2020年河南省名校联盟高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

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2020届河南省名校联盟高三5月质量检测数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届河南省名校联盟高三5月质量检测数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U=R，集合A={x|﹣2<x<3}，≤2}，则()UB A⋂（）A．[2,3] B．(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) C．(3,4] D．[3,4]答案：D求出集合B，U A，由此能求出B∩(∁U A).解：∵全集U=R，集合A={x|﹣2<x<3}，2}={x|2≤x≤4}，∴∁U A={x|x≤﹣2或x≥3}，∴B∩(∁U A)={x|3≤x≤4}，故选：D.点评：本题考查了集合的交集和补集运算，属于简单题.2．已知复数z2a i=+-1(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则实数a=（）A．52B．52-C．0 D．2答案：B利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，且虚部不为0列式求解. 解：∵z()()()2251122255a ia a aii i i++=+=+=+--+为纯虚数，∴2555aa+⎧=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得a52=-.故选：B.点评：本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．已知函数f(x),14,1xe xmx x⎧<=⎨-≥⎩，若f(m)=1，则实数m的值是（）A．0 BC．0D．0答案：C讨论字母m的范围，求出f(m)的表达式，列出方程求出符合条件的m值. 解：因为函数f(x)141xe xmx x⎧<=⎨-≥⎩，，，当m<1时，有f(m)=e m，e m=1解得m=0，满足条件；当m≥1时，有f(m)=4﹣m2，∴4﹣m2=1，解得m=m=).综上所述，m=0.故选：C.点评：本题考查了解函数方程，分类讨论是常用的数学技巧，需要灵活掌握.4．若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥βC．若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l∥m D．若l⊥α，l∥n，n⊥β，则α∥β答案：D对于A，l∥α或l⊂α；对于B，m∥β或m⊂β；对于C，l与m相交､平行或异面；对于D，由面面垂直的判定定理得α∥β.解：对于A，若l∥m，m∥α，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，若α⊥β，n⊥α，m∥n，则m∥β或m⊂β，故B错误；对于C，若α⊥β，l⊥α，m∥β，则l与m相交､平行或异面，故C错误；对于D，若l⊥α，l∥n，则nα⊥，又n⊥β，所以α∥β，故D正确.故选：D.点评：本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长､b为竹长，则菱形框与矩形框处应依次填（）A ．a<b?;a=a 2a +B ．a<b?;a=a+2aC ．a ≥b?;a=a 2a+D ．a ≥b?;a=a+2a答案：C由程序框图模拟程序的运行，结合题意即可得解. 解：竹逾松长，意为竹子比松高，即a<b ，但这是一个含当型循环结构的程序框图，当不满足条件时，退出循环，故菱形框中条件应为a ≥b ？，松日自半，则表示松每日增加一半，即矩形框应填a=a 2a +. 故选：C 点评：本题考查数学文化和补全程序框图相结合的综合问题，重点考查理解题意，并能正确模拟程序运行，属于基础题型.6．在等比数列{}n a 中，已知134a a =，9256a =，则8a =（） A ．128 B ．64C ．64或64-D ．128或128-答案：D首先利用等比数列的性质可得21324a a a ==，解得22a =±，分情况求得2q或2q =-，利用等比数列项之间的关系求得结果. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由21324a a a ==，解得22a =±，当22a =时，792128a q a ==，得2q ，则981282a a ==；当22a =-时，792128a q a ==-，得2q =-，则98128-2a a ==- .综上8128a =或128-，故选：D. 点评：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列通项公式的基本量的计算，在计算的过程中，属于分类讨论，属于简单题目.7．2020年新型肺炎疫情期间，山东省某市派遣包含甲，乙两人的12名医护人员支援湖北省黄冈市，现将这12人平均分成两组，分别分配到黄冈市区定点医院和黄冈市英山县医院，则甲､乙不在同一组的概率为（） A ．511B ．611C ．12D ．23答案：B设“甲､乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n 612C ==924，甲､乙在同一组包含的基本事件个数m 4102C ==420，由此能求出甲､乙不在同一组的概率. 解：解：设“甲､乙不在同一组”为事件M ，12名医护人员平均分配到两所医院的基本事件总数为n 612C ==924，甲､乙在同一组包含的基本事件个数m 4102C ==420，∴甲､乙不在同一组的概率P=14206192411m n -=-=. 故选：B 点评：本题考查古典概型的应用问题，重点考查分组分配题型，属于基础题型，本题的关键善于用所求事件的对立事件求概率.8．函数()()25cos xxx x f x e e--=+的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．答案：A由函数解析式判断函数的定义域和函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值，以及函数值的分布，运用排除法得解. 解：函数的定义域为R ，且()()(()()225[)cos 5cos x xx xx x x x f x f x e e e e --⎤----⎦-===++，∴函数f(x)为偶函数，故排除B 选项；又()502f =-，故排除C 选项；当1x >时，2cos x x >，故当1x >时，()0f x >，故排除D 选项. 故选：A 点评：本题考查根据函数的解析式判断函数的图象，属于基础题型，这类题型一般都是根据函数图象的特征判断函数是否有奇偶性，以及特殊点，函数值的分布，以及单调性，极值点等性质相结合排除选项.9．直线l ：x ﹣y 2+=0将圆O ：224x y +=分成的两部分的面积之比为（） A ．(4π3-π3B ．(4π﹣3π3C ．(2π﹣3π3) D ．(2π﹣3π3答案：B根据题意，设直线l 与圆O ：x 2+y 2=4交于点M ､N ，过点O 作OP ⊥MN ，垂足为点P ，求出|OP|的值，结合直线与圆的位置关系可得∠MON 23π=以及3S △MON 和S 扇形OMN的值，据此可得直线l 将圆O 分成的两部分的面积，计算即可得答案. 解：解：根据题意，设直线l 与圆O ：x 2+y 2=4交于点M ､N ，过点O 作OP ⊥MN ，垂足为点P ，则点O 到直线l 的距离|OP|211==+1，又由圆O ：x 2+y 2=4的半径|OM|=r=2，则∠MOP 3π=，则∠MON 23π=；同时|MP|22||413OM OP =-=-=，则3且S △MON 12=⨯|OP|×|MN|3= 则S 扇形OMN 1223π=⨯⨯r 243π=，则劣弧对应的弓形的面积S 1433π= 另一部分的面积S 2=πr 2﹣S 1=4π﹣(433π-833π=+ 故两部分的面积之比12434333883333S S ππππ-===++(4π﹣3：(8π3故选：B. 点评：本题圆中扇形面积，弓形面积的计算，考查直线和圆相交所得弦长的计算，是中档题.10．设无穷等差数列{}n a 的各项都为正数，且其前n 项和为n S ，若20172017S =，则下列判断错误的是（） A ．10091a = B ．10101a ≥C ．20162016S >D ．20192019S ≥答案：C由等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，可得1009a .由无穷等差数列{}n a 的各项都为正数，可得公差0d ≥，逐项判断，即得答案. 解：()120171009201710092017201722017201722a a a S a +⨯====，10091a ∴=，故A 正确.∵无穷等差数列{}n a 的各项都为正数，∴公差0d ≥，10101a ∴≥，故B 正确.()()12016201610081009100920161008100821008220162a a S a a a +==+≤⨯=⨯=，故C 错误.()12019101020191010201920192201920191201922a a a S a +⨯===≥⨯=，故D 正确. 故选：C. 点评：本题考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，属于基础题.11．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，先将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移72π个单位长度，得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（）A ．函数()g x 是奇函数B ．函数()g x 在区间[]2,0π-上是增函数C ．函数()g x 图象关于()3,0π对称D ．函数()g x 图象关于直线3x π=-对称答案：D先由三角函数的图像求出()f x ，然后结合三角函数图像的平移变换及伸缩变换求出()g x ，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解.解：由图得函数的周期724123T ππππω⎛⎫=-⨯== ⎪⎝⎭，所以2ω=. 因为函数的图象过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()73262k k Z ππϕπ+=+∈，所以()23k k Z πϕπ=+∈.因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到sin 33x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得函数的图象向左平移72π个单位长度，得到()g x 17131sin sin cos 323323x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 对于A 选项，因为函数()g x 为偶函数，故A 错误；对于B 选项，令[]()12,23x k k k Z πππ∈+∈，则[]()6,36x k k k Z πππ∈+∈，而[]2,0π-[]()6,36k k k Z πππ+∈，故B 错误；对于C 选项，令()132x k k Z ππ=+∈，则()332x k k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心为()33,02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D 选项，令()13x k k Z π=∈，则3x k π=()k Z ∈，所以函数的对称轴为()3x k k Z π=∈，当1k =-时，有3x π=-，即D 正确. 故选：D.本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.12．定义在[0,+∞)上的函数()f x 满足：()()xf x f x e '+=12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.其中()f x '表示()f x 的导函数，若存在正数a ，使得2148x x af a e⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭成立，则实数x 的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．(][),12,-∞-⋃+∞C ．[][]1,01,2-⋃D ．[][]2,11,2--答案：C由()()x f x f x e'+=可得()'xe f x ⎡⎤=⎣⎦令()()xg x e f x =，求出()()',f x f x ，判断()f x的单调性.若存在正数a ，使得2148x x af a e⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭成立，只需2142x x f f ⎛⎫-⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合()f x 的单调性，解不等式即得答案. 解：由()()f x f x '+=()()'x e f x f x ⎡⎤+=⎣⎦，即()'x e f x ⎡⎤=⎣⎦令()()xg x e f x =，则()()xg x f x e=，且()'g x =，故()()'xg x f x e=，令()(),0h x g x x =>，则()'h x =. 当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()'0,h x h x >∴单调递增，当12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()()'0,h x h x <∴单调递减，故()max 102h x h ⎛⎫==⎪⎝⎭，即()0h x ≤，()'0f x ∴≤且不恒为0，故f(x)在()0+∞，上单调递减.10,8a a a e >∴+≥=18a a e =，即a =时取等号.存在正数a ，使得2148x x af a e ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭成立，即存在正数a ，使得2142x x f f ⎛⎫-⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又f(x)在[)0+∞，上单调递减.， 21042x x -∴≤≤，解得10x -≤≤或12x ≤≤. 故选：C. 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查基本不等式，属于较难的题目. 二、填空题13．已知向量()2,1a =-，()4,3b =，()1,c λ=-，若()//a b c +，则λ=___________. 答案：2-求出a b +的坐标，根据向量共线的坐标表示即得答案. 解：()()24,1,a b c λ+==-，.()//,240,2a b c λλ+∴+=∴=-，故答案为：2-. 点评：本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题. 14．二项式613()2x x -的展开式中的常数项是___________.(用数字作答) 答案：1352-先求出展开式的通项，再令x 的指数为0，即可求解. 解：二项式613()2x x -的展开式的通项为62616613322rr rr r r r x T C C x x --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令260,3r r -=∴=.故二项式613()2x x -的展开式中的常数项是：336313522C ⎛⎫-=-⎪⎝⎭. 故答案为：1352-. 点评：本题考查二项式定理，属于基础题.15．在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒且3AB AC ==，14BB =，则此三棱柱外接球的表面积为______.答案：52π先作出ABC ，111A B C △的外心M ，P ，由球的对称性可得球心O 为MP 的中点，然后结合勾股定理求出球的半径,再结合球的表面积公式求解即可. 解：解:如图，作出ABC ，111A B C △的外心M ，P ，易证MP ⊥平面ABC ，又M ，P 为截面圆的圆心，所以直三棱柱111ABC A B C -外接球的球心在MP 上，由球的对称性可得O 为MP 的中点，连接PB ，MA ，OB .在ABC 中，因为=3AB AC =，所以==30ABC ACB ∠∠︒. 所以由正弦定理得32=6sin 30MB =︒，解得3MB =. 易证14MP BB ==，所以122OM MP ==，所以由勾股定理得OB ===，即外接球的半径R =所以此三棱柱外接球的表面积为2244S R ππ==52π=.故答案为：52π. 点评：本题考查了空间几何体外接球问题，重点考查了球的表面积公式，属中档题.16．已知椭圆C ：2222x y a b +=1(a>b>0)的左､右焦点分别为12,F F ，且椭圆C 与双曲线C'：2222x y a -=1共焦点，若椭圆C 与双曲线C'的一个交点M 满足122MF MF ⋅=，则12MF F △的面积是___________. 答案：1由椭圆和双曲线的定义可得12122MF MF a MF MF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得122222MF a MF ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再代入122MF MF ⋅=，解得a 的值，从而得|MF 1|､|MF 2|和|F 1F 2|的长，由勾股定理可知，12MF F ∆是直角三角形，结合面积公式，即可求解. 解：由题意，将双曲线C'：2222:1x C y a'-=化成标准形式为22212x y a -=，不妨设点M 在双曲线的右支上，则由椭圆和双曲线的定义，可得121222MF MF a MF MF a ⎧+=⎪⎨-==⎪⎩，解得122222MF a MF a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为122MF MF ⋅=2=，解得2a =或2a =-(舍负)，所以1222MF MF =+=，双曲线的焦距12F F == 显然有2221212||||MF MF F F +=，所以12MF F ∆是直角三角形，所以12MF F ∆的面积为：((12121122122MF F S MF MF =⋅⋅=⨯⨯-=. 故答案为：1. 点评：本题主要考查了椭圆和双曲线的定义、标准方程的应用，以及焦点三角形的面积的求解，其中解答中熟练应用椭圆的定义列出方程，求得a 的值，得出三角形为直角三角形是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 三、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()cos cos 2B C aCb c+=+. （1）求角A 的大小；（2）若a=b =ABC 的面积.答案：（1）23π；（2）12-（1）由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式，进行化简可求cos A ，进而可求A ；（2）由已知结合余弦定理可求c ，然后结合三角形的面积公式即可求解. 解：（1）∵()cos cos cos 2cos B C a ACb c C+-==+，由正弦定理可得sin cos 2sin sin cos A AB C C-=+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴+=-，()()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B ∴=-+=-+=-，sin 0,c 1s 2o B A =-≠.20,3A A ππ<<∴=.（2）∵a=b =23A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得21483222c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解可得c =c =-（舍去）.(111222ABCSbcsinA ∴==⨯=-点评：本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考查两角和的正弦公式，属于基础题. 18．现有一种水上闯关游戏，共设有3个关口，如果在规定的时间内闯过了这3个关口，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏.假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为211322，，，且各关口能否顺利闯过相互独立.（1）求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；（2）记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为X ，求X 的分布列及数学期望. 答案：（1）小张、小王、小李分别为：827，18，18.（2）分布列答案见解析，()59108E X = （1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，结合相互独立事件的乘法公式即可求解；（2）可确定X 的所有可能取值为：0，1，2，3，再由（1）的结论分别计算出对应概率值，然后求解期望即可；解：（1）记小张、小王、小李闯关成功的事件分别为：A ，B ，C ，则P(A)328()327==；P(B)311()28==；P(C)311()28==；（2）易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3； P(X=0)197793127881728=⨯⨯=；P(X=1)87719171971658 2788278827881728 =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；P(X=2)8178711911131 2788278827881728 =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P(X=3)8118 27881728 =⨯⨯=.所有随机变量的分布列为：X 0 1 2 3P93117286581728131172881728故E(X)=0859123 1728172817281728108⨯+⨯+⨯+⨯=.点评：本题考查相互独立事件对应概率的计算及离散型随机变量分布列与期望的求解，属于中档题19．如图，四边形ABCD为正方形，PA∥CE，AB=CE12=PA，PA⊥平面ABCD.（1）证明：PE⊥平面DBE；（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.答案：（1）证明见解析.（2）30 6（1）连结AC，推导出BD⊥AC，PA⊥BD，PA⊥AD，从而BD⊥平面APEC，进而BD⊥PE，推导出PE ⊥DE，由此能证明PE⊥平面DBE.（2）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣E的正弦值.解：（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面APEC，∵PE⊂平面APEC，∴BD⊥PE，设AB=1，则AD=1，PA=2，∴PD5=同理解得DE 2=，在梯形PACE 中，解得PE 3=，∴PE 2+DE 2=PD 2，∴PE ⊥DE ，∵BD ∩DE=D ， ∴PE ⊥平面DBE.（2）以A 为原点，AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，令AB=1，则CE=1，AP=2，∴P(0，0，2)，E(1，1，1)，D(1，0，0)，B(0，1，0)，EP =(﹣1，﹣1，1)，DP =(﹣1，0，2)，BP =(0，﹣1，2)，BD =(1，﹣1，0)，设平面DPE 的法向量n =(x ，y ，z)，则020n EP x y z n DP x z ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，取z=1，得n =(2，﹣1，1)，设平面BPD 的法向量m =(a ，b ，c)，则020m BD a b m DP a c ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩，取c=1，得m =(2，2，1)，设二面角B ﹣PD ﹣E 的平面角为θ，则6|cos |6m n m nθ⋅==⋅， ∴二面角B ﹣PD ﹣E 的正弦值sin θ26301()6=-=.点评：本题考查了线面垂直的判定，重点考查了空间向量的应用，属中档题.20．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0P 的直线l 交抛物线C 于()11,A x y 和()22,B x y 两点.（1）当128x x +=时，求直线l 的方程；（2）若过点()2,0P 且垂直于直线l 的直线l '与抛物线C 交于M 、N 两点，记ABF 与MNF 的面积分别为1S 与2S ，求12S S 的最小值.答案：（1）20x y --=或20x y +-=；（2）12.（1）设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，结合条件128x x +=可求得m 的值，进而可求得直线l 的方程；（2）设直线l 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求得AB ，利用三角形的面积公式可求得1S ，同理可得出2S 的表达式，然后利用基本不等式可求得12S S 的最小值. 解：（1）直线l 过的定点()2,0P 在横轴上，且直线l 与抛物线相交，则斜率一定不能为0，所以可设直线l 方程为2x my =+.联立224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2480y my --=，由韦达定理得124y y m +=，128y y =-，所以()21212122244444x x my my m y y m m m +=+++=++=⋅+=+.因为128x x +=，所以2448m +=，解得1m =±. 所以直线l 的方程为20x y --=或20x y +-=；（2）根据（1），设直线l 的方程为2x my =+.联立224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2480y my --=，由韦达定理得124y y m +=，128y y =-，则1121211122S PF y y y y =⋅-=⨯⨯-====. 因为直线MN 与直线l 垂直，且当0m =时，直线l 的方程为2x =，则此时直线l '的方程为0y =.但此时直线l '与抛物线C 没有两个交点，所以不符合题意，所以0m ≠. 所以直线l 的斜率为1m，可得2S =12S S ∴===12≥=，当且仅当1m =±时，等号成立，因此，12S S 的最小值为12. 点评：本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形面积乘积最值的计算，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数g （x ）＝e x ﹣ax 2﹣ax ，h （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ．其中e 为自然对数的底数．（1）若f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）． ①讨论f （x ）的单调性；②若函数f （x ）有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．（2）已知a ＞0，函数g （x ）恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：()2124x x ln a +＜．答案：（1）①见解析；②（0，1）；（2）证明见解析（1）①对()f x 求导,分别讨论0a ≤与0a >的情况即可；②由①若()f x 有两个不同的零点,则0a >,由于当x →0时,f （x ）→+∞；当x →+∞时,f （x ）→+∞,则只需使得()0min f x ＜即可,进而求解；（2）先对()g x 求导,由题可得12122020x x e ax a e ax a ⎧--=⎨--=⎩,两式相减可得()1212122x x e e a x x x x -=-＜,转化()2124x x ln a +＜为()12122121x x x x x x ee----＞,设()120t x x t =-<,即证210tt te e -+＞,进而利用导函数判断单调性证明即可. 解：（1）f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ﹣e x +ax 2+ax ＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx （x ＞0）,①()()()()()22212111'22ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==（x ＞0）, （i ）当a ≤0时,f ′（x ）＜0,函数f （x ）在（0,+∞）上递减；（ii ）当a ＞0时,令f ′（x ）＞0,解得1x a ＞；令f ′（x ）＜0,解得10x a＜＜, ∴函数f （x ）在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减,在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递增；综上,当a ≤0时,函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时,函数f （x ）在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减,在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ②由①知,若a ≤0,函数f （x ）在（0,+∞）上单调递减,不可能有两个不同的零点,故a ＞0；且当x →0时,f （x ）→+∞；当x →+∞时,f （x ）→+∞；故要使函数f （x ）有两个不同的零点,只需21121()()0min a f x f a ln a a a a -⎛⎫==⋅+-⎪⎝⎭＜,即110lna a-+＜, 又函数11y lnx x =-+在（0,+∞）上为增函数,且11101ln -+=,故110lna a -+＜的解集为（0,1）,故实数a 的取值范围为（0,1）（2）证明:g ′（x ）＝e x﹣2ax ﹣a,依题意,则12122020x x e ax a e ax a ⎧--=⎨--=⎩,两式相减得,()1212122x x e e a x x x x -=-＜,因为a ＞0,要证()2124x x ln a +＜,即证1222x x ln a +＜,即证1212212x x x x e e e x x +--＜，两边同除以2x e ,即证()12122121x x x x x x ee ----＞,令t ＝x 1﹣x 2（t ＜0）,即证210tt te e -+＞,令()()210tt h t te e t =-+＜,则()22'12t tt h t e e ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,令()212tt p t e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则()21'12tp t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当t ＜0时,p ′（t ）＜0,所以p （t ）在（﹣∞,0）上递减,∴p （t ）＞p （0）＝0, ∴h ′（t ）＜0,∴h （t ）在（﹣∞,0）上递减,∴h （t ）＞h （0）＝0,即210tt te e -+＞,故()2124x x ln a +＜.点评：本题考查利用导函数判断函数单调性,考查极值点的应用,考查不等式的证明.22．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点()1,2--A 且斜率为1的直线1l 与曲线C ：34cos ,44sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α是参数）交于,P Q两点，与直线2l ：cos 2sin 40ρθρθ++=交于点N . （1）求曲线C 的普通方程与直线2l 的直角坐标方程；（2）若PQ 的中点为M ，比较PQ 与MN 的大小关系，并说明理由.答案：（1）22(3)(4)16x y -+-=；240x y ++=（2）PQ MN >，详见解析（1）将方程34cos 44sin x y αα=+⎧⎨=+⎩消参得到22(3)(4)16x y -+-=，即为曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转化关系，将cos 2sin 40ρθρθ++=化为240x y ++=，即为直线2l 的直角坐标方程；（2）联立2210(3)(4)16x y x y --=⎧⎨-+-=⎩消去y 得2890x x -+=，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则由中点公式，得点M 的坐标是1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由韦达定理得到点M 的坐标是(4，3)，联立24010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，求得点N 的坐标是25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，应用两点间距离公式和弦长公式求得PQ 与MN 的值，比较可得结果.解：（1）由34cos 44sin x y αα=+⎧⎨=+⎩得：()222222(3)(4)(4cos )(4sin )16cos sin 16x y αααα-+-=+=+=，故曲线C 的普通方程是22(3)(4)16x y -+-=；由cos 2sin 40ρθρθ++=及公式cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩得240x y ++=，故直线2l 的直角坐标方程是240x y ++=.（2）因为直线1l 过点(1,2)A --且斜率为1，所以根据点斜式得，直线1l 的方程为(2)1(1)y x --=⨯+，即10x y --=.曲线C ：22(3)(4)16x y -+-=是以点(3,4)C 为圆心，4r =为半径的圆，联立2210(3)(4)16x y x y --=⎧⎨-+-=⎩消去y 得2890x x -+=. 设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则由中点公式，得点M 的坐标是1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由韦达定理，得128x x +=，129x x =，所以1212121126y y x x x x +=-+-=+-=，所以点M 的坐标是(4，3).联立24010x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得2353x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点N 的坐标是25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭.所以由两点间的距离公式，得||3MN ==. 所以由弦长公式，得弦长12||PQ x =-===因为7033-=-=<，所以3<故PQ MN >. 点评：该题考查的是有关选修4-4的内容，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向直角坐标方程的转化，直线被曲线所截弦长问题，两点间距离公式，属于中档题目.23．已知函数()323f x x =--.（1）求不等式()1313f x x +>+⎡⎤⎣⎦的解集；（2）若关于x 的不等式()f x mx m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围.答案：（1）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）[]3,1-- （1）根据题意，将不等式转化为1323313x x ⎡--+⎤>+⎣⎦，进一步化简得到21x x ->+，两边平方求得结果，得到不等式的解集；（2）画出函数()39,233,2x x f x x x -⎧=⎨-<⎩的图象，以及直线y mx m =+，观察图象，得到实数m 的取值范围.解：（1）由()323f x x =--及()1313f x x +>+⎡⎤⎣⎦，得1323313x x ⎡--+⎤>+⎣⎦，得21x x ->+，等价于()()2221x x ->+，所以224421x x x x -+>++所以63x <，所以12x <. 即不等式()1313f x x +>+⎡⎤⎣⎦的解集是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）函数()39,232333,2x x f x x x x -⎧=--=⎨-<⎩作出函数()39,233,2x x f x x x -⎧=⎨-<⎩与函数y mx m =+的图象如下图所示：易知函数39,2()33,2x x f x x x -⎧=⎨-<⎩的最低点是(2,3)N -，函数y mx m =+可化为(1)y m x =+，其图象恒经过点(1,0)M -，数形结合易知，直线MN 的斜率为1-.直线(1)y m x =+以(1,0)M -为中心在直线l 和MN 之间转动时（含边界）满足题目条件，否则是不满足条件.所以31m -≤≤-.故不等式()f x mx m ≥+恒成立，实数m 的取值范围为[]3,1--.点评：该题考查的是有关选修4-5的内容，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，根据恒成立求参数的取值范围，属于中档题目.。

2020届河南省名校联盟高考数学冲刺试卷(四)(5月份)(含解析)

2020届河南省名校联盟高考数学冲刺试卷(四)(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2−2>0}，全集I=R，则A∩∁I B为()A. {x|x≥√2或x≤−√2}B. {x|x≥−1或x≤√2}C. {x|−1≤x≤√2}D. {x|−√2≤x≤−1}2.复数z1，z2互为共轭复数，若z1=1−2i，则z1−z2=()A. −4iB. 4iC. 0D. 23.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线C于点M，|FM|=|HM|，则双曲线C的离心率为()A. 2B. √3C. √62D. √24.某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x(百件)与单位成本y(元)满足回归直线方程ŷ=100.36−14.2x，则以下说法正确的是()A. 产量每增加100件，单位成本约下降14.2元B. 产量每减少100件，单位成本约上升100.36元C. 产量每增加100件，单位成本约上升14.2元D. 产量每减少100件，单位成本约下降14.2元5.已知函数f(x)=x2−5x−log2x+7，其零点的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 36.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)。

则该几何体的体积为()A. 2B. 3C. 4D. 57.执行如图所示的程序框图，如果输入t∈[−1,2]，则输出的s的值属于()A. [−1,12]B. [12,2]C. [12,1]D. [12,4]8.给出下列四个：函数f()=inx+√3csx的最大值为；函数fxsicosx−1的周期为2π；函数()=sin(x+π4)在−π2,π2]上是函数．其中正确命题的个数()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是()A. y2=12xB. y2=3xC. x2=6yD. y2=6x10.已知△ABC中，AB=4，BC=3，AC=5，现以AB为轴旋转一周，则所得几何体的侧面积为()A. 9πB. 12πC. 15πD. 24π11.某旅馆有三人间、两人间、单人间三种房间各一间，有3位成人带2个小孩来住宿，小孩必须有成人陪同，则不同的住宿方法有()A. 18种B. 21种C. 27种D. 35种12.函数f(x)=−|x−5|+2x−1的零点所在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：．14.已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，d⃗满足|a⃗|=|b⃗ |=1，|c⃗|=2，a⃗⋅b⃗ =0，|c⃗−d⃗|=1，则|2a⃗+b⃗ +d⃗|的取值范围为______．15.若x，y满足{x+y≤6x≥1y≥3，则yx的最大值为______．16.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=−513，则sinB=____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a 1+a 5=12，S 7=56．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}满足b n=a 1+a 2+a 3+⋯+a n，求数列的前n项和T n．18.在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，点E在SD上，且。

河南省2020届高三(5月份)高考数学(理科)适应性试卷及答案解析

河南省2020届高三（5月份）高考数学（理科）适应性试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2iz i+=，则z =（） A.12i -B.12i +C.2i +D.2i -2.设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则下列选项正确的是（）A.()1,3A B ⋂=B.[)1,4A B =C.(]1,4AB =- D.{}0,1,2,3,4AB =3.某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据()()1,,2,,50i i x y i =，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8385.71yx =-，则下列结论中不正确的是（） A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(),x yC.若某应聘大学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.83kgD.若某应聘大学生身高为170cm ，则可断定其体重必为55.39kg4.“0m =”是“直线0x y m +-=与圆()()22112x y -+-=相切”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5.已知向量()3,1a =，()1,3b m =-，若向量a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为（）A.()1+∞B.()1++∞C.(()1133,+++∞D.(()1133,+++∞6.设函数()sin f x x x =，[]0,2x π∈，若01a <<，则方程()f x a =的所有根之和为（）A.43π B.2πC.83π D.73π 7.若对任意正数x ，不等式22214a x x++恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.[0，)+∞B.1[,)4-+∞C.1[,)4+∞ D.1[,)2+∞8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（） A.15B.25C.35D.459.已知函数()[]22ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（）A.1B.2C.3D.410.已知过双曲线22:184x y C -=的左焦点F 的直线l 与双曲线左支交于点A ，B ，过原点与弦AB 中点D 的直线交直线3x =-于点E ，若AEF 为等腰直角三角形，则直线l 的方程可以为（）A.(30x y +-+=B.(30x y -++=C.(30x y +--=D.(30x y +++=11.设n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且3245n n S n T n +=+.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且143a a AP AB ACb λ+=⋅+⋅，则实数λ的取值为（） A.2825B.325-C.328D.1825-12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：S=12×弦×矢+12×矢2.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：V=12×圆面积×矢+12×矢3.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000m 2，建筑容积约为340000m 3，估计体育馆建筑高度(单位：m )所在区间为（）参考数据: 323+18000×32=608768，343+18000×34=651304，363+18000×36=694656，383+18000×38=738872，403+18000×40=784000.A. (32,34)B. (34,36)C. (36,38)D. (38,40)第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.若x ，y 满足线性约束条件604400x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.14.过抛物线216x y =的焦点F 的直线AB 被F 分成长度为m ，n 的两段()m n >，请写出一个m ，n 满足的等量关系式______.15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{}n a （单位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金1a （万元）的3倍，已知2212200a a +=，则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_______万元.三、解答题（题型注释）满足AB AD ⊥，4AB =，AC =2BCD BCA ∠=∠，ABC 的面积为4.（1）求BC的长；（2）求ACD△的面积.17.人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国，有39个项目入选，总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户，有7项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2019年春节期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.（2）为吸引游客，超市推出一种优惠方案，举行购买特产，抽奖赢取非物质文化遗产体验及返现的活动，凡是购买金额不少于60元可抽奖三次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），每中奖一次体验1次，同时减免5元；每中奖两次体验2次，减免10元，每中奖三次体验2次，减免15元，若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.附参考公式和数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.且2BC =，1BF EF CE AD ====，AB =ABF ⊥平面BCEF .（1）证明：AB CE ；（2）求二面角A DF C --的余弦值. 19.已知圆(22:16C x y -+=，点()G ，P 是圆C 上一动点，若线段PG 的垂直平分线和CP 相交于点M . （1）求点M 的轨迹方程E .（2）已知直线():0l y kx m m =+≠交曲线E 于A ，B 两点.①若射线BO 交椭圆221164x y +=于点Q ，求ABQ △面积的最大值；②若OA OB ⊥，OD 垂直AB 于点D ，求点D 的轨迹方程. 20.已知函数()()xf x xex R -=∈.（1）判断函数()f x 的单调性；（2）若方程()22310f x a a +-+=有两个不同的根，求实数a 的取值范围；（3）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，求证：()12ln ln 2x x +>.21.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l的参数方程为1cos sin x t ay t α=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 和直线l 的一般方程；（2）已知点()1,0P ，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，若125PA PB ⋅=，求直线l 的一般方程.22.已知函数()2f x x x m =-++.（1）若1m =，求不等式()3f x x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.四、新添加的题型23.函数222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1f x ≥恒成立，则a 的取值范围是_____.参考答案1.B【解析】1.根据复数的除法运算，可求12z i =-，再根据复数与共轭复数的关系，即可求出结果. 因为()22212i ii z i i i++===-，所以12z i =+. 故选：B. 2.C【解析】2.先化简集合,A B ，结合选项进行判断.因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214xB y y x y y ==∈=≤≤，所以[)1,3A B ⋂=，(]1,4A B =-.故选：C 3.D【解析】3.根据线性回归方程分析，x 的系数为正则正相关；线性回归方程必过样本中心点；利用线性回归方程分析数据时只是估计值，与真实值存在误差.由于线性回归方程中x 的系数为0.83，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确；线性回归方程必过样本中心点(),x y ，故B 正确；由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1cm ，其体重约增加0.83kg ，故C 正确；当某大学生的身高为170cm 时，其体重估计值是55.39kg ，而不是具体值，故D 不正确. 故选：D 4.B【解析】4.试题分析：若0m =，则圆()()22112x y -+-=的圆心)1,1(到直线0=+y x 的距离为2，等于半径，此时圆与直线相切，充分性成立；若直线0x y m +-=与圆()()22112x y -+-=相切，则圆心到直线距离为22|11|=-+m ，解得0=m 或4，故必要性不成立. 5.C【解析】5.先由向量的夹角为锐角，由向量数量积，求出1m >-a ，b 共线时，求出133m =+，进而可求出结果.因为()3,1a =，()1,3b m =-，所以()313a b m ⋅=-+；因为向量a ，b)130m -+>，解得1m >-又当向量a ，b共线时，()10m -=，解得：1m =+ 所以实数m 的取值范围为(()1133,+++∞.故选：C. 6.D【解析】6.先进行化简函数()f x ，利用三角函数的对称性进行求解即可． ∵()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]0,2x π∈， ∴()[]2,2f x ∈-，又01a <<，∴方程()f x a =有两根1x ，2x ，由对称性得1233322x x πππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，解得1273x x π+=.答案： D7.B【解析】7. 原不等式即2214a x x ++，再利用基本不等式求得24x x+的最大值，可得a 的范围．解：依题意得，当0x >时，2222144x a x x x+=++ 恒成立，又因为44x x+，当且仅当2x =时取等号，所以，24x x+的最大值为12，所以1212a +，解得a 的取值范围为1[,)4-+∞．故选：B ． 8.A【解析】8.结合排列、组合求得把6名同学平均分配到三个不同的路口分配种数，再求得甲、乙两人被分配到同一路口种数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.由题意，把6名同学平均分配到三个不同的路口，共有222364233390C C C A A =种分配方案，其中甲、乙两人被分配到同一路口有123418C C =种可能，所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为181905=. 故选：A. 9.D【解析】9.构造函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.设函数()22ln g x x =，()[]33h x x =-，则()()222ln()2ln g x x x g x -=-==，所以函数()g x 为定义域上的为偶函数，作出函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-的图象，如图所示，当10x -<<时，()6h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当01x <<时，()3h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当1x =时，()()0g x h x ==，两函数有1个交点，即1个零点；当23x ≤<时，()3h x =，()4ln 24ln3g x ≤<，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数()[]22ln 33f x x x =-+共4个零点.故选：D.10.A【解析】10.先由题意，得()F -，设:l x my m =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 的方程代入双曲线C 的方程，消去x ，根据韦达定理，以及题中条件，得到22,22D m m ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭，求得直线OD 的方程为2m y x =，求出33E m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，推出EF l ⊥，得到EF AF =，根据题意，求出(3m =±-，即可得出结果.由22:184x y C -=得其左焦点为()F -，则由题意可设:l x my m =-≠，代入双曲线C 的方程，消去x ，整理得()22240m y --+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系，得1222y y m +=-，∴122y y +=()121222m y y x x ++=-=D ⎝⎭∴直线OD 的方程为2my x =.令x =，得y =，即,33E m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴直线EF0m m --=-，∴EF l ⊥，则必有EF AF ===解得13y =±. 又2211184x y -=，∴13x=-，∴(3m =±-，从而直线l的方程为(30x y +-+=或(30x y --+=. 故选：A. 11.B【解析】11.由3245n n S n T n +=+，结合数列的n a 与n S 的关系，分别求得{}n a ，{}n b 的通项公式，进而得到143a ab +的值，再结合向量的共线定理，即可求解. 由题意，n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且3245n n S n T n +=+，不妨取232n S n n =+，245n T n n =+，当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，161n n n a S S n -=-=-，验证得当1n =时上式成立，综上数列{}n a 的通项公式为61n a n =-，同理可得，数列{}n b 的通项公式为81n b n =+，则1432825a ab +=，又由点P 在直线BC 上，设BP k BC =，()()1AP AB BP AB kBC AB k AC AB k AB k AC =+=+=+-=-+2825AB AC λ=+⋅，即28125k -=，325k λ==-.故选：B. 12.B【解析】12.分析：根据所给近似体积公式分别计算ℎ=32,32,36,38,40时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为ℎ(m)，则V =12×18000ℎ+12ℎ3，若ℎ=32，则V =304383；若ℎ=34，则V =325652，若ℎ=36，则V =347328，325652<340000<347328，∴34<ℎ<36，故选B. 13.12【解析】13.由线性约束条件，作出可行域， z 的几何意义为直线的截距，移动直线可得经过A 点，z 取最大值.由线性约束条件，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，22z x y y x z =+⇒=-+，z 的几何意义为直线的截距，作直线2y x =-，平移该直线，当直线经过点()6,0A 时，2z x y =+取得最大值，即maxz 26012=⨯+=. 故答案为：1214.()4mn m n =+【解析】14.先由题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：4y kx =+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到212168y y k +=+，再由题意，得到128y y m n +=+-，121212y y m n kx x x x ，求得2216m nk mn，从而得到()288m n m n m n-+=+-+，求解，即可得出结果. 由题意，()0,4F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为：4y kx =+，由2416y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y ，得到216640x kx --=，所以12121664x x k x x +=⎧⎨=-⎩，所以()212128168y y k x x k +=++=+，又过抛物线216x y =的焦点F 的直线AB 被F 分成长度为m ，n 的两段()m n >，所以14y m =-，24y n =-，128y y m n +=+-，所以121212y y m n kx x x x ，因此222222221212121221612816m n m nm n mnkx x x x y y mnx x ，所以()221216888m n y y k m n m n-+=+=+=+-+，即()()()2216m n m n m n -=+-+，整理得：()4mn m n =+. 故答案为：()4mn m n =+. 15.200【解析】15.设等差数列{}n a 的公差为d ，且满足2212200a a +=.则该镇政府帮扶5年累计总投入：()111254553102a d a a a ⨯+⨯+⨯=+，再利用基本不等式求最值即可. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且满足2212200a a +=.则该镇政府帮扶5年累计总投入：()()111125455310210102002a d a a d a a ⨯+⨯+⨯=+=+≤==，当且仅当1210a a ==时等号成立. 故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元. 故答案为：20016.（1）2BC =；（2）10.【解析】16.（1）由ABC 的面积求得sin BAC ∠的值，进而求得cos BAC ∠，然后在ABC 中利用余弦定理可求得BC 的长；（2）利用勾股定理得出AB BC ⊥，进而推导出DCA BCA CAD ∠=∠=∠，可得出AD CD =，过顶点D 作AC 的垂线，垂足为E ，在Rt ADE △中，利用正弦定理可求得DE 的长，然后利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积.（1）由已知11sin 4sin 422ABC S AB AC BAC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯∠=△，可得sin BAC ∠=，又AB AD ⊥，所以0,2BAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5BAC ∠==. 在ABC 中，由余弦定理2222cos 4BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=，2BC ∴=；（2）由（1）可得：222AC AB BC =+，所以AB BC ⊥，故2BAC BCA π∠+∠=.由AB AD ⊥，得2BAC CAD π∠+∠=，所以∠=∠BCA CAD ，.又2BCD BCA ∠=∠，所以DCA BCA CAD ∠=∠=∠，所以ACD △为等腰三角形，即AD CD =.在ACD △中，过顶点D 作AC 的垂线，垂足为E ，且2ADE CAD π∠+∠=，ADE BAC ∴∠=∠，sin sin cos 2CAD ADE ADE π⎛⎫∴∠=-∠=∠ ⎪⎝⎭，在Rt ADE △中，由正弦定理sin sin DE AECAD ADE=∠∠，可得sin cossin sin AE CAD AE ADEDE ADE ADE∠∠===∠∠所以111022ACD S AC DE =⋅=⨯=△. 17.（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关；（2）分布列见解析，75.【解析】17.（1）根据题中数据可得22⨯列联表，再利用2K 计算公式得出，即可判断出结论．（2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903P +==．利用二项分布列的计算公式即可得出X 的分布列及其数学期望．解：（1）2×2列联表如下：()2901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，.因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关. （2）X 的可能取值为65，70，75，80，且10201903P +==.()3331165327P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()22312270339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.()21312475C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. X 的分布列为所以()6570758075279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.18.（1）证明见解析；（2.【解析】18.（1）取BC 中点M ，连接CF ，MF ，先由题中条件，得到CF BF ⊥，再由面面垂直的性质，以及线面垂直的判定定理，证明AB ⊥平面BCEF ，进而可得出ABCE ；（2）先由题意建立空间直角坐标系，分别求出平面ADF 和平面DFC 的法向量，根据向量夹角公式，求出法向量夹角的余弦值，进而可得出结果. （1）证明：取BC 中点M ，连接CF ，MF ，因为四边形BCEF 为等腰梯形，2BC =，1BF EF CE AD ====，所以//CM EF ，1CM EF ==，所以四边形EFMC 为平行四边形，所以EC MF =，三角形BMF 为等边三角形，所以60CBF ∠=︒，30BCF ∠=︒，90BFC ∠=︒，即CF BF ⊥，又因为CF ⊂平面BCEF ，平面ABF ⊥平面BCEF ，平面ABF 平面BCEF BF =，所以CF ⊥平面ABF ，因为AB平面ABF ，所以CF AB ⊥，又因为AB BC ⊥，BC CF C =，BC ⊂平面BCEF ，CF ⊂平面BCEF ，所以AB ⊥平面BCEF ，又因为CE ⊂平面BCEF ，所以ABCE .（2）据（1）可建立如图所示的空间直角坐标系，所以可求得(A，(D，1,022F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0C .则31,2DF ⎛=-⎝，()0,1,0AD =，(0,1,DC =. 设向量()111,,a x y z =为平面ADF 的一个法向量，则00a DF a AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111110220x y y -=⎪⎨⎪=⎩，所以令2z =，则43,0,3a ⎛= ⎝；设向量()222,,b x y z =为平面DFC 的法向量，则00b DF bDC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即222221022x y y -=⎨⎪-=⎩，令z =(23,b =，所以533cos ,a b a b a b⋅<>==，又二面角A DF C --的平面角为钝角，所以二面角A DF C --的余弦值为33-. 19.（1）2214x y +=；（2）①ABQ ∆面积的最大值为3；②22455x y x ⎛⎫+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】19.（1）根据题意，化简得4GM MC PM MC GC +=+=>，再结合椭圆的定义即可取得点M 的轨迹方程；（2）①当BO 所在直线斜率存在时，设BO 的方程为y nx =，得到Q 到直线l 的距离是点O 到直线l 距离的3倍，联立方程组2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用根与系数的关系和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得OABS的表示，利用基本不等式，求得OABS面积的最大值；当BO 所在直线斜率不存在时，设l 的方程为1y kx =+，联立方程组，结合面积公式和基本不等式，求得OABS的最大值，即可得到结论；②由①和OA OB ⊥，化简得到()22415k m +=，进而得到OD =.（1）由圆(22:16C x y -+=，可得圆心C ，半径4r =，因为4GC =<，所以点G 在圆C 内，又由点M 在线段PG 的垂直平分线上，所以GM PM =，所以4GM MC PM MC GC +=+=>，由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以G ，C 为焦点的椭圆，其中2a =，c =2431b =-=，所以点M 的轨迹方程为2214x y +=.（2）①当BO 所在直线斜率存在时，设BO 所在直线方程为y nx =，由2214y nxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22414B x n =+，同理221614Q x n =+，21Q B x x =，所以2OQ OB =，即Q 到直线l 的距离是点O 到直线l 距离的3倍，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222418410k x kmx m +++-=. 由>0∆得22410k m +->，且122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，则241AB k ==+，又由O 到直线l的距离d =∴222214141212OAB m m k k S ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭==≤=△.当且仅当222214141m m k k =-++，即22241m k =+时等号成立. 故ABQ △面积的最大值为33OAB S =△. 当BO 所在直线斜率不存在时，假设()0,1B ，则()0,2Q -，l 的方程为1y kx =+（其中0k >）.联立22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224180k x kx ++=，则2841A k x k -=+. ∴2112121231241224ABQ A k S BQ x k k k=⋅==≤=+⨯+△，综上可得，ABQ ∆面积的最大值为3.②由①知122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，又因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，即()()2212121212(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=，代入解得()22415k m +=，又OD ==所以点D 的轨迹是以O 的圆（去掉x 轴上的两个点），故点D 的轨迹方程为2245x y x ⎛+=≠ ⎝⎭. 20.（1）在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】20.（1）先求解导数()f x '，通过求解不等式，判断函数单调性；（2）利用单调性求解函数的值域，结合图象变化趋势可得212310,a a e ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭，然后求解不等式可得结果；（3）构造函数()()()11F x f x f x =+--，判断单调性得出()()11f x f x +>-，结合函数()f x 的单调性可得122x x +>，从而可证结论.（1）因为()x f x xe -=，所以()()1xf x x e -'=-，令()0f x '>可得1x <；令()0f x '<可得1x >；所以函数()xf x xe -=在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）由（1）可得函数()xf x xe -=在1x =处取得最大值，()()max 11f x f e==，所以函数()xf x xe -=的值域为1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，且x →+∞时，()0f x →；因为方程()22310f x a a +-+=有两个不同的根，所以212310,a a e ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭，即22310a a -+->，21231a a e -+-<，解得112a <<. 即实数a 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（3）证明：由()()12f x f x =，12x x ≠，不妨设12x x <，构造函数()()()11F x f x f x =+--，(]0,1x ∈，则()()()()211110x x xF x f x f x e e +'''=++-=->，所以()F x 在(]0,1x ∈上单调递增，()()00F x F >=，也即()()11f x f x +>-对(]0,1x ∈恒成立.由1201x x <<<，则(]110,1x -∈，所以()()()()()()()1111211211f x f x f x f x f x +-=->--==，.即()()122f x f x ->，又因为12x -，()21,x ∈+∞，且()f x 在()1,+∞上单调递减，所以122x x -<，即证122x x +>.即()12ln ln 2x x +>. 21.（1）22143x y +=；1x =或()tan 1y x α=⋅-；（20y -=或0y +-.【解析】21.（1）由曲线C 和直线l 的参数方程，消去参数，即可求得曲线C 和直线l 的一般方程；（2）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.（1）由题意，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），即cos 2sin x αα⎧=⎪⎪⎨=（α为参数），平方相加，可得曲线C 的一般方程为22143x y +=，由直线l 的参数方程为1cos sin x t a y t α=+⎧⎨=⎩（t 为参数）当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为()tan 1y x α=⋅-.当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =.（2）将l 的参数方程1cos sin x t a y t α=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入22143x y +=，整理得()2224sin 3cos 6cos 90t t ααα++⋅-=，设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，则122294sin 3cos t t αα⋅=-+， ∴229124sin 3cos 5PA PB αα⋅==+，解得2tan 3α=，即tan α=tan α=，所以直线l0y --=0y +=.22.（1）{}1x x ≤；（2）(][),31,-∞--+∞.【解析】22.（1）求出函数的两个零点，再利用零点分段法解不等式，即可得到答案；（2）利用绝对值不等式，将()1f x ≥恒成立等价于21m +≥恒成立，再解绝对值不等式，即可得到答案；解：（1）当1m =时，()12,13,1221,2x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩.当1x ≤-时，由()3f x x ≥，得51x ≤，解得15x ≤，所以1x ≤-；当12x -<<时，由()3f x x ≥，得33x ≤，解得1x ≤，所以11x -<≤；当2x ≥时，()3f x x ≥，解得1x ≤-，所以无解.综上()3f x x ≥的解集为{}1x x ≤（2）()222x x m x x m m -+≥--+=++，当且仅当()()20x x m -+≤时等号成立，故()1f x ≥恒成立等价于21m +≥恒成立，由21m +≥，可得3m ≤-或1m ≥-，所以m 的取值范围是(][),31,-∞--+∞.23.e (],1-∞【解析】23.将0a =代入，求出函数的导数得出()0f x '>恒成立，得到单调性进而得最小值；结合性1x e x >+可得()2111a x -+≥，进而可得结果.当0a =时，∵()222ln x f x x e x =-，∴()222222x x f x xe x x e x'=+⋅-. 当1x >时，()0f x '>恒成立，∴()f x 在[]1,2上单调递增.∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.又0x >时，()1f x ≥恒成立，令 ()1x g x e x =--,()()100x g x e g ''=->=, 所以()g x 在()0,∞+ 递增，()()00g x g >= 所以1x e x >+ ∴()22222ln 22ln 2ln x x x f x x e x ax e x ax +=--=--()2222ln 12ln 111x x x ax a x ≥++--=-+≥恒成立， ∴1a ≤.故答案为e ；(],1-∞.。

2020年河南省顶级名校高考数学考前模拟试卷1(5月份) (含答案解析)

2020年河南省顶级名校高考数学考前模拟试卷1（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={x|−1<x<1}，Q={x|0<x<2}，那么P∪Q=()A. (−1,2)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,2)2.复数z=(i−1)2+4的虚部为()i+1A. −1B. −3C. 1D. 23.设命题p：∃x∈R，x2+x+1<0；命题q：∀x∈[1,2]，x2−1≥0；则以下命题是真命题的是()A. ￢p∧￢qB. p∨￢qC. ￢p∧qD. p∧q4.在等差数列{a n}中，S9=18，S n=240，a n−4=30，则n的值为()A. 14B. 15C. 16D. 755.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为()A. 120B. 80C. 64D.486.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n=4，则程序框图中的中应填()A. x≤yB. y≤xC. y <xD. x =y7. 箱子里有3双颜色不同的手套(红蓝黄各1双)，有放回的拿出2只，记事件A 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A 的概率为( )A. 16B. 13C. 15D. 258. 将函数f (x )=sin (2x +π6)的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式为( )A. g(x)=cos2xB. g(x)=−cos2xC. g(x)=sin2xD. g (x )=sin (2x +π3)9. 已知，则( )A. 1<n <mB. 1<m <nC. m <n <1D. n <m <110. 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的内切圆半径为a2，则该双曲线的离心率为( )A. √6−1B. √3+12 C. √6+12D. √6+111. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )A. 16B. 28C. 64D. 96 12. 若函数f(x)=lnx −ax 在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. [−1,+∞)C. (−∞,1]D. (−∞,−1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若f(x)是R 上的奇函数，且f(x +52)+f(x)=0，又f(1)=1,f(2)=2，则f(3)+f(4)+f(5)=_________14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x ≥1x +y ≤3,y ≥x −3则z =−2x +y 的最小值为________． 15. 设F 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1,l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1,l 2于A 、B 两点，且向量BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向．若|OA|,|AB|,|OB|成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为________ ．16. 已知数列{a n }满足a n =2a n−1+2n −1(n ∈N ∗,n ≥2)，若a 4=65，则a 1=________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C，b cos B，c cos A成等差数列．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若b=7，△ABC的面积为10√3，求sinA+sinC．18.已知四边形ABCD为平行四边形，，四边形ABEF为正方形，且平面平面ABCD.(1)求证：平面ADF；(2)若M为CD中点，证明：在线段EF 上存在点N，使得平面ADF，并求出此时三棱锥的体积．19.某校随机调查了100名不同性别学生的阅读量，统计后得到如下的2×2列联表，已知在调查对．象中随机抽取1人为不丰富的概率为310阅读量丰富不丰富合计性别男20女10合计100(Ⅰ)请完成上面的列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为阅读量与性别有关系？附表：附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知A为椭圆E：x24+y23=1(a>0,b>0)的左顶点，过A作斜率为k的直线交椭圆于另一点M，点N在E上，AM⊥AN．(1)当k=1时，求△AMN的面积；(2)求证：直线MN恒过定点．21.已知函数f(x)=x3−3x2−9x+1(x∈R)，g(x)=2a−1(1)求函数f(x)的单调区间与极值．(2)若f(x)≥g(x)对∀x∈[−2,4]恒成立，求实数a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线{x =−1+√55t y =−1+2√55t(t 为参数)与曲线{x =sinθy =cos2θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．23. 设函数f(x)=|x −4|+|x −a|(a <4)．(Ⅰ)若f(x)的最小值为3，求a 值； (Ⅱ)求不等式f(x)≥3−x 的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力，直接利用并集的运算法则化简求解即可. 【解答】解：集合P ={x|−1<x <1}，Q ={x|0<x <2}，那么P ∪Q ={x|−1<x <2}=(−1,2)，故选A .2.答案：B解析：【分析】本题考查复数的除法运算，复数的虚部概念，属基础试题．【解答】解：∵z =(i−1)2+4i+1=−2i+4i+1=(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i 2=1−3i ，∴复数z =(i−1)2+4i+1的虚部为−3．故选B ．3.答案：C解析：解：∵∀x ∈R ，x 2+x +1=(x +12)2+34>0， ∴命题p 是假命题；又∵x ∈[1,2]时，x 2−1≥0恒成立， ∴命题q 是真命题；对于A ，￢p 为真命题，￢q 为假命题，∴￢p ∧￢q 是假命题：对于B ，p 为假命题，￢q 为假命题，∴p ∨￢q 是假命题；对于C ，￢p 是真命题，q 是真命题，∴￢p ∧q 是真命题；对于D，p是假命题，q是真命题，∴p∧q是假命题．故选：C．先判断命题p、q的真假性，再判断复合命题的真假性即可．本题考查了复合命题的真假性判断问题，解题时应熟记复合命题的真值表，是基础题目．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列前n项和公式的灵活应用，等差数列的性质．属于基础题．由等差数列前n项和公式，等差数列的性质，得出a5=2，a1+a n=a5+a n−4=32.整体代入前n 项和公式求出n即可．【解答】解：根据等差数列前n项和公式，S9=(a1+a9)×92=18，又根据等差数列的性质，得a1+a9=2a5，则S9=9a5，解得a5=2，∴a5+a n−4=32．∴S n=(a1+ a n)×n2=(a5+a n−4)×n2=16n=240，∴n=15，故选B．5.答案：B解析：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为8cm，侧面的高为5cm，故棱锥的侧面积为：4×12×8×5=80cm2，故选：B．由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥，结合棱锥的侧面积公式，进而可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．6.答案：A【分析】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，y的值，由输出n的值为4，可得判断框内的条件．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5，y=2，n=1，x=152，y=4，不满足条件，执行循环体，n=2，x=454，y=8，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n=3，x=1358，y=16，此时，x>y，不满足条件，执行循环体，n=4，x=40516，y=32，此时，x<y，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为4．可得程序框图中的判断框中应填x≤y．故选A．7.答案：B解析：【分析】本题考查古典概型，属于基础题．先算出在六个手套中又放回的，取出两个有多少种可能，再计算出事件A中有多少种可能，最后得出结果．【详解】分别设3双手套为：a1a2、b1b2、c1c2，a1、b1、c1分别代表左手手套，a2、b2、c2分别代表右手手套；从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：n=6×6=36，共有36个基本事件；事件A包含：(a1,b2)、(b2,a1)、(a1,c2)、(c2,a1)、(a2,b1)、(b1,a2)、(a2,c1)、(c1,a2)、(b1,c2)、(c2,b1)、(b2,c1)、(c1,b2)一共12个基本事件，故事件A的概率为P(A)=1236=13．故选B。

2020年河南省名校联盟高考数学一模试卷(理科)

2020年河南省名校联盟高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|lnx＞0}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．（0，4] C．（1，4] D．（4，+∞）2.下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则3.设方程lg（x﹣1）+x﹣3＝0的根为x0，[x0]表示不超过x0的最大整数，则[x0]＝（）A．1 B．2 C．3 D．44.在△ABC中，已知A＝60°，a＝，b＝，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°5.下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sin x0+cos x0＜1”的否定是“∀x∈R，sin x+cos x≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y＝x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④6.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则S5＝（）A．B．C．D．7.（x﹣1）（2x+1）10的展开式中x10的系数为（）A．﹣512 B．1024 C．4096 D．51208.直线l：y＝kx﹣1与曲线C：（x2+y2﹣4x+3）y＝0有且仅有2个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．9.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．40010.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x﹣3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|+|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（，]11.若函数f（x）＝sin（2x﹣）与g（x）＝cos（x+）都在区间（a，b）（0＜a＜b＜π）上单调递减，则b﹣a的最大值为（）A．B．C．D．12.已知关于x的方程[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0恰有四个不同的实数根，则当函数f（x）＝x2e x时，实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（）C．（）D．（2，）二、填空题（共4小题）13.若平面向量，满足|+|＝1，+平行于x轴，＝（2，﹣1），则＝﹣﹣．14.实数x，y满足约束条件：，则z＝的取值范围为．15.半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则△ABC，△ACD与△ADB面积之和的最大值为．16.如图，A1，A2分别是椭圆＝1的左、右顶点，圆A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q，则＝．三、解答题（共7小题）17.已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和S n满足＝a n（S n）．（1）求S n的表达式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，BC＝BB1＝，B1C的重点为O，若线段A1C1上存在点P使得PO⊥平面AB1C．（Ⅰ）求AB；（Ⅱ）求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．19.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5，10），[10，15），[15，20），…，[35，40]分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B．用频率估计概率，求“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）在上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．20.已知O为坐标原点，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为﹣2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设T为直线x＝﹣3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P，Q，且•＝0，求的最小值．21.已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）设x0是f（x）的极小值点，且f（x0）≥0，证明：f（x0）≥2（x02﹣x03）．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．23.已知函数f（x）＝|2x﹣a|．（1）当a＝2，求不等式f（x）+|x|≤6的解集；（2）设f（x）+|x﹣1|+3x≤0对x∈[﹣2，﹣1]恒成立，求a的取值范围．2020年河南省名校联盟高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|x＜﹣1，或x＞4}，B＝{x|x＞1}；∴∁R A＝{x|﹣1≤x≤4}；∴（∁R A）∩B＝（1，4]．故选：C．【知识点】交、并、补集的混合运算2.【分析】利用不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：A．c＜0时不成立；B．a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，因此不正确；C．ab＞0，a＞b，则，正确．D．取a＝2，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣3，满足条件a＞b，c＞d，但是不成立．故选：C．【知识点】不等关系与不等式3.【分析】构造函数，利用函数的零点判断定理，判断函数的零点所在区间，然后求解即可．【解答】解：构造函数f（x）＝lg（x﹣1）+x﹣3，由于函数y＝lg（x﹣1）与y＝x﹣3在定义域上都是单调递增函数，故f（x）＝lg（x﹣1）+x﹣3在定义域上单调递增，由f（2）＝0+2﹣3＝﹣1＜0，f（3）＝lg（3﹣1）+3﹣3＝lg2＞0，则函数f（x）的零点在（2，3）之间，故2＜x0＜3，[x0]＝2．故选：B．【知识点】函数零点的判定定理4.【分析】由正弦定理求出sin B＝＝＝．从而由0＜B＜π即可得到B＝45°或135°，又由a＝＞b＝，可得B＜A，从而有B，可得B＝45°．【解答】解：由正弦定理知：sin B＝＝＝．∵0＜B＜π∴B＝45°或135°又∵a＝＞b＝，∴B＜A，∴B∴B＝45°故选：C．【知识点】正弦定理5.【分析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函数的形状判断④的正误；【解答】解：①命题“∃x0∈R，sin x0+cos x0＜1”的否定是“∀x∈R，sin x+cos x≥1”；满足命题的否定形式，正确；②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；③“a＞5且b＞﹣5”可得“a+b＞0”成立，“a+b＞0”得不到“a＞5且b＞﹣5”所以③不正确；④当a＜0时，幂函数y＝x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确，反例：y＝，可知：x∈（﹣∞，0）时，函数是增函数，在（0，+∞）上单调递减，所以④正确；故选：A．【知识点】命题的真假判断与应用6.【分析】利用正项等比数列{a n}的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出a1＝1，q＝，由此能求出S5的值．【解答】解：正项等比数列{a n}的前n项和为S n，，∴，解得a1＝1，q＝，∴S5＝＝＝．故选：B．【知识点】等比数列的前n项和7.【分析】先将二项式变形为x（2x+1）10﹣（2x+1）10，分别写出两个二项式展开式的通项，并分别令x的指数为10，求出两个参数的值，代入展开式之后将两个系数相减可得出答案．【解答】解：∵（x﹣1）（2x+1）10＝x（2x+1）10﹣（2x+1）10，二项展开式x（2x+1）10的通项为，二项展开式（2x+1）10的通项为，令，得，所以，展开式中x10的系数为．故选：C．【知识点】二项式定理8.【分析】求出直线l：y＝kx﹣1与曲线C相切时k的值，即可求得实数k的取值范围．【解答】解：如图所示，直线y＝kx﹣1过定点A（0，﹣1），直线y＝0和圆（x﹣2）2+y2＝1相交于B，C两点，圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心O（2，0），半径r＝1，k AB＝＝，k AC＝＝1，过A（0，﹣1）作圆O的切线AE、AD，切点分别为E，D，连结AO，由题意E（2，﹣1），设∠OAE＝α，则∠DAE＝2α，k AO＝tanα＝＝，∴k AD＝tan2α＝＝＝，∵直线l：y＝kx﹣1与曲线C：x2+y2﹣4x+3＝0有且仅有2个公共点，∴结合图形得k＝，或k＝1，或k＝，∴实数k的取值范围是{}．故选：C．【知识点】直线与圆的位置关系9.【分析】由已知求出P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，进一步求出P（90≤X≤105）＝P（90≤X≤120）＝0.3，则答案可求．【解答】解：∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2，∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6，∴P（90≤X≤105）＝P（90≤X≤120）＝0.3，∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．故选：C．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义10.【分析】设椭圆的左焦点为F′，根据椭圆的对称性可得：AF′＝BF，BF′＝AF，可得|AF′|+|AF|＝|BF|+|AF|＝6＝2a，解得a＝3．根据点P到直线l的距离不小于，可得≥，解得b范围，根据离心率e＝＝即可得出．【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，根据椭圆的对称性可得：|AF′|＝|BF|，|BF′|＝|AF|，∴|AF′|+|AF|＝|BF|+|AF|＝6＝2a，解得a＝3．∵点P到直线l的距离不小于，∴≥，解得b≥2，又b＜a，∴2≤b＜3．∴＜1．∴离心率e＝＝∈．故选：C．【知识点】椭圆的简单性质11.【分析】直接利用三角函数的性质，求出函数的单调区间，进一步求出最大值．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x﹣）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，与g（x）＝cos（x+）在区间（）上单调递减，在上单调递增，所以：这两个函数在区间上单调递减，故：b＝，即所求的最大值．故选：B．【知识点】余弦函数的单调性、正弦函数的单调性12.【分析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设t＝f（x），将方程根的个数转化为一元二次方程根的分别进行求解即可．【解答】解：函数f′（x）＝2xe x+x2e x＝（x+2）xe x，由f′（x）＞0得（x+2）x＞0，得x＞0或x＜﹣2，此时f（x）为增函数，由f′（x）＜0得（x+2）x＜0，得﹣2＜x＜0，此时f（x）为减函数，即当x＝0时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（0）＝0，当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝，当x→0，f（x）＞0，且f（x）→0，作出函数f（x）的图象如图：设t＝f（x），则当0＜t＜时方程t＝f（x）有3个根，当t＝时方程t＝f（x）有2个根，当t＝0或t＞时方程t＝f（x）有1个根，则方程[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0等价为t2﹣kt+1＝0，若[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0恰有四个不同的实数根，等价为t2﹣kt+1＝0有两个不同的根，当t＝0，方程不成立，即t≠0，其中0＜t1＜或t2＞，设h（x）＝t2﹣kt+1，则满足，得，即，即k＞+，即实数k的取值范围是（），故选：B．【知识点】函数与方程的综合运用二、填空题（共4小题）13.【分析】设出＝（x，y），根据题意列出方程组，求出方程组的解来．【解答】解：设＝（x，y），∵|+|＝1，+平行于x轴，＝（2，﹣1），∴+＝（x+2，y﹣1），∴；解得，或；∴＝（﹣3，1）或＝（﹣1，1）．故答案为：（﹣3，1）或（﹣1，1）．【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角、平面向量共线（平行）的坐标表示14.【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如下图：其中B（2，1），因为z＝表示（x，y）与点（1，0）连线斜率，由图可得：当点（x，y）在点B处时，它与点（1，0）连线斜率最小为：＝1．所以z＝的取值范围为：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【知识点】简单线性规划15.【分析】首先求出长方体的外接球的半径，进一步利用三角形的面积和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，如图所示则设四面体ABCD置于长方体模型中，外接球的半径为2，故x2+y2+z2＝16，S＝S△ABC+S△ACD+S△ABD＝，由于2（x2+y2+z2）﹣4S＝（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2≥0，所以4S≤2•16＝32，故S≤8，故答案为：8．【知识点】球内接多面体16.【分析】连结A2P，可得△OP A2是边长为a的正三角形，由此算出P A1、PO的方程，联解求出点P的横坐标m＝﹣1．由A2P与圆A1相切得到A2P⊥P A1，从而得到直线A2P的方程，将P A2的方程与椭圆方程联解算出Q点横坐标s＝．由＝＝，把前面算出的横坐标代入即可求得的值．【解答】解：连结PO、P A1，可得△POA1是边长为2的等边三角形，∴∠P A1O＝∠POA1＝60°，可得直线P A1的斜率k1＝tan60°＝，直线PO的斜率k2＝tan120°＝﹣，因此直线P A1的方程为y＝（x+2），直线PO的方程为y＝﹣x，设P（m，n），联解PO、P A1的方程可得m＝﹣1．∵圆A1与直线P A2相切于P点，∴P A2⊥P A1，可得∠P A2O＝90°﹣∠P A1O＝30°，直线P A2的斜率k＝tan150°＝﹣，因此直线P A2的方程为y＝﹣（x﹣2），代入椭圆+y2＝1，消去y，得x2﹣x+＝0，解之得x＝2或x＝．∵直线P A2交椭圆于A2（2，0）与Q点，∴设Q（s，t），可得s＝．由此可得＝＝＝＝．故答案为：【知识点】直线与椭圆的位置关系三、解答题（共7小题）17.【分析】（1）运用数列的递推式：a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），代入化简整理，再由等差数列的定义和通项公式即可得到所求；（2）求得b n＝＝＝（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：（1）∵＝a n（S n），a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2＝（S n﹣S n﹣1）（S n），即2S n﹣1S n＝S n﹣1﹣S n，…①由题意S n﹣1•S n≠0，将①式两边同除以S n﹣1•S n，得﹣＝2，∴数列{}是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，得S n＝；（2）证明：b n＝＝＝（﹣），∴T n＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（1﹣）．【知识点】数列的求和、数列递推式18.【分析】（Ⅰ）设AB的长为t，依题意可知BA，BC，BB1两两垂直，以B为原点，BC，BB1，BA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB的长．（Ⅱ）求出平面AB1C的一个法向量和平面A1B1C的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）设AB的长为t，依题意可知BA，BC，BB1两两垂直，以B为原点，BC，BB1，BA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，t），C（），B1（0，1，0），C1（），O（，，0），A1（0，1，t），∴＝（），＝（），＝（），设＝＝（），解得P（），∴＝（，），∵OP⊥平面AB1C，∴，解得t＝，，∴AB的长为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝＝（）是平面AB1C的一个法向量，＝（），＝（0，0，），设平面A1B1C的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，，0），设二面角A﹣B1C﹣A1的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值为．【知识点】点、线、面间的距离计算、与二面角有关的立体几何综合题19.【分析】（Ⅰ）设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”，N表示“乘客B乘车等待时间都小于20分钟”，C表示“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”，由题意得：P（A）＝（0.012+0.040+0.048）×5＝0.5，P（B）＝（0.016+0.028+0.036）×5＝0.4，由此能求出“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出随机变量X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设M表示事件“乘客A乘车等待时间都小于20分钟”，N表示“乘客B乘车等待时间都小于20分钟”，C表示“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”，由题意得：P（A）＝（0.012+0.040+0.048）×5＝0.5，P（B）＝（0.016+0.028+0.036）×5＝0.4，∴“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率：P（C）＝P（MN）＝P（M）P（N）＝0.5×0.4＝0.2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为0.4，∴乙站乘客乘车时间等待时间小于20分钟的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123PE（X）＝3×＝．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列、频率分布直方图20.【分析】本题第（1）题根据题意可得方程组，解此方程组可得a、c的值，进一步可得a2，b2的值，即可得到椭圆C的标准方程；第（2）题由•＝0可知⊥．再设T点坐标为（﹣3，m），则直线TF1的斜率为﹣m．通过垂直关系可得直线PQ的斜率，进而通过分析可得直线PQ的方程为x＝my﹣2．再联立直线PQ的方程与椭圆C的方程，化简整理得到一元二次方程，然后通过韦达定理可得y1+y2，y1•y2关于m的表达式，再根据弦长公式计算||，最后化简计算，根据均值不等式可得最小值．【解答】解：（1）由题意，可知，解得．则a2＝6，c2＝4，b2＝a2﹣c2＝6﹣4＝2．故椭圆C的标准方程为+＝1．（2）由（1），知F1（﹣2，0），∵•＝0，∴⊥．设T点坐标为（﹣3，m），则||＝，且直线TF1的斜率为﹣m．①当m≠0时，直线PQ的斜率为，此时直线PQ的方程为x＝my﹣2；②当m＝0时，直线PQ的方程为x＝﹣2，也符合方程x＝my﹣2．故直线PQ的方程为x＝my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则联立直线PQ的方程与椭圆C的方程，得，整理，得（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，则△＝16m2+8（m2+3）＝24（m2+1）＞0．y1+y2＝，y1•y2＝﹣．∴||＝•|y1﹣y2|＝•＝•＝．＝＝•＝•（+）≥•2＝．当且仅当＝，即m＝±1时，等号成立．∴的最小值为．【知识点】椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系21.【分析】（1）先求得导函数，根据定义域为（0，+∞），可构造函数g（x）＝xe x﹣1﹣a，通过求导及分类讨论，即可求得a的取值范围．（2）由（1）令﹣a＝0，通过分离参数得a＝，同时求对数，根据函数f（x0）≥0，可得1﹣x0﹣lnx0≥0．构造函数g（x）＝1﹣x﹣lnx及H（x）＝x﹣lnx﹣1，由导数即可判断H（x）的单调情况，进而求得H（x）的最小值，结合f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）即可证明不等式成立．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx），a∈R．∴．令g（x）＝xe x﹣1﹣a，则g′（x）＝（x+1）e x﹣1＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵当x→0时，g（x）→﹣a，当x→+∞时，g（x）→+∞．∴当a≤0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不存在极值点；当a＞0时，g（x）的值域为（﹣a，+∞），必存在x0＞0，使g（x0）＝0．∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴f（x）存在极小值点．综上可知实数a的取值范围是（0，+∞）．证明：（2）由（1）知﹣a＝0，即a＝．∴lna＝lnx0+x0﹣1，f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）．由f（x0）≥0，得1﹣x0﹣lnx0≥0．令g（x）＝1﹣x﹣lnx，由题意g（x）在区间（0，+∞）上单调递减．又g（1）＝0，∴由f（x0）≥0，得0＜x0≤1，令H（x）＝x﹣lnx﹣1，（x＞0），则H′（x）＝1﹣＝，当x＞1时，H′（x）＞0，函数H（x）单调递增；当0＜x＜1时，H′（x）＜0，函数H（x）单调递减；∴当x＝1时，函数H（x）取最小值H（1）＝0，∴H（x）＝x﹣lnx﹣1≥0，即x﹣1≥lnx，即e x﹣1≥x，∴，1﹣x0﹣lnx0≥1﹣x0﹣（x0﹣1）＝2（1﹣x0）≥0，∴f（x0）＝（1﹣x0﹣lnx0）≥•2（1﹣x0）＝2（﹣），∴f（x0）≥2（x02﹣x03）．【知识点】利用导数研究函数的极值22.【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴，∴，解得．【知识点】参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程23.【分析】（1）将a＝2代入，利用零点分段讨论即可得解；（2）原题转化为4x+1≤a≤﹣1对x∈[﹣2，﹣1]恒成立，进而得解．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）+|x|≤6，即|2x﹣2|+|x|≤6，当x≤0时，原不等式化为2﹣2x﹣x≤6，得，即；当0＜x≤1时，原不等式化为2﹣2x+x≤6，即x≥﹣4，即0＜x≤1；当x＞1时，原不等式化为2x﹣2+x≤6，得，即．综上，原不等式的解集为．（2）因为x∈[﹣2，﹣1]，所以f（x）+|x﹣1|+3x≤0，可化为|2x﹣a|≤﹣2x﹣1，所以2x+1≤2x﹣a≤﹣2x﹣1，即4x+1≤a≤﹣1对x∈[﹣2，﹣1]恒成立，则﹣3≤a≤﹣1，所以a的取值范围是[﹣3，﹣1]．【知识点】绝对值不等式的解法、利用导数求闭区间上函数的最值。

2020届河南省八市重点高中联盟高考数学压轴试卷1(5月份)(含解析)

2020届河南省八市重点高中联盟高考数学压轴试卷1(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. i 是虚数单位，若集合S ={−2,0，1}，则( )A. i 2015∈SB. −2i 2014∈SC. i 2013∈SD. i(i −1i )∈S 2. 设不等式组{x ≥0y ≥0x +y ≤2表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于√2的概率是( )A. π4B. π−22C. π6D. 4−π4 3. 如图给出的是计算11+13+15+⋯+12019的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A. i ≥1010？B. i <1010？C. i <1011？D. i ≤1011？4. 若角α满足条件sin2α<0，cosα−sinα<0，则α在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则“d <0”是“∀n ∈N ∗，S n+1<S n ”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是( )A. 4√3B. 8 √3C. 4√7D. 87.已知，圆x2+y2=π2内的曲线y=−sinx，x∈[−π,π]与x轴围成的阴影部分区域记为Ω(如图)，随机往圆内投掷一个点A，则点A落在区域Ω的概率为()A. 4π3B. 3π3C. 2π3D. 1π38.古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线.某同学用平行于母线PA且过母线PB的中点M的平面去截圆锥，所得截线为如图所示的抛物线.若该圆锥的高PO=1，底面半径OA=√3，则该抛物线焦点到准线的距离为()A. √3B. 3C. √32D. 329.设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和.若成等比数列，则()A. 2B.C.D.10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P是底面ABCD上的动点，PA≥PC1，则满足条件的点P构成的图形的面积等于()A. 12B. π4C. 4−π4D. 7211.已知圆(x−a)2+(y−b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，且与直线3x+4y+2=0相切，则该圆的方程为()A. (x −1)2+y 2=6425B. x 2+(y −1)2=6425C. (x −1)2+y 2=1D. x 2+(y −1)2=1 12. 定义运算：a △b ={a (当a ≤b 时)b (当a >b 时).例如，1△2=1，则f(x)=(2x −12)△(2−x −12)的零点是( ) A. −1 B. (−1,1) C. 1 D. −1，1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 随着《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)重新确定于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办，“生物多样性”的目标、方法和全球通力合作，又成为国际范围的热点关注内容.昆明市市花为云南山茶花，又名滇山茶，原产云南，国家二级保护植物.为了监测滇山茶的生长情况，从不同林区随机抽取100株滇山茶测量胸径D(厘米)作为样本，通过数据分析得到D ～N(12.5,4.52)，若将D ≥21.5的植株建档重点监测，据此估算10000株滇山茶建档的约有______ 株.附：若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9544．14. 若直线x +ay −1=0与2x −4y +3=0垂直，则二项式(ax 2−1x )5的展开式中x 的系数为______．15. (文)在△ABC 中，已知sinA =513，cosB =35，则cosC = ______ ；(理)在△ABC 中，已知tan A ，tan B 是x 的方程x 2+p(x +1)+1=0的两个根，则∠C = ______ ．16. 若关于x 的不等式|2x +3|+|2x −1|≤a 有解，则实数a 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列的通项公式为a n =1−12n ，求它的首项和公差，并画出它的图象．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB=60°，PA=PD=√7，Q、F分别为AD、AB的中点，PF⊥AC．(1)求证：面POF⊥面ABCD；(2)求三棱锥B−PCF的体积．19.一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．，且能否找到其它宝藏相互独立．假定你找到任何一个宝藏的概率为12(1)求闯关成功的概率；(2)假定你付1个Q币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q币个数X 的数学期望(收益=收入−支出)．20.已知定圆F1：x2+y2+10x+24=0，定圆F2：x2+y2−10x+9=0.动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心的轨迹方程．−a−1(a∈R)21.已知函数f(x)=−aln(x+1)+a+1x+1(1)讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性；)n−a>e成立，求a的取值范围．(2)若对任意的正整数[−1,1)都有(1+1n(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，22.已知曲线C1：{x=√5cosθy=sinθ曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ=cosθ．(1)写出曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程(2)若过点P(2,0)的直线l与曲线C1交于点A、B，与曲线C2交于点C、D，求|AB|的取值范围．|PC||PD|23.设函数f(x)=e x−ax2+(2a−1)x−a，其中e是自然对数的底数．e(Ⅰ)若a=0，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)若当x≥1时，f(x)≥0，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A.i2015=(i4)503⋅i3=−i∉S；B.−2i2014=−2(i4)503⋅i2=2∉S；C.i2013=(i4)502⋅i=i∉S；D.i(i−1i)=−1−1=−2∈S．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.答案：D解析：解：由题意可得不等式组{x≥0y≥0x+y≤2表示平面区域D为如图所示的三角形区域，而点D到坐标原点的距离大于√2的区域为图中的阴影部分，故所求的概率为：P=12×2×2−14×π×(√2)212×2×2=4−π4故选D由题意作出所对应的图象，可得平面区域D为如图所示的三角形区域，而点D到坐标原点的距离大于√2的区域为图中的阴影部分，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案．本题考查几何概型，涉及线性规划的区域作图，属中档题．解析：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=0+1，n=3，i=2，第二圈：S=0+1+13，n=5，i=3，第三圈：S=0+1+13+15，n=7，i=4，…依此类推，第1010圈：S=1+13+15+⋯+12019，n=2019，i=1010，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i<1010，故选：C．根据程序框图，模拟运行，依次计算S、n和i的值，直到输出S=1+13+15+⋯+12019，此时的i不满足判断框中的条件，即可得到答案本题考查了程序框图，主要是根据运行的结果，求解判断框中的条件，解题的关键是根据程序框图中的运算，按顺序求解，判断I的成立条件和不成立条件．属于基础题．4.答案：B解析：解：∵sin2α<0，∴2α在第三、四象限或y的负半轴．2kπ+π<2α<2kπ+2π，k∈Z，∴kπ+π2<α<kπ+π，k∈Z∴α在第二、四象限．又∵cosα−sinα<0，∴α在第二象限．故选：B．由sin2α<0，确定2α的象限，确定α的象限范围，根据cosα−sinα<0，判定α的具体象限．本题考查象限角、轴线角，二倍角的正弦，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．5.答案：D解析：解：“∀n∈N∗，S n+1<S n”⇔a n+1<0．“d<0”与“∀n∈N∗，a n+1<0”相互推不出，与a1的取值(正负)有关系，∴“d<0”是“∀n∈N∗，S n+1<S n”的既不充分也不必要条件．“∀n ∈N ∗，S n+1<S n ”⇔a n+1<0.“d <0”与“∀n ∈N ∗，a n+1<0”是否推出，与a 1的取值(正负)有关系．本题考查了等差数列通项公式与求和公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：本题考查了利用三视图求几何体各个面的面积的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题．根据三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值．解：根据几何体的三视图知，该几何体底面是边长为4的正三角形，高为4的三棱锥，且侧棱垂直于底面三角形的一个顶点，如图所示；则两个垂直底面的侧面面积为S △PAC =S △PAB =12×4×4=8；底面面积为S △ABC =12×42×sin60°=4√3；另一个侧面的面积为S △PBC =12×4×√42+42−22=4√7；所以四个面中面积的最大值为4√7．故选：C ． 7.答案：A解析：解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y =−sinx 与x 轴围成的区域为Ω，根据图形的对称性得：面积为S =2∫s π0inxdx =−2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域Ω内的概率P =4π3．故选A ．先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y =sinx 与x 轴围成的区域的面积，从而可求概率．本题考查利用积分求解曲面的面积，几何概型的计算公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：由题意可得，M为BP的中点，O为AB的中点，则△ABP中，OM为中位线，有AP//OM，截圆锥的平面平行于母线PA，且M点位于该平面上，因此，知点O也位于该平面上，平面过点O，且|OM|=12|AP|=12√|OA|2+|OP|2=12⋅√12+(√3)2=1，同时，由对称性，知截得的抛物线的对称轴为OM，焦点在OM上，抛物线与底面交点E，x E=|OM|=1，y E=|OA|=√3，以OM为x轴，M为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px，则抛物线过点E(1,√3)，所以(√3)2=2p⋅1，解得p=32，所以焦点到准线的距离为p=32．故选：D．由题意可得△ABP中，OM为中位线，有AP//OM，|OM|=1，以OM为x轴，M为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px，抛物线与底面交点E，x E=|OM|=1，y E=|OA|=√3，即可得出答案．本题考查抛物线的方程，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．9.答案：D解析：由题可知：，，故选D．10.答案：A解析：解：依题意，以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立坐标系，则C1(0,0，2)，A(2,2，0)．设P点坐标为(x,y，0)，则由PA≥PC1，得√(x−2)2+(y−2)2+z2≥√x2+y2+(z−2)2，在xoy平面内，z=0，化简得：x+y≤1．所以，点P构成的区域为如图的阴影区域．所以，满足条件的点P构成的图形的面积等于S=12×1×1=12．故选：A．以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立坐标系，设P点坐标为(x,y，0)，根据PA≥PC1，列不等式，化简后得到x，y的约束条件，即可求出P点构成图形的面积．本题考查了空间距离，考查了正方体的结构特征，空间坐标系的应用等，属于中档题．11.答案：C解析：解：由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，即为圆心坐标∵圆与直线3x+4y+2=0相切，∴r=|3+2|5=1∴圆的方程为(x−1)2+y2=1故选：C．抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，即为圆心坐标，利用圆与直线3x+4y+2=0相切，可求半径，即可得到圆的方程．本题考查圆与抛物线的综合，考查直线与圆相切，解题的关键是确定圆的圆心与半径．12.答案：D解析：解：f(x)={2x −12 (当x ≤0时)2−x −12 (当x >0时)，当x ≤0时，令2x −2−1=0，得x =−1当x >0时，令2−x −2−1=0，得x =1∴f(x)的零点是−1，1故选：D ．根据所定义的新函数，写出f(x)的表示形式，要求分段函数的零点，写出在两段上函数分别等于0的x 的值，得到结果．本题考查函数的零点，本题解题的关键是看出分段函数的形式，写出使得函数等于0时的自变量的值． 13.答案：228解析：解：根据D ～N(12.5,4.52)知，P(D ≥21.5)=P(D ≥12.5+2×4.5)=12(1−P(12.5−2×4.5<D ≤12.5+2×4.5)) =12×(1−0.9544) =0.0228，所以估算10000株滇山茶建档的约有：10000×0.0228=228(株)．故答案为：228．根据正态分布的概率公式，计算P(D ≥21.5)的值，再求出对应的数值．本题考查了正态分布的概率计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 14.答案：−52解析：解：由直线x +ay −1=0与2x −4y +3=0垂直，可得−1a ⋅12=−1，求得a =12，则二项式(ax 2−1x )5=(12x 2−1x )5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(12)5−r ⋅(−1)r ⋅x 10−3r ，令10−3r =1，求得r =3，可得展开式中x 的系数为C 53⋅(12)2⋅(−1)=−52，故答案为：−52．由条件利用两条直线垂直的性质求得a 的值，再利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x 的系数．本题主要考查两条直线垂直的性质，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 15.答案：−1665；3π4解析：解：(文)△ABC 中，∵已知sinA =513∈(0,12)，cosB =35∈(12,√22)， ∴B ∈(π4,π3)，A ∈(0,12 )，或A ∈(5π6,π)(舍去，不满足三角形内角和公式)， ∴sinB =√1−cos 2B =45，cosA =√1−sin 2A =1213，则cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−1213×35+513×45=−1665，故答案为：−1665．(理)在△ABC 中，已知tan A ，tan B 是x 的方程x 2+p(x +1)+1=0的两个根，故有tanA +tanB =−p ，tanA ⋅tanB =p +1，∴tan(A +B)=tanA+tanB 1−tanAtanB =−p −p =1，在结合A +B ∈(0,π)，可得A +B =π4，∴C =π−(A +B)=3π4，故答案为：3π4．(文)由条件利用同角三角函数的基本关系，求出sin B 、cos A 的值，再根据cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB 计算求得结果．(理)利用韦达定理、两角和的正切公式求得tan(A +B)的值，可得A +B 的值，进而求得C 的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，韦达定理以及两角和差的三角公式，属于基础题． 16.答案：[4,+∞)解析：解：不等式|2x +3|+|2x −1|≤a 转化为：2(|x +32|+|x −12|)≤a ．|x +32|+|x −12|表示数轴上的x 对应点到−32和12对应点的距离之和，其最小值为2，当−32≤x ≤12时，取到最小值2．∴2(|x+32|+|x−12|)的最小值为4，故当a≥4时，关于x的不等式|2x+3|+|2x−1|≤a有解，故实数a的取值范围为[4,+∞)，故答案为：[4,+∞)．由于|x+32|+|x−12|表示数轴上的x对应点到−32和12对应点的距离之和，求出|2x+3|+|2x−1|的最小值，再根据|2x+3|+|2x−1|≤a有解，求出实数a的取值范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．17.答案：解：a n=1−12n，可得：a1=1−12=12，d=−12．解析：利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：(1)证明：连接BD，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又O，F分别为AD，AB的中点，∴OF//BD，∴AC⊥OF，又PF⊥AC，OF∩PF=F，∴AC⊥平面POF，又AC⊂平面ABCD，∴平面POF⊥平面ABCD，(2)解：由(1)知，AC⊥平面POF，∴AC⊥PO，又PO⊥AD，AD∩AC=A，∴PO⊥平面BCF，PO=√PA2−AO2=√3，在菱形ABCD中，F为AB的中点，∠DAB=60°，∴BF=2，∠FBC=120°，BC=4，∴△FBC的面积为S△FBC=12×2×4×sin120°=2√3，∴三棱锥B−PCF的体积为：V B−PCF=V P−BCF=13S△BCF⋅PO=13×2√3×√3=2..解析：(1)连接BD，推导出AC⊥BD，OF//BD，从而AC⊥OF，再由PF⊥AC，得AC⊥平面POF，由此能证明平面POF⊥平面ABCD，(2)由AC⊥平面POF，得AC⊥PO，由PO⊥AD，得PO⊥平面BCF，三棱锥B−PCF的体积为V B−PCF= V P−BCF，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)记闯关成功为事件A，事件A共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C，那么A=B+C．∵P(B)=124×122=164，P(C)=C43124×124=164，∴P(A)=P(B)+P(C)=132．(2)记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{−1,1，5}．∵由(1)知P(X=5)=132，又P(X=1)=124×(1−122)+C43124×(1−124)=932．∴X的概率分布为：因此，EX=−1×1116+1×932+5×132=−14．解析：(1)记闯关成功为事件A，事件A共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C，那么A=B+C.利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．(2)记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{−1,1，5}.分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布和数学期望．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：由F1：x2+y2+10x+24=0，得(x+5)2+y2=1，∴圆F1的圆心坐标为(−5,0)，半径为1，由F2：x2+y2−10x+9=0，得(x−5)2+y2=16，∴圆F2的圆心坐标为(5,0)，半径为4，设动圆M的圆心坐标为(x,y)，由动圆M与定圆F1，F2都外切，得|MF2|−|MF1|=4−1=3<F1F2=10，∴动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且2a=3，c=5，∴b2=c2−a2=914．∴动圆圆心M的轨迹方程为4x29−4y291=1(x<0)．解析：化圆的一般式方程为标准式，求出圆的圆心坐标和半径，然后根据动圆M与定圆F1，F2都外切可得|MF2|−|MF1|=4−1=3，从而得到动圆的圆心轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线的左支，则答案可求．本题考查了双曲线的定义，考查了圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=−ax+1−a+1(x+1)2=−ax+2a+1(x+1)2，当a≤−12时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增；当−12<a<0时，f(x)在(0,−2a+1a)上单调递减，在(−2a+1a,+∞)上单调递增；当a≥0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减．(2)(1+1n )n−a>e⇔(1−an)ln(1+1n)−1n>0．令g(x)=(1−ax)ln(1+x)−x，x∈(0,1]，故要上式成立，只需对∀x∈(0,1]，有g(x)>0．g′(x)=f(x)=−aln(x+1)+a+1x+1−a−1．由(1)可知，①当a≤−12时，g(x)在(0,1]上单调递增，g(x)>g(0)=0，符合题意；②当a≥0，g(x)在(0,1]上单调递减，g(x)<g(0)=0，不符合题意；③当−12<a≤−13时，g(x)在(0,−2a+1a)上单调递减，∴当x∈(0,−2a+1a)时，g(x)<g(0)，不符合题意；④当−13<a <0时，g(x)在(0,1]上单调递减，∴当x ∈(0,1]时，g(x)<g(0)=0，不符合题意．综上可知，a 的取值范围为(−∞,−12].解析：(1)求出原函数的导函数，然后对a 分类求得导函数的符号，从而得到原函数的单调性；(2)把(1+1n )n−a >e ，转化为(1−a n )ln(1+1n )−1n >0.令g(x)=(1−ax)ln(1+x)−x ，x ∈(0,1]，故要上式成立，只需对∀x ∈(0,1]，有g(x)>0．g′(x)=f(x)=−aln(x +1)+a+1x+1−a −1.结合(1)中函数的单调性分类求解得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．22.答案：(1)曲线C 1：{x =√5cosθy =sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 25+y 2=1.曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=cosθ.转换为直角坐标方程为y 2=x ．(2)设l 的参数方程：{x =2+tcosθy =tsinθ(t 为参数)代入x 25+y 2=1，得(1+4sin 2θ)t 2+4tcosθ−1=0， ∴|AB|=|t 1−t 2|=2√51+4sin 2θ． l 的参数方程：{x =2+tcosθy =tsinθ(t 为参数)代入y 2=x 得t 2sin 2θ−tcosθ−2=0， ∴|PC|⋅|PD|=|t 3t 4|=2sin 2θ．∵|AB||PC|⋅|PD|=|t 1−t 2||t 3t 4|=√5sin 2θ1+4sin 2θ∈(0,√55],sinθ∈(0,π], ∴|AB||PC|⋅|PD|的取值范围为(0,√55]．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次方程根和系数关系式和三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 23.答案：解：(Ⅰ)a =0时，f(x)=e x−1−x ，则f′(x)=e x−1−1，故f′(1)=0，又f(1)=0，故切线方程是y =0；(Ⅱ)易知f′(x)=e x−1−2ax+2a−1，令ℎ(x)=e x−1−2ax+2a−1，ℎ′(x)=e x−1−2a，若ℎ′(x)≥0，得a≤e x−12，即a≤12时，f′(x)在[1,+∞)递增，故f′(x)≥f′(1)=0，于是f(x)在[1,+∞)递增，故f(x)≥f(1)=0，符合题意，故a≤12是原不等式成立的充分条件，下面证明必要性，a>12时，令ℎ′(x)=0，解得：x=ln(2a)+1，故x∈(1,ln(2a)+1)时，f′(x)<0，故f′(x)在x∈(1,ln(2a)+1)递减，故f′(x)<f′(1)=0，与题设矛盾，不合题意，综上，a的范围是(−∞,12].解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可；(Ⅱ)求出函数f′(x)的导数，得到a≤12时，f′(x)在[1,+∞)递增，结合充分必要条件判断即可．。

2020届全国名校学术联盟新高考原创仿真试卷(五)理科数学

2020届全国名校学术联盟新高考原创仿真试卷（五）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合A，然后根据数轴求出.【详解】解：因为，所以或，故集合{或}，又因为集合，所以=，故选D.【点睛】本题考查了集合的交集，解题的关键是审清题意，解析出集合中的元素.2.已知，复数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，然后再求出.【详解】解：因为复数，所以，故，故选D.【点睛】本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对的正确理解.3.已知函数，命题：，，若为假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】为假命题，即不存在，使，根据这个条件得出实数的取值范围.【详解】解：因为为假命题，所以为真命题，即不存在，使，故，且解得：或，故选C.【点睛】本题考查了命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题.4.已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且在轴上的投影为点，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】在轴上的投影为点，由抛物线的定义可得，，故可得结果.【详解】解：因为抛物线，所以抛物线的准线方程为，因为在轴上的投影为点，所以即为点到的距离减去2，因为点在该抛物线上，故点到的距离等于，所以,故，故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将进行转化.5.一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.6.已知函数（，，）的部分图像如图所示，若将图像上的所有点向左平移个单位得到函数的图像，则函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图像得出函数解析式，然后根据平移规则得出函数的图像，从而得出函数的单调区间.【详解】解：由图可得故，解得，将点代入函数，即，因为，所以，故函数，因为将图像上的所有点向左平移个单位得到函数的图像所以，当时解得：，故当时，单调递增，故选A.【点睛】本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图像平移问题、三角函数单调性问题，解决问题的关键是要能由函数图像得出函数解析式，熟练运用图像平移的规则等.7.已知，，，则实数的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解出，的值，然后再利用指数函数、幂函数的单调性判断大小关系.【详解】解：因为，所以，同理可得：，因为函数为单调增函数，且，故，即，因为函数为单调增函数，且，所以，即，所以，故选D.【点睛】本题考查了利用函数单调性比较两数大小的问题，解决问题的关键是要能从两数的关系中寻找出相应的函数.8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】解：设点A关于直线的对称点，的中点为，故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选A.【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题.9.已知中，，，，点是边的中点，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出的值，用基底表示，，则可以得到的值.【详解】解：在中，由正弦定理得，，即，解得，因为，，所以故选B.【点睛】本题考查了正弦定理、向量分解、向量数量积等问题，解题的关键是要将目标向量转化为基向量，从而求解问题.10.已知双曲线：焦距为，圆：与圆：外切，且的两条渐近线恰为两圆的公切线，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】两圆相外切，可得两圆心距为3，从而可得，渐近线为两圆的公切线，故可得，从而可得出关于的关系，求得离心率.【详解】解：因为圆：与圆：外切，所以即①，渐近线为两圆的公切线，故可得，即②，将②代入到①中，得，即，又因为故，解得：，故，故选C.【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题、直线与圆相切、圆与圆相切问题，构造出的等量关系式是本题解题的关键.11.已知是定义在上的函数，且对任意的都有，，若角满足不等式，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造新函数，由可得为单调减函数，由可得为奇函数，从而解得的取值范围.【详解】解：令因为，所以为R上的单调减函数，又因为，所以，即，即，所以函数为奇函数，故，即为，化简得，即，即，由单调性有，解得，故选A.【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，解题的关键是由题意构造出新函数，研究其性质，从而解题.12.平行六面体的底面是边长为4的菱形，且，点在底面的投影是的中点，且，点关于平面的对称点为，则三棱锥的体积是（）A. 4B.C.D. 8【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用待定系数法求出点的坐标，进而求解三棱锥的体积.【详解】解：因为平行六面体的底面是边长为4的菱形，所以,因为点在底面的投影是的中点，所以，故以点为原点，以，，为轴建立如图所示的空间坐标系,则，，，，，,,则，设平面的法向量为故即令，解得，设点则因为点关于平面对称点为，所以，所以，即，解得：，即，又因为点到平面的距离等于点到平面的距离，所以即，解得或，当时，点与点重合，不符合题意，当时，点，显然，平面的法向量为，故点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为，故选C.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中求体积的应用问题，解决本题的关键是充分运用待定系数法求解点的坐标，同时要熟练运用点到面的距离公式.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知，则等于__________．【答案】240【解析】【分析】由题意可知，不存在，可得出，再利用二项式定理求出，然后得出答案.【详解】解：因为的第项为，所以不存在，故，的系数为，所以.【点睛】本题考查了二项式定理的知识，对各展开项次数的认识是本题解题的关键.14.已知实数满足，则的最小值是__________．【答案】-2【解析】【分析】作出对应的区域，根据线性规划知识，对其进行平移，从而得到最小值.【详解】解：不等式等价于，故对应区域如图所示，目标形式的几何意义为斜率等于2的直线，当直线平移经过点B时，取得最小值，联立方程组，解得，故.【点睛】本题考查了线性规划知识，解题的关键是正确画出不等式组对应的平面区域，对目标形式几何意义的探求也很关键.15.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】利用两角和差公式将展开，然后化简便可得结果.【详解】解：将化简，可得，即，即，即，利用二倍角公式可得，.【点睛】本题考查了两角和差公式、同角三角关系的运用，熟练运用公式是解题的关键.16.江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是__________．参考数据：若，则，，.【答案】③④【解析】【分析】利用正态分布对每一个说法求解其发生的概率，逐项分析，选出正确的选项.【详解】解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交车所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故①错误；②若8：02出门，江先生乘坐公交，因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生乘公交不会迟到；若8：02出门，江先生乘坐地铁，因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生乘地铁不会迟到；此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故②错误；③若8：06出门，江先生乘坐公交上班；因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生乘地铁不会迟到；若8：06出门，江先生乘坐地铁，因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生乘地铁不会迟到，此时两种上班方式，显然江先生公交上班不迟到的可能性更大，故③正确；④若8：12出门，江先生乘坐地铁上班，因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分布，故当满足时，江先生乘地铁不会迟到，此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故④正确；综上：③④正确.【点睛】本题考查了正态分布的实际应用，解题的关键是熟知正态曲线是关于对称，在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1等正态密度曲线图象的特征.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是公差不为零的等差数列，，且存在实数满足，. （1）求的值及通项；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）设出等差数列的公差d，然后退位相减便可得结果；（2）求出数列的通项公式，然后利用分组求和法解出数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，由……①得……②，①-②得，，又因为，解得；将代入①可得，即，又因为，所以.（2）由（1）可得，所以.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式和前项和公式的运用，基本量法是解题常见的方法.18.如图，矩形中，，，、是边的三等分点.现将、分别沿、折起，使得平面、平面均与平面垂直.（1）若为线段上一点，且，求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）构造经过直线的平面，然后证明该平面与已知的平面平行，再由面面平行得出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，借助空间向量知识解决二面角的大小.【详解】（1）如图，分别取，的中点，，连接，，，，因为，，所以，且.因为，，所以，且.因为面与面垂直，面面，，平面所以面，同理：面，所以，且，平面，平面，故平面，在矩形中，故，同理：，在几何体中，因为，所以，所以是以为斜边的等腰直角三角形，故，而，因为与共面于平面,故，平面，平面，故平面，,平面，故面面，因为平面，则面.（2）如图，以为原点，分别以，所在直线为轴，以过点并垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，，因为所以，由（1）得面，，而平面，，故平面，从而是平面的一个法向量；设为平面的一个法向量，则，解得，取，则，，即，所以，故所求二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的证明以及二面角的求解问题，线面平行常见的证法是借助线线平行或面面平行证得，求解二面角大小时往往借助法向量的夹角来进行求解.19.已知椭圆：，点在的长轴上运动，过点且斜率大于0的直线与交于两点，与轴交于点.当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，. （1）求椭圆的方程；（2）当均不重合时，记，，若，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）根据特殊情况当为的右焦点且的倾斜角为时，重合，，可得到的值；（2）设出直线l，求出点M、N，设出点P、Q ，利用条件，得出与的关系、与的关系，根据条件，得出.，再借助韦达定理对求解出的值，进而得到斜率.【详解】解：（1）因为当为的右焦点且的倾斜角为时，，重合，，所以故，因为，因此，，所以椭圆的方程为.（2）设，所以，，所以.因为斜率大于0，所以，设，，则，，由得，，①同理可得，②①②两式相乘得，，又，所以，所以，即，即由题意，知，所以.联立方程组，得，依题意，所以，又，所以，因为，故得，所以，即直线的斜率为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的问题，求解本题时应大胆多设变量，小心化简，通过一定的手段（设而不求、韦达定理等）进行减元，将多变量问题转化为少变量（单变量）问题.20.某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额（万元）的数据如下：加盟店个数单店日平均营业额（1）求单店日平均营业额（万元）与所在地区加盟店个数（个）的线性回归方程；（2）该公司根据回归方程，决定在其他5个地区中，开设加盟店个数为5，6，7的地区数分别是2，1，2.小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，但根据公司规定，他们只能分别从这5个地区的30个加盟店中随机抽取一个加入.记事件：小赵与小王抽取到的加盟店在同一个地区，事件：小赵与小王抽取到的加盟店预计日平均营业额之和不低于12万元，求在事件发生的前提下事件发生的概率.（参考数据及公式：，，线性回归方程，其中，.）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，根据求出b的值，从而得出a的值，进而得出结果；（2）先求出，然后求解，根据条件概率公式得出，.【详解】（1）由题可得，，，设所求线性回归方程为，则，将，代入，得，故所求线性回归方程为.（2）根据回归方程，加盟店个数为5的地区单店预计日平均营业额为7万元，加盟店个数为6的地区单店预计日平均营业额为6万元，加盟店个数为7的地区单店预计日平均营业额为5万元；，，所以.【点睛】本题考查了线性回归方程和实际问题处理的能力以及条件概率等知识，着重考查了学生数据分析的核心素养，属于中档题.21.已知函数，.（且为常数，为自然对数的底）（1）讨论函数的极值点个数；（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，无极值点；当时，有且仅有1个极值点；（2）【解析】【分析】（1）根据讨论函数单调性，根据单调性的情况分析极值点的情况；（2）不等式对任意的恒成立，利用分离变量得出对任意的恒成立，即求的最小值，利用导数求解函数的最小值.【详解】（1）的定义域为，，因为在上恒成立，所以函数在区间上单调递增，且值域为，①当时，在区间上恒成立，即，故在上单调递增，所以无极值点；②当时，方程有唯一解，设为，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以是函数的极小值点，即函数只有1个极值点.（2）当时，不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，记，，记，因为在恒成立，所以在上单调递增，且，，所以存在使得，且时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增；.所以，即，又因为，，，令函数，因为当时，恒成立，所以函数在单调递增，所以，因此，所以，解得.综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了极值点的存在问题，分类讨论的思想方法是解题的关键；除此之外还考查了不等式恒成立的问题，不等式恒成立问题常见解法是分离变量，从而转化为求新的函数最值问题.22.已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标是.（1）求直线的极坐标方程及点到直线的距离；（2）若直线与曲线交于两点，求的面积.【答案】（1）极坐标方程为.（2）【解析】【分析】（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积.【详解】（1）由消去，得到，则，∴，所以直线的极坐标方程为.点到直线的距离为.（2）由，得，所以，，所以，则的面积为.【点睛】本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键.23.已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值为1，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得，再根据基本不等式可得的最小值.【详解】解：（1）因为，所以函数的最大值为.（2）由（1）可知，，因为，所以，所以，即，且当时取“”，所以的最小值为.【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.。

河南省名校联盟2020年5月高三下学期联考理科综合试卷含答案

名校联盟2019～2020学年下学期高三5月联考理科综合本试卷共14页，38题(含选考题)。

全卷满分300分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 S32 Cl35.5 K39 Re186一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列关于细胞的组成成分、结构和功能的叙述，错误的是A.原核细胞拟核内的DNA不能与蛋白质结合B.黑暗处叶肉细胞产生的ATP只来自细胞呼吸C.脂质存在于所有细胞中，是组成生物体的有机化合物D.细菌分泌到细胞外的淀粉酶无需内质网和高尔基体的加工和运输2.如图所示为一个渗透装置，先在漏斗中加入0.3g/ mL蔗糖溶液，调整液面与烧杯中的蒸馏水齐平(蔗糖分子不能通过半透膜)。

一段时间后，液面已经稳定在图示位置。

下列相关叙述正确的是A.液面稳定时，半透膜两侧溶液浓度相等B.植物细胞也能发生渗透作用，比如根尖分生区细胞C.液面稳定后，向烧杯中加入蒸馏水使漏斗内外液面齐平，再次平衡时h将变小D.将蔗糖溶液换成等渗的KNO3溶液，半透膜两侧不会发生渗透作用，经过足够长一段时间后，h＝03.下列关于生物遗传、变异和进化的叙述，正确的是A.生物体的配子中不一定只含有一个染色体组B.基因突变不一定改变基因的结构，但能产生新基因C.用农药给农作物除虫导致害虫发生变异，产生抗药性D.基因重组不能发生在同源染色体的非等位基因之间4.湿地可以净化污水，改善水质，调节小气候，是地球上重要的生态系统。

2020年河南省濮阳市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

2020年河南省濮阳市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{x|≤﹣1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤2}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|﹣3≤x≤2}2．（5分）已知i是虚数单位，若2+i＝z（1﹣i），则z的共轭复数对应的点在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若[x]表示不超过x的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A．49850B．49900C．49800D．499504．（5分）要得到y＝cos（2x﹣）的图象，只要将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝lny﹣lnx的最大值为（）A．2B．2ln2C．﹣ln2D．ln26．（5分）设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面BCD上的射影可能是（）A．①B．②C．③D．④7．（5分）已知双曲线：﹣＝1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则||+||的最小值为（）A．B．11C．12D．168．（5分）安排A、B、C、D、E、F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法有（）种．A．30B．40C．42D．489．（5分）已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3），且|AB|＝|AC|，则（x i+y i）＝（）A．0B．1C．2D．311．（5分）已知抛物线和圆，直线y＝k（x﹣1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（）A．1B．2C．D．k212．（5分）如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（x6﹣）5展开式的常数项为．14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是．15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，且a cos C+c cos A＝b sin B，A＝，若点D是△ABC外一点，DC＝2，DA＝3，则当四边形ABCD面积最大时，sin D＝．16．（5分）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{b n}的前n项和为S n，S n+b n＝2．等差数列{a n}满足b1a2＝3，b1+a5＝7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）证明：a1b2+a2b3+…+a n b n+1＜3．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC ＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．（1）PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．19．（12分）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式．某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数51012721（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成不赞成合计（Ⅱ）若从年龄在[45，65）的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828其中n＝a+b+c+d．20．（12分）已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）＝ln（x+1）﹣x2+ax+2．（Ⅰ）若函数f（x）在[2，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设正实数m1+m2＝1，求证：对（﹣1，+∞）上的任意两个实数x1，x2，总有f （m1x1+m2x2）≥m1f（x1）+m2f（x2）成立．请考生在第（22），（23）题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，将曲线C向左平移2个单位长度得到曲线D．（1）求曲线D的参数方程；（2）已知P为曲线D上的动点，A，B两点的极坐标分别为（3，0），（2，），求•的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（1）当a＝﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≤|x﹣3|的解集包含[0，1]，求实数a的取值范围．2020年河南省濮阳市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{x|≤﹣1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜0}B．{x|x≤2}C．{x|﹣2＜x＜0}D．{x|﹣3≤x≤2}【解答】解：B＝{x|﹣3≤x＜0}；∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜0}．故选：C．2．（5分）已知i是虚数单位，若2+i＝z（1﹣i），则z的共轭复数对应的点在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由2+i＝z（1﹣i），得z＝，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．3．（5分）若[x]表示不超过x的最大整数，则图中的程序框图运行之后输出的结果为（）A．49850B．49900C．49800D．49950【解答】解：根据题意，得；[x]表示不超过x的最大整数，且[]＝[50.4]＝50；所以，该程序框图运行后输出的结果中是39个0与40个1，40个2，40个3，…，40个49，0.4×4+1＝17个50的和；所以输出的结果为S＝40××49+（0.4×40+1）×50＝49850．故选：A．4．（5分）要得到y＝cos（2x﹣）的图象，只要将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y＝cos（2x﹣）＝sin[（2x﹣）+]＝sin（2x+），∴若函数y＝sin2x＝f（x），则函数g（x）＝sin（2x+）＝sin[2（x+）]＝f（x+）．因此，将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（2x+）的图象，即函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝cos（2x﹣）的图象．故选：A．5．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝lny﹣lnx的最大值为（）A．2B．2ln2C．﹣ln2D．ln2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），则k OA＝2．z＝lny﹣lnx＝，而的几何意义为可行域内动点与原点连线的斜率，最大值为k OA ＝2．∴z＝lny﹣lnx的最大值为ln2．故选：D．6．（5分）设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面BCD上的射影可能是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：∵Q为BC上异于中点和端点的任一点，∴S在面BDC上的射影在平面ADC内部，Q在BC上，D为顶点，∴△SDQ在面BDC上的射影为图C，故选：C．7．（5分）已知双曲线：﹣＝1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则||+||的最小值为（）A．B．11C．12D．16【解答】解：根据双曲线的标准方程﹣＝1可得：a＝2，由双曲线的定义可得：|AF2|﹣|AF1|＝2a＝4…①，|BF2|﹣|BF1|＝2a＝4…②，所以①+②可得：|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝8，因为过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，所以|AF1|+|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．所以|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝8．|BF2|+|AF2|＝|AB|+8＝11．故选：B．8．（5分）安排A、B、C、D、E、F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法有（）种．A．30B．40C．42D．48【解答】解：当A照顾老人乙时，共有种不同方法；当A不照顾老人乙时，共有种不同方法．∴安排方法有24+18＝42种．故选：C．9．（5分）已知O为△ABC内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E 为BC的中点．∵，∴＝2＝2，∴点O是直线AE的中点．∵，B，O，D三点共线，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM＝EC＝BC，＝，∴DM＝MC，∴AD＝AM＝AC，∴t＝．故选：B．10．（5分）已知直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3），且|AB|＝|AC|，则（x i+y i）＝（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵y＝x3﹣x是奇函数，故y＝x3﹣x的图象关于原点对称，∴y＝x3﹣x+1的函数图象关于点（0，1）对称，∵直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|＝|AC|，∴A为函数的对称点，即A（0，1），且B，C两点关于点A（0，1）对称，∴x1+x2+x3＝0，y1+y2+y3＝3．于是（x i+y i）＝3．故选：D．11．（5分）已知抛物线和圆，直线y＝k（x﹣1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1＜x2＜x3＜x4），则|AB|•|CD|的值为（）A．1B．2C．D．k2【解答】解：∵y2＝4x，焦点F（1，0），准线l0：x＝﹣1．由定义得：|AF|＝x A+1，又∵|AF|＝|AB|+1，∴|AB|＝x A，同理：|CD|＝x D，由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为：y＝k（x﹣1）代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，∴x A x D＝1，则|AB|•|CD|＝1．综上所述，|AB|•|CD|＝1，故选：A．12．（5分）如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（x6﹣）5展开式的常数项为5．【解答】解：（x6﹣）5展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•，令30﹣＝0，求得r＝4，故展开式中常数项为＝5，故答案为：5．14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是．【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是[∠AOA1，]∪[∠C1OA1，]．不妨取AB＝2．在Rt△AOA1中，sin∠AOA1＝＝＝．sin∠C1OA1＝sin（π﹣2∠AOA1）＝sin2∠AOA1＝2sin∠AOA1cos∠AOA1＝2××＝＞，∴sinα的取值范围是．故答案为：．15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，且a cos C+c cos A＝b sin B，A＝，若点D是△ABC外一点，DC＝2，DA＝3，则当四边形ABCD面积最大时，sin D＝．【解答】解：由a cos C+c cos A＝b sin B以及正弦定理可知，sin A cos C+sin C cos A＝sin2B，即sin（A+C）＝sin B＝sin2B．由于：0＜B＜π，sin B≠0，可得：sin B＝1，B＝．△ABC中，由于∠CAB＝，设BC＝x，x＞0，则AC＝，AB＝＝x，则S△ABC＝AB•BC＝x2，在△ADC中，由余弦定理可得：AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos D，由于AD＝3，DC＝2，则：AC2＝4x2＝13﹣12cos D，可得：x2＝﹣3cos D，则S△ABC＝AB•BC＝x2＝﹣cos D，而S△ACD＝AD•CD•sin D＝3sin D，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝3sin D﹣cos D+＝（sin D﹣cos D）+＝sin（D﹣θ）+，其中tanθ＝，，则当sin（D﹣θ）＝1时，四边形ABCD的面积有最大值（+），由于D∈（0，π），，则此时D﹣θ＝，故D＝+θ，则sin D＝sin（+θ）＝cosθ，由于tanθ＝，，则cosθ＝＝．故四边形ABCD面积最大时，sin D＝．故答案为：．16．（5分）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（1，1+）．【解答】解：∵f（x）＝lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）＝ka，f（b）＝kb，即：lna+a＝ka，lnb+b＝kb，即a，b为方程lnx+x ＝kx的两个不同根．∴k＝1+，令1+＝g（x），令g'（x）＝＝0，可得极大值点x＝e，故g（x）的极大值为：g（e）＝1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+时，直线y＝k与曲线y＝g（x）的图象有两个交点，方程k＝1+有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）17．（12分）已知数列{b n}的前n项和为S n，S n+b n＝2．等差数列{a n}满足b1a2＝3，b1+a5＝7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）证明：a1b2+a2b3+…+a n b n+1＜3．【解答】解：（1）S n+b n＝2，可得n＝1时，b1＝S1＝2﹣b1，可得b1＝1；n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝2﹣b n﹣2+b n﹣1，即有b n＝b n﹣1，可得b n＝（）n﹣1；等差数列{a n}的公差设为d，b1a2＝3，b1+a5＝7，即有a1+d＝3，a1+4d＝6，解得a1＝2，d＝1，可得a n＝2+n﹣1＝n+1；（2）证明：设T n＝a1b2+a2b3+…+a n b n+1＝2•+3•（）2+…+（n+1）•（）n，T n＝2•（）2+3•（）3+…+（n+1）•（）n+1，相减可得T n＝1+（）2+（）3+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1＝1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得a1b2+a2b3+…+a n b n+1＝3﹣（n+3）•（）n，由（n+3）•（）n＞0，可得a1b2+a2b3+…+a n b n+1＜3．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC ＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．（1）PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．∴AB＝AC＝＝2，∴AB2+AC2＝BC2，PA2+AC2＝PC2，∴AB⊥AC，AP⊥AC，∵AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC，∴PA⊥AB，∵AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABCD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设在线段PD上，存在一点M（a，b，c），使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，且＝λ，（0≤λ≤1），A（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣1，1，0），＝（a，b，c﹣2），＝（﹣1，1，﹣2），∴，∴M（﹣λ，λ，2﹣2λ），∴＝（0，2，0），＝（﹣λ，λ，2﹣2λ），设平面ACM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，），平面ACD的法向量＝（0，0，1），∵二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，∴cos60°＝＝，解得．∴在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，＝4﹣2．19．（12分）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式．某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]频数510151055赞成人数51012721（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成不赞成合计（Ⅱ）若从年龄在[45，65）的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828其中n＝a+b+c+d．【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表如下：年龄不低于45岁人数年龄低于45岁人数合计赞成102737不赞成10313合计203050k2＝≈9.98＞6.635．所以有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关．（Ⅱ）根据年龄在[45，65）中支持微信支付9人，不支持微信支付6人．按分层抽样方法知，抽取的5人中，支持微信支付3人，不支持微信支付2人，设这3人中3不支持微信支付的人数为X，则X＝0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝，X的分布列为：X012P0.10.60.3∴EX＝0×0.1+1×0.6+2×0.3＝1.2．20．（12分）已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．【解答】解：（I）由题意得2c＝2，2a+2c＝6．解得a＝2，c＝1，又b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．故可设直线l的方程为y＝kx+m（m≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．①则△＝64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，∴，．所以点M的坐标为．∵M，O，P三点共线，∴k OM＝k OP，∴，∵m≠0，∴．此时方程①为3x2﹣3mx+m2﹣3＝0，则△＝3（12﹣m2）＞0，得．x1+x2＝m，．∴|AB|2＝＝，又＝，∴＝＝，故当时，的最大值为．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）＝ln（x+1）﹣x2+ax+2．（Ⅰ）若函数f（x）在[2，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设正实数m1+m2＝1，求证：对（﹣1，+∞）上的任意两个实数x1，x2，总有f （m1x1+m2x2）≥m1f（x1）+m2f（x2）成立．【解答】解：（I）f′（x）＝﹣2x+a，∵函数f（x）在[2，+∞）上为减函数，∴f′（x）＝﹣2x+a≤0，化为：a≤2x﹣，令h（x）＝2x﹣，在[2，+∞）上为增函数，∴h（x）min＝h（2）＝．∴a≤．∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．（II）证明：设﹣1＜x1＜x2，设F（x）＝f（m1x+m2x2）﹣m1f（x）﹣m2f（x2），x∈（﹣1，x2]．则F（x2）＝f（m1x2+m2x2）﹣m1f（x2）﹣m2f（x2）＝f（x2）﹣f（x2）＝0，F′（x）＝m1f′（m1x+m2x2）﹣m1f′（x）＝m1[f′（m1x+m2x2）﹣f′（x）]，∵m1x+m2x2﹣x＝x（m1﹣1）+m2x2＝m2（x2﹣x）≥0．∴m1x+m2x2≥x．f′（x）＝﹣2x+a，令g（x）＝﹣2x+a，则g′（x）＝﹣﹣2＜0．∴．f′（x）在x∈（﹣1，+∞]上单调递减．∴f′（m1x+m2x2）≤f′（x）]，∴F′（x）≤0．∴F（x）在x∈（﹣1，x2]上是减函数．∴F（x）≥F（x2）＝0．∴﹣1＜x1＜x2，f（m1x1+m2x2）≥m1f（x1）+m2f（x2）成立．请考生在第（22），（23）题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，将曲线C向左平移2个单位长度得到曲线D．（1）求曲线D的参数方程；（2）已知P为曲线D上的动点，A，B两点的极坐标分别为（3，0），（2，），求•的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4，∵将曲线C向左平移2个单位长度得到曲线D．∴曲线D的直角坐标方程为x2+y2＝4，∴曲线D的参数方程为（α为参数）．（2）∵P为曲线D上的动点，A，B两点的极坐标分别为（3，0），（2，），∴A，B两点的直角坐标分别为A（3，0），B（3，），依题意设P（2cosα，2sinα），则＝（2cosα﹣3，2sinα），＝（2cosα﹣3，2sinα﹣），∴＝（2cosα﹣3）2+2sinα（2sinα﹣）＝4﹣2﹣12cosα+9＝13﹣2sin（α+β），∴•的最大值为13+2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（1）当a＝﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≤|x﹣3|的解集包含[0，1]，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣4时，求不等式f（x）≥6，即|x﹣4|+|x﹣2|≥6，而|x﹣4|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到4、2对应点的距离之和，而0和6对应点到4、2对应点的距离之和正好等于6，故|x﹣4|+|x﹣2|≥6的解集为{x|x ≤0，或x≥6}．（2）原命题等价于f（x）≤|x﹣3|在[0，1]上恒成立，即|x+a|+2﹣x≤3﹣x在[0，1]上恒成立，即﹣1≤x+a≤1，即﹣1﹣x≤a≤1﹣x在[0，1]上恒成立，即﹣1≤a≤0．。

河南省顶级2020届高三数学5月全真模拟考试试题理

河南省顶级2020届高三数学5月全真模拟考试试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、集合xN x A 3|{∈=≥}1，)1(log |{2+∈=x N x B ≤}1，A S ⊆，φ≠⋂B S ，则集合S 的个数为( )A ．0B ．2C ．4D ．8 2、如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．3D ．3-3、已知向量)1,3(=,)3,3(-=,则向量在向量方向上的投影为( )A ．3-B ．3C ．1- D ．1 4、已知角α顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点),3(a A -，若点A 在抛物线241x y -=的准线上，则=αsin ( )A ．23-B ．－12 D ．125、执行右边的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是 ( ) A ．5≤i B ．6≤i C ．7≤i D ．8≤i6、下列说法正确的是( )A. 设m 是实数，若方程12122=-+-my m x 表示双曲线，则2>m ．B.“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的充分不必要条件．C. 命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”． D.命题“若0x 为()x f y =的极值点，则()00'=x f ”的逆命题是真命题． 7、如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是( ) A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln xy x=D ．()22xy x x e =-8、如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )A ．116B ．316C ．14D ．13169、已知151x e dxn e =-⎰，其中 2.71e =…，e 为自然对数的底数，则在4(2)n x x--的展开式中2x 的系数是（）A ．240B ．80C ．80-D ．240-10、在ABC ∆中，三内角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，且3=a ，A B B C sin )cos 3(sin sin 3+=，BC 边上的高为h ，则h 的最大值为 ( )A ．21 B ．1 C ．23D ．211、已知三棱锥ABC P -的四个顶点都在半径为3的球面上，AC AB ⊥，则该三棱锥体积的最大值是( ) A ．332B ．316 C ．364 D ． 6412、设'()f x 为函数()f x 的导函数，且满足321()3,'()'(6)3f x x ax bx f x f x =-++=-+，若()6ln 3f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围是（）A ．[)66ln6,++∞B ．[)4ln 2,++∞C ．[)5ln5,++∞D ．)643,⎡++∞⎣第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13、己知),(y x 满足10203x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥＋－≥≤，则y x 2-的最大值为___________14、在平行四边形ABCD 中，已知ο60,2,1=∠==BAD AD AB ，若FB DE ED CE 2,==，则=⋅AF AE _________15、已知双曲线C ：22221x y a b－＝)0,0(>>b a 的左右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为ο30，则双曲线C 的渐近线方程为__________16、已知正ABC ∆的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若△ABC 在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围是_______三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本题满分12分）已知数列{}n a 满足对任意的正整数,n k 都有2()n k n k n a a a n k +-+=>，且该数列前三项依次为112+x ，x 10，x12，又已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11=b ，=+1n b n S )1(≥n（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式;（2）令n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18、（本题满分12分）已知三棱锥ABC P -中，ABC ∆为等腰直角三角形，，1==AC AB ,5==PC PB 设点E 为PA 的中点，点D 为AC 的中点，点F 为PB 上一点，且FB PF 2=. （1）证明：//BD 平面CEF ；（2）若AC PA ⊥，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．19、（本题满分12分）在平面直角坐标系中，()()0,2,0,2B A -，且ABC ∆满足21tan tan =B A（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()0,2-F 作直线MN 交轨迹E 于N M ,两点，若MAB ∆的面积是NAB ∆面积的2 倍，求直线MN 的方程．20、（本题满分12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2020年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入－个税起征点－专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用……等.其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500 名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）.若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额X 的分布列与期望．21、（本题满分12分）已知函数x e x x f x +-=)1()(2．（1）求)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,41上的最小值；（2）若x ae x f x g x --=)()(，当)(x g 有两个极值点)(,2121x x x x <时，总有)1)(2()(212++≤x e x t x eg ，求此时实数t 的值．选考题：共10分。