利息理论习题整理

解：设时刻10的支出金额为X，则整个业务的
现金流程图如下：
100
200
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 600
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1°依复利方式计算： 半年结算年名义利率＝8％ 半年期实际利率＝4％ 半年期积累因子 v1 1 4%
半年期贴现因子 v (1 4%)1
选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：
4000 2000v2 3000v4
可化简为v2的二次方程：
3v4 2v2 4 0
由此可得 v2 2
22 4 3 (4) 0.868517
23
或 1.535184 （舍去）
故 i 0.0730 或7.30％
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方法3：求数值解 例：如果现在投入1000元，三年底投入2000元，在第 十年底的全部收入为5000元。计算半年计息一次的年 名义利率。 解： 令 j i(2) ，比较日为第十年年底，则价值方程为
1 i
从年利率的角度看，零息债券 i d 5%
1 d 1 5%
5.26% 5.25%, 债券投资优于储蓄。
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例1-6（1）求每月结算的年利率为12％的实际利率；
（2）求每季结算的年贴现率为10％的实际贴现率；
（3）求相当于每月结算的年利率为12％的半年结算
单利：
A(t) 1000(1 it) 1000(1 0.12

139
)

1045.70（元）
365
复利： A(t) 1000(1 i)t
139
1000(1 0.12)365 1044.10（元）
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例1-3 有以下两种5 年期的投资选择：A 年利率 7%，每半年计息一次；B 年利率7.05%， 每年计息 一次。试比较两种选择的收益。
结论：A收益高
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例1-4 假设期初借款人从贷款人处借入10000元并 约定一年到期时还10500元（即利率i = 5% ）。如果借 款人希望期初时即付给贷款人利息，1 年到期时偿还 本金10000元，问：期初借款人实际可得金额是多少？
解 贴现因子 v 1 0.9524
1 i
结论：不同比较日的价值方程的计算结果相同
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2°依单利方式计算： 半年期单利率i＝4％
选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：
1）t＝0
100
200
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

600
100 200 X 600 110i 1 20i 116i
d (n) n
n

1
12% 12
12

1
d (2) 2
2
d (2)

2 1

1
12% 12
6
Fra Baidu bibliotek

11.59%
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6
例：某资金帐户现金流如下：在时刻0有100元资 金支出，在时刻5有200元资金支出，在时刻10有 最后一笔资金支出；作为回报，在时刻8有资金收 回600元。假定半年结算年名义利率为8％，试计 算时刻10的支出金额大小。
100
200
1）t＝0
0 1 2 34 56
100 200v10 Xv20 600v16
X
7 8 9 10 600
X

600v16
100 200v10 v20
186.75
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8
100
200
2）t＝5
0 1 2 34 56
100v10 200 Xv10 600v6
由此可以解得： X 221.39
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10
100
200
2）t＝5
0 1 2 34 56
100(110i) 200 X 600 110i 1 6i
X
7 8 9 10 600
由此可以解得： X 201.42
100
200
X
3）t＝10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解 方法一：比较等价的年实利率
已知
i(2) A

7%,
iA

1
7%
2

2
1 7.1225%
iB =7.05%
方法二：比较实际收益
aA (5)

1
7% 2
10

1.4106
aB (5) 1 7.05%5 1.4058
aA (5) aB (5)
贴现率 d iv 0.04762
从而借款人在期初实际可得
10000(1 d) 10000v 9524（元）
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例1-5 若现有面额为100 元的零息债券在到期前 一年的时刻价格为95 元，同时短期一年储蓄利率为 5.25%，如何进行投资选择？
解 从贴现的角度看，零息债券的贴现率 d =5% ，而储 蓄的贴现率 d i 4.988% 5%, 债券投资优于储蓄。
X
7 8 9 10 600
600v6 100v10 200
X v10
186.75
100
200
3）t＝10
0 1 2 34 56
100v20 200v10 X 600v4
X
7 8 9 10
600

X 600v4 100v20 200v10 186.75
的年贴现率。
解：（1）i

1
i(m) m
m

1

1
12% 12
12
1

12.68%
（2） d

1

1


d (m) m
m

1

1

10% 4
4


9.63%
（3）
1


i(m) m
m

1 i
1 1 d
1
例1-2：某人2003年1月1日从银行借款1000元，假设 年利率为12%，试分别以单利和复利计算：
（1）2003年5月20日时，他需还银行多少钱？
（2）2005年1月1日时，他需还银行多少钱？
（3）几年后需还款1500元？
解：（1）从2003年1月1日到5月20日共计140天，故计息天数 为139天，
600

100(1 20i) 200(110i) X 600(1 4i)
由此可以解得： X 236
结论：不同比较日的价值方程的计算结果不同
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方法2：用代数方法求解
例：已知两年后的2000元和四年后的3000元的现值之 和为4000元，试计算年利率。
解：比较日为初始时刻，则价值方程为