第二章第六节(下)正态分布,综合

F (5) F (3)
(5 2) ( 3 2)
4
4
(0.75) (1.25)
0.7734 0.1056 0.6678;
(2)
P{| X a | a}
1 P{| X a | a}
1 P{a X a a}
1 P{0 X 2a}
1[F (2a) F (0)]
1[(2a 2) (0 2)]
工作.求该仪器能正常工作 5000 小
时以上的概率.
12
解 设 A 第 i只元件能工作 i
5000 小时以上,i 1,2,3,4,
P( A ) P{X 5000} 1 P{X 5000} i
1 F (5000) 1 (0) 1 1 1 ,
22
A , A , A , A 相互独立;
.
例计算积分
exp{2
x
2
2x
1}dx 3
exp{2( x
1
)2
1
1}dx
2 23
exp{1}
exp{2(x
1 )2}dx
6
2
2 ( x1 )y
2
exp{1}
exp{
y
2
}
1
dy
6
2
exp{1} 1 62
.
计算积分
exp{
(x )2 2 2
}dx
x y
2
exp{
y2}
2dy
2
2
2(b) 1 0.75,
2
2(b) 1.75,
2
(b) 0.875 (z )
2
0.875
bz , 故
2
0.875
b 2z . 0.875
例 5 某仪器上装有 4 只独立工作
的同类元件.已知每只元件的寿命 (以小时计) X ~ N (5000, 2 ),当工作 的元件不少于 2 只时,该仪器能正常
(4 2) (2 2)
(2 ) (0)
(2 ) 0.5 0.44,
从而 ,(2 ) 0.94 ,
P{| X 2 | 2} 1 P{| X 2 | 2}
1 P{0 X 4}
1[F (4) F (0)]
1 [(4 2) ( 2)]
1
[(2
)
(
2
)]
1 (2 ) [1 (2 )]
即 N (0,1)，称为标准正态分布，其概
率 密 度 和 分 布 函 数 分 别 用 (x)和
(x)表示（专用记号），即有
(x) 1 exp{ x2 }，
2
2
x ，
4
( x) 是偶函数，
(x)
x
(t
)dt
1
2
x
exp{
t2 2
}dt
.
标准正态分布的分布函数
( x) 的性质:
（1）
(0)
2
.
显然 z0 , z0.5 0, z1 。
分位点的性质: ( 0 1 )
(1) z z1 ; (2) P{X z1 } ;
(3) P{| X | z1 } 2
或
P{|
X
|
z 1
}
1
.
2
8
事实上, (z ) P{X z } , (z1 ) P{X z1 } 1 ,
P(B) P(B )P(B )P(B )P(B )
1
2
3
4
(1 0.3413)4 (0.6587)4 ,
P(B) 1 P(B) 1 (0.6587)4
0.8117.
方法二 X ~ N (20,402 )， A 测量中误差的绝对值不超过 20m
{| X | 20}，
P( A) P{| X | 20}
第二章(第六节(下)) 正态分布
五、正态分布
欧拉-泊松积分
ex2 dx
。
事实上，令 I
， ex2 dx
I
， ey2 dy
I 2 ex2 dx ey2 dy
e x2 ey2 dxdy e(x2y2 )dxdy
xr cos
yr sin
2
er 2 rdrd
lim [(x) (x)] 1,
x
得(x) (x) 1 ；
5
证法三 可从图形的对称性上看出证明。
(3) (x) (x) 0 , (x) 在 区 间 (,) 上严格单调, x 与 (x) 是一一 对应的; (x) 的函数值可从附表二 中查到,也可由 (x) 的函数值查到 x 的值.要求平时会查标准正态分布 N (0,1)的分布函数(x)值表.(考试时 列出告诉有关函数值).
1
2
3
4
若设能工作 5000 小时以上的元
件数目为Y ,则
Y ~ B(4, 1) ;
2
根据题意,
仪器能正常工作 5000 小时以上 {Y 2},
于是,所求概率为
P{Y 2} 1 P{Y 2}
1 [P{Y 0} P{Y 1}]
1
C0
1 ( )0
1 ( )4
11 C1 ( )1 ( )3
P{20 X 20}
F (20) F (20) (0) (1)
0.5 0.1587 0.3413 , 令Y 四次独立测量中误差的绝对
值不超过 20m 的次数 , 则有Y ~ B(4,0.3413) ， B 四次独立测量中至少有一次
误差的绝对值不超过 20m {Y 1}，
P(B) P{Y 1} 1 P{Y 1} 1 P{Y 0}
4
4
1 (a 0.5) (0.5) 2
1 (a 0.5) 0.3085 2
1.3085 (a 0.5),
2
10
令1.3085 (a 0.5) 0.7583,
2
得(a 0.5) 0.5502,
2
查表得 a 0.5 0.125,
2
a 1.25 .
例 4 设随机变量 X ~ N(, 2),
七、一般正态分布 N (, 2 ) 的分
布函数 F(x) 与标准正态分布 N (0,1)的
分布函数(x)之间有下列关系:
F
(
x)
(
x
)
,
x
.
事实上,
x
F (x) f (t)dt
1
2
x
exp{
(t
)2 2 2
}dt
t y
1
x
exp{
y2 }dy
2
2
6
1
x
exp{
y2 }dy
2
2
2
(z1 ) (z1 )
2
2
( z1 2
) (z
2
)
1
2
2
1
.
P{|
X
|
z1
}
1
P{|
X
|
z 1
}
2
2
1 (1 ) .
例 3 设随机变量 X ~ N (2,42 ),
(1) 求 P{3 X 5} ;
(2) 求a ,使
9
P{| X a | a} 0.7583 . 解 (1) P{3 X 5}
给定,0 1 ，存在唯一 z，使得 (z ) ，
(即由函数值 (x) ,找自变量 z ,
满足 (z ) ) 称 z 为标准正态分布 N (0,1)的（下侧）
分位点（或 分位数），简称分位点。
即
P{X z } (z ) ，
(z )
1 z exp{ t 2 }dt
2
(
z 1
)
2
P{X
z 1
2
}
1
2
;
(1) 由 (z ) (z ) 1,
(z ) (z1 ) (1 ) 1, 得 (z ) (z1 ) ,于是 z , z1
z z1 ;
(2) P{X z1 } 1 P{X z1 } 1 (z1 ) 1 (1 ) ;
(3) P{| X | z1 } P{z1 X z1 }
2
2
x
( y)dy
(
x
)
.
特别地,
F
()
(
)
(0)
1 2
.
设 ~ N (, 2) , 0 ，则有
P{ } F() 1 , 2
P{ } 1 P{ }
1 F() 1 1 1 ,
22
P{| | } P{ }
F ( ) F ( )

(
)
(
)
2 2 ,
于是有
1 2
exp{
(
x )2 2 2
}dx
1
,
2
从而函数
f (x)
1 2
exp{
(
x 2 2
)
2
}
是某连续型随机变量的概率密度.
定义 若 为连续型随机变量，
且其概率密度为
f (x)
1
2
exp{
(
x 2 2
)2
},
x
，
其中 , 0 均常数, 那么称 为正态随机变量，或称 服
试用分位点表示下列常数 a, b :
(1) 0, 1, P{ X a} 0.025;
(2)
1, 1,
P{| X 1| b} 0.75.
解(1) X ~ N (0,1) ,
P{ X a} P{X a}
1 P{X a} 0.025,
P{X a} 1 0.025 0.975
B 第i次测量中误差的绝对值 i
不超过 20m ,
P(B ) P{| X | 20} P{20 X 20}