五年级奥数专题-分解质因数
小学五年奥数-质数合数分解质因数
质数、合数和分解质因数【知能大展台】一个自然数，如果只有1和它本身这两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个自然数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
【试金石】例1：三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？【分析】由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。
另外两个质数的和是78，要使乘积尽可能的大，那么这两个质数的差值应尽可能的小。
显然，和是78的两个质数中，以41和37的差最小，即这两个数的积最大。
【解答】80=2+37+412×37×41=3034答：这三个质数的积最大是3034。
【智力加油站】【针对性训练】三个质数的和是62，这三个质数的积最大是多少？【试金石】例2：班主任李老师带领五年（一）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知李老师与学生共种了312棵树，老师与学生、每人种的树一样多，并且不超过10棵。
这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？【分析】种树总数=每人种树棵数×师生总人数即：312=每人种树棵数×（1+学生人数）由于学生人数是3的倍数，再加上李老师一人，则师生总人数被3除余1。
因此先将312分解质因数312=2×2×2×3×13，然后按题意进行组合使之成为两数之积。
【解答】312=2×2×2×3×13若312=24×13，13为师生总人数，则每人种树24棵，与题意不相符。
若312=6×52，52为师生总人数，则每人种树6棵。
答：这个班共有学生51人，每人种6棵。
【智力加油站】【针对性训练】小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号大6，小青买的电影票是几排几座？【试金石】例3在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．【解答】当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．答：原来的积为1755或1800．【智力加油站】【针对性训练】在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。
小学奥数 分解质因数(一)
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）【例 2】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数【难度】1星【题型】填空【例 3】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【巩固】已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______.【考点】分解质因数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题【例 4】今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是。
五年级奥数专题-分解质因数
五年级奥数专题-分解质因数分解质因数（一）【专题导引】一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数.把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5.我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公因数、最小公倍数服务的.其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题.【典型例题】【例1】把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个.一共有多少种不同的分法？【试一试】1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人，有哪几种分法？2、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？【例2】写出若干个连续的自然数，使它的积是15120.【试一试】1、有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积.2、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？【例3】将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等.2、5、14、24、27、55、56、99【试一试】1、有三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，c×a=42，求a×b×c的积是多少？2、把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等.【例4】王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵.这个班有多少个学生？每人植树多少棵？【试一试】1、3月12日是植树节，李老师带领同学排成两路人数相等的纵队去植树，已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个同学？2、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6，小青买的电影票是几排几座？【﹡例5】下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和.□□×□□=1995【﹡试一试】1、在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立.□□□×□=19952、下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式.□□×□□=1288课外作业家长签名：1、100以内的质数有哪些？2、54÷（）=（）……4，在括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？3、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少？4、四个连续奇数的积是19305，这四个奇数各是多少？5、把30、33、42、52、65、66、67、78、105九个数分成三组，使每个组的数的乘积相等，写出这三组数.6、把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920，这篮苹果共有几个？﹡7、在下面算式里，四个小纸片各盖住一个数字，被盖住的四个数字总和是多少？第三讲 分解质因数（二）【专题导引】许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法来解.因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题.【典型例题】【例1】三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？【试一试】1、如果A ＋B=70，A ×B ＝1161，那么A －B 等于多少？1、把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张.甲说：“我的三个数的积是48.”乙说：“我的三个数的和是16.”丙说：“我的三个数的积是63.”问甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？【例2】一个两位数除310余37，这个数可以是（ ）或（ ）.× 6 5 3 1【试一试】1、237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数.2、5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？【例3】某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073棵.那么，平均每人种了多少棵？【试一试】1、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数.已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？2、老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支.问：每支钢笔原价多少元？【例4】把186155和187221约分.【试一试】把下面的几个分数约分.1、 6946 2、 117143【﹡例5】小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张.问小明买了多少张画片？【﹡试一试】1、求2310的约数中，除它本身以外最大的约数是多少？2、自然数a 乘以2376，所得的积正好是自然数b 的平方.求a 最小是多少？课 外 作 业家长签名：1、在下面括号内填上15以内适当的质数.10=（ ）+（ ）=（ ）×（ ）=（ ）－（ ）2、如果A ×B=50，它们的和最大是多少？3、长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？4、有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长.5、王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组.如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111块，那么，平均每人擦了多少块？6、把下面的几个分数约分.（1）323247 （2）253161﹡7、将750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的数就正好是得钱人数的12倍.求获奖人数和每人分得的钱数.。
五年级奥数基础教程-分解质因数
小学数学奥数基础教程(五年级)分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。
把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。
例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。
例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。
为此，我们先将13824分解质因数：把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。
所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。
例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。
为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。
从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。
2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。
所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。
例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？分析与解：首先将90909分解质因数，得 90909=33×7×13×37。
奥数题--五年级分解质因数的应用
例一：(1)用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？(2)一个数用9、15、20除都能整除,这个数最小是多少?练习1○1（1）求48和64的最大公约数，（2）求8和12的最小公倍数。
○2求42、168、252的最大公约数和最小公倍数。
○3希望小学买来360个苹果,480个桔子,400个梨,带这些水果去慰问敬老院的老人们，最多可以分成多少份同样地礼物？每份中苹果、桔子、梨各有多少个？例二：有三根铁丝，长度分别是12厘米，18厘米和24厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余。
每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？练习2○1有3根铁丝，长度分别是12厘米，18厘米和54厘米。
现在要把它们截成相等的小段，梅根都不许有剩余。
每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？○2有三根钢管，分别长200厘米、240厘米和360厘米，现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？○3五年级三个班分别有24人，36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，每组最多多少人？每个班可以分几组？例三：一张长方形纸长112厘米，宽80厘米，把它剪成若干个同样大的正方形，使边长是整厘米，且不能有剩余，最少能剪多少个？练习3○1一张长方形纸长96厘米，宽60厘米，把它剪成同样大的正方形，且不能有剩余，最少可以裁多少张？○2有一块试验基地,长75米,宽60米，现要将这块土地划分成面积相等的小正方形土地，那么，小正方形土地的面积最大是多少平方米？○3用长16厘米，宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最小需要用这样的木板多少块？例四：张妮有若干张画片，7张一数还余4张，5张一数又少3张，3张一数正好。
问：张妮至少有多少张画片？练习4○1一批书大约300到400本,若每包12本,还剩11本；每包18本,还缺1本；每包15本，有7包，每包各多2本，这批书有多少本？○2某班学生列队，3人一排多1人,5人一排多3人,7人一排多2人，这个班至少有多少人？○3五年级两个班的同学一起排队出操，如果9人排一行，多出1个人，如果10人排一行，同样多出1人，问这样两个班至少共有多少人？例五：将长宽高分别是120厘米，90厘米，60厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，而没有剩余，锯成的木块棱长最长是多少？共可以锯成多少块？练习5○1有一块长方形木料,长325厘米,宽175厘米,厚75厘米,把它锯成相等的正方体木块,最少可以锯多少块?每块的棱长是多少厘米？○2一间长5.6米，宽3.2米得小阳台，现要在它的水泥地面上划成正方形的格子，这种方格面积最大是多少平方米？○3长180厘米、宽45厘米、高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）多少块？例六：两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144，这两个数各是多少？有几组这样的数？○1两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数。
五年级奥数 质数合数分解质因数
一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
人教版五年级奥数练习：分解质因数 (2)
人教版五年级奥数练习：分解质因数
例题2 有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。
共有多少种分法？
分析先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。
练习二
1，把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。
2，四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？
3，把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。
甲说：“我的三个数的积是48。
”乙说：“我的三个数的和是16。
”丙说：“我的三个数的积是63。
”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？
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五年级奥数第三讲分解质因数
第三讲分解质因数教学目标：.掌握分解质因数地方法，能用质因数地积地形式表示一个合数..灵活运用相关知识解答综合问题.知识点拨：.质因数与分解质因数：如果一个质数是某个数地因数，那么就说这个质数是这个数地质因数.把一个合数用质因数相乘地形式表示出来，叫做分解质因数.例：把分解质因数.解：＝××.其中、、叫做地质因数.又如＝××，、都叫做地质因数.. 我们把一个自然数平方所得到地数叫做完全平方数或叫做平方数.如，＝，＝，，…，，，…其中，，，，…，，，…都叫做完全平方数.文档来自于网络搜索下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数地指数有什么特征. 例如：把下列各完全平方数分解质因数：，，，，.解： × ×× ××可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数地指数均是偶数.反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数地指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数.经典例题：例：三个连续自然数地乘积是，求这三个数.解：∵×××∴可知这三个数是、和.例：长、宽均为自然数，面积为地形状不同地长方形共有多少种？分析：面积为是长与宽地乘积.可把分解质因数，再写成两个自然数相乘地形式.解：××××××答: 面积为地形状不同地长方形共有种.例：在×××××…×地末尾连续有多少个零？分析：×，在相乘地各个因数中，如果把它们分解质因数，产生一个和一个，末尾就会出现一个，在这一串因数中，含有因数地个数远多于含有因数地个数.因此，只需求出乘积中有几个地因数，就知有几个零.文档来自于网络搜索解：÷（个）÷（×）（个）÷（××）（个）……（个）答：积地末尾有个零.例：一个整数与地乘积是一个完全平方数，求地最小值与这个平方数.分析∵与地乘积是一个完全平方数，∴乘积分解质因数后，各质因数地指数一定全是偶数.解：∵××××，又∵××地质因数分解中各质因数地指数都是奇数，∴必含质因数、、，因此最小为××.∴×＝×××＝×＝.答：地最小值为，这个完全平方数是.巩固练习：基础训练题:．有三个质数，它们地乘积是，这三个质数各是多少？．张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得地名次、分数和他地岁数三者地积是.求张明地成绩、名次和年龄分别是多少？文档来自于网络搜索．五个相邻自然数地乘积是，求这五个自然数.. 有个孩子，恰好一个比一个大岁，人地年龄积是，这个孩子中最大地几岁？．一个长方体地长、宽、高是三个连续地自然数.已知这个长方体地体积是立方厘米，那么，这个长方体地表面积是多少？文档来自于网络搜索．老师用元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜元钱，那么他就能多买支.每支钢笔原价多少元？.有个人都是四月出生地，并且都属猪，某年它们地岁数地乘积是，这一年他们地岁数之和是多少？文档来自于网络搜索.一个非零整数与地乘积是一个完全平方数，则地最小值是多少？拓展提高题:. 写出若干个连续地自然数，使它们地积是，这若干个自然数分别是多少？. 在×××××…×地末尾连续有多少个零？.要是××××××□积地末五位都是，□里填入地自然数最小是多少？. 把、、、、这五个数分成两组，使每组数地乘积相等.解：∵，，×，＝×，×，这些数中质因数、、、各共有个，所以如把（×）放在第一组，那么和（×）只能放在第二组，继而（＝×）只能放在第一组，则必须放在第二组.文档来自于网络搜索这样×××.这五个数可以分为和，、和两组..小兰家地电话号码是七位数，它恰好是几位连续质数地乘积，这个积地末四位数是前三位数地倍，小兰家地电话号码是多少？文档来自于网络搜索。
小学五年奥数-质数合数分解质因数
质数、合数和分解质因数【知能大展台】一个自然数，如果只有1和它本身这两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个自然数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
【试金石】例1：三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？【分析】由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。
另外两个质数的和是78，要使乘积尽可能的大，那么这两个质数的差值应尽可能的小。
显然，和是78的两个质数中，以41和37的差最小，即这两个数的积最大。
【解答】80=2+37+412×37×41=3034答：这三个质数的积最大是3034。
【智力加油站】【针对性训练】三个质数的和是62，这三个质数的积最大是多少？【试金石】例2：班主任李老师带领五年（一）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知李老师与学生共种了312棵树，老师与学生、每人种的树一样多，并且不超过10棵。
这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？【分析】种树总数=每人种树棵数×师生总人数即：312=每人种树棵数×（1+学生人数）由于学生人数是3的倍数，再加上李老师一人，则师生总人数被3除余1。
因此先将312分解质因数312=2×2×2×3×13，然后按题意进行组合使之成为两数之积。
【解答】312=2×2×2×3×13若312=24×13，13为师生总人数，则每人种树24棵，与题意不相符。
若312=6×52，52为师生总人数，则每人种树6棵。
答：这个班共有学生51人，每人种6棵。
【智力加油站】【针对性训练】小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号大6，小青买的电影票是几排几座？【试金石】例3在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．【解答】当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．答：原来的积为1755或1800．【智力加油站】【针对性训练】在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。
五年级上册奥数质数、合数和分解质因数 (例题含答案)
第二讲质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
五年级奥数-分解质因数(一)
例1 、两根同样长的铁丝， 第一根剪去18厘米，第二 根剪去26厘米，余下的铁 丝第一根是第二根的3倍。 原来两根铁丝各长多少厘 米？
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分析： 先把18分解质因数：18=2×3×3，
所以，一共有4种不同的分法。
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练习一
1，有60个同学分成人数相等的小组 去慰问解放军叔叔，每组不少于6人， 不多于15人。有哪几种分法？ 2，195个同学排成长方形队伍做早 操，行数和列数都大于1，共有几种 排法？ 3，甲数比乙数大9，两个数的积是 792，求甲、乙两数分别是多少。
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例2 、有168颗糖，平均分成若 干份，每份不得少于10颗，也不 能现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
大家好
1
分解质因数（一）
主讲：刘文峰
2
专题简析：
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这 个数的质因数。 把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来， 叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3， 75=3×5×5。 我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求 最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把 一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我 们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解 题。
9
例3、将下面八个数平均分成 两组，使这两组数的乘积相 等。
2、5、14、24、27、55、 56、99
10
分析 ：
14=2×7
55=5×11
24=2×2×2×3 56=2×2×2×7
27=3×3×3
99=3×3×11
可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个
3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八
7
分析 ：
先把168分解质因数， 168=2×2×2×3×7，由于每份不 得少于10颗，也不能多于50颗，所 以，每份有2×2×3=12颗， 2×7=14颗，3×7=21颗， 2×2×2×3=24颗，2×3×7=42 颗，共有5种分法。
【原创】奥数解析（三十五）分解质因数
【原创】奥数解析（三⼗五）分解质因数五年级奥数解析（三⼗五）分解质因数《奥赛天天练》第三⼗五讲《分解质因数》。
如果⼀个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数。
把⼀个合数表⽰成⼏个质数相乘的形式，叫做分解质因数。
如果不考虑质因数的排列顺序，任意⼀个合数分解质因数的结果是唯⼀的。
常⽤的分解质因数的⽅法主要有两种：短除法和塔形分解。
如下图，给⼀个合数分解质因数，短除法就是利⽤短除式，按从⼩到⼤的顺序依次⽤这个数的质因数去除这个合数，⼀直除到结果为质数为⽌，找出这个合数所有的质因数；塔形分解就是先把这个合数写成两个因数的积，如果其中某个因数是合数，则继续上⾯的过程，⼀直分解到每个因数都是质数为⽌。
通过分解质因数，可以把对⾃然数的研究归结为质数的研究，从⽽找到解答相关数学问题的⽅法。
《奥赛天天练》第35讲，模仿训练，练习1【题⽬】：⼀个筐⾥共有72个梨，如果不⼀次拿出，也不⼀个⼀个拿出，但每次拿出的个数要相等，最后⼀次正好拿完，共有⼏种拿法？【解析】：72个梨每次拿出的个数相等，最后⼀次正好拿完，不能⼀次拿出，也不⼀个⼀个地拿，根据这些条件可知，每次拿出的个数⼀定是72的因数且不包括1和72本⾝。
对72分解因数，找出72所有⼤于1、⼩于72的因数（去掉1，最⼩的因数从2开始）：72=2×36﹦3×24﹦4×18﹦6×12﹦8×9符合条件的72的因数有10个：2、3、4、6、8、9、12、18、24、36。
所以共有10种拿法。
《奥赛天天练》第35讲，模仿训练，练习2【题⽬】：将8个数14，30，33，75，143，169，4445，4953分成两组，每组四个数，要使各组四个数相乘的积相等，其中⼀组中有14，另⼀组中四个数是多少？【解析】：要使各组四个数相乘的积相等，则两组所包含的质因数情况必然完全相同。
可以先对这8个数分解质因数，再根据相同质因数的分布情况进⾏分组。
小学奥数教程之-分解质因数
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分数的拆分【例 1】 算式“1希＋1望＋1杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。
【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空 例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】11【例 2】 3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这3个质数从小到大为a 、b 、c ，它们的倒数分别为1a 、1b 、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a b c ⨯⨯，求和得到的分数为F abc ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a 、b 、c 或它们之间的积.现在和为16611986，分母198623331=⨯⨯，所以一定是2a =，3b =，331c =，检验满足.所以这3个质数的和为23331336++=．【答案】23331336++=【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694÷= ，所以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481⨯-=，但4811337=⨯，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487⨯+=，而487是质数．所以原来分数分子为487．【答案】487【例 4】 将1到9这9个数字在算式()()()()()()1-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有1b d cb ad a c a c a c--==⨯⨯，即有1cb ad -=，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。
五年级数学分解质因数
五年级数学分解质因数一、分解质因数的概念。
1. 定义。
- 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。
例如，12 = 2×2×3，这里2和3都是质数，12就是合数，把12写成2、2、3相乘的形式就是对12进行分解质因数。
2. 质数与合数的回顾（基础）- 质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
例如2、3、5、7、11等都是质数。
- 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
例如4（因数有1、2、4）、6（因数有1、2、3、6）、8等都是合数。
1既不是质数也不是合数。
二、分解质因数的方法。
1. 短除法。
- 步骤。
- 以要分解质因数的数为被除数，从最小的质数开始除起。
例如分解36，最小的质数是2，36÷2 = 18。
- 继续用所得的商除以质数，如果商是合数就继续除。
18÷2 = 9。
- 当商是质数时停止。
9÷3 = 3，此时3是质数，停止除法运算。
- 结果表示。
- 把所有的除数和最后的商写成连乘的形式，36 = 2×2×3×3。
2. 树状图法（分解法）- 步骤。
- 把要分解质因数的数写在最上面。
例如分解24，先写24。
- 找到24的一个质因数，比如2，将24分解为2和12，写成树状形式（24下面分两个分支，左边写2，右边写12）。
- 再对12进行分解，12 = 2×6，继续在12的分支下写2和6。
- 对6分解，6 = 2×3，直到所有的数都是质数为止。
- 结果表示。
- 把树状图最末端的质数相乘，24 = 2×2×2×3。
三、分解质因数的应用。
1. 求最大公因数。
- 例如求18和24的最大公因数。
- 先分解质因数，18 = 2×3×3，24 = 2×2×2×3。
五年级奥数专题 质数、合数、分解质因数(学生版)
学科培优数学“质数、合数、分解质因数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及,并且多以判断题考察。
质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式,但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。
质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。
在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
知识梳理一、质数与合数的基本概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数,这个数就称为一个质数,也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数,这个数就称为一个合数3.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数,因此,我们可以说,自然数可以分成三部分,即,0和1,质数,合数。
2. 最小的质数是2,最小的合数是4。
3. 常用的100以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97其中2是唯一的偶数,5是唯一个位上数字是5的数,其余的数字个位只为1,3,7,94. 部分特殊数的分解：=⨯1000173137=⨯=⨯⨯1111141271=⨯100171113111337=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯200733223=⨯⨯⨯1998233337199535719=⨯⨯⨯+==⨯⨯10101371337 2008222251=⨯⨯⨯200720084015511735. 质数的判定方法判断一个数是否是质数,可以采用“连续小质数试除法”。
例如：判断251是否是质数,可以从最小的质数2开始依次除251,直到所得的商比除数小为止,可以断定251是质数。
251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6, (251)17=14…13,此时除数17＞商14,由此说明251是质数。
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五年级奥数专题-分解质因数
分解质因数（一）
【专题导引】
一个自然数的因数中,为质数的因数叫做这个数的质因数.
把一个合数,用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.例如：24=2×2×2×3,75=3×5×5.
我们数学课本上介绍的分解质因数,是为求最大公因数、最小公倍数服务的.其实,把一个数分解成质因数相乘的形式,能启发我们寻找解答许多难题的突破口,从而顺利解题.
【典型例题】
【例1】把18个苹果平均分成若干份,每份大于1个,小于18个.一共有多少种不同的分法？
【试一试】
1、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔,每组不少于6人,不多于15人,有哪几种分法？
2、195个同学排成长方形队伍做早操,行数和列数都大于1,共有几种排法？【例2】写出若干个连续的自然数,使它的积是15120.
【试一试】
1、有一个长方体,它的长、宽、高是三个连续的自然数,且体积是39270立方厘米,求这个长方体的表面积.
2、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024,问这4个孩子中最大的几岁？
【例3】将下面八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等.
2、5、14、24、27、55、56、99
【试一试】
1、有三个自然数a、b、c,已知a×b=30,b×c=35,c×a=42,求a×b×c的积是多少？
2、把40、44、45、6
3、65、78、99、105这八个数平均分成两组,使两组四个数的乘积相等.
【例4】王老师带领一班同学去植树,学生恰好分成4组,如果王老师和学生每人植树一样多,那么他们一共植了539棵.这个班有多少个学生？每人植树多少棵？
【试一试】
1、3月12日是植树节,李老师带领同学排成两路人数相等的纵队去植树,已知李老师和同学们每人植树的棵数相等,一共植了111棵树,求有多少个同学？
2、小青去看电影,他买的票的排数与座位号数的积是391,而且排数比座位号数大6,小青买的电影票是几排几座？
【﹡例5】下面的算式里,□里数字各不相同,求这四个数字的和.
□□×□□=1995
【﹡试一试】
1、在下面算式的框内,各填入一个数字,使算式成立.
□□□×□=1995
2、下面四张小纸片各盖住一个数字,如果这四个数字是连续的偶数,请写出这个完整的算式.
□□×□□=1288
课外作业
家长签名：
1、100以内的质数有哪些？
2、54÷（）=（）……4,在括号内填入适当的数,使等式成立,共有几种不同的填法？
3、甲数比乙数大9,两个数的积是792,求甲、乙两数分别是多少？
4、四个连续奇数的积是19305,这四个奇数各是多少？
5、把30、33、42、52、65、6
6、6
7、7
8、105九个数分成三组,使每个组的数的乘积相等,写出这三组数.
6、把一篮苹果分给4人,使四人的苹果数一个比一个多2,且他们的苹果个数之积是1920,这篮苹果共有几个？
﹡7、在下面算式里,四个小纸片各盖住一个数字,被盖住的四个数字总和是多少？
第三讲 分解质因数（二）
【专题导引】
许多题目,特别是一些竞赛题,初看起来很玄妙,但它们都与乘积有关,对于这类题目,我们可以用分解质因数的方法来解.因此,掌握并灵活应用分解质因数的知识,能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题.
【典型例题】
【例1】三个质数的和是80,这三个数的积最大可以是多少？
【试一试】
1、如果A ＋B=70,A ×B ＝1161,那么A －B 等于多少？
1、把1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人,每人各3张.甲说：“我的三个数的积是48.”乙说：“我的三个数的和是16.”丙说：“我的三个数的积是63.”问甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？
【例2】一个两位数除310余37,这个数可以是（ ）或（ ）.
× 6 5 3 1
【试一试】
1、237除以一个两位数,所得的余数是6,请写出适合于这个条件的所有两位数.
2、5100除以一个三位数,余数是95,这个三位数最大是多少？
【例3】某班同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好平均分成三组,如果师生每人种树一样多,一共种了1073棵.那么,平均每人种了多少棵？
【试一试】
1、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数.已知这个长方体的体积是9240立方厘米,那么,这个长方体的表面积是多少？
2、老师用216元买一种钢笔若干支,如果每支钢笔便宜1元钱,那么他就能多买3支.问：每支钢笔原价多少元？
【例4】把186155和187
221约分.
【试一试】
把下面的几个分数约分.
1、 69
46 2、 117143
【﹡例5】小明用2.16元买了一种画片若干张,如果每张画片的价钱便宜1分钱,那么他还能多买3张.问小明买了多少张画片？
【﹡试一试】
1、求2310的约数中,除它本身以外最大的约数是多少？
2、自然数a 乘以2376,所得的积正好是自然数b 的平方.求a 最小是多少？
课 外 作 业
家长签名：
1、在下面括号内填上15以内适当的质数.
10=（ ）+（ ）=（ ）×（ ）=（ ）－（ ）
2、如果A ×B=50,它们的和最大是多少？
3、长方形的面积是375平方米,已知它的宽比长少10米,长和宽的和是多少米？
4、有一块长方形的场地,它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的,求这块长方形场地的周长.
5、王老师带同学们擦玻璃,同学们恰好平均分成3组.如果师生每人擦的块数同样多,一共擦111块,那么,平均每人擦了多少块？
6、把下面的几个分数约分.
（1）323
247 （2）253161
﹡7、将750元奖金平均分给若干个获奖者,如果每人所得的钱数化成角为单位的数就正好是得钱人数的12倍.求获奖人数和每人分得的钱数.。