风险管理与金融机构(第二版)Ch09 波动率
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2 n
1 m 其中：u un i m i 1 *************************************************** 另一种形式： Si Si 1 1 m ui ; 假设u un i 0; Si 1 m i 1 1 m 1 m 2 波动率Var (ui )的极大似然估计： (un i u ) (un i ) 2 ...(9 4) m i 1 m i 1
扫描 9-5
GARCH (1,1)模型
2 2 2 n VL un1 n1.......... .......( 9) 9 若记 VL，则： 2 2 2 2 2 2 n un1 n1 un1 ( un 2 n 2 2 2 2 2 2 un1 un 2 2 un 3 3 n 3
且1 2 ... m 0; 1 2 ... m 1. (2) 对(9 5)进行推广，假定存在某 一长期平均方差 L V
2 2 n VL i un i .......... .......... .......... .......... .......... 9 6) ..( i 1 m
【注】 (2)当T很小时，连续复利收益 T 也较小，那么 率 ST S 0 e
T
ST S 0 S 0 (1 T ) T S0
连续复利收益率的方差 变量百分比变化的方差 (3)期权定价时，一般采用 年波动率； 风险控制时，一般采用 日波动率。
隐含波动率
在给期权定价的多个参数变量中，那个不能被直 接观察到的参数称为隐含波动率 由于期权定价模型(如BS模型)给出了期权价格与5 个基本参数(标的股价、执行价格、利率、到期时 间、波动率)之间的定量关系，只要将其中前4个 基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入 定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大 小就是隐含波动率
9.9.1估计常数方差 假如随机变量 服从均值N (0, v )。其观察值 X 为u1 , u2 ,...,um .观察值出现在 ui的概率等于X X 的概率密度函数在 i的取值 u ，即： ui 2 1 exp 2v 2v m 个观察值刚好为 1 , u2 ,...,um的概率为 u 1 ui 2 .......... .......... 9 11) .( 2v exp 2v .......... i 1 要使得(9 11)最大化，等同于使其下 式最大化，即
1 1 m
2 2 i 1un i (1 ) i 1un i i 1 i 1
m
m
扫描 9-4
EWMA模型的特点：
1.计算简单，在前一天波动率预测值基础上更 新一下即可得到第二天波动率预测值 2.λ衡量波动率对最新市场价格百分比变化的 敏感度 3. Morgan(1994)研究表明，λ=0.94常见
满足1 2 ... m 0; i 1;
i 1
m
该模型被称为 ARCH (m)模型，它由Engle(1982 提出 )
9.6 指数加权移动平均模型 EWMA) (
i 1 i , 其中 (0,1), 那么： 1 2 ... n 1 1 ... m 11 1
........ 可见：
i (1)un i的权重为 i 1，以 的指数速度下降。
(2)数据越新，权重越大
9.9 最大似然估计法 【例】某天随机抽取 只股票，发现 只股票价格当天下跌， 10 1 其它9只没有下跌。那么请问 ：再任意选 只股票，其价格 1 当天下降的概率估计是 多少？ 【解】假设任意 只股票价格下降的概率 p, 那么不下降的 1 是 概率是1 - p, 则10只股票正好有 只下降的概率是 ( p) p(1 p) 9 . 1 G ˆ G ' ( p) (1 p)9 9 p(1 p)8 0 p 0.1 【例】某鱼塘中饲养了 黑红黄3种金鱼，随机抽取 条鱼， 100 其中30条是黑鱼， 条是红鱼， 条是黄鱼，请问：此鱼 50 20 塘 黑红黄三种鱼比例各占 多少？ 【例】点名 次，某同学缺席 次，猜想他本学期缺勤 5 2 率为40%
标的资产股票价格 S (t )满足几何Brown运动，
dS(t ) S (t )(dt dB(t ))
S (0) S
无风险利率为 r，敲定价为 K，到期日为 T 的 式看涨期权定价公式：
r
来自百度文库
C(k , t ) SN(d1 ) K exp{ rT }N (d 2 )
d1 d 2 T
T天的波动率 Var( T ) Var ln(ST /S0 ) Var (1 T ) 第i天的波动率 i Var( i ) Var ln(Si /Si-1 ) Var ( i ) 【定律】不定性随时间 的平方根成正比！ 在{ i , i 1,2,...} 独立同分布的假设下， 有： Var (1 T ) T Var( i ) T Var( i ) year 252 day； year 52 week
>3SD
>4SD >5SD >6SD
1.34
0.29 0.08 0.03
0.27
0.01 0.00 0.00
表格数据显示：价格变化百分比未必服从正态分布，可能是某些肥尾分布
图9-2 正态分布与某肥尾分布密度函数的比较
扫描业界事例 9-2
正态分布的替代分布：幂律
幂律：某随机变量v,表示个人收入，城市的规模，
金融风险管理
第九章 波动率
9.1
本章主要内容
波动率(历史数据) 隐含波动率（期权价格） 波动率估计模型
指数加权移动平均模型 自回归条件异方差模型ARCH 广义自回归异方差模型GARCH
9.1 波动率的定义
某个变量的波动率定义为该变量在单位时间内连 续复利收益率的标准差；
假设Si是某个变量在第i天的取值，那么日波动率
m 2 m ui ui2 - ln(v ) v m ln(v ) v i 1 i 1 对上式关于v求导函数，并令其为 ，得到v的最大似然估计 0 m
1 m 2 v ui m i 1
9.9.2 估计GARCH (1,1)或者EWMA模型中参数 假如随机变量U i 服从均值N (0, v i )。其观察值 为u1 , u2 ,...,um . m 个观察值刚好为 1 , u2 ,...,um的概率为 u 1 ui 2 2v exp 2v i 1 i i 要使上式最大化，等同 于使下式最大化，即
d2 ln S 1 ( r 2 )T K 2 T
N ( x)
x
1 2
e
u2 2
du
VIX 指数: S&P 500的隐含波动率的计 算 (图 9.1)
9.3 历史数据估算波动率
汇率的日变化率是否服从正态分布？
表9-2价格变化百分比变化大于1,2,…,6个标准差的天数占全部观察日的比例 SD=0.756%：日价格比率变化的标准差 标准差信数 >1 SD >2SD 现实世界 (%) 25.04 5.27 正态模型 (%) 31.73 4.55
就可以表示为ln(Si /Si-1)的标准差；时间周期为T的 波动率为ln(ST /S0)的标准差
当波动率被用来期权定价时，时间单位选一年； 当用于风险控制时，时间单位选天。T的单位和波 动率的时间单位要统一。
【注】 （ ）ST ST 1e T ST 2 e T 1 e T ... S 0 e1 e T S 0 e1 T 1 ST T天连续复利收益率 T 1 T ln S 0 Si 第i天的连续复利收益率 i ln S i 1 ;
1 m 1 1 1 1 1 m 1 1 2 2 2 2 n 1un 1 2 un 2 ... m un m
2 2 2 1un 1 1un 2 ... m 11un m 2 2 2 2 n 1 1un 2 2 un 3 ... m un m 1 2 2 2 1un 2 1un 3 ... m 11un m 1 2 2 2 2 2 n n 1 1un 1 m1un m 1 (1 ) un 1 2 2 2 n n 1 (1 ) un 1.......... .....(9 8) 2 n 2 i un i i 1 m
2 n
※ (9 - 4)可以看成加权平均值
加权权重的格式 (1)受(9 4)启发，第n天波动率可由此前数据 加权平均得到
2 2 n i un i .......... .......... .......... .......... .......... .......... 9 5) .( i 1 m
m 2 ui - ln(vi ) v i 1 用迭代法可使得上式的 值达到最大 m
9.10 采用GARCH (1,1)模型来预测波动率 GARCH (1，模型下，第n - 1天结束时估算第 天方差为 1) n
2 2 2 n (1 )VL un 1 n 1 2 2 2 n VL ( un 1 VL ) ( n 1 VL ) 2 2 2 n t VL ( un t 1 V L ) ( n t 1 VL ) 2 2 因为Eun t 1 n t 1 , 所以 2 2 2 E[ n t VL ] ( n t 1 VL ) ( n t 1 VL ) 2 ( ) ( n t 1 V L ) 2 2 E[ n t ] VL ( ) t ( n VL )......... .......... 9 14) .(
网页访问量等。当数x较大时，有
Prob(v>x)=Kx -α
其中，K和α为常数。
Prob(v>x)=Kx –α
Ln[Prob(v>x)]= LnK- αLnx
扫描图9-3
9.5 监测日波动率（假设日 波动率非常数） Si 市场变量在第i天末的价格为Si , 第i天连续复利收益率 i ln( u ) Si 1 1 m 波动率Var (ui )的无偏估计： (un i u ) 2 .......... 9 2) ( m 1 i 1
9.7 GARCH (1,1)模型 模型：
2 2 2 n VL un1 n 1.......... .......( 9) 9 满足：，， 皆为正数，且 1
(1)当 0， 1 - ， 时，模型退化为 EWMA 模型 (2)该模型可推广为 GARCH ( p, q ) (3)一般要求 1 (4)有时记 VL
1 m 其中：u un i m i 1 *************************************************** 另一种形式： Si Si 1 1 m ui ; 假设u un i 0; Si 1 m i 1 1 m 1 m 2 波动率Var (ui )的极大似然估计： (un i u ) (un i ) 2 ...(9 4) m i 1 m i 1
扫描 9-5
GARCH (1,1)模型
2 2 2 n VL un1 n1.......... .......( 9) 9 若记 VL，则： 2 2 2 2 2 2 n un1 n1 un1 ( un 2 n 2 2 2 2 2 2 un1 un 2 2 un 3 3 n 3
且1 2 ... m 0; 1 2 ... m 1. (2) 对(9 5)进行推广，假定存在某 一长期平均方差 L V
2 2 n VL i un i .......... .......... .......... .......... .......... 9 6) ..( i 1 m
【注】 (2)当T很小时，连续复利收益 T 也较小，那么 率 ST S 0 e
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ST S 0 S 0 (1 T ) T S0
连续复利收益率的方差 变量百分比变化的方差 (3)期权定价时，一般采用 年波动率； 风险控制时，一般采用 日波动率。
隐含波动率
在给期权定价的多个参数变量中，那个不能被直 接观察到的参数称为隐含波动率 由于期权定价模型(如BS模型)给出了期权价格与5 个基本参数(标的股价、执行价格、利率、到期时 间、波动率)之间的定量关系，只要将其中前4个 基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入 定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大 小就是隐含波动率
9.9.1估计常数方差 假如随机变量 服从均值N (0, v )。其观察值 X 为u1 , u2 ,...,um .观察值出现在 ui的概率等于X X 的概率密度函数在 i的取值 u ，即： ui 2 1 exp 2v 2v m 个观察值刚好为 1 , u2 ,...,um的概率为 u 1 ui 2 .......... .......... 9 11) .( 2v exp 2v .......... i 1 要使得(9 11)最大化，等同于使其下 式最大化，即
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EWMA模型的特点：
1.计算简单，在前一天波动率预测值基础上更 新一下即可得到第二天波动率预测值 2.λ衡量波动率对最新市场价格百分比变化的 敏感度 3. Morgan(1994)研究表明，λ=0.94常见
满足1 2 ... m 0; i 1;
i 1
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该模型被称为 ARCH (m)模型，它由Engle(1982 提出 )
9.6 指数加权移动平均模型 EWMA) (
i 1 i , 其中 (0,1), 那么： 1 2 ... n 1 1 ... m 11 1
........ 可见：
i (1)un i的权重为 i 1，以 的指数速度下降。
(2)数据越新，权重越大
9.9 最大似然估计法 【例】某天随机抽取 只股票，发现 只股票价格当天下跌， 10 1 其它9只没有下跌。那么请问 ：再任意选 只股票，其价格 1 当天下降的概率估计是 多少？ 【解】假设任意 只股票价格下降的概率 p, 那么不下降的 1 是 概率是1 - p, 则10只股票正好有 只下降的概率是 ( p) p(1 p) 9 . 1 G ˆ G ' ( p) (1 p)9 9 p(1 p)8 0 p 0.1 【例】某鱼塘中饲养了 黑红黄3种金鱼，随机抽取 条鱼， 100 其中30条是黑鱼， 条是红鱼， 条是黄鱼，请问：此鱼 50 20 塘 黑红黄三种鱼比例各占 多少？ 【例】点名 次，某同学缺席 次，猜想他本学期缺勤 5 2 率为40%
标的资产股票价格 S (t )满足几何Brown运动，
dS(t ) S (t )(dt dB(t ))
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无风险利率为 r，敲定价为 K，到期日为 T 的 式看涨期权定价公式：
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来自百度文库
C(k , t ) SN(d1 ) K exp{ rT }N (d 2 )
d1 d 2 T
T天的波动率 Var( T ) Var ln(ST /S0 ) Var (1 T ) 第i天的波动率 i Var( i ) Var ln(Si /Si-1 ) Var ( i ) 【定律】不定性随时间 的平方根成正比！ 在{ i , i 1,2,...} 独立同分布的假设下， 有： Var (1 T ) T Var( i ) T Var( i ) year 252 day； year 52 week
>3SD
>4SD >5SD >6SD
1.34
0.29 0.08 0.03
0.27
0.01 0.00 0.00
表格数据显示：价格变化百分比未必服从正态分布，可能是某些肥尾分布
图9-2 正态分布与某肥尾分布密度函数的比较
扫描业界事例 9-2
正态分布的替代分布：幂律
幂律：某随机变量v,表示个人收入，城市的规模，
金融风险管理
第九章 波动率
9.1
本章主要内容
波动率(历史数据) 隐含波动率（期权价格） 波动率估计模型
指数加权移动平均模型 自回归条件异方差模型ARCH 广义自回归异方差模型GARCH
9.1 波动率的定义
某个变量的波动率定义为该变量在单位时间内连 续复利收益率的标准差；
假设Si是某个变量在第i天的取值，那么日波动率
m 2 m ui ui2 - ln(v ) v m ln(v ) v i 1 i 1 对上式关于v求导函数，并令其为 ，得到v的最大似然估计 0 m
1 m 2 v ui m i 1
9.9.2 估计GARCH (1,1)或者EWMA模型中参数 假如随机变量U i 服从均值N (0, v i )。其观察值 为u1 , u2 ,...,um . m 个观察值刚好为 1 , u2 ,...,um的概率为 u 1 ui 2 2v exp 2v i 1 i i 要使上式最大化，等同 于使下式最大化，即
d2 ln S 1 ( r 2 )T K 2 T
N ( x)
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1 2
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u2 2
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VIX 指数: S&P 500的隐含波动率的计 算 (图 9.1)
9.3 历史数据估算波动率
汇率的日变化率是否服从正态分布？
表9-2价格变化百分比变化大于1,2,…,6个标准差的天数占全部观察日的比例 SD=0.756%：日价格比率变化的标准差 标准差信数 >1 SD >2SD 现实世界 (%) 25.04 5.27 正态模型 (%) 31.73 4.55
就可以表示为ln(Si /Si-1)的标准差；时间周期为T的 波动率为ln(ST /S0)的标准差
当波动率被用来期权定价时，时间单位选一年； 当用于风险控制时，时间单位选天。T的单位和波 动率的时间单位要统一。
【注】 （ ）ST ST 1e T ST 2 e T 1 e T ... S 0 e1 e T S 0 e1 T 1 ST T天连续复利收益率 T 1 T ln S 0 Si 第i天的连续复利收益率 i ln S i 1 ;
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※ (9 - 4)可以看成加权平均值
加权权重的格式 (1)受(9 4)启发，第n天波动率可由此前数据 加权平均得到
2 2 n i un i .......... .......... .......... .......... .......... .......... 9 5) .( i 1 m
m 2 ui - ln(vi ) v i 1 用迭代法可使得上式的 值达到最大 m
9.10 采用GARCH (1,1)模型来预测波动率 GARCH (1，模型下，第n - 1天结束时估算第 天方差为 1) n
2 2 2 n (1 )VL un 1 n 1 2 2 2 n VL ( un 1 VL ) ( n 1 VL ) 2 2 2 n t VL ( un t 1 V L ) ( n t 1 VL ) 2 2 因为Eun t 1 n t 1 , 所以 2 2 2 E[ n t VL ] ( n t 1 VL ) ( n t 1 VL ) 2 ( ) ( n t 1 V L ) 2 2 E[ n t ] VL ( ) t ( n VL )......... .......... 9 14) .(
网页访问量等。当数x较大时，有
Prob(v>x)=Kx -α
其中，K和α为常数。
Prob(v>x)=Kx –α
Ln[Prob(v>x)]= LnK- αLnx
扫描图9-3
9.5 监测日波动率（假设日 波动率非常数） Si 市场变量在第i天末的价格为Si , 第i天连续复利收益率 i ln( u ) Si 1 1 m 波动率Var (ui )的无偏估计： (un i u ) 2 .......... 9 2) ( m 1 i 1
9.7 GARCH (1,1)模型 模型：
2 2 2 n VL un1 n 1.......... .......( 9) 9 满足：，， 皆为正数，且 1
(1)当 0， 1 - ， 时，模型退化为 EWMA 模型 (2)该模型可推广为 GARCH ( p, q ) (3)一般要求 1 (4)有时记 VL