高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四

2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四

1．（本小题满分14分）

已知f(x)=2

22+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=

x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)

2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，

即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①

设ϕ(x)=x 2－ax －2，

方法一：

ϕ(1)=1－a －2≤0，

①⇔⇔－1≤a ≤1，

ϕ(－1)=1+a －2≤0.

∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇

(1)=0

∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：

2a ≥0，2

a <0， ①⇔或

ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0

⇔ 0≤a ≤1 或－1≤a ≤0

⇔ －1≤a ≤1.

∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇

(1)=0

∴A={a|－1≤a ≤1}. （Ⅱ）由222+-x a x =x

1，得x 2－ax －2=0，∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，

x 1+x 2=a ， ∴从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .

x 1x 2=－2，

∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.

要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，

即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②

设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，

方法一：

g(－1)=m 2－m －2≥0，

②⇔

g(1)=m 2+m －2≥0，

⇔m ≥2或m ≤－2.

所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m ≠0时，

m>0， m<0，

②⇔或

g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0

⇔m ≥2或m ≤－2.

所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.

2．（本小题满分12分）

如图，P 是抛物线C ：y=

21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.

（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹

方程；

（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求|

|||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想

和综合解题能力.满分12分.

解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.

由y=2

1x 2，① 得y ＇=x.

∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，

∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-1

1x ， ∴直线l 的方程为y －

21x 12=－11x (x －x 1)， 方法一：

联立①②消去y ，得x 2+

12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点

x 0=2

21x x +=-11x ， ∴

y 0=2

1x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1，得y 0=x 02+2021

x +1(x 0≠0)，

∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+

2021x +1(x ≠0). 方法二：

由y 1=21x 12，y 2=2

1x 22，x 0=221x x +， 得y 1－y 2=21x 12－21x 22=2

1(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)， 则x 0=2121x x y y --=k l =-1

1x ， ∴x 1=－

01x ， 将上式代入②并整理，得

y 0=x 02+2021

x +1(x 0≠0)，

∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021

x +1(x ≠0).

（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).

分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则

=+||||||||SQ ST SP ST |

|||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y=2

1x 2 由消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③

y=kx+b

y 1+y 2=2(k 2+b)，

则

y 1y 2=b 2.

方法一：

∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b

=2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，