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中考数学抛物线压轴题

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中考数学专题抛物线中的角度问题(初三数学压轴题讲解)

中考数学专题抛物线中的角度问题(初三数学压轴题讲解)

中考数学压轴题专题一：利用抛物线中的角度求点的坐标（原创）二次函数中的角度问题通常要构造直角、相似、全等三角形把角度问题转化为边的问题，求抛物线中的点坐标方法一般采用两种方法，第一种是求线与线的交点，这时需要联立方程；第二种是几何法，过点做坐标轴的垂线，再利用三角函数或者是相似三角形去求解！例1.抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．解题思路：1.利用∠BCO+2∠PCB＝90°和∠BCO+∠CBO＝90°推出∠CBO=2∠PCB2.得出∠CMB=∠MCB得到BC=BM3.求出M的坐标，进而求出直线CM的直线解析式4.联立直线CM方程和抛物线方程，求交点坐标例2.已知抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线点第三象限上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．且∠CPD＝45°，求点P的坐标；解题思路：45度可以联想到等腰直角三角形1.延长PC交x轴于点E，得出等腰直角三角形2.求出E点坐标，进而求出直线CE的解析式3.联立直线CE方程和抛物线方程，求交点坐标例3.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；解题思路1.分情况讨论，分P在原点的左右侧进行讨论2.P在原点右侧比较简单3.P在原点左侧要结合P在原点右侧的情况，可以得出等腰△OGD，求出G点坐标4.利用GD的直线直线方程或相似三角形求出P点坐标例4.已知抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．tan ∠ACM＝2时，求M点的横坐标；解题思路：1.构造一线三垂直利用相似求出点F坐标2.求出直线CF的解析式3.联立直线CF方程和抛物线方程，求交点坐标（求交点可以利用韦达定理）例5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P 的坐标；解题思路：1.分情况讨论，P在直线BC的上方和下方2.P在直线BC上方，利用∠PCB＝∠CBD得出PC平行BD，利用斜率相等求出直线PC解析式联立PC方程和抛物线方程，求交点坐标3.P在直线BC的下方，∠PCB＝∠CBD得出等腰三角形CFB，4.可以得出△BCD为直角三角形，，推出F为BD的中点5.求出直线CF的方程，再联立抛物线方程求出交点坐标例6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；解题思路：1.过点B做OA平行线2.∠ABD＝2∠BAC得出∠ABD=2∠EBA，得出∠FBD=∠BAC3.利用tan∠FBD=tan∠BAC求出D点做坐标例7.已知抛物线y＝（x﹣1）2，D为抛物线的顶点，直线y＝kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．求证：∠PDQ＝90°；解题思路思路1.构造一线三垂直思路2.证明直线PD和直线DQ斜率之积为-1思路3.利用勾股定理逆定理证明例8.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6．连接BD，F为抛物线上一动点，当∠F AB ＝∠EDB时，求点F的坐标；解题思路：1.分点F在x轴下方时和上方时进行分类讨论2.AB在x轴上，利用tan∠FAB＝tan∠EDB去求最简便例9.如图，已知抛物线C1：交x轴于点A，B，交y轴于点C．在抛物线上存在点D，使，求点D的坐标．解题思路：1.分D在BC上方和下方讨论2.找到特殊点发现tan∠OBC=3.利用角平分线的性质去求F坐标4.求联立直线BF和抛物线方程求D点坐标例10，平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣4与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；解题思路：利用tan∠ACB=tan∠FDB去求解例11.已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2，BC平分∠PCO时，求点P的横坐标．解题思路：1.角平分线联想到角平分线＋平行线得到等腰三角形2.利用PE=PC去求解（两点之间的距离公式）例12.抛物线y＝x2﹣1，M（﹣4，3），N是抛物线上两点，N在对称轴右侧，且tan∠OMN ＝，求N点坐标；解题思路：构造一线三垂直课后练习1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．直线DC交x轴于点E，tan∠AED＝，求a的值和CE的长；2.已知抛物线y＝（x+1）2+1，点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上。

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之角度关系处理(含解析)

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之角度关系处理(含解析)

中考数学抛物线压轴题之角度关系处理（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（A点在B点左侧），顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC＝∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，且横坐标为﹣2．（1）求出抛物线的解析式．（2）判断△ACD的形状，并说明理由．（3）直线AD交y轴于点F，在线段AD上是否存在一点P，使∠ADC＝∠PCF？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA＝∠DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF＝∠MFO时，请直接写出线段BM的长．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于点A，顶点B的坐标为（﹣2，﹣2）．（1）求a，b的值；（2）在y轴正半轴上取点C（0，4），在点A左侧抛物线上有一点P，连接PB交x轴于点D，连接CB交x 轴于点F，当CB平分∠DCO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接PC，在PB上有一点E，连接EC，若∠ECB＝∠PDC，求点E的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．12．如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x＝﹣2上是否存在点M，使得∠MAC＝2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．17．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．18．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）动点D在线段BC下方的抛物线上．①连接AC、BC，过点D作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点F．过点F作FG⊥AC，垂足为G．设点D的横坐标为t，线段FG的长为d，用含t的代数式表示d；②过点D作DH⊥BC，垂足为H，连接CD．是否存在点D，使得△CDH中的一个角恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出点D的横坐标；如果不存在，请说明理由．1．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y＝﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a＝1，解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD＝（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）＝﹣x2+x，∴S△PBC＝OB•DP＝×3×（﹣x2+x）＝﹣x2+x．又∵S△PBC＝1，∴﹣x2+x＝1，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得：x＝1或x＝2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1∴∠BAC＝45°．∵∠BQC＝∠BAC＝45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB＝90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2＝BC2，即2x2＝10，解得：x＝（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y＝﹣x，AB的垂直平分线为直线x＝1，∴点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．【分析】（1）代入y＝c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形的面积公式可找出S＝﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，由DO＝DP 可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．【解答】解：（1）当y＝c时，有c＝﹣x2+bx+c，解得：x1＝0，x2＝b，∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）．∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，OA＝1，BC＝c﹣3，CP＝b．∵△PCB≌△BOA，∴BC＝OA，CP＝OB，∴b＝3，c＝4，∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）当y＝0时，有﹣x2+3x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点F的坐标为（4，0）．过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），∴ME＝﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）＝﹣m2+6m+1，∴S＝S梯形OEMB﹣S△OEB﹣S△AEM＝OA•ME＝﹣m2+3m+＝﹣（m﹣3）2+5．∵﹣＜0，0≤m≤4，∴当m＝0时，S取最小值，最小值为；当m＝3时，S取最大值，最大值为5．（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C、M重合时，∠MPO＝∠POA，∴点M的坐标为（0，4）；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA．设点D的坐标为（n，0），则DO＝n，DP＝，∴n2＝（n﹣3）2+16，解得：n＝，∴点D的坐标为（，0）．设直线PD的解析式为y＝kx+a（k≠0），将P（3，4）、D（，0）代入y＝kx+a，，解得：，∴直线PD的解析式为y＝﹣x+．联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，．∴点M的坐标为（，）．综上所述：满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S＝﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为（1，﹣），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO＝∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；。

中考数学与抛物线有关的中考压轴题

中考数学与抛物线有关的中考压轴题

与抛物线有关的中考压轴题一、（2009江津市）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解析：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝……………………（2分） ∴23b c =-⎧⎨=⎩……………………（3分）∴抛物线解析式为：223y x x =--+…………………… (4分)(2)存在…………………………………………………………………………(5分) 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+ ∴C 的坐标为：(0，3)直线BC 解析式为：3y x =+……………………………………(6分)Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩ABC∴Q(－1，2)…………………………………………………………………(7分)（3）答：存在。

…………………………………………………………………(8分)理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝……………………………………………(9分)11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=………………………………………(10分) 当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，………………………………………(11分)二、（2009某某）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解析：（1）B （1（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （，得a =，因此2y =+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小.设直线AB 为y =kx +b .所以20.k k b k b b ⎧⎪⎧+=⎪⎪⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎪⎩解得因此直线AB 为y x =， 当x =－1时，y =， 因此点C 的坐标为（－1.（4）如图，过P 作y 轴的平行线交AB 于D . 2221()()213212PAB PAD PBD D P B A S S S y y x x x x x ∆∆∆=+=--⎡⎤⎫=+-⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎫=+⎪⎝⎭当x =－12时，△PAB ，此时1,2P ⎛- ⎝⎭. 三 、（2007某某某某）．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点 （与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值X 围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由． 解析（1）点B （2，0），点C （0，8），点A （－6，0），（2）抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8 ，（3）由EF AC ＝BE AB ，因为AC=2268+=10，BE=8-m ，AB=8.所以EF ＝40－5m4.作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG=sin ∠CAB=54108=.所以在Rt △EGF 中， FG ＝EF ·sin ∠FEG=45·40－5m4=8-m ，所以S ＝BFE BCE S S ∆∆-=()8821⨯-m -()()m m --8821=－12m 2＋4m ， m 的取值X 围是0＜m ＜8 （4）存在．因为S ＝－12m 2＋4m ，又a=21-<0，当m=ab2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-2124=4时，a4b ac 42-=最大S =8.因为m=4，所以点E 的坐标为（－2，0），△BCE 为等腰三角形．四（2006·某某市）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米.现以O 点为原点，OM 所在直线为X 轴建立直角坐标系（如图所示）. （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和．．．．的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.解:⑴()()12,0,6,6M P⑵（法1）设这条抛物线的函数解析式 为:()266y a x =-+ ∵抛物线过O(0,0) ∴06)60(2=+-a 解得16a =-∴这条抛物线的函数解析式为:()21666y x =--+ 即2126y x x =-+. （法2）设这条抛物线的函数解析式 为:c bx ax y ++=2∵抛物线过O(0,0),()()12,0,6,6M P 三点，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=01212666022c b a c b a c 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=0261c b a ∴这条抛物线的函数解析式为:2126y x x =-+.⑶设点A 的坐标为21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴OB=m ，AB=DC=m m 2612+-根据抛物线的轴对称,可得:OB CM m == ∴122BC m =- 即AD=12－2m ∴l ＝AB+AD+DC=m m m m m 26121226122+--++-=122312++-m m =15)3(312+--m∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米.。

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之矩形(含解析)

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之矩形(含解析)

中考数学抛物线压轴题之矩形（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m 的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．4．如图，一次函数y＝x+3与坐标轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于另一点B抛物线顶点为E，连接AE．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；（2）点P是线段AE上的一动点，过点P作PF平行于y轴交AC于点F，连接EF，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；（3）若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A、E、M、N为顶点的四边形是以AE为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线y＝﹣x2+x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线AE：y＝x﹣与抛物线相交于另一点E，点D为抛物线的顶点．（1）求直线BC的解析式及点E的坐标；（2）如图2，直线AE上方的抛物线上有一点P，过点P作PF⊥BC于点F，过点P作平行于y轴的直线交直线BC于点G，当△PFG周长最大时，在y轴上找一点M，在AE上找一点N，使得PM+MN+NE值最小，请求出此时N点的坐标及PM+MN+NE的最小值；（3）在第（2）问的条件下，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点N，E，R，S为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y＝ax2﹣3x+c的对称轴是x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF＝3PE．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB：y＝﹣x+相交于点A（1，0）和B（t，），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D是x轴上的一个动点，连接BD、CD，请问△BCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．（3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+h与x轴相交于点A（﹣1，0），与y轴相交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+3的一交点为点D，抛物线过x轴上的AB两点，且CD＝4AC．（1）求直线l和抛物线的解析式；（2）点E是直线l上方抛物线上的一动点，求当△ADE面积最大时，点E的坐标；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，四边形APDQ能否为矩形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．9．如图，抛物线y＝x2+hx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物上点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是矩形，且MG＝2FM时，请求出点M的坐标．10．如图，已知二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE．（1）①线段AB的长为．②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．12．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．13．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y 轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC＝AC，连接OA，OB，BD 和AD．（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（，），对称轴为直线x＝﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC＝MP，MD＝OM，OE＝ON，NF＝NP．（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x＝﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m 的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．1．【解答】解：（1）如图1，过点D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，连接D'M；过点D'作D'J⊥y轴于点J；作直线AP，过点M作MH⊥AP于点H，过点D'作D'K⊥AP于点K∵y＝＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴A（﹣3，0），B（1，0）∵x＝0时，y＝＝﹣∴C（0，﹣），OC＝∴OD＝OC＝，D（0，）设P（t，t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）设直线PB解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G∴解得：∴直线PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG＝DG•x B+DG•|x P|＝DG•（x B﹣x P）＝（t+）（1﹣t）＝﹣（t2+4t﹣5）∴t＝﹣＝﹣2时，S△BPD最大∴P（﹣2，﹣），直线PB解析式为y＝x﹣，直线AP解析式为y＝﹣x﹣3∴tan∠ABP＝＝∴∠ABP＝30°∵△BPQ为等边三角形∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ∴BA平分∠PBQ∴PQ⊥x轴，PQ与x轴交点I为PQ中点∴Q（﹣2，）∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝∴∠QAI＝∠PAI＝60°∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60°∵MH⊥AP于点H∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝∴MH＝AM∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2∴四边形MNDD'是平行四边形∴D'M＝DN∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH∵D'K⊥AP于点K∴当点D'、M、H在同一直线上时，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短∵DD'∥MN，D（0，）∴∠D'DJ＝30°∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝∴D'（1，）∵∠PAI＝60°，∠ABP＝30°∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90°∴PB∥D'K设直线D'K解析式为y＝x+d，把点D'代入得：+d＝解得：d＝∴直线D'K：y＝x+把直线AP与直线D'K解析式联立得：解得：∴K（﹣，）∴D'K＝∴DN+MN+AM的最小值为（2）连接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如图2∵点C（0，﹣）关于x轴的对称点为E∴E（0，）∴tan∠EAB＝∴∠EAB＝30°∵抛物线C'由抛物线C平移得到，且经过点E∴设抛物线C'解析式为：y＝x2+mx+，∵A（﹣3，0），P（﹣2，﹣），E（0，），B（1，0），∴BE∥PA，BE＝PA，∴抛物线C'经过点A（﹣3，0），∴×9﹣3m+＝0解得：m＝∴抛物线C'解析式为：y＝x2+x+∵x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1∴F（﹣1，0）∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE＝∴△ABB'、△AEE'是等边三角形∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，点B'在AB的垂直平分线上∴E'（﹣3，2），B'（﹣1，2）∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°①如图3，点T在E'F上，∠B'TR＝90°过点S作SW⊥B'E'于点W，设翻折后点E'的对应点为E'' ∴∠E'B'T＝30°，B'T＝B'E'＝∵△B′E′R翻折得△B'E''R∴∠B'E''R＝∠B'E'R＝60°，B'E''＝B'E'＝2∴E''T＝B'E''﹣B'T＝2﹣∴Rt△RTE''中，RT＝E''T＝2﹣3∵四边形RTB'S是矩形∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝2﹣3∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°∴B'W＝SB'＝﹣，SW＝SB'＝3﹣∴x S＝x B'﹣B'W＝，y S＝y B'+SW＝3+∴S（，3+）②如图4，点T在E'F上，∠B'RT＝90°过点S作SX⊥B'F于点X∴E'R＝B'E'＝1，点E'翻折后落在E'F上即为点T∴B'S＝RT＝E'R＝1∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝∴x S＝x B'+XS＝﹣，y S＝y B'﹣B'X＝∴S（﹣，）③如图5，点T在B'F上，∠B'TR＝90°∴RE''∥E'B'，∠E''＝∠B'E'R＝60°∴∠E'BE''＝∠E'RE''＝120°∴四边形B'E'RE''是平行四边形∵E'R＝E''R∴▱B'E'RE''是菱形∴B'E'＝E'R∴△B'E'R是等边三角形∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'∴点S为B'E'中点∴S（﹣2，2）综上所述，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．2．【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．3．【解答】解：（1）y＝a（x+3）（x﹣1），令y＝0，则x＝1或﹣3，故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）；（2）抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）…①，当∠MAO＝45°时，如图所示，则直线AM的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3），故点M（4，7）；②∠M′AO＝45°时同理可得：点M（﹣2，﹣1）；故：﹣2≤m≤4；（3）①当BD是矩形的对角线时，如图2所示，过点Q作x轴的平行线EF，过点B作BE⊥EF，过点D作DF⊥EF，抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，函数的对称轴为：x＝﹣1，抛物线点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则点P的横坐标为：﹣1，OB＝1，而CD＝4BC，则点D的横坐标为：﹣4，故点D（﹣4，5a），即HD＝5a，线段BD的中点K的横坐标为：＝﹣，则点Q的横坐标为：﹣2，则点Q（﹣2，﹣3a），则HF＝BE ＝3a，∵∠DQF+∠BQE＝90°，∠BQE+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠DQF，∴△DFQ∽△QEB，则，，解得：a＝（舍去负值），同理△PGB≌△DFQ（AAS），∴PG＝DF＝8a＝4，故点P（﹣1，4）；②如图3，当BD是矩形的边时，作DI⊥x轴，QN⊥x轴，过点P作PL⊥DI于点L，同理△PLD≌△BNQ（AAS），∴BN＝PL＝3，∴点Q的横坐标为4，则点Q（4，21a），则QN＝DL＝21a，同理△PLD∽△DIB，∴，即，解得：a＝（舍去负值），LI＝26a＝，故点P（﹣1，），；综上，点P的坐标为：P（﹣1，4）或（﹣1，）．4．【解答】解：（1）一次函数y＝x+3与坐标轴交于A、C两点，则点A、C的坐标为（﹣3，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点E（﹣1，4）；（2）将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AE的表达式为：y＝2x+6，设点P（x，2x+6），则点F（x，x+3），S△PEF＝PF×（x E﹣x）＝×（2x+6﹣x﹣3）（﹣1﹣x）＝﹣（x+3）（x+1），当x＝﹣2时，S△PEF有最大值为，此时点P（﹣2，2）；（3）点A、E的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，4），AE2＝20，①当点M（m，0）在x轴上时，设点N（s，t），则AE＝MN，且AE中点坐标为MN中点坐标，即：，解得：，故点N（﹣3，4）；②当点M在y轴上时，同理可得：点N（﹣4，3）或（﹣4，1）；综上，点N坐标为：N（﹣3，4）或（﹣4，3）或（﹣4，1）．5．【解答】解：（1）当y＝0时，，解得x1＝1，x2＝4 所以点A（1，0），B（4，0）设BC直线解析式为y＝kx+b，将B、C坐标代入得，解得所以直线BC的解析式为联立方程，解得，∴点E坐标为（）（2）设P（），G（）PG＝（）﹣（）＝﹣当△PFG周长最大时，线段PG最长＜0，所以PG有最大值当m＝2时，PG最大，P点坐标为（2，）如图，作P点关于y轴的对称点P'，在AE下方作∠AEQ＝30°，过点p'作P'Q⊥EQ，垂足为Q，P'Q交x轴于S，交AE于N，作P'T⊥x轴，垂足为T，ER⊥x轴，垂足为R则P'Q＝PM+MN+NE由题意可知，P'（﹣2，），∠P'ST＝60°在Rt△P'ST中，tan∠p'ST＝＝∴TS＝3∴S点坐标为（1，0）设P'S直线解析式为y＝kx+b将P'、S坐标代入得，解得所以P'S直线解析式y＝+在Rt△EHR中tan∠EHR＝＝∴HR＝∴H（，0）∴SH＝∴SQ＝∵P'S＝∴P'Q＝所以PM+MN+NE的最小值为．点N坐标为（1，0）（3）如图所示，设R1的纵坐标长度为m当NE为矩形对角线时可证△NA1R1∽△R1ZE，∴＝∴＝解得m1＝﹣，m2＝﹣﹣（舍去）∴R1的坐标为（，﹣+）可证△NB1S1≌△EZR1∴S1坐标为（，+）同理S2坐标为（，﹣）当NE为矩形的一边时，如图可证△S3HN≌△R3FE≌△R3GE在Rt△R3GE中，GE＝，由三角函数可得EF＝∴HN＝，S3H＝∴S3坐标为（，）同理可得S4坐标为（，﹣）6．【解答】解：（1）当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x＝，得，解得，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y＝x．∵点P是直线m上任意一点，∴设P（3a，a），则PC＝|3a|，PB＝|a|．又∵PF＝3PE，设PB＝n，PC＝3n，PE＝m，PF＝3m，则CF＝＝3，BE＝，∴＝＝＝3，∵∠PCF＝∠PBE＝90°，∴△PCF∽△PBE，∴∠FPC＝∠EPB．∵∠CPE+∠EPB＝90°，∴∠FPC+∠CPE＝90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE＝6﹣a．∵CF＝3BE＝18﹣3a，∴OF＝20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴＝，＝，∴Q x+6＝0+a，Q y+2＝20﹣3a+0，∴Q x＝a﹣6，Q y＝18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a＝4或a＝8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE＝a﹣6．∵CF＝3BE＝3a﹣18，∴OF＝3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴＝，＝，∴Q x+6＝0+a，Q y+2＝20﹣3a+0，∴Q x＝a﹣6，Q y＝18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a＝（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a＝8或a＝4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．7．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+，令y＝得x＝﹣4，∴B（﹣4，）．分别把A（1，0）和B（﹣4，）代入y＝x2+bx+c，得解得，则该抛物线解析式为：y＝x2+x﹣，∵﹣＝﹣1，∴对称轴为直线x＝﹣1；（2）直线AB：y＝﹣x+相交于点C（0，），作点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，﹣），连接BC′交x轴于点D，根据“两点之间线段最短”可得BD+CD的和最小，从而△BCD的周长也最小，∵B（﹣4，），C′（0，﹣），∴直线BC′的解析式为y＝﹣x﹣．令y＝0，可得x＝﹣，∴D（﹣，0），∴当△BCD的周长最小时，点D的坐标为（﹣，0），最小周长＝BC+BC′＝+＝5+2；（3）①若AB为四边形的边长，作AE⊥AB，交y轴于点E，又OA⊥CE，∴△AOC∽△EOA，∴OE＝2OA＝2，∴E（0，﹣2）∴直线AE为y＝2x﹣2，令2x﹣2＝x2+x﹣，解得x1＝x2＝1，∴直线AE与抛物线只有一个交点为A，∴不存在满足题意的矩形；②若AB为四边形的对角线，当四边形是平行四边形时，对角线互相平分，有x A+x B＝x M+x N，即：1+（﹣4）＝﹣1+x N，解得x N＝﹣2．把x N＝﹣2代入y＝x2+x﹣，得y N＝﹣，由y A+y B＝y M+y N得：y M＝4，∴M（﹣1，4），N（﹣2，﹣），此时MN＝＝，AB＝＝，∴MN＝AB，∴平行四边形AMBN为矩形，综上，能为矩形，M（﹣1，4）．8．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得b＝2，所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，过点D作DF⊥x轴于点F，如图1易证△AOC∽△AFD，∴，∵CD＝4AC，∴＝，∴点D横坐标为4，把x＝4代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣5，∴D（4，﹣5），把x＝4，y＝﹣5；x＝﹣1，y＝0代入y＝kx+h，解得，k＝﹣1，h＝﹣1，∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣1．（2）过点E作EM⊥x轴，交AD于点M，如图2设点E（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m﹣1），∴EM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m﹣1）═﹣m2+3m+4，∴S△ADE＝（﹣m2+3m+4）＝，当m＝时，△ADE的面积最大，此时，E（，）．（3）不存在理由如下：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m），如图4，则易得Q（2，3），m＝﹣5a﹣3＝﹣8，则P（1，﹣8），PQ2＝12+112＝122，PD2＝32+32＝18QD2＝22+82＝68，∴PD2+QD2≠PQ2，∴∠PDQ≠90°，此时平行四边形ADPQ不是矩形，9．【解答】解：（1）抛物线y＝x2+hx+c，即：a＝1，抛物线过A（﹣1，0），B（3，0）两点，则抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（0，﹣3），函数的对称轴为：x＝1，故点E（1，0），点D（1，﹣4），将点BD代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线BD的表达式为：y＝2x﹣6，设点P（m，2m﹣6），PE＝PC时，则：m2+（2m﹣6+3）2＝（m﹣1）2+（2m﹣6）2，解得：m＝2，故点P（2，﹣2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是矩形，∴MG＝2FM时，|a2﹣2a﹣3|＝2|a﹣2|，解得：a＝或2，故点M的坐标为：（2，0）或（2﹣，0）或（，0）或（﹣，0）．10．【解答】解：（1）①令y＝0，则（mx﹣3）（mx+1）＝0，∴x＝﹣或x＝，∴A（﹣，0），B（，0），∴AB＝，。

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之基础面积问题(含解析)

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之基础面积问题(含解析)

中考数学抛物线压轴题之面积问题（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．2．已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问△PAC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．3．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且与直线y＝﹣kx+6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点 P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．11．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E 的坐标；若不存在请说明理由．12．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．13．综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．15．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，Rt△AOB中，∠A＝90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA＝2，AB ＝8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．（1）填空：直线OC的解析式为；抛物线的解析式为；（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．17．已知抛物线y＝﹣x2+bx和直线l：y＝x﹣b．（1）求证：抛物线与直线l至少有一个公共点；（2）若抛物线与直线l交于A，B两点，当线段AB上恰有2个纵坐标是整数的点时，求b的取值范围；（3）当b＞0时，将直线l向上平移b+1个单位长度得直线l'，若抛物线y＝﹣x2+bx的顶点P在直线l'上，且与直线l'的另一个交点为Q，当点C在直线l'上方的抛物线上时，求四边形OPCQ面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得△APB的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标．20．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝2：3，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．22．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点．作直线BC．点P是抛物线上的一个动点．过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m（m＞0）．PQ 的长为d．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）求d与m之间的函数关系式；（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：2时，求m的值；（4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值．23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．24．如图，开口向下的抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a为常数）与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，横坐标设为t，连接DC、DB．（1）求A、B的坐标．（2）当点D为抛物线的顶点时，△BCD的面积为15，求抛物线的解析式．（3）若a＝﹣1，过点D作x轴的垂线，垂足为H，当1≤t≤4时，DH+mHO的最大值为．求正实数m的值．25．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，过点A 的直线y＝mx+n交抛物线的另一个点为点E，点E的横坐标为2．（1）求b和c的值；（2）点P在直线AE下方的抛物线上任一点，点P的横坐标为t，过点P作PF∥y轴，交AE于点F，设PF ＝d，求出d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）问的条件下，过点P作PK⊥AE，垂足为点K，连接PE，若PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，求出此时t的值．27．若抛物线上y1＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？28．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）用含a的代数式表示点C的坐标．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若＝，求a的值．29．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A的解析式．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．35．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O 开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m；①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3OA＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM＝AB×OC+MN×OB＝×4×3×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM+∠BMO＝90°，∵∠BMO+∠OMB＝90°，∴∠OMB＝∠HFM，∵∠BOM＝∠MHF＝90°，∴△BOM≌△MHF（AAS），∴FH＝OM＝1，MH＝OB＝3，故点F（1，4），由点B、F的坐标得，直线BF的解析式为y＝﹣2x+6，联立，解得，∴E（﹣3，12）．2．【解答】解：（1）y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3＝﹣x2﹣x，∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m+n+4＝0，即m2+3m+1＝0，解得：m＝，故点M（，）；②当﹣1﹣m＝﹣（n+3）时，即m＝n+2，同理可得：点M（，）；故点M的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．3．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）＝﹣m2+m+15＝﹣（m ﹣）2+，∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴＝＝，∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，∴N（﹣，）．综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．4．【解答】解：（1）把A（6，3）代入y＝﹣kx+6，得3＝﹣6x+6．解得k＝﹣．故直线的解析式是：y＝﹣x+6．把O（0，0）、A（6，3）、B（﹣4，8）分别代入y＝ax2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x；（2）①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x，x2﹣x），则Q（x，﹣x+6），则PQ＝（﹣x+6）﹣（x2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，∴S△PAB＝（6+4）×PQ＝﹣（x﹣1）2+＝20，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）；②设P（x，x2﹣x），如图2，由题意得：AO＝3，BO＝4，AB＝5，∵AB2＝AO2+BO2，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB＝∠PCO，∴当＝时，△CPO∽△OAB，即＝．整理，得4|x2﹣x|＝3|x|．解方程4（x2﹣x）＝3x，得x1＝0（舍去），x2＝7，此时P点坐标为（7，）；解方程4（x2﹣x）＝﹣3x，得x1＝0（舍去），x2＝1，此时P点坐标为（1，﹣）；当＝时，△CPO∽△OBA，即＝，整理，得3|x2﹣x|＝4|x|，解方程3（x2﹣x）＝4x，得x1＝0（舍去），x2＝，此时P点坐标为（，）．解方程3（x2﹣x）＝﹣4x，得x1＝0（舍去），x2＝﹣，此时P点坐标为（﹣，）．综上所述，点P的坐标为：（7，）或（1，﹣）或（﹣，）或（，）．5．【解答】解：（1）对称轴x＝1，则点B（﹣2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣8a＝2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝2，联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得：…①，m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，n﹣m＝2＝＝，解得：k＝0（舍去）或1；将k＝1代入①式并解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，﹣）、（，）．（3）设点K（1，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，）过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，则△KMG≌△GNR（AAS），GM＝1﹣＝＝NR，MK＝，故点R的纵坐标为：，则点R（m﹣1，）将该坐标代入抛物线表达式解得：x＝，故m＝，故点K（1，）．6．【解答】解：（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），则c＝3，则函数表达式为：y＝ax2+bx+3，将点A坐标代入上式并整理得：b＝3a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝3a+1，即：﹣≥0，解得：a≥﹣，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，b＝3a+1＝﹣2二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△PAB＝×AB×PH＝×3×PQ×＝，则PQ＝|y P﹣y Q|＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点Q（x，x+3），即：﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝±1，解得：x＝或，故点P（，）或（，）或（，）或（，）．7．【解答】解：（1）对称轴x＝，则点B（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2+x+2；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝，联立抛物线于直线PQ的表达式并整理得：x2+（﹣k）x+1＝0…①，m+n＝3﹣2k，mn＝﹣2，n﹣m＝＝＝解得：k＝0（舍去）或3；故y＝3x+1，则x2+x+2＝3x+1，解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，）、（，）；（3）设点K（，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，），过点G作y轴的平行线交过点K′与x轴的平行线于点M，交过点K与x轴的平行线于点N，则△GNK≌△K′MG（AAS），NK＝﹣＝＝MG，NG＝﹣m，则点K′（﹣m，）将该坐标代入抛物线表达式并解得：m＝，故点K（，）或（，）．8．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积＝PH×OA＝3×（x2﹣2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），当x＝时，△ACP的面积的最大，最大值为：，此时点P（，）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN＝CM，故当B、M、N三点共线时，BM+CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN＝AB＝2＝AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图：①设P（m，m2﹣4m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为y BC＝﹣x+3．∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝OB•PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝时，S有最大值．当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF＝CF＝2，∴EC＝2，根据菱形的四条边相等，∴ME＝EC＝2，∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）当EM＝EF＝2时，M（2，3）答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．10．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP的表达式为：y＝﹣x；①过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+x+x）＝﹣x2+x，∵，故△BOD面积有最大值为：，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．11．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S△PCA＝PG×AC＝PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1），综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1）．（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣），综上，点E（，）或（，﹣）．12．【解答】解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB＝×OB×PH＝×2（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x，∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M′，设∠MBC＝∠ABC＝2α，过点B在BC之下作角度数为α的角，交抛物线于点M，过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，则GH＝GN，BC是GH的中垂线，OB＝4，OC＝3，则BC＝5，设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，则OG＝ON＝，GH＝GN＝2OG＝，点G（0，﹣），在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝或4（舍去4），则点M（，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，﹣）；故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．13．【解答】解：（1）如图1，把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）将x＝0代入y＝x2﹣x﹣3，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC＝3．设N（x，y），∵S△NAB＝S△CAB，∴|y|＝OC＝3，∴y＝±3．当y＝3时，x2﹣x﹣3＝3，解得x＝+1．当y＝﹣3时，x2﹣x﹣3＝﹣3，解得x1＝2，x2＝0（舍去）．综上所述，点N的坐标是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；（3）如图2，由已知得，BB′＝m，PB′＝2，设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）．∵直线y＝kx+b经过点B（4，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的表达式为y＝x﹣3．当0＜m≤2时，由已知得P′B＝2+m．∵OP′＝2﹣m，∴E（2﹣m，﹣m﹣）．由OB＝4得OP＝2，把x＝2代入y＝x2﹣x﹣3中，得y＝﹣3，∴D（2，﹣3），∴直线CD∥x轴．∵EP′＝m+，D′P＝3，∴ED′＝DP′﹣EP′＝3﹣m﹣＝﹣m+．过点F作FH⊥PD′于点H，则∠D′HF＝∠D′P′B′＝90°．∵∠HD′F＝∠P′D′B′，∴△D′HF∽△D′P′B′，∴＝．∵∠FCD′＝∠FBB′，∠FD′C＝∠FB′B，∴△CD′F∽△BB′F，∴＝．又∵CD′＝2﹣m，∴＝．设D′F＝k（2﹣m），B′F＝km，∴D′B′＝2k，∴＝．∴＝．∵P′B′＝2，∴HF＝2﹣m．∴S△ED′F＝ED′•HF＝×（﹣m+）×（2﹣m）．∵S△PB′D′＝PB′•PD′＝×3×2＝3，∴S＝S△PB′D′﹣S△ED′F＝3﹣×（﹣m+）×（2﹣m）＝﹣m2+m+．14．【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得，解得，故直线AC为y＝x+1；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），当x＝1时，y＝x+1＝2，∴B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3＝﹣x2+2x+3，解得，x＝0或x＝1（舍去），∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），∵F在抛物线上，∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，解得x＝或x＝，。

中考数学抛物线压轴题

中考数学抛物线压轴题

在中考数学中，抛物线是一个常见的考点，经常以压轴题的形式出现。

以下是一个关于抛物线的中考压轴题的示例：题目：已知抛物线y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)经过点(-1,-1)，(0,1)，当x=-2时，与其对应的函数值y>1。

1. 请你求出abc的值，并判断抛物线的开口方向。

2. 设直线y=kx+d(k≠0)经过点(1,-1)，且与抛物线的对称轴平行。

请你求出该直线的解析式。

3. 设E(m,n)是抛物线y=ax^2+bx+c上的一个动点，且满足∠APE=90°，请你求出m的值。

解析：1. 根据题目条件，抛物线经过点(-1,-1)，(0,1)，可得到方程：$a-b+c=-1$ ①$c=1$ ②将x=-2，y>1代入解析式得：$4a-2b+1>1$化简得：$2a-b>0$ ③由①②③解得：$a>0$$b>0$$c=1$所以，abc=1。

由于a>0，抛物线开口向上。

2. 由题意知：直线y=kx+d经过点(1,-1)，则有：k+d=-1 ④又因为直线与对称轴平行，所以其斜率等于对称轴的斜率，即：k=-b/2a=-1/2 ⑤由④⑤解得：d=-3/2所以，直线的解析式为：y=-x/2-3/2。

3. 根据题意知：E(m,n)在抛物线上，则有：$n=am^2+bm+c$ ⑥由于∠APE=90°，所以AE与PE垂直。

根据两直线垂直的条件：斜率之积等于-1。

即：$(m-1)/(n+1)=-1$ ⑦由⑥⑦解得：m=0或m=-2综上所述，m的值为0或-2。

中考压轴题专项训练1——抛物线专题(带答案解析)

中考压轴题专项训练1——抛物线专题(带答案解析)

中考压轴题专项训练1——抛物线专题考点分析：命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决复杂的图形综合问题。

二次函数常考点汇总：1. 两点间的距离公式：22)()(AB B A B A x x y y -+-=2. 中点坐标公式：已知A ),(A A y x ，B ),(B B y x ，则线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2B A B A y y x x 。

3. 在平面直角坐标系中求面积的方法：公式法、割补法（做铅垂高或水平宽） 4. 几何分析法：特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

例题精讲：1.如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．3.已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n ）是抛物线2114y x =+上的一个动点．（1）①如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，求证：PA=PB ； ②如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．4.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.（1）直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3) 已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.5．如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ． （1）∠ABC 的度数为 °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.（本题满分10分）如图，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值；（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标； （3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ∆P N 与∆APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．7．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．答案解析1.【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（三点重合，舍去）或m＝；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．2．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3∴k＝1即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（﹣，）∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴，则＝∵∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）3.【解答】解：（1）①设P（m，n）∴n=m2+1，∵PB⊥x 轴，∴PB=m2+1，∵A（0，2）∴AP==m2+1，∴PB=PA；②过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，所以点P的坐标为（2，2），（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，由（1）得：DA=DE，PA=PF∵PA=2DA，∴PF=2DE，∵△ODE∽△OPF，∴==，设P（m，m2+1），则D（m，m2+）∵点D在抛物线y=x2+1上，∴m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P 1（，3），直线OP 的解析式为y=x ， P 2（﹣，3）直线OP 的解析式为y=﹣x ， 综上所求，所求直线OP 的解析式为y=x 或y=﹣x ．4.【解答】解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.∴ 当14n =时，d 取得最小值18. 当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图)(3) ∵对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.xy111APBMO∴整数c 的值为0.此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠) 即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩ 对一切实数x 均成立. 由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩ 由⑤得整数b 的值为1.此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠) 即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠) 当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.当a≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)∴2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴整数a 的值为1.∴整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.5．【解答】解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =． ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°． （2）如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． 设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． ④⑤② ③ ⑥ ⑦图①图②（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与x 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与y 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．6. 【解答】解：（1）.3)(03,20.0,c -),,0(,.2,12.1x 2CD x //2-=∴=-=++=∴∴=-==-∴=∴=c c c c c c B c C OC OB b bl CD ，舍去或解得）点坐标为（：抛物线对称轴为直线，轴，（2）设点F 坐标为（0，m ）.∵对称轴是直线,1:=x l ∴点F 关于直线l 的对称点’F 的坐标为（2，m ）. ∵直线BE 经过点B （3,0），E （1，-4），∴利用待定系数法可得直线BE 的表达式为y=2x-6. ∵点’F 在BE 上，∴m=2⨯2-6=-2,即点F 的坐标为（0，-2）. （3）存在点Q 满足题意。

中考数学压轴题抛物线与动点精选

中考数学压轴题抛物线与动点精选

动点与抛物线专题复习一、平行四边形与抛物线1、（2012•钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=﹣．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上；（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴是直线x=﹣．）2、（2012•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．二、梯形与抛物线1、已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2012•泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q．（1）求h的值；（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．3.（2012•玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2．（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围．（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？三、等腰三角形、菱形与抛物线1、（2012•龙岩）在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（﹣1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B、C；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？4、如图，直线l 1经过点A（﹣1，0），直线l2经过点B（3，0），l1、l2均为与y轴交于点C（0，），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G．求证：DE=EF=FG；（3）若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由．5、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE 的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6、（2012•铁岭）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．四、直角三角形与抛物线1、（2012•广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．2、（2012•河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接P A、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△P AM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2012•海南）如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．4、（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．五、相似三角形与抛物线1、（2012•福州）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m 的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．3、（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．4.（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．5、（2012•常德）如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B（4，4）．（1）求二次函数的解析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6（2012•鞍山）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x 轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．六、抛物线中的翻折问题1、（2012•天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．2、（2010•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．动点与抛物线专题复习答案一、平行四边形与抛物线1、解：（1）由于抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点B（0，4），则c=4；∵抛物线的对称轴x=﹣=﹣，∴b=5a=；即抛物线的解析式：y=x2+x+4．（2）∵A（4，0）、B（3，0）∴OA=4，OB=3，AB==5；若四边形ABCD是菱形，则BC=AD=AB=5，∴C（﹣5，3）、D（﹣1，0）．将C（﹣5，3）代入y=x2+x+4中，得：×（﹣5）2+×（﹣5）+4=3，所以点C在抛物线上；同理可证：点D也在抛物线上．（3）设直线CD的解析式为：y=kx+b，依题意，有：，解得∴直线CD：y=﹣x﹣．由于MN∥y轴，设M（t，t2+t+4），则N（t，﹣t﹣）；①t＜﹣5或t＞﹣1时，l=MN=（t2+t+4）﹣（﹣t﹣）=t2+t+；②﹣5＜t＜﹣1时，l=MN=（﹣t﹣）﹣（t2+t+4）=﹣t2﹣t﹣；若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，由于MN∥CE，则MN=CE=3，则有：t2+t+=3，解得：t=﹣3±2；﹣t2﹣t﹣=3，解得：t=﹣3；综上，l=且当t=﹣3±2或﹣3时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．2、解：（1）解方程x2﹣7x+12=0，得x1=3，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．∴A（0，3），B（4，0）．（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5﹣2t．△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：（I）△APQ∽△AOB，如图（2）a所示．则有，即，解得t=．此时OP=OA﹣AP=，PQ=AP•tanA=，∴Q（，）；（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．则有，即，解得t=．此时AQ=，AH=AQ•cosA=，HQ=AQ•sinA=，OH=OA﹣AH=，∴Q（，）．综上所述，当t=秒或t=秒时，△APQ与△AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（，）或（，）．（3）结论：存在．如图（3）所示．∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=，AE=AQ•cos∠QAP=，∴OE=OA﹣AE=，∴Q（，）．∵▱APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（，）；∵▱APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（，）；如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，∵▱AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，∴△M3PF≌△QAE，∴M3F=QE=，PF=AE=，∴OF=OP+PF=，∴M3（﹣，）．∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（﹣，）．3.解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（，）；（4）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+∴△APC的面积的最大值为．二、梯形与抛物线1、解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OB=4，OA=2；由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，∴∠COH=60°，OH=，CH=3；∴C点坐标为（，3）．（2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（，3）、A（2，0）两点，∴，解得；∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+2x．（3）存在．因为y=﹣x2+2x的顶点坐标为（，3），即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；因为∠BOA=30°，所以ON=t，∴P（t，t）；作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；把x=t代入y=﹣x2+2x，得y=﹣3t2+6t，∴M（t，﹣3t2+6t），E（，﹣3t2+6t），同理：Q（，t），D（，1）；要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1，解得t=，t=1（舍），∴P点坐标为（，），∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（，）．2、解：（1）∵抛物线y=x2+h经过点C（0，1），∴+h=1，解得h=1．（2）依题意，设抛物线y=x2+1上的点，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a＜0＜b）过点A的直线l：y=kx+2经过点P、Q，∴a2+1=ak+2…①b2+1=bk+2…②①×b﹣②×a得：（a2b﹣b2a）+b﹣a=2（b﹣a），化简得：b=﹣；∴S△POQ=OA•|x Q﹣x P|=•OA•|﹣﹣a|=（﹣）+（﹣a）≥2•=4 由上式知：当﹣=﹣a，即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，△POQ的面积最小；即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4．（3）连接BQ，若l与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，依题意，设抛物线y=x2+1上的点，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a＜0＜b）直线BC：y=k1x+1过点P，∴a2+1=ak1+1，得k1=﹣a，即y=ax+1．令y=0得：x B=﹣，同理，由（2）得：b=﹣∴点B与Q的横坐标相同，∴BQ∥y轴，即BQ∥OA，又∵AQ与OB不平行，∴四边形AOBQ是梯形，据抛物线的对称性可得（a＞0＞b）结论相同．故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当l与x轴平行时，四边形AOBQ是正方形．3.解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2，在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，∴OC=OP+PC=4+4=8，又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．点P到达终点所需时间为=4秒，点Q到达终点所需时间为=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4．（2）结论：△AEF的面积S不变化．∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，∴，即，解得CE=．由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4﹣t，则CF=CD+DF=8﹣t．S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE=[4+（8﹣t）]×8+（8﹣t）•﹣×4×（8+）化简得：S=32为定值．所以△AEF的面积S不变化，S=32．（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF．由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，∴，即，化简得t2﹣12t+16=0，解得：t1=6+2，t2=6﹣2，由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2不符合题意，舍去．∴当t=（6﹣2）秒时，四边形APQF是梯形．三、等腰三角形、菱形与抛物线1、解：（1）∵点A（﹣1，0），∴OA=1，由图可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，所以，OC=OA•tan60°=1×=，OB=OC•cot30°=×=3，所以，点B（3，0），C（0，），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2+x+；（2）①∵△OCE∽△OBC，∴=，即=，解得OE=1，所以，AE=OA+OE=1+1=2，即x=2时，△OCE∽△OBC；②存在．理由如下：抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=1，所以，点E为抛物线的对称轴与x轴的交点，∵OA=OE，OC⊥x轴，∠BAC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠AEC=60°，又∠DEF=60°，∴∠FEB=60°，∴∠BAC=∠FEB，∴EF∥AC，由A（﹣1，0），C（0，）可得直线AC的解析式为y=x+，∵点E（1，0），∴直线EF的解析式为y=x﹣，联立，解得，（舍去），∴点M的坐标为（2，），EM==2，分三种情况讨论△PEM是等腰三角形，当PE=EM时，PE=2，所以，点P的坐标为（1，2）或（1，﹣2），当PE=PM时，∵∠FEB=60°，∴∠PEF=90°﹣60°=30°，PE=EM÷cos30°=×2÷=，所以，点P的坐标为（1，），当PM=EM时，PE=2EM•cos30°=2×2×=2，所以，点P的坐标为（1，2），综上所述，抛物线对称轴上存在点P（1，2）或（1，﹣2）或（1，）或（1，2），使△PEM是等腰三角形．3、解：（1）由题意，A（6，0）、B（0，8），则OA=6，OB=8，AB=10；当t=3时，AN=t=5=AB，即N是线段AB的中点；∴N（3，4）．设抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则：4=3a（3﹣6），a=﹣；∴抛物线的解析式：y=﹣x（x﹣6）=﹣x2+x．（2）过点N作NC⊥OA于C；由题意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，NC=NA•sin∠BAO=t•=t；则：S△MNA=AM•NC=×（6﹣t）×t=﹣（t﹣3）2+6．∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6．（3）Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=t，AC=AN•cos∠BAO=t；∴OC=OA﹣AC=6﹣t，∴N（6﹣t，t）．∴NM==；又：AM=6﹣t，AN=t（0＜t＜6）；①当MN=AN时，=t，即：t2﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；②当MN=MA时，=6﹣t，即：t2﹣12t=0，t1=0（舍去），t2=；③当AM=AN时，6﹣t=t，即t=；综上，当t的值取2或或时，△MAN是等腰三角形．4、解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，）三点，∴，解得a=，b=，c=，∴抛物线的解析式为：y=x2x．（2）设直线l1的解析式为y=kx+b，由题意可知，直线l1经过A（﹣1，0），C（0，）两点，∴，解得k=，b=，∴直线l1的解析式为：y=x；直线l2经过B（3，0），C（0，）两点，同理可求得直线l2解析式为：y=x．∵抛物线y=x2x=（x﹣1）2，∴对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1，）；点E为x=1与直线l2：y=x的交点，令x=1，得y=，∴E（1，）；点G为x=1与直线l1：y=x的交点，令x=1，得y=，∴G（1，）．∴各点坐标为：D（1，0），E（1，），F（1，），G（1，），它们均位于对称轴x=1上，∴DE=EF=FG=．（3）如右图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1交对称轴于H点，连接CF．△PCG为等腰三角形，有三种情况：①当CG=PG时，如右图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足P1G=CG．∵C（0，），对称轴x=1，∴P1（2，）．②当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG．如右图，C（1，），H点在x=1上，∴H（1，），在Rt△CHG中，CH=1，HG=|y G﹣y H|=|﹣（）|=，∴由勾股定理得：CG==2．∴PC=2．如右图，CP1=2，此时与①中情形重合；又Rt△OAC中，AC==2，∴点A满足PC=2的条件，但点A、C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形．③当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上．∵l1⊥l2，∴△ECG为直角三角形，由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点，∴CF=FG，∴F为满足条件的P点，∴P2（1，）；又cos∠CGE==，∴∠CGE=30°，∴∠HCG=60°，又P1C=CG，∴△P1CG为等边三角形，∴P1点也在CG的垂直平分线上，此种情形与①重合．综上所述，P点的坐标为P1（2，）或P2（1，）．5、解：（1）过点B作BF⊥x轴于F在Rt△BCF中∵∠BCO=45°，BC=6∴CF=BF=12∵C的坐标为（﹣18，0）∴AB=OF=6∴点B的坐标为（﹣6，12）．（2）过点D作DG⊥y轴于点G∵AB∥DG∴△ODG∽△OBA∵===，AB=6，OA=12∴DG=4，OG=8∴D（﹣4，8），E（0，4）设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）∴∴∴直线DE解析式为y=﹣x+4．（3）结论：存在．设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，EF=4．如答图2所示，有四个菱形满足题意．①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边．则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF﹣P1E=4﹣4．易知△P1NF为等腰直角三角形，∴P1N=NF=P1F=4﹣2；设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣（4﹣2）=2，又ON=OF﹣NF=2，∴Q1（2，﹣2）；②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边．此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（﹣2，2）；③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边．此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）；④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线．由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=﹣x+4得横坐标为2，则P4（2，2），由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，∴Q4（﹣2，2）．综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；点Q的坐标为：Q1（2，﹣2），Q2（﹣2，2），Q3（4，4），Q4（﹣2，2）．6、解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3 即B（﹣2，3）又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上∴，解得：．∴设抛物线的解析式为．（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴，若S△ADP=S△ADC，∵，，又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，∴C（0，1），∴OC=1，∴，即或，解得：．∴点P的坐标为．（3）结论：存在．∵抛物线的解析式为，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．又∵A（4，0），∴AE=．如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：①菱形AEM1Q1．∵此时DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；②菱形AEOM2．∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；③菱形AEM3Q3．∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；④菱形AM4EQ4．此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=，∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．四、直角三角形与抛物线1、解：（1）令y=0，即=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）．（2）S△ACB=AB•OC=9，在Rt△AOC中，AC===5，设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=．如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D．设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h=，∴CE==．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得到，解得，∴直线AC解析式为y=x+3．直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣．则D1的纵坐标为×（﹣1）﹣=，∴D1（﹣4，）．同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（﹣1，）综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）．（3）如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3．又FE=5，则在Rt△MEF中，ME==4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×=，FN=MN•cos∠MFE=3×=，则ON=，∴M点坐标为（，）直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=kx+b，则有，解得，所以直线l的解析式为y=x+3．同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3．综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3．2、解：（1）抛物线y=﹣x2+x+4中：令x=0，y=4，则B（0，4）；令y=0，0=﹣x2+x+4，解得x1=﹣1、x2=8，则A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）．（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直线AC：y=﹣x+4；依题意，知：OE=2t，即E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△P AB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64．（3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；而∠APM是锐角，所以△P AM若是直角三角形，只能是∠P AM=90°；由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=x﹣4；所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，得：，解得、∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．3.解：（1）∵二次函数的顶点坐标为（4，﹣4），∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣4）2﹣4，又二次函数过（0，0），∴0=a（0﹣4）2﹣4，解得：a=，∴二次函数解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣2x；（2）①证明：过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：设A（m，m2﹣2m），又O（0，0），∴直线AO的解析式为y=x=（m﹣2）x，则M（4，m﹣8），N（4，﹣m），H（4，m2﹣2m），∴OD=4，ND=m，HA=m﹣4，NH=ND﹣HD=m2﹣m，在Rt△OND中，tan∠ONM==，在Rt△ANH中，tan∠ANM====，∴tan∠ONM=tan∠ANM，则∠ANM=∠ONM；②△ANO不能为直角三角形，理由如下：分三种情况考虑：（i）若∠ONA为直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，∴△AHN为等腰直角三角形，∴HA=NH，即m﹣4=m2﹣m，整理得：m2﹣8m+16=0，即（m﹣4）2=0，解得：m=4，此时点A与点P重合，故不存在A点使△ONA为直角三角形；（ii）若∠AON为直角，根据勾股定理得：OA2+ON2=AN2，∵OA2=m2+（m2﹣2m）2，ON2=42+m2，AN2=（m﹣4）2+（m2﹣2m+m）2，∴m2+（m2﹣2m）2+42+m2=（m﹣4）2+（m2﹣2m+m）2，整理得：m（m﹣4）2=0，解得：m=0或m=4，此时A点与P点重合或与原点重合，故∠AON不能为直角；（iii）若∠NAO为直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，∴△AMN∽△DMO，又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，∴△AMN∽△DON，∴△AMN∽△DMO∽△DON，∴=，即=，整理得：（m﹣4）2=0，解得：m=4，此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能为直角三角形4、解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴A（0，2），∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2．（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，∴P（6，0），A（0，2），∴OP=6，OA=2．∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴Rt△OCA∽Rt△OP A，∴，∴OC=，又C点在x轴负半轴上，∴点C的坐标为C（，0）．（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，∴B（，）．如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，则D（，0），BD=，DP=6﹣=．点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（，0）；②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，∴，即，化简得：m2﹣m+=0，解得：x1=，x2=，∴此时M点坐标为（，0），（，0）；（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．此时M点坐标为（0，）；④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m．易知Rt△ABM∽Rt△MBM′，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（0，）．综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．五、相似三角形与抛物线1、解：（1）∵抛物线y=y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴，解得：∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），又点D在直线y=x﹣m上，∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=，∴直线A′B的解析式是y=，∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上，∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴=n2﹣3n，解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣，）．方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（，），B1（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1，∴，∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．2、解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），可得，解得：，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：，即直线BC的解析式为y=﹣2x+2．故可得点E的坐标为（0，2），从而可得：AE==2，CE==2，故可得出AE=CE；（3）相似．理由如下：设直线AD的解析式为y=kx+b，则，解得：，即直线AD的解析式为y=x+4．联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：，即点F的坐标为（﹣，），则BF==，AF==，又∵AB=5，BC==3，∴=，=，∴=，又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA．故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．3、解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0），又∵函数的顶点坐标为（3，﹣），∴，解得：，故函数解析式为：y=x2﹣x，由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；（2）∵S△POA=2S△AOB，∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式得：2=x2﹣x，解得：x1=3+，x2=3﹣，即可得满足条件的有两个，P1（3+，2），P2（3﹣，2）．（3）存在．过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP==，故可得∠BOA=60°，设Q1坐标为（x，x2﹣x），过点Q1作Q1F⊥x轴，∵△OAB∽△OQ1A，∴∠Q1OA=30°，故可得OF=Q1F，即x=（x2﹣x），解得：x=9或x=0（舍去），即可得Q1坐标为（9，3），根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3）．4.解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如答图1，连接BC，交x=1于H点，此时BH+CH最小（最小值为线段CE的长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由（2）知B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OB，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x轴于点F，则BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．。

中考数学 抛物线-压轴题

中考数学 抛物线-压轴题

数学中考题精选----------抛物线1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 直接写出相应的点Q 的坐标．2、已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （0，4），且抛物线的对称轴为直 线x ＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）若该抛物线的顶点为B ，在抛物线上是否存在点C ，使得A 、B 、O 、C 点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C （3）试问在抛物线上是否存在着点P ，使得以3为半径的⊙P 既与x 又与对称轴相交？若存在，请求出点P 的坐标，并求出对称轴被⊙P 的弦EF 的长度；若不存在，请说明理由．3、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． （1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标； （3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．．4、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA ＝OD ＝2，OC ＝OE ＝4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点，P 为线段FG 上一个动点（与F 、G 不重合），PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q ．（1）求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．5、如图，把抛物线y＝－x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称．点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点，D、C分别是抛物线l1、l2的顶点，线段CD交y轴于点E．（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；（2）设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P 点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由．（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM ＝S四边形AOED ，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．6、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（3，0），B（2，－3），C（0，－3）．（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．说明理由．7、如图，二次函数y＝－x2＋ax＋b的图象与x轴交于A（－21，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．8、如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－21，23），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，33），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．9、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－21x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． （1）求B 、C 两点的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，在平面直角坐标系中，以点A (－3，0)为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于D 、M 两点（点D 在点M 的下方）．（1）求以直线x ＝－3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式；（2）若点P 是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC ＋PD 的取值范围；（3）若点E 为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F ，使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F11、如图，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B (－1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．12、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (－1，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C (0，－2)，直线x ＝m (m ＞1)与x 轴交于点D ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线x ＝m (m ＞1)上有一点P （点P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13、已知抛物线： x x y 22121+-= （1）求抛物线y 1的顶点坐标；（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线y 2的解析式；（3）如下图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．14如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？15、已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 交y 轴于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B （3，－4），直线y ＝41x 与抛物线在第一象限的交点为C ，连结OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点P 在射线．．OC ．．上运动，连结BP ，设点P 的横坐标为x ，△OBP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （3）如图（2），点P 在直线．．OC ．．上运动，点Q 在抛物线上运动，试问点P 、Q 在运动过程中是否存在以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图（1） 图（2） 备用图。

中考数学压轴题100题及答案

中考数学压轴题100题及答案

中考数学压轴题100题精选【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点. (1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；A P 图16(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G .当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。

抛物线中考压轴题(精选)

抛物线中考压轴题(精选)

1.（08福建莆田）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a=-）4.（08广东深圳）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.y x O E D CB A GA BCD O xy7.（08湖北荆门）已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 在x 轴上，与y 轴的交点为B （0，1），且b =－4ac ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上是否存在一点C ，使以BC 为直径的圆经过抛物线的顶点A ？若不存在说明理由；若存在，求出点C 的坐标，并求出此时圆的圆心点P 的坐标；(3) 根据(2)小题的结论，你发现B 、P 、C 三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?10.（08湖北武汉）如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b 经过A （-1,0），C （3,2）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将 四 边 形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图2，过点 E （1，-1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ （点M ，N ，Q 分别与 点 A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标.3（08湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；O x y ABO x y A C B P P 1 D P 2 PAOBMDCyx(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.14.（08江苏常州）如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+,求x 的取值范围.15、（08江苏淮安）如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标； (3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．27、（08江西南昌）如图，抛物211y ax ax =--+经过点19(,)28P -，且与抛物线221y ax ax =--相交于A 、B 两点（1）求a 值；（2）设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点(0)Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C ，D 两点，试问当x为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？33、（08山东临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。

中考数学压轴题20题(含答案_)

中考数学压轴题20题(含答案_)

中考数学压轴题复习20题1．在平面直角坐标系xO y 中，抛物线y ＝－41 m x2＋45mx ＋m2－3m ＋2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．2．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E ．（Ⅰ）若b ＝2，c ＝3，求此时抛物线顶点E 的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE＝S △ABC，求此时直线BC的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE＝2S △AOC，且顶点E 恰好落在直线y ＝－4x ＋3上，求此时抛物线的解析式．4．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ． （1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE ＝2，BD ＝BC ，求∠BPD 的正切值；（3）若tan ∠BPD ＝31，设CE ＝x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．5．已知：如图①，在平面直角坐标系xO y 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围； （2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；（3）如图②，现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB ，AB 交于点M ，N ，连接MN ．将∠MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M ，N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．6．已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12，0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2． （1）求该抛物线的解析式：（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；AE C B P D 图2（备用） B PE C D A 图3（备用） A B C P E D 图1图②图①（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋1与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．9．如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1． （1）若c ＝a 1，求证：a ＝kc ；（2）若c ＝a 1，试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1，使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数，并加以说明；（3）若b ＝a 1，c ＝b 1，是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2？请说明理由．10．如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． （1）判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE ＝BF ； （3）若OG ·DE ＝3(2－2)，求⊙O 的面积．11．已知：抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为x ＝－1，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （－3，0）、C （0，－2）． （1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ，连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．12．（本小题满分12分）如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB ，M 是劣弧上一点，过M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于N 点． （1）求证：PM ＝PN ； （2）若BD ＝4，P A ＝23AO ，过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点，求BC 的长． B C AA 1 a b cB 1C 1 a 1b 1c 1 A C B F D EO G13．如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－334，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．（1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．14．已知：甲、乙两车分别从相距300（km ）的M 、N回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象． （1）试求线段AB所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了29h ，求乙车的速度； （3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．y h图1y h图215．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ，且BC ≠AC ，在△ABC 上画一条直线，若这条直线．．既平分△ABC 的面积，又平分△ABC 的周长，我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”． （1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”；（2）在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由； （3）如图2，若AB ＝BC ＝5cm ，AC ＝6cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动，点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，设P 、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）． （1）若点P 以43cm/s 的速度运动 ①当PQ ∥AB 时，求t 的值；②在①的条件下，试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由．（2）若点P 以1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切？若能，请求出运动时间t ；若不能，请说明理由．17．青海玉树发生7.1级强震后，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。

中考数学压轴题 (附答案)

中考数学压轴题 (附答案)

一、中考数学压轴题1．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围． 2．已知：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求KG AK的值．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．5．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=︒．（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ∆的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ∆的面积为8时，求t 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．7．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．8．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．9．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．10．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC=-，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持BE n BG m =，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式．（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标．（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围． （2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．13．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.14．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ， 所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．15．已知：菱形 ABCD ，点 E 在线段 BC 上，连接 DE ，点 F 在线段 AB 上，连接 CF 、DF ， CF 与 DE 交于点 G ，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上．（1）求证：CD=CF ；（2）设∠CED = x ，∠DCF = y ，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，当 x =45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK ，顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部，连接 GK ，若 GK ∥CD ，CD =4 时，求线段 KG 的长．16．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．17．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）．（1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ；（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．18．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．19．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；（1）如图1，连接CO 并延长交O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF AB BF =，求证：BAF HAF ∠=∠；（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为O 上一点，连接ED 、OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=︒，若OF 3=，FH 4=，13623EBD S ∆=，连接OE ，求线段OE 的长．20．如图①，△ABC 是等腰直角三角形，在两腰AB 、AC 外侧作两个等边三角形ABD 和ACE ，AM 和AN 分别是等边三角形ABD 和ACE 的角平分线，连接CM 、BN ，CM 与AB 交于点P ．（1）求证：CM ＝BN ；（2）如图②，点F 为角平分线AN 上一点，且∠CPF ＝30°，求证：△APF ∽△AMC ； （3）在（2）的条件下，求PF BN的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线212y ax bx =++过D ，C ，E 三点．（1）当//DE AB 时，①求抛物线的解析式；②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．点E 的坐标． 22．如图，直角梯形ABCD 中，1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值； （2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，1O 与2O 外切？23．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0xy =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0xy =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ；（2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．24．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？ （2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.25．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEPS=，求sin APB ∠的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题 1．B解析：（1）直线x=0；（2）B （0，1a ）；（3）2-≤a ≤13-或13≤a 2 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；（2）根据题意得出点A 的坐标，再利用关于x 轴对称的点的坐标规律得出点B 坐标； （3）分a ＞0和a ＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a 的范围. 【详解】解：（1）在抛物线21y ax a=-中， 002a-=， ∴对称轴为直线x=0，即y 轴； （2）∵抛物线与y 轴交于点A ，∴A （0，1a-）， ∵点A 关于x 轴的对称点为点B ，∴B （0，1a）； （3）当a ＞0时，点A （0，1a-）在y 轴负半轴上， 当点P 恰好在抛物线上时，代入得：11a a a-=，解得：2a=或2-（舍），当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=或13-（舍），∴当13≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；当a＜0时，点A（0，1a-）在y轴正半轴上，同理可知：当点P恰好在抛物线上时，代入得：11aa a -=，解得：2a=（舍）或2-，当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=（舍）或13-，∴当2-≤a≤13-时，抛物线与线段PQ只有一个公共点；综上：若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，a的取值范围是2-≤a≤13 -或13≤a2.【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．2．A解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）15KG AK = 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得90AHG HAG ∠+∠=︒，进而得到90AGH ∠=︒，即可证明AG HD ⊥；（2）连接AC 、AD 、CF ，根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得HFA HAF ∠=∠，进而得到HF HA =，再根据已知HC HF =，得到HC HA =； （3）在DH 上截取DT HC =，过点C 作CM HD ⊥于点M ，通过证明AHC ≌ATD 得到AH AT =，进而得到HG CH GD +=，再根据F 为DG 中点，得到GF DF =，通过勾股定理逆用，证明90HCF ∠=︒，再通过解ACE △得1tan 3CAB ∠=，解△CDH 得1tan 2CDF ∠=，求得OF 、OH ，逆用勾股定理证明90HOF ∠=︒，易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=，最后求得KGAK的值． 【详解】（1）证明：如图，设HAG ∠为α，∵HAG BDC ∠=∠， ∴HAG BDC α∠=∠=， ∵CD AB ⊥，∴90BDC DBE ∠+∠=︒ ∴90DBE α∠=︒-，∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角， ∴90AHG ABD α∠=∠=︒-， ∴90AHG HAG ∠+∠=︒，∴18090AGH AHG HAG ∠=︒-∠-∠=︒ ∴AG HD ⊥（2）如图，连接AC 、AD 、CF ，∵AB 为直径，AB CD ⊥， ∴CE DE =， ∴AB 垂直平分CD ， ∴AC AD =，FC FD =，∴ACD ADC ∠=∠，FCD FDC ∠=∠，∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠，即ACF ADF ∠=∠， 设FCD FDC α∠=∠=，ACF ADF β∠=∠=， ∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH β∠=∠=， ∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=， ∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠， ∴2HFC α∠=， ∵HC HF =， ∴HCF HFC ∠=∠， ∴22αβ=， ∴αβ=， ∵AB 为直径， ∴90ADB ∠=︒， ∴90HDB β∠=︒-，∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角， ∴90HAB HDB β∠=∠=︒-， ∵AB CD ⊥，∴9090BFD αβ∠=︒-=︒-， ∵9090HFA BFD αβ∠=∠=︒-=︒-， ∴HFA HAF ∠=∠， ∴HF HA =， ∴HC HA =；（3）如图，在DH 上截取DT HC =，∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH ∠=∠， ∵AB 为直径，且AB CD ⊥ ∴AC =AD ， ∴AC AD =， ∴AHC ≌ATD ， ∴AH AT =， ∵AG HT ⊥， ∴HG TG =，∴HG CH GT DT GD +=+=， 设2HG k =，则4CH k =，GD 6k =， ∵F 为DG 中点， ∴3GF DF k ==，∴5HF HG GF k =+=，FD =CF =3k ，在HCF 中，由勾股定理逆定理得90HCF ∠=︒， 过点C 作CM HD ⊥于点M ， 由△HCF 面积，可求CM =125k ， ∴229=5MF CF CM k -=， ∴1tan 2CM CM CDF MD MF FD ∠===+， 解ACE △得1tan 3CAB ∠=， 易求OF ，OH ，由勾股定理逆定理得90HOF ∠=︒， 易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=， ∴15KG AK =． 【点睛】本题考查圆与三角形综合，主要考查知识点有同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆用，解直角三角形，锐角三角函数等，知识点跨度大，计算量多；熟练掌握圆的性质和三角形相关知识是解决本题的关键．3．B解析：（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】 【分析】()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；()2由题意设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BMC1SMK OB 2=⋅⋅，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2∠=，在RtQNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=+，2QN m 4sin QHN QH5∠+===，进行分析计算即可求解． 【详解】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 则直线BC 的表达式为：1y x 22=--， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC1113SMK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值，当bx 22a=-=-时， BMCS最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴， QHN OCA ∠∠∴=， 1tan QHN 2∠∴=，则sin QHN 5∠=将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQHm 6∠===+， 解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--． 【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．4．A解析：（1）详见解析；（2）y =（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====，根据勾股定理得到OF ===线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠， 即HOD EOA ∠=∠， HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x， ∴AF=4-x ， ∴FN=2-x ， ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+，∴248EF y x x =--+， ∵AM⊥A C ， ∴AE∥OB， ∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴()244804x x y x -+≤＝＜；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ， ∵∠EAO=90°， ∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形， 如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴241482x xPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xxx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴22EQ AO==∴24242()xAE ExQ-===，∴43x=，∴BF=2或43．【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．C解析：（1）12,16AD CD ==；（2）277和297. 【解析】 【分析】（1）根据题意由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时16秒求出CD ，再利用三角形面积公式求得AD 即可；（2）由题意可知只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时分当P 在Q 上方时以及当P 在Q 下方时两种情况运用数形结合思维进行分析得出答案. 【详解】解：（1）由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时36-20=16秒，即CD=16，而此时AMD ∆的面积为96，又因为90ADC ∠=︒，即有11169622CD AD AD =⨯=,解得12AD =. 所以12,16AD CD ==.（2）由题意可知Q 运动到点A 停止的时间为285，而P 运动到点D 停止的时间为6， 所以只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时以PQ 为底边，CD 为高，设运动时间为t ，则AP=2t ，QD=5t-16，（162855t ≤<）， ①当P 在Q 上方时，则有PQ=AD-AP-QD= 122516287t t t --+=-，可知CPQ ∆的面积为8时即11(287)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得277t =（满足条件）；②当P 在Q 下方时，则有PQ=QD-（AD-AP ）= 516(122)728t t t ---=-， 可知CPQ ∆的面积为8时即11(728)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得297t =（满足条件）. 所以当CPQ ∆的面积为8时，t 的值为277和297. 【点睛】本题考查四边形动点问题和一次函数结合，熟练掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合思维分析是解题的关键.6．A解析：（1）()1,1E -；（2）12m -≤≤-或01m ≤≤3）9t ≤≤. 【解析】 【分析】（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确定“倍增点”横坐标的范围；（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可． 【详解】（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，22(12)(20)1332DC =--+-=<⨯ ∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；()1,1E -到线段BC 的距离为1，22(12)(10)103EC =--+-=>,∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；()0,2F 到线段BC 的距离为2，22(02)(20)2232FC =-+-=<⨯ ∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点； （2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ， 当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤解方程222(2)8m m +-+=， 得1131m =+，2131m =- 当点在O 内部时，22224(2)3(44(2))m m m m ++-+≥--+-+解得：m≥0或m≤-2∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为1312m -≤≤-或0131m ≤≤+；（3）如图所示，当点G(1,0)为T "倍增点"时， T(9,0)，此时T 的横坐标为最大值， 当点H(0,1)为T “倍增点”时，则T(63-,0)，此时T 的横坐标为最小值；∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t -≤≤．【点睛】在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不等关系式，即可列不等式组求解范围．7．A解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45° 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解； （2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解； ②证明和推理过程同①的求解过程；（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍. 【详解】（1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。

2023届中考数学压轴题含答案

2023届中考数学压轴题含答案

第 1 页 共 12 页 2023年中考数学压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P 是位于直线BC 上方抛物线上的一个动点，求△BPC 面积的最大值；
（3）若点D 是y 轴上的一点，且以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标；
（4）若点E 为抛物线的顶点，点F （3，a ）是该抛物线上的一点，在x 轴、y 轴上分别找点M 、N 使四边形EFMN 的周长最小，求出点M 、N 的坐标．
解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5）＝a （x 2﹣4x ﹣5），即﹣5a ＝5，解得：a ＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+4x +5；
（2）将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{5k +b =0b =5，解得：{k =−1b =5
， 故直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +5，
过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，
设点P （x ，﹣x 2+4x +5），则点H （x ，﹣x +5），。

中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学压轴题100题精选含答案【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED为直角梯形？若能，求t （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．图16【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之取值范围

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之取值范围

中考数学抛物线压轴题之取值范围（1）当k＝3时，求抛物线与x轴的两个交点坐标；（2）无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点，求定点坐标；（3）当k＝5时，设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A，B（点A在点B的左边）两点，连接AC，在线段AC上是否存在点D，使△ABD是直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．（4）点E（﹣1，1），点F（﹣2，2），抛物线与线段EF只有一个交点，求k的取值范围2．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x 轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．3．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点（如图1），顶点为M．（1）a、b的值；（2）设抛物线与y轴的交点为Q（如图1），直线y＝﹣2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线扫过的区域的面积；（3）设直线y＝﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D（如图2）．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，试探求其顶点的横坐标的取值范围．4．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与y轴交于点C．（1）抛物线的顶点坐标为，点C坐标为；（用含m的代数式表示）（2）当m＝1时，抛物线上有一动点P，设P点横坐标为n，且n＞0．①若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标；②设抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点纵坐标之差为h，求h与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；（3）若点A（﹣3，2）、B（2，2），连结AB，当抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与线段AB只有一个交点时，直接写出m的取值范围．5．如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点c直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点M，交直线BC于点N，连接AC，当直线y＝kx+k平分△ABC的面积，求点M的坐标；（3）如图2，把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折，当直线y＝kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时，求k的取值范围．6．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（﹣5，0），与y轴交于C（0，﹣5），并且对称轴x＝﹣3．（1）求抛物线的解析式；（2）P在x轴上方的抛物线上，过P的直线y＝x+m与直线AC交于点M，与y轴交于点N，求PM+MN的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点，①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；②若△ACD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．7．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1、y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心（x，x）都在直线y＝x上，所以称这两个函数为关于直线y＝x的“相依函数”．例如：y＝x和y＝x为关于直线y＝x的“相依函数”（1）已知点M（1，m）是直线y＝2x+4上一点，请求出点M（1，m）关于点（1，1）成中心对称的点N的坐标；（2）若直线y＝3x+n和它关于直线y＝x的“相依函数”的图象与y轴围成的三角形的面积为8，求n的值；（3）若二次函数y＝ax2+bx+c和y＝x2+d为关于直线y＝x的“相依函数”．①请求出a、b的值；②已知点P（﹣3，2）、点Q（2，2），连接PQ，直接写出y＝ax2+bx+c和y＝x2+d两条抛物线与线段PQ有且只有两个交点时对应的d的取值范围．1．【解答】（1）解：∵y＝x2+kx+k﹣1，∴当k＝3时，y＝x2+3x+3，令y＝0，得x2+5x+2＝0，解得x3＝﹣1，x2＝﹣5，∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），5）．（2）证明：∵y＝x2+kx+k﹣1，∴当y＝2时，x2+kx+k﹣1＝8，解得x1＝﹣1，x8＝1﹣k，∴无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点（﹣1．（3）解：k＝5时，抛物线的解析式为y＝x2+5x+5，令y＝0，可得x2+5x+4＝0，解得x＝﹣2或﹣4，∴A（﹣4，5），﹣1），令x＝0，得到y＝3，4），如图1中，∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90°，∴∠CAO＝45°，当∠ABD′＝90°时，AB＝BD′＝3，∴D′（﹣1，3），当∠ADB＝90°时，AD＝BD，1.5）．综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣7，1.5）．（4）如图8中，观察图象可知，当x＝﹣2时，∴4﹣6k+k﹣1≥2，∴k≤2，∴k≤1时，抛物线与线段EF只有一个交点．2．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+6是友好函数，理由如下：当x＝0时，y＝3，x＝4或3，∴y＝x2﹣5x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴y＝x6﹣4x+3是友好函数；（2）当x＝2时，y＝c，∵y＝x2+bx+c是友好函数，∴x＝c时，y＝0，2）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c6+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠4，∴b+c＝﹣1；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：c＝﹣b﹣6，即y＝x2+bx﹣b﹣1，显然当x＝8时，y＝0，即与x轴的一个交点为（1，2），则∠ACO＝45°，∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO∴c＜﹣1；②如图2，当C在y轴正半轴上，∴显然都满足∠ACB为锐角，∴c＞8，且c≠1；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c＜﹣1或c＞2．3．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），3）代入抛物线y＝ax2+bx+3中，得：，解得：a＝7、b＝4．（2）连接MQ、QD，由图形平移的性质知：QN，即四边形MQND是平行四边形；由（1）知，抛物线的解析式：y＝x2+4x+3＝（x+2）4﹣1，则点M（﹣2、Q（2；则，直线OM：y＝x，得：，解得．则D（，）；曲线扫过的区域的面积：S＝S▱MQND＝2S△MQD＝2××OQ×|x M﹣x D|＝3×|﹣5﹣|＝．（3）由于抛物线的顶点始终在y＝x上，h）2+h；①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C（0，9）时h3+h＝4（依题意②当平移后的抛物线与直线y＝﹣2x+9只有一个交点时，依题意：，消去y，得：x2﹣（2h﹣7）x+h2+h﹣9＝0，则：△＝（6h﹣2）2﹣2（h2+h﹣9）＝﹣10h+40＝0结合图形，当平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时或h＞4．4．【解答】解：（1）y＝x2﹣2mx+m5﹣2＝（x﹣m）2﹣3，∴顶点坐标为（m，﹣2），在y＝x2﹣5mx+m2﹣2中，当x＝5时，y＝m2﹣2，∴点C坐标为（6，m2﹣2），。

中考数学压轴题100题含答案解析

中考数学压轴题100题含答案解析

中考数学压轴题100题精选【含答案】【001】如图，已知抛物线y a(x 3 3( a z 0)经过点A2 °)，抛物线的顶点为D , 过O作射线OM // AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC •(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点0出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s) •问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若0C °B，动点P和动点Q分别从点0和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动•设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.【002】如图16,在Rt A ABC中，/ C=90 , AC = 3 , AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是:(2) 在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3) 在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4) 当DE经过点C时，请直接写出t的值.【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B (4, 0)、C ( 8, 0)、D ( 8,8) •抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒•过点P作PE丄AB交AC于点E,①过点E作EF丄AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△ CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。

[全]中考数学二次函数压轴题之抛物线的平移问题

[全]中考数学二次函数压轴题之抛物线的平移问题

中考数学二次函数压轴题之抛物线的平移问题如图1，抛物线G1：y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，OC＝3OA，抛物线G1 的顶点为G .（1）求出抛物线G1 的解析式，并写出点G 的坐标；（2）如图2，将抛物线G1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线G2，设G2 与x 轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k 的值；（3）在（2）的条件下，如图3，设点M 为x 轴正半轴上一动点（介于0 与B 之间），过点M 作x 轴的垂线分别交抛物线G1、G2 于P、Q 两点，是否存在M 点，使得以A、Q、M 为顶点的三角形与以P、M、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）∵点A 的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∴OC＝3OA = 3，∴点C 的坐标为（0，3），将A、C 坐标代入y＝ax2﹣2ax+c，得：∴抛物线G1 的解析式为y＝﹣x2 + 2x + 3＝﹣（x﹣1）2 + 4，∴点G 的坐标为（1，4）．（2）设抛物线G2 的解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣k，即y＝﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G'D⊥x 轴于点D，设B′D＝m，∵△A'B'G' 为等边三角形，∴G'D = √3 B'D = √3 m，则点B' 的坐标为（m+1，0），点G' 的坐标为（1，√3 m），将点B'、G' 的坐标代入y＝﹣（x﹣1）2 + 4﹣k，得：∴k＝1；（3）设M（a，0），则P（a，﹣a2+2a+3）、Q（a，﹣a2+2a+2），∵M 介于O 与B 之间，∴0＜a＜3，∵A（﹣1，0），B（3，0）．∴AM＝a+1，QM＝﹣a2+2a+2，BM＝3﹣a，PM＝﹣a2+2a+3．①当△AMQ∽△BMP 时，AM/BM = QM/PM，即（a + 1）/（3 - a）= （﹣a2+2a+2）/（﹣a2+2a+3），解得a1 = √2/2 , a2 = - √2/2 （舍去），∴M1（√2/2 , 0）；②当△AMQ∽△PMB 时，AM/PM = QM/BM ,即（a + 1）/（﹣a2+2a+3）= （﹣a2+2a+2）/（3 - a），解得a1 = 1 + √2 , a2 = 1 - √2 （舍去），∴M2（1 + √2 ，0）；综上所述： M 点的坐标为M1（√2/2 , 0），M2（1 + √2 ，0）．。

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1. 如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+2与直线AB：y=x+交于x轴上的一点A，和另一点B （3，n）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）点P是抛物线C1上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB 于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；（3）如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第四象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过D点作x 轴的平行线交抛物线C2于点F，过E点作x轴的平行线交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．2. （2013•桂林）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC=4，AO=2OC，且抛物线对称轴为直线x=﹣3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）己知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使，求出此时点M的坐标；（3）若点Q是抛物线上一点，且横坐标为﹣4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），线段AB=6，，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）若点D为线段BM上任一点（点D不与点B重合，可与点M重合），过点D作垂直于x轴的直线x=t，交抛物线于点E，交线段BC于点F．①求当t为何值时，线段DE有最大值？最大值是多少？②是否存在这样的点D，使得？若存在，求出D点的坐标；若不存在，则请说明理由．5．（2013•三明）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2经过A（4，0），B（1，0）两点．（1）求出抛物线的解析式；（2）若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．7. （2011•历城区一模）已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．_________，_________；（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）_________；②求抛物线的解析式；③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．8．（2008•崇安区二模）已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．（1）求p、q的值．（2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2012•衢州模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．（1）求这条抛物线对应的函数关系式；（2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；（3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F，是否存在这样的点E，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点P是抛物上第三象限内的一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ABCP的面积；（3）点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图（1），已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，它的顶点坐标为（5，），在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、．D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若AB=6，求AD的长；（3）设矩形ABCD的周长为L，求L的最大值．（4）如图（2），若直线y=x交抛物线的对称轴于点N，P为直线y=X上一个动点，过点P 作X轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线y=x上是否存在点P，使得以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为．（1）求b、c的值；（2）过C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F（4，0），求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，抛物线上是否存在点M，使得△CDM≌△CEA？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图①，抛物线y=ax2+bx+5交x轴于A、B，交y轴于C，抛物线的顶点D的横坐标为4，OA•OC=OB．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，若P为抛物线上一动点，PQ∥y轴交直线l：y=+9于点Q，以PQ为对角线作矩形且使得矩形的一边在直线l上，问是否存在这样一点P使得矩形的面积最小？若存在，求其最小值；若不存在，请说明理由（3）如图③，将直线向下平移m个单位（m＞9），设平移后的直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左边），M关于原点的对称点为M′，连接M′N，问M′N在x轴上的正投影是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由．15．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知如图，抛物线y=ax2+bx﹣a的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，顶点坐标为C（0，﹣4），直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=ax2+bx﹣a是否存在一点Q，使得四边形ABPQ 为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．17．（2009•甘孜州）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若D点在此抛物线上，且AD∥CB，在x轴上是否存在点E，使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，问在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．18．（2011•娄底模拟）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求直线AC的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B （0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90°得到Rt△BOC，（点A旋转到点B的位置），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；（3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．20．（2012•许昌一模）如图，已知抛物线，y=ax2+bx+c经过A（2，0）．B（3．﹣3）及原点O．顶点为C．（l）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；（2）点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；（3）P是抛物线上第三象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，清说明理由．21. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（经过原点）与x轴相交于N点，直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于B（1，m）和C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的表达式；（2）求证：C点是△AOD的外心；（3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点P（x，y），设∠PON=α．当sinα为何值时，△PON的面积有最大值？（4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在△PON，使得其面积等于△OCN面积的？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由．22. （2013•宁德质检）已知直线y=kx+3﹣k，无论k取哪一个实数，所得的直线总经过一个定点，如图，当k=时，所得的直线分别交x轴、y轴于A，B两点，（1）求A，B两点的坐标；（2）对于直线y=kx+3﹣k，当k=1时，所得的直线与直线AB交于点P，以点P为顶点的抛物线y=a（x﹣1）2+b经过点A．求出点P的坐标及抛物线的表达式；（3）设k≠时，直线y=kx+3﹣k与（2）中抛物线的一个交点为点E，求当k为何值时，在抛物线的对称轴上存在一点D，使得四边形ABED是平行四边形．23（2012•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，已知A（1，3），B （3，3），D（1，﹣1）．有两条抛物线l1、l2都经过A、B两点，且关于AB所在直线对称，其中抛物线l1经过原点，抛物线l2交y轴于点E．设P、Q两点分别在抛物线l1、l2上运动．（1）求抛物线l1的解析式．（2）直接写出抛物线l2的解析式．（3）当四边形ADPQ为平行四边形时，求点P的横坐标．（4）当点P运动到抛物线l1的顶点时，设直线PQ的解析式y=kx+b．①若直线PQ经过点D，交线段AB于F，求△ADF的面积．②若直线PQ分得矩形ABCD较小部分的面积大于0且不超过矩形ABCD面积的，直接写出b的取值范围．24（2013•黄石）如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=）25（2010•菏泽）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON 面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26（2013•濠江区模拟）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+b1与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，3）、C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），求△PON的面积最大值；（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△POD 面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．27如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B 和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；（3）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．28（2013•宜昌模拟）抛物线y=ax2+bx+c中，b，c是非零常数，无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+1上，这条直线和x轴，y轴分别交于点E，A，且OA=OE．（1）求k的值；（2）求证：这条抛物线经过点A；（3）经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点，经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B，经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C，和直线y=kx+1交于点D，探索CD和BC的数量关系．29（2012•南通二模）如图，已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点，将△OAB绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△OCD．抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若将该抛物线向下平移m （m ＞0）个单位长度，使得顶点落在△OAB 内部（不包含△OAB 的各条边）时，求m 的取值范围；（3）设直线AB 与该抛物线的另一个交点为Q ，若在x 轴上方的抛物线上存在相异的两点P 1、P 2，使△P 1AQ 与△P 2AQ 的面积相等，且等于t ，求t 的取值范围．30（2013•荆门模拟）如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx 沿y 轴向下平移3个单位长度后恰好经过B （﹣3，0）及y 轴上的C 点．若抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），且经过点C ，其对称轴与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ． （1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB ，求点P 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点M ，使得直线CM 把四边形EFOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM 的解析式；若不存在，请说明理由．31. 如图1，已知直线y =kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A （3，6）． （1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE =∠BED =∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？32. 如图，抛物线F ：y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于两点A(1,0)、B(3,0)，与y 轴交于点C ，满足sin ∠[原创] （1）（2分）求抛物线F 的解析式；（2）（4分）在抛物线F 的对称轴上有点M 、N ，满足：M 使得MA+MC 最小，N 使得NC NA -最大，求OM ⋅ON 的值； （3）（6分）将抛物线F 向右平移m 个单位得到新的抛物线F1，F1与F 的交点记为P ，若∠PCB ＝∠ACB ，求抛物线F1的解析式.33. 如图（1），抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴交于A(-2 ,0)、B （5,0），与y 轴交于点D ，且经过点C （2,2）.【原创】xx（1）(2分)求该抛物线的解析式；（2）连接BD，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H，交BD于点G，点P从B点出发以1个单位每秒的速度向O运动，运动时间为t秒：①（4分）如图（1），连接CP交BD于点F，若△BFP∽△CFG，求此时t的值；②（6分）如图（2），抛物线上取点K（-1,1），连接AK，OK，OC，AC，PK。

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