冬季北方室内空气交换问题

冬季北方室内开窗换气问题

摘要

北方冬季寒冷，室内外温差大。室内温度在18℃以上人们才感到舒适。为了保暖，各家各户门窗紧闭，减少了开窗换气的时间，使得室内的空气不流通导致室内空气质量差，从而使人们易患呼吸道感染性疾病。“经常开窗换气，保持室内空气新鲜”，在北方已得到了人们的重视，但是通风换气操作不当会造成能源浪费，如何在二者之间达到一种优化的水平是人们一直追求的目标。[1]

本文通过数学微分的方法建立稀释气体的数学模型，分析门窗紧闭的情况下，有害污染物在室内空气的含量随时间的变化关系，说明人们采用门窗紧闭减少开窗换气的时间和次数来取暖的不明智。在些基础之上，对如何解决北方冬季开窗换气进行分析，并确定最佳的换气次数和换气时间，为冬季采用紧闭门窗的方法来取暖，同时又要保证室内空气质量良好的家庭提供参考。

关键词：污染物浓度、开窗换气、微分方程、人体健康 一.问题提出

北方冬季寒冷，室内外温差大。为了保暖，各家各户门窗紧闭，减少了开窗换气的时间，使得室内的空气不流通导致室内空气质量差，从而使人们易患呼吸道感染性疾病。“经常开窗换气，保持室内空气新鲜”，在北方已得到了人们的重视。正是基于这种情况，本文通过数学微分的方法建立稀释气体的数学模型，分析门窗紧闭的情况下，有害污染物在室内空气的含量随时间的变化关系，说明人们采用门窗紧闭减少开窗换气的时间和次数来取暖的不明智。在些基础之上，对如何解决北方冬季开窗换气进行分析，并确定最佳的换气次数和换气时间，为冬季采用紧闭门窗的方法来取暖，同时又要保证室内空气质量良好的家庭提供参考。对北方冬季取暖和保持室内空气质量有很强的现实意义。

二.问题假设

1. 假定室内空气中的有害物浓度是均匀分布的。

2. 假定室内污染源释放污染物的速度是恒定不变的。

3. 假定室外空气有害物浓度不变（即忽略室内排出的有害物对室外空气的影响）

4. 假定开窗换气时，室内外气流交换的速度恒定不变（即气流交换为连续、稳定

的过程）

5. 假定新鲜空气等温且和室内空气的混合瞬间完成。

6. 假定在关闭门窗取暖的时间段内人员进出进行的空气交换可以忽略不计，即在

关闭门窗取暖的时间段内室内外无能量和物质交换。 三.符号说明

:L 开窗时，室内外气流的交换速度（3

/m s

）

:i ρ 新鲜空气（即送入的室外空气）的有害物浓度（3

/g m ）

:p ρ 室内污染源散发的速度（3/g m ）

:t ρ 在某一时刻t 内室内空气中有害物的浓度（3

/g m ）

:r V 房间体积（3

m

）

:s ρ 室内初始时的有害物浓度，即刚关窗时的有害物浓度（3

/g m ）

:e ρ 开窗换气时的室内有害物浓度，即刚开窗时的室内有害物浓度（3

/g m ）

:t 开窗换气的时间（s ） :u t 关闭门窗取暖的时间（s ）

四．模型建立

由题意知，开窗进行通风换气的主要目的是稀释室内的在害物的浓度，保持室内空气的质量。为此，根据房间打开窗户换气时的情况，可以建立如图1所示的等价模型。

图1 房间开窗换气示意图

上述示意图，将室内的各种污染源集中到一处，根据假设该污染源释放的污染物在室内的分布是均匀的。

在整个通风换气的过程中，有害物的排出量（以下简称排出量）应与有害物的产生量相等。根据分析可知，有害物的产生主要来自新鲜空气（简称送入量）和室内污染源散发的有害物（简称散发量），所以有如下等式成立：

送入量 + 散发量

- 排出量 = 开窗时间内有害物的变化量[2] ①

将①式数学化后得出在开窗的一微小时间d t 内，污染物变化的微分方程：

()

i p t r t L dt dt L dt d V ρρρρ+-=

②

式②为开窗换气时，室内污染物的变化微分方程。[3]

以下建立关闭门窗取暖的时间段u t 内，室内空气中有害物的总量。由假设条件6可知，在关闭门窗取暖的时间内，整个房间可看作孤立系统。可建立如图2所示的等价模型。

图2 关闭门窗取暖时的房间示意图

根据分析可知，关闭门窗的情况下，室内污染物的总量应该是室内原有的污染物和u t 时间内室内污染源散发的污染物之和，即有如下等式成立：

室内原有污染物量 + 污染源散发的污染物量 = 室内总的污染物量 ③ 由假设条件可知，室内污染源散发污染的速度恒定不变且很快与室内空气均匀混合。故可将③式具体化为：

s r p u r e V t V ρρρ+= ④

至此，模型建立完毕。 五.模型求解

⑪.对公式②进行变换：

t

r

i p t

d dt V L L ρρρρ=

+-

由常数的微分为零，可将上式改写为：

()1s

e

i p t r

i p t

d L L dt V L

L L ρρ

ρρρρρρ+-=-

+-⎰

⑤

⑫.积分

如果开窗的t 秒，室内有害物浓度从e ρ变化到s ρ，对式⑤两边积分有：

()1s

e

t i p t r

i p t d L L dt V L

L L ρρ

ρρρρρρ+-=-

+-⎰

⎰

⑥

求解⑥式得：

ln

e p i r

s p i L L tL V L L ρρρρρρ--=---

所以 r

tL

e p i

V s p i

L L e

L L ρρρρρρ--=---

⑦

⑬.化简：

根据Taylor 公式，用1r

tL V +

近似代数代替⑦中的r

tL

V e 得：

1e p i s p i

r

L L tL L L V ρρρρρρ--=+

---

对上式求解，得到e ρ为：

(

)(1)

r

r

tL tL p

V V e s i e

e

L

ρρρρ--

=++-

（3

/g m

）⑧

室内污染源