特征方程法求解

特征方程法求解递推关系中的数列通项

考虑一个简单的线性递推问题.

设已知数列}{n a 的项满足

其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理 1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d x -=

作换元,0x a b n n -= 则.)(110011n n n n n n cb x a c c

cd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b

当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）

下面列举两例，说明定理1的应用.

例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

1

11=∈--=+a n a a n n 求.n a

解：作方程.2

3,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以3

1-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n 例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位.

当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？

解：作方程,)32(i x x +=则.5

360i x +-=

要使n a 为常数，即则必须.53601i x a +-== 现在考虑一个分式递推问题（*）.

例3．已知数列}{n a 满足性质：对于,3

24,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式. 将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.

定理2.如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h

ra q pa a n n n ++=

+1（其中p 、q 、r 、h 均a 1=b

a n+1=ca n +d

为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h

rx q px x ++=. （1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，

若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ

若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λ

λ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则11

2--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中

).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n r

p r p a a c n n 其中 证明：先证明定理的第（1）部分.

作交换N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=-=++h

ra q pa a d n n n n 11 h

ra h q r p a n n +-+-=λλ)( h d r h q r p d n n ++-+-+=

)())((λλλλ λ

λλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2 ① ∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=

q p h r h r q p λλλλ 将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=

+n r h rd r p d d n n n λλ ② 将r p x =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,r p ≠于是.0≠-r p λ ③

当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ

当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：

.1)(1

1r

p r d r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+ ④

由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r

h p -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h r r h p p r r h p h r p r h λλ 将此式代入④式得.N ,11

1∈-+=+n r

p r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r

p r b b n n λ故数列}{n b 是以r p r λ-为公差的等差数列. ∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n r

p r n b b n λ 其中.11111λ

-==a d b 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1∈+=

+=n b d a n n n λλ 当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=

+=0

001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的. 再证明定理的第（2）部分如下： ∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,2

1∈--=n a a c n n n λλ 故21111λλ--=

+++n n n a a c ，将h ra q pa a n n n ++=+1代入再整理得 N ,)()(22111∈-+--+-=+n h

q r p a h q r p a c n n n λλλλ ⑤ 由第（1）部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根，故.,21r p r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：

N ,2211211∈--+--+

⋅--=+n r p h q a r p h q a r p r p c n n n λλλλλλ ⑥ ∵特征方程h rx q px x ++=

有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程