完全二叉树， 如图6.3(b)所示。
满二叉树必为完全二叉树， 而完全二叉树不一定是满二
叉树。
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 8 4 9 10 2 5 11
先序遍历： A、 B、 D、 F、 G、 C、 E、 H 。
中序遍历： B、 F、 D、 G、 A、 C、 E、 H 。 后序遍历： F、 G、 D、 B、 H、 E、 C、 A 。
A B D F G C E H
图6.8 二叉树
第一次经过 A B D 第三次经过
B
C
D (a) 二叉树的遍历走向
树的概念与定义
树是n（n≥0）个结点的有限集合T。当n=0时，称为空树；
当n>0时， 该集合满足如下条件： (1) 其中必有一个称为根（root）的特定结点，它没有直接 前驱，但有零个或多个直接后继。 (2) 其余n-1个结点可以划分成m（m≥0）个互不相交的有限 集T1，T2，T3，…，Tm，其中Ti又是一棵树，称为根root的子树。 每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但有零个或多个直
兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
祖先结点：一个结点的祖先结点是指从根结点到该结点的路径 上的所有结点。在图6.1中，结点K的祖先是A、B、E。 子孙结点：一个结点的直接后继和间接后继称为该结点的子孙 结点。在图6.1中，结点D的子孙是H、I、 J、 M。 树的度： 树中所有结点的度的最大值。
注意：先序、中序、后序遍历是递归定义的， 即在其
子树中亦按上述规律进行遍历。
下面就分别介绍三种遍历方法的递归定义。 · 先序遍历（DLR）操作过程： 若二叉树为空，则空操作，否则依次执行如下3个操作： (1) 访问根结点； (2) 按先序遍历左子树； (3) 按先序遍历右子树。
· 中序遍历（LDR）操作过程：
序号为i的结点的左孩子结点的序号为2×i。
（3） 如2×i＋1>n，则序号为i的结点无右孩子；如2×i＋
1≤n， 则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2×i＋1。
可以用归纳法证明其中的（2）和（3）：
当i=1时，由完全二叉树的定义知，如果2×i=2≤n，说明二
叉树中存在两个或两个以上的结点，所以其左孩子存在且序号 为2； 反之，如果2>n，说明二叉树中不存在序号为 2的结点，
结点的层次：从根结点开始定义，根结点的层次为1，根的直接 后继的层次为2，依此类推。
树的高度（深度）： 树中所有结点的层次的最大值。
有序树：在树T中，如果各子树Ti之间是有先后次序的，则称为 有序树。
森林： m（m≥0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根 结点删去，树就变成一个森林；反之，给森林增加一个统一的 根结点，森林就变成一棵树。
如果2×i+1>n，则右孩子不存在。
故（2）和（3）得证。
由（2）和（3）我们可以很容易证明（1）。 当i=1时， 显然该结点为根结点，无双亲结点。当i>1时， 设序号为i的结点的双亲结点的序号为 m，如果序号为i的结点 是其双亲结点的左孩子，根据（2）有i=2×m，即m=i/2; 如 果序号为i的结点是其双亲结点的右孩子，根据（3）有 i=2×m+1， 即m=（i-1）/2=i/2-1/2，综合这两种情况，可以得 到，当i>1时， 其双亲结点的序号等于［i/2］。证毕。
接后继。
A B E K L F C G H M D I J
图6.1 树的图示方法
结点：包含一个数据元素及若干指向其它结点的分支信息。
结点的度：一个结点的子树个数称为此结点的度。
叶结点：度为0的结点，即无后继的结点，也称为终端结点。 分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。 孩子结点：一个结点的直接后继称为该结点的孩子结点。 双亲结点：一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点。
n=B+1
又因为二叉树中的分支都是由度为1和度为2的结点发出，
所以分支数目为 B=n1+2n2 整理上述两式可得到
n=B+1=n1+2n2+1
将 n=n0+n1+n2 代入上式，得出 n0+n1+n2=n1+2n2+1，整理后
得n0=n2+1，故结论成立。
满二叉树： 深度为 k 且有 2k-1 个结点的二叉树。在满二叉树中，每层
现证明当i=k+1时， 结论成立： 因为二叉树中每个结点的度最大为2，则第k+1层的结点总数最多为第 k层上结点最大数的2倍，即2×2k-1=2(k+1)-1，故结论成立。
性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≥1）。
证明：因为深度为k的二叉树，其结点总数的最大值是将
二叉树每层上结点的最大值相加，所以深度为k的二叉树的结
二叉树的定义与基本操作
定义：我们把满足以下两个条件的树形结构叫做二叉树 （Binary Tree）： （1） 每个结点的度都不大于2； （2） 每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。 由此定义可以看出，一个二叉树中的每个结点只能含有0、 1或2个孩子，而且每个孩子有左右之分。我们把位于左边的孩 子叫做左孩子，位于右边的孩子叫做右孩子。