第九章正弦稳态电路分析
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充分利用能源 减小线路与发电机绕组的功率损耗
3．条件：在不改变感性负载的平均功率及 工作状态的前提下，提高负载的功率因数。 4．方法：在感性负载两端并联一定的电容 5．实质：减少电源供给感性负载用于能量 互换的部分，使得更多的电源能量消耗在负 载上，转化为其他形式的能量（机械能、光 能、热能等）
6 ．相量分析
I +
I L
R U
I C -jX C
_
jX L
感性负载
I C
U
2 1
I
I C I L
7．计算
ICILsi n1Isi n2UcPo1ssi n1UcPo2 ssi n2
P
(t U
g 1tg 2)
IC
U XC
CU
CIC P(t U U2
g1t
g2)
四、无功功率
1 ．定义—— QUsI in 2．单位——乏或千乏，var或kvar 3．意义——用来表征电源与阻抗中的电抗分 量进行能量交换的规模大小。当Q>0时，表 示电抗从电源吸收能量，并转化为电场能或 电磁能存储起来；当Q<0时，表示电抗向电 源发出能量，将存储的电场能或电磁能释放 出来。
9-3电路的相量图
1 概念：在分析正弦稳态电路时，把相关的电压、电流相量在复平 面上组合并表示出来，称之为电路的相量图.
2 作用： 可以直观地显示各相量之间的关系，能辅助电路的分析 计算。
3 画法： a . 据方便原则，可先选择电路中的某一相量为参考相量，
经验有: 串联电路取电流 并联电路取电压 b . 据KCL,KVL方程和元件的VAR，逐个画出对应相量，注
I C 1 j C 1 U 1 j 2 9 . 3 4 3 . 1 o 2 7 1 . 6 8 5 . 8 9 o ( A 2 ) I C 2 j C 2 U 2 j 2 3 . 5 1 7 . 4 o 2 7 . 5 1 2 0 5 . 4 o 1 7 . 1 0 1 5 . 6 o ( A 4 ) 9
4RS
2 ．当负载仅改变模，而不改变阻抗角时， 负载获得最大功率的条件是负载阻抗的模等 于电源内阻抗的模。即：
|ZL| RS2 XS2
(R
jL2
1 jC1
)I2
1 jC1
I1
jL2I3
0
((1j400j2j100)Ij110)(I2 j1(0)Ij210)Ij140I3j208I300j60 (j40j20j60)I3 20I2 j40I10
(
jL1
jL2
1 jC2
)I3
jL2I2
jL1I1
0
故
jj1300II11
j10I2 j40I3 (10 j10)I2
等效模型）时，90o P CUcIo 9so00
5 ．平均功率的意义 “平均功率”又称“有功功率”，表征
单口网络消耗掉的电能，网络中的电能转化 为其他形式的并且消耗掉的能量。
三、功率因数
1 ．定义
cos，其中的角度为单口网络的阻抗
角，即单口网络的端口电压超前端口电流的 相角大小。 2．提高感性负载功率因数的意义
i1
i1
i1
n
Pi 0
i 1
n
Qi 0
i 1
9 – 7 最大功率传输
含 源
+ I
二 端
U L
ZL
网
_
络
ZS +
U S _
+ I
U L
ZL
_
1 ．当负载电阻及电抗均可独立变化时，负载获得
最大功率的条件是ZL=ZS’，即负载阻抗与电源内阻 抗互为共轭复数时，负载获得最大功率：
PL max
U
2 S
T0
2．单位——瓦特或千瓦，W或kW
3．平均功率的计算—— PUmImcosUcIos
2
4 ．三种情况的分析
当单口网络呈阻性（仅含一个电阻的等效
模型）时， 0
PR
UII2RU2 R
当单口网络呈纯电感性（仅含一个电感的
等效模型）时， 90o PLUcIo9so00 当单口网络呈纯电容性（仅含一个电容的
I 6 I 2 I 3 4 ( 1 j 2 ) 3 j 2 3 . 6 1 . 3 o ( 4 A ) 6
例题7——戴维南定理
7．已知：电路如图所示
100
j200
100
j200
+ 10
_
求：I 2
U oc
-j50
I
+
+
100
10
-j50
U oc
_
_
U oc1 00o10j0 5j5001 00o2jj
u s(t)4c0o 1s 0 t (0 9o) 0 V
a iC(t)
iC(t) R2
9I C
I C
500
解∶
L R1
有节点方程
得
C +
us(t)
_
j1000
500
-2000 j
+ U S
_
11 1 ( R1 R2 jL
1 1
)U 1 U R 21 aIC
ICjCU 1
jC
(2 1 3 0 2 1 3 0 j1 10 0 j2 100 )U 1 0 5 U 0 10 9 I 0 C
意: 电阻R 电压与电流同相. 电感L 电压超前电流90度. 电容C 电压落后电流90度. C . 最后用矢量平行四边形法则作出相量图(多角形法则)。
电路的相量图的定义和实例分析
如图RLC串联电路
I
+
_
U U
R
+ U R -
1/C
+ U C
-+ U L
L
_
RLC串联电路的相量模型
U U R U L U C R I j L I j 1 C I (R j L j 1 C )I
80 j60 j20I3 0
j40I1 20I2 0
得
I122 0o(A)
I244 18 o(A 0 )
I 3 1 j2 2 .2 3 1.6 6 1 o (A 6 )
相应
I 4 I 1 I 2 2 ( 4 ) 6 6 0 o ( A )
I 5 I 1 I 3 2 ( 1 j 2 ) 3 j 2 3 . 6 3 . 7 o ( A 3 )
ICj0.51 03U 1
有
U 1
10(V) 4
u 1(t) 1 0 2co 1s0 t( 0 4o0 )5 V
已知：电路如图所示，R1 1 R20.70 7 L0.05 H C1C20.1F
us(t)102co2st0V
求：i1(t)、i2(t) 、iC1(t)、iC2(t)、iL(t)
i1(t)
0 .02 2 141 .5o 6 3 (A )
I
4 .4 7 -6 3 .4 o
100
9-5 正弦稳态电路的功率
i
二
+
端
u
口
网
_
络
图 9-11 线 性 一 端 口 (无 独 立 源 )
+ I
二 端
U
口 网
_
络
图 9-11 线 性 一 端 口 (无 独 立 源 )
u (t) U m co t s )( 2 U co t s )(
1 00o 19o 0 2.2 42.66o
101(0o 9o 02.66o) 2.24
4.4 76.34o(V)
100
j200
Zo
wk.baidu.com
Zo
j200100(j50)j200j100
100j50
2j1
-j50
Zo
20j16o0()
2 0 + j1 6 0
戴维南等效相模型
+
I U oc 4 .4 76.4 3 o 4 .4 76.4 3 o4 .4 76.4 3 o RZ o 10 (2 0 0j16 ) 012 j0 16020 50 .1 3o3_
QSsin
S
U U
Q
|Z|
L
1 C
U L U C
R
U R
P
图 RLC 串联电路中的三个“三角形”
9 - 6 复功率
1 ．定义——
U Uu
I* Ii
S ~U I*PjQ
2．意义——简化几种功率的计算。即可以通过复功率的计算直接得出 有功功率、无功功率及视在功率的结果。
3 . 复功率守恒
S~n S~i n Pi j n Qi 0
五、视在功率
1 ．定义——单口网络的端口电压与端口电 流的有效值的乘积，其数学表达式为
1 S UI 2UmIm
2．单位——伏安或千伏安，VA或kVA 3．意义——一般用来表征变压器或电源设备 能为负载提供的最大有功功率，也就是变压 器或电源设备的容量。
4 功率三角形
有如图关系
S P2 Q2
PScos
+
I 1
+
R
r
us _
a + uab - b
r
C
U s
R a
+
U ab
r -b
_
r
-1/ C
I 1 R
U ab
I 2
I 2 r
U C U S
I 2 r
9 - 4 正弦稳态电路的分析 基本关系-----相量电路模型-----直流分析方法
U 0
I 0
ZU I |Z|RjX YU I |Y|GjB
， 已知：电路如图所示 R1R250 0 L1H C0.5F a 9
有以下基本关系
U U
|Z|
L 1 C
U R
U L U C I
RLC 串联电路中的“三角形”
如图所示的RLC并联:
如图
i(t)
iR(t)
+
+R
u(t) uR(t)
_
_
ic(t)
+C uC(t)
_
iL(t)
+L uL(t) _
I I R I L I CU R j U LU 1 (R 1j 1 Lj C )U
L
i2(t)
is(t)102si2nt0A
j
iC1(t)
iC2(t)
R1
1
is(t)
-10j
C1
C2
R2
+
us(t) _
-j0.5
-j0.5
+
10
_
0.707
解∶
1 1
(
R1
jL
1 1
)U 1
1 jL
U 2
U S R1
jC1
(
1 R2
1 jL
1 1
)U 2
jC2
1 jL
U 1
I S
(111j
iC 1(t) 1.6 88 2co 2ts 05 (.9 2 o)A iC 2(t) 7 .15 2 co 2ts 0 1 (.4 6 o )A 9
iL (t) 1.6 22 9co 2ts 0 1 (.3 1 o)A 3
6．已知：电路如图所示，R10 C1 50F
C2
50F 6
L2 10mH u s(t) 10 2 c0o 2s 0 t ( 3 0 .9 o 6 0 )V
相量图
j C
I
I L I C
I R
U
U
例题分析
已知：以下电路为一个移相电路，常常用于可控硅触发电路中。
证明：（（21））改如变果电R 阻 R1C的值，，则U 可a以b在0.不5U改S,变且Uu
ab ab
超前u S 90o。
的同时，改变U
对
ab
u
S
的
相位差
解∶1 .作相量电路模型 2 .作相量图 将输入电压作为参考相量
i(t)Imco ts2Ico ts
一、瞬时功率
p(t) dw u(t) i(t) dt
U m cos(t ) I m cos t U m I m [cos( 2t ) cos ]
2 UI[cos( 2t ) cos ]
若取关联参考方向，则p表征流入 该网络的能量变化率
若p>0，表明能量流入该单口网络； 若p<0，表明能量流出该单口网络。
UcIosUcIo2 st() UcIosUcIosco2stUsIinco2st UcIo s(1co2st)UsIinco2 st
二、平均功率
1 ．定义——瞬时功率在一个周期内的平均
值，其数学表达式为
1T P p(t)dt
I L U 1 j L U 2 j( 9 .3 4 3 .2 1 o 7 3 .5 1 7.4 2 5 o ) 1 0 .6 2 9 1.1 3 o ( A )3
有
i1 (t) 6 .18 2 c 5o 2t s 0 6 (.7 5 o)A
i2(t) 6 .19 2c3o 2ts 0 1 (.4 o)A 4
j10.5)U1
1j U2
10 1
(0.71071j j10.5)U2 1j U1 (j10)
则
U 19.34 32 .1 7 o(V)
U 23.57 152 .4o(0 V )
得
I I 2 1 I U S S R U R 1 2 2 U 1 j1 1 0 9 0 .2 3 3 .5 4 3 2 7 1 .1 o 7 .4 5 2 o 6 .1 6 0 .1 8 6 9 .7 1 5 5 o( 3 .A 4 1 ) o (A )4
求：各个支路电流
i3(t)
C2
-j6 0
L1 20mH
i5(t) L1
i1(t) +
u s(t) _
i4(t) C1
L2 i6(t)
i2(t) R
3
j40
j2 0
+
1
_ 8 0 + j6 0
2
-j1 0
10
解： 绘制电路的相量模型
有 则 ( jL1
1 jC1
)I1
1 jC1
I2
jL1I3
U S
3．条件：在不改变感性负载的平均功率及 工作状态的前提下，提高负载的功率因数。 4．方法：在感性负载两端并联一定的电容 5．实质：减少电源供给感性负载用于能量 互换的部分，使得更多的电源能量消耗在负 载上，转化为其他形式的能量（机械能、光 能、热能等）
6 ．相量分析
I +
I L
R U
I C -jX C
_
jX L
感性负载
I C
U
2 1
I
I C I L
7．计算
ICILsi n1Isi n2UcPo1ssi n1UcPo2 ssi n2
P
(t U
g 1tg 2)
IC
U XC
CU
CIC P(t U U2
g1t
g2)
四、无功功率
1 ．定义—— QUsI in 2．单位——乏或千乏，var或kvar 3．意义——用来表征电源与阻抗中的电抗分 量进行能量交换的规模大小。当Q>0时，表 示电抗从电源吸收能量，并转化为电场能或 电磁能存储起来；当Q<0时，表示电抗向电 源发出能量，将存储的电场能或电磁能释放 出来。
9-3电路的相量图
1 概念：在分析正弦稳态电路时，把相关的电压、电流相量在复平 面上组合并表示出来，称之为电路的相量图.
2 作用： 可以直观地显示各相量之间的关系，能辅助电路的分析 计算。
3 画法： a . 据方便原则，可先选择电路中的某一相量为参考相量，
经验有: 串联电路取电流 并联电路取电压 b . 据KCL,KVL方程和元件的VAR，逐个画出对应相量，注
I C 1 j C 1 U 1 j 2 9 . 3 4 3 . 1 o 2 7 1 . 6 8 5 . 8 9 o ( A 2 ) I C 2 j C 2 U 2 j 2 3 . 5 1 7 . 4 o 2 7 . 5 1 2 0 5 . 4 o 1 7 . 1 0 1 5 . 6 o ( A 4 ) 9
4RS
2 ．当负载仅改变模，而不改变阻抗角时， 负载获得最大功率的条件是负载阻抗的模等 于电源内阻抗的模。即：
|ZL| RS2 XS2
(R
jL2
1 jC1
)I2
1 jC1
I1
jL2I3
0
((1j400j2j100)Ij110)(I2 j1(0)Ij210)Ij140I3j208I300j60 (j40j20j60)I3 20I2 j40I10
(
jL1
jL2
1 jC2
)I3
jL2I2
jL1I1
0
故
jj1300II11
j10I2 j40I3 (10 j10)I2
等效模型）时，90o P CUcIo 9so00
5 ．平均功率的意义 “平均功率”又称“有功功率”，表征
单口网络消耗掉的电能，网络中的电能转化 为其他形式的并且消耗掉的能量。
三、功率因数
1 ．定义
cos，其中的角度为单口网络的阻抗
角，即单口网络的端口电压超前端口电流的 相角大小。 2．提高感性负载功率因数的意义
i1
i1
i1
n
Pi 0
i 1
n
Qi 0
i 1
9 – 7 最大功率传输
含 源
+ I
二 端
U L
ZL
网
_
络
ZS +
U S _
+ I
U L
ZL
_
1 ．当负载电阻及电抗均可独立变化时，负载获得
最大功率的条件是ZL=ZS’，即负载阻抗与电源内阻 抗互为共轭复数时，负载获得最大功率：
PL max
U
2 S
T0
2．单位——瓦特或千瓦，W或kW
3．平均功率的计算—— PUmImcosUcIos
2
4 ．三种情况的分析
当单口网络呈阻性（仅含一个电阻的等效
模型）时， 0
PR
UII2RU2 R
当单口网络呈纯电感性（仅含一个电感的
等效模型）时， 90o PLUcIo9so00 当单口网络呈纯电容性（仅含一个电容的
I 6 I 2 I 3 4 ( 1 j 2 ) 3 j 2 3 . 6 1 . 3 o ( 4 A ) 6
例题7——戴维南定理
7．已知：电路如图所示
100
j200
100
j200
+ 10
_
求：I 2
U oc
-j50
I
+
+
100
10
-j50
U oc
_
_
U oc1 00o10j0 5j5001 00o2jj
u s(t)4c0o 1s 0 t (0 9o) 0 V
a iC(t)
iC(t) R2
9I C
I C
500
解∶
L R1
有节点方程
得
C +
us(t)
_
j1000
500
-2000 j
+ U S
_
11 1 ( R1 R2 jL
1 1
)U 1 U R 21 aIC
ICjCU 1
jC
(2 1 3 0 2 1 3 0 j1 10 0 j2 100 )U 1 0 5 U 0 10 9 I 0 C
意: 电阻R 电压与电流同相. 电感L 电压超前电流90度. 电容C 电压落后电流90度. C . 最后用矢量平行四边形法则作出相量图(多角形法则)。
电路的相量图的定义和实例分析
如图RLC串联电路
I
+
_
U U
R
+ U R -
1/C
+ U C
-+ U L
L
_
RLC串联电路的相量模型
U U R U L U C R I j L I j 1 C I (R j L j 1 C )I
80 j60 j20I3 0
j40I1 20I2 0
得
I122 0o(A)
I244 18 o(A 0 )
I 3 1 j2 2 .2 3 1.6 6 1 o (A 6 )
相应
I 4 I 1 I 2 2 ( 4 ) 6 6 0 o ( A )
I 5 I 1 I 3 2 ( 1 j 2 ) 3 j 2 3 . 6 3 . 7 o ( A 3 )
ICj0.51 03U 1
有
U 1
10(V) 4
u 1(t) 1 0 2co 1s0 t( 0 4o0 )5 V
已知：电路如图所示，R1 1 R20.70 7 L0.05 H C1C20.1F
us(t)102co2st0V
求：i1(t)、i2(t) 、iC1(t)、iC2(t)、iL(t)
i1(t)
0 .02 2 141 .5o 6 3 (A )
I
4 .4 7 -6 3 .4 o
100
9-5 正弦稳态电路的功率
i
二
+
端
u
口
网
_
络
图 9-11 线 性 一 端 口 (无 独 立 源 )
+ I
二 端
U
口 网
_
络
图 9-11 线 性 一 端 口 (无 独 立 源 )
u (t) U m co t s )( 2 U co t s )(
1 00o 19o 0 2.2 42.66o
101(0o 9o 02.66o) 2.24
4.4 76.34o(V)
100
j200
Zo
wk.baidu.com
Zo
j200100(j50)j200j100
100j50
2j1
-j50
Zo
20j16o0()
2 0 + j1 6 0
戴维南等效相模型
+
I U oc 4 .4 76.4 3 o 4 .4 76.4 3 o4 .4 76.4 3 o RZ o 10 (2 0 0j16 ) 012 j0 16020 50 .1 3o3_
QSsin
S
U U
Q
|Z|
L
1 C
U L U C
R
U R
P
图 RLC 串联电路中的三个“三角形”
9 - 6 复功率
1 ．定义——
U Uu
I* Ii
S ~U I*PjQ
2．意义——简化几种功率的计算。即可以通过复功率的计算直接得出 有功功率、无功功率及视在功率的结果。
3 . 复功率守恒
S~n S~i n Pi j n Qi 0
五、视在功率
1 ．定义——单口网络的端口电压与端口电 流的有效值的乘积，其数学表达式为
1 S UI 2UmIm
2．单位——伏安或千伏安，VA或kVA 3．意义——一般用来表征变压器或电源设备 能为负载提供的最大有功功率，也就是变压 器或电源设备的容量。
4 功率三角形
有如图关系
S P2 Q2
PScos
+
I 1
+
R
r
us _
a + uab - b
r
C
U s
R a
+
U ab
r -b
_
r
-1/ C
I 1 R
U ab
I 2
I 2 r
U C U S
I 2 r
9 - 4 正弦稳态电路的分析 基本关系-----相量电路模型-----直流分析方法
U 0
I 0
ZU I |Z|RjX YU I |Y|GjB
， 已知：电路如图所示 R1R250 0 L1H C0.5F a 9
有以下基本关系
U U
|Z|
L 1 C
U R
U L U C I
RLC 串联电路中的“三角形”
如图所示的RLC并联:
如图
i(t)
iR(t)
+
+R
u(t) uR(t)
_
_
ic(t)
+C uC(t)
_
iL(t)
+L uL(t) _
I I R I L I CU R j U LU 1 (R 1j 1 Lj C )U
L
i2(t)
is(t)102si2nt0A
j
iC1(t)
iC2(t)
R1
1
is(t)
-10j
C1
C2
R2
+
us(t) _
-j0.5
-j0.5
+
10
_
0.707
解∶
1 1
(
R1
jL
1 1
)U 1
1 jL
U 2
U S R1
jC1
(
1 R2
1 jL
1 1
)U 2
jC2
1 jL
U 1
I S
(111j
iC 1(t) 1.6 88 2co 2ts 05 (.9 2 o)A iC 2(t) 7 .15 2 co 2ts 0 1 (.4 6 o )A 9
iL (t) 1.6 22 9co 2ts 0 1 (.3 1 o)A 3
6．已知：电路如图所示，R10 C1 50F
C2
50F 6
L2 10mH u s(t) 10 2 c0o 2s 0 t ( 3 0 .9 o 6 0 )V
相量图
j C
I
I L I C
I R
U
U
例题分析
已知：以下电路为一个移相电路，常常用于可控硅触发电路中。
证明：（（21））改如变果电R 阻 R1C的值，，则U 可a以b在0.不5U改S,变且Uu
ab ab
超前u S 90o。
的同时，改变U
对
ab
u
S
的
相位差
解∶1 .作相量电路模型 2 .作相量图 将输入电压作为参考相量
i(t)Imco ts2Ico ts
一、瞬时功率
p(t) dw u(t) i(t) dt
U m cos(t ) I m cos t U m I m [cos( 2t ) cos ]
2 UI[cos( 2t ) cos ]
若取关联参考方向，则p表征流入 该网络的能量变化率
若p>0，表明能量流入该单口网络； 若p<0，表明能量流出该单口网络。
UcIosUcIo2 st() UcIosUcIosco2stUsIinco2st UcIo s(1co2st)UsIinco2 st
二、平均功率
1 ．定义——瞬时功率在一个周期内的平均
值，其数学表达式为
1T P p(t)dt
I L U 1 j L U 2 j( 9 .3 4 3 .2 1 o 7 3 .5 1 7.4 2 5 o ) 1 0 .6 2 9 1.1 3 o ( A )3
有
i1 (t) 6 .18 2 c 5o 2t s 0 6 (.7 5 o)A
i2(t) 6 .19 2c3o 2ts 0 1 (.4 o)A 4
j10.5)U1
1j U2
10 1
(0.71071j j10.5)U2 1j U1 (j10)
则
U 19.34 32 .1 7 o(V)
U 23.57 152 .4o(0 V )
得
I I 2 1 I U S S R U R 1 2 2 U 1 j1 1 0 9 0 .2 3 3 .5 4 3 2 7 1 .1 o 7 .4 5 2 o 6 .1 6 0 .1 8 6 9 .7 1 5 5 o( 3 .A 4 1 ) o (A )4
求：各个支路电流
i3(t)
C2
-j6 0
L1 20mH
i5(t) L1
i1(t) +
u s(t) _
i4(t) C1
L2 i6(t)
i2(t) R
3
j40
j2 0
+
1
_ 8 0 + j6 0
2
-j1 0
10
解： 绘制电路的相量模型
有 则 ( jL1
1 jC1
)I1
1 jC1
I2
jL1I3
U S