高考数学模拟复习试卷试题模拟卷092 3
高三数学高考模拟试题及答案.doc-人教版[原创]
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高三数学高考模拟试题一、选择题（每小题5分；共60分）1．非空集合A 、B 满足≠⊂B A ；U 是全集；则下列式子；①B B A = ；②A B A = ；③（A U） B＝U ；④（A U） （B U）＝U 中成立的是（ ）．A ．①；②B ．③；④C ．①；②；③D ．①；②；③；④2．已知OM ＝（3；-2）；ON ＝（-5；-1）；则21MN 等于（ ）． A ．（8；1） B ．（-8；1） C ．（-8；-1） D ．4(-；21）3．函数)3(log 1sinl x y -=的定义域是（ ）．A ．（2；3）B ．[2；)3C ．（2；]3D ．（2；＋∞） 4．如果数列}{n a 的前n 项和))(49(41*N ∈-=n S n nnn ；那么这个数列（ ）． A ．是等差数列而不是等比数列 B ．是等比数列而不是等差数列 C ．既是等差数列又是等比数列 D ．既不是等差数列又不是等比数列5．锐二面角βα--l 的棱l 上一点A ；射线α⊂AB ；且与棱成45°角；又AB 与β成30°角；则二面角βα--l 的大小是（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．有6个人分别来自3个不同的国家；每一个国家2人。
他们排成一行；要求同一国家的人不能相邻；那么他们不同的排法有（ ）．A ．720B ．432C ．360D ．2407．直线经过点A （2；1）；B （1；2m ）两点)(R ∈m ；那么直线l 的倾斜角取值范围是（ ）．A ．[0；)πB ．[0；2π(]4π；)π C ．0[；]4π D ．4π[；2π()2π ；)π 8．下列函数中同时具有性质；（1）最小正周期是π；（2）图象关于3π=x 对称；（3）在6π[-；]3π上是增函数的是（ ）． A ．)6π2sin(+=x y B ．)3π2cos(+=x y C ．)6π2sin(-=x y D ．)6π2cos(-=x y 9．设双曲线12222=-by a x 的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点；右焦点为F ；且F A ⊥FB ；则双曲线的离心率为（ ）．A ．2B ．3C ．2D ．332 10．设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表那么分数在[100；110]中和分数不满110分的频率和累积频率分别是（ ）．A ．0.18；0.47B ．0.47；0.18C ．0.18；1D ．0.38；1 11．已知)3π2sin(3)(+=x x f ；则以下选项正确的是（ ）． A ．f （3）＞f （1）＞f （2） B ．f （3）＞f （1）＞f （2） C ．f （3）＞f （2）＞f （1） D ．f （1）＞f （3）＞f （2） 12．下列各组复合命题中；满足“p 或q ”为真；“p 且q ”为假；“非p ”为真的是（ ）． A ．p ；0＝∅；q ；0∅∈B ．p ；过空间一点有且仅有一条直线与两异面直线a ；b 都相交；q ；在△ABC 中若B A 2cos 2cos =；则A ＝BC ．p ；不等式x x >||的解集为（-∞；0）；q ；y ＝x sin 在第一象限是增函数D ．p ；01cos 1sin >-；q ；椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x ＝4二、填空题（每小题4分；共16分） 13．已知一个球的半径为1；若使其表面积增加到原来的2倍；则表面积增加后球的体积是______________． 14．函数59323+--=x x x y 的单调递减区间是______________．15．已知α、β是实数；给出下列四个论断；（1）||||||βαβα+=+；（2）||||βαβα+≤-；（3）22||>α；22||>β；（4）5||>+βα．以其中的两个论断为条件；其余两个论断作为结论；写出你认为正确的一个命题；________．16．一天内的不同的时刻；经理把文件交由秘书打字。
〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科高考模拟卷9
〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科高考模拟卷创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01审核人：北堂正中创作单位：北京市智语学校一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1.（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A. B. C. D.4.（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.1205.（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A.14B.13C.12D.106.（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A.计算数列{2n﹣1}的前10项和B.计算数列{2n﹣1}的前9项和C.计算数列{2n﹣1}的前10项和D.计算数列{2n﹣1}的前9项和7.（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A. B. C.5 D.108.（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A.∀x∈R，f（x）≤f（x0）B.﹣x0是f（﹣x）的极小值点C.﹣x0是﹣f（x）的极小值点D.﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点9.（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n﹣1），c n=a m（n﹣1）+1•a m（n﹣1）+2•…•a m（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确+m的是（）A.数列{b n}为等差数列，公差为q mB.数列{b n}为等比数列，公比为q2mC.数列{c n}为等比数列，公比为D.数列{c n}为等比数列，公比为10.（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A.A=N*，B=NB.A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C.A={x|0＜x＜1}，B=RD.A=Z，B=Q二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置.11.（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为.12.（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是.13.（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为.14.（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于.15.（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=.三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17.（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值.18.（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点.（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程.19.（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式.（直接写出答案，不必说明理由）20.（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象.（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有个零点.本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21.（7分）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（I）求实数a，b的值（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标.22.（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上.（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系.23.设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值.参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1.（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项.【解答】解：因为复数z的共轭复数，所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）.z在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查.2.（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论.【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A.【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件.3.（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A. B. C. D.【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离.【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=.故选：C.【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键.4.（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A.588B.480C.450D.120【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求.【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8.由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人.故选：B.【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力.5.（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A.14B.13C.12D.10【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a ≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a 的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解.【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种.（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△=4﹣4ab≥0，∴ab≤1.所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选：B.【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用.考查分类讨论思想.6.（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）A.计算数列{2n﹣1}的前10项和B.计算数列{2n﹣1}的前9项和C.计算数列{2n﹣1}的前10项和D.计算数列{2n﹣1}的前9项和【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能.【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+ (29)算法结束.故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和.故选：A.【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律.7.（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（）A. B. C.5 D.10【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可.【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，，该四边形的面积：==5.故选：C.【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力.8.（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A.∀x∈R，f（x）≤f（x0）B.﹣x0是f（﹣x）的极小值点C.﹣x0是﹣f（x）的极小值点D.﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f （﹣x）的极小值点.【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确.故选：D.【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.9.（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n﹣1），c n=a m（n﹣1）+1•a m（n﹣1）+2•…•a m（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确+m的是（）A.数列{b n}为等差数列，公差为q mB.数列{b n}为等比数列，公比为q2mC.数列{c n}为等比数列，公比为D.数列{c n}为等比数列，公比为【分析】①，当q=1时，b n=ma m（n﹣1），b n+1=ma m（n﹣1）+m=ma m（n﹣1）=b n，此时是常数列，可判断A，B两个选项②由于等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得，=，得出即可判断出C，D两个选项.【解答】解：①，当q=1时，b n=ma m（n﹣1），b n+1=ma m（n﹣1）+m=ma m（n﹣1）=b n，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；当q≠1时，，=，此时，选项B不正确，又b n﹣b n=，不是常数，故选项A不正确，+1②∵等比数列{a n}的公比为q，∴，∴=，∴===，故C正确D不正确.综上可知：只有C正确.故选：C.【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键.10.（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f （x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A.A=N*，B=NB.A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C.A={x|0＜x＜1}，B=RD.A=Z，B=Q【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B 是函数的值域，且函数为定义域上的增函数.排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案.【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f （x2），所以选项A是“保序同构”；对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f （x2），所以选项B是“保序同构”；对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D.故选：D.【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填写在答题卡的相应位置.11.（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为.【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解.【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==.故答案为：.【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.12.（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π.【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可.【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=，r=，所以球的表面积为：4πr2=12π.故答案为：12π.【点评】本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体以及球的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力.13.（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为.【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长.【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，在△ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，则BD=.故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.14.（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于.【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°.又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而.设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可.【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°.又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴.设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得.∴该椭圆的离心率e=.故答案为.【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法.15.（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=.【分析】根据二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论.【解答】解：二项式定理得C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n两边同时积分得：从而得到如下等式：=故答案为：.【点评】本题主要考查二项式定理的应用.是道好题，解决问题的关键在于对C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n=（1+x）n，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了.三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率.（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）.根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案.【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，因为P（X=5）=，∴P（A）=1﹣P（X=5）=；即他们的累计得分x≤3的概率为.（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，由于E（2X1）＞E（3X2），∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大.【点评】本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键.17.（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值.【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值.【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），.（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a.又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0.从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值.综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值.【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题.18.（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点.（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积之比为4：1，求直线l 的方程.【分析】（I ）由题意，求出过且与x 轴垂直的直线方程为x=i ，B i 的坐标为（10，i ），即可得到直线OB i 的方程为.联立方程，即可得到P i 满足的方程；（II ）由题意，设直线l 的方程为y=kx +10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S △OCM =S △OCN ，可得|x 1|=4|x 2|.即x 1=﹣4x 2.联立即可得到k ，进而得到直线方程.【解答】（I ）证明：由题意，过且与x 轴垂直的直线方程为x=i ，B i 的坐标为（10，i ），∴直线OB i 的方程为. 设P i （x ，y ），由，解得，即x 2=10y. ∴点都在同一条抛物线上，抛物线E 的方程为x 2=10y. （II ）由题意，设直线l 的方程为y=kx +10， 联立消去y 得到x 2﹣10kx ﹣100=0，此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，设为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=10k ，x 1x 2=﹣100，∵S △OCM =4S △OCN ，∴|x 1|=4|x 2|.∴x 1=﹣4x 2. 联立，解得.∴直线l 的方程为.即为3x +2y ﹣20=0或3x ﹣2y +20=0.【点评】本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力.19.（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式.（直接写出答案，不必说明理由）【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明.（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案.写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f （k）.【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1.（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）.∴，，.设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3.∴.设AA1与平面AB1C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1.（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案.写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力.20.（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象.（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有个零点.【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cosx＜⇒sinx＞cos2x ＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解.通过G′（x）＞0，可知G（x）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G（）＞0，从而可得答案；（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）.问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况.通过其导数，列表分析即可求得答案.【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为，φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x.将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，∴g（x）=sinx.（2）当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cos2x＜，∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解.设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（，），则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），∵x∈（，），∴G′（x）＞0，G（x）在（，）内单调递增，又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（，）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（，）满足题意.（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）.现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣的解的情况.令h（x）=﹣，x∈（0，π）∪（π，2π），则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况.h′（x）=，令h′（x）=0，得x=或x=，当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，π）（π，）（，2π）h′（x）+0﹣﹣0+h（x）↗1↘↘﹣1↗当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有个零点；又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，=3×671，∴依题意得n=671×2=1342.综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有个零点.【点评】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题.22.（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上.（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系.【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较.【解答】解：（Ⅰ）点A在直线l上，得，∴a=，故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；（Ⅱ）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1。
高考数学模拟题复习试卷高考数学试卷(理科)9
高考数学模拟题复习试卷高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．2406．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7C．k≤8D．k≤99．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣110．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选：C．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选：B．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选：D．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：|z|===．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．【分析】依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．【解答】解：∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案为：64．【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种间接法：﹣﹣﹣+1=590故答案为：590．【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．故答案为5．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．【解答】解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），则|AB|=16．故答案为：16．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．【分析】（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为x 0 10 50 200PEX==4元【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．【分析】（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．【解答】解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=【点评】本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．【解答】解：（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C为三角形的内角，则C=；（2）由题意==，∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，解得：tanα=1或tanα=4．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2=8．把b2=8代入②得，a2=16．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2=8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．故所求圆Q的标准方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．【分析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据Pn中有3个数与In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．（2）先用反证法证明证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．【解答】解：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}=Pn={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）与k=1时Pn中的数重复，当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46．（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}．当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}．最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．综上可得，n的最大值为14．【点评】本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。
高考数学模拟试卷复习试题高三模拟卷文科数学9
高考数学模拟试卷复习试题高三模拟卷文科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1．已知集合A={x|x23x<0},B={y|y=},则A∩B（）A.(0,3)B.[1,3)C.(3,0)D.(3,1]2.若复数z满足z2=4，则复数z的实部为（）A．2B．1C．2D．03.已知命题p:“x<0”是“x+1<0”的充分不必要条件,命题q:“∃x0∈R,x0>0”的否定是“∀x∈R,x2x≤0”,则下列命题是真命题的是（）A.p∨(¬q)B.p∧qC.p∨qD.(¬p)∧(¬q)4. 已知圆C过点A(2,4),B(4,2),且圆心C在直线x+y=4上,若直线x+2yt=0与圆C相切,则t的值为（）A.6±2B.6±2C.2±6D.6±45.已知函数y=sinωx在[，]上是减函数，则ω的取值范围是（）A．[−，0)B．[3，0）C．(0，]D．（0，3]6. 设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入下边程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为107.若三角形ABC中，sinCsin（AB）=sin2（A+B），则此三角形的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2B．3C．4D．69.如图，点A（2，m），B（n，2），均在双曲线y=（x＞0）上，过点A，B分别作AG⊥y轴，BH⊥x轴，垂足为G，H，下列说法错误的是（）A．AO=BO B．∠AOB可能等于30°C．△AOG与△BOH的面积相等D．△AOG≌△BOH10.已知平面区域D={（x，y）|}，Z=．若命题“∀（x，y）∈D，Z≥m”为真命题，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．11.设点M，N为圆x2+y2=9上两个动点，且|MN|=4，若点P为线段3x+4y+15=0（xy≥0）上一点，则|+|的最大值为（）A．4B．6C．8D．1212.已知e是自然对数的底数，函数f（x）=（ax2+x）ex，若f（x）在[1，1]上是单调增函数，则a的取值范围是（）A．[，0]B．（∞，0）∪[，+∞）C．[0，]D．（∞，]∪[0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数y=的定义域为R，则k∈。
高考数学模拟题复习试卷高三第二次联考·数学试卷9
高考数学模拟题复习试卷高三第二次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:第1次联考内容＋三角函数与解三角形＋平面向量.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M＝{x|2x2－x－6＜0},N＝{x|0＜x≤4},则M∩N等于A.(0,2)B.(－,0)C.(－2,3)D.(－2,2)2.已知命题p:对∀x∈(0,＋∞),有3x＞2x;命题q:∃θ∈R,sinθ＋cosθ＝,则下列命题为真命题的是A.p∧qB.p∧(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)3.设a＝(,cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直,则cos2θ的值等于A.－B.0C.－D.－14.设函数f(x)＝的最小值为－1,则实数a的取值范围是A.[－,＋∞)B.(－∞,－]C.(－1,]D. [1,＋∞)5.若四边形ABCD满足:＋＝0,(＋)·＝0,则该四边形一定是A.矩形B.正方形C.菱形D.直角梯形6.设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且atanB＝,bsinA＝4,则a等于A.3B.C.4D.57.已知非零向量a,b的夹角为60°,且满足|a－2b|＝2,则a·b的最大值为A. B.1C.2D.38.若函数f(x)＝sinωx＋cosωx(x∈R,ω＞0),又f(α)＝－2,f(β)＝0,且|α－β|的最小值为,则函数g(x)＝f(x)－1在[－2π,0]上零点的个数为A.0B.1C.2D.39.已知△ABC各角的对应边分别为a,b,c,且满足＋≥ 1,则角A的取值范围是A.(0,]B.(0,]C.[,π)D.[,π)10.已知向量a,b的模均为2,且＜a,b≥.若向量c满足|c－(a＋b)|＝,则|c|的取值范围为A.[2－,2]B.[1－,1＋]C.[2,2＋]D.[2－,2＋]11.已知函数f(x)＝,函数g(x)＝asin(x)－2a＋2(a＞0),若存在x1∈[0,1],对任意x2∈[0,1]都有f(x1)＝g(x2)成立,则实数a的取值范围是A.(,1]B.[,1)C.[,1]D.[,2]12.已知函数f(x)＝aln(x＋1)－x2,在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式＞1恒成立,则实数a的取值范围为A.(－12,15]B.(－∞,15]C.(12,30]D.[15,＋∞)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知sin2α＝cos(＋α),α∈(0,π),则sin2α＝▲.14.给出如下三个命题:①“x≥2”是“log2(x＋1)＞2”的充分不必要条件;②将函数y＝sin(2x－)的图象向左平移个单位可得到函数y＝sin2x的图象;③a,b为单位向量,其夹角为θ,若|a－b|＞1,则＜θ≤π.其中正确的命题是▲.(填序号)15.已知△ABC的三边a,b,c和其面积S满足S＝c2－(a－b)2,则tanC＝▲.16.圆心为O的圆内有一条弦BC,其长为2,动点A在圆上运动,且∠BAC＝45°,若∠ABC 为锐角,则·的取值范围是▲.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2sinx·sin(＋x)－2sin2x＋1(x∈R).(1)若f()＝,x0∈(－,),求cos2x0的值;(2)在锐角△ABC中,三条边a,b,c对应的内角分别为A,B,C,若b＝2,C＝,且满足f(－)＝, 求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)已知向量m＝(sinωx,cosωx),n＝(cosωx,－cosωx)(ω＞0),函数f(x)＝m·n的最小正周期为.(1)求ω的值;(2)设△ABC的三边a、b、c满足:b2＝ac,且边b所对的角为x,若关于x的方程f(x)＝k 有两个不同的实数解,求实数k的取值范围.19.(本小题满分12分)在平行四边形ABCD中,E是DC的中点,AE交BD于点M,||＝4,||＝2,,的夹角为.(1)若＝λ＋μ,求λ＋3μ的值;(2)当点P在平行四边形ABCD的边BC和CD上运动时,求·的取值范围.20.(本小题满分12分)在△OAC地段中,OB是连接△OBC与△OAB的一条道路,且OB＝(1＋)百米, 点B在AC 上,且∠AOB＝30°,∠BOC＝45°.设OA＝x(3≤x≤6)百米,OC＝y百米.(1)将y表示成x的函数;(2)当x取何值时,△AOC的面积最小?最小值是多少平方米?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos(2x－)＋2sin(x－)cos(x－),x∈R.(1)若对任意x∈[－,],都有f(x)≥a成立,求a的取值范围;(2)若先将y＝f(x)的图象上每个点纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,然后再向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图象,求函数y＝g(x)－在区间[－2π,4π]内的所有零点之和.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax,a∈R .(1)若函数f(x)在其定义域上为增函数,求a的取值范围;(2)当a＝1时,函数g(x)＝－x在区间[t,＋∞)(t∈N*)上存在极值,求t的最大值.(参考数值: 自然对数的底数e≈2.71828)高三第二次联考·数学试卷参考答案1.AM＝{x|－＜x＜2},所以M∩N＝{x|0＜x＜2}.2.B由题意可知命题p:∀x∈(0,＋∞),有3x＞2x,为真命题;命题q:∃θ∈R,使得sinθ＋cosθ＝为假命题.故选B.3.C根据题意得－＋2cos2θ＝0,∴cos2θ＝,则cos2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.4.A当x≥时,4x－3≥－1,∴当x＜时,f(x)＝－x＋a≥－1,即－＋a≥－1,得a≥－.5.C∵＋＝0,∴AB∥DC且AB＝DC,即四边形ABCD是平行四边形,又∵(＋)·＝0,∴·＝0,即BD⊥AC,∴四边形ABCD是菱形.6.D∵atanB＝,bsinA＝4,∴＝,即＝cosB＝,则tanB＝,∴a＝⇒a＝5.7.B∵a,b的夹角为60°,且|a－2b|＝2,∴a2＋4b2－4a·b＝|a|2＋4|b|2－2|a||b|＝4≥4|a||b|－2|a||b|＝2|a||b|,即|a||b|≤2,∴a·b＝|a||b|≤1.8.B∵|α－β|的最小值为,∴＝,则T＝3π,又∵ω＞0,∴ω＝＝.令g(x)＝f(x)－1＝2sin(x＋)－1＝0,得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋(k∈Z),即x＝3kπ－或x＝3kπ＋(k∈Z).当且仅当k＝0时,有x＝－符合题意.9.A由已知得:b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b),即b2＋c2－a2≥bc,将不等式两边同除以2bc得≥,即cosA≥(0＜A＜π),所以0＜A≤.10.D如图所示,圆的半径为,|a＋b|＝2.当c与a＋b共线时,|c|分别取得最大值2＋与最小值2－,所以|c|的取值范围为[2－,2＋].11.C因为f(x)＝,所以当x1∈[0,1]时,f(x1)∈[0,1],因为x2∈[0,1],所以x2∈[0,],又a＞0,所以asin(x2)∈[0,a],所以g(x2)∈[2－2a,2－a],因为若存在x1∈[0,1],对任意x2∈[0,1]都有f(x1)＝g(x2)成立,所以解得a∈[,1].12.D由于＞1 表示点(p＋1,f(p＋1)) 与点(q＋1,f(q＋1))连线的斜率,因实数p,q在区间(0,1)内,故p＋1 和q＋1在区间(1,2)内.∵不等式＞1恒成立,∴函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1,故函数的导数大于1在(1,2)内恒成立.由函数的定义域知x＞－1,∴f'(x)＝－2x＞1 在(1,2)内恒成立,即 a＞2x2＋3x＋1在(1,2)内恒成立.由于二次函数y＝2x2＋3x＋1在[1,2]上是单调增函数,故 x＝2时,y＝2x2＋3x＋1 在[1,2]上取最大值为15,∴a≥15.13.由已知得2sinαcosα＝sinα,即cosα＝,∵α∈(0,π),∴sinα＝,sin2α＝2××＝.14.②③由log2(x＋1)＞2得x＞3,则“x＞2”是“log2(x＋1)＞2”的必要不充分条件,故①错误;②正确;由|a－b|＞1,得cosθ＜,θ∈[0,π],所以＜θ≤π,③正确.15.S＝c2－(a2＋b2)＋2ab＝－2abcosC＋2ab＝2ab(1－cosC)＝absinC,＝,∴＝,∴tan＝,tanC＝＝＝.16.(－2,2]因为BC＝2,∠A＝45°,所以2R＝⇒R＝,建立如图所示的直角坐标系,则B(－1,0),C(1,0),O(0,1),求得圆O:x2＋(y－1)2＝2.设A(x,y),则因为－1＜x≤,所以·＝2x∈(－2,2].17.解:(1)f(x)＝2sinx·cosx－2sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋).因为x0∈(－,),所以x0＋∈(0,).又因为f()＝sin(2·＋)＝sin(x0＋)＝,得sin(x0＋)＝.所以cos(x0＋)＝＝.所以cos2x0＝sin(2x0＋)＝sin[2(x0＋)]＝2sin(x0＋)cos(x0＋)＝2··＝.5分(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋),所以f(－)＝sin[2(－)＋]＝sinA＝,sinA＝,又因为△ABC为锐角三角形,所以A＝,又因为C＝,所以B＝,所以b＝c＝2,△ABC的面积S＝bcsinA＝×2×2×sin＝1.10分18.解:(1)f(x)＝m·n＝sinωxcosωx－cos2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＝sin2ωx－＝sin(2ωx－)－,∴T＝＝,ω＝2.5分(2)由余弦定理得cosx＝＝≥＝,∴0＜x≤,由 f(x)＝k得sin(4x－)＝k＋,由函数y＝sin(4x－)(0＜x≤)的图象知,方程sin(4x－)＝k＋有两个不同的实数解等价于－＜k＋＜1,所以－1＜k＜.12分19.解:(1)如图所示,易得△ABM与△EDM相似,且＝＝＝2,∴＝,又＝＋＝＋＝＋,∴＝(＋)＝＋,＝＋,＝－,代入＝λ＋μ,得＋＝λ(＋)＋μ(－)＝(λ＋μ)＋(λ－μ),∴,解得λ＝,μ＝,∴λ＋3μ＝＋3×＝1.6分(2)如图所示,以A为原点,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系.则A(0,0),B(4,0),C(5,),D(1,),E(3,).∴＝(4,0)＝,＝(1,)＝,＝(3,),①当点P位于边BC上时,设＝m(0≤m≤1).则＝＋＝＋m＝(4,0)＋m(1,)＝(4＋m,m),∴·＝(4＋m,m)·(3,)＝3(4＋m)＋3m＝6m＋12.∵0≤m≤1,∴12≤6m＋12≤18,∴·的取值范围[12,18].9分②当点P位于边CD上时,设＝n(0≤n≤1).则＝＋＝＋n＝(1,)＋n(4,0)＝(1＋4n,),∴·＝(1＋4n,)·(3,)＝3(1＋4n)＋3＝12n＋6.∵0≤n≤1,∴6≤12n＋6≤18,∴·的取值范围是[6,18].综上①②可知:·的取值范围是[6,18].12分20.解:(1)根据图形可知S△BOC＋S△BOA＝S△AOC,3分于是x(1＋)sin30°＋y(1＋)sin45°＝xysin75°,即x(1＋)＋y(1＋)＝xy,所以2x＋2y＝xy,解得y＝(3≤x≤6).6分(2)由(1)知y＝(3≤x≤6),因此S△AOC＝xysin75°＝·＝[(x－2)＋＋4]≥2＋2(当且仅当x －2＝,即x＝4时,等号成立).即当x＝400米时,△AOC的面积最小,最小值是(2＋2)×104平方米.12分21.解:(1)f(x)＝cos(2x－)＋2sin(x－)cos(x－)＝cos(2x－)＋sin(2x－)＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－).3分若对任意x∈[－,],都有f(x)≥a成立,则只需fmin(x)≥a即可.∵－≤x≤,∴ －≤2x－≤,∴当2x－＝－,即x＝－时,f(x)有最小值－,故a≤－.6分(2)依题意可得g(x)＝sinx,由g(x)－＝0得sinx＝,由图可知,sinx＝在[－2π,4π]上有6个零点:x1,x2,x3,x4,x5,x6.根据对称性有＝－,＝,＝,从而所有零点和为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝3π.12分22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,＋∞),∵f(x)＝lnx＋x2＋ax,∴f'(x)＝＋2x＋a.∵函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,∴ f'(x)≥0, 即＋2x＋a≥0对x∈(0,＋∞)恒成立.∴ －a≤＋2x对x∈(0,＋∞)都成立.当x＞0时, ＋2x≥2＝2, 当且仅当＝2x, 即x＝时,取等号.∴－a≤2, 即a≥－2.∴a的取值范围为[－2,＋∞).6分(2)当a＝1时, g(x)＝－x＝－x＝.g'(x)＝.∵函数g(x)在[t,＋∞)(t∈N*)上存在极值,∴方程g'(x)＝0在[t,＋∞)(t∈N*)上有解,即方程1＋－lnx＝0在[t,＋∞)(t∈N*)上有解.令φ(x)＝1＋－lnx(x＞0), 则φ'(x)＝－－＜0,∴函数φ(x)在(0,＋∞)上单调递减.∵φ(3)＝－ln3＝ln＞0,φ(4)＝－ln4＝ln＜0,∴函数φ(x)的零点x0∈(3,4).∵方程φ(x)＝0在[t,＋∞)(t∈N*)上有解,∴t≤3,∴t的最大值为3.12分高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。
高考数学模拟试卷9答案.doc
高考数学模拟试卷9参考答案及评分标准一、选择题：（1）C （2）C （3）C （4）D （5）C （6）A （7）B （8）C （9）A （10）D （11）B （12）B 二、填空题： （13）分层（14）x= —1或3x —4y+3=0 （15）⑤ （16）233 三、解答题（17）基本事件的种数为26c =15种 ……（2分）（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有1313c c ⋅=9种 ……（4分）∴这一事件的概率P 1=159=0.6 ……（5分）（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生∴所求事件的概率P 2=8.0151215923==+c ……（9分）（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生∴所求事件的概率P 3=8.0151215923==+c ……（12分）（18）（Ⅰ）⋅=cos23x cos 2x +sin 23x (—sin 2x )=cos(23x +2x )=cos2x …（3分）+=(cos 23x +cos 2x ,sin 23x—sin 2x ) ……（4分）+=x x x xx x x cos 2cos 42cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos222==+=-++ … （5分）∵x ∈[2π，23π] ,+=—2cosx ……（6分）（Ⅱ）f(x)＝⋅+=cos2x —(—2cosx)=cos2x+2cosx =2cos 2x+2cosx —1=23)21(cos 22-+x …… （10分） ∵x ∈[2π，23π] ,∴—1≤cosx ≤0 ∴当cosx=—21时，f(x)min =23- ……（12分）（19）（Ⅰ）由f(x)=ax 2+bx+c 知：f ′(x)=2ax+b ……（2分）由已知得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎩⎪⎨⎧-===∴⎪⎩⎪⎨⎧=++==101101001c b a c b a c b a b c 或 ……（4分）∵a>0 ∴f(x)=x 2—1 ……（5分）（Ⅱ）x 1,x 2∈[0,1]且x 1≠x 2∴f(x 2) — f(x 1)=(x 22—1) —(x 12—1)=x 22—x 12∴|f(x 2) —f(x 1)|=|x 22—x 12|=|x 2+x 1|·|x 2—x 1| ……（7分） ∵x 1,x 2∈[0,1] , ∴0≤x 2+x 1≤2 ∴|x 2+x 1|·|x 2—x 1|≤2|x 2—x 1| 即 |f(x 2) — f(x 1)|≤2|x 2—x 1|成立。
高考模拟试题(九)数学(后附参考答案解析)
绝密★启用前高考模拟试题（九）数学时间：120 分钟 分值：150 分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i R a ai z ，∈-=(23为虚数单位)，若i z 23212-=，则=a ()A.1B.2C.21D.232.若61)4tan(=-πθ，则=θtan ()A.1B.75-C.65-D.573.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =在],0[π的图象大致为()BA CD4.已知平面向量a )1,2(=，b ),2(x =，且(a +2b )⊥(a —b )，则=x ()A.21-B.21 C.—1 D.15.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A.18B.21C.318+ D.321+6.设集合}1)2()(|),{(}1)4(|),{(2222=+-+-==+-=at y t x y x B y x y x A ，，如果命题“ØB A R t ≠∈∃ ，”是真命题，则实数a 的取值范围为()A.34,(-∞ B.]34,0[ C.)2,34[ D.),2(+∞7.两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率为()A.51 B.41 C.32D.528.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列}{n a 满足：11=a ，12=a ，21--+=n n n a a a (3≥n ，*N n ∈)，记其前n 项和为n S ，设t a =2018(t 为常数)，则=-+2015201720182S S S ()A.2tB.tC.t2 D.t39.作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+341043y x y x ，，表示的平面区域，过该区域上任意一点P 作圆122=+y x 的两条切线，切点分别为B A ，，则PAB ∠cos 的最大值为()A.23 B.32 C.31 D.2110.已知函数)(x f '是函数)(x f 的导函数，ef 1)1(=（e 是自然对数的底数），对任意实数x ，都有0)()(>'-x f x f ，则不等式2)(-<x e x f 的解集为()A.),(e -∞ B.),1(+∞ C.),1(e D.),(+∞e 11.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，B A 、是抛物线上的两个动点，且满足32π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则ABMN 的最大值是()A.3B.23 C.33 D.4312.体积为3的三棱锥ABC P -的顶点都在球的球O 面上，⊥PA 平面ABC ，。
2009高考数学模拟试题13套数学10
2009年高考模拟试卷数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答•漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.1参考公式：锥体的体积公式V Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合P={x|x c1},集合Q=«x| 丄c0?,则P“Q =A. "Xx c O〉B. <xx>l}C. {xx c O或x > "D.空集©2 —ai2. 若复数（a・R）是纯虚数（i是虚数单位），则a =（）1+i c 1 1A. -2B.C. 一D. 22223. 若函数f （x）二sin 2x（x・ R）是（）A .最小正周期为的偶函数B .最小正周期为的奇函数2 2C.最小正周期为■:的偶函数 D .最小正周期为■:的奇函数4 .某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表；已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A. 24B. 18C. 16D. 125 •在边长为1的等边二ABC 中，设BC 二a , CA 二b ，则a b 二（）■ 0A. 1B. 2C. 3D. 4C. 命题“若m • 0，则方程x 2 x 「m 二0有实根”的逆否命题为“若方程x 2 • x 「m = 0无 实根，则m 乞0D. “ x -1 ”是“ x 2 -3x • 2 = 0 ”的充分不必要条件2&函数f （x ）=mx -x -1在（0,1）内恰有一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A.2]C.[2, ：：）D. （2,：：）9 .设有直线m 、n 和平面〉、：•下列四个命题中，正确的是 （）A.若 m 「,n // ：•，则 m II nB.若 m 二卅，n 二圧,m // :,n // :，则〉// :C.若：•— ：，m 二圧,则 m 」■；'D.若：■ _ :, m 」, m-:，则 m // ：■10 .对于函数f （x ）二e x 定义域中任意捲公2（捲=X2）有如下结论:上述结论中正确的结论个数是（ A 1 1.3.B.-C.D2 226. 已知几何体的三视图女口图 1所示， 它的表面积是（ ）A. 4.2B. 2..2C.3 、2D.67. 卜列命题错误的是（）A .命题“若xy 二0 , 则x, y 中至少 有一个为零” 的否定是： “若xy = 0，则x, y 都不为零”— 2；则—p :- x R ，均有 x • x T _ 0① f （x 「X 2）= f （xj f （X 2） ② f （捲 X 2） = f （xj f （X 2） f （X 1）- f（X 2）④ X 1 x 2f（X 1）f （X 2）2 2E.对于命题 p : T x • R ，使得X x ^：： 0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分•其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
高考数学模拟题复习试卷普通高等学校招生全国统一考试(III卷)理科数学
高考数学模拟题复习试卷普通高等学校招生全国统一考试（III 卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合}0|{}0)3)(2(|{>=≥--=x x T x x x S ，，则S ∩T =A. [2,3]B. ),3[]2,(+∞-∞C. ),3[+∞D. ),3[]2,0(+∞2. =-+=1i 4i 21z z z ，则若 A. 1 B. 1 C. i D. i3. 已知向量)21,23()23,21(==BC BA ，，则∠ABC = A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃。
下面叙述不正确的是A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个5. =+=ααα2sin 2cos 43tan 2，则若 A. 2564 B. 2548 C. 1 D. 2516 6. 已知3152342542===c b a ，，，则A. b < a < cB. a < b < cC. b < c < aD. c < a < b7. 执行右面的程序框图，如果输入的a = 4，b = 6，那么输出的n =A. 3B. 4C. 5D. 68. 在△ABC 中，4π=B ，BC 边上的高等于31BC ，则sinA = A. 103B. 1010 C.55D. 10103 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A. 53618+B. 51854+C. 90D. 8110. 在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB = 6，BC = 8，AA1 = 3，则V 的最大值是A. π4B. 29π C. π6 D. 332π 11. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：)1(12222>>=+b a by a x 的左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点。
2023年高考数学模拟试题（九）参考答案
2023年高考数学模拟试题(九)参考答案 一㊁选择题1.A 2.D3.A 提示:由于双曲线的焦点在y 轴上,所以选项B ,D 不满足题意;选项A 中双曲线的渐近线为y =ʃx ,两渐近线的斜率乘积为-1,故两渐近线互相垂直,所以选项A满足题意;选项C 中双曲线的渐近线为y =ʃ3x ,两渐近线的斜率乘积不为-1,故两渐近线不互相垂直,所以选项C 不满足题意㊂4.D 提示:在空间中,同垂直于一条直线的两条直线的位置关系是平行㊁异面或相交,故A 错误;同样,在空间中,平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行㊁异面或相交,故B 错误;如果一条直线与平面的垂线垂直,则该直线与平面是平行或直线在平面内,故C 错误;在空间中,同垂直一条直线的两个平面是平行的,故D 正确㊂5.B 提示:由雷达图易知刀片电池的安全性更高,价格优势更突出,故A 错误;三元锂电池的循环寿命较短㊁价格偏高㊁安全性偏低,故B 正确;对于这7项指标,刀片电池的平均得分为(4+4+5+4+5+5+4)ː7=317,三元锂电池的平均得分为(5+5+3+5+3+4+5)ː7=307,故C 错误;磷酸铁锂电池能量密度低㊁低温性能差,故D 错误㊂6.C 提示:因为f x是R 上周期为3的偶函数,且当0<x ɤ32时,f x =l o g 4x ,所以f-132 =f 132 =f 6+12=f 12=l o g 412=l o g 44-12=-12㊂7.A 提示:由圆C :x 2+y 2=1,知圆C 的圆心坐标为(0,0),半径R =1㊂①若b =1,则直线l :y =x +1,即x -y +1=0,所以圆心到直线l 的距离d =|0-0+1|12+(-1)2=22,由圆的弦长公式得|A B |=2R 2-d 2=2,所以|C A |2+|C B |2=|A B |2,故øA C B =π2,从而弦A B 所对的圆心角为π2;②若弦A B 所对圆心角为π2,结合圆的性质可知,әA C B 为等腰直角三角形,易得圆心C 到直线l 的距离d =22,又因为d =|0-0+b |12+(-1)2=22|b |,故b =ʃ1㊂从而b =1 是 弦A B所对的圆心角为π2的充分不必要条件㊂图18.C 提示:该几何体的直观图如图1所示,取A C 的中点为H ,易得әA B C 为等腰直角三角形,所以P H ʅ平面A B C ,所以三棱锥的外接球的球心O 在P H 上㊂设外接球的半径为R ,在әO A H 中,有R 2=(4-R )2+(23)2,解得R =72,所以该几何体的外接球的表面积为49π㊂9.B 提示:设从今年起第n 年绿洲面积为a n ,上一年绿洲面积a n -1,n ȡ2,n ɪN *,因为a n =a n -1+(1-a n -1)ˑ425-a n -1ˑ125=45a n -1+425,所以a n -45=45a n -1-45,又a 1=310,则a 1-45=-12,所以a n-45 是以-12为首项,45为公比的等比数列,所以a n -45=-1245n -1,即a n =-1245n -1+45,则a n =-1245n -1+45>35,所以45n -1<25,两边取常用对数得(n -1)l g 45=l g 25,所以n -1>l g25l g45=2l g 2-13l g 2-1=参考答案与提示高考数学 2023年7-8月2ˑ0.301-13ˑ0.301-1ʈ4.1,则n >5.1㊂故至少经过6年,绿洲面积可超过60%㊂10.C 提示:f (x )=(s i n x +c o s x )㊃(s i n x -c o s x )=-(c o s 2x -s i n 2x )=-c o s 2x ,故周期T =2π2=π,A 选项错误;注意到f -π4 =f π4 =0,故f (x )在区间-π4,π4 上不单调,B 选项错误;注意到fx m a x=1,由|f (x 1)|+|f (x 2)|=2得|f (x 1)|=|f (x 2)|=1,即c o s 2x 1=c o s 2x 2=1,解得x 1=k 1π2,x 2=k 2π2,k 1,k 2ɪZ ,则x 1+x 2=(k 1+k 2)π2,即x 1+x 2=k π2,k ɪZ ,C 选项正确;令2x =k π,k ɪZ ,即f (x )的对称轴为x =k π2,k ɪZ ,D 选项错误㊂11.C 提示:易得抛物线C :y 2=4x ,点A ,B 位于x 轴的两侧,且在抛物线C 上,不妨设A y 214,y 1,B y 224,y 2,y 1>0,y 2<0,由题知O A ң㊃O B ң=(y 1y 2)216+y 1y 2=5,解得图2y 1y 2=-20,或y 1y 2=4(舍去)㊂如图2,记l 为抛物线的准线,交x 轴于点D ,过A ,B作l 的垂线,垂足分别为M ,N ㊂由抛物线定义可知A M =y 214+1,B N =y 224+1,O D =1,则S 1=S 梯形A MN B -S 梯形A M D O -S 梯形B N D O =12㊃y 214+y 224+2 (y 1-y 2)-y 214+2 y 1+y 224+2 y 2=y 1y 2(y 2-y 1)8=52(y 1-y 2)㊂又S 2=12ˑ1ˑy 1=12y 1,所以14S 1+34S 2=58(y 1-y 2)+38y 1=y 1-58y 2㊂又y 1y 2=-20,所以14S 1+34S 2=y 1+252y 1ȡ2252=52,当且仅当y 1=252y 1,即y 1=522时,等号成立㊂12.D 提示:不等式x me x+xɤe m x+m x mx -l n x恒成立⇔e x+x ɤem xxm +m x -l n x=e m x -l n x+m x -l n x㊂令fx =e x+x ,则原不等式等价于f x ɤfm x -l n x 恒成立㊂因为f x =e x+x 在(0,+ɕ)上单调递增,所以x ɤm ㊃(x-l n x )㊂令g x =x -l n x ,则g 'x =1-1x =x -1x,可得当x =1时,函数g (x )取得极小值,即最小值,所以g x ȡg 1 =1>0,所以x ɤm x -l n x⇔m ȡxx -l n x㊂令h x=xx -l n x,x ɪ0,+ɕ ,则h '(x )=1-l n xx -l n x 2㊂当x ɪ0,e 时,h '(x )>0,h x 在0,e 上单调递增;当x ɪe ,+ɕ 时,h 'x <0,h x 在e ,+ɕ 上单调递减㊂所以h x m a x =h e =ee -1㊂所以实数m 的取值范围为ee -1,+ɕ㊂二、填空题13.72 提示:由x +y =2,x -3y =0,解得图3x =32,y =12,画出可行域,如图3所示,由图可知,平移基准直线2x +y =0到点32,12时,2x +y 取得最大值为2ˑ32+12=72㊂14.5 提示:因为a ʅb ,所以a ㊃b =0,所以|a +b |=a 2+b 2+2a ㊃b =5㊂15.①②③ 提示:对于①,由正六边形 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月的性质知向量CD ң与A B ң的夹角为2π3,则向量C D ң在A B ң上的投影为C D ңco s 2π3=-1,①正确;对于②,若λ=12,则G 为A B 图4的中点,如图4,则E G ң=E Fң+F A ң+A G ң=E B ң+B F ң-A F ң+12A B ң=2F A ң+A F ң-A B ң-A F ң+12A B ң=-12A B ң-2A F ң,②正确;对于③,以A 为坐标原点,图5A B ң,A E ң的正方向为x 轴,y轴,建立如图5所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),设P (m ,n )(-1ɤm ɤ3),所以A P ң=(m ,n ),A B ң=(2,0),故A P ң㊃A B ң=2m ɪ[-2,6],③正确;对于④,由题意知E (0,23),C (3,3),A B ң=(2,0),设G (t ,0)(0ɤt ɤ2),所以C E ң=(-3,3),C G ң=(t -3,-3),所C G ң㊃C E ң=-3(t -3)-3=1,解得t =53,所以A G ң=53,0,所以A G ң=56A B ң,即λ=56,④错误㊂16.182+18 提示:连接O B ㊂由题意知A B =B C =6,øA B O =øC B O =π-π4-α=3π4-α㊂在әO B A 中,由正弦定理O B s i n α=A Bs i n øA O B,得O B =62s i n α㊂于是S =2ˑ12ˑO B ˑB A ˑs i n 3π4-α=362s i n αs i n3π4-α=362s i n α㊃22c o s α+22s i n α=36s i n αc o s α+36s i n 2α=18s i n 2α+181-c o s 2α=182㊃s i n 2α-π4+18㊂因为0<α<π2,所以当2α-π4=π2,即α=3π8时,S 取得最大值,最大值为182+18㊂三、解答题17.(1)当n ȡ2,n ɪN *时,S 2n =a nS n -a n ,所以S 2n =S n -S n -1 S n -S n -S n -1 ,整理得S n S n -1=S n -1-S n ,即1S n -1S n -1=1,所以数列1S n是以1S 1=1a 1=2为首项,1为公差的等差数列,所以1S n=n +1,即S n =1n +1,n ɪN *㊂(2)由(1)知,2nS n=(n +1)㊃2n㊂所以T n =2㊃2+3㊃22+ +n ㊃2n -1+(n +1)㊃2n ,2T n =2㊃22+3㊃23+ +n ㊃2n+(n +1)㊃2n +1,所以-T n =T n -2T n =4+(22+23+ +2n )-(n +1)㊃2n +1=-n ㊃2n +1,所以T n =n ㊃2n +1㊂因为λT n ɤn 2+9㊃2n ,所以λn ㊃2n +1ɤn 2+9㊃2n,即λɤn 2+9 2n =n 2+92n,因为n 2+92n ȡ2n 2㊃92n=3,当且仅当n =3时,等号成立,所以λɤ3㊂18.(1)连接A C 1与A 1C 交于点O ,连接O E ,由O ,E 分别为A C 1,A B 的中点,所以O E ʊB C 1㊂又O E ⊂平面A 1C E ,B C 1⊄平面A 1C E ,所以B C 1ʊ平面A 1C E ㊂图6(2)由条件可知A C ʅC B ,又A A 1ʅ底面A B C ,故C C 1ʅ底面A B C ,建立如图6所示的空间直角坐标系C -x yz ,则A 1(2,0,22),C (0,0,0),C 1(0,0,22),E (1,1,0),B (0,2,0),B 1(0,2,22),所以C E ң=(1,1,0),C A 1ң=(2,0,22)㊂设平面A 1C E 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则C E ң㊃m =x +y =0,C A 1ң㊃m =2x +22z =0,令x =1,得y =-1,z =-22,则m =1,-1,-22㊂参考答案与提示高考数学 2023年7-8月因为C C 1ʅ底面A B C ,所以C C 1ң=(0,0,22)为平面C E A 的一个法向量,所以c o s <C C 1ң,m >=C C 1ң㊃m |C C 1ң||m |=-55㊂由图可知,二面角A 1 C E A 为锐角,所以二面角A 1 C E A 的余弦值为55㊂19.(1)已知表格中的数据,有182.4>79.2,所以182.4ð7i =1y i -y 2>79.2ð7i =1y i -y 2,所以1-182.4ð7t =1y i-y2<1-79.2ð7t =1y i-y2㊂可见模型①的相关指数R 21小于模型②的相关指数R 22㊂所以回归模型②的拟合效果更好㊂(2)由(1)知,回归模型②的拟合效果更好,其回归方程为^y =21.3x -14.4,所以当x =17(亿元)时,科技升级直接收益的预测值为^y =21.3ˑ17-14.4ʈ21.3ˑ4.1-14.4=72.93(亿元)㊂当x >17时,由已知得x =15(21+22+23+24+25)=23,y =15(68.5+68+67.5+66+66)=67.2,所以a =y +0.7x =67.2+0.7ˑ23=83.3㊂所以当x >17时,y 与x 满足的线性回归方程为^y =-0.7x +83.3㊂当x =20时,科技升级直接收益的预测值为^y =-0.7ˑ20+83.3=69.3(亿元)㊂当x =20(亿元)时,实际收益的预测值为69.3+5=74.3(亿元)>72.93(亿元),所以技术升级投入20亿元时,公司的实际收益更大㊂20.(1)依题意得2a =23,3+1=a +c ,a 2=b 2+c 2,解得a =3,b =2,c =1,所以椭圆C 的方程为x 23+y22=1㊂(2)直线A B 过定点3,0㊂设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2㊂由题意知y 1㊃y 2>0,由对称性可知,若动直线A B 经过一个定点,则该定点在x 轴上,因为øO F 2A 与øO F 2B 互补,所以øO F 2A +øO F 2B =π,所以点B 关于x 轴的对称点B 1(x 2,-y 2)在直线A F 2上㊂设直线A F 2的方程为y =k x -1,则直线B F 2的方程为y =-k x -1㊂联立y =k x -1 ,2x 2+3y 2-6=0,消去y 整理得2+3k 2x 2-6k 2x +3k 2-6=0,又因为A (x 1,y 1),B 1x 2,-y 2,所以x 1+x 2=6k 22+3k 2,x 1x 2=3k 2-62+3k2㊂因为k A B =y 2-y 1x 2-x 1,所以直线A B 的方程为y -y 1=y 2-y 1x 2-x 1x -x 1,令y =0,得x =x 2-x 1y 2-y 1-y 1+x 1=x 1y 2-x 2y 1y 2-y 1㊂因为y 2=-k x 2-1 ,y 1=kx 1-1 ,所以x =-x 1k x 2-1 -x 2k x 1-1y 2-y 1=-k 2x 1x 2-x 1-x 2 -k x 1+x 2-2 =2x 1x 2-x 1-x 2x 1+x 2-2=2㊃3k 2-62+3k 2-6k22+3k26k22+3k2-2=3㊂所以直线A B 过定点3,0㊂21.(1)当a =1时,f (x )=e x -l n (x +1),函数f (x )的定义域为(-1,+ɕ),f'(x )=e x -1x +1=x +1 e x-1x +1㊂令g x =x +1 e x-1x >-1,则g'x =e xx +2 >0在-1,+ɕ 上恒成立,故函数g x 在-1,+ɕ 上单调递增㊂因为g 0 =0,所以当x ɪ-1,0时,g (x )<0,即f 'x <0,函数f x 单调递减;当x ɪ(0,+ɕ)时,g (x )>0,即f '(x )>0,函数f (x )单调递增㊂所以函数f x的单调递增区间为0,+ɕ ,单调递减区间为-1,0㊂ 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月(2)不等式f x ȡc o s a -1恒成立,即φx =a e x-l n x +1 -c o s a -1 ȡ0在-1,+ɕ 上恒成立㊂当x =0时,φ0=a -c o s a -1 ,令h a =a -c o s a -1 ,a ɪR ,则h 'a =1+s i n a -1 ȡ0,所以h a 在(-ɕ,+ɕ)上单调递增,又h 1 =1-c o s 1-1 =0,则a ȡ1时,有h a ȡh 1 =0,所以当a ȡ1时,φ0 =a -c o s a -1 ȡ0恒成立㊂当a =1时,φx =e x-l n x +1 -1,由(1)知e x -l n x +1-1ȡe 0-l n0+1 -1=0恒成立,(当且仅当x =0时取等号)㊂因为φ'x =a e x-1x +1,令k x=a e x-1x +1,x ɪ-1,+ɕ ,则当a >1时,k '(x )=a e x+1x +12>0,所以k x ,即φ'(x )在-1,+ɕ 上单调递增,且φ'1a-1=a e 1a-1-a <a -a =0,φ'0 =a -1>0,所以∃x 0ɪ-1,0,使得φ'x 0 =0,即a e x-1x 0+1=0,即x 0+l n a =-l n (x 0+1)㊂所以当x ɪ(-1,x 0)时,φ'(x )<0,φ(x )单调递减;当x ɪ(x 0,+ɕ)时,φ'(x )>0,φ(x )单调递增㊂所以φx ȡφx 0 =a e x-l n (x 0+1)-c o s (a -1)=1x 0+1+x 0+l n a -c o s a -1=1x 0+1+1+x 0+l n a -c o s (a -1)-1>21x 0+1㊃(1+x 0)+l n a -c o s (a -1)-1=1+l n a -c o s (a -1)ȡ0㊂所以a 的取值范围为[1,+ɕ)㊂22.(1)设P ,Q 的极坐标分别为(ρ0,θ),(ρ,θ),因为O Q ң=Q P ң,所以O P ң=2O Q ң,所以ρ=12ρ0=2c o s θ+4s i n θ,所以曲线C 2的极坐标方程为ρ=2c o s θ+4s i n θ,两边同乘ρ得ρ2=2ρc o s θ+4ρs i n θ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=2x +4y ,即x -1 2+y -2 2=5㊂(2)设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则M A =t 1,M B =t 2㊂将直线l 的参数方程x =t c o s α,y =1+t s i n α,代入曲线C 2的直角坐标方程整理得t 2-2c o s α+s i n α t -3=0,所以t 1+t 2=2c o s α+s i n α ,t 1t 2=-3㊂所以M A +M B =t 1+t 2=t 1-t 2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=4c o s α+s i n α 2+12=4s i n 2α+16ȡ23,当且仅当s i n 2α=-1时,等号成立,则t a n α=-1,所以当M A +M B 取得最小值时,直线l 的普通方程为x +y -1=0㊂23.(1)f a x +2ɤ4,即a x +2ɤ4,所以-4ɤa x +2ɤ4,即-6ɤa x ɤ2,显然a ʂ0㊂当a >0时,-6a ɤx ɤ2a,则-6a=-3,2a =1,解得a =2;当a <0时,2a ɤx ɤ-6a,则2a=-3,-6a =1,无解㊂综上可得,a =2㊂(2)f (x +m )-f (x -2-m )=|x +m |-|x -2-m |ɤ|(x +m )-(x -2-m )|=m +2-m ,当且仅当x +m 与x -2-m 同号时,等号成立㊂因为m ɪ0,2 ,所以2[m +(2-m )]ȡ(m +2-m )2,当且仅当m =2-m ,即m =1时,等号成立㊂所以(m +2-m )2ɤ4,即m +2-m ɤ2,故f (x +m )-f (x -2-m )ɤ2㊂(责任编辑 王福华)参考答案与提示高考数学 2023年7-8月。
全国高考数学模拟试卷(4套)
全国高考数学模拟试卷(4套)一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最小值B. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最大值C. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得极值D. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处无极值2. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值为多少？A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 3 $，$ a_3 = 9 $，则 $ a_5 $ 的值为多少？A. 12B. 15C. 18D. 214. 若 $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为正B. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为负C. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 一正一负D. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 可以同时为零5. 若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ a + c = b + d $B. $ ad = bc $C. $ a c = b d $D. $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $6. 已知 $ a $、$ b $、$ c $ 是等边三角形的三边长，则下列哪个选项是正确的？A. $ a^2 + b^2 = c^2 $B. $ a^2 + c^2 = b^2 $C. $ b^2 + c^2 = a^2 $D. $ a = b = c $7. 若 $ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该方程表示椭圆B. 该方程表示双曲线C. 该方程表示抛物线D. 该方程表示圆8. 已知 $ \sqrt{3} $ 是方程 $ x^2 2x + 1 = 0 $ 的根，则该方程的另一根为多少？A. $ 1 \sqrt{3} $B. $ 1 + \sqrt{3} $C. $ 2 \sqrt{3} $D. $ 2 + \sqrt{3} $9. 若 $ a $、$ b $、$ c $ 是三角形的三边长，且 $ a^2 +b^2 = c^2 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该三角形是等腰三角形B. 该三角形是等边三角形C. 该三角形是直角三角形D. 该三角形是钝角三角形10. 若 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ x + y = z $B. $ xy = z $C. $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = z $D. $ x + y + z = 0 $二、填空题（共10题，每题2分，共20分）11. 已知 $ f(x) = 2x + 1 $，若 $ f(3) = 7 $，则 $ f(1)$ 的值为______。
全国高考数学模拟试卷(4套)
全国高考数学模拟试卷（4套）试卷一：基础能力测试一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数 $ f(x) = \sqrt{3x 1} $ 在区间 $[0, 2]$ 上有定义，则 $ x $ 的取值范围是：A. $[0, 1]$B. $[0, 2]$C. $[1, 2]$D. $[1, 3]$2. 已知集合 $ A = \{x | x^2 3x + 2 = 0\} $，则集合 $ A $ 的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若 $ a, b $ 是方程 $ x^2 4x + 3 = 0 $ 的两个根，则$ a + b $ 的值是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数 $ f(x) = 2x^3 3x^2 + x $，则 $ f'(1) $ 的值是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知等差数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，则第10项 $ a_{10} $ 的值是：A. 29B. 30C. 31D. 327. 若 $ \sin 45^\circ = x $，则 $ x $ 的值是：A. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $B. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{1}{\sqrt{2}} $8. 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，则 $ f^{1}(x) $ 的表达式是：A. $ x $B. $ \frac{1}{x} $C. $ x $D. $ \frac{1}{x} $9. 若 $ a^2 = b^2 $，则 $ a $ 和 $ b $ 的关系是：A. $ a = b $B. $ a = b $C. $ a = b $ 或 $ a = b $D. $ a $ 和 $ b $ 无关10. 已知等比数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ q = 2 $，则第5项 $ a_5 $ 的值是：A. 8B. 16C. 32D. 64二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 $ x^2 5x + 6 = 0 $，则 $ x $ 的值是 ________。
高考数学模拟试卷复习试题高考数学试卷理科9
高考数学模拟试卷复习试题高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．62．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A3．（5分）重庆市各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．234．（5分）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．29．（5分）若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF 的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D 到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=．12．（5分）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．13．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为．16．若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．18．（13分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．19．（13分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．21．（12分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．22．（12分）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，解得a6=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A B D．B A【分析】直接利用集合的运算法则求解即可．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）重庆市各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B．【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．【解答】解：由“（x+2）＜0”得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．6．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A．【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=（此时k=6），因此可填：S．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．2【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．9．（5分）若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．【解答】解：tanα=2tan，则=============3．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF 的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D 到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D 在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得•=﹣1，∴c﹣x=，∵D到直线BC的距离小于a+，∴c﹣x=||＜a+，∴＜c2﹣a2=b2，∴0＜＜1，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．（5分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=3．【分析】将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．【解答】解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，所以a2+b2==3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；故答案为：3．【点评】本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．12．（5分）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．【解答】解：由于的展开式的通项公式为 Tr+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．（5分）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．【分析】利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．【解答】解：设CE=2x，ED=x，则∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x），∵x=3，由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，∴BE=2．故答案为：2．【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．【分析】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；曲线C的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．由，可得x=﹣2，y=0，交点坐标为（﹣2，0），它的极坐标为（2，π）．故答案为：（2，π）．【点评】本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．16．若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．【分析】分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f （x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．当a≥﹣1时，f（x）=，根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．综上可得，a=﹣6 或a=4，故答案为：﹣6或4．【点评】本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．18．（13分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．19．（13分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．【点评】本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．20．（12分）设函数f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．【分析】（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得即可．解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大值即可．【解答】解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．当a=0时，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．因此a的取值范围为：．解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，u′（x）=＜0，∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，∴a≥u（3）=﹣．因此a的取值范围为：．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1（Ⅰ）若|PF1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|==2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，即c=，从而b==1，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a﹣2|PF1|，又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此e=====．【点评】本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．22．（12分）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．【分析】（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（n∈N+），分析an≠0后可得an+1=2an（n∈N+），即{an}是一个公比q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈N）．进一步得到=，对n=1，2，…，k0求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边．【解答】（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（ n∈N+）．若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，∴对任意n∈N+，an≠0．从而an+1=2an（n∈N+），即{an}是一个公比q=2的等比数列．故．（Ⅱ）证明：由，数列{an}的递推关系式变为，变形为：（n∈N）．由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞an＞an+1＞ 0∵=，∴对n=1，2，…，k0求和得：=＞．另一方面，由上已证的不等式知，，得=2+．综上，2+＜＜2+．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目．高考数学高三模拟试卷试题压轴押题重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，85．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．2406．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤99．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣110．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=．16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选：D．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9 B．C．3 D．【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选：C．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选：B．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选：C．【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选：D．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：|z|===．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．【分析】依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n。
高考数学模拟试题及答案 (二十套)
【解析】
【分析】
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出 平面 ，分别取棱 、 、 、 、 、 的中点 、 、 、 、 、 ，比较 和六边形 的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面 与棱 、 的交点 、 ，判断四边形 的形状可判断C选项的正误；将矩形 与矩形 延展为一个平面，利用 、 、 三点共线得知 最短，利用平行线分线段成比例定理求得 ，可判断D选项的正误.
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,则 ， ，所以B正确.
对于选项C、D， ，
令 ，即 ，所以 ,则令 ,
,令 ,得
由函数 的图像性质可知:
时， ， 单调递减.
时， ， 单调递增.
所以 时， 取得极小值，
即当 时 取得极小值，
又 ,即
又因为在 上 单调递减，所以
所以 时， 取得极小值，
即当 时 取得极大值，
又 ，即
所以
当 时，
所以当 ，即 时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正确.
A.月跑步里程最小值出现在2月
B.月跑步里程逐月增加
C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
2021年高考数学模拟预测卷(新高考卷)09及答案
2021年高考数学模拟预测卷【新高考卷】数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≥0}，集合N ＝{x |x 2<1}，则M ∩(∁U N )＝( ) A ．(0，1) B ．[0，1] C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)2． 已知复数z 满足(2)3i z i -=+，则||(z = ) A ．5B ．5C ．10D ．103.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ） A.8 B.15 C.16 D.324.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．13.0万元5．过点P(1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－146.已知奇函数f （x ）在R 上是增函数，g （x ）=xf （x ）．若a=g （﹣log 25.1），b=g （20.8），c=g （3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a ＜b ＜cB.c ＜b ＜aC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a7．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村庄进行义务巡诊，其中每个分队必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有( ) A ．72种 B ．36种 C ．24种 D ．18种8．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点()2,0P 的直线交抛物线于AB 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点C ，D ，设直线AB ，C D 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k =（） A ．12- B ．2 C ．1D ．12二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的是( )A ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥βD ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍11．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是( )A ．平面PB 1D ⊥平面ACD 1 B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．异面直线A 1P 与AD 1所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π3 D ．三棱锥D 1APC 的体积不变12．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则1m ≥D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知()223nx x +的展开式的二项式系数和比()31nx -的展开式的二项式系数和大992.则212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式系数最大的项为 ;212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式系数最大的项为 .14.如图，在同一个平面内，向量 ，， 的模分别为1，1， ，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若 =m+n（m ，n ∈R ），则m+n=________．15．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．16．已知三棱锥S ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA ＝6，AB ＝4，BC ＝23，∠ABC ＝30°，则该三棱锥的体积为________，其外接球的表面积为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在①(),m a b c a =+-，(),n a b c =-，且m n ⊥，②22cos a c b C -=，③ABC 的面积为()22234a cb +-，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答. 在ABC ，角A ，B ，C 的对应边为a ，b ，c ，且_________. （1）求角B ；（2）若ABC 的外接圆半径23，求ABC 周长的最大值.18．（本小题12分）已知等比数列{}n a 的首项1=1a ，前n 项和n S 满足*121,,0n n S a n N +=λ-∈λ≠.（1）求实数λ的值及通项公式n a ；（2）设*,n n b na n N =∈，求数列{}n b 的前n 项为n T ，并证明：n n T n S ≤•.19．（本小题12分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A ，B 试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ，B 两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 20 乙培育法 10 合计附：下面的临界值表仅供参考．()20P K k ≥ 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．0010k2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．）20．（本小题12分）如图，在正六边形ABCDEF 中，将ABF 沿直线BF 翻折至A BF '△， 使得平面A BF '⊥平面BCDEF ，O ，H 分别为BF 和A C '的中点.（1）证明：//OH 平面A EF '；（2）求平面A BC '与平面A DE 所成锐二面角的余弦值.21.（本小题12分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的短轴长为226(3,0)A ，P是C 上的动点，F 为C 的左焦点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 在y 轴的右侧，以AP 为底边的等腰ABP ∆的顶点B 在y 轴上，求四边形FPAB 面积的最小值.22. （本小题12分）已知函数x a x x x f ln )6()(+-=在),2(+∞∈x 上不具有单调性. （1）求实数a 的取值范围；（2）若)(x f '是)(x f 的导函数，设226)()(x x f x g -+'=，试证明：对任意两个不相等正数21x x 、，不等式||2738|)()(|2121x x x g x g ->-恒成立. .数学·参考答案一、 单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 CCCBBCBD二、 多项选择题9 10 11 12 ABCBDABDACD三、 填空题13.8064 14.3 15. (－2，－1) 16. 43 52π 四、解答题17.解：（1）选①：∵m n ⊥，∴()()()0a b a b c c a +-+-=.从而222a cb ac +-=，则2221cos 22a cb B ac +-==。
高考模拟复习试卷试题模拟卷高考数学试卷理科009
高考模拟复习试卷试题模拟卷高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A． B．0 C．D．5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP 等于（）A．2 B．1 C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为．11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．15．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N*，则（1）a3=；（2）S1+S2+…+S100=．16．（5分）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N 的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选：D．【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选：A．【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A． B．0 C．D．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，x+2y取得最大值为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（，）=故选：C．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g （x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图：由图可知，两个函数图象共有2个交点故选：B．【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．6．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】令，，，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选：C．【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP 等于（）A．2 B．1 C．D．【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=故选：D．【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为3．【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．【解答】解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为12．【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．【解答】解：∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）∴a2+4b2+9c2≥12，当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12故答案为：12【点评】本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．11．（5分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为．【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d===．故答案为：．【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中、高考题的热点问题．12．（5分）若x2dx=9，则常数T的值为3．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解：==9，解得T=3，故答案为：3．【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为32．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2不满足条件a＞31，a=2不满足条件a＞31，a=4不满足条件a＞31，a=8不满足条件a＞31，a=16不满足条件a＞31，a=32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为．【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×，∴c2﹣2ca+3a2=0，∴c= a所以e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．15．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣，n∈N*，则（1）a3=﹣；（2）S1+S2+…+S100=．【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入，n∈N*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．【解答】解：由，n∈N*，当n=1时，有，得．当n≥2时，．即．若n为偶数，则．所以（n为正奇数）；若n为奇数，则=．所以（n为正偶数）．所以（1）．故答案为﹣；（2）因为（n为正奇数），所以﹣，又（n为正偶数），所以．则．，．则．…．所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100====．故答案为．【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．16．（5分）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为{x|0＜x≤1}．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②③．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得的范围，解出函数f （x）=ax+bx﹣cx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；（2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx﹣cx变形为，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；对于②，利用取特值法说明命题是正确的；对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以，则．令f（x）=ax+bx﹣cx=．得，所以．又∵＞1，则ln＞0，所以x=＞0，所以0＜x≤1．故答案为{x|0＜x≤1}；（2）①因为，又，所以对∀x∈（﹣∞，1），．所以命题①正确；②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则ax=，bx=，cx=．不能构成一个三角形的三条边长．所以命题②正确；③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0．f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0．所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．所以命题③正确．故答案为①②③．【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．（2）由不等式可得sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x 的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，解三角不等式，正弦函数的图象及性质，属于中档题．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望．【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4）∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P（X=k）=得P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）==，P（X=4）==∴所求的分布列为Y 51 48 45 42P数学期望为E（Y）=51×+48×+45×+42×=46【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ），连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N 的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．【分析】（I）根据“L路径”的定义，可得点P到居民区A的“L路径”长度最小值；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|，y∈[0，+∞）；（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和（记为d）的最小值①当y≥1时，d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20|∵d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24∴当且仅当x=3时，d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为24∵d2（y）=2|y|+|y﹣20|≥21∴当且仅当y=1时，d2（y）=2|y|+|y﹣20|的最小值为21∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|此时d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|，d2（y）=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21由①知d1（x）=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：；（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；（Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于求出p的值，则抛物线E的方程可求．【解答】解：（I）由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．由，得．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1+x2=2pk1，．所以点M的坐标为，．同理可得点N的坐标为，．于是．由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．故．（Ⅱ）由抛物线的定义得，，所以，从而圆M的半径．故圆M的方程为，化简得．同理可得圆N的方程为于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．因为p＞0，所以点M到直线l的距离为=．故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．故所求抛物线E的方程为x2=16y．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．22．（13分）已知a＞0，函数．（Ⅰ）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．【解答】解：（I）当0≤x≤a时，；当x＞a时，∴当0≤x≤a时，，f（x）在（0，a）上单调递减；当x＞a时，，f（x）在（a，+∞）上单调递增．①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增∴g（a）=max{f（0），f（4）}∵f（0）﹣f（4）==∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=，综上所述，g（a）=；（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1 ∴•=﹣1∴①∵x1∈（0，a），x2∈（a，4），∴x1+2a∈（2a，3a），∈（，1）∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（，1）的交集非空∵，∴当且仅当0＜2a＜1，即时，A∩B≠∅综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
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高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．2．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为．14．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）设Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；（2）设{an}的第n0项是最大项，即a≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf （x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．2．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ={1，4}．【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁UB）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁UB）={1，4}，故答案为：{1，4}．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x ﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．9．已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．【分析】设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．【解答】解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．【分析】由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值．【解答】解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．【解答】解：∵（1+x+）10 =，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．【解答】解：赌金的分布列为ξ1 1 2 3 4 5P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种，若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种，若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种，若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种，则P（ξ2=1.4）==，P（ξ2=2.8）==，P（ξ2=4.2）==，P（ξ2=5.6）==ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6P所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案为：0.2【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sinx对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f （x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f （xm）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f （x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．14．在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=﹣．【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．18．（5分）设Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A．﹣1 B．﹣C．1 D．2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点Pn（xn，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．【分析】利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．【解答】解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A1C1EF的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型．20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）由题意可得t1==h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得；（2）当t1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．【解答】解：（1）由题意可得t1==h，设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米，∴f（t1）=PC===千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值没有超过3千米．【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C 到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．22．（16分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；（2）设{an}的第n0项是最大项，即a≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．【分析】（1）把bn=3n+5代入已知递推式可得an+1﹣an=6，由此得到{an}是等差数列，则an可求；（2）由an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到an=2bn+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2bn+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{bn}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf （x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f （x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f （x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【解答】解：（1）g（x）=x+sin；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（xn），（x1＜x2＜…＜xn）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（xn+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（xn）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（xi+T）=f（xi）+4π=f（xi）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.102.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A.＞B.＜C.＞D.＜5.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A.0B.1C.2D.36.（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192种B.216种C.240种D.288种7.（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.28.（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，1]9.（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）.现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A.①②③B.②③C.①③D.①②10.（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A.2B.3C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.（5分）复数=.12.（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=.13.（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14.（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）.则|PA|•|PB|的最大值是.15.（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M].例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B.④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.其中的真命题有.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）.（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值.17.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.（12分）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）.（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn.20.（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标.21.（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(10)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解：（1+x）6展开式中通项Tr+1=C6rxr，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键.2.（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A.{﹣1，0，1，2}B.{﹣2，﹣1，0，1}C.{0，1}D.{﹣1，0}【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得.【解答】解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}.故选：A.【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分.3.（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷092
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用． 【重点知识梳理】 1．根式的性质 (1)(na)n ＝a.(2)当n 为奇数时nan ＝a. 当n 为偶数时nan ＝{ a a≥0－a a<0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：an ＝a·a·…·a n 个 (n ∈N*)． ②零指数幂：a0＝1(a≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a≠0，p ∈N*)．④正分数指数幂：a m n ＝nam(a>0，m 、n ∈N*，且n>1)． ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n am (a>0，m 、n ∈N*，且n>1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras ＝ar ＋s(a>0，r 、s ∈Q)； ②(ar)s ＝ars(a>0，r 、s ∈Q)； ③(ab)r ＝arbr(a>0，b>0，r ∈Q)． 3．指数函数的图象与性质y ＝axa>10<a<1图象定义域(1)R值域 (2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1； x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1； x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数【高频考点突破】 考点一 指数幂的运算例1、 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1； (2)已知x 12＋x －12＝3，求x2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．【探究提高】根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．【变式探究】计算下列各式的值：(1)⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)15＋2－(3－1)0－9－45；(3)a3b23ab2a14b124a－13b13(a>0，b>0)．考点二指数函数的图象、性质的应用例2、 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 ()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0【答案】 (1)D(2)求函数f(x)＝3x2－5x＋4的定义域、值域及其单调区间．【探究提高】(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论． 【变式探究】 (1)函数y ＝ex ＋e －xex －e －x的图象大致为()【答案】A(2)若函数f(x)＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f(x)是偶函数，则m ＋μ＝________.【答案】1考点三 指数函数的综合应用例3、(1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？ (2)已知定义在R 上的函数f(x)＝2x －12|x|. ①若f(x)＝32，求x 的值；②若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．【探究提高】对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)＝g(x)解的个数即为函数y ＝f(x)和y ＝g(x)图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．【变式探究】已知f(x)＝aa2－1(ax －a －x) (a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f (x)的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立，求b 的取值范围．【真题感悟】1.【高考新课标1，文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54-（C ）34-（D ）14- 【答案】A2.【高考山东，文8】若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）0,1（）（D ）1,+∞（）【答案】C3.【高考山东，文2】设0.61.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( ) （A ）a b c ＜＜（B ） a c b ＜＜（C ）b a c ＜＜（D ）b c a ＜＜ 【答案】C1．（·天津卷）设a ＝log2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则() A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞b ＞a 【答案】C2．（·四川卷）已知b ＞0，lo g5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是() A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 【答案】B3．（·安徽卷）设a ＝log37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则()A ．b<a<cB ．c<a<bC ．c<b<aD ．a<c<b 【答案】B4．（·福建卷）若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()【答案】B5．（·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则() A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 【答案】D6．（·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ex －1，x ＜1，x 13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]7．（·山东卷）已知实数x ，y 满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是() A ．x3>y3 B ．sin x>sin yC ．ln(x2＋1)>l n(y2＋1) D.1x2＋1>1y2＋1 【答案】A8．（·陕西卷）下列函数中，满足“f(x ＋y)＝ f(x)f(y)”的单调递增函数是() A ．f(x)＝x3 B ．f(x)＝3x C ．f(x)＝x 12 D ．f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x【答案】B9．（·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 【答案】1010．（·四川卷）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P(x ，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是()A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ] 【答案】B【押题专练】 1．已知a<14，则化简44a －12的结果是()A.4a －1 B ．－4a －1 C.1－4a D ．－1－4a 【答案】C2．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则() A ．y3>y1>y2 B ．y2>y1>y3 C ．y1>y2>y3 D ．y1>y3>y2【答案】D3．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图像上，则tan aπ6的值为() A ．0 B.33 C. 1D. 3【答案】D4．函数y ＝ax －a(a>0，且a≠1)的图像可能是()【答案】C5．给出下列结论： ①当a<0时，(a2) 32＝a3；②nan ＝|a|(n>1，n ∈N ＋，n 为偶数)；③函数f(x)＝(x －2) 12－(3x －7)0的定义域是{x|x≥2且x≠73}； ④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确的是() A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【答案】B6．函数y ＝ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为() A.12 B ．2 C ．4 D.14【答案】B7．已知集合P ＝{(x ，y)|y ＝m}，Q ＝{(x ，y)|y ＝ax ＋1，a>0，a≠1}，如果P∩Q 有且只有一个元素，那么实数m 的取值范围是________．【答案】(1，＋∞)8．已知2x2＋x≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x －2－x 的值域是________． 【答案】⎣⎡⎦⎤－25516，329．若x>0，则(2x 14 ＋3 32 )(2x 14 －3 32 )－4x －12 (x －x 12)＝________. 【答案】－2310．若函数f(x)＝ax －1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则a ＝________. 【答案】311．求下列函数的定义域、值域．12．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.13．已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1]．(1)求函数g(x)的解析式；(2)判断g(x)的单调性；(3)若方程g(x)＝m有解，求m的取值范围．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高考复习试卷习题资料之高考数学试卷高考模拟卷9
高考复习试卷习题资料之高考数学试卷高考模拟卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.1.（5分）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为.2.（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为.3.（5分）双曲线的两条渐近线方程为.4.（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集.5.（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为.6.（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲87 91 90 89 93乙89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为.7.（5分）现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为.8.（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=.9.（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是.10.（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为.11.（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数.当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f （x）＞x 的解集用区间表示为.12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为.13.（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为.14.（5分）在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π.（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值.16.（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA.17.（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上.（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围.18.（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19.（16分）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和.记bn=，n∈N*，其中c为实数.（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0.20.（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a为实数.（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）21.（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC.求证：AC=2AD.B.[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）22.（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B.C.[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）.试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标.D.[选修45：不等式选讲]（本小题满分0分）24.已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b.第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点.（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.26.（10分）设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，.记Sn=a1+a2+…+an（n∈N∗）.对于l∈N∗，定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数.高考复习试卷习题资料之高考数学试卷高考模拟卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.1.（5分）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π.【分析】将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期.【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π【点评】本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin （ωx+φ）的周期公式的知识，属于基础题.2.（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5.【分析】把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算. 【解答】解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i.所以，|z|==5.故答案为5.【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题.3.（5分）双曲线的两条渐近线方程为.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程.【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想4.（5分）集合{﹣1，0，1}共有8个子集.【分析】集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集. 【解答】解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个.故答案为：8.【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n 个元素，则集合M的子集共有2n个.5.（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为5.【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案.【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5.【点评】本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行.6.（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲87 91 90 89 93乙89 90 91 88 92则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2.【分析】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求.【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，.方差=4.=2.所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2.故答案为2.【点评】本题考查了方差与标准差，对于一组数据，在平均数相差不大的情况下，方差越小越稳定，考查最基本的知识点，是基础题.7.（5分）现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为.【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解.【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法. m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种.所以m，n都取到奇数的概率为.故答案为.【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题.8.（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24.【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值.【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍.即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍.所以V1：V2==1：24.故答案为1：24.【点评】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题.9.（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是[﹣2，].【分析】利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求.【解答】解：由y=x2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1.令z=x+2y，则.画出可行域如图，所以当直线过点（0，﹣1）时，zmin=﹣2.过点（）时，.故答案为.【点评】本题考查了导数的运算，考查了简单的线性规划，解答的关键是把问题转化为线性规划知识解决，是基础题.10.（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为.【分析】由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可.【解答】解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题.11.（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数.当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f （x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）.【分析】作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集.【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）.故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键.12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为.【分析】根据“d2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率.【解答】解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得.∴e==.故答案为：.【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法.13.（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或. 【分析】设点P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值.【解答】解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=.综上可知：a=﹣1或.故答案为﹣1或.【点评】本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力.14.（5分）在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为12.【分析】设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+an及a1a2…an的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案.【解答】解：设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为an==2n﹣6.记Tn=a1+a2+…+an==，Sn=a1a2…an=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=.由题意可得Tn＞Sn，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12.故答案为：12【点评】本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π.（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值.【分析】（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值.【解答】解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0.所以.即；（2）由得，①2+②2得：.因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π.所以，，代入②得：.因为.所以.所以，.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题.16.（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA.【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点.从而得到△SAB和△SAC 中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC.因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC.结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA.【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点.∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC.∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB.∴AF⊥平面SBC.又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC.∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB.又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA.【点评】本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题.17.（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上.（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围.【分析】（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点C，M的坐标，利用|MA|=2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论.【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）.∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤.【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题.18.（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为 v m/min，从而求出v的取值范围.【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m.所以索道AB的长为1040m.（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内.【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型.19.（16分）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和.记bn=，n∈N*，其中c为实数.（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0.【分析】（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到Sn，在前n项和公式中取n=nk可证结论；（2）把Sn代入中整理得到bn=，由等差数列的通项公式是an=An+B的形式，说明，由此可得到c=0.【解答】证明：（1）若c=0，则an=a1+（n﹣1）d，，.当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a.因此：，，.故：（k，n∈N*）.（2）==. ①若{bn}是等差数列，则{bn}的通项公式是bn=An+B型.观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0.经检验，当c=0时{bn}是等差数列.【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，此题是中档题.20.（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a为实数.（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论. 【分析】（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数. 【解答】解：（1）求导数可得f′（x）=﹣a∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）.∴a≥1.令g′（x）=ex﹣a=0，得x=lna.当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0.又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e.故a的取值范围为：a＞e.（2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=ex﹣a＞0，解得a＜ex，即x＞lna，因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜.结合上述两种情况，有.①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=＞0，得f（x）存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f（ea）=a﹣aea=a（1﹣ea）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f（x）在[ea，1]上的图象不间断，所以f（x）在（ea，1）上存在零点.另外，当x＞0时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f （x）只有一个零点.③当0＜a≤时，令f′（x）=﹣a=0，解得x=.当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，所以，x=是f（x）的最大值点，且最大值为f（）=﹣lna﹣1.（i）当﹣lna﹣1=0，即a=时，f（x）有一个零点x=e；（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个零点；实际上，对于0＜a＜，由于f（）=﹣1﹣＜0，f（）＞0，且函数f（x）在[]上的图象不间断，所以f（x）在（）上存在零点.另外，当0＜x＜时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，）上时单调增函数，所以f （x）在（0，）上只有一个零点.下面考虑f（x）在（，+∞）上的情况，先证明f（）=a（）＜0.为此，我们要证明：当x＞e时，ex＞x2.设h（x）=ex﹣x2，则h′（x）=ex﹣2x，再设l （x）=h′（x）=ex﹣2x，则l′（x）=ex﹣2.当x＞1时，l′（x）=ex﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x＞2时，h′（x）=ex﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=ex﹣x2＞h（e）=ee﹣e2＞0，即当x＞e时，ex＞x2当0＜a＜，即＞e时，f（）==a（）＜0，又f（）＞0，且函数f（x）在[，]上的图象不间断，所以f（x）在（，）上存在零点.又当x＞时，f′（x）=﹣a＜0，故f（x）在（，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（，+∞）上只有一个零点.综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜时，f（x）的零点个数为2.【点评】此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）21.（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC.求证：AC=2AD.【分析】证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论. 【解答】证明：连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为BC=2OC=2OD.所以AC=2AD.【点评】本题考查圆的切线，考查三角形相似的判定与性质，比较基础.B.[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）26.（10分）设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，.记Sn=a1+a2+…+an（n∈N∗）.对于l∈N∗，定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数.【分析】（1）由数列{an}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合Pl，即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）.再结合定义，运用等差数列的求和公式，即可得到所求.【解答】解：（1）由数列{an}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，所以集合P11中元素的个数为5；（2）先证：Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）.事实上，①当i=1时，Si（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；②假设i=m时成立，即Sm（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，S（m+1）（2m+3）=Sm（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）.综合①②可得Si（2i+1）=﹣i（2i+1）.于是S（i+1）（2i+1）=Si（2i+1）+（2i+1）2=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）.由上可知Si（2i+1）是2i+1的倍数，而ai（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以Si（2i+1）+j=Si（2i+1）+j（2i+1）是ai（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数.又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i（2i+1）时，集合Pl中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合Pl中元素的个数为i2+j.又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008.【点评】本题考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力，以及运用数学归纳法的推理论证能力，有一定的难度.22.（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B.【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论.【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==.【点评】本题考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，属于基础题.C.[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）.试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标.【分析】运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标.【解答】解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0.曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），.【点评】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查了转化能力，属于基础题.D.[选修45：不等式选讲]（本小题满分0分）24.已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b.【分析】直接利用作差法，然后分析证明即可.【解答】证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b.【点评】本题考查不等式的证明，作差法的应用，考查逻辑推理能力.第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC 的中点.（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==.∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为.【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用.高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
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高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用． 【重点知识梳理】 1．根式的性质 (1)(na)n ＝a.(2)当n 为奇数时nan ＝a. 当n 为偶数时nan ＝{ a a≥0－a a<0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：an ＝a·a·…·a n 个 (n ∈N*)． ②零指数幂：a0＝1(a≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a≠0，p ∈N*)．④正分数指数幂：a m n ＝nam(a>0，m 、n ∈N*，且n>1)． ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n am (a>0，m 、n ∈N*，且n>1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras ＝ar ＋s(a>0，r 、s ∈Q)； ②(ar)s ＝ars(a>0，r 、s ∈Q)； ③(ab)r ＝arbr(a>0，b>0，r ∈Q)． 3．指数函数的图象与性质y ＝axa>10<a<1图象定义域(1)R值域 (2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1； x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1； x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数【高频考点突破】 考点一 指数幂的运算例1、 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1； (2)已知x 12＋x －12＝3，求x2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．【探究提高】根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．【变式探究】计算下列各式的值：(1)⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)15＋2－(3－1)0－9－45；(3)a3b23ab2a14b124a－13b13(a>0，b>0)．考点二指数函数的图象、性质的应用例2、 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 ()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0【答案】 (1)D(2)求函数f(x)＝3x2－5x＋4的定义域、值域及其单调区间．【探究提高】(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论． 【变式探究】 (1)函数y ＝ex ＋e －xex －e －x的图象大致为()【答案】A(2)若函数f(x)＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f(x)是偶函数，则m ＋μ＝________.【答案】1考点三 指数函数的综合应用例3、(1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？ (2)已知定义在R 上的函数f(x)＝2x －12|x|. ①若f(x)＝32，求x 的值；②若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．【探究提高】对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)＝g(x)解的个数即为函数y ＝f(x)和y ＝g(x)图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．【变式探究】已知f(x)＝aa2－1(ax －a －x) (a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f (x)的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立，求b 的取值范围．【真题感悟】1.【高考新课标1，文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54-（C ）34-（D ）14- 【答案】A2.【高考山东，文8】若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）0,1（）（D ）1,+∞（）【答案】C3.【高考山东，文2】设0.61.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( ) （A ）a b c ＜＜（B ） a c b ＜＜（C ）b a c ＜＜（D ）b c a ＜＜ 【答案】C1．（·天津卷）设a ＝log2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则() A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞b ＞a 【答案】C2．（·四川卷）已知b ＞0，lo g5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是() A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 【答案】B3．（·安徽卷）设a ＝log37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则()A ．b<a<cB ．c<a<bC ．c<b<aD ．a<c<b 【答案】B4．（·福建卷）若函数y ＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()【答案】B5．（·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log213，c ＝log 1213，则() A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 【答案】D6．（·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ex －1，x ＜1，x 13，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]7．（·山东卷）已知实数x ，y 满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是() A ．x3>y3 B ．sin x>sin yC ．ln(x2＋1)>l n(y2＋1) D.1x2＋1>1y2＋1 【答案】A8．（·陕西卷）下列函数中，满足“f(x ＋y)＝ f(x)f(y)”的单调递增函数是() A ．f(x)＝x3 B ．f(x)＝3x C ．f(x)＝x 12 D ．f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x【答案】B9．（·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 【答案】1010．（·四川卷）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P(x ，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是()A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ] 【答案】B【押题专练】 1．已知a<14，则化简44a －12的结果是()A.4a －1 B ．－4a －1 C.1－4a D ．－1－4a 【答案】C2．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则() A ．y3>y1>y2 B ．y2>y1>y3 C ．y1>y2>y3 D ．y1>y3>y2【答案】D3．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图像上，则tan aπ6的值为() A ．0 B.33 C. 1D. 3【答案】D4．函数y ＝ax －a(a>0，且a≠1)的图像可能是()【答案】C5．给出下列结论： ①当a<0时，(a2) 32＝a3；②nan ＝|a|(n>1，n ∈N ＋，n 为偶数)；③函数f(x)＝(x －2) 12－(3x －7)0的定义域是{x|x≥2且x≠73}； ④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确的是() A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【答案】B6．函数y ＝ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为() A.12 B ．2 C ．4 D.14【答案】B7．已知集合P ＝{(x ，y)|y ＝m}，Q ＝{(x ，y)|y ＝ax ＋1，a>0，a≠1}，如果P∩Q 有且只有一个元素，那么实数m 的取值范围是________．【答案】(1，＋∞)8．已知2x2＋x≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x －2－x 的值域是________． 【答案】⎣⎡⎦⎤－25516，329．若x>0，则(2x 14 ＋3 32 )(2x 14 －3 32 )－4x －12 (x －x 12)＝________. 【答案】－2310．若函数f(x)＝ax －1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则a ＝________. 【答案】311．求下列函数的定义域、值域．12．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.13．已知f(x)＝3x，并且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1,1]．(1)求函数g(x)的解析式；(2)判断g(x)的单调性；(3)若方程g(x)＝m有解，求m的取值范围．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．【热点题型】题型一空间几何体的三视图和直观图例1、(1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．【提分秘籍】(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”；(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．【举一反三】(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥 B．三棱柱C．四棱锥 D．四棱柱(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形题型二空间几何体的表面积与体积例2、(1)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727B.59C.1027D.13(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A.233B.476C ．6D ．7(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________．【提分秘籍】(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．【举一反三】(1)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C －ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.12 B .22 C.14 D.24题型三空间几何体的结构特征 例3、 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体； ⑤棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是________． 【提分秘籍】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．【举一反三】 给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【高考风向标】1.【高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（） A ．83cm B ．123cm C ．3233cm D ．4033cm2.【高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）123π+ (B)136π (C) 73π (D) 52π3.【高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+4、【高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1（B ）2 （C ）4（D ）85.【高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）1112A ．822+B ．1122+C ．1422+D ．156.【高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A ）223π（B ）423π（）22π（）42π7【高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）13（B ）122+（C ）23 （D ）228.【高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为3m .9.【高考四川，文14】在三棱住ABC －A1B1C1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B1C1的中点，则三棱锥P －A1MN 的体积是______.10．（·安徽卷）一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476 C ．6 D ．711．（·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-2A ．1B ．2C ．3D ．412．（·陕西卷）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π13．（·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16πC ．9π D.27π414．（·陕西卷）四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H.图1-4(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．【高考押题】1．下列结论中正确的是()A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A ．20B ．15C ．12D ．103．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.32π3B ．4πC ．2πD.4π34．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A ．72cm3B ．90cm3C ．108cm3D ．138cm35．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()6．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与表面积的比值为________．7．一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________．8．如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比．9．已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm 和30cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。