利息理论习题整理
利息理论 复习题及参考答案
第1页 （共7页）利息理论复习题单项选择题1. 已知()223A t t t =++，要使10%n i ≤，则n 至少等于（ ）。
(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 (E) 222. 已知21t t δ=+，则第10年的()2d 等于（ ）。
(A) 0.1671 (B) 0.1688 (C) 0.1715 (D) 0.1818 (E) 0.1874第2页 （共7页）3. 某永久年金在第一年末支付1，第二年末支付3，第三年末支付5，LL ，则该年金的现值为（ ）。
(A) 221v v v +−(B)21v v v −+ (C)()221v v v +−(D) 2221v v v +− (E)221v v v ++4. 如果现在投资3，第二年末投资1，则在第四年末将积累5，则实际利率为（ ）。
(A) 6.426% (B) 6.538% (C) 6.741% (D) 6.883% (E) 6.920%5. 假定名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%，则1000元在3年末的积累值为（ ）元。
(A) 1065.2 (B) 1089.4 (C) 1137.3 (D) 1195.6 (E) 1220.16.某人初始投资额为100，假定年复利为4%，则这个人从第6年到第10年的5年间所赚利息为（）。
(A)26(B)27(C)28(D)29(E)307.某人用2000元一次性购买了15年确定年金，假定年利率为6% ，第一次年金领取从购买时开始，计算每次可以领取的金额为（）元。
(A)167.45(B)177.45(C)180.13(D)194.27(E)204.188.某年金分20年于每月月初支付30元。
利息每月转换一次，年名义利率为12％，则该年金现值为（）元。
(A)2652.52(B)2751.84(C)2755.42(D)2814.27(E)2842.33第3页（共7页）第4页 （共7页）9. 某总额1000元的债务，原定将分10年于每年年末等额偿付，合同年有效利率为5%。
利息理论习题
利息理论习题1.11. Sally has two IRAs. IRA 1 earns interest at 8% effective annually and IRA 2 earns interest at 10% effective annually. She has not made any contributions since January 1, 1985, when the amount in IRA 1 was twice the amount in IRA2.The sum of the two accounts on January 1, 1993 was $75000. Determine how much was in IRA 2 on January 1, 1985? （Individual Retirement Account）2. Suppose we are given that the effective rate of interest is 5% in the first year and 6% in the second year .We invest $1 at time 0. How much is in the fund at the end of two years?3. An investor puts 100 into Fund X and 100 into Fund Y. Fund Y earns compound interest at the annual rate of j, and Fund X earns simple interest at the annual rate of 1.05j . At the end of 2 years, the amount in Fund Y is equal to the amount in Fund X. Calculate the amount in Fund Y at the end of 5 years?4. Eric deposits X into a savings account at time 0, which pays interest ata nominal rate of i , compounded semiannually. Mike deposits 2X into a different savings account at time 0, which pays simple interest at an annual rate of i .Eric and Mike earn the same amount of interest duringthe last 6 months of the 8th year. Calculate i.5. John invests 1000 in a fund which earns interest during the first year at a nominal rate of K convertible quarterly. During the 2nd year the fund earns interest at a nominal discount rate of K convertible quarterly. At the end of the 2nd year, the fund has accumulated to 1173.54. Calculate K.6. A deposit of X is made into a fund which pays an annual effective interest rate of 6% for 10 years. At the same time, X/2 is deposited into another fund which pays an annual effective rate of discount of d for 10 years. The amounts of interest earned over the 10 years are equal for both funds. Calculate d.7. You are given: 2()A t Kt Lt M =++for 02t ≤≤(0)100,(1)110,(2)136A A A === Determine the force of interest at time 12t =. 8. At time 0, 100 is deposited into Fund X and also into Fund Y. Fund X accumulates at a force of interest ()20.51t t δ-=+. Fund Y accumulates at an annual effective interest rate of i . At the end of 9 years, the accumulated value of Fund X equals the accumulated value of Fund Y. Determine i .1.21. At an effective annual interest rate of ,0i i>, each of the following two sets of payments has present value K:1) A payment of 121 immediately and another payment of 121 atthe end of one year.2) A payment of 144 at the end of two years and another paymentof 144 at the end of three years. Calculate K.2. You are given:1)The sum of the present values of a payment of X at the end of 10years and a payment of Y at the end of 20 years is equal to thepresent value of a payment of X+Y at the end of 15 years.2)X+Y=1003)5%i=. Calculate X.3.A customer is offered an investment where interest is calculatedaccording to the following force of interest :0.02030.0453 tt ttδ≤≤=?>The customer invests 1000 at time 0. What nominal rate of interest , compounded quarterly, is earned over the first four-year period?4. Payments of 300,500 and 700 are made at the end of years five, sixand eight, respectively. Interest is accumulated at an annual effective rate of 4%. You are to find the point in time at which a single payment of 1500 is equivalent to the above series of payments. You are given:1) X is the point in time calculated by the method of equated time2) Y is the exact point in time. Calculate X+Y.5.Jones agrees to pay an amount of 2X at the end of 3 years and an amount of X at the end of 6 years. In return he will receive2000 at the end of 4 years and 3000 at the end of 8 years. At an 8% effective annual interest rate , what is the size of Jone s’ second payment?6. David can receive one of the following two payment streams:1) 100 at time 0, 200 at time n, and 300 at time 2n2) 600 at time 10At an annual effective interest rate of i ,the present value of the twostreams are equal. Given 0.75941n v , determine i7. You are given two loans, with each loan to be paid by a single payment in the future. Each payment includes both principal and interest.The first loan is repaid by a 3000 payment at the end of four years. The interest is accrued at 10% per annum compounded semiannually. The second loan is repaid by a 4000 payment at the end of five years. The interest is accrued at 8% per annum compounded semiannually.These two loans are to be consolidated. The consolidated loan is to be repaid by two equal installments of X, with interest at 12% per annum compounded semiannually. The first payment is due immediately and the second payment is due one year from now. Calculate X8. At a certain interest rate the present value of the following two patterns are equal:1)200 at the end of 5 years plus 500 at the end of 10 years2)400.94 at the end of 5 yearsAt the same interest rate, 100 invested now plus 120 invested at the end of 5 years will accumulate to P at the end of 10 years. Calculate P2.1例2.1.2 一项贷款，总额为1000元，年利率为9%.设有一下三种偿还方式：（1）贷款总额以及应付利息在第10年年末一次性偿还；（2）每年年末偿还该年度的应付利息，本金在第10年年末偿还；（3）在10年中美年年末进行均衡偿付。
期末考必备利息理论试题1.doc
一、选择题（共20分，每题4分）1.已知累积额函数A（/） = 2r+5/ + l，则累积函数。
（7）= （A ）oA、2/" + 5/ +1 B2/ + 5 C4-t + 5 D57 + 12.对符号d歆含义的表述正确的是（B ）。
A、一年支付m次，且每期期初支付上元的n年期确定年金的终值mB、一年支付m次，且每期期初支付上元的n年期确定年金的现值mC、一年支付m次，且每期期末支付L元的n年期确定年金的现值mD、一年支付m次，且每期期初支付1元的n年期确定年金的现值3.在复利场合下，关于贴现函数Q T。
）的计算，下列各式不正确的选项为：（C ）o小盼-C^ds A、厂。
）=（1 —d）‘ B、Q T Q）=（I +—广，"C> tz"'（/） = （l ---- y mt D、厂（/）=那。
m m4.关于期初付确定年金的现值，下列表述错误的是（B ）。
A、有= 1 +。
一B、— va-iC、（1 + z）D、a-, = a—. - v n n\ n-\\n\ n\ n\ n\ x n\ n+\\5.王先生因为买房向招商银行贷款30万元，月按揭等额还贷，设贷款利率恒定，则下列表述错误的是（D ）A、月付利息所占月还款额的比例越来越小B、每月所付利息越来越少C、每月所付本金越来越多D、每月偿还的本金一样1.下列关于累积函数。
（7）的表述，错误的是（B ）。
A、tz（O） = 1B、。
⑺时间的递增函数C、表示单位本金的累积额D、。
（7）不一定为连续函数2.对符号耳任含义的表述正确的是（C ）。
A、一年支付m次，且每期期初支付上元的n年期确定年金的终值mB、一年支付m次，且每期期初支付上元的n年期确定年金的现值mC、一年支付m次，且每期期末支付上元的n年期确定年金的现值mD、一年支付m次，且每期期初支付1元的n年期确定年金的现值3.在复利场合下，关于累积函数"(7)的计算，下列各式不正确的选项为：(D )。
利息理论期末考试模拟测试试题含参考答案
利息理论期末考试模拟测试试题含参考答案题1：单利和复利的计算问题（20分）1. 一笔100,000元的投资，年利率为5％。
如果采用单利计算，则一年后的本息总额为多少？（5分）参考答案：本息总额=本金×（1 + 年利率 ×期限）= 100,000 ×（1 + 0.05 × 1）= 105,000元。
2. 一笔500,000元的投资，按照复利计算，年利率为4％，如果存款期限为5年，则五年后的本息总额为多少？（15分）参考答案：本息总额=本金×（1 + 年利率）^ 期限= 500,000 ×（1 + 0.04）^ 5 = 608,848.32元。
题2：复利公式推导与应用问题（30分）1. 请推导复利计算公式。
（10分）参考答案：设本金为P，年利率为r，期限为n年。
根据复利计算的原理，本息总额可表示为：本息总额=P×（1 + r）^ n。
2. 一笔投资本金为50,000元，年利率为8％。
如果计划将本息总额增加到100,000元，需要存款多少年？（20分）参考答案：设期限为n年，根据复利计算公式可得：100,000 = 50,000 ×（1 + 0.08）^ n。
通过求解方程得到：n≈8.66年。
题3：连续复利问题（20分）1. 一笔本金为10,000元的投资，年利率为6％，如果采用连续复利计算，10年后的本息总额为多少？（20分）参考答案：本息总额=本金×e^(年利率 ×期限)，其中e为自然对数的底，约等于2.71828。
计算可得：本息总额≈10,000 × e^(0.06 × 10) ≈ 18,193.86元。
题4：利息与投资风险的关系问题（30分）1. 投资A和投资B分别提供年利率为5％和8％的投资回报。
根据风险-收益原则，一般情况下，哪种投资风险更高？（10分）参考答案：一般情况下，高利率的投资回报意味着高投资风险。
利息理论复习资料_普通用卷
利息理论课程一单选题 (共14题，总分值14分 )1. 王女士于每年年初存入银行1000元钱，其中6%的年利率针对前4次的存款，10%的年利率针对后6次的存款，则第10年末时的存款累积值为（）元。
（1 分）A. A.6577.80B. B.8487.17C. C.13124.26D. D.15064.972. 某人在每年初存款100元，共存20年，利率为i，按单利计算，第20年末积累额达到2840元。
按复利计算。
第20年末积累金额为（）元。
（1 分）A. A.3092.92B. B.3094.92C. C.3096.92D. D.3098.923. 假设你现在打算做一项为期10年的投资；每一年初投资1000元，此项投资的实质利率为8%，而其利息可按6%实质利率进行再投资，那么第十年末的基金金额可达到（）（1 分）A. A.15296B. B.15396C. C.15496D. D.155964. 有一项10年期的期末付年金，每季度付款1000元，每年计息4次的名义利率为6%。
该年金的终值(积累值)为()元。
（1 分）A. A.54261.89B. B.54265.89C. C.54267.89D. D.54263.895. 与名义年利率为15%的连续复利相当的半年复利的名义年利率是（）（1 分）A. A.13.577%B. B.14.577%C. C.15.577%D. D.16.577%6. 一笔100元资金在年单利率5%下积累，如果另一笔100元资金在年复利率()下积累，这两笔资金在第10年末的积累值就会相等。
（1 分）A. A.4.12%B. B.4.14%C. C.4.16%D. D.4.18%7. 下列各种说法，错误的是（）（1 分）A. A.债券的期限越长，利率风险越高B. B.债券的价格与利率呈反向关系C. C.债券的息票率越高，利率风险越高D. D.利率上涨引起债券价格下降的幅度比利率下降引起债券价格上升的幅度小8. 一笔资金以单利率5%逐年积累。
利息理论习题整理共56页文档
（3） 1 im (m ) m 1 i 1 1 d 1 d n (n ) n
11122%121d2(2)
2
d(2)2 1 11 1 2 2 % 6 11.59%
100
200
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 600
22.07.2021
8
1°依复利方式计算： 半年结算年名义利率＝8％ 半年期实际利率＝4％ 半年期积累因子 v114%
半年期贴现因子 v(14%)1
选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：
100
200
1）t＝0
0 1 2 34 56
（1）2003年5月20日时，他需还银行多少钱？
（2）2005年1月1日时，他需还银行多少钱？
（3）几年后需还款1500元？
解：（1）从2003年1月1日到5月20日共计140天，故计息天数 为139天，
单利： A (t) 1 1 0 0 0 0 0 0 (( 1 1 0 it.1 )2 1 3 9 ) 1 0 4 5 .7 0 （元） 3 6 5
已知
i(2) A
7%,
iA
172%2
17.1225% iB=7.05%
方法二：比较实际收益
aA(5)172 %101.4106
aA(5)aB(5)
a B ( 5 ) 1 7 .0 5 % 5 1 .4 0 5 8
结论：A收益高
22.07.2021
4
例1-4 假设期初借款人从贷款人处借入10000元并 约定一年到期时还10500元（即利率i = 5% ）。如果借 款人希望期初时即付给贷款人利息，1 年到期时偿还 本金10000元，问：期初借款人实际可得金额是多少？
《利息理论》测试题
《利息理论》测试题题型分值分布•选择题：每题2分，共20分•填空题：每题2分，共20分•名词解释题：每题5分，共15分•解答题：每题10分，共30分•计算题：每题5分，共15分•案例分析题：每题10分，共30分•总分：100分一、选择题（每题2分，共20分）1.利息的基本概念是指资金所有者由于借出资金而取得的报酬，它从属于相应的______。
A. 本金B. 利润C. 费用D. 收益2.简单利率是指按单利计算利息的方法，其利息与本金的比率称为______。
A. 年金利率B. 简单利率C. 复利率D. 贴现率3.在复利计算中，若本金为P，年利率为r，经过n年后的本利和F的公式是______。
A. F = P(1 + r)^nB. F = P(1 - r)^nC. F = P / (1 + r)^nD. F = P / (1 - r)^n4.年金是指一系列按照相等时间间隔支付的固定金额，其中每期期末支付的是______。
A. 普通年金B. 即付年金C. 递延年金D. 永续年金5.名义利率是指没有考虑通货膨胀因素的利率，而实际利率则是考虑了通货膨胀因素后的真实利率，两者之间的关系是______。
A. 实际利率 = 名义利率 + 通货膨胀率B. 实际利率 = 名义利率 - 通货膨胀率C. 实际利率 = 名义利率 * 通货膨胀率D. 实际利率与名义利率无关6.现值是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额，这一过程称为______。
A. 贴现B. 利息计算C. 复利计算D. 年金计算7.在债券定价中，如果市场利率上升，则债券价格会______。
A. 上升B. 下降C. 不变D. 无法确定8.若一笔贷款的年利率为10%，按年复利计息，则两年后归还的本利和是借款本金的______倍。
A. 1.10B. 1.20C. 1.21D. 1.309.在等额本息还款法中，每月的还款金额是固定的，这个金额由______两部分组成。
《利息理论》考试试题(A卷)参考答案
《利息理论》考试试题（A 卷）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）1、英国经济学家亚当斯密认为利息的来源至少有两个方面：一是将把借贷的资金作为资本来使用会带来利润，所以利息来自于利润；二是将借贷的资金用于消费，利息就来自于其他收入，有可能是地租。
2、凯恩斯在他的著作中提出人们持有货币的动机主要有三种交易、预防与投机动机。
3、贴现是指已知0时刻的初始投资本金，求其在t 时刻的积累值的过程。
4、我们一般用一个计息期内支付m 次贴现量(利息)的贴现率记为 来表示名义贴现率。
5、已知年实际利率为8%，那么按季度转换的名义利率为 7.77% 。
6、常规单利法假定一个日历月有__30____天，一个日历年有___360 ______天。
7、欧洲货币市场的放款利率一般是以 伦敦商业银行同业拆借利率 为基础， 再加上一个附加利息来计算。
8、年金支付时，相邻的两个计息日期之间的时间间隔称为__计息周期___。
9、利率求解时介绍的迭代法，是指通过多次线性插值求得数值结果的方法。
10、偿还贷款的两种基本方法分别为 分期偿还法和偿债基金法 。
二、选择题（每题3分，共30分）1、与名义年利率为15%的连续复利相当的半年复利的名义年利率是（C ）。
A ．13.577%B ．14.577%C ．15.577%D ．16.577%2、小宋的年收入为10万元，已有储蓄5万元，打算5年后创业，需要创业资金30万元。
假设年收益率为8%，收入固定不变。
如果要实现这个目标，年储蓄率应等于（A ）。
A ．38.6%B ．40%C ．41.4 %D ．42.8%3、现有一笔贷款，期限为以3.5年，要求每半年末支付等额数量来偿还债务，每年计息两次的名义利率为6%。
在第4次付款后，未偿还贷款余额为5000元，那么初始贷款金额为(C)A ．10813元B ．10913元C ．11013元D ．11113元4、假设你现在打算做一项为期10年的投资：每一年初投资1000元，此项投资的实质利率)(m d为8%，而其利息可按6%实质利率进行再投资，那么第十年末的基金金额可达到（A ）。
金融数学(利息理论)复习题练习题
1. 某人借款1000元，年复利率为9%，他准备利用该资金购买一张3年期，面值为1000元的国库券，每年末按息票率为8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值，如果该债券发行价为900元，请问他做这项投资是否合适？2. 已知：1） 16565111-++=+))(()()()(i i mim 求?=m 2） 16565111---=-))(()()()(d d md m 求?=m由于i nn i mm i n m +=+=+111)()()()( 由于d nn d mm d n m -=-=-111)()()()(3. 假设银行的年贷款利率12%，某人从银行借得期限为1年，金额为100元的贷款。
银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。
试分析两种还款方式有何区别？哪一种方案对借款人有利？4. 设1>m ，按从小到大的顺序排列δ,,,,)()(m m d d ii解：由d i d i ⋅=- ⇒ d i >)()(m m d d >+1 ⇒ )(m d d < )()(n m d i > ⇒ )()(m m i d < )()(m m i i <+1 ⇒ i i m <)(δδ+>=+11e i ， δ==∞→∞→)()(l i m l i mm m m m d i ⇒ i i d d m m <<<<)()(δ5. 两项基金X,Y 以相同的金额开始，且有：（1）基金X 以利息强度5%计息；（2）基金Y 以每半年计息一次的名义利率j 计算；（3）第8年末，基金X 中的金额是基金Y 中的金额的1.5倍。
求j.6. 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款10,000元,期限为5年，计算下列三种还款方式中利息所占的额度：1）贷款的本金及利息积累值在第五年末一次还清； 2）每年末支付贷款利息，第五年末归还本金； 3）贷款每年年末均衡偿还（即次用年金方式偿还）。
利息理论课后习题答案
第一章利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.，11)0(=∴=b a 180)5(100=a 508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+−+12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k 14.nn nni i i i −−+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）;(2)用公式（1-23）22.用公式（1-29）23.(1)用公式（1-32）;(2)用公式（1-34）及题6（2）结论24.用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎞+=++⎜⎟−⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠26.对于c)及d)，，，c)中，，δn e n a =)(1111)1(−=−=+==∴v di e a δ∴v ln −=δd)中，δ−−=ed 128.∫=tdxx e t a 0)()(δ29.；4411⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+j i h e j =+131.（1）902天39.，两边同时求导，，类似t e tA dr +=∫10δ)1ln(0t dr tA +=∫∴δtt A +=11)(δ)(t B δ46.，10009200.081000d −==9202108.01(288)08.01(=×−+−x 第二章年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A −−⎛⎞−+⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠=+⋅++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y i i −−−−+==⇒+=−−+−−===将代入（*）1d i d=−7.解：100010001000011718…()51218100010.0839169.84s −+=&&8.解：100.1100.15000s Ra =&&&&9.解：100.1100.155000s Ra =&&&&14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠17.解：解得即正常还款次数为95次0.0081500100000m a =95.6m ≈解得95950.0081500(10.008)100000a f −++=965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎞−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴+++−++=令105()1715f t t t t =+−+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i −−=−−(1.032)0.003186f =−23.解：，()4660.0411 1.04i a i −−−++40.04114i ⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠24.解：R 1.1025R 1.205R 01423得4321.05 1.1025 1.05 1.1025 1.05 1.205 1.0511000R R R R ×+++=2212.147R =25.解：()()()1211111nn nn n a i n i i i a iii −−−−∂−++−++=∴=∂其中通过公式（2-76）得到0.1020.116.8670.10.002n n n n i a a a i==∂−∴==∂L n29.解:7777111v a v i a iKi−=∴=−=−类似地，111811181111v ia iL v ia iM=−=−=−=−，从而71118(1)(1)1v v v iK iL iM =∴−−=−Q L K M i KL+−=31.解：(2)(12)(2)(12)(12)1112nn nnnv v i i aaa id i−−⎛⎞===+⎜⎟⎝⎠&&，32.解：()500lim 110000tn i n a i −→∞+=&&半半，()()122111111i i i d d−+==+⇒+=−−半半()1211i d −=−−半()1120ti i −+∴=半半36.解：()()()2020201195.36n n anv a i n i Ia ii−−+−+=∴=&&37.解：110123……1该永续年金现值为1i11123……6541该永续年金现值为：()()24111(2)i i i i−−++++=+L ∴所求年金现值为：113(2)(2)i i i i i i++=++39.解：()01ntkt v dt f g h−=−−∫11lim lim n n n n v f a δδ→∞→∞−===1(1)ng kn v δ=−⋅40.解：011()1tdrr a t e t+∫==+1001()ln(1)1nnn a a t dt dt n t−===++∫∫42.解：后五年等比()()()551051111000105011k i s s i i i k+⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠−+×++−&&&&43.解：120567……10983…414684468111v v v v a a a i i i i i i i vd−+−+−+=+++=−L L 45.解：2300.015251.0215KsKa−=+&&&&46.解：1010120180180300300 1.03 1.03i i i iia a a a a −−++=月月新月新月月11x110000047.解：011()1tdrr a t e t+∫==+231414212111(0)(1)()(1)84.51v t a t dt t dt t−=−=−=+∫∫48.解：11tn t n v v a a δδ−−==，()001111144010%t n nnt n v v a dt dt n n a δδδδ⎛⎞−−==−=−=×=⎜⎟⎝⎠∫∫49.解：1）()11t n nt tt t atv Ia i==−=∑∑&&第三章收益率2.解：234000 1.120000.93382×−×=3.解：237000100040005500(0)v v v v v −−++=110.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时，令(0)0v v i=⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒=8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000kkkdtdtdtt k t k t k e ee+−+−+−∫∫∫+−=解得：0.14117k =10.解：1234567810911111i 2i 3i 4i 5i5i5i5i5i5i本金利息560.0450.0461000 1.04550.04s i is −⎛⎞++⎜⎟⎝⎠13.解：50000068000060000500055000A B I ===−=，，29.78%Ii A B I=≈+−14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i −⎛⎞⎡⎤⎛⎞=×++×+−×+−×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠15.解：书后答案是，不知我对它对。
利息理论复习资料
一、名词解释1.价值等式2. 收益率3.债券的账面值4.银行家规则5.标准型年金6.利息强度的定义及其表达式7.债券的平价与市价8.延期年金9.偿债基金10．名义利率，实际贴现率，并请写出二者之间的等价关系11.永续年金12.债券溢价，债券折价二、简答题1.利息度量的主要方式有哪些？假设以复利计息，请写出各度量方式之间的等价关系式。
（需要写出4种以上）2.(1)1(,)(,)ni is n is n i+=+表示期末付标准型年金终值系数。
试简要说明该等式的经济含义。
3.利率变动型年金的利率变动形式有哪两种？请以期末付年金为例，分别写出其年金现值表达式。
4. 实际利率i与实际贴现率d之间有如下关系，i-d=id，试说明该等式的经济含义。
5. 设m大于1，按大小增加的次序排列i、m i、d、md与δ（需做简要推导）。
三、推导题1．推导首期付款额为P,以后每期付款额比前一期增加Q的期末付永续年金的现值公式。
2. 证明下列恒等式，其中，a(k),s(k)分别表示标准型期末付年金现值、终值系数。
（1）()()()ma m n a m a n v +=+（2）()()(1)()ms m n s m i s n +=++四、计算题1．确定10000元在3年末的积累值：（1） 名义利率为每季度计息一次的年名义利率6% （2）名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%2. 某人在第1、2年初各投资1000元到某基金，第1年末积累额为1200元，第2年末积累额为2200元。
（1） 根据投资额加权法，计算年收益率； （2）根据时间加权法计算年收益率。
3. 某投资者在每年初投资1000元，投资5年。
假设原始投资的利率为6％、而利息的再投资利率为5％：试计算该投资者在第5年末的积累值。
4.某投资者在每年初投资1000元，投资5年。
假设原始投资的利率为6％、而利息的再投资利率为5％：试计算该投资者在第5年末的积累值。
5. 假设债券A 的期限是5年，利率为8%；债券B 的期限是8年，利率是7%。
利息理论复习题
4 一种面值1000元的n年期债券，年息率为6%，年收益率为5%。如 果到期期限延长为2n年，则债券价格将增加50元。求该n年期债券的 价格。 解：设该n年期债券的价格为 P ，则
P = 1000 + (60 − 50)a n 50 + P = 1000 + (60 − 50)a 2n
⇒ 50 = 10(a 2n − a n ) = 10(a n + v n a n − a n ) = 10v n a n ⇒ v n = 0.5 ⇒ a n = 10 ⇒ P = 1000 + 10a n = 1100
1
调整后的每次还款额。 解：设调整后的每次还款额为 x 元。 每年存入偿债基金的数额为 D = 之后基金余额为 2439.3s5 = 14027.7 。 调整存款满足
14027.7 × 1.0815 + xs15 = 100000
⇒ x = 2044.1 .
100000 = 2439.3 ，因此第五次存入 s 20
5 一种面值1000元的n年期债券， 半年名息率9%， 到期以1100元兑现， 兑现值的现值为190，半年名收益率为8%。求该债券的价格。 解：设该n年期债券的价格为 P ，则
P = 1100v 2n + 45a 2n
1100v 2n = 190 ⇒ v 2n = 19 10 = = i 44
11. 某企业购得一台20万元的生产设备，每年维护费用1000元，使用 寿命20年，残值1万元，年利率5%。为了减少投资成本试分析选择以 下哪种方法更好： 方法A：维持现有产量不变，每年维护费用增加为2000元，使用年限 延长至25年，残值减为5000元； 方法B：提高产量20%，每年维护费用增加为3000元，使用年限仍为 20年，残值减为零。 解：方法A的资本化成本为：
刘占国《利息理论》习题答案与提示
第一章 利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.11)0(=∴=b a 180)5(100=a ，508)8()5(300=a a3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+-+ 12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k14.n n n n i i i i --+⋅+>+++)1()1(2)1()1( 16.用p.6公式17.用P .7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）; (2)用公式（1-23） 22. 用公式（1-29）23.(1) 用公式（1-32）;(2) 用公式（1-34）及题6（2）结论 24. 用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎫+=++ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ 26.对于c)及d)，δn e n a =)(，1111)1(-=-=+==∴vdi e a δ，∴c)中，v ln -=δ，d)中，δ--=e d 128.⎰=tdxx et a 0)()(δ29.4411⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+j i ；he j =+131.（1）902天 39.tetA dr+=⎰10δ )1ln(0t dr tA +=⎰∴δ，两边同时求导，tt A +=11)(δ，)(t B δ类似46.10009200.081000d -==，920)2108.01(288)08.01(=⨯-+-x第二章 年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A --⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y ii----+==⇒+=--+--===将1d i d=-代入（*）7.解：()51218100010.0839169.84s -+=8.解：100.1100.15000s Ra = 9.解：100.1100.155000s Ra = 14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎫=- ⎪⎝⎭17.解：0.0081500100000m a = 解得95.6m ≈ 即正常还款次数为95次 95950.0081500(10.008)100000a f -++= 解得965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+++-++= 令105()1715f t t t t =+-+0(1.03)(1.035)(1.03)1.031.0351.03f ff i --=--(1.032)0.003f =- 1000 1000 1000 011718…23.解：()4660.0411 1.04i a i---++，40.04114i ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭24.解：4321.05 1.1025 1.05 1.1025 1.05 1.205 1.0511000R R R R ⨯+++= 得2212.147R =25.解：()()()1211111nn nn n a i n i i i a iii----∂-++-++=∴=∂.1020.116.8670.10.002n n nn i a a a i==∂-∴==∂ 其中n 通过公式（2-76）得到29.解: 7777111v a v i a iK i-=∴=-=-类似地，111811181111via iL via iM =-=-=-=-，71118(1)(1)1v v vi K i L i M=∴--=- 从而L K Mi K L+-=31.解：(2)(12)(2)(12)(12)1112nnnnn v v i i a a a idi--⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ ，32.解：()500lim 110000tn in a i -→∞+= 半半()()122111111i i id d-+==+⇒+=--半半，()1211i d -=--半()1120ti i -+∴=半半36.解：()()()2020201195.36n na nv a i n i Ia ii--+-+=∴=37.解：该永续年金现值为1i1 1 0123 … …R 1.1025R 1.205R 014231该永续年金现值为：()()24111(2)i i i i--++++=+∴所求年金现值为：113(2)(2)i i i i i i++=++ 39.解：()01nt kt v dt f g h -=--⎰11lim limnn n n vf a δδ→∞→∞-===1(1)ng k n v δ=-⋅40.解：011()1tdrr a t et +⎰==+11()ln(1)1n n n a a t dt dt n t-===++⎰⎰42.解：后五年等比()()()551051111000105011k i s s i i i k+⎛⎫- ⎪+⎝⎭-+⨯++-43.解：4684468111vv vva a a iiiiii i v d-+-+-+=+++=- 45.解：2300.015251.0215K s K a -=+46.解：1010120180180300300 1.031.03i iiiia a a a a --++=月月新月新月月11x 110000047.解：011()1tdrr a t e t +⎰==+1414212111(0)(1)()(1)84.51v t a t dt t dt t-=-=-=+⎰⎰48.解：11tnt n vva a δδ--==，1 2 0 5 67 … …10 9 8 3…4 111 0123... (6)5 41 2 3()01111144010%tnn n t nvv a dt dt n n a δδδδ⎛⎫--==-=-=⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰49.解：1）()11t nnttt t a tv Ia i==-=∑∑第三章收益率2.解：234000 1.120000.93382⨯-⨯=3.解：237000100040005500(0)v v v v v --++= 110.090.11.091.1i v i v ====时，；时，令(0)0v v i =⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒= 8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000kkkdtdtdtt k t k t k eee+-+-+-⎰⎰⎰+-=解得：0.14117k =10.解：560.0450.04610001.04550.04s i i s -⎛⎫++⎪⎝⎭13.解：50000068000060000500055000A B I ===-=，， 29.78%I i A B I=≈+-14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i -⎛⎫⎡⎤⎛⎫=⨯++⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭15.解：1212121kt dtt ek ++⎰=⇒= 书后答案是1k =，不知我对它对。
利息理论复习题
300(1.02)450a40.02[(1.02)21]
s20.02
2006年秋
李勇权 南开大学
44．一项1000的贷款，利率为月度转换名义利率 6%，用20次等额的半年度支付R来分期偿还。
（1）100
s 6 0.005
R
a
120 0.005
（2）第一次支付中的本金部分为R-1000×(1.005)
2000)、(4，2500)、(5，3000)、(6，
3500)、(7，4000)、（8，4500)、(9， 5000)、(10，0000)在0时的现值为
1000a500(a99v9)5000v9
9
i
i
2006年秋
李勇权 南开大学
s 20
38．
(Ds) 20
20s 20
20
i
2006年秋
李勇权 南开大学
2006年秋
李勇权 南开大学
7．divid-vivid=did
2006年秋
李勇权 南开大学
９．a n t
s t
0
as
n
n
2006年秋
李勇权 南开大学
10． d(12) v1/12 v2/12
i(12) 1v1/12
2006年秋
李勇权 南开大学
20
11． i
s s 21
t
21
t 1
2006年秋
2
2
32
2006年秋
李勇权 南开大学
13．一年金前10年每年末支付10，然后 每年递减1，共支付9年，以后每年末 支付1，直至永远，年利率为4%，计算 此年金的现值。
A、117 B、119 C、121 D、123 E、125
利息理论——复习题
复习题1. 一笔1000元的贷款，年利率7%，5年后应当偿还的本利和是多少？（1403元）2. 某企业向银行借钱，第一年初借30000元第3年初借50000元，协议在第6年末偿还，年利率为8%，问第6年末应偿还多少钱？(115630元）3. 一笔1000元贷款，年利率为8.8%,问债务期限为5.5年的本利和为何值？(1590.2)4. 现在借了3000元，言明4年末偿还4500元，问这笔债务的年利率是多少？(10.7%)5. 若某企业拥有两张未到期的期票，第一张期票的票面值10000元，2年后到期，另一张期票票面值15000元，3年后到期。
现企业急需用钱，所以拿这两张期票进行贴现，若接受此期票期望得到7%的资金年利率，那么，他最多付多少钱能收购此期票？(20980)6. 某企业第一年初借了80000元，第2年初又借了75000元，第3年初再借了一笔钱，所有这些债务都在第7年末偿还，偿还总金额为343700元，年利率为8%，问这个企业第3年初借了多少钱？(59600)7. 有一笔20年的债券，票面值为10000元，现每年年末一等额金额存入银行，问存多少金额才能偿还这笔债务？设银行存款年利率为7%.(243.9)8. 一笔1000元的贷款，在4.5年内还清，每半年计息一次，则年实质利率为多少？(8.16%)9. 一个家庭希望在某一大学教育基金中，到第20年末积累到5万元。
如果他们在头10年中每年末存入1000元，而在第2个10年中每年末存入1000+X 元，若该项基金之实质利率为7%，试确定X 。
（651.72元）。
10. 从Z 年6月7日到Z+11年12月7日每季度付款100元。
若季度转换名义利率为6%，a)确定Z-1年9月7日的现时值。
b)确定Z+8年3月7日的当前值。
c) 确定Z+12年6月7日的积累值。
（3256.88;5403.15;6959.37）11. 在今后20年内，每年初向一基金存入1000元，30年后开始每年付款且永远持续下去，其中第一笔付款是在第30年之末。
(详细)刘占国《利息理论》习题解答
《利息理论》习题详解第一章 利息的基本概念1、解：（1）)()0()(t a A t A =又()25A t t =(0)5()2()1(0)55A A t a t t A ∴===++ （2）3(3)(2)11(92 2.318I A A =-===（3）4(4)(3)0.178(3)A A i A -=== 2、解：202()(0)(1)1(1-6)180=100(a 5+1)4a=125a t at ba b i =+∴==+=∴∴用公式(8)300(83)386.4A a ∴=-=12、解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得(0)794.1A =15、解：3400300(1)i =+ 0.1006i ∴= 又11110.9085911 1.1006i v d i i =-=-===++ 246500()1034.7v v v ∴++=19、解：（1）430.06(3)10000(1)119564A ⨯=+= （2）1()1441(1)4d i -+=-1()14334(3)10000(1)10000(1)122854d A i -⨯∴=+=-=20、解：（1）()1(1)m m i i m +=+， 1()(1)1m m i i m ∴+=+11(6)(5)651(1),1(1)65i i i i ∴+=++=+ (5)11()530(6)161(1)5(1)11(1)6m i i i i i m i ++∴==+=+++所以m=30 （2）1()()1(1),1(1)m m m m d d d d m m-=-∴-=-，所以和（1）有类似的解答m=30。
24、解：0()t t dt a t e δ⎰=，1212000.01(12)100001000020544.332t dt tdt A e e δ⎰⎰∴===25、解：设常数实际利率为i 有41420.060.05(1)(10.1)(10.08)(1)(1)42i --+=+-+-解得 0.0749i = 33、解：27.722e δ= ln 227.72δ∴==0.025 又2(12)7.04n δ+=21.057.0449.5616n ∴== 49.56161.05log 80n ∴== 36、解：设第十年末未付金额为x ，有40.12(1)10.125514i =+-= 11(1) 1.12551v i --∴=+= 又51015101000400800400 1.12551800 1.12551 1.12551v v xv x ---=++=⨯+⨯+⨯解得x=657.8375 42、解：338104001100(3)0.8166865t dt ae e -⎰=== 44、解：0.510.3(10.25)v -=-，解得v=0.87111110.14796i v ∴=-= 51、解：46400(1)6404j ⨯+=，解得j=0.079106第二章 年金 4解：实际月利率为0.087/120.00725i ==，16000010001200.0072580037.04A a =-=7解：X 取得的存款为：11251000180.08(10.08)39169.84s -⨯⨯+= 8解：50001010s Ra =，500015.93742 6.14457R ∴⨯=⨯，解得R=12968.719解：5000100.1100.15s Ra =，解得R=15187.4814解：10.5an an i =-，111.5 1.5n v an i i -∴==，解得13n v = 17解：月利率为0.096/12=0.008，15000.008100000an ∴=，0.00866.66667an ∴=，解得n=95.6取整数n=95，又951500950.008(10.008)100000a f -++=，解得f=965.7528解：设3年的实际利率为j ，有31(1)j i +=+，又112991j =，3912301(1)129129i ∴+=+=，解得i=0.195。
利息理论——复习题
复习题1. 一笔1000元的贷款，年利率7%，5年后应当偿还的本利和是多少？（1403元）2. 某企业向银行借钱，第一年初借30000元第3年初借50000元，协议在第6年末偿还，年利率为8%，问第6年末应偿还多少钱？(115630元）3. 一笔1000元贷款，年利率为8.8%,问债务期限为5.5年的本利和为何值？(1590.2)4. 现在借了3000元，言明4年末偿还4500元，问这笔债务的年利率是多少？(10.7%)5. 若某企业拥有两张未到期的期票，第一张期票的票面值10000元，2年后到期，另一张期票票面值15000元，3年后到期。
现企业急需用钱，所以拿这两张期票进行贴现，若接受此期票期望得到7%的资金年利率，那么，他最多付多少钱能收购此期票？(20980)6. 某企业第一年初借了80000元，第2年初又借了75000元，第3年初再借了一笔钱，所有这些债务都在第7年末偿还，偿还总金额为343700元，年利率为8%，问这个企业第3年初借了多少钱？(59600)7. 有一笔20年的债券，票面值为10000元，现每年年末一等额金额存入银行，问存多少金额才能偿还这笔债务？设银行存款年利率为7%.(243.9)8. 一笔1000元的贷款，在4.5年内还清，每半年计息一次，则年实质利率为多少？(8.16%)9. 一个家庭希望在某一大学教育基金中，到第20年末积累到5万元。
如果他们在头10年中每年末存入1000元，而在第2个10年中每年末存入1000+X 元，若该项基金之实质利率为7%，试确定X 。
（651.72元）。
10. 从Z 年6月7日到Z+11年12月7日每季度付款100元。
若季度转换名义利率为6%，a)确定Z-1年9月7日的现时值。
b)确定Z+8年3月7日的当前值。
c) 确定Z+12年6月7日的积累值。
（3256.88;5403.15;6959.37）11. 在今后20年内，每年初向一基金存入1000元，30年后开始每年付款且永远持续下去，其中第一笔付款是在第30年之末。
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（1）2003年5月20日时，他需还银行多少钱？
（2）2005年1月1日时，他需还银行多少钱？
（3）几年后需还款1500元？
解：（1）从2003年1月1日到5月20日共计140天，故计息天数 为139天，
单利：
A(t) 1000(1 it) 1000(1 0.12
139
)
1045.70（元）
365
复利： A(t) 1000(1 i)t
139
1000(1 0.12)365 1044.10（元）
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2
例1-3 有以下两种5 年期的投资选择：A 年利率 7%，每半年计息一次；B 年利率7.05%， 每年计息 一次。试比较两种选择的收益。
解：设时刻10的支出金额为X，则整个业务的
现金流程图如下：
100
200
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 °依复利方式计算： 半年结算年名义利率＝8％ 半年期实际利率＝4％ 半年期积累因子 v1 1 4%
半年期贴现因子 v (1 4%)1
选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：
1 i
从年利率的角度看，零息债券 i d 5%
1 d 1 5%
5.26% 5.25%, 债券投资优于储蓄。
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5
例1-6（1）求每月结算的年利率为12％的实际利率；
（2）求每季结算的年贴现率为10％的实际贴现率；
（3）求相当于每月结算的年利率为12％的半年结算
由此可以解得： X 221.39
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10
100
200
2）t＝5
0 1 2 34 56
100(110i) 200 X 600 110i 1 6i
X
7 8 9 10 600
由此可以解得： X 201.42
100
200
X
3）t＝10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
7 8 9 10 600
600v6 100v10 200
X v10
186.75
100
200
3）t＝10
0 1 2 34 56
100v20 200v10 X 600v4
X
7 8 9 10
600
X 600v4 100v20 200v10 186.75
100
200
1）t＝0
0 1 2 34 56
100 200v10 Xv20 600v16
X
7 8 9 10 600
X
600v16
100 200v10 v20
186.75
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8
100
200
2）t＝5
0 1 2 34 56
100v10 200 Xv10 600v6
结论：A收益高
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例1-4 假设期初借款人从贷款人处借入10000元并 约定一年到期时还10500元（即利率i = 5% ）。如果借 款人希望期初时即付给贷款人利息，1 年到期时偿还 本金10000元，问：期初借款人实际可得金额是多少？
解 贴现因子 v 1 0.9524
1 i
的年贴现率。
解：（1）i
1
i(m) m
m
1
1
12% 12
12
1
12.68%
（2） d
1
1
d (m) m
m
1
1
10% 4
4
9.63%
（3）
1
i(m) m
m
1 i
1 1 d
1
解 方法一：比较等价的年实利率
已知
i(2) A
7%,
iA
1
7%
2
2
1 7.1225%
iB =7.05%
方法二：比较实际收益
aA (5)
1
7% 2
10
1.4106
aB (5) 1 7.05%5 1.4058
aA (5) aB (5)
d (n) n
n
1
12% 12
12
1
d (2) 2
2
d (2)
2 1
1
12% 12
6
11.59%
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6
例：某资金帐户现金流如下：在时刻0有100元资 金支出，在时刻5有200元资金支出，在时刻10有 最后一笔资金支出；作为回报，在时刻8有资金收 回600元。假定半年结算年名义利率为8％，试计 算时刻10的支出金额大小。
贴现率 d iv 0.04762
从而借款人在期初实际可得
10000(1 d) 10000v 9524（元）
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4
例1-5 若现有面额为100 元的零息债券在到期前 一年的时刻价格为95 元，同时短期一年储蓄利率为 5.25%，如何进行投资选择？
解 从贴现的角度看，零息债券的贴现率 d =5% ，而储 蓄的贴现率 d i 4.988% 5%, 债券投资优于储蓄。
4000 2000v2 3000v4
可化简为v2的二次方程：
3v4 2v2 4 0
由此可得 v2 2
22 4 3 (4) 0.868517
23
或 1.535184 （舍去）
故 i 0.0730 或7.30％
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方法3：求数值解 例：如果现在投入1000元，三年底投入2000元，在第 十年底的全部收入为5000元。计算半年计息一次的年 名义利率。 解： 令 j i(2) ，比较日为第十年年底，则价值方程为
600
100(1 20i) 200(110i) X 600(1 4i)
由此可以解得： X 236
结论：不同比较日的价值方程的计算结果不同
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方法2：用代数方法求解
例：已知两年后的2000元和四年后的3000元的现值之 和为4000元，试计算年利率。
解：比较日为初始时刻，则价值方程为
结论：不同比较日的价值方程的计算结果相同
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2°依单利方式计算： 半年期单利率i＝4％
选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：
1）t＝0
100
200
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
600
100 200 X 600 110i 1 20i 116i