5 流变学测量原理

0 R

w
r
R
对式(31)积分： u duz r f ( )dr
z
R
w

w
f ( )d (5.32)
um

R
0
2ru z (r )dr
R 2
1 = R 2
2r 2 2 u z (r )
R 0
1 2 R

R
0
duz (r ) r dr dr
2
1 = R2
d aw ~ ln w 作图求得 ，然后由式(35)计算 d ln w
uz
R
w

w
f ( )d
uz
r w w R
1
d w d
(5.37)
u z R f ( w )d

可以求任意半径比ξ处的速度
以上的Krieger方法适用各种流动模型
(2) 幂律流体
duz n dr psu
1/ n
n=1 牛顿流体， n>1 假塑性，n<1 胀塑性
.m du z 1/ n ( psu ) ( ) K psu dr
duz
uz 0
(5.24)
( w R
r
psu
r n ) R dr
n
(5.25)
wn 1 u z (r ) n psu R

R
r
wn 1 1 n 1 n r dr r n psu R n 1
R r
R m r [1 ( ) n 1 ] = (n 1) psu R
(5.26)
平均流速： u
m

R
0
2ru z dr
R 2
n
积分得： r 2 M 2L
M 2r 2 L
M 2L r 2
稳态时，M为常数，任意r处的M将相等。设内筒半径Rb、 外筒半径 Rc, 液深L。
M 2Rb L b 2Rc L c 2r 2 L r
2 2
(5.44)
b
c
Rc
2
Rb
2

2
Rc Rb
wn R = (n 3) psu
(5.27)
速度分布：联系uz和 u m 可得速度分布:
n3 r n ! u z (r ) um [1 ( ) ] n 1 R
(5.28)
将 u 表达式可改写成： m
4um 4 w R (n 3) psu
n
(5.29)
将 ln
4u m R
RKy w r 2 r { [1 ( ) ] [1 ( )]} = pl 2Ky R R
(5.15)
P D 由于 w ， 4L
Ky
P rp 2L
令
Ky
w

rp R
a，
r R
RKy 1 uz { (1 2 ) (1 )} pl 2a
(5.3)
P r / 2 L r w P R / 2 L R
r w R
(5.4)
du 由牛顿黏度定律： dr
du
uz 0 R
(5.5)
r
w rdr R
R r

uz
0
w R du r rdr R
(5.6)
w 1 2 u z (r ) r R 2
(5.17)
(5.18)
a 4 4a 3 令 a 12a
则 um
RKy
pl
a
4u 4a a w 4RKy . m m a R pl Pl
(5.19)
管壁处表观黏度： aw
pl w . m 4a a
(5.20) (5.21)
4um w w w a 4 4a 3 a 4 4a 3 4a a 4a( ) R pl pl 12a pl 3
f ( w ) 1
5.39
pl
( w Ky )
因此：r>rp部分的速度分布为：
RKy 1 2a 2a 2 u z R [ W Ky]d [ ] pl 2a pl
1
1
5.2 回转黏度计
5.2.1 同轴回转黏度计
假定: (1) 液体非压缩性 (2) 层流 (3) 速度仅是半径的函数 (4) 运动是稳态的 (5) 液体在圆筒表面无滑移 (6) 流动是二维(即忽略边缘效应、末端 和Weissenberg效应)
=
f ( ) (
4
w
4 aw
aw
4
w
2
f ( )
(5.35) (5.36)
w
2 1 d aw d aw w w ( aw ) = ) 4 d ln w d w 4
由测量 P 、 u m ，由式(34)计算 aw ，
将 aw f() 再由 由
5.38
对于宾汉流体:
aw 4a a
4 Ky 1 Ky 4 pl [1 ( ) ( ) ] pl 3 w 3 w 1
d aw 1 4 Ky 4 Ky 4 1 [ ( ) ] 2 d w pl 3 w 3 w w 1 4 Ky 1 4 Ky 4 1 [ ( ) ] pl 3 w w 3 w w
离轴线半径为r处的线速度
u r
(5.45) (5.46)
du rd dr
速度梯度:
du / dr rd / dr
右边第一项表示如果没有剪切发生时装置上所有各点的 角速度，而第二项引起内应力，因此剪切速率：
du / dr r (d / dr)
.
(5.47)
R 0
R 3 w (5.9) 4
R m V R um 2 w R 4 4
.
m
.
4u m R
(5.10)
5.1.2 纯黏性非牛顿流体
(1) 塑性流体 (宾汉流体)
duz Ky dr pl
Ky — 屈服应力
(5.11)
r rp
活塞流
rp
m
P D w 4L .
将Bingham-Reiner方程改为：
4u m w 4 Ky R pl 3 pl
(5.23)
1 4u m 4 ~ w作图，可求得斜率= ，截距= Ky 将 pl R 3 pl
如 (
Ky
w
) 4 项不能忽略时，可用非线性数值计算参数。
如对于牛顿流体:
aw
1

aw与 w无关
w f ( )
1
d aw 0 d ln w
1
w R w 2 u z R d 2

R w 1 R w 2 (1 ) 2 (1 2 ) = 2 4
2um (1 2 )
于是：
dr d r 2
代入式(46)得：
dr 1 d d f ( ) f ( ) r 2 ，
(5.49) (5.50) (5.51)
1 b f ( ) d 2 c d
0
1 b f ( ) d c 2
b M 2Rb 2 L, 内筒 0 ，
旋转式流变仪
5.1 毛细管流变仪
牛顿流体 处理对象 非牛顿流体 塑性流体 幂律流体 流动方程不 明确的流体
5.1.1 牛顿流体
假设：(1) 稳态流动 (2) 流速充分发展
(3) 壁上无滑移
由力平衡关系得：
2rL r P
2
(5.1) (5.2)
P r 因而 2L
P R P D w 2L 4L
P r
pl
2L
Ky dr
(5.14)
1 P 2 r r 1 P r 2 R { R [1 ( ) 2 ] KyR[1 ( )]} uz [ Ky r ] = r pl 4L R R pl 2L 2
RKy P D r 2 r { [1 ( ) ] [1 ( )]} = pl 4L 2Ky R R
a
——
活塞流半径
r>rp处的流速uz

duz dr
表观黏度
duz pl Ky dr
pl
Ky a ( duz
R
(5.12)
Ky a pl ( duz
) dr
) dr
(5.13)
duz
uz
0
r
R Ky dr r pl
在柱坐标中，连续性方程为：
1 ( v ) 1 ( rv r ) ( v z ) [ ] [ ] 0 t r r r Z
(5.40)
dv 根据假定得 ( )0 , r d
v 常数(但与半径有关)
(5.41) (5.42) (5.43)
1 d (r 2 ) 运动方程为 : 0 2 r dr
RKy 1 2a 2a 2 = ( ) pl 2a
(5.16)
当 a
rp R
时，uz
up
流量V
V rp u p 2ru z dr
2 rp
R
RKy a 4 4a 3 R 2 ( ) = pl 12a
V RKy a 4 4a 3 ( ) 平均流速: u m 2 pl 12a R
当外筒旋转时，线速度u随半径r增大而增大，等式右边 . 部分不带负号，若是内筒旋转，外筒静止，则: r (d / dr) . 设： f ( )
d M f ( ) f ( ) 则式(45)变为： r 2 dr 2r L
(5.48)

M 2r 2 L
d M 2 2 ( 3 ) dr 2L r r

w
0
R R ( R) 2 f ( ) d = w w w3

w
0
2 f ( )d
(5.33)
定义：
1
aw
aw
表观流动率
w
aw
4u m 1 4 4 R w w

0
2 f ( 百度文库d
(5.34)
将上式对 w 微分
d aw 4 w 2 4 2 4( 5 ) f ( )d 4 w f ( ) d w w 0 w
w 4 Ky 1 Ky [1 ( ) ( ) 4 ] = 3 w 3 w pl
— Bingham-Reiner方程
当 P 足够大时， w Ky
4um w 4 Ky [1 ( )] R pl 3 w
(5.22)
测定 P 、V 数据
P
V
w
um
与 n ln w 作图可求得n和ηpsu
aw
w
4u m / R

(n 3) psu 4 w
n 1
(5.30)
(3) 流动方程不明确的场合的处理(Krieger方法)
duz (r ) f ( ) 设 dr
由 (5.31)
R r R , dr d w w
5 流变测量基本原理
流变学基础：流场(简单剪切、小振幅振荡和拉伸流场) 本构方程 流变测量技术 流变测量学(Rheometry): 应用有效的材料流变性能和数据的技术，通过获取材料的 流变参量，进行流变分析，寻找材料的本构方程
毛细管流变仪 流变仪 Rheometer 锥板黏度计
圆盘-平板黏度计
回转圆筒粘度计
测量：(1) P (2) 流量V
w R r [1 ( R ) 2 ] R 2
(5.7)
w
um
w
.
V 2rdruz 2
0
R
R
0
w R r 2 [1 ( ) ]rdr 2 R
(5.8)
2 w R R w R r 2 r 2 r4 [1 ( ) ]rdr ( ) 2 0 2 R 2 4R
2 2 R

R
0
R w r n1 [1 ( ) ]rdr (n 1) psu R
n
2 w = R(n 1) psu
n

R
0
1 [r ( ) n 1 r n 2 ]dr R
2 w r2 1 n 1 r n 3 R [ ( ) ] = R(n 1) psu 2 R n3 0
外筒 W , c M 2Rc L
2
5.2.1 牛顿流体场合

.
W
f ( )


1

1 b 1 1 1 M M M 1 1 d ( b c ) ( ) ( 2 2) 2 c 2 2 2Rb 2 L 2Rc 2 L 4L Rb Rc