平方差公式几何推导

平方差公式课件PPT

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等式，用于表示两个数的平方差与这两个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围和条件
平方差公式的代数表示和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$

《平方差公式说》课件

围。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用数学中的一些基本概念和原理，从而更好地解决实际问题。
这些公式可以用来解决一些特定的问题，例如求解某些数学问题和证明某些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某些图形的面积和周长。

平方差公式证明推导过程及运用详解(数学简便计算方法)

数学简便计算方法之平方差公式证明推导及运用详解平方差公式是小学奥数计算中的常用公式。

通常写为：a²-b²=(a+b)x(a-b)它的几何方法推导过程是这样的：如下图所示，四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，边长分别为a和b，求阴影部分面积。

显然，阴影部分面积有2种求法。

第一种方法阴影面积=大正方形面积-小正方形面积即，阴影面积=a²-b²（G老师讲奥数）第二种方法作两条辅助线，延长FG、EG，分别交线段AB、BC与点H、J。

阴影面积=四边形AEGH面积+四边形HBJG面积+四边形GFCJ面积跟G老师一起分别计算下上述三个四边形的边长吧。

分别计算出三个四边形的边长后，我们发现四边形GFCJ=四边形AEGH面积。

接下来，我们将四边形GFCJ旋转后挪到四边形HBJG右侧。

即如下图所示，将③移到④后，纯手绘，就认为和上边的图一样吧此刻，阴影部分的面积=①+②+④组成的大矩形面积。

阴影部分面积=(a-b)x[b+(a-b)+b]=(a-b)x(a+b)。

因为第一种和第二种方法都是计算阴影部分面积，所以它们的结果是相等的。

a²-b²=(a+b)x(a-b)当然，代数方法也可以证明。

令A=(a+b)，(a+b)x(a-b)=Ax(a-b)=Axa-Axb (乘法分配律)=(a+b)xa-(a+b)xb（代入A=a+b）=a²+ab-ab-b²=a²-b²【例题】计算：48x52+37x43分析：48和52刚好都与50相差2，37和43刚好与40相差3。

48x52+37x43=(50-2)x(50+2)+(40-3)x(40+3)=50²-2²+40²-3²=2500-4+1600-9=4087这类题目往往不会明确告知你需要用什么技巧简化计算，关键在于自己要熟练掌握，牢记于心，灵活运用。

平方差公式几何推导

平方差公式几何推导在咱们的数学学习之旅中，平方差公式那可是个相当重要的家伙！平方差公式是：(a + b)(a - b) = a² - b²。

这看起来好像有点抽象，不过别担心，咱们通过几何的方法来推导它，就能让它变得清晰明了，就像在迷雾中突然看到了光明大道一样！想象一下，咱们有一个边长为 a 的大正方形。

这个大正方形可威风啦，四平八稳地站在那里。

然后呢，在这个大正方形的一角，咱们切去一个边长为b 的小正方形。

这时候，剩下的图形就变得有点特别了。

咱们先来看剩下图形的面积怎么算。

从整体上来看，大正方形的面积是 a²，小正方形的面积是 b²，那剩下部分的面积就是 a² - b²。

那咱们换个角度来瞅瞅。

剩下的部分可以分成两个长方形，一个长方形的长是 a - b ，宽是 a ；另一个长方形的长是 a ，宽是 a - b 。

所以这两个长方形的面积加起来就是 (a + b)(a - b) 。

你瞧，从不同的角度去计算剩下图形的面积，结果都是一样的！这不就得出了平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²嘛。

我记得之前给学生们讲这个的时候，有个小调皮鬼一直皱着眉头，嘴里还嘟囔着：“这咋就相等了呢？”我就耐心地又给他比划了一遍，看着他恍然大悟的表情，我心里那叫一个欣慰。

咱们再深入一点理解这个公式。

比如说，你要计算 98×102 ，这要是直接算，是不是有点头疼？但咱们用平方差公式，把 98 看成 100 - 2 ，把 102 看成 100 + 2 ，那式子就变成了 (100 - 2)(100 + 2) ，这不就是100² - 2²嘛，答案一下子就出来了，是 9996 。

是不是简单又快捷？在实际生活中，平方差公式也能派上用场呢。

比如装修房子的时候，要计算一块不规则地面的面积，如果能巧妙地转化成符合平方差公式的形状，就能轻松算出面积，方便购买合适数量的地砖。

8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。

平方差公式的推导与应用

03
对于等差数列的部分和，也可以利用平方差公式进行
求解，从而简化计算过程。
裂项相消法求解数列和
裂项相消法的基本思想
裂项相消法是一种通过将数列中的项进行拆分和重组，使得部分项相互抵消，从而简化求和过程的方法。
平方差公式在裂项相消法中的应用
在裂项相消法中，平方差公式可以用于将复杂的数列项拆分为简单的形式，从而更容易找到相消的项，简化求和过程。
THANK YOU
感谢观看
相互转化
在某些情况下，可以通过平方差公式将完全平方公式进行因式分解，或者通过完全平方公式将平方差公式进行展开。
02
平方差公式推导过程
利用多项式乘法进行推导
设定两个二项式
设定两个二项式 $(a+b)$和$(a-b)$。
展开乘法
将两个二项式相乘，得到$(a+b)(a-b)=a^2ab+ab-b^2$。
表示方法
用数学符号表示为$(a+b)(a-b)=a^2b^2$，其中$a$和$b$是任意实数或代数式。
公式中各项含义与性质
$a$和$b$
代表任意实数或代数式，可以是具体的数值，也可以是含有变量的表达式。
$a^2-b^2$
表示$a$的平方减去$b$的平方，是平方差公式的结果。
$(a+b)(a-b)$
其他推导方法简述及比较
代数恒等式法
通过代数恒等式直接推导出平方差公式，此方法较为抽象但逻辑严谨。
几何图形法
利用几何图形直观展示平方差公式的推导过程，易于理解但可能不够严谨。
各种方法比较
不同的推导方法各有优缺点，可以根据个人喜好和实际情况选择适合自己的方法。在实际应用中，可以根据需要灵活选择推导方法，以便更好地理解和应用平方差公式。

平方差公式几何证明6种

平方差公式几何证明6种平方差公式是数学中的一个重要公式，在几何中也有广泛的应用。

本文将从几何的角度出发，通过六种不同的例子，来证明平方差公式的几何意义。

1. 两点间距离的平方差设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要证明点A和点B 之间的距离的平方等于x坐标之差的平方加上y坐标之差的平方。

我们可以画出以A和B为顶点的直角三角形ABC，其中C点的坐标为(x2, y1)。

根据勾股定理，我们有AB的平方等于AC的平方加上CB的平方，即AB^2 = AC^2 + CB^2。

将AC和CB的长度代入，即可得到平方差公式的几何证明。

2. 线段中点连线的平方差假设平面上有一条线段AB，其中A和B分别为端点。

我们要证明线段中点M到A点和B点的距离的平方之差等于线段的长度的四分之一。

我们可以通过连接AM和BM，得到两个直角三角形AMC 和BMC。

根据勾股定理，我们有AM的平方等于AC的平方加上CM的平方，BM的平方等于BC的平方加上CM的平方。

将这两个等式相减，即可得到平方差公式的几何证明。

3. 直角三角形斜边上某点到两直角边的平方差考虑一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，AC为斜边。

我们要证明任意一点D在斜边AC上，D点到直角边AB的距离的平方减去D点到直角边BC的距离的平方等于线段AD和CD的长度之差。

我们可以通过连接AD和CD，得到两个直角三角形ADC和BDC。

根据勾股定理，我们有AD的平方等于AC的平方减去CD的平方，CD的平方等于BC的平方减去BD的平方。

将这两个等式相减，即可得到平方差公式的几何证明。

4. 三角形边长平方差设平面上有一个三角形ABC，其中AB、BC、AC分别为三边的长度。

我们要证明三角形的三条边长的平方之差等于三条边上的三角形面积的四倍。

我们可以通过求三角形的面积，利用海伦公式得到三角形面积的表达式。

然后将三边长的平方代入表达式，即可得到平方差公式的几何证明。

5. 矩形对角线平方差考虑一个矩形ABCD，其中AB和CD为矩形的对边。

数学平方差公式

数学平方差公式数学平方差公式是用于求解两数平方之差的公式。

它在代数学中起着重要的作用，并且在许多数学问题的解答中发挥着重要的作用。

在本文中，我们将学习数学平方差公式的定义、推导过程以及一些实际应用。

首先，让我们来看一下数学平方差公式的定义。

数学平方差公式可以表示为：(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2其中，a和b是任意实数。

该公式可以用于计算数a和b的平方之差。

接下来，我们将推导数学平方差公式的过程。

假设我们有两个实数a和b，我们想要求解它们的平方之差。

我们可以首先将公式(a + b) * (a - b)展开，得到：(a + b) * (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2由于ab和ba是相等的，我们可以将它们合并，得到：(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2这就是数学平方差公式。

接下来，让我们通过一些实际应用来展示数学平方差公式的用途。

首先，数学平方差公式在因式分解中起着重要的作用。

当我们需要因式分解一个平方差时，数学平方差公式可以帮助我们简化计算过程。

例如，假设我们想要因式分解x^2 - 4，我们可以使用数学平方差公式来得到：x^2 - 4 = (x + 2) * (x - 2)通过使用数学平方差公式，我们可以将平方差分解为两个因子的乘积，这可以帮助我们更快地解决问题。

另一个应用是在计算几何中。

当我们需要计算两点之间的距离时，数学平方差公式可以帮助我们简化计算过程。

假设我们有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用数学平方差公式来计算它们之间的距离。

距离公式可以表示为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)通过将平方差公式应用于坐标差的平方和，我们可以快速计算出两点之间的距离。

最后，数学平方差公式还有其他许多实际应用。

它可以在代数学和几何学中用于求解方程、证明定理以及解决各种数学问题。

总结起来，数学平方差公式是一个用于求解两数平方之差的有用工具。

平方差公式

每个算式都是两个数的和与这两个数的差相乘，运算结果是这两个数的平方差。我们把这样特殊形式的多项式相乘，作为乘法公式，今后可直接使用。
(a+b)(a-b)= a b 叫做平方差公式
2 2
语言描述为：
两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差
2、平方差公式的几何解释
你能用下图中图形面积割补的方法，说明这个乘法公式吗？红色部分面积等于两个梯形面积之和，也等于大正方形的面积减去小正方形的面积
(5) m mn m mn
2 2

本课小结
• 一、什么样的二项式相乘可用平方差公式？其结果如何表示？ • 二、运用平方差公式的关键是什么？
作业
P66
计算
练习 2、3
a b ca b c
a 2a 2a 4 =
2
a 4
2
2
（3）(3x+2)(3x-2)= 9 x 6 x 6 x 4 = 9 x 4
2 2 a ab ab b （4）(a+b)(a-b)= = a b
2 2
观察以上算式，你发现了什么？（同桌之间交流一会）
再举两例验证你的发现
育苗初中部
学习目标
• 一、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。 • 二、了解平方差公式的几何背景。 • 三、体会数形结合的思想，提高观察、思考、类比、归纳等能力。
一、探索平方差公式 1、做一做
（1）(x+1)(x-1)=
x x x 1
2
2
=
x 1
2
（2）(a+2)(a-2)=
4、平方差公式的应用

《平方差公式》PPT优质课件

= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知知识点平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米

平方差公式几何的意义

平方差公式几何的意义(a+b)(a-b)=a^2-b^2其中，a和b是任意实数。

平方差公式表明，当两个数的平方相减时，可以通过乘积之和的形式来表示。

为了更好地理解平方差公式在几何中的意义，我们可以考虑以下几个例子。

例子1：矩形的对角线长度考虑一个矩形，其长度为a，宽度为b。

我们可以用平方差公式来计算矩形的对角线长度。

根据平方差公式，矩形的对角线长度d可以表示为：d^2=a^2+b^2通过这个公式，我们可以确定任意矩形的对角线长度，只要知道其长度和宽度。

例子2：平行四边形的面积平行四边形是一个有两对平行边的四边形。

假设平行四边形的边长为a和b，对角线的长度为d。

我们可以用平方差公式来计算平行四边形的面积。

根据平方差公式，平行四边形的面积A可以表示为：A = 0.5 * a * b * sinθ其中，θ为对角线与任一边的夹角。

通过这个公式，我们可以计算出任意平行四边形的面积，只要知道其边长和对角线长度。

例子3：三角形的海伦公式海伦公式用于计算三角形的面积。

假设三角形的三边长分别为a、b 和c，半周长为s。

根据海伦公式，三角形的面积A可以表示为：A = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，sqrt表示求平方根。

注意到(s-a)、(s-b)和(s-c)都是三角形的半周长s与边长的差值。

因此，我们可以将海伦公式重新写成平方差的形式：A = sqrt(-a^4 + (a^2 + b^2 + c^2)^2) / 4通过这个公式，我们可以计算出任意三角形的面积，只要知道其三边长。

总结起来，平方差公式在几何中的意义体现在以下几个方面：1.通过平方差公式，我们可以计算出矩形的对角线长度、平行四边形的面积和三角形的面积等几何量，进一步帮助我们解决几何问题。

2.平方差公式展示了几何中不同量之间的关系，例如矩形的对角线与其长度和宽度的平方之间的关系。

3.平方差公式的运用可以简化几何问题的推导过程，减少计算的复杂性。

平方差公式证明推导过程及运用详解

平方差公式证明推导过程及运用详解平方差公式证明推导过程及运用详解（数学简便计算方法之一） -平方差公式是小学奥数计算中的常用公式。

通常写为：a²-b²=(a+b)x(a-b)它的几何方法推导过程是这样的：如下图所示，四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，边长分别为a和b，求阴影部分面积。

纯手绘显然，阴影部分面积有2种求法。

第一种方法阴影面积=大正方形面积-小正方形面积即，阴影面积=a²-b²第二种方法作两条辅助线，延长FG、EG，分别交线段AB、BC与点H、J。

阴影面积=四边形AEGH面积+四边形HBJG面积+四边形GFCJ面积跟G老师一起分别计算下上述三个四边形的边长吧。

纯手绘分别计算出三个四边形的边长后，我们发现四边形GFCJ=四边形AEGH面积。

接下来，我们将四边形GFCJ旋转后挪到四边形HBJG右侧。

即如下图所示，将③移到④后，纯手绘，就认为和上边的图一样吧此刻，阴影部分的面积=①+②+④组成的大矩形面积。

阴影部分面积=(a-b)x[b+(a-b)+b]=(a-b)x(a+b)。

因为第一种和第二种方法都是计算阴影部分面积，所以它们的结果是相等的。

a²-b²=(a+b)x(a-b)当然，代数方法也可以证明。

令A=(a+b)，(a+b)x(a-b)=Ax(a-b)=Axa-Axb (乘法分配律)=(a+b)xa-(a+b)xb（代入A=a+b）=a²+ab-ab-b²=a²-b²【例题】计算：48x52+37x43分析：48和52刚好都与50相差2，37和43刚好与40相差3。

48x52+37x43=(50-2)x(50+2)+(40-3)x(40+3)=50²-2²+40²-3²=2500-4+1600-9=4087这类题目往往不会明确告知你需要用什么技巧简化计算，关键在于自己要熟练掌握，牢记于心，灵活运用。

平方差公式几何证明6种

平方差公式几何证明6种a²-b²=(a+b)(a-b)下面将给出六种几何证明平方差公式的方法。

1.长方形法证明：考虑一个长方形，其中长为a+b，宽为a-b。

将这个长方形分割成两个正方形，一个边长为a，另一个边长为b。

则长方形的面积可以表示为(a+b)(a-b)。

另一方面，根据长方形的面积公式，面积也可以表示为a²-b²。

因此，我们得到了平方差公式。

2.根据勾股定理证明：考虑一个直角三角形，其中一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b。

根据勾股定理，斜边的长度为√(a²+b²)。

另一方面，根据勾股定理的另一个形式，斜边的长度也可以表示为√((a+b)(a-b))。

因此，我们可以得到平方差公式。

3.齐次坐标法证明：考虑一个平面上的点P(a,a²)和Q(b,b²)。

连接P和Q，得到线段PQ。

根据两点间距离公式，PQ的长度为√((a-b)²+(a²-b²)²)。

另一方面，根据斜率公式，PQ的斜率为(a²-b²)/(a-b)=a+b。

因此，我们可以得到平方差公式。

4.几何平均法证明：考虑一个边长为a的正方形，以及一个边长为b的正方形。

边长分别为a和b的两个正方形的面积分别为a²和b²。

将这两个正方形共边放置在一起，形成一个边长为a+b，面积为(a+b)²的正方形。

然后，将边长为b的正方形从这个大正方形中去掉，留下一个边长为a，面积为(a+b)(a-b)的长方形。

另一方面，我们可以推导出，这个留下的长方形的面积也可以表示为a²-b²。

因此，我们得到了平方差公式。

5.抛物线法证明：考虑一个抛物线y=x²。

选择两个点P(a,a²)和Q(b,b²)，其中a>b，并且Q在P的右侧。

连接P和Q，并延长到抛物线上的点R，使得PQ平行于x轴。

83完全平方公式与平方差公式

83完全平方公式与平方差公式完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，这些公式广泛应用于代数和几何中。

下面将详细介绍这些公式。

一、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为一个完全平方加上或减去一个常数。

完全平方公式具体表示如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这里，a和b都是实数，可以是任意实数。

利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式转化为一个完全平方。

例如，对于多项式x²+6x+9，我们可以看到其中的前两项x²和6x分别是完全平方公式的两个完全平方项，而最后一项9是一个常数。

因此，我们可以将该多项式表示为(x+3)²。

完全平方公式的应用非常广泛。

在代数中，我们经常需要将一个二次多项式写成一个完全平方的形式，这样可以更方便地进行计算和分析。

在几何中，完全平方公式可以用来推导出平方和的展开式，从而研究图形的性质。

平方差公式是指一个二次多项式可以表示为两个完全平方的差。

平方差公式具体表示如下：a²-b²=(a+b)(a-b)这里，a和b都是实数，可以是任意实数。

平方差公式表示了一个平方数与另一个平方数的差的关系。

利用平方差公式，我们可以将一个二次多项式转化为两个完全平方的乘积。

例如，对于多项式x²-9，我们可以将其表示为(x+3)(x-3)。

平方差公式的应用也非常广泛。

在代数中，平方差公式可以帮助我们简化和分解二次多项式，从而更方便地进行计算和分析。

在几何中，平方差公式可以用来推导出平方差和的展开式，从而研究图形的性质。

总结：完全平方公式和平方差公式都是数学中常用的公式。

完全平方公式将一个二次多项式表示为一个完全平方加上或减去一个常数，而平方差公式将一个二次多项式表示为两个完全平方的差。

利用这些公式，在代数和几何中可以更方便地计算和分析各种问题，推导出各种展开式，研究各种图形的性质。

八年级数学上册教学课件《平方差公式》

( y-1)( y+5)可以用平方差公式进行运算吗？不能，不符合平方差公式的条件. 自己动手算一算.
解:（1）( y+2)( y-2)-( y-1)( y+5) =y2-4-( y2+4y-5) =1-4y;
（2）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996.
强化练习
【课本P108 练习第2题】
3.运用平方差公式计算：（1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
【课本P108 练习第2题】
3.运用平方差公式计算：（1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
下列式子能用平方差公式计算吗?
① (-3x+2)(3x-2)
② (b+2a)(22y)
能，4a2-b2 ④ (-x+y)(x-y)
能，x2-4y2
不能
随堂演练
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的
是( B )
A.(2a-3b)(-2a+3b)
B.(-3a+4b)(-4b-3a)
思考你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面
积=S.
A
D
E MF BN
S= (a-b)b+(a-b)a = a2-b2
.
方法二：剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，
如图.
A
D(M) N
E
M

平方差公式的几何推导过程

平方差公式的几何推导过程在我们的数学世界里，平方差公式就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多复杂问题的大门。

那今天咱们就一起来瞧瞧平方差公式到底是怎么从几何的角度被推导出来的，这可有趣得很呢！先来说说平方差公式，它就是：(a + b)(a - b) = a² - b²。

那这到底是咋来的呢？咱们假设啊，有一个边长为 a 的正方形。

这正方形整整齐齐，规规矩矩的。

然后呢，在这个正方形的一角，我们切去一个边长为 b 的小正方形。

那剩下的部分就可以分成两部分啦，一部分是一个长为 a，宽为 b 的长方形，另一部分呢，是一个边长为（a - b）的小正方形。

咱们来仔细算算这两部分的面积。

那个长方形的面积就是 a×b ，小正方形的面积就是（a - b）×（a - b）。

而原来那个大正方形的面积是 a×a = a²，切去的小正方形面积是b×b = b²。

所以啊，大正方形剩下的面积就是 a² - b²。

这剩下的面积不就是咱们刚刚说的那两部分面积之和嘛，也就是a×b + （a - b）×（a - b）。

经过整理和计算，就得出了 (a + b)(a - b) = a² - b²。

这就像是我们在玩一个拼图游戏，通过巧妙的组合和拆分，就发现了这个神奇的公式。

再比如说，咱们在装修房间的时候，如果地面是一个大长方形，然后要在一角铺上一块不同颜色的小正方形地砖，那计算剩下需要铺其他地砖的面积，就可以用到这个平方差公式啦。

想象一下，你家要铺地板，工人师傅就得根据房间的尺寸和你要求的特殊区域，用这个公式来算出实际需要铺设新地板的面积，是不是很实用？所以说啊，这个平方差公式可不是凭空冒出来的，它是通过我们对图形的观察和思考，一点点推导出来的。

在我们的日常生活和学习中，只要我们多留心，多观察，就能发现数学无处不在，而且还特别有趣！总之，平方差公式的几何推导过程，就像是一场奇妙的探险，让我们在图形的世界里发现了数学的宝藏。

两数和(差)的平方

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谢谢
两数和(差)的平方
目录
CONTENTS
• 两数和的平方公式 • 两数差的平方公式 • 两数和(差)平方公式的性质 • 两数和(差)平方公式的应用 • 两数和(差)平方公式的扩展
01
CHAPTER
两数和的平方公式
公式推导
公式形式
两数和的平方公式为 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
n个数的和(差)的平方公式
公式
$sum_{i=1}^{n} a_i^2 + sum_{i=1}^{n-1} sum_{ j=i+1}^{n} 2a_ia_j$
解释
该公式是两数和(差)平方公式的进一步扩展，适用于任意个数的和(差)的平方计算。通过将两数和(差)平方公式中的$ab$项扩展到任意多个数的组合，得到n个数的和(差)的平方公式。
平方差公式
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
平方差公式推导
利用二项式定理展开$(a-b)^2$，得到$a^2 - 2ab + b^2$。
平方差公式应用
在代数、几何等领域中，平方差公式常用于计算和证明相关问题。
平方和与平方差的关系
01
关系表达式
$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
公式证明
证明方法
证明意义
通过代数运算，我们可以证明两数和的平方公式。
证明两数和的平方公式有助于我们更好地理解和应用该公式，提高数学运算能力。
证明过程
首先，我们将 $(a+b)^2$ 展开得到 $a^2 + 2ab + b^2$，然后通过代数运算证明该等式成立。

三角函数平方差公式证明

三角函数平方差公式证明
1. 三角函数平方差公式。

- 三角函数中的平方差公式为cos^2α-sin^2α = cos2α。

2. 证明方法一：利用两角和的余弦公式。

- 我们知道cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B。

- 令A = B=α，则cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2α - sin^2α。

3. 证明方法二：利用单位圆和三角函数定义。

- 在单位圆x^2+y^2=1上，设角α终边上一点P(x,y)，根据三角函数定义
cosα=x，sinα = y。

- 对于2α角，我们可以通过几何关系来推导。

- 根据二倍角公式的几何意义，cos2α表示角2α终边上一点横坐标与单位圆半径1的比值。

- 由几何关系可知cos2α=cos^2α-sin^2α（这里详细的几何推导过程需要结合单位圆上的线段关系、相似三角形等知识，过程较为复杂，可参考人教版教材中的详细讲解）。

平方差公式

2
（－2x＋y）（2x＋y）（y－x）（－x－y）
2、简便计算：（1）498×502
（2）999×1001
平方差公式
：
1、（x－1）(x2 +1)(x+1) 2、(a－3)(a+4)(a+3)(a－4)
3、(2a－5b)(2a+5b)(4a2+25b2)
4、20042－2005×2003
平方差公式
自主探究
a
b
请问你有几种方法求红色部分面积？
a
a
b
a
2
b2
a
b
剩下的面积=a2-b2
b
长方形的面积=(a+b)(a-b)
平方差公式平方差公式的特征探讨： 1、请同学们阅读书P38页的内容； 2、请同学们思考三个问题： ①、如何推导？
② 、什么情况下可用这一公式？
③、怎样用？
平方差公式： 2-b2 (a+b)(a-b)=a
平方差公式
分层练习： A组：判断下列多项式乘法中,哪些可以用平方差公式来计算.
1、（x－2y）（x＋2y） ( ) 2、（a－2b）（－a－2b） ( ) 3、（－2m－n）(n + 2m) ( ) 4、(2c－b)( －b－2c) ( ) B组：1、计算： 1 1 （2x＋）（2x－ 2）（－x＋2）（－x－2）
2、①、2a2(a-b+1)= 2a3-2a2b+2a2 ②、-2xy(x2-2x-1)= -2x3y+2x2y+2xy ， 3、计算，写出简单过程： ①、(2x+3)(2x－3) 解:原式=4x2-6x+6x-9=4x2-9 ②、(x+2y)(x － 2y)