等比数列前n项和优秀教案

等比数列的前n项和

一、教学目标

1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

二、教学重点与难点

重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

三、教学设想

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：

四、教学过程

（一）创设问题情景

课前给出复习：等比数列的定义及性质

课首给出引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同

学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?

[设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！]

（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：

穷人30天借到的钱：4652

30)301(3021'30=⨯+=+++= S （万元） 穷人需要还的钱：=++++=292302221 S ?

[直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!]

教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探

究，

292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到

302923022222++++= S ②

若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元）

答案:穷人不能向富人借钱

（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:如何推导等比数列前n 项和公式？（学生很自然地模仿

以上方法推导）

)1(11212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S

)2(111211n n n q a q a q a q a qS ++++=-

（1）-（2）有n n q a a S q 11)1(-=-

推导等比数列前n 项和n S 的公式，教师引导讲完课本上的推导方法

后，

教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发

言）

⎪⎩

⎪⎨⎧≠--=--==1,11)1(1,111q q q a a q q a q na S n n n

学生A ： q a a a a a a n n ====-12312 q a a a a a a n n =++++++∴-1

2132 即 q a s a s n n n =--1)1(11≠--=∴q q q a a s n n 。

学生B ：

1

12111--++++=n n n q a q a q a a s

()()q

a qs a a s q a qs a q a q a a q a n n n n n n -+=-+=+=++++=--111

121111 q a a qs s n n n -=-∴1)1(11≠--=∴q q

q a a s n n [“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！

教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者！让学生享受成功的喜悦！ ]

【基础知识形成性练习】

1、求下列等比数列的各项和：

(1)1，3，9，…，2187 （2）512

1,,81,41,21,1--- 2、根据下列条件求等比数列{}n a 的前n 项和n S

①8,2,21===n q a ②2

1,2,81=

==n a q a (四)数学应用

例1 求等比数列1/2，1/4，1/8……的

(1)前8项的和;

(2)第四项到第八项的和

解 ：（1） 8,2

1,211===n q a 256255211)211(2

18=--=∴n S

（2）5,16

1314===n q a a 256312

11)211(16

15'=--=∴S 例2：在等比数列{}n a 中，

（1）已知 ,2,41=-=q a 求n S

（2）已知 2,243,11===q a a k 求k S

[例1教师板演示范，强调解题的规范。例2、例3学生分析解法，学生不会时要分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。]

【演练反馈巩固性练习】

1、在等比数列{}n a 中，

①已知96,5.171-=-=a a ，求q 和n S

②已知,12,433==S a 求q 和1a

2、求数列)0(1132≠+++++-a a a a a n 的前n 项和。

[允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。然后老师给出评价]

（六）布置作业

1、根据下列条件，求等比数列{}n

a 的前n 项和n S ①: 6,2,31===n q a ②:

21,21,81==

=n a q a