必修五解三角形复习课件 2.24

2．余弦定理：a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝a2＋b2－2abcos C ．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋2cb2c－a2， cos B＝a2＋2ca2c－b2，cos C＝a2＋2ba2b－c2. 3．S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(R 是三 角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
【训练 1】 (2011·北京)在△ABC 中，若 b＝5，∠B＝π4，tan
A＝2，则 sin A＝________；a＝________.
解析 因为△ABC 中，tan A＝2，所以 A 是锐角，
且csoins AA＝2，sin2A＋cos2A＝1，
联立解得 sin A＝255，
再由正弦定理得sina A＝sinb B，
[例4] 在△ABC中，已知B→C·C→A＝125，C→A·A→B＝－625， A→B·B→C＝－323，求△ABC的最大内角．
∴|B→C|＝3，同理可求得|C→A|＝5. 又∵B→C·C→A＝125， ∴125＝|B→C||C→A|cos(180°－∠ACB)＝－15cos∠ACB， ∴cos∠ACB＝－12. 又∵0<∠ACB<180°，∴∠ACB＝120°.
[例4] 在△AB－323，求△ABC的最大内角．
方法三：设△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a， b，c.
由B→C·C→A＝125得abcosC＝－125， 由余弦定理得a2＋b2－c2＝－15.① 同理可得b2＋c2－a2＝65，② c2＋a2－b2＝33.③ 由①②③解得a2＝9，b2＝25，c2＝49，
∵即A2∈si(n0， A πco)， s C∴＝sisninA(≠ B＋0，C∴ )，cos C＝12，∴C＝π3. ∴2sin A cos C＝sin A.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 (2a－b)cos C＝c·cos B，△ABC的面积S＝10 3 ，c＝7.
(2)由 S＝12absin C＝10 3，C＝π3，
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
得 ab＝40.①
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，
即 c2＝(a＋b)2－2ab1＋cos

π3，
∴72＝(a＋b)2－2×40×1＋12.
∴a＋b＝13.②
由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB. ∵B＝60°，b＝a＋2 c，∴(a＋2 c)2＝a2＋c2－2accos60°. 整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c. ∴△ABC为正三角形．
55＝2.
2
BD＝12AB＝1.
由余弦定理，得CD＝ BD2＋BC2－2BD·BC·cosB
＝ 1＋18－2×1×3 2× 22＝ 13.
三、正、余弦定理与其他知识的综合 [例4] 在△ABC中，已知B→C·C→A＝125，C→A·A→B＝－625， A→B·B→C＝－323，求△ABC的最大内角．
a sin
A
＝
c sin
C，即
10 ＝ 3
c2.∴c＝103
6 .
22
答案 C
2．在△ABC 中，若sina A＝cobs B，则 B 的值为( )．
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析 由正弦定理知：
sin sin
AA＝csoins
BB，∴sin
B＝cos
B，∴B＝45°.
答案 B
3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a＝ 3，b＝1，c＝2，则 A 等
于( )．
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析 由余弦定理得：cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12＋×41－×32＝12，
∵0＜A＜π，∴A＝60°.
答案 C
4．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝13，则△ABC 的面
积为( )．
A．3 3
B．2 3
C．4 3
D. 3
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a
＝10，则c等于( )．
A．5 2
B．10 2
10 6 C. 3
D．5 6
解析
由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：
[例4] 在△ABC中，已知B→C·C→A＝125，C→A·A→B＝－625， A→B·B→[C解＝]－方323法，一求：△∵ABB→CC的·C→最A大＝内|B→角C |．| C→A|·cos(180°－∠ACB) ＝125>0，
∴cos∠ACB<0. ∴∠ACB>90°，即∠ACB是△ABC中的最大内角． 由已知B→C·C→A＝125，A→B·B→C＝－323， ∴B→C·C→A＋A→B·B→C＝B→C(C→A＋A→B) ＝B→C·C→B＝－|B→C|2＝－9.
[例1]
在△ABC中，B＝45°，AC＝
10，cosC＝2 5
5 .
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
[例1]
在△ABC中，B＝45°，AC＝
10，cosC＝2
5
5 .
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
[解] (1)由cosC＝255，得sinC＝ 55， sinA＝sin(180°－45°－C)＝sin(135°－C)
即a＝3，b＝5，c＝7. ∴cosC＝a2＋2ba2b－c2＝－12.∴C＝120°.
代入数据解得 a＝2 10.
答案
25 5
2 10
【例2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且满足(2a－b)cos C＝c·cos B，△ABC的面积S3＝ 10 ，c＝7. (1)求角C； (2)求a，b的值． 解 (1)∵(2a－b) cos C＝c cos B， ∴(2sin A－sin B) cos C＝sin C cos B， 2sin A cos C－sin B cos C＝cos B sin C，
解析 ∵cos C＝13，0＜C＜π，∴sin C＝232，
∴S△ABC＝12absin C
＝12×3 2×2 3×232＝4 3.
答案 C
5．已知△ABC 三边满足 a2＋b2＝c2－ 3ab，则此三角形的最大 内角为________． 解析 ∵a2＋b2－c2＝－ 3ab，∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－ 23， 故 C＝150°为三角形的最大内角． 答案 150°
[例4] 在△ABC中，已知B→C·C→A＝125，C→A·A→B＝－625， A→B·B→C＝－323，求△ABC的最大内角．
方法二：同解法一，求出|B→C|＝3，|C→A|＝5，|A→B|＝7. ∴∠ACB最大，由余弦定理得 cos∠ACB＝322＋×532×－572＝－12. ∴∠ACB＝120°，即最大角为120°.
解三角形 复习
基础梳理 1．正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2Rsin A ，b＝2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； (3)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR等形式，以解决不同的三 角形问题．
＝
22(cosC＋sinC)＝3
10 10 .
由正弦定理，得BC＝sAinCB·sinA＝
10×3 2
1010＝3
2.
2
[例1]
在△ABC中，B＝45°，AC＝
10，cosC＝2
5
5 .
(1)求BC边的长；
(2)求AB边上的中线CD的长．
(2)由正弦定理，得AB＝sAinCB·sinC＝
10× 2