直方图

0.89
0.95 0.98 1.00
6/7
1 1 1
s3=6/7
985
0.24
s4=1
448
0.11
41
例：
原图像的直方图
百度文库
均衡后图像的直方图
42
例：直方图均衡化示例
43
例：
思考问题： 若在原图像一行上连续8个像素的灰度值分 别为：0、1、2、3、4、5、6、7，则均衡 后，对应的灰度值为多少？
0 r, s 1
在[0,1]区间内的任一个r值，都可产生一个 s值，且
s T (r )
32
直方图均衡化
T(r)作为变换函数，满足下列条件：
1）在0≤r≤1内为单调递增函数，保证灰度级从 黑到白的次序不变 2）在0≤r≤1内，有0≤T(r)≤1，确保映射后的像 素灰度在允许的范围内
33
直方图均衡化
H Pi log2 Pi
i 0 L 1
17
3 灰度变换
灰度变换可调整图像的灰度动态范围或图 像对比度，是图像增强的重要手段之一 1．线性变换 令图像f(i，j)的灰度范围为[a,b] ，线性变换 后图像g(i，j)的范围为[a’,b’]，则g(i，j)与 f(i，j)之间的关系式为：
2
1 3
2
2 1
5
3 2
6
2 3
2
1 1
7
2 2
6
1 2
0
2 1
v0=5/64 v1=12/64 v2=18/64 v3=8/64 v4=1/64 v5=5/64 v6=8/64 v7=5/64
vi
i
8
直方图的性质
1）灰度直方图只能反映图像的灰度分布情 况，而不能反映图像像素的位置,即丢失了 像素的位置信息 2）一幅图像对应唯一的直方图，反之不成 立，不同的图像可对应相同的直方图 3）一幅图像分成多个区域，多个区域的直 方图之和即为原图像的直方图
nsk 790
1023
pk(s) 0.19
r1=1/7
r2=2/7 r3=3/7
0.25
0.21 0.16
0.44
0.65 0.81
3/7
5/7 6/7
s1=3/7
s2=5/7
0.25
0.21
850 656
850
r4=4/7
r5=5/7 r6=6/7 r7=1
329
245 122 81
0.08
0.06 0.03 0.02
4
图像灰度直方图
下图是一幅图像的灰度直方图
频率的计算式为
5
灰度图像的直方图
6
彩色图像的分波段直方图
7
直方图的计算 计算：该图像像元总数为8*8=64, i=[0,7]
0 1 3 2 1 3 2 1
0
1 2 3
5
6 6 2
7
0 7 2
6
6 5 7
2
3 3 2
5
5 6 4
6
1 5 1
7
2 0 6
Pr(rk) S(rk) 1.0
rk 1.0 1.0
rk
39
例：
假定有一幅总像素为n=64×64的图像，灰 度级数为8，各灰度级分布列于表中。对其 均衡化计算过程如下：
40
例：
rk r0=0 nk 790
1023
pr(rk)=nk/n 0.19
sk 计 0.19
sk 并 1/7
sk s0=1/7
51
例：
采用与直方图均衡相同的原始图像数据 （64×64像素且具有8级灰度），其灰度级 分布列于表中。给定的直方图的灰度分布 列于表中 对应的直方图如下： 规定化直方图 原图像的直方图
52
例：
rj →sk r0→s0=1/7 nk 790 ps(sk) 0.19 0.25 0.21 zk z0=0 z1=1/7 z2=2/7 z3=3/7 pz(zk) 0.00 0.00 0.00 0.15 vk 0.00 0.00 0.00 0.15 zk并 z0 z1 z2 z3→s0=1/ 7 z4→s1=3/ 7 z5→s2=5/ 7 z6→s3=6/ 7 z7→s4=1 nk 0 0 0 pz(zk) 0.00 0.00 0.00
s r
35
直方图修正
从人眼视觉特性来考虑，一幅图像的直方 图如果是均匀分布的，即Ps(s)=k(归一化时 k=1)时，该图像色调给人的感觉比较协调。 归一化假定
Ps ( s ) 1
36
直方图修正
两边积分得
s T ( r ) pr ( r ) dr
0 r
上式表明，当变换函数为r的累积分布函数 时，能达到直方图均衡化的目的 将原图像直方图通过T(r)调整为均匀分布 的直方图，这样修正后的图像能满足人眼 视觉要求
27
对数变换
a,b,c是为了调整曲线的位置和形状而引入 的参数。当希望对图像的低灰度区较大的 拉伸而对高灰度区压缩时，可采用这种变 换，它能使图像灰度分布与人的视觉特性 g(i,j) 相匹配
g (i, j) a ln f (i, j) 1 b ln c
f (i,j)
28
灰度变换
9
补充：图像直方图的定义（1）
一个灰度级在范围[0，L-1]的数字图像的直
方图是一个离散函数
h(rk)= nk n 是图像中灰度级为rk的像素个数
k
rk 是第k个灰度级，k = 0,1,2,…,L-1 由于rk的增量是1，直方图可表示为： h(k)= nk 即，图像中不同灰度级像素出现的次数
图像直方图的定义（2）
20
灰度变换
21
灰度变换
2．分段线性变换 为了突出感兴趣目标所在的灰度区间，相 对抑制那些不感兴趣的灰度区间，可采用 分段线性变换
22
分段线性变换
设原图像f(x,y)在[0，Mf],感兴趣目标的灰度 范围在[a,b],欲使其灰度范围拉伸到[c,d],则 对应的分段线性变换表达式为
( c / a ) f ( x, y ) 0 f ( x, y ) a g ( x, y) [(d c) /(b a)][ f ( x, y) a] c a f ( x, y) b [(M d ) /(M b)][ f ( x, y) b] d b f ( x, y) M f f g
46
直方图规定化
可见，它是对直方图均衡化处理的一种有 效的扩展。直方图均衡化处理是直方图规 定化的一个特例 对于直方图规定化，下面仍从灰度连续变 化的概率密度函数出发进行推导，然后推 广出灰度离散的图像直方图规定化算法
47
直方图规定化
假设pr(r)和pz(z)分别表示已归一化的原始 图像灰度分布的概率密度函数和希望得到 的图像的概率密度函数 首先对原始图像进行直方图均衡化，即求 变换函数：
直方图与灰度变换
主要内容
直方图定义 直方图修正
直方图均衡化 直方图规定化
灰度变换
前言
直方图(Histogram)
来源于统计学 直方图又称柱状图，由一系列高度不等的纵向 长方形或线段表示数据分布的情况。 一般用 横轴表示数据类型，纵轴表示分布情况。 可借用到图像处理
1 图像灰度直方图
灰度直方图反映的是一幅图像中各灰度级 像素出现的频率(次数)。 以灰度级为横坐标，纵坐标为灰度级的频 率，绘制频率同灰度级的关系图就是灰度 直方图。 它是图像的一个重要特征，反映了图像灰 度分布的情况
s T (r )

r
0
pr ( r ) dr
48
直方图规定化
假定已得到了所希望的图像，对它也进行 均衡化处理，即 z
v G( z)

0
pz ( r ) dr
它的逆变换是
z G 1 (v)
这表明可由均衡化后的灰度得到希望图像 的灰度
49
直方图规定化
若对原始图像和希望图像都作了均衡化处 理，则二者均衡化的ps(s)和pv(v)相同，即 都为均匀分布的密度函数 由s代替v得 z=G-1(s) 这就是所求得的变换表达式
直方图均衡化 直方图规定化
30
直方图修正
1. 直方图均衡化 直方图均衡化是将原图像通过某种变换， 得到一幅灰度直方图为均匀分布的新图像 的方法
直方图均衡化
31
直方图修正
首先讨论连续变化图像的均衡化问题，然 后推广到离散的数字图像上 设r和s分别表示归一化了的原图像灰度和 经直方图修正后的图像灰度。即
其中，定义（2） 使函数值正则化到[0,1]区间，成为实数函 数 函数值的范围与象素的总数无关 给出灰度级rk在图像中出现的概率密度统计
直方图定义 图像直方图的定义举例
h(rk)
rk
2 直方图的应用
1）用于判断图像量化是否恰当
(a)恰当量化 (b)未能有效利用 c)超过了动态范围
14
直方图的应用
sk T (rk ) pr (r j )
j 0 j 0 k k
nj n
乘以n，再四舍五 入取整
44
说明
由于数字图像灰度取值的离散性，通过四 舍五入使得变换后的灰度值出现了归并现 象，从而致使变换后的图像并非完全均匀 分布，但是相比原始直方图要均匀得多
直方图修正
2.直方图规定化/直方图匹配 在某些情况下，并不一定需要具有均匀直 方图的图像，有时需要具有特定的直方图 的图像，以便能够增强图像中某些灰度级。 直方图规定化方法就是针对上述思想提出 来的。 直方图规定化是使原图像灰度直方图变成 规定形状的直方图而对图像作修正的增强 方法
2) 指数变换 指数变换的一般表达式为:
f (i,j)
g (i, j ) b
c f ( i , j ) a
1
g (i,j)
参数a,b,c用来调整曲线的位置和形状。这 种变换能对图像的高灰度区给予较大的拉 伸
29
4 直方图修正
灰度直方图反映了数字图像中每一灰度级 与其出现频率间的关系,它能描述该图像的 概貌。通过修改直方图的方法增强图像是 一种实用而有效的处理技术 直方图修整法分为两类:
50
直方图规定化
根据上述思想，可总结出直方图规定化增 强处理的步骤如下： 1）对原始图像作直方图均衡化处理 2）按照希望得到的图像的灰度概率密度函 数pz(z)，求得变换函数G(z) 3）用步骤1）得到的灰度级s作逆变换z= G-1(s) 经过以上处理得到的图像的灰度级将具有 规定的概率密度函数pz(z)
反变换关系为
r T 1 (s)
T-1(s)对s同样满足上述两个条件
34
直方图均衡化
由概率论理论可知，如果已知随机变量r的 概率密度为pr(r), 而随机变量s是r的函数， 则s的概率密度ps(s)可以由pr(r)求出。 假定随机变量s的分布函数用Fs(s)表示，根 据分布函数定义
FS ( s ) ps (s )ds pr (r )dr
2）用于确定图像二值化的阈值
0 g ( x, y ) 1
f ( x, y ) T f ( x, y ) T
15
具有二峰性的灰度图象
16
直方图的应用
3）当影像上目标的灰度值比其它部分灰度 值大或者灰度区间已知时，可利用直方图 统计图像中物体的面积
A n vi
i T
4）计算图像信息量H（熵）
b a g (i, j) a ( f (i, j) a) ba
变换曲线？
18
线性变换
黑
白
19
线性变换用途
在曝光不足或过度的情况下，图像灰度可 能会局限在一个很小的范围内。这时在显 示器上看到的将是一个模糊不清、似乎没 有灰度层次的图像 下图是对曝光不足的图像采用线性变换对 图像每一个像素灰度作线性拉伸。可有效 地改善图像视觉效果
变换曲线？
23
通过细心调整折线拐点的位置及控制分段 直线的斜率，可对任一灰度区间进行拉伸 或压缩
24
25
灰度变换
3．非线性灰度变换 采用一些非线性函数如对数函数、指 数函数等，作为映射/变换函数，可实现图 像灰度的非线性变换
26
灰度变换
1) 对数变换 对数变换的一般表达式为
g (i, j) a ln f (i, j) 1 b ln c
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直方图修正
对于离散的数字图像，用频率来代替概率, 则变换函数T(rk)的离散形式可表示为：
sk T (rk ) pr (r j )
j 0 j 0 k k
nj n
上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直 接由原图像的直方图算出
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直方图修正
一幅图像的sk与rk之间的关系称为该图像的 累积灰度直方图
r1→s1=3/7 1023 r2→s2=5/7 r3→s3=6/7 850
790 0.19 102 0.25 3 850 0.21 985 0.24 448 0.11
一个灰度级在范围[0，L-1]的数字图像的直 方图是一个离散函数 p(rk)= nk/n n 是图像的像素总数 nk是图像中灰度级为rk的像素个数 rk 是第k个灰度级，k = 0,1,2,…,L-1
直方图定义
两种图像直方图定义的比较
h(rk)= nk p(rk)= nk/n 定义(1) 定义(2)