特征方程

特征方程法求解递推关系中的数列通项

当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们

在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子：1n n n aa b

a ca d

++=+

令 ax b

x cx d +=+，即2()0cx d a x b +--= ，

令此方程的两个根为12,x x ，

(1)若12x x =,则有111

1

1n n p a x a x +=+-- （其中2c

p a d =+）

(2)若12x x ≠,则有11

1

122

n n n n a x a x q a x a x ++--=-- （其中1

2

a cx q a cx -=-）

例题1：设23()27

x f x x -+=-， (1)求函数()y f x =的不动点；

(2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <， 求使()()f x a x a k f x b x b

--=--恒成立的常数k 的值； (3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a

，求其通项公式n a 。23()27

x f x x -+=- 解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则0002327x x x -+=

- 解得012

x =-或03x = (2)由231111()1272222238248(3)83

327

x x x x x x x x x x -++---++-===⋅-++----- 可知使()()f x a x a k f x b x b

--=--恒成立的常数18k =。 (3)由(2)可知1111122383

n n n n a a a a --++=⋅--，所以数列 123n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以34-为首项，18为公比的等比数列。 则11312()348n n n a a -+

=-⋅-，则11

911()482311()48n n n a ---=+

例2．已知数列}{n a 满足性质：对于14N,,23n n n a n a a ++∈=

+ 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

解:依定理作特征方程,3

24++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征

方程有两个相异的根，则有

11411234231114244651052

223

n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++--++---+-====-+++++++++ 即11111252n n n n a a a a ++--=-++ 又1

113122325

a a --==++ ∴数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以25为首项，15-为公比的等比数列 1121()255

n n n a a --=-+ 1141()1(5)455,N.212(5)1()55

n n n n n a n ---+--==∈+---

例3．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都 有.3

25131+-=+n n n a a a （1）若,51=a 求;n a （2）若,61=a 求;n a

解：作特征方程.32513+-=

x x x 变形得,025102=+-x x

特征方程有两个相同的特征根 5.x =

（1）∵115,.a a x =∴=∴对于,N ∈n 都有5;n a x ==

（2）∴543,N.7

n n a n n +=

∈+

例题4：（限时训练）

10.设,a b 是常数，且0ab ≠，函数()x f x ax b

=+满 足(2)1f =，且只有一个x 值使()f x x =成立。

（1）求,a b 的值；

（2）若数列{}n x 满足1()(2)n n x f x n -=≥，且11x =， 证明数列1

{}n

x 是等差数列；

（3）令1n n n b x x -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和。

一、数列的一阶特征方程（1n n a pa q -=+型）

在数列{}n a 中，1a 已知，且2n ≥时，1n n a pa q -=+（,p q 是常数），

（1）当1p =时，数列{}n a 为等差数列；

（2）当0p =时，数列{}n a 为常数数列；

（3）当1,0p q ≠=时，数列{}n a 为等比数列；

（4）当0,1,0p q ≠≠时，称x px q =+是数列{}n a 的一阶特征方程，其根1q x p

=

-叫做特征方程的特征根， 这时数列{}n a 的通项公式为：11()n n a a x p x -=-+； 例1：已知数列{}n a 中，15a =，且2n ≥时，求n a ； （参考答案：1

22273n n a -=-

）

二、数列的二阶特征方程（21n n n a pa qa ++=+型）

在数列{}n a 中，1a 与2a 已知，且21n n n a pa qa ++=+（,p q 是常数），则称 2x px q =+是数列{}n a 的二阶特征方程，其根1x ，2x 叫做特征方程的特征根。

（1）当12x x ≠时，有1122n n n a c x c x =+；

（2）当12x x =时，有111[(1)]n n a a n d x -=+-；

其中12,,c c d 由12,a a 代入n a 后确定。

例2：在数列{}n a 中，123,7a a ==，且3n ≥时，12340n n n a a a ----=，求n a ；

（参考答案：121(1)2n n n a +-=-+）

考虑一个简单的线性递推问题.

设已知数列}{n a 的项满足1a b =, 1n n a ca d +=+

其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即