上海中考能力训练--逻辑思维能力(一)

（一）逻辑思维能力

逻辑思维是人脑的一种理性活动，思维主体把感性认识阶段获得的对于事物认识的信息材料抽象成概念，运用概念进行判断，并按一定逻辑关系进行推理，从而产生新的认识，逻辑思维具有规范、严密、确定和可重复地特点．

1、演绎推理的基本原则与方法的运用能力

演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．演绎推理有三段论、假言推理和选言推理等形式．

例1 如图，在ABC △中，D 是边BC 上的一点，且AD BD =，80ADC ∠=，60C ∠=． 求证：22AC CD CD AD -=⋅．

说明 一些较复杂的线段平方、积的和差问题，往往是比例线段问题的发展，可以以相应的比例线段为基础，进行必要的等量代换．

在证明线段与线段的平方之间的数量关系时，如果图形中有母子直角三角形，常常会联想到射影定理．关于射影定理：由三角形相似的性质可得，如Rt ABC △中，斜边BC 上的高AD 是两直角边AB 、AC 在斜边上的射影BD 、DC 的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．如下图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=，若

AD BC ⊥，则2AD BD DC =⋅，2AB BD BC =⋅，2AC CD BC =⋅．

D

C

B

A

D

C

B

A

例2 已知抛物线23y ax x =+过点(4,0)C ，顶点为D ，点B 在第一象限，BC 垂直于x 轴，且2BC =，直线BD 交y 轴于点A ． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求点A 的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使四边形AOMD 和四边形BCMD 中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．

说明 在解决函数的问题时，一般题目条件都有一种“引导”式的模式，本题中，由点C 坐标确定函数解析式，再确定顶点坐标D ，进而确定点B ，从而求得直线BD ，得到点A 的坐标．

在第（3）小题中，不要忘记分类讨论．

同学们在审题时要读出原题条件中字里行间表达的意义；养成良好的读题习惯，远比盲目追求多做习题来得重要．

2

两点，以OA 、OB 为边作矩形OACB ，D 为BC 的中点．以(4,0)M 、(8,0)N 为斜边端点

作等腰直角三角形PMN ，点P 在第一象限，设矩形OACB 与PMN △重叠部分的面积为S ． （1）求点P 的坐标；

（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；

（3）在b 值的变化过程中，若PCD △为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b 值．

说明 本题是动态几何中由面积而产生的函数关系的问题．在解题中，首先，要正确分析动态几何元素的源头；其次，要周全思考问题，不能遗漏某些图形特征不明显的情况．在正确解答本题之后，同学们可以继续思考以下问题：

1、如果在直线1

(0)2

y x b b =-+>上存在点Q ，使OQM ∠等于90，那么b 的取值范围是多少？

2、在b 的变化过程中，若PCD △为直角三角形时，b 的取值又是怎样的？

2

点，以OA 、OB 为边作矩形OACB ，以(4,0),(8,0)M N 为斜边端点作等腰直角三角形PMN ，

点P 在第一象限．

（1）矩形OACB 与PMN △重叠部分的面积为7

2

，求t 的值； （2）如果PAN △为等腰三角形，求t 的值；

（3）以PN 长为半径的圆P 与直线AB 相切，求t 的值．

2、解释性论证能力

例4 如图，在ABC △中，90CAB ∠=，CFG B ∠=∠，过点C 作//CE AB ，交CAB ∠的平分线AD 于点E ．

（1）不添加字母，找出图中所有相似的三角形，并加以证明； （2）证明：FC AD

CG ED

=

．

F

G

E

D

C

B

A

y B

C P

x

N A M O

说明 在证明比例线段时，若条件中有平行线，常想到利用平行线分线段成比例的相关定理；若所求的线段比之间不能直接建立起相等关系时，往往寻找中间比进行过渡，找到合理的中间比建立起桥梁之后，证明等量的目的也就达到了．

例5 如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=，9AD =，12BC =，6AB =，在线段BC 上任取一点P ，联结DP ，作射线PE DP ⊥，PE 与直线AB 交于点E ． （1）试确定当3CP =时，点E 的位置；

（2）若设CP x =，BE y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并求出定义域．

说明 近年来的中考题很少直接涉及作图题．但是，实际上对动手能力的要求是一直存在的；许多涉及动点问题的题目，必须将图形分析、作出，才能进一步解题．

本题中的点E 随着点P 在动；而两点运动允许的范围分别是直线AB 与线段BC ，这类条件在求函数解析式与定义域时是关键的，审题时必须看清．

例6 如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，60DAB ∠=，B ∠与D ∠互补，请猜测：AB 、AD 、AC 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

E P

D

C

B

A D

C

B

A

说明 本题解决问题的一个重要途径是：将一般问题先特殊化，在特殊的背景下，得到与所求结论类似的结论，再将特殊的背景去除，回到原题的条件下．

在问题的解决时，必须关注所添加条件不能对原题的因果关系产生影响，如本题中添加的“B D ∠=∠”，只是满足原有条件图形中的一个特殊情况，不会影响题目图形的本质特征．

例7 如图，抛物线22 (0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,4)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(4,0)． （1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，联结CQ ，当CQE △的面积最大时，求点Q 的坐标；

（3）若平行于x 轴的动直线，l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2,0)，当ODF △成为等腰三角形时，求出满足条件的点P 的坐标．

说明 在第（3）小题分类讨论时，一定要利用图形的特殊性来计算，可以使得运算简便．