离散数学(第7讲习题课1)

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离散数学课后习题及答案

离散数学课后习题及答案离散数学是计算机科学与数学的重要基础课程之一，它涵盖了很多重要的概念和理论。

为了更好地掌握离散数学的知识，课后习题是必不可少的一部分。

本文将介绍一些常见的离散数学课后习题，并提供相应的答案，希望对读者有所帮助。

一、集合论1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}2. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，求(A∪B)∩C的结果。

答案：(A∪B)∩C={3,4}二、逻辑与命题1. 判断下列命题的真假：a) 若2+2=5，则地球是平的。

b) 若今天下雨，则我会带伞。

c) 若x>0，则x^2>0。

答案：a)假，b)真，c)真。

2. 用真值表验证下列命题的等价性：a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)b) p→q ≡ ¬p∨q答案：a)等价，b)等价。

三、关系与函数1. 给定关系R={(1,2),(2,3),(3,4)}，求R的逆关系R^-1。

答案：R^-1={(2,1),(3,2),(4,3)}2. 设函数f(x)=x^2，g(x)=2x+1，求复合函数f(g(x))的表达式。

答案：f(g(x))=(2x+1)^2=4x^2+4x+1四、图论1. 给定图G，其邻接矩阵为：0 1 11 0 11 1 0求图G的度数序列。

答案：度数序列为(2,2,2)2. 判断下列图是否为连通图：a) G1的邻接矩阵为：0 1 11 0 01 0 0b) G2的邻接矩阵为：0 1 01 0 10 1 0答案：a)不是连通图，b)是连通图。

五、组合数学1. 从10个不同的球中，任选3个，求共有多少种选法。

答案：C(10,3)=120种选法。

2. 求下列排列的循环节：a) (123)(45)(67)b) (12)(34)(56)(78)答案：a)循环节为(123)(45)(67)，b)循环节为(12)(34)(56)(78)。

离散数学第七章

第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系E A,小于或等于关系L A,整除关系D A.={<2，2>,<3,3>,<4,4>}解：IA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}LAD={<2,4>}A13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A⋃B,A⋂B, domA, domB, dom(A⋃B), ranA, ranB, ran(A⋂B ), fld(A-B).解：A⋃B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}A⋂B={<2,4>}domA={1,2,3}domB={1,2,4}dom(A∨B)={1,2,3,4}ranA={2,3,4}ranB={2,3,4}ran(A ⋂B)={4} fld R=dom R ⋃ran RA-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求R R, R -1, R ↑{0,1,}, R[{1,2}]解：R R={<0,2>,<0,3>,<1,3>}R -1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R ↑{1,2})={2,3}16．设A={a,b,c,d}，1R ，2R 为A 上的关系，其中1R ={},,,,,a a a b b d{}2,,,,,,,R a d b c b d c b=求23122112,,,R R R R R R 。

离散数学(第7讲)

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计算机学院
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基于上述情况，有必要对个体域进行统一，全部使用全总个体域，此时，对每一个句子中客体变量的变化范围用一定的特性谓词刻划之。而统一成全总个体域后，此全总个体域在谓词公式中就不必特别说明，常常省略不记。同时，这种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵循如下原则：
对于全称量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为条
一、谓词 Predlicate 在对命题的内部逻辑关系进行研究时，把基本命题分成客体(个体）和谓词。客体——独立存在的具体事物或抽象概念（即命题中所描述的对象。如主语，客观实体等）。谓词——刻划客体的性质（特征）或描述客体间的关系。谓词一般用大写字母（串）表示; 个体用小写字母表示。
存在x；
每一个x；等等。
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等等。
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定义2.2
(x)称为全称量词,其中的x称为作
全称量化命题
用变量。一般将量词加在谓词之前，记为 (x)Q(x)。 (x)Q(x)取值为真的充分必要条存在量化命题
件是对论域中的每个客体a，Q(a)都取值为真。
定义2.3 (x)为存在量词, 记为 (x)Q(x)。
(x)Q(x)取值为真的充分必要条件是对论域中
至少存在一个客体a，使Q(a)取值为真。
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例2-1．4 (续2)
在例1．4中，利用量词则有： (x)R(x) (x{老虎}) (x)P(x) (x{人}) (x)N(x) (x{人}) (x)Q(x) (x{人}) (x)C(x) (x{带伞的人}) (x)S(x) (x{自然数})
Q(x)：x是用功的； R(x)：x是肯于思考的； S(x)：x是大学生； T(x，y)：x解决了y； a：那位， b：一个数学难题。则句子2）可完整地符号化为： P(a)∧Q(a)∧R(a)∧S(a)∧T(a，b)

离散数学课后习题答案第七章

第七章特殊图类习题7.11．解因 m=n-1,这里m=6,所以n=6+1=7.2．解不正确。

与平凡图构成的非连通图中有4个结点3条边，但是它不是树。

3K 3．证明必要性。

因为G 中有n 个结点，边数m=n-1，又因为G 是连通的，由本节定理1可知，G 为树，因而G 中无回路。

再证充分性。

因为G 中无回路，又因为边数m=n-1，由本节定理1，可知G 为树，所以G 是连通的。

4．解因 m=n-r,这里n=15,r=3,所以m=15-3=12，即G 有12条边。

5．解6个结点的所有不同构的树如图7-1所示。

图7-16．证明由定理1，在任意的树中，边数),(m n 1−=n m；所以，由握手定理得)1(22)(1−==∑=n m v d ni i①⑴若T 没有树叶，则由于T 是连通图，所以T 中任一结点均有，从而2)(≥i v d n v d ni i2)(1≥∑= ②则①与②矛盾。

⑵若树T 仅有1片树叶，则其余1−n个结点的度数不小于2，于是121)1(2)(1−=+−≥∑=n n v d ni i③从而①、③相矛盾。

综合⑴，⑵得知T 中至少有两片树叶。

7．解图7-2⑴中共有两棵非同构的生成树（如图7-3⑴，⑵）。

图7-2⑵中共有3棵非同构的生成树（如图7-3⑶，⑷，⑸）。

⑵⑴⑶⑷ ⑸图7-38．解在图7-4中共有8棵生成树，如图7-5⑴～⑻所示，第i 生成树用表示。

，，，)8,,2,1( =iT i 7)(8=T W 8)()(61==T W T W 6)()(52==T W T W )()(73==T W T W 9)(4=T W 。

其中T 2，T 5是图中的最小生成树。

9．解最小生成树T 如图7-7所示，W （T ）=18。

a bc da b cda ba bcdabc d⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺ ⑻图7-5图7-4图7-6图7-7习题7.21．解不一定是。

如图7-8就不是根树.2．解五个结点可形成3棵非同构的无向树，如图7-9⑴，⑵，⑶所示。

离散数学第七章图论习题课

利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以，在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也是相同的。
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点出,入度。由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色，否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明：设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没

离散数学-第七章习题答案

第7章习题答案1．f（x）=2|x|+1是从整数集合到正整数集合的函数，它的值域是什么？解：它的值域是正奇数集合。

2．试问下列关系中哪个能构成函数？（1）{〈x，y〉|x，y∈N，x+y<10}（2）{〈x，y〉|x，y∈R，y=x2}（3）{〈x，y〉|x，y∈R，y2=x}解；（1）、（3）不满足函数的定义，只有（2）是函数。

3．下列集合能够定义函数吗？如果能，求出它们的定义域和值域。

（1）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈3,〈1,4〉〉,〈4,〈1,4〉〉}（2）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈3,〈3,2〉〉}（3）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈1,〈2,4〉〉}（4）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈2,3〉〉,〈3,〈2,3〉〉}解：(1)、(2)、(4)定义的是函数。

(1)的定义域是{1,2,3,4},值域是{〈2,3〉,〈3,4〉,〈1,4〉}(2)的定义域是{1,2,3},值域是{〈2,3〉,〈3,4〉,〈3,2〉}(4)的定义域是{1,2,3},值域是{〈2,3〉}4．设f，g都是函数，并且有f⊆g和dom（g）=dom（f），证明f=g证明：假设f≠g，因为f⊆g和dom（g）=dom（f），则存在x1∈dom（g）和dom（f），使得〈x1,y1〉∈g但〈x1,y1〉∉f，因为f是函数，在定义域上处处有定义，所以必存在y2，使得〈x1,y2〉∈f，由f⊆g得〈x1,y2〉∈g，这与g是函数满足单值性矛盾。

故假设错误，必有f=g。

6．设X={0，1，2}，求出X X中的如下函数（1） f2（x）=f（x）（2） f2（x）=x（3） f3（x）=x解：（1）有10个函数，分别是：f1（x）={〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,0〉}f2（x）={〈0,1〉,〈1,1〉,〈2,1〉}f3（x）={〈0,2〉,〈1,2〉,〈2,2〉}f4（x）={〈0,1〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f5（x）={〈0,2〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f6（x）={〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,2〉}f7（x）={〈0,0〉,〈1,2〉,〈2,2〉}f8（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,0〉}f9（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,1〉}f10（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}（2）有4个函数，分别是：f1（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f2（x）={〈0,0〉,〈1,2〉,〈2,1〉}f3（x）={〈0,2〉,〈1,1〉,〈2,0〉}f4（x）={〈0,1〉,〈1,0〉,〈2,2〉}（3）有3个函数，分别是：f 1（x ）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f 2（x ）={〈0,1〉,〈1,2〉,〈2,0〉}f 3（x ）={〈0,2〉,〈1,0〉,〈2,1〉}8．设f,g,h 是N → N 的函数, 其中N 是自然数集合，f(n)＝n ＋1, g(n)＝2n,⎩⎨⎧=是奇数若是偶数若n n n h 10)(试确定：f f ，f g ，g h ，h g 及(f g) h 。

大学_《离散数学》课后习题答案

《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。

教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。

《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。

离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。

由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。

离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。

离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。

离散数学第七讲

康托尔(Cantor)9 3.1 集合的基本概念集合、元素、子集、包含、集合相等、真子集、空集、幂集、全集9 3.2 集合的基本运算并集、交集、相对补集、绝对补集、对称差、文氏图、算律、9 3.3 集合中元素的计数基数、有(无)穷集、包含排斥原理3.1 集合的基本概念9把具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个集合。

9由确定的相互区别的一些对象组成的整体称为集合。

9可确定的可分辨的事物构成的整体。

例：教室内的桌椅、图书馆的藏书、全国的高等学校、自然数的全体、直线上的点、26个英文字母3.1 集合的基本概念集合的元素(member或element)9集合内的对象或单元称为元素。

9集合通常用大写英文字母标记。

例如，N代表自然数集合（包括0），Z代表整数集合，Q代表有理数集合，R代表实数集合，C代表复数集合。

趣味思考9任意自然数都可以表示为两个自然数的平方差吗?9请严谨、详细分析说明。

3.1 集合的基本概念集合的表示法列举法将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征。

例如：V={a,e,i,o,u} 或B={1,4,9,16,25,36……}。

描述法通过描述集合中元素的共同特征来表示集合。

例如：V= {x| x是元音字母}B={x| x=a2, a是自然数}C= {x| x∈Z ∧3<x≤6}，即C={4,5,6}3.1 集合的基本概念集合的表示9元素a属于集合A，记作a ∈A。

9元素a不属于集合A ，记作a ∉A3.1 集合的基本概念3.1 集合的基本概念集合的特征9确定性：任何一个对象，或者是这个集合的元素，或者不是，二者必居其一。

例如：A={x| x∈N ∧x<100}，C={x| x是秃子}9互异性：集合中任何两个元素都是不同的，即集合中不允许出现重复的元素。

例如：集合A={a,b,c,c,b,d}，应该是A={a,b,c,d}3.1 集合的基本概念集合的特征9无序性：集合与其中的元素的顺序无关。

离散数学课后习题答案一

§1.1 命题与逻辑连接词习题1. 以下哪些语句是命题，在是命题的语句中，哪些是真命题，哪些是假命题，哪些命题的真值现在还不知道？〔1〕中国有四大创造。

〔2〕你喜欢计算机吗？〔3〕地球上海洋的面积比陆地的面积大。

〔4〕请答复这个问题！〔5〕632=+。

〔6〕107<+x 。

〔7〕园的面积等于半径的平方乘以圆周率。

〔8〕只有6是偶数，3才能是2的倍数。

〔9〕假设y x =，那么z y z x +=+。

〔10〕外星人是不存在的。

〔11〕2021年元旦下大雪。

〔12〕如果311=+，那么血就不是红的。

解是真命题的有：〔1〕、〔3〕、(7)、 (9) 、〔12〕；是假命题的有：〔5〕、 (8) ；是命题但真值现在不知道的有： (10)、 (11)；不是命题的有：〔2〕、〔4〕、〔6〕。

2. 令p 、q 为如下简单命题：p ：气温在零度以下。

q ：正在下雪。

用p 、q 与逻辑联接词符号化以下复合命题。

〔1〕气温在零度以下且正在下雪。

〔2〕气温在零度以下，但不在下雪。

〔3〕气温不在零度以下，也不在下雪。

〔4〕也许在下雪，也许气温在零度以下，也许既下雪气温又在零度以下。

〔5〕假设气温在零度以下，那一定在下雪。

〔6〕也许气温在零度以下，也许在下雪，但如果气温在零度以上就不下雪。

〔7〕气温在零度以下是下雪的充分必要条件。

解〔1〕q p ∧；〔2〕q p ⌝∧；〔3〕q p ⌝∧⌝；〔4〕q p ∨；〔5〕q p →；〔6〕)()(q p q p ⌝→⌝∧∨；〔7〕q p ↔。

3. 令原子命题p ：你的车速超过每小时120公里，q ：你接到一张超速罚款单，用p 、q 与逻辑联接词符号化以下复合命题。

〔1〕你的车速没有超过每小时120公里。

〔2〕你的车速超过了每小时120公里，但没接到超速罚款单。

〔3〕你的车速假设超过了每小时120公里，将接到一张超速罚款单。

〔4〕你的车速不超过每小时120公里，就不会接到超速罚款单。

离散数学第7讲

4
个体词与个体域
个体词: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体词个体常项: 表示具体事物的个体词, 个体常项表示具体事物的个体词用a, b, c等表示等表示个体变项: 表示抽象事物的个体词, 个体变项表示抽象事物的个体词用x, y, z等表示等表示个体域: 个体域个体变项的取值范围全总个体域: 全总个体域宇宙间一切事物是偶数, 能被2整除例如 “若x是偶数则x能被整除 ” 是偶数能被整除.” x、偶数和是个体词偶数和是个体常项 x是个体变是个体词, 是个体常项, 、偶数和2是个体词偶数和2是个体常项是个体变项个体域可以是自然数集N, 整数集Z,…, 也可以是全总个个体域可以是自然数集整数集体域
10
实例
将下列命题符号化, 并讨论其真值: 例4 将下列命题符号化并讨论其真值 (1) 对任意的均有 2-3x+2=(x-1)(x-2) 对任意的x, 均有x (2) 存在使得存在x, 使得x+5=3 分别取(a) 个体域D 个体域D 分别取个体域 1=N, (b) 个体域 2=R 解记F(x): x2-3x+2=(x-1)(x-2), G(x): x+5=3 (a) (1) ∀x F(x) 真值为1 真值为 (2) ∃x G(x) 真值为0 真值为 (b) (1) ∀x F(x) 真值为1 真值为 (2) ∃x G(x) 真值为1 真值为
9
一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中将下面命题符号化: 例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字人都爱美; 个体域分别取(a) 人类集合 (b) 全总个体域 . 人类集合, 个体域分别取爱美, 解: (a) (1) 设F(x): x爱美符号化为 ∀x F(x) 爱美 (2) 设G(x): x用左手写字符号化为 ∃x G(x) 用左手写字, 用左手写字 (b) 设M(x): x为人， F(x), G(x)同(a)中为人，为人同中 (1) ∀x (M(x)→F(x)) → (2) ∃ x (M(x)∧G(x)) ∧ M(x)称作特性谓词称作特性谓词称作

离散数学第7章图论习题

1 0 1 10
A=
1 0 0 00
1 0 1 00
0 0 0 00 i=4时，因为A[4,2]=1，将第四行
用Warshall算法求可
加到第2行，A不变。
达性矩阵。
i=5时，因为A的第5列全为0，所
i=1时，因为A的第一行以A不变。
0 0 0 00
全为0，所以A不变。
i=2时，因为A的第2列全为0，所以A不变。
充分性。如果边e不包含在G的任一条回路中，那么连接结点u和v的边只有e，而不会有其它连接u和v的任何路。因为如果连接u和v还有不同于边e的路，此路与边e就组成一条包含边e的回路，从而导致矛盾。所以删去边e后，u和v就不连通，故边e是割边。
300页（2）如果u可达v，它们之间可能不止一条
路，在所有这些路中，最短路的长度称为u和v之间的距离（或短程线），记作d<u,v>，如果从u到v是不可达的，则通常写成 d<u,v> =∞
2
练习7-2（2）：若无向图G中恰有两个奇数度的结点，则这两个结点之间必有一条路。
证明：设无向图G中两个奇数度的结点为u和v。从u开始构造一条迹，即从u出发经关联于结点u的边e1到达结点 u1，若deg(u1)为偶数,则必可由u1再经关联于结点u1的边e2到达结点u2,如此继续下去,每边只取一次,直到另一个奇数度结点停止, 由于图G中只有两个奇数度结点,故该结点或是u或是v。如果是v, 那么从u到v的一条路就构造好了。如果仍是结点u,此路是闭迹。
第7章习题课
离散数学第7章图论习题
1
练习7-1（6）简单图的最大度小于结点数。
证明：设简单图G中有n个结点。任取一个结点v，由已知G是简单图没有环和重边，

离散数学：第7讲等价关系

C11n2 ,.nn
1.
2020/12/29
等价关系
34
Stirling子集数
递推公式: n n 1 n 1
k
k
k
k
1.
剔除一个
其余分k类
加入一类
其余分k-1类
2020/12/29
自成一类
等价关系
35
Bell数表
n
Bn
1
1
2
2
3
5
4
15
5
52
6
203
7
877
2020/12/29
n 8 9 10 11 12 13 14
具有对称性
2020/12/29
等价关系
8
问题(续2)
自反对称传递
tsr(R)=trs(R) str(R)=srt(R)
=rts( R )
=rst( R )
2020/12/29
等价关系
9
定理7.13
定理7.13: 设RAA且A,则 (1) R自反 s( R )和t( R )自反; (2) R对称 r( R )和t( R )对称; (3) R传递 r( R )传递。
xy
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等价关系
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商集(quotient set)
商集: 设R是A上等价关系, A/R = { [x]R | xA }
称为A关于R的商集, 简称A的商集. 例11(续):
A/R ={ {1,4}, {2,5,8}, {3} }.
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等价关系
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例12
例: 考虑A={a,b,c}上的等价关系.
等价关系
Bn 4,140 21,147 115,975 678,570 4,213,597 27,644,437 190,899,322

离散数学第7章习题解答

第7章习题解答(1),(2),⑶，⑸都能组成无向图的度数列,其中除⑸外又都能组成无向简单图的度数列.分析1°非负整数列〃詔2,…，血能组成无向图的度数列当且仅当f川为r-1偶数，即心,〃2,…，〃”中的奇数为偶数个.(1),(2),(3),⑸中别离有4个,0个,4个,4个奇数，所以，它们都能组成无向图的度数列，固然，所对应的无向图极可能是非简单图•而(4)中有3个奇数，因此它不能组成无向图度数列.不然就违背了握手定理的推论.2°⑸虽然能组成无向图的度数列，但不能组成无向简单度数列.不然，若存在无向简单图G,以1,3,3,3为度数列,不妨设G中极点为儿宀宀宀，且〃(片)=1, 于是〃(”2)= d(y3)= J(v4) = 3.而儿只能与v2,v3»v4之一相邻,设片与冬相邻，这样一来，除冬能达到3度外，耳宀都达不到3度,这是矛盾的.在图所示的4个图中,(1)以1为度数列，⑵以2为度数列，⑶以3为度数列,(4) 以4为度数列(非简单图).⑴ (2)(3) (4)困7.5设有几简单图D以2, 2, 3, 3为度数列，对应的极点别离为y r v2,v3,v4,由于J(v) =J+(v) + ^-(v),所示，d\v l)-d-(v i) = 2-0 = Zd+(v2) = d(v2)-d-(v2)= 2-0 = 2,J*(V3)=d(v3)-d-(v3) = 3-2 = l,J+(v4)= 〃(勺)一旷(勺)= 3-3 = 0 由此可知,D的出度列为2,2, 1,0,且知足工(广化)=》旷(勺).请读者画出一个有向图.以2, 2, 3, 3为度数列，且以0,0, 2, 3为入度列，以2, 2, 1, 0为出度列.D的入度列不可能为1,1,1, 1.不然，必有出度列为2, 2, 2,2(因为J(v) = J*(v) + J-(v)),)此时，入度列元素之和为4,不等于出度列元素之和8,这违背握手定理.类似地讨论可知，1, 1, 1, 1也不能为D的出席列.不能.N阶无向简单图的最大度厶＜/7-1,而这里的n个正整数彼此不同, 因此这n个数不能组成无向简单图的度数列，不然所得图的最大度大于n,这与最大度应该小于等于n-1矛盾.(1) 16个极点.图中边数加= 16,设图中的极点数为〃.按照握手定理可知2m = 32 =》〃(片)=Inr-I所以，n = 16.(2)13个极点.图中边数也= 21,设3度极点个数为x,由握手定理有2in = 42 = 3 x 4 + 3x由此方程解出x = 10.于是图中极点数71 = 3+10 = 13.(3)III握手定理及各极点度数均相同，寻觅方程2x24 = nk的非负整数解，这里不会出现儿k均为奇数的惜况.其中“为阶级，即极点数，£为度数共可取得下面10种情况.①个极点,度数为48.此图必然是由一个极点的24个环组成,固然为非简单图.②2个极点，每一个极点的度数均为24.这样的图有多种非同构的情况，必然为非简单图.③3个极点，每一个极点的度数均为16.所地应的图也都是非简单图.④4个极点，每一个极点的度数均为12.所对应的图也都是非简单图.⑤6个极点，每一个极点的度数均为8,所对应的图也都是非简单图.⑥个极点，每一个极点的度数均为6.所对应的非同构的图中有简单图，也有非简单图.⑦12个极点，每一个极点的度数均为4.所对应的非同构的图中有简单图, 也有非简单图.⑧16个极点，每一个极点的度数均为3,所对应的非同构的图中有简单图，也有非简单图.⑨24个极点，每一个极点的度数均为2.所对应的非同构的图中有简单图，也有非简单图.⑩48个极点，每一个极点的度数均为1,所对应的图是唯一的，即由24个K,■ 组成的简单图.分析由于n阶无向简单图G A(G)<«-1,的以①所对应的图不可能有简单图•⑥-⑨既有简单图，也有非简单图，读者可以画出若干个非同构的图，而⑩只能为简单图.设G为n阶图，由握手定理可知70 = 2 x 35 =》〃(*]) n 3n,所以,这里，匕」为不大于兀的最大整数，例如[_2」=2丄2.5」=2,斤」=23.由于3(G) = n-l,说明G中任何极点v的度数J(v) > J(G) = /7-1,可是由于G为简单图，因此△(G)S-1,这乂使得J(v) < n -1,于是1,也就是说,G中每一个极点的度数都是幵-1,因此应有△(G)S-1.于是G为("-1)阶正则百度文库-好好学习.天天向上图，即G为n阶完全图K”.由G的补图7的概念可知，GUG为K”，由于n为奇数，所以，K”中各项极点的度数//-1为偶数•对于任意的卩e卩(G),应有v e V(G),且百度文库•好好学习.天天向上（V）_ d G（y） = C I K K（V）=办一1其中d G(v)表示V在G中的度数，J- (v)表示「在E中的度数.曲于n -1为偶数,所以，与4(叭同为奇数或同为偶数，因此若G有r个奇度极点，则7也有r 个奇度极点.由于£>匸ZX所以，m <m.而n阶有向简单图中，边数/n<n(n-l),所以，应n(n -1) = m < m < n(n一1)这就致使川=n(n-l),这说明D为n阶完全图，且D =D.图给岀了心的18个非同构的子图,其中有11个生成子图(8-18),其中连通的有6个11, 12, 13, 14, 16,17).图中,n, m别离为极点数和边数.K-有11个生成子图，在图中，它们别离如图8-18所示•要判断它们肖中哪些是自补图，首先要知道同构图的性质，设G与G?的极点数和边数•若q = G2, 则= n2且m x = m2・£7.6百度文库•好好学习.天天向上(8)的补图为(14) = K,,它们的边数不同，所以，不可能同构.因此⑻与(14) 均不是自补图类似地，(9)的补图为(13),它们也非同构，因此它们也都不是自补图.(10)与(12)互为补图，它们非同构，因此它们都不是自补图.(15)与(17)互为补图，它们非同构，所以，它们都不是自补图.类似地，(16)与(18)互为补图且非同构，所以，它们也都不是自补图.而(11)与自己的补图同构,所以，(11)是自补图.3阶有向完全图共有20个非同构的子图，见图所示，其中(5)-(20)为生成子图，生成子图中(8), (13), (16), (19)均为自补图.分析在图所示的生成子图中，(5)与(11)互为补图，(6)与(10)互为补图，(7)与(9)互为补图,(⑵与(14)互为补图,(15)与(17)互为补图,(18)与(20) 互为补图，以上互为补图的两个图边数均不相同，所以，它们都不是自补图.而(8), (13), (16), (19)4个图都与自己的补图同构，所以，它们都是自补图.不能.都中心的子图，而且都是成子图.而心的两分析在同构的意义下，GP G2,G3条边的主成子图中，只有两个是非同构的，见图中(10)与(15)所示.山鸽巢原理可知，G r G2,G3中至少有两个是同构的，因此它们不可能彼此都非同构.鸽巢原理川只鸽飞进H个鸽巢，其中心2,则至少存在一巢飞入至少[口只n 鸽子.这里「刃表示不小于X的最小整数.例如,⑵=2,「2.5] = 3.7. 14 G是唯一的，即便G是简单图也不唯一.百度文库-好好学习.天天向上分析山握手定理可知2也=3从乂山给的条件得联立议程组2m = 3/2<2〃一 3 = m.解出” =6,加= 9.6个极点,9条边，每一个极点的度数都是3的图有多种非同构的情况，其中有多个非简单图(带平行边或环)，有两个非同构的简单图，在图的事实，设GG 都是n 阶简单图，则G, =G 2当且仅当石三房，其中瓦，不别离为G 与62的补图.知足要求的简单图都是6阶9条边的3正则图，因此它们的补图都为6阶6条边的2正则图(即每一个极点度数都是2).而心的所有生成子图中,6条边2正则的非同构的图只有两个，见图中(3), (4)所示的图，其中(3)为(1) 的补图，⑷为⑵的补图，知足要求的非同构的简单图只有两个.但知足要求的非同简单图有多个非同构的，读者可自己画出多个来. 将心的极点标定顺序，讨论片所关联的边.由鸽巢原理(见题)，与片关联的5条边中至少有3条边颜色相同，不妨设存在3条红色边,见图中(1)所示(用实线表示红色的边)并设它们关联另外3个极点别离为V 2,V 4,V 6.若”2，^，%组成的心中(1), (2)给出了这两个非同构的简单图.知足条件的非同构的简单图只有图中，(1),⑵所示的图，⑴与⑵所示的图，⑴ 与(2)是非同构的.注意在(1)中不存在3个彼此相邻的极点, 而在(2)中存在3个彼此相邻的极点，因此(1) 图与(2)图非同构.下面分析知足条件的简单图只有两个是非同构的•首先注意到(1)中与(2)中图都是心的生成子图，而且还有这样£ 7.8百度文库•好好学习.天天向上中还有红色边，比如边(v2,v4)为红色，则v,,v2,v4组成的©为红色心，见图中⑵所示.若v2,v4,v6组成的心各边都是蓝色(用虚线表示)，则V2,V4,V6组成的&为蓝色的.(1> ⑵(3)困7.9在图所示的3个图中，（1）为强连通图，（2）为单向连通图，但不是强连通的，（3）是弱连通的，不是单向连通的，更不是强连通的.分析在（1）中任何两个极点之间都有通路，即任何两个极点都是彼此可达的，因此它是强连能的.（2）中c不可达任何极点，因此它不是强连通的，但任两个极点存在一个极点可达另外一个极点，所以，它是单向可达的.（3）中“,c 彼此均不可达，因此它不是单向连通的，更不是强连通的.判断有向图的连通性有下面的两个判别法.1°有向图D是强连通的当且仅当D中存在通过每一个极点至少一次的回路.2°有向图D是单向连通的当且仅当D中存在通过每一个极点至少一次的通路.（1）中“仇为通过每一个极点一次的回路，所以，它是强连能的.⑵中为通过每一个极点的通路，所以，它是单向连通的，但没有通过每一个极点的回路，所以，它不是强连通的.（3）中无通过每一个极点的回路，也无通过每一百度文库-好好学习.天天向上个极点的通路，所以，它只能是弱连通的.G-E的连通分支必然为2,而G-V的连通分支数是不肯定的.百度文库•好好学习.天天向上分析设E 为连通图G 的边割集，则G-E 的连通分支数p(G - E ) = 2,不可能大于2.不然，比如“(G -E ) = 3,则G-E 由3个小图G,,G 2,G 3组成，且E 中边的两个端点分属于两个不同的小图.设E”中的边的两个端点一个在G 中，另一个在G?中，则E 「uE ,易知〃(G-£”)= 2,这与F 为边割集矛盾，所以， p(G-E ) =2.但p(G-V )不是定数，固然它大于等于2,在图中，"=｛“」，｝为⑴的点割集, /XG-V ) = 2,其中G 为⑴中图.V =(v ｝为⑵中图的点割集，且卩为割点, “(G -V) = 4,其中G 为⑵中图.解此题，只要求岀D 的邻接矩阵的前4次幕即可.D 中长度为4的通路数为屮中元素之和，等于15,其中对角线上元素之和为3,即D 中长度为3的回路数为3. b 到6的长度为4的通路数等于尿：＞ =2.分析用邻接矩阵的幕求有向图D 中的通路数和回路数应该注意以下儿点:1°这里所谈通路或回路是概念意义下的，不是同构意义下的.比如，不同始'o 1 1 0 1 0 0・ 0 A =0 1 0 10 0 0 0'1 1 1 1 ■1 1 0 1=0 1 1 10 0 0 1_"1 0 1 0 1 1 1・A 2=1 0 0 10 0 0 1'1 2 1 2~1 1 1 1A 4=1 1 0 10 0 0 1 (2)百度文库-好好学习.天天向上点(终点)的回路2°这里的通路或回路不但有低级的、简单的，还有复杂的.例/lO, v l,v2,v1,v2,v1是一条长为4的复杂回路.3°回路仍然看成是通路的特殊情况.读者可利用求D中长度为2和3的通路和回路数.答案A:④.分析G中有皿个k度极点，有(// - N k)个伙+1)度极点，由握手定理可知工J(v z) = k-N k + 伙 +1)(/7 一NJ = 2m=> Nk = n{k + 1) —2n.答案A:②；B:③.分析在图中，图(1)与它的补同构，再没有与图(1)非同构的自补图了，所以非同构的无向的4阶自补图只有1个.图(2)与它的补同构，图(3)与它的补也同构，而图(2)与图(3)不同构，再没有与(2), (3)非同构的自补图了，所以，非同械的5阶自补图有2个.(1)⑵⑶困7.12答案A:④；B:③；C:④；D:©.分析(1)中存在通过每一个极点的回路，如很/1力0.. (2)中存在通过每一个极点的通路，但无回路.(3)中无通过每一个极点至少一次的通路,其实，两个极点互不可达.(4)中有通过每一个极点至少一次的通路，但无回路，负Mcbd为通过每一个极点的通路•(5)中存在通过每一个极点至少一次的回路，如aedbcdba (6)中也存在通过每一个极点的回路，如baebdcb. ill题可知，(1), (5), (6)是强连通的,(1), (2), (4), (5), (6)是单向连能的，(2), (4)是非强连通的单向连通图.注意，强连通图必为单向连通图.6个图中，只有(3)既不是强连通的，也不是连通的，它只是弱连通图.在⑶中，从&到b无通路，所以d,<a y b>= 00,而方到a有唯一的通路加，所以〃< b.a >= 1 ・答案A:①；B:⑥（十）C:②；D:④.分析用Dijkstra标号法，将计算机结果列在表中.表中第x列最后标定回表示b到x的最短路径的权为y,且在b到x的最短路径上,Z邻接到x,即x的前驱元为乙曲表可知,a的前驱元为c （即a邻接到c）, c的前驱元为b,所以,b到a 的最短路径为仇其权为4.类似地计论可知,b到c的最短路径为be,其权为到d的最短路径为bceg〃，其权为到e的最短路径为bee,其权为7.答案A:⑧；B:⑩C:③；D:③和④.分析按求最先、最晚完成时间的公式，先求各极点的最先完成时间，再求最晚完成时间，最后求缓冲时间。

7离散数学第7章课件ppt_高等教育出版社_屈婉玲_耿素云_张立昂主编

3
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 A B B A (A B, A , B )
(2) 不适合结合律 (A B) C A (B C) (A , B , C )
(3) 对于并或交运算满足分配律 A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
(B A) (C A) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
1 1 0 0
M
R
0
0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
12
7.3 关系的运算
关系的根本运算定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y> R) } ranR = { y | x (<x,y> R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 那么 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)
<x,y> <x,y>∈RIA

北大离散数学第7讲关系幂运算与关系闭包

第一页第，一共页50页。
关系的n次幂
关系的n次幂(nth power): 设RAA, nN, 则
(1) R0 = IA; (2) Rn+1 = Rn○R, (n1).
Rn RRR
n个R
Rn表示的关系, 是R的关系图中长度为n的有向路径的起点与终点的关系.
1
2
n-1
Байду номын сангаас
n
第二页第，二共页50页。
又名抽屉原则(Dirichlet drawer principle),
(Peter Gustav Lejeune Dirichlet,1805~1859)
推广形式: 若把m件物品装进k只抽屉, 则
至少有一只抽屉装
m k
只以上的物品.
1.8=2, 1.8=1, -1.8=-1, -1.8=-2.
r( R ) = RIA.
第三十页第三，十共页 50页。
定理23
定理23: 设 RAA 且 A, 则
s( R ) = RR-1; 证明: (1) R RR-1;
(2) (RR-1)-1=RR-1 RR-1对称 s( R )RR-1;
(3) Rs( R ) s( R )对称 Rs( R ) R-1s( R ) RR-1s( R )
s( R1R2) = s( R1 )s( R2 )
第二十第六二页十，六共页50页。
定理21(证明(3))
(3) t( R1R2) t( R1 )t( R2 ). 证明(3): 利用定理20,
t(R1R2)t(R1)t(R2). 反例: t(R1R2)t(R1)t(R2) . #
a
b
G(R1)= G(t(R1))
第十七第页十，七共页50页。