一元二次方程优秀公开课课件(比赛课)ppt
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一元二次方程
教学目标：
• 一元二次方程概念 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程应用题
一元二次方程概念
• 一元二次方程概念及一元二次方程一 般式及有关概念．
一元二次方程概念
• 只含有一个未知数（一元），并且未知 数的最高次数是2（二次）的整式方程， 叫做一元二次方程．
一元二次方程特点
• （1）都只含一个未知数x； • （2）它们的最高次数都是2次的； • （3）•都有等号，是方程．
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念； 2 0(a 0) （2）一元二次方程的一般形式 ax bx c •和 二次项、二次项系数，一次项、一次项 系数，常数项的概念及其它们的运用．
第二课时
• 1．一元二次方程根的概念； • 2．根据题意判定一个数是否是一元二次 方程的根及其利用它们解决一些具体题 目．
b b2 4ac x 2a
根公式，得出方程的根
注意:
• ①当时 b 4ac 0 ，方程无解； • ②公式法是解一元二次方程的万能方法； • ③利用 的值，可以不解方程 2 就能判断方程根的情况； b 4ac
2
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判 别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
b b2 4ac x 2a
（
b2 4ac 0 ）
• • • •
一般步骤： 2 ①将方程化为一般形式 ax bx c 0(a 0) ②确定方程的各系数a，b，c，计算 b 2 4ac 的值； ③当b2 4ac 0 ，将a，b，c以及 b2 4ac 的值代入求
例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元 二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二 次项系数；一次项、一次项系数；常数项． • 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+ （x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形 式． • 解：去括号，得： • x2+2x+1+x2-4=1 • 移项，合并得：2x2+2x-4=0 • 其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一 次项系数2；常数项-4．
b
例题：
• 将方程左边配成完全平方式，得到的方 程是（ ） • A、( x 3) 2 3 B、( x 3) 2 6 • 2 2 • C、( x 3) 3 D、 ( x 3) 12
因式分解法
• 一般步骤如下： • ①将方程右边得各项移到方程左边，使方 程右边为0； • ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； • ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； • ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 • 例题：解方程 2
一元二次方程的一般形式．
• 任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，• 都能化成如下形式 ax2 bx c 0(a 0) 这种 形式叫做一元二次方程的一般形式． • 一个一元二次方程经过整理化成 ax2 bx c 0( 后， a 0) 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一 次项，b是一次项系数；c是常数项．
2
例题：
• 将方程 x 4 x 1 0 配方后，原方 程变形为（ ） 2 2 • A． B．( x 4) 3 ( x 2) 3
2
2 ( x 2 ) 3 • C．
( x 2) 5 D．
2公式法Βιβλιοθήκη • 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
一元二次方程的根．
• 为了与以前所学的一元一次方程等只有 一个解的区别，我们称：一元二次方程 的解叫做一元二次方程的根．
直接开平方法
2 ( x a ) b(b 0) 可以用直接开 • 形如的方程
平方法解，两边直接开平方得 x a 或者 x a b ， x a b • 注意：若b<0，方程无解
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次 项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等． • 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3x 11x 4 0
配方法
• 用配方法解一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的一般步骤 • ①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项 系数； • ②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边 为常数项； • ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平 方，把方程化为 ( x m)2 n(n 0) 的形式； • ④用直接开平方法解变形后的方程。 • 注意：当 n 0 时，方程无解
应用拓展
求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0， 不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
• 分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元 二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可． • 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 • ∵（m-4）2≥0 • ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 • ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方 程．
韦达定理（根与系数关系）
• （1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之 后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c 之间有如下关系： • +＝； ＝可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。 • *实根与虚根。 • （2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-P， x1x2=q • （3）以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
教学目标：
• 一元二次方程概念 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程应用题
一元二次方程概念
• 一元二次方程概念及一元二次方程一 般式及有关概念．
一元二次方程概念
• 只含有一个未知数（一元），并且未知 数的最高次数是2（二次）的整式方程， 叫做一元二次方程．
一元二次方程特点
• （1）都只含一个未知数x； • （2）它们的最高次数都是2次的； • （3）•都有等号，是方程．
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念； 2 0(a 0) （2）一元二次方程的一般形式 ax bx c •和 二次项、二次项系数，一次项、一次项 系数，常数项的概念及其它们的运用．
第二课时
• 1．一元二次方程根的概念； • 2．根据题意判定一个数是否是一元二次 方程的根及其利用它们解决一些具体题 目．
b b2 4ac x 2a
根公式，得出方程的根
注意:
• ①当时 b 4ac 0 ，方程无解； • ②公式法是解一元二次方程的万能方法； • ③利用 的值，可以不解方程 2 就能判断方程根的情况； b 4ac
2
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的判 别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
b b2 4ac x 2a
（
b2 4ac 0 ）
• • • •
一般步骤： 2 ①将方程化为一般形式 ax bx c 0(a 0) ②确定方程的各系数a，b，c，计算 b 2 4ac 的值； ③当b2 4ac 0 ，将a，b，c以及 b2 4ac 的值代入求
例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元 二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二 次项系数；一次项、一次项系数；常数项． • 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+ （x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形 式． • 解：去括号，得： • x2+2x+1+x2-4=1 • 移项，合并得：2x2+2x-4=0 • 其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一 次项系数2；常数项-4．
b
例题：
• 将方程左边配成完全平方式，得到的方 程是（ ） • A、( x 3) 2 3 B、( x 3) 2 6 • 2 2 • C、( x 3) 3 D、 ( x 3) 12
因式分解法
• 一般步骤如下： • ①将方程右边得各项移到方程左边，使方 程右边为0； • ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； • ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； • ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 • 例题：解方程 2
一元二次方程的一般形式．
• 任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，• 都能化成如下形式 ax2 bx c 0(a 0) 这种 形式叫做一元二次方程的一般形式． • 一个一元二次方程经过整理化成 ax2 bx c 0( 后， a 0) 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一 次项，b是一次项系数；c是常数项．
2
例题：
• 将方程 x 4 x 1 0 配方后，原方 程变形为（ ） 2 2 • A． B．( x 4) 3 ( x 2) 3
2
2 ( x 2 ) 3 • C．
( x 2) 5 D．
2公式法Βιβλιοθήκη • 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
一元二次方程的根．
• 为了与以前所学的一元一次方程等只有 一个解的区别，我们称：一元二次方程 的解叫做一元二次方程的根．
直接开平方法
2 ( x a ) b(b 0) 可以用直接开 • 形如的方程
平方法解，两边直接开平方得 x a 或者 x a b ， x a b • 注意：若b<0，方程无解
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次 项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等． • 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3x 11x 4 0
配方法
• 用配方法解一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的一般步骤 • ①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项 系数； • ②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边 为常数项； • ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平 方，把方程化为 ( x m)2 n(n 0) 的形式； • ④用直接开平方法解变形后的方程。 • 注意：当 n 0 时，方程无解
应用拓展
求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0， 不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
• 分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元 二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可． • 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 • ∵（m-4）2≥0 • ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 • ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方 程．
韦达定理（根与系数关系）
• （1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之 后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c 之间有如下关系： • +＝； ＝可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。 • *实根与虚根。 • （2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-P， x1x2=q • （3）以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0．