交换群循环群
10阶循环群的子群个数
10阶循环群的子群个数
在10阶循环群中，子群的个数不仅取决于循环群的阶数，也取决于循环群的类型。
10阶循环群有两种：一种是Daemoth的10阶循环群，它是群的超群，子群的个数也跟着变化，随着循环群的增长，子群的个数也会相应增加；还有一种是概念的10阶循环群，它也称之为交换群，是群的交换群，其子群的个数是固定的。
根据概念的10阶循环群，该群具有10^3个子群，其中有10^2个神经组，每个神经组有10^1个神经元，每个神经元有10^0个通道。
在互联网平台上，使用10阶循环结构可以加强网络安全性，防止威胁者发起攻击时造成信息泄露。
有了10阶循环群，用户数据可以分布在多个网络单元中，而不是汇集在一个位置，使得用户数据难以被发现，更难被盗取。
同时，10阶循环群结构也可以让网络更稳定，保证用户在使用网络时能够获得完美的服务体验。
总之，10阶循环群的子群的个数取决于循环群的类型，有Daemoth的10阶循环群和概念的10阶循环群两种。
10阶循环群可以加强网络安全性，以及使网络更稳定，因此在互联网平台上使用它是为了提高用户体验。
交换群与循环群
例： ∵(-1)0=0 、(-1)1=-1、(-1)2 = (-1)+(-1) = -2、……、 (-1) n = - n、…… (-1)-1 = 1、(-1)-2 = (-1-1)2 = (-1)-1+(-1)-1 = 1+1 = 2、……、 (-1)-n = n、…...
∴ -1也是<I,+>的生成元 可见，一个循环群的生成元可以是不唯一的。
(2) 证明a, a2, a3, ……, a n-1, a n 中任何两个元素都不相同 (反证法)设有1≤ i < j ≤ n，使 ai = aj，则 aj-i = aj * a-i = ai * a-i = e ，1≤ j- i ≤n-1< n 由 (1) 已经证明了不可能存在小于 n 的整数 m ， 使得 a m = e
显设然S=<{Sa,c*,a>d是,a循e,a环f…群ao…(}e1 =Ge，，令e是m=生m成in元{x|)ax S}
2) 若S≠{e}，∵S的元素都由a的幂组成， ∴必存在最小的正整数m，使得amS
xS，x= aL, 必有 L = mq+r (q是非负整数，0≤r<m ) 由封闭性，可得：ar = aL - m q = aL * (a m) -q S ∵ 0 ≤ r < m，m是使 a m S的最小正整数 ∴必有 r = 0 ，L = m q aL = ( a m )q，即S中任意元素 aL 都可用 am 的幂表示 又∵<S,*>是群 ∴<S,*>是以 am 为生成元的循环群
证明： 对任意的a,bG，有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) ∵a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b) = ( a * b) * ( a * b ) = a * ( b * a ) * b ∴ a-1 * ( a * ( a *b ) * b ) * b-1 = a-1 * ( a * ( b* a ) * b ) * b-1 ∴a*b=b*a ∴ <G,*>是交换群
第三章_循环群_群的结构
这m个剩余类称为模m剩余类．记为Zm
第三章 循环群、群的结构
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剩余类群
设 i 和 j 是两个模m的剩余类，定义剩余类的加法 如下：
i j i j
24 6
如Z8的两个剩余类 2 和 4
第三章 循环群、群的结构
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e
8
第三章 循环群、群的结构
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Z={0, ±1, ±2,….}关于加法构成群，单位元 为0. 元素1的k倍。
第三章 循环群、群的结构
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存在群不能由一个元素生成； 存在由一个元素生成的有限群； 存在由一个元素生成的无限群。
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思考题
当n = pq，p，q是两个素数，求(n)？
第三章 循环群、群的结构
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循环群与其子群
定理3 1）循环群的子群是循环群，它或者 仅由单位元构成，或者由子群中具有最小 正指数的元素生成，即生成元为具有最小 正指数的元素； 2）无限循环群的子群除{e}外都是无限循环群； 3）有限n阶循环群的子群的阶是n的正因子， 且对n的每一个正因子q，有且仅有一个q阶 子群．
第三章 循环群、群的结构
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注意:
在证明元素a的阶为k的过程中分2步： 1) ak = e(单位); 2) 任意 i 满足ai = e，则 k | i.
群论中的循环群与置换群
群论是数学中的重要分支，研究群及其性质。
在群论中，循环群和置换群是两个重要的概念。
本文将介绍循环群和置换群的定义及其性质。
循环群是群论中最简单的一类群。
循环群的定义是由一个元素生成的群。
换句话说，循环群是由一个元素通过重复进行群运算得到的。
考虑一个群G和其中的一个元素a，如果我们用a对自身进行重复的群运算，直到得到的结果覆盖了G中的所有元素，那么我们可以说G是由元素a生成的循环群。
这样的元素a称为循环群G的一个生成元。
循环群可以用符号⟨a⟩来表示，其中⟨a⟩表示由元素a生成的循环群。
循环群有一个重要的性质，即循环群的阶（群中元素的个数）等于生成元素的次数。
例如，考虑一个由整数1生成的循环群，那么这个循环群的阶就是正整数的个数，即无穷大。
另一个例子是由元素a生成的循环群，如果a的次数为n，那么这个循环群的阶就是n。
与循环群相对应的是置换群。
置换群是指由有限个元素进行交换操作得到的群。
换句话说，置换群是由元素的排列组合形成的。
例如，考虑一个由4个元素{1, 2, 3, 4}构成的集合，通过对元素的交换操作，我们可以获得所有可能的排列组合，形成一个置换群。
置换群的元素可以表示为如下形式的置换：(1 2)(3 4)，其中数字表示被交换的元素的位置。
置换群也有一些特殊的性质。
首先，每个置换群都有一个单位元，即空置换，不对任何元素进行置换。
其次，对置换群中的两个置换进行群运算，结果仍然是一个置换。
最后，置换群中每个置换都有一个逆元，即将置换中的每个元素的位置进行逆置。
循环群与置换群之间有一个重要的联系，即每个循环群都可以用置换群的形式表示。
例如，考虑一个由元素a生成的循环群⟨a⟩，我们可以定义一个置换群S，其中元素的排列由元素a的次幂定义。
换句话说，置换群S中的元素就是元素a进行有限次幂运算得到的结果。
由此可见，循环群和置换群是紧密相关的。
综上所述，循环群和置换群是群论中的重要概念。
循环群由一个元素生成，其阶等于生成元素的次数；置换群由有限个元素的排列组合生成，具有单位元、群运算封闭性和逆元等性质。
交换群与循环群的关系
交换群与循环群的关系在数学领域中，交换群和循环群是两个重要的概念。
它们之间存在一定的联系和区别，本文将从不同的角度对这两个概念进行探讨。
一、交换群的定义和特点交换群，也称为阿贝尔群，是一个满足交换律的群。
群是一种代数结构，它由一组元素和一种二元运算组成。
对于任意的元素a和b，交换群中的运算符满足交换律，即a*b=b*a。
这意味着交换群中的元素可以以任意顺序进行运算，结果都是相同的。
交换群具有以下特点：1. 封闭性：交换群中的元素进行运算后的结果仍然属于该群。
2. 结合律：交换群中的运算符满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 存在单位元：交换群中存在一个特殊元素，称为单位元，它与该群中的任意元素进行运算得到的结果都是该元素本身。
4. 存在逆元：交换群中的每个元素都存在一个逆元，它与该元素进行运算得到的结果是单位元。
二、循环群的定义和特点循环群是一种特殊的群，它由一个元素生成。
这个元素称为生成元，它可以通过自身的运算和运算的次数来生成群中的所有元素。
循环群可以用一个生成元和运算符的指数形式来表示。
循环群具有以下特点：1. 封闭性：循环群中的元素进行运算后的结果仍然属于该群。
2. 存在单位元：循环群中存在一个特殊元素，称为单位元，它与该群中的任意元素进行运算得到的结果都是该元素本身。
3. 存在逆元：循环群中的每个元素都存在一个逆元，它与该元素进行运算得到的结果是单位元。
4. 生成性：循环群中的一个元素可以通过运算的次数和生成元来生成群中的所有元素。
5. 无穷性：循环群中的元素可以进行无限次运算，得到无穷多个元素。
三、交换群与循环群的关系交换群和循环群之间存在一定的联系和区别。
循环群是交换群的一种特殊情况，即循环群是满足交换律的群。
因此，循环群也具有交换群的特点，包括封闭性、结合律、存在单位元和逆元等。
然而，交换群并不一定是循环群。
交换群中的元素可以以任意顺序进行运算，而循环群中的元素则是由一个生成元按照一定的规律生成的。
循环群和置换群-置换群
1
置换群的元素都是一一对应的，即每个元素都有 一个唯一的逆元素。
2
置换群中的元素可以相乘，满足结合律和单位元 存在性。
3
置换群中的元素可以相逆，满足逆元存在性。
置换群的例子
01
02
03
置换群的一个简单例子 是$S_n$，即所有$n$个 元素的排列组成的群。
置换群也可以是有限集 合上的自同构群，例如 有限环上的模运算构成
定义
通过同态映射将置换群映射到另一个群或半 群上，从而将问题转化为更易于处理的形式 。
优点
能够将复杂问题简化，便于理解和分析。
缺点
同态映射的选择需要具备一定的理论基础和 实践经验，且可能引入额外的复杂性。
05
CATALOGUE
置换群的应用
在对称性物理中的应用
量子力学
置换群在量子力学中用于描述粒子的 对称性，例如在描述原子或分子的电 子排布时，置换群可以用来描述电子 的对称性。
在密码学中的应用
密码算法
置换群在密码学中被广泛应用于各种密码算法，例如AES、DES等对称加密算 法中都涉及到置换群的概念。
密钥管理
置换群可以用于密钥管理，例如通过对称加密算法中的置换操作来生成密钥， 保证通信的安全性。
THANKS
感谢观看
晶Hale Waihona Puke 结构在晶体物理学中，置换群被用来描述 晶体的对称性，例如空间群可以描述 晶体在三维空间中的对称性。
在组合数学中的应用
组合问题
置换群在组合数学中用于解决各种组合问题，例如排列、组合、划分等问题。
组合恒等式
置换群可以用来证明和推导组合恒等式，例如在证明帕斯卡恒等式时，置换群被用来证明组合数的对称性。
4-1 群、置换、循环
15岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试 15岁 伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。 时，伽罗华失败了，不得不进入普通的师范学校。 就是在这所学校，伽罗华写出了他的第一篇关于连 就是在这所学校， 分数的数学论文，显示了他的能力。 分数的数学论文，显示了他的能力。 他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院 的拒绝。更糟的是， 的拒绝。更糟的是，两篇论文手稿还莫名其妙地被 丢失了。 丢失了。
1545年 卡尔达塔(Cardano)在他的《大术》 1545年, 卡尔达塔(Cardano)在他的《大术》 (ArsMagna)一书中公开发表了丰塔那的方法。这部 ArsMagna)一书中公开发表了丰塔那的方法。 书还讲述了费拉里(Ferrari)求解四次方程的方法。 书还讲述了费拉里(Ferrari)求解四次方程的方法。 但事情的发展似乎突然停了下来。 但事情的发展似乎突然停了下来。虽然有很多数学 家作出了努力，其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数 家作出了努力，其中包括18世纪中叶伟大的瑞士数 学家欧拉(Euler) 但没有一个人能找出五次方程 五次方程的 学家欧拉(Euler)，但没有一个人能找出五次方程的 求根公式。 求根公式。
在普通乘法下是群。 例 G={1,-1}在普通乘法下是群。 在普通乘法下是群 的加法下是群。 例 G={0,1,2,…,n-1}在mod n的加法下是群。 在 的加法下是群 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合{T 构成群 构成群， 例 二维欧式空间中的刚体旋转变换集合 α}构成群， 其中 x1 cos α sin α x
给定一个集合G={a,b,c,…}和集合 上的二元运算 ， 和集合G上的二元运算 给定一个集合 和集合 上的二元运算•， 满足如下条件： 满足如下条件： 1. 封闭性：若a,b∈G，则存在 ∈G使得 封闭性： 使得a•b=c； ∈ ，则存在c∈ 使得 ； 2. 结合律：(a•b)•c=a•(b•c)； 结合律： ； 3. 存在单位元：G中存在一个元素 ，使得对于 的 存在单位元： 中存在一个元素 使得对于G的 中存在一个元素e， 任意元素a， 任意元素 ，恒有 a•e=e•a=a； ； 4. 存在逆元：对G的任意元素 ，恒有一个 ∈G， 存在逆元： 的任意元素a，恒有一个b∈ ， 的任意元素 使得a•b=b•a=e，则元素 称为元素 的逆元素，记 称为元素a的逆元素 使得 ，则元素b称为元素 的逆元素， 为a-1。 则称集合G在运算 之下是一个 是一个群 则称集合 在运算•之下是一个群，或称 是一个群。 在运算 之下是一个群 或称G是一个
高等代数循环群与交换群
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
元素的阶
循环群与交换群是最简单的群. 我们来研究它们的结构与性质. 定理 设 G 是群，a ∈ G. 当 a 的任意两个方幂皆不相等时，
⟨a⟩ = {· · · , am, a−(m−1), · · · , a−1, a0 = e, a, · · · , am−1, am, · · · }
上面讨论循环子群 ⟨a⟩, a ∈ G，G 是乘法群形式. 而 ⟨a⟩ = {ak | k ∈ Z}. 当 G 是加法群形式时，乘法群时 a 的方幂要变成 a 的倍数：
k 为正整数时, ka = a + a + · · · + a; 0a = 0;
k个
k 为负整数时, ka = (−a) + (−a) + · · · + (−a) .
Gi = ⟨ai⟩ = {ai, a2i , · · · , ani −1, ani = eGi }, i = 1, 2,
其中 ai 的各个幂 aki (1 ≤ k ≤ n, i = 1, 2) 是不同的. 作映射 G1 −φ→ G2 ak1 −→ ak2,k = 1, 2, · · · , n.
代数结构与数理逻辑-变换群、置换群与循环群
• 作业: P171 12.(2) (3), 13
• 元素a的阶有限的特征：
若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使 ak=al，
• 如果a的任意两个幂都不相等, 则元素a的 阶无限。
• 定理13.12：G为群, aG, 阶为n, 则对 mZ,元素的阶都是有限的。
• 例：在有限群G中，阶大于2的元素数目 必是偶数。
(τ
1 (1))
2 σ (τ (2))
σ
(τ
n (n))
• 定义13.7:设|S|=n, Sn, 形如:
i1 i2
i2 i3
id 1 id
id i1
id id
1 in 1 in
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
•
共k-1个对换
• 所以当k是奇数时，该循环为偶置换
• 当k是偶数时，该循环为奇置换
• 推论13.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为 偶数时, 它是一个奇置换。
• 推论13.3：每个偶置换均可分解为若干个 长度为 3 的循环置换的乘积, 循环置换中 可以含有公共元。
• |An|=?
• 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换， 它也是An的元素，|An|=1。
• 若n>1,
•
|An|=|On|=
1 2
n
!
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任意 gG,定义映射g:GG,使得对任意
g'G,有g(g') =gg'。设={g|gG},则
第五章 4阿贝尔群 循环群 置换群
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
例6 (1)令A={2i|i∈Z}，那么〈A,·〉(·为普通的数 乘)是循环群，2是生成元(2-1也是生成元)。 (2)〈Z8,+8〉为循环群，1,7是生成元。 (3) Klein四元群不是循环群。
eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
练习：设
表示在平面
上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能，设
☆是R上的二元运算，a☆b表示平面图连续旋转a和 b得到的总旋转角度，并规定旋转360表示回到原来 状态。列出R上☆的运算表，并证明<R,☆>是循环 群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
幺元是0,60和300 是其生成元
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
ab = a-1b-1= (ba)-1 = ba， 所以〈G , 〉是一个阿贝尔群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
二、循环群(Cyclic Groups)
定义5-5.2 设 G, 是群，若G中存在元素a，使得 G中每个元素都由a的幂组成，则称 G, 为循环 群(Cyclic Groups) ，元素a称为该循环群的生成元 。
2 2
3 3
2
=
1 2
2 1
3 3
4
=
1 3
2 2
3 1
5
=
1 2
2 3
3 1
3
=
1 1
2 3
3 2
6
=
1 3
2 1
3
2
任意两个置换的运算 ，即两个可逆变换的 复合，从右往左计算，如：
S3
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
交换群与循环群的关系
交换群与循环群的关系交换群和循环群是抽象代数学中的两个重要概念，它们之间存在着密切的联系和相互关系。
首先，我们来介绍一下交换群和循环群的概念。
交换群，也叫做阿贝尔群，是由一组元素以及一个二元运算组成的代数结构。
这个二元运算通常表示为“+”，并且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意的元素a、b∈G，有a+b∈G。
2. 结合律：对于任意的元素a、b、c∈G，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 存在单位元素：存在一个元素0∈G，使得对于任意的元素a ∈G，有a+0=a。
4. 存在逆元素：对于任意的元素a∈G，存在一个元素-b∈G，使得a+b=0。
5. 交换律：对于任意的元素a、b∈G，有a+b=b+a。
而循环群则是由一个生成元a和一个二元运算组成的群，这个二元运算通常表示为“×”，并且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意的元素ai、aj∈G，有ai×aj=ak∈G。
2. 结合律：对于任意的元素ai、aj、ak∈G，有(ai×aj)×ak=ai ×(aj×ak)。
3. 存在单位元素：存在一个元素e∈G，使得对于任意的元素ai ∈G，有ai×e=ai。
4. 存在逆元素：对于任意的元素ai∈G，存在一个元素aj∈G，使得ai×aj=e。
5. 生成性：对于任意的元素ai∈G，都可以表示成a的幂次方的形式，即ai=a^k，其中k为整数。
从定义可以看出，循环群是一种特殊的群，它的元素都可以表示成生成元的幂次方。
而交换群则是一种满足交换律的群，它的元素之间的运算顺序不影响最终结果。
接着，我们来探讨一下交换群和循环群的关系。
首先，循环群是一种群，因此它也是一种交换群。
因为循环群中的运算满足交换律，即ai×aj=aj×ai，所以循环群也是一个交换群。
另外，交换群和循环群之间还存在着更为深刻的联系，即任意一个有限交换群都可以表示成循环群的直积的形式。
循环群和置换群
定义11.16 对任意集合A定义
集合S S = {f fAA∧f
为双射} 那么群<S，○>及其子
群称为变换群.其中
○ 为函数的合成运 算．
定理11.29
每个群均同构
于一个变换群， 特别地,每一个 有限群均同构于 一个置换群.
离散1.1 循环群
定理 11.27 循环群的子群都是循环群．
定理11.28 设<G，>为g生成的循环群．
（1）若G为无限群，则G有无限多个子群， 它们分别由g0,g1,g2, g3,…生成．
（2）若G为有限群， G ＝ n，且n有因子 k1,k2,k3,…,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由 gk1,gk2,gk3,…生成.（注意这r个子群中可能有相同者．）
.
循环群和置换群
1.2 置换群
定义11.14
称有限集上的双射函数为置换． 称任意集合上的双射函数为变换．
定义11.15 将n个元素的集合A上的置换全体记为S，那么称
群<S, ○>为n次对称群（symmetric group），它的 子群又称为n次置换群（permutation group）．
.
循环群和置换群
离散数学导论
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定义11.13
称<G，>为循环群(cyclic group)，
如果 G为群，且G中存在元素 g ,使 G以{g}为 生成集，即 G的任何元素都可表示为 g 的幂 （约定e = g0），这时g称为循环群G的
生成元（generater）．
.
循环群和置换群
1.1 循环群
定理11.26 设<G，>为循环群，g为生成元，那么
《循环群与置换群》课件
05
循环群与置换群的习题 与解答
习题部分
习题1
什么是循环群？请给出循环群 的定义。
习题2
置换群的定义是什么？请举例 说明。
习题3
请描述循环群和置换群之间的 关系。
习题4
给出几个具体的循环群和置换 群的例子。
解答部分
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
解答1
循环群是由一个元素生 成的群，其定义是 G={a^n | n属于整数} ，其中a是G的元素， 且a^n表示a自乘n次 。
群，其中包含元素 (1,2,3)和(1,3,2)，因为 它们分别表示元素之间
的替换。
谢谢观看
交替群
由两个置换交换位置形成 的群。
完全置换群
由所有可能的置换组成的 群。
置换群的子群与共轭类
子群
置换群的子集，满足封闭性和结合性。
共轭类
两个置换在共轭关系下形成的类。
03
循环群与置换群的关系
循环群是置换群的特例
循环群是置换群的一 种特殊形式，其中元 素都是循环置换。
置换群中的元素可以 表示为 $(1)(2)(3),(1)(3)(2),( 2)(1)(3),(2)(3)(1),do ts,(12)(34),dots$。
循环群中的元素可以 表示为 $(1),(12),(13),(14),d ots,(123),(124),dots ,(1234),dots$。
置换群在几何中的应用
置换群在几何中有着广泛的应用，特 别是在晶体结构和分子结构的研究中 。
通过研究置换群的性质和分类，可以 深入了解晶体或分子的结构和性质。
和逆元等。
晶体结构中的置换群
总结词
晶体结构中的置换群是物理学中的一个 重要实例，它展示了置换群的基本性质 和特点。
§2变换群、置换群与循环群
• |An|=? • 若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换
，它也是An的元素，|An|=1。 • 若n>1, • |An|=|On|=12 n !
2020/10/31
• 例：G={g1, g2, gn},[G;]是群,对任 意gG,定义映射g:GG,使得对任意 xG,有g(x) =gx。设={g|gG},则 [;•]是置换群。这里•是关于映射的复 合运算.Leabharlann ii1 2i2 i3
id1 id
id i1
iid d 1 1 iin n
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
2020/10/31
• 定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解 为不含公共元的若干个循环置换的乘积 。
(1 4)(31)(26)(57)(85)
(1,4)(1(,22,)3)(2(,66,)1)(5(,88,)7)
• 说明分解不唯一
2020/10/31
• 定理14.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。
• 对一个置换，它可能有不同的对换乘积 ，但它们的对换个数的奇偶性则是一致 的。
变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。
• 若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成 的集合表示为Sn;
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
2020/10/31
密码学数学基础第七讲 群(2)
α β = β α = IS
则称β为 的逆置换 记为α 的逆置换， 则称 为α的逆置换，记为 -1 。
，
1 2 ⋯ n 的 元 其 置 置 σ = 换 逆 为 逆 换 i1 i2 ⋯ in
36 [6]的加法阶为 (6,36) = 6 ， 的加法阶为 36 [8]的加法阶为 (8,36) = 9 的加法阶为
。
练习：求出（ ，＋）的每一个元素的阶与所有生成元 的每一个元素的阶与所有生成元。 练习：求出（Z12，＋）的每一个元素的阶与所有生成元。 解： 元素 0 1 2 阶 1 12 6 3 4 4 5 6 7 8 3 12 2 12 3 9 10 11 4 6 12
1 2 3 σ1 = 1 2 3 1 2 3 σ4 = 1 3 2 1 2 3 σ2 = 2 1 3 1 2 3 σ5 = 2 3 1 1 2 3 σ3 = 3 2 1 1 2 3 σ6 = 3 1 2
本节内容
一、循环群(生成元) 循环群 二、置换群 (变换群、置换、轮换) 变换群、置换、
一、循环群
定义1 为群， 定义 设<G，*>为群，如果存在一个元素 ∈G， ， 为群 如果存在一个元素a∈ ， 则称G为循环群，记作G=<a>，称a是 使 G = {a k | k ∈ Z }，则称 为循环群，记作 ， 是 G的生成元。 的生成元。 循环群都是交换群。 循环群都是交换群。 例1 (1) <Z，＋ 是一个循环群，1或-1是生成元，1与，＋>是一个循环群 是生成元， 与 ，＋ 是一个循环群， 或 是生成元 1互为逆元。 互为逆元。 互为逆元 (2) <Zn， ⊕ >是循环群，其中Z n = {0,1,… , n − 1} 它的 是循环群， 是循环群 ， 生成元是1。 生成元是 。 (3) < Z 6 , ⊕ >是循环群 其中Z 6 = {0,1, 2,3, 4,5} , ⊕为模 加 是循环群, 为模6加 其生成元为1或 。 法，其生成元为 或5。
循环群与置换群
• 循环群是互换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G旳生成元，则G旳构造
在同构旳意义下完全由 g旳阶所拟定：
（1）若 g旳阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g旳阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例7.3.7 在 S3中，我们有
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 2
2 3
3 1
4 4
55
(123)
(231)
(312)
1 4
2 2
3 5
4 3
15
(1435)
(4351)
(3514)
(5143)
1 2
2 3
3 4
4 5
15
(12345)
(23451)
(34512)
都能够看作n个元素旳循环置换。所以，τ 就分解成若干个
不含公共元素旳循环置换旳乘积。
注意，不含公共元素旳循环置换旳乘法是可互换旳。
例如，
1 3
2 6
3 4
4 1
5 8
6 2
7 5
8 7
(587)(26)(134)
(134)(26)(587)
例 利用循环置换旳措施，我们有 3次对称群 S3旳元素能够表达为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4旳元素能够表达为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34);
离散数学第6讲置换群和循环群
23
p5
12
2 3
31
一般地， |A|=n时，记A上所有置换集合为Sn, |Sn|=n!
置换的合成运算：
左合成运算： ◦, p1 ◦ p2, 先进行p2置换, 再进行p1置换。 右合成运算：◇, p1◇p2, 先进行p1置换, 再进行p2置换。
p3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
13
2 2
31
p6 13
2 1
23
1 1 3 2
2 31 2
p6
1 2
2 1
3 4
4 3
( 旋转
270 )
p7
1 1
2 4
3 3
4 2
( 旋转
360 )
p8
1 3
2 2
3 1
4 4
( 绕 AA ' 翻转 ) ( 绕 BB ' 翻转 ) ( 绕 13 翻转 ) ( 绕 24 翻转 )
一、置换群
这不是对称群, 元素没有4!个, 是一置换群。 一般地说, 在合成运算◇作用下, n边正多边形
p13
2 2
3 4
14
A={a1,a2,…,an}，即|A|=n时，称为A上的置换为n次置换。A上的n次置换p可表示为：
ppa(1 a1)
a2 p(a2)
pa(a nn)
一、置换群 |A|=n时，A上有 n!个n次置换, 如A={1,2,3}时,
p1 11
2 2
33
p2
12
2 1
33
p4 11
2 3
例2 两面体群 (a) 给定正三角形123(如左下图所示), 将三角形围绕重心O旋转, 分别旋转0°, 120°, 240°。可以
置换群——精选推荐
11.7 循环群与置换群一、循环群1. 循环群的定义定义11.14 设G 是群，若a G ∃∈使得{|}k G a k Z =∈, 则称G 是循环群，记作G a =<>，称a 为G 的生成元。
注意：(1) 对于任何群G ，由G 中元素a 生成的子群是循环群。
(2) 任何素数阶的群都是循环群。
设G 是循环群，若a 是n 阶元，则0121{,,,,}n G a e a a a -== ， 那么|G|=n ，称G 为n 阶循环群。
若a 是无限阶元，则012{,,,}G a e a a ±±== ， 这时称G 为无限阶循环群。
例如 (1)G=<Z,+>是无限阶循环群。
(2)G=<Z 6,⊕>是6阶循环群。
2.循环群的性质定理 11.20 设G a =<>是循环群.(1)若G 是无限循环群，则G 只有两个生成元，即a 和a -1.(2)若G 是n 阶循环群，则G 含有()n ϕ个生成元，对于任何小于等于n 且与n 互质的正整数r ，a r 是G 的生成元。
证 (1)显然1a G -<>⊆，为了证明1G a -⊆<>，只须证明对任何k a G ∈，a k 都可以表达成a -1的幂。
由定理11.1有11()k a a --=，从而得到1G a -=<>，1a -是G 的生成元。
再证明G 中只有a 和a -1这两个生成元，假设b 也是G 的生成元，则G b =<>。
由a G ∈可知存在整数t 使得ta b =，又由b G a ∈=<>可知存在整数m 使得m b a =。
从而得到()t m t mt a b a a === 则由消去律得1mt a e -=。
因为G 是无限群，必有mt-1=0。
从而证明了m=t=1或m=t=-1，即b=a 或b=a -1。
(2) 只须证明：()r Z r n ∀∈≤，a r 是G 的生成元当且仅当n 与r 互质。
n阶交换群的循环子群的个数的公式
n阶交换群的循环子群的个数的公式
此文章旨在介绍n阶交换群的循环子群个数的公式，其结果可以用来研究群论中的群结构。
文章首先介绍定义循环子群的概念以及各种类型的循环子群，然后介绍循环子群的特性，如它们是交换群中的子群，有某种特定对称形式，拓扑自由度等，以及它们在群论中的重要性，其在群结构和计算群有效性中所扮演的角色。
接下来，本文介绍一个公式，用于计算n阶交换群中的循环子群的个数，该公式可以根据群的元素个数，求解出交换群中的循环子群的个数。
公式的表达式如下：
对于n阶交换群，设G的任意元素x的有限阶为m，设G为k个圆环群的直积，即G=C_1times C_2 times cdots times C_k，其中C_i为i阶循环子群，那么G中循环子群的个数可以表示为：
k!×m_1!×m_2!×cdotsm_k!
其中m_i表示C_i的阶数，k表示C_i的个数。
接下来，本文介绍该公式的证明。
首先，考虑G的任意元素x的有限阶m=m_1×m_2×cdotsm_k，其中m_i表示C_i的阶数，即G可以表示为一个由k个有限循环子群的直积组成的群。
而且，由于任意元素的m满足加法联合律，使得循环子群的数量可以被表示为一个乘积，也就是说，G中循环子群的个数可以表示为k!×m_1!×m_2!×cdotsm_k!
最后，本文介绍了n阶交换群中循环子群的个数的公式，并证明了该公式的正确性。
该公式结果可以用来研究群论中的群结构，以及
群论中被广泛引用的其他问题，如有效性的计算等。
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7
∵(a*b)*c=a+b-1+c-1=a+b+c-2
a*(b*c)=a+b+c-1-1=a+b+c-2
∴*是可结合的
∵a*1=a+1-1=a ∴1是<I,*>的幺元
a I , 令
a 1 2 a, a *
∵ a*b=a+b-1=b*a
a b c 1 a (b c 1)
a (b*c) (a b)* (a c)
同理 (b * c) a (b a) * (c a)
故 I ,*, 是具有幺元的可交换环。
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习题十五
4、设半群A，中任何两个不同元素关于运
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6、会求循环群的生成元及其子群； 7、掌握Lagrange 定理及推论，学习使用该定
理解决简单的问题； 8、熟悉n元置换群 9、熟练掌握环、域的基本性质和证明方法（
按定义证明和反证法）
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例1
证明下述代数结构是整环 ＜I[x],+, ×＞
整环、子环、环的同构与同态、域
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二、基本要求 1、会求二元运算的特异元素； 2、判断或者证明给定集合和运算是否构成半
群、含幺半群和群； 3、会运用群的基本性质证明相关的命题； 4、熟悉陪集的定义和性质； 5、熟练掌握不变子群、循环群的基本性质和
证明方法（按定义证明和反证法）
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11、 设<S,·>和<T,·>都是<G,·>的子群,令
S∩T= {x|x∈S∧x∈T},ST= {st|s∈S∧t∈T}
。证明:<S∩T,·>和<ST,·>也都是<G,·>的子群 。
证明：
1）∵ S、T是G的子群
∴ eS , eT 即 eS∩T
设 a，bS ∩T，即a，bS 和a，bT
其中，I是整数集合， ,, 分别是通常 数的加法、减法和法，证明 I , , 是具
有幺元的可交换环。
证：1）证 I ,* 是交换群
对 a,b I
a * b a b 1, a,b I, a * b I
即I是封闭的
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设 a A, a e, a2 a
a1 , a a2 a1 a a1 e
矛盾
10、写出<S3, 。>中的全部子群。 解：（1），（1 2），（1），（1 3），
（1），（2 3）， （1），（1 2 3），（1 3 2）和 二个平凡子群。
a b a b ab ba
∴ I , 是含幺交换半群
3）证明对 可 分配
a (b *c) a (b c 1)
a b c 1 a (b c 1)
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(a b)*(a c) (a b a b)*(a c a c)
a (b c) a b c b c a (b c b c) abcabacbcabc
∴I关于是可结合的
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∵令 b 0, a 0 a 0 a 0 a ，
∴ 0是 I , 的幺元
如果f(x)≠0和g(x)≠0， 则必有f(x)×g(x)≠0 ， 所以＜I[x],+, ×＞无零因子 故＜I[x],+, ×＞是整环。
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例2
给定代数系统 I , , ，且 和 定义
为：a b a b 1;a b a b a b 。
主要内容
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第十四、十五、十六章
一、基本概念
代数系统、单位元或幺元、零元、幂等元、
逆元、半群、含幺半群、群、子半群、群的阶、
子群、交换群、循环群、生成元、元素的周期、
右陪集、左陪集、子群的指数、不变子群(或
正规子群) 、群的单一同态、满同态、同构、
同态核、环、含零因子环、交换环、含幺环、
其中I[x]是所有的x的整系数多项式的集合， “+”、“×”表示多项式的加法和乘法。 证明：（1） 证明＜I[x],+＞是交换群（按定义证明） +在I[x]上结合律和封闭性成立 显然0∈ I[x] ，且对任意的 f(x)∈ I[x] ，显然- f(x)∈ I[x] ，且 f(x)+（- f(x)）=0=（- f(x)）+ f(x) 所以单位元和逆元存在，且+满足交换律， 所以 ＜I[x],+＞是交换群。
∴ I ,* 是交换群
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2) 证 I , 是含幺交换半群
a b a b a b,a,b I,a b I,
∴I关于是封闭的
(a b) c a b a b c (a b a b) c abcabacbcabc
算“”不可交换。证明：对任何aA，aa=a。
证：（反证法）
设 a A, a a a
构造 b a a
，
则abaaa ba
即 a、b 可交换，与已知条件相矛盾
∴ a A，a a a
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6、证明：群中只有幺元是幂等元。 证：（反证法）
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（2）证明＜I[x], ×＞是含幺交换半群 普通乘法满足结合律，且对任意的 f(x)，g(x)∈ I[x] ,显然有f(x)×g(x)∈I[x] 封闭性成立，整数1是单位元，且满足交换律，所以 ＜I[x], ×＞是含幺交换半群 （3）普通乘法对加法的分配律显然成立，所以 ＜I[x],+, ×＞是环。 （4）对任意的f(x)，g(x)∈I[x],