【新人教】高考数学专题复习《简易逻辑》测试题2013

第5课时 简易逻辑

一．课题：简易逻辑

二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；

理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．

三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；

2．由真值表判断复合命题的真假；

3．四种命题间的关系．

（二）主要方法：

1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注

意类比；

2．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”、“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”、

“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；

3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”

的形式；

4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、

定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．

（三）例题分析：

例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：

（1）菱形对角线相互垂直平分．

（2）“23≤”

解：(1)这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形的对角线相互垂直；:q 菱形的对角线相互平

分，

∵p 为真命题，q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题．

（2）这个命题是“p 或q ”形式，:p 23<；:q 23=，

∵p 为真命题，q 是假命题 ∴p 或q 为真命题．

注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的

真假，再由真值表判断复合命题的真假．

例2．分别写出命题“若220x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．

解：否命题为：若220x y +≠，则,x y 不全为零

逆命题：若,x y 全为零，则220x y +=

逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠

注：写四种命题时应先分清题设和结论．

例3．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．

解：方法一：原命题是真命题，

∵0m >，∴140m ∆=+>，

因而方程2

0x

x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题；

又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题． 方法二：原命题“若0m >，则2

0x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无

实根，则0m ≤”．∵20x x m +-=无实根

∴140m ∆=+<即104

m <-

≤，故原命题的逆否命题是真命题． 例4．已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程

244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．

分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．

解：由命题p 可以得到：2400m m ⎧∆=->⎨>⎩

∴2m > 由命题q 可以得到：2[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<<

∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴,p q 有且仅有一个为真

当p 为真，q 为假时，262,6

m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩ 当p 为假，q 为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩

所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．

例5．已知函数

()f x 对其定义域内的任意两个数,a b ，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根．

解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根12,x x ，不妨假设12x x <，

由方程的定义可知：12()0,()0f x f x ==

即12()()f x f x =①

由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾

因此假设不能成立

故原命题成立．

注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．

例6．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，

那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）

A.假设,,a b c 都是偶数

B.假设,,a b c 都不是偶数

C.假设,,a b c 至多有一个是偶数

D.假设,,a b c 至多有两个是偶数

（四）巩固练习：

1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ）

A ．若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确

C. 若p 正确，则q 不正确

D. 若p 正确，则q 正确

2．“若240b ac -<，则

20a x b x c ++=没有实根”，其否命题是 （ ）

A. 若240b ac ->，则20a x

b x

c ++=没有实根 B. 若240b ac ->，则20a x b x c ++=有

实根 C. 若240b ac -≥，则20a x b x c ++=有实根 D. 若240b

ac -≥，则20a x b x c ++=没

有实根

五．课后作业：《优化设计》P9-10 基础过关

教学反思：