【数学建模】第02章 整数规划
建模算法（二）——整数规划
建模算法（⼆）——整数规划⼀、概述1、定义：规划中变量部分或全部定义成整数是，称为整数规划。
2、分类：纯整数规划和混合整数规划。
3、特点：（1）原线性规划有最优解，当⾃变量限制为整数后：a、原最优解全是整数，那最优解仍成⽴b、整数规划没有可⾏解c、有可⾏解，但是不是原最优解4、求解⽅法分类（1）分⽀定界法（2）割平⾯法（3）隐枚举法（4）匈⽛利法（5）蒙特卡洛法⼆、分⽀定界法1、算法如下（求解整数规划最⼤化问题）MATLAB实现function r=checkint(x)%判断x(i)是不是整数了。
是的话r(i)返回1，不是的话，返回0%输⼊参数：x X向量%输出参数：r R向量for i=1:length(x)if(min(abs(x(i)-floor(x(i))),abs(x(i)-ceil(x(i))))<1e-3)r(i)=1;elser(i)=0;endendfunction val=isrowinmat(arow,mat)%⽤来判断mat中是否包含与arow⼀样的向量%输⼊变量：arow 向量% mat 矩阵%输出变量：val 1表⽰有，0表⽰没有val=0;rows=size(mat,1);for i=1:rowstemp=(mat(i,:)==arow);if length(find(temp==0))==0val=1;return;elseval=0;end;end% [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint.f,A,b,Aeq,beq)% [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb)% [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)% [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)% [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)if nargin<10, options=[]; endif nargin<9, x0=[]; endif nargin<8, ub=inf*ones(size(f)); endif nargin<7, lb=zeros(size(f)); end[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);if exitflag<=0 %表⽰线性规划没有最优解returnendv1=find(ifint==1); %找到需要整数规划的变量的下标temp=x(v1);%如果不是要求整数规划的就可以返回了。
整数规划和动态规划-数学建模
(1.13), (1.14)
max z = ∑ (0.487xi1 + 0.520 xi2 + 0.613 xi3 + 0.720 xi 4 + 0.487 xi 5 + 0.520 xi 6 + 0.640 xi 7 )
i =1
2
于是成为一个有 13 个不等式约束 14 个自然条件的整数线性规划模型，目标是函数 的最大化. （3）问题求解 1) 此模型可用分枝定界法，割平面法求最优解，但用部分枚举法比较便当. 部分枚举法————隐枚举法（Implicit Enumeration） 2) 用 Lingo 软件求解 max=0.487*x11+0.520*x12+0.613*x13+0.720*x14+0.487*x15+0.520*x16+0.640*x17+ 0.487*x21+0.520*x22+0.613*x23+0.720*x24+0.487*x25+0.520*x26+0.640*x27; x11+x21<=8; x12+x22<=7; x13+x23<=9; x14+x24<=6; x15+x25<=6; x16+x26<=4; x17+x27<=8; 2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17<=40;
西安理工大学理学院
王秋萍
x13 + x23 ≤ 9 x14 + x24 ≤ 6 x15 + x25 ≤ 6 x16 + x26 ≤ 4 x17 + x27 ≤ 8
02-整数规划数学模型及其解法-4h
− x1 − x 2 − x 3 < − 3 + My i − 3 x − 2 x − x < − 5 + My i 1 2 3 x 1 < 10 + My i 则有 (M 为任意大的正数） x 2 < 4 + My i x 3 < 11 + My i y1 + y 2 + L + y 5 ≥ 2
（1） （2）
25
4．用以表达含固定费用的函数
如用xj代表产品j的生产数量，其生产费用函数通 常可表示为： ( x j > 0) K j + c j x j C j (x j ) = ( x j = 0) 0 式中kj是同产量无关的生产准备费用。 问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小。 n 即：
7
引例2-3
各点的设备投资及年获利预测表
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
投 资 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180 额 利 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 润 投资总额不能超过720万元。 问应选择哪几个点，可使年利润为最大？
10
整数规划的图解
有人认为，对整数规划问题的求解可以 先不考虑对变量的整数约束，作为一般 线性规划问题来求解，当解为非整数时 可用四舍五人或凑整方法寻找最优解。 当然在变量取值很大时，用上述方法得 到的解与最优解差别不大。但当变量取 值较小时，得到的解就可能与实际整数 最优解差别很大。再者当问题规模较大 时，用凑整办法来算工作量很大。
j =1
n
K j + c j x j ( x j > 0) C j (x j ) = ( x j = 0) 0
数学建模-整数规划
算例
max 3x1 5x2 4x3
2x1 3x2 1500
s.t.32xx12
4x3 2x2
800 5x3
2000
x1
,
x2
,
x3
0,
x1 , x3为整数
max 3 x1+5 x2+4 x3 subject to 2 x1+3 x2<=1500 2 x2+4 x3<=800 3 x1+2 x2 +5 x3<=2000 end gin x1 gin x3
注解
该问题本质上是个整数规划问题， 放松的线性规划的最优解是个整数 解，所以两规划等价。
定义整数变量用函数@gin(x1)…… @gin(x7); 0-1整数变量为@bin(x1)
应急选址问题
某城市要在市区设置k个应急服务中心, 经过初步筛选确定了m个备选地，现已 知共有n个居民小区，各小区到个备选地 的距离为 d ij , i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,为了使 得各小区能及时得到应急服务，要求各 小区到最近的服务中心的距离尽可能的 短，试给出中心选址方案。
问题分析
为了便于说明问题引入间接变量，第i 小区是否由第j个中心服务
yij 0,1, i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,
以及最远的距离 z,
约束条件
小区服务约束
yij x j , i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,
m
yij 1, i 1,2,..., n,
方案 确定每天工作的人数，由于连续休息2天，当确定每 个人开始休息的时间就等于知道工作的时间，因而确定 每天开始休息的人数就知道每天开始工作的人数，从而 求出每天工作的人数。
数学建模整数规划PPT学习教案
已知三工厂每月的经营费用 di (与 产量无关)分别为 100、90、120 .问如 何选址使每月经营和运输费用最低 .
x11 x21 x31 40
x12 x22 x32 60
x13 x23 x33 45
y1 y2 y3 2
Solution:
1、 先检查最大上界（极大化问题）的活问题
优点：检 查子问 题较其 他规则 为少；
缺点：计算机储存量较大 .
2、 先检查最新产生的最大上界的活问题 优点：计算机储存量较少 ；
缺点：需要更多的分支运算 .
选择的不 同，提 供了发 挥的余 地
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第五章去掉整数约整束数为3＜规x 划＜4 之间无整数解P Example4
0123456789
x1第14页/共30页
P6 (x2≥5)
x1=0、x2=5 Z6=40
*
§2 整 数 规 划 的解 法 Example 5 （投资方案的最优选择）
投资 年度
项目
A1 A2 A3
投资 额度
1 042 5
某公司欲对三个项目进行投资， 根据预算 四年内 的投资 额、三 个项目 每年所需投资额以及所创利润如表. 问应对哪 几个项 目进行 投资， 可获利 最大？
整数规划
物品 重量 aj
1
3
2
4
3
3
4
3
5
15
6
13
7
16
价值 cj 12 12 9 15 90 26 112
Solution: 这是一个 0-1 规划问题.
1 x j 0
如果带第 j 件物品 否则 j = 1~7
整数规划模型
王秋萍：整数规划模型
为(非负)整数
仅一部分变 量为整数
4
有些问题用线性规划数学模型无法描述，可以 通过设置逻辑变量建立整数规划的数学模型。
王秋萍：整数规划模型
5
逻辑变量在建立数学模型中的作用
m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为
∑a x
ij j =1
n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义 又M为任意大的正数，则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍：整数规划模型
6
逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个，即 n
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3
数学建模(整数规划)
整数规划模型实际问题中x x x x f z Max Min Tn "),(),()(1==或的优化模型mi x g t s i ",2,1,0)(..=≤x ~决策变量f (x )~目标函数g i (x )≤0~约束条件多元函数决策变量个数n 和数线性规划条件极值约束条件个数m 较大最优解在可行域学规非线性规划解的边界上取得划整数规划Programming+Integer所有变量都取整数，称为纯整数规划；有一部分取整数，称为混合整数规划；限制取0，1称为0‐1型整数规划。
型整数规划+整数线性规划max(min) nz c x =1j jj n=∑1s.t. (,) 1,2,,ij j i j a x b i m=≤=≥=∑"12 ,,,0 ()n x x x ≥"且为整数或部分为整数+例：假设有m 种不同的物品要装入航天飞机，它们的重量和体积分别为价值为w j 和v j ，价值为c j ，航天飞机的载重量和体积限制分别为W 和V ，如何装载使价值最大化？m1⎧1max j jj c y =∑ 1 0j j y =⎨被装载 s.t. mj j v y V≤∑0j ⎩没被装载1j m=1j j j w y W=≤∑ 0 or 1 1,2,,j y j m=="(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年美国芝加哥(Chi)Li S h前后开发, 后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：I）网址htt//li dLINDO: Interactive and Discrete Optimizer (V6.1) Linear(V61) LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V8.0) LINDO——解决线性规划LP—Linear Programming，整数规划IP—Integer Programming问题。
数学建模整数规划
整数规划前面介绍的线性规划问题中，只要求决策变量非负，也就是说决策变量可以取小数，然而在许多经济管理的实际问题中，决策变量只有取非负的整数才有实际意义。
如果一个线性规划问题要求全部的决策变量都取整数，那么这样的线性规划问题称为全整数规划或纯整数规划问题。
如果只要求一部分决策变量取整数，那么这样的线性规划问题称为混合整数规划问题。
如果决策变量只能取0或者1，那么就称为0-1规划问题 整数规划在实际中的应用: 1. 指派问题：某公司人事部门欲安排四个人去做四项不同的工作，每个人只能完成一项工作，一项工作只能由一个人完成。
每个人完成各项工作所消耗的时间（单位：分钟）如下表所示，（2） 如果把（1）中的消耗时间数据看成创造效益的数据，那么应该如何指派，可以使得总的效益最大？（3） 如果在（1）中再增加一项工作E ，甲 、乙、丙、丁四人完成工作E 的时间分别为17，20，15，16分钟，那么应该指派这四个人干哪四项工作，可使得这四个总的消耗时间为最少？解：（1） 引入0-1变量ij x ，并令⎩⎨⎧=项工作时个人不做第当第项工作时个人去做第当第j i j i x ij 01，于是这个分派问题的数学模型为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====+++=+++=+++=+++=+++=+++=+++=++++++++++++++++++=4,3,2,1,4,3,2,1101111111119242017181516262027241828201920min 443424144333231342322212413121114443424134333231242322211413121144434241343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x Z ij ，或 用管理运筹学2.0软件求解结果如下：**********************最优解如下*************************目标函数最优值为 : 71变量 最优解 ------- --------x1 0 x2 1 x3 0 x4 0 x5 1 x6 0 x7 0 x8 0 x9 0 x10 0 x11 1 x12 0 x13 0 x14 0 x15 0 x16 1 约束 松弛/剩余 ------- ---------1 02 03 04 05 06 07 08 0 这就说明112=x ，121=x ，133=x ，144=x所以应该让甲去做B 工作，让乙去做A 工作，让丙去做C 工作，让丁去做D 工作，这时总的消耗时间为71分钟。
(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming ）:在许多规划问题中,如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如,所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式∑==nj jj x c Z 1min)max(或中部分或全部取整数n j nj i jij x x x mj ni x b xa ts ,...,,...2,1,...,2,10),(.211==≥=≥≤∑=整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划（pure integer linear programming ）:指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时,也称为全整数规划.2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划（zero —one integer liner programming ）：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
1 解整数规划问题0—1型整数规划0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的变量xi 称为0-1变量，或称为二进制变量.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable ），常被用来表示系统是否处于某一特定状态,或者决策时是否取某个方案。
整数规划建模方法及应用
整数规划建模方法及应用什么是整数规划？整数规划（Integer Programming，简称IP）是在满足一定的约束条件下，求解使目标函数达到最优的一组整数决策变量的数学规划问题。
与线性规划（Linear Programming，简称LP）不同的是，LP中的决策变量可以取任意实数值，而IP中的决策变量只能取整数值。
因此，整数规划问题通常更为复杂，求解难度更大。
整数规划广泛应用于各种实际问题中，例如制造业生产计划、物流配送优化、网络优化、人员调度等。
整数规划建模方法线性整数规划线性整数规划（Integer Linear Programming，简称ILP）是指目标函数和约束条件都是线性的整数规划问题。
一个典型的线性整数规划问题可以表示为：$max\\{cx|Ax\\le b,x\\in Z^n\\}$其中，$A\\in R^{m*n}$，$b\\in R^m$，$c\\in R^n$，$x\\inZ^n$表示整数决策变量。
指派问题是一个经典的线性整数规划问题。
它是一个求解如下二元匹配问题的整数规划模型：$min\\{cx|cx\\ge\\{1,...,1\\},x_{ij}\\in\\{0,1\\},i=1,...,n,j=1,...,m\\}$其中，c是n∗m维的代价系数向量，x ij表示第i个任务分配给第j个工人的决策变量，x ij=1表示第i个任务分配给第j个工人，x ij=0表示不分配。
非线性整数规划非线性整数规划（Nonlinear Integer Programming，简称NLIP）是指目标函数或/和约束条件中存在非线性项的整数规划问题。
一个典型的非线性整数规划问题可以表示为：$max\\{f(x)|g(x)\\le0,x\\in Z\\}$其中，f(x)是目标函数，g(x)代表约束条件，x是整数决策变量。
整数规划求解方法前向分支定界法前向分支定界法（Branch and Bound，简称B&B）是一种广泛应用于整数规划求解的算法。
整数规划_精品文档
整数规划引言：整数规划是一类特殊的数学优化问题，其中一部份或者全部变量被限制为整数。
整数规划问题在许多领域都有广泛的应用，如物流、生产计划、金融投资等。
随着科技的不断发展，整数规划的应用场景和求解方法也在不断扩展和深化。
一、整数规划的定义与分类定义：整数规划是一种特殊的数学优化问题，其目标是最小化或者最大化一个数学表达式（目标函数），同时满足一系列约束条件，且一部份或者全部决策变量被限制为整数。
分类：根据问题的特性，整数规划可以分为以下几种类型：0-1背包问题：决策变量只能取0或者1。
彻底背包问题：决策变量可以取任意非负整数。
整数线性规划：线性规划的变种，要求部份或者全部决策变量为整数。
二次整数规划：目标函数或者约束条件包含二次项。
二、整数规划的应用场景生产计划：在创造业中，整数规划可以用于优化生产流程、物料需求计划等。
物流优化：通过整数规划可以解决货物配送路线、车辆调度等问题。
金融投资：整数规划在投资组合优化、风险管理等领域有广泛应用。
资源分配：整数规划可用于解决资源分配问题，如人员调度、设备配置等。
组合优化：如旅行商问题（TSP）、装箱问题等，都是整数规划的典型应用场景。
三、整数规划的求解算法穷举法：通过逐个测试所有可能的解来找到最优解，但只适合于小规模问题。
分支定界法：一种基于树结构的搜索算法，能够处理较大规模的问题。
遗传算法：摹拟生物进化过程的优化算法，适合处理大规模问题。
摹拟退火算法：借鉴物理中退火过程的优化算法，具有避免陷入局部最优解的能力。
蚁群算法：摹拟蚂蚁觅食行为的优化算法，适合于求解具有离散变量的优化问题。
元胞遗传算法：将遗传算法和元胞自动机结合，能够处理更复杂的问题。
粒子群算法：摹拟鸟群觅食行为的优化算法，具有简单易实现的特点。
深度学习算法：利用神经网络进行求解，特别在处理大规模、高维度的问题时表现出色。
四、整数规划软件介绍CPLEX：由IBM开辟的商业优化软件，支持整数规划、线性规划、混合整数规划等多种优化问题。
数学建模中的整数规划问题研究论文
XX大学毕业论文数学建模中的整数规划问题研究院系名称：专业：学生姓名：学号：指导老师：XX大学制二〇一年月日1.引言应用数学学科的一项重要任务是从自然科学、社会科学、工程技术以及现代化管理中提出问题和解决问题。
这就要求我们学会如何将实际问题经过分析、简化，转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法解决，即建立数学模型。
随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域迅速的扩展到非物理领域。
数学在发展高科技、提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。
正是这样的背景下，数学模型这个词汇越来越多的出现在现代化生产、工作和社会生活中。
数学模型的分类方法有很多种，例如按照建模所用的数学方法的不同，可分为：初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等。
而运筹学模型中的规划模型又可分为非线性规划模型和线性规划模型，本文通过实例剖析线性规划中整数规划方法在数学模型种的应用2.主要结果2.1数学建模中的整数规划问题在研究线性规划的问题中，一般问题的最优解都是非整数，即为分数或小数，但对于实际中的具体问题的解常常要求必须取整数.例如问题的解表示是人数、机器设备的台数、机械车辆数等都是整数.为了求整数解，我们设想把所求得的非整数解采用“舍人取整”的方法处理，似乎是变成了整数解，但事实上这样得到的结果未必可行.因为取整以后就不一定是原问题的可行解了，或者虽然是可行解，但也不一定是最优解.因此，对于要求最优整数解的问题，需要寻求直接的求解方法，这就是整数规划方法.2.2整数规划的基本概念]1[整数规划的一般模型为：()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=≤=∑∑==,,,2,1,0,,,2,1),(..,minmax11njxxmibxat sxcjjnjijijnjjjz为整数（2.1）整数规划求解方法总的基本思想是：松弛问题（2.1）中的约束条件（譬如去掉整数约束条件），使构成易于求解的新问题——松弛问题（A），如果这个问题（A）的最优解是元问题（2.1）的可行解，则就是原问题（2.1）的最优解；否则，在保证不改变松弛问题（A）的可行性的条件下，修正松弛问题（A）的可行域（增加新的约束），变成新的问题（B），再求问题（B）的解，重复这一过程直到修正问题的最优解在原问题（2.1）的可行域内为止，即得到了原问题的最优解.2.3整数规划的解法2.3.1整数规划的分枝定界法分枝定界法的基本思想：将原问题（2.1）中的整数约束去掉变为问题（A），求出问题（A）的最优解，如果它不是原问题的可行解，则通过附加线性不等式约束，将问题（A）分枝变为若干子问题（iB）（i=1，2，…，I），即对每一个非整数变量附加两个互相排斥（不交叉）的整型约束，即可得到两个子问题，继续求解定界，重复这一过程，知道得到最优解为止。
02第2章 整数规划
0,
当x j 0
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数学 建模
在构成目标函数时，为了统一在一个问题中讨论，现引
入0 1变量 yj ，
yj
1, 当采用第j种生产方式，即x j
0 时，
j
0, 当不采用第j种生产方式，即x j 0 时.
于是目标函数
1,2,3 （2.3）
min z (k1 y1 c1 x1 ) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3 x3 )， 可表为下述 3 个线性约束条件
和一个充分大的常数 M ，
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则m 1个约束条件
ai1 x1
ain xn bi (1 yi )M ， i 1, 2, , m，
（2.1）
y1
ym 1，
（2.2）
就合于上述的要求。这是因为，由于（2.2），m个 yi 中只
有一个能取 1 值，设 yi* 1，代入（2.1），就只有i i*的
yj x j yj M ， j 1, 2, 3，
(2.4)
其中 是一个充分小的正常数， M 是个充分大的正常数。
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数学 建模
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例 2.3 某工厂为了生产某种产品，有几种不同的 生产方式可供选择，如选定的生产方式投资高（选购自
动化程度高的设备），由于产量大，因而分配到每件产
品的变动成本就降低；反之，如选定的生产方式投资低，
将来分配到每件产品的变动成本可能增加。所以必须全
面考虑。
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数学 建模
数学建模-整数规划
整数规划
Integer Programming
数信学院 任俊峰
2012-4-15
数学建模之整数规划
整数规划模型（IP）
如果一个数学规划的某些决策变量或全部决策 变量要求必须取整数，则称这样的问题为整数规 划问题，其模型称为整数规划模型。 如果整数规划的目标函数和约束条件都是线性 的，则称此问题为整数线性规划问题.
松弛问题最优解满足整数要求，则该最优解为整数 规划最优解；
数学建模之整数规划
整数线性规划的求解方法
从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通 过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到
的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160 x 1 210 x 2 60 x 3 80 x 4 180 x 5 210 x 1 300 x 2 150 x 3 130 x 4 260 x 5 600 x x2 x3 1 1 x3 x4 1 x x 1 5 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 或 1
1 2
14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x1 , x 2 0
数学建模之整数规划
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有 z = 29/6 现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得到4 个点即(1，3) (2，3) (1，4) (2，4)。显然，它们都不可能 是整数规划的最优解。
数学建模之整数规划
例5 固定费用问题
整数规划
注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种 3 0 15 5 20 60 180 变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、 4 20 20 0 40 20 230 营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。 5 8 5 15 17 55 190
max=6*x1+5Fra bibliotekx2; 2*x1+x2<=9; 5*x1+7*x2<=35; @gin(x1); @gin(x2);
注意：@gin(x)表 示限定x为整数
例2：最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生 产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在 设备 A 、 B 上加工，需要消耗材料 C 、 D ，按工艺资 料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的 资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工能 力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤； 每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利 润分别为 40 、 30 、 50 元，假定市场需求无限制。 企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划 期内总的利润收入最大？
星 期 一 二 三 四 需要 人数 300 300 350 400 星 期 五 六 日 需要 人数 480 600 550
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7; x1+x4+x5+x6+x7>=300; x1+x2+x5+x6+x7>=300; x1+x2+x3+x6+x7>=350; x1+x2+x3+X4+x7>=400; x1+x2+x3+x4+x5>=480; x2+x3+x4+x5+x6>=600; x3+x4+x5+x6+x7>=550; @gin(x1); @gin(x2); @gin(x3); @gin(x4); @gin(x5); @gin(x6); @gin(x7);
数学建模中的整数规划问题研究论文
XX大学毕业论文数学建模中的整数规划问题研究院系名称：专业：学生姓名：学号：指导老师：XX大学制二〇一年月日1.引言应用数学学科的一项重要任务是从自然科学、社会科学、工程技术以及现代化管理中提出问题和解决问题。
这就要求我们学会如何将实际问题经过分析、简化，转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法解决，即建立数学模型。
随着科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，数学的应用领域已由传统的物理领域迅速的扩展到非物理领域。
数学在发展高科技、提高生产力水平和实现现代化管理等方面的作用越来越明显。
正是这样的背景下，数学模型这个词汇越来越多的出现在现代化生产、工作和社会生活中。
数学模型的分类方法有很多种，例如按照建模所用的数学方法的不同，可分为：初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等。
而运筹学模型中的规划模型又可分为非线性规划模型和线性规划模型，本文通过实例剖析线性规划中整数规划方法在数学模型种的应用2.主要结果2.1数学建模中的整数规划问题在研究线性规划的问题中，一般问题的最优解都是非整数，即为分数或小数，但对于实际中的具体问题的解常常要求必须取整数.例如问题的解表示是人数、机器设备的台数、机械车辆数等都是整数.为了求整数解，我们设想把所求得的非整数解采用“舍人取整”的方法处理，似乎是变成了整数解，但事实上这样得到的结果未必可行.因为取整以后就不一定是原问题的可行解了，或者虽然是可行解，但也不一定是最优解.因此，对于要求最优整数解的问题，需要寻求直接的求解方法，这就是整数规划方法.2.2整数规划的基本概念]1[整数规划的一般模型为：()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥=≤=∑∑==,,,2,1,0,,,2,1),(..,minmax11njxxmibxat sxcjjnjijijnjjjz为整数（2.1）整数规划求解方法总的基本思想是：松弛问题（2.1）中的约束条件（譬如去掉整数约束条件），使构成易于求解的新问题——松弛问题（A），如果这个问题（A）的最优解是元问题（2.1）的可行解，则就是原问题（2.1）的最优解；否则，在保证不改变松弛问题（A）的可行性的条件下，修正松弛问题（A）的可行域（增加新的约束），变成新的问题（B），再求问题（B）的解，重复这一过程直到修正问题的最优解在原问题（2.1）的可行域内为止，即得到了原问题的最优解.2.3整数规划的解法2.3.1整数规划的分枝定界法分枝定界法的基本思想：将原问题（2.1）中的整数约束去掉变为问题（A），求出问题（A）的最优解，如果它不是原问题的可行解，则通过附加线性不等式约束，将问题（A）分枝变为若干子问题（iB）（i=1，2，…，I），即对每一个非整数变量附加两个互相排斥（不交叉）的整型约束，即可得到两个子问题，继续求解定界，重复这一过程，知道得到最优解为止。
数学建模 司守奎02第2章 整数规划
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3. 整数规划特点 （2） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取 整而获得。
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4. 求解方法分类
（1）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（2）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（3）隐枚举法—求解“0-1”整数规划。 i）过滤隐枚举法； ii）分枝隐枚举法。
作，若分配第 i 人去干第 j 项工作，需花费 cij 单位时间，问 应如何分配工作才能使工人花费的总时间最少？
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引入 0 - 1变量 ì ï 1, 第i人干第j项工作 ï ， i ,j = 1,L , n. xij = í ï ï î 0, 第i人不干第j项工作 上述指派问题的数学模型为
min z = ( k1 y1 + c1 x1 ) + ( k2 y2 + c2 x2 ) + (k3 y3 + c3 x3 ) ，
可表为下述 3 个线性约束条件
y j e ＃x j
y j M ， j = 1,2,3 ，
(2.4)
其中 e 是一个充分小的正常数， M 是个充分大的正常数。
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例 2.6 已知非线性整数规划为
2 2 2 2 2 max z = x1 + x2 + 3 x3 + 4 x4 + 2 x5 - 8 x1 - 2 x2 - 3 x3 - x4 - 2 x5 ，
ì 0 ＃xi 99, ( i = 1,L ,5), ï ï ï ï x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ? 400, ï ï s.t. ï í x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 + 6 x5 ? 800, ï ï 2 x + x + 6 x ? 200, ï 1 2 3 ï ï ï ï î x3 + x4 + 5 x5 ? 200.
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再定界：340 z * 341，并将B12 剪枝。
（iv）对问题B 再进行分枝得问题B 和 B ，它们的最优解为
2
21
22
B21 : x1 = 5.44, x2 = 1.00, z22 = 308
B22 无可行解。
将 B , B 剪枝。 21 22
于是可以断定原问题的最优解为：
x1 = 4, x2 = 2, z* = 340
从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为：
开始，将要求解的整数规划问题称为问题A ，将与它相应的线性规划问题称为问
题B。
（i）解问题B 可能得到以下情况之一：
（a） B 没有可行解，这时A 也没有可行解，则停止．
（b） B 有最优解，并符合问题A 的整数条件，B 的最优解即为A 的最优解，则
第二章 整数规划
§1 概论 1.1 定义
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，
变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适
用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
（v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
§2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系
统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子 集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称 为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，
1.2 整数规划特点 （i） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例 1 原线性规划为
min z = x1 Ƴ, x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
其最优实数解为：x 1 = 0, x 2 =
选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化的整数规划问题 A ，与它相应的线性规划为问题 B ，从解问题 B 开始， 若其最优解不符合 A 的整数条件，那么 B 的最优目标函数必是 A 的最优目标函数 z* 的 上界，记作 z ；而 A 的任意可行解的目标函数值将是 z* 的一个下界 z 。分枝定界法就 是将 B 的可行域分成子区域的方法。逐步减小 z 和增大 z ，最终求到 z* 。现用下例来
最优解为： x1 = 5.0, x2 = 1.57, z1 = 341.4。 再定界：0 z* 349。
（iii）对问题 B1 再进行分枝得问题 B11 和 B12 ，它们的最优解为
-17-
B11 : x1 = 4,x 2 = 2,z 11= 340 B12 : x1 = 1.43, x2 = 3.00, z12 = 327.14
-16-
这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在本世纪六十年代初由 Land
Doig 和 Dakin 等人提出的。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解 整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂
停止。
（c） B 有最优解，但不符合问题A 的整数条件，记它的目标函数值为z 。
（ii）用观察法找问题A 的一个整数可行解，一般可取x j = 0, j = 1,L, n ，试探，
求得其目标函数值，并记作z 。以z* 表示问题A 的最优目标函数值；这
时有
z z* z
进行迭代。
第一步：分枝，在B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x j，其值为b ，j
说明：
例 3 求解下述整数规划
Max z = 40x1 + 90x2
9x1 + 7x2 56 7x1 + 20x2 70 x1, x2 0 且为整数 解 （i）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划 B ，得最优解为：
x1 = 4.8092, x2 = 1.8168, z = 355.8779 可见它不符合整数条件。这时 z 是问题 A 的最优目标函数值 z* 的上界，记作 z 。而 x1 = 0, x2 = 0 显然是问题 A 的一个整数可行解，这时 z = 0 ，是 z* 的一个下界，记作 z ， 即 0 z* 356。
5,min z = 4
5。 4
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例 2 原线性规划为
min z = x1 + x2
2x1 + 4x2 = 6, x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
其最优实数解为：x 1 = 0, x 2 =
3,min z = 2
3。 2
若限制整数得：x 1 = 1, x 2= 1,min z = 2 。
（ii） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.3 求解方法分类：
（i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
①过滤隐枚举法；
②分枝隐枚举法。
（iv）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
问题 B1 ： Max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 + 20x2 70 0 x1 4, x2 0
最优解为： x1 = 4.0, x2 = 2.1, z1 = 349 。 问题 B2 ： Max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 + 20x2 70 x1 5, x2 0
（ii）因为 x1 , x2 当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。设选 x1
进行分枝，把可行集分成 2 个子集：
x1 [4.8092] = 4 ， x1 [4.8092] + 1 = 5
因为 4 与 5 之间无整数，故这两个子集的整数解必与原可行集合整数解一致。这 一步称为分枝。这两个子集的规划及求解如下：