能带理论
能带理论
能带理论能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。
具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。
前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。
能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。
每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。
为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。
能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。
致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。
从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。
被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。
价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。
能带理论
能带理论维基百科，自由的百科全书（重定向自能带）晶体硅的能带结构示意图能带结构示意图三种导电性不同的材料比较，金属的价带与传导带之间没有距离，因此电子（红色实心圆圈）可以自由移动。
绝缘体的能隙宽度最大，电子难以从价带跃迁至传导带。
半导体的能隙在两者之间，电子较容易跃迁至传导带中。
能带理论（英语：Electronic band structure）是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。
是于20世纪初期，在量子力学确立以后发展起来的一种近似理论。
它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题。
自20世纪六十年代，电子计算机得到广泛应用以后，使用电子计算机依据第一原理做复杂能带结构计算成为可能（不过仍然非常耗时，一次典型的能带结构自洽计算在普通工作站上往往需要花几个小时甚至一周多的时间才能完成）。
能带理论由定性发展为一门定量的精确科学。
∙∙∙固体材料的能带结构由多条能带组成，能带分为传导带（简称导带）、价电带（简称价带）和禁带等，导带和价带间的空隙称为能隙（即右边第二副图中所示的）。
能带结构可以解释固体中导体、半导体、绝缘体三大类区别的由来。
材料的导电性是由“传导带”中含有的电子数量决定。
当电子从“价带”获得能量而跳跃至“传导带”时，电子就可以在带间任意移动而导电。
一般常见的金属材料，因为其传导带与价带之间的“能隙”非常小，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电，而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。
一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。
因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。
对于理想晶体，其原子服从晶格排列，具有周期性，因而可以认为离子实的势场也具有周期性。
晶体中的电子在一个周期性等效势场中运动，其波动方程为：其中为周期性等效势场，为波函数，为普朗克常数，为质量，为微分算符，为能量[编辑]近自由电子模型能带理论认为，固体内部的电子，不是被束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
第二章 能带理论
第二章 能带理论 *能带：在完整的晶体中运动的的电子，其能谱值是一些密集的能级组成的带，这种带称能带。
能带与能带之间被能量禁区分开。
其中，0K 时完全空着的最低能带称导带，完全被电子占满的最高能带称价带，二者间的能量禁区称禁带。
*能带理论：又称固体能带理论。
是关于晶体中电子运动状态的一种量子力学理论。
其预言晶体中电子能量总会落在某些限定范围或“能带”中。
晶体的电学、光学和磁学等性质都与电子的运动有关，在研究这些问题时，都要用到能带理论。
能带理论成功地解释了金属、半导体和绝缘体之间的差别，解释了霍耳效应现象。
半导体物理学就是建立在能带理论基础之上的。
随着实验技术的发展，人们通过回旋共振、电光、磁光、光谱等手段已成功地测定了许多晶体的电子能带结构。
特别是近年来由于计算机技术的广泛应用，在理论上已可以对电子的能带结构进行更为精确的计算。
尽管如此，由于能带理论毕竟是经过许多简化后的近似理论，所以其只适于有序晶体，并且即使对于有序晶体，当其结构较为复杂时，能带理论处理起来往往也显得有些困难。
§2-1 晶体的薛定谔方程及其近似解一．薛定谔方程。
晶体由大量原子周期性排列构成，原子由原子核和核外电子组成。
由于内层电子不参与晶体的物理过程，因此可认为晶体是由原子最外层电子和失去电子的离子组成的。
若用i r r r r ,,,321表示电子的位矢、用 j R R R R ,,,321表示失去电子的离子的位矢，则晶体定态薛定谔方程为：ψψE H =（2-1）式中ψ为波函数，E 为能量本征值，H是哈密顿算符，且：V u u u T T H eZ Z e Z e+++++= （2-2） 式中 )2(22i ii i e m T T ∇-==∑∑为全部电子的动能算符，m 为电子质量，2222222ii i iz y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇为第i 个电子的拉普拉斯算符。
)2(22ααααα∇-==∑∑M T T Z为全部离子的动能算符，αM 为离子质量，2α∇为第α个离子的拉普拉斯算符。
第二章能带理论
何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周 期势场的作用。
是什么原因决定了固体是导体，绝缘体，或者半导体?
固体的能带结构！
自由电子理论忽略了电子与原子和其它电子 的相互作用，有局限性。
能带理论认为电子要受到一个周期性势场的作用。
导体
104 107 m
108 m
半导体
绝缘体
它们的导电性能不同， 108 m 是因为它们的能带结构不同。
一般填充规律：
孤立原子的内层电子能级一般都是填满的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。
孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也可 能未填满电子。若原来填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也填满电子。
经典自由电子理论
正离子所形成的电场是均匀的；自由电子运动的规律遵循经典力学气体分子的运动 定律；自由电子与正离子之间的相互作用仅仅是类似于机械碰撞。
该理论认为，在没有外电场作用时，金属中的自由电子沿着各方向运动的几率相同， 故不产生电流。当施加外电场后，自由电子获得附加速度，于是便沿外电场方向发 生定向迁移，从而形成电流。自由电子在定向迁移过程中，因不断与正离子发生碰 撞，使电子的迁移受阻，因而产生了电阻。
核磁共振方法不仅在核物理研究中起着重要作用，而且在科学技术上也有 着广泛的应用。例如，核磁共振分析可以用来探测物质的微观结构和各种 相互作用；核磁共振人体成像有望成为诊断疾病的有力工具。
自由电子气 真实晶体中的电子
能带理论的基本假设
能带理论的基本出发点: 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，
绝缘体的电阻率 ~ 1014 1022 cm
(完整word版)能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带"中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的,因而其能量与波失间的关系E （k ）较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容.本章采用一些近似讨论能带的形成,并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时,可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似:让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似: 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型(1）近自由电子模型1、模型概述 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的.因此,我们可以把自由电子看成是它的零级近似，(222U m ∇+)()(r U R r U n=+而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似）2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E （K ）是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E （K ）在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带,连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式.由于周期势场的微扰，E （k ）函数将在 处断开，本征能量发生突变,出现能量间隔2︱V n ︱,间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值。
固体物理(第14课)能带理论
根据布洛定理，有 k ( r Rn ) e e e 因而有：
k (r)
e uk ( r ) uk ( r )
i k Rn i k r i k ( Rn r )
uk ( r Rn ) uk ( r )
i k r
上式表明，在周期场中 运动的单电子，其能量 本征函数
l1、l2、l3 Z
为了确定本征值，引入玻恩-卡门边界条件
( r ) ( r N1a1 ), ( r ) ( r N 2a2 ), ( r ) ( r N 3a3 ),
N1
N N1 N 2 N 3
( r N1a1 ) T1 ( r ) 1 ( r ),
(r) u(r) eikr
比较
势场为0
正离子
周期势场 正离子
电子波函数
周期性势场
势场中电子的波函数
6.1.1 布洛赫定理的证明
平移对称性
晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映，即晶格 在平移对称操作下是不变的。 T(Rn)平移算符表示使r到r+Rn的平移操作相当的算符。 其意义是使T(Rn)作用在任意函数f(r)上产生新的函数 f(Rn+r)。 T(Rn) f(r)= f(Rn+r) 晶体中的平移算符共有N1×N2×N3种 平移算符彼此对易，即：
k ( r N1a1 N 2a2 N 3a3 ) eik( N a N a N a ) k ( r ) 因此有：N1a1 N 2a2 N 3a3 2 n
1 1 2 2 3 3
l1 l2 l3 而此仅当 k b1 b2 b3 N1 N2 N3 时才能满足。
第六章 能带理论
(0) k
2
k
(1) k
(0) k
H kk (0) (0) (0) k E E k k k k
2mU n exp i 2 nx / a 1 ikx e 1 2 2 2 2 L n 0 k k 2 n / a
ik r r k Ae
r Cu r
在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之 间，是两者的组合。 如果晶体中电子的运动完全自由， uk r A const.
ik r e C const. 若电子完全被束缚在某个原子周围，
k 2 n k 2m 2m a
2 2 2
2
2 2 k k n k Gn a
2
2
在布里渊区边界上:
n k a
2n n k k a a
k态和k’态为简并态。必须用简并微扰来处理。
(0) k
周期性势场中能带结构特点： （1） 电子能量的允许值由若干不连续区域 （能带）组成，相邻能带之间的区域称为禁带。 能带的分界点出现在 ka =±nπ n=1,2,… 处 。 （2）E是K的偶函数 （3）能量较高的能带较宽，能量较低的能带 较窄。 （4）E(k+Kh) = E(k)；所以，在-π到π之间 可画出所有能带，因此必须指明能带序号n， 写成 En(k)。
2k 2 2k 2 U0 2m 2m
令U 0 0
一级微扰方程： H 0 k(1) H k(0) Ek(0) k(1) Ek(1) k(0) 电子的能量：
电子波函数：
能带理论
能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出.能带和能带隙具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。
前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。
能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。
每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。
为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。
能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。
致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。
从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。
被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。
价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。
适合初学者看的能带理论
03
分子能带理论
分子能级与电子排布
分子能级
分子中的原子在相互振动时，会形成 不同的能级，这些能级决定了分子的 稳定性和化学反应能力。
电子排布
分子中的电子按照能量高低在不同轨 道上排布，形成不同的电子构型，对 分子的化学性质产生影响。
分子光谱与电子跃迁
分子光谱
通过分析分子吸收或发射的光谱，可以了解分子内部能级结 构和电子排布。
量子计算与量子通信的能带理论基础
量子计算
量子计算利用量子力学的特性进行信息处理，能带理论在理解量子比特和量子门操作等 方面发挥了重要作用。
量子通信
量子通信利用量子态的传输进行信息传递，能带理论在量子密钥分发和量子隐形传态等 方面提供了理论基础。
能带理论与其他物理理论的交叉研究
凝聚态物理
能带理论与凝聚态物理密切相关，通过研究 不同材料的能带结构和物理性质，可以深入 理解物质的微观结构和宏观性质。
光子禁带
在光子晶体的能带结构中，某些频率的光不能在其中传播，这种现象被称为光子禁带。光子禁带的存在可以用来 控制光的传播和光与物质的相互作用。
光子在介质中的传播与散射
传播
当光子在介质中传播时，会受到介质的折射和反射。折射和反射的性质取决于光子的波长和介质的性 质。
散射
当光子与介质中的原子或分子相互作用时，可能会发生散射。散射会导致光的方向改变和能量的损失 。散射的性质取决于介质的微观结构和光子的波长。
太阳能电池原理与应用
01
02
03
光吸收与能带结构
太阳能电池利用半导体材 料的能带结构，通过光吸 收产生光生载流子，从而 实现光电转换。
光电转换效率
能带理论有助于理解光电 转换效率的限制因素，为 提高太阳能电池效率提供 理论指导。
凝聚态物理：第3章 能带理论
iVm
i, m
n
m
两边左乘：i*x xn ~ i, n
E
i
ak n
ak m
i, n Vm
i, m
m
E i eikxm xn i, n Vm i, m
m
E i eikxmxn i*x xn V xVat x xm i x xm dx
m
4、微扰能量
令： x xm
2
当△→0时：
V
E
V
Tn Tn
Vn Vn
2Tn
2Tn Vn
2Tn
2Tn Vn
1 1
结论： 在布里渊边界，发生“能级的排斥”
二、能带和能隙
1. 能带和能隙 自由电子能量（空盒子模型）受到周期
性势的作用。 k 远离 nπ/a 处的态（λ= na) 受到
的影响较小； 在nπ/a 处的态影响很显著，E(k)断开
根据关系：
Rn Rm
Rn
Rm
选取线性关系：
(r
Rn
Rn
)
K Rn
eik Rn
(r
)
证毕
二、K的值及物理意义
电子波选取周期性边界（同晶格振动）
(r )
(r
N11)
(r N22 ) (r N33)
根据Bloch波： eikRn 1
k Rn k (N11 N22 N33) h2
二、K的值及物理意义
l为整数
可以取：
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
( l1 N1
,
l2 N2
,
l3 ) N3
根据周期性，可以把 li 限制在第一布里渊区：
第5章-能带理论基础
中性杂质：硅晶体中有C，（Ge）等杂质，在晶格 位置上，不改变价电子数，不提供电子，也不提供空穴， 呈电中性，在禁带中不引入能级。
杂质的补偿作用
半导体中，同时存在施主杂质（Donor）和受主 （Acceptor）杂质时，施主和受主之间有相互抵消的作 用。
f
(E)
1
1 exp( E
EF
)
k0T
或写成：
f E
1
E EF
e k0T 1
f(E)---费米分布函数；k0—波耳兹曼常数（k = 1.38 × 10−23 J/K）； T—热力学温度（K）EF---费米能级（具有能量量纲），E：电子的能量（eV)
费米分布函数中，若E-EF>>k0T，则分母中的1可 以忽略，上式化为电子的玻耳兹曼分布函数：
直接带隙半导体：导带最小值（导带底）和满带最大值在 k空间中同一位置。电子要跃迁到导带上产生导电的电 子和空穴（形成半满能带）只需要吸收能量。(GaAs、 InP)
直接带隙半导体的重要性质：
当价带电子往导带跃迁时，电子波矢不变，在能带 图上即是竖直地跃迁，这就意味着电子在跃迁过程中， 动量可保持不变——满足动量守恒定律。相反，如果导 带电子下落到价带（即电子与空穴复合）时，也可以保 持动量不变——直接复合，即电子与空穴只要一相遇就 会发生复合（不需要声子来接受或提供动量）。
级升高而逐渐减少，而比EF大的能级，被 电子占据的概率随能级降低而逐渐增大。
随温度升高，电子吸收能量，从低能级跃 迁到高能级，空穴从高能级跃迁到低能级， 电子占据的能级越高，空穴占据的能级就越 低，体系能量升高。
例如： 当E比EF高5k0T有：
第一章能带理论
激 发 后：
空的量子态（ 空穴）
价带电子
激 发 前：
导带电子
空穴 将价带电子的导电作用等效为带正电荷的准粒子的导电作用。
空穴的主要特征： A、荷正电：+q； B、空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； C、EP=-En D、mP*=-mn*
1.导体的能带
三、 导体、绝缘体和半导体的能带
2.绝缘体和半导体的能带
6#C电子组态是:1s22s22p2
2p
2s
1s
（1）满带中的电子不导电 I（k）=-I（-k） 即是说，+k态和-k态的电子电流互相抵消。 （2）对部分填充的能带，将产生宏观电流。
Eg
电子能量
Ec
自旋量子数 ms：±1/2，产生能级精细结构
2.晶体中的电子
（1）电子的共有化运动
在晶体中，电子由一个原子转移到相邻的原子去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。
2p
2p
2p
2p
3s
3s
3s
3s
●
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
电子共有化运动示意图
(2)能级分裂
a. s 能级
设有A、B两个原子
孤立时, 波函数（描述微观粒子的状态）为A和B,不重叠.
第一章 半导体中的电子状态
半导体的晶格结构和结合性质 半导体中电子状态和能带 半导体中电子的运动和有效质量 半导体中载流子的产生及导电机构 半导体的能带结构
1、金刚石型结构和共价键
化学键: 构成晶体的结合力. 共价键: 由同种晶体组成的元素半导体,其 原子间无电负性差,它们通过共用 一对自旋相反而配对的价电子结 合在一起.
固体物理学中的能带理论
固体物理学中的能带理论固体物理学是研究固体物质特性和行为的学科。
其中，能带理论是固体物理学中的重要内容之一。
这个理论的提出和发展，深刻地影响着我们对物质的认识和应用。
在本文中，将介绍能带理论的基本概念、理论构建的主要过程以及对实际应用的影响。
1. 能带理论的基本概念能带理论是描述固体材料中电子结构的理论框架。
它基于量子力学的原理，认为在固体中，电子的运动状态和能量分别由多个能带和能带间的禁带带宽所决定。
能带是指具有类似能量水平的电子能级。
禁带带宽则表示在能带之间禁止电子的能量范围。
2. 理论构建的主要过程能带理论的构建经历了一系列的发展过程。
最早的一些能带理论如卢瑟福模型和Drude模型，是基于经典力学和经典电动力学的假设，对于一些简单情况具有一定的解释能力。
然而，这些模型无法解释复杂固体中的行为，因为它们没有考虑到量子力学效应。
在量子力学的框架下，人们使用薛定谔方程和波函数的理论来描述电子在固体中的行为。
经典的能带理论建立在Bloch定理的基础上，该定理认为固体中的电子具有周期性的晶格势场作用下的波函数形式。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的能量本征值和本征态。
3. 对实际应用的影响能带理论的提出和发展对固体物理学的研究产生了深远的影响。
首先，能带理论提供了解释固体材料电子运动行为的一个理论模型。
它可以解释金属、绝缘体和半导体等不同类型材料的电导特性，以及它们在外界条件下的响应。
其次，能带理论对材料的设计和合成起着重要作用。
通过对能带结构的调控，我们可以设计出具有特定能带特性的新材料。
例如，针对光电子器件应用的材料，我们可以通过调节能带结构来实现不同波长的能带过渡和光电转换。
而且，能带理论也对半导体器件的工作原理给出了关键的解释。
例如，能带理论对于理解和优化半导体二极管、晶体管和太阳能电池等器件的性能至关重要。
它可以揭示不同物理机制对器件行为的影响，为器件的设计和优化提供了指导。
总结起来，能带理论是固体物理学中一项重要的理论构建。
第四章 能带理论
对于εi有N个简并的能态
(r Rn ) e ikR (r )
n
am i (r Rm n ) e ikRn am i (r Rm )
m m
1 ik Rm am e N
i ( r Rm ); i (r Rm ) j (r Rm ) ij
i n m 2 N
m n
; 1
n m N
n 1
2
1, ei
n为整数
n e
i 2m
n N
Tn本征值, 表相位差
ˆ (k, r na) Tn (k, r) n (k, r)
2m n 2m na m b mb na kna k ; m int . N Na N N ikna n e
let z x a, a x z
( x) eika ( x a)
e e ( z ) u1 ( z )e
ikx ikz ikx
u ( k , x )e
ikx
u (k , x) e ik ( x a ) ( x a) u (k , x a) e
均匀分布 间隔为b/N 的N个k点。
L1
L2 b2 b1
第四章 能带理论
（LCAO）
一、紧束缚近似处理方法
1 ）紧束缚近似方法的思想：电子在一个原子（格 点）附近时，主要受到该原子势场的作用，将其它 原子（格点）势场的作用看作微扰，并利用简并微 扰法，求出电子的原子能级与晶体中能带之间的相 互联系。 V(r－Rm)：Rm格点的原子势场， U(r)为晶体的周期性 势场，是所有原子的 势场之和。
第一部分：波数为k的行进平面波。 第二部分：该平面波受周期场的影响而产生的散射 波。
3. 几种晶格的布里渊区
1) 简单立方格子 —— 倒格子 简单立方格子 简单立方格子第一布里渊区为：原点和6 个 近邻格点的垂直平分面围成的立方体。
2) 体心立方格子 ——倒格子为面心立方格子
体心立方格子第一布里渊区为：原点和12 个近 邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。
2 2 V r r E r 2m
V (r ) V (r Rn )
2
一、Bloch定理（1928年） 描述电子运动的Schrö dinger方程为
为周期性势场， R n 为任意格矢 V (r ) V (r Rn )
方程的解具有性质： r Rn eik Rn r
2 2 2m V r r E r
k为一矢量 Rn 时，波函数只增加了位 表明当平移晶格矢量 相因子 eik Rn 。 ——布洛赫定理
rRm
0
微扰以后电子的运动状态
微扰以后的状态用N 个简并态（原子轨道波函 数 i r Rm ）的线性组合构成晶体中电子共 有化运动的波函数： r ami r Rm
1.2 能带理论
1. 绝缘体
(ρ—1014 1022cm) 电子恰好添满了最低的一系列能带，能量更高的能带都 是空的；而且最高的满带(价带)与最低的空带之间存在
一个很宽的禁带 ( Eg 5 eV)。
由于没有不满带，在外电场的作用下，不能引起电 流的流动。而且满带之间被能隙隔开，每一个容许的态 都被充满。电子的总动量无法改变，从而不能导电。
可以采取微扰处理方法。一些简单金属 Na、K、Al 等可用
此模型。 一、一维周期势场中电子运动的近自由电子近似 晶体势场 V (x) 具有周期性，那么它的平面波也具有周 期性。
一维周期势场
考察由N个间距a的正离子周期性排列所形成的一维晶 体点阵，其势能如图所示，看到晶体点阵具有相同的周期 性。
图1
原来自由电子的连续能谱，在晶格的周期势场的作用下，分
裂成为被能隙分开的许多能带（产生了能级分裂），能隙的大 小等于周期势场的傅里叶分量 Vn 的 2 倍；中间断开 Eg—称为 禁带 (Forbidden band)
在 Eg 能量范围内，没有容许的能量状态。这是在晶体弱周
期势场中运动的电子产生的新现象。
原子间距
能带存在的实验验证：
1、核磁共振磁致伸缩技术 2、晶体软X射线谱技术 3、用高能电子束射入晶体，晶体中的电子从晶体中 打出来后，电子从高能级向下跃迁而产生的辐射能量 范围在十几ev，这正是能带的宽度。
能带术语
能带包括允带和禁带
允带（allowed band）：允 许电子能量存在的范围 禁带(forbidden band): 不允 许电子能量存在的范围，价
导体 conductor 碱金属 锂、钠、钾 碱土金属 铍、镁、钙 贵金属 铜、银、金 过渡金属 铁、镍、钴
第三章能带理论
动状态相同。
与讨论晶格振动的情况相似，通常将k取在由各个 倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭 体积，即简约区或第一布里渊区中。
k
h1 N1
b1
h2 N2
b2
h3 N3
b3
❖ 简约波矢：k限制在简约区中取值；
❖ 广延波矢：k在整个k空间中取值。
每一个量子态k在k空间中所占的体积:
1 N1
b1
1 N2
b2
1 N3
b3
b N
在k空间中，波矢k的分布密度：
k
N b
N
va
8
3
V
8 3
vab 8 3
V Nva
在简约区中，波矢k的取值总数为
k b N 晶体的原胞数
2. Bloch函数的性质
Bloch函数: k r eikruk r
❖ 既有共有化运动也有原子内运动，因 此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带 相间组成的能带结构。
周期性边界条件： r r Na
r Na TN r N r r
N
1 ei 2h
h＝整数， ＝1, 2, 3
exp i
2 h
N
引入矢量
k
h1 N1
b1
h2 N2
b2
h3 N3
b3
h Z
eika
a b 2
r Rl r l 1a1 l 2a2 l 3a3
T1l
T1 l 2
T2 l 3
3
r
1l
1 l 2
2
3l
3
r
exp ik l 1a1 l 2a2 l 3a3 r
r + Rl eikRl r
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【半导体】（1）导带conduction band
A解释导带是由自由电子形成的能量空间。
即固体结构内自由运动的电子所具有的能量范围。
对于金属，所有价电子所处的能带就是导带。
对于半导体，所有价电子所处的能带是所谓价带，比价带能量更高的能带是导带。
在绝对零度温度下，半导体的价带(valence band)是满带(见能带理论)，受到光电注入或热激发后，价带中的部分电子会越过禁带 (forbidden band/band gap)进入能量较高的空带，空带中存在电子后即成为导电的能带——导带。
B导带的涵义：
导带是半导体最外面（能量最高）的一个能带，是由许多准连续的能级组成的；是半导体的一种载流子——自由电子（简称为电子）所处的能量范围。
导带中往往只有少量的电子，大多数状态（能级）是空着的，则在外加作用下能够发生状态的改变，故导带中的电子能够导电，即为载流子。
导带底是导带的最低能级，可看成是电子的势能，通常，电子就处于导带底附近；离开导带底的能量高度，则可看成是电子的动能。
当有外场作用到半导体两端时，电子的势能即发生变化，从而在能带图上就表现出导带底发生倾斜；反过来，凡是能带发生倾斜的区域，就必然存在电场（外电场或者内建电场）。
导带底到真空中自由电子能级的间距，称为半导体的亲和能，即是把一个电子载流子从半导体内部拿
到真空中去所需要的能量。
这是半导体的一个特征参量。
（2）价带与禁带价带（valence band）或称价电带，通常是指半导体或绝缘体中，在0K时能被电子占满的最高能带。
对半导体而言，此能带中的能级基本上是连续的。
全充满的能带中的电子不能在固体中自由运动。
但若该电子受到光照，它可吸收足够能量而跳入下一个容许的最高能区，从而使价带变成部分充填，此时价带中留下的电子可在固体中自由运动。
价带中电子的自由运动对于与晶体管有关的现象是很重要的。
被价电子占据的允带（低温下通常被价电子占满）。
禁带，英文名为：Forbidden Band 在能带结构中能态密度[1]为零的能量区间。
常用来表示价带和导带之间的能态密度为零的能量区间。
禁带宽度的大小
决定了材料是具有半导体性质还是具有绝缘体性质。
半导体的禁带宽度较小，当温度升高时，电子可以被激发传到导带，从而使材料具有导电性。
绝缘体的禁带宽度很大，即使在较高的温度下，仍是电的不良导体。
（3）导带与价带的关系：
对于未掺杂的本征半导体，导带中的电子是由它下面的一个能带（即价带）中的电子（价电子）跃迁上来而形成的，这种产生电子（同时也产生空穴——半导体的另外一种载流子）的过程，称为本征激发。
在本征激发过程中，电子和空穴是
成对产生的，则总是有“电子浓度=空穴浓度”。
这实际上就是本征半导体的特征，因此可以说，凡是两种载流子浓度相等的半导体，就是本征半导体。
这就意味着，不仅未掺杂的半导体是本征半导体，
就是掺杂的半导体，在一定条件下（例如高温下）也可以转变为本征半导体。
价带的能量低于导带，它也是由许多准连续的能级组成的。
但是价带中的许多电子（价电子）并不能导电，而少量的价电子空位——空穴才能导电，故称空穴是载流子。
空穴的最低能量——势能，也就是价带顶，通常空穴就处于价带顶附近。
价带顶与导带底之间的能量差，就是所谓半导体的禁带宽度。
这就是产生本征激发所需要的最小平均能量。
这是半导体最重要的一个特征参量。
对于掺杂半导体，电子和空穴大多数是由杂质来提供的。
能够提供电子的杂质称为施主；能够提供空穴的杂质称为受主。
施主的能级处在靠近导带底的禁带中；受主的能级处在靠近价带顶的禁带中。
能隙能隙（Bandgap energy gap）或译作能带隙，在固态物理学中泛指半导体或是绝缘体的价带（valence band）顶端至传导带（conduction band）底端的能量差距。
能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排
列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由 F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。
理论应用
对一个本征半导体（intrinsic semiconductor）而言，其导电性与能隙的大小有关，只有获得足够能量的电子才能从价带被激发，跨过能隙并跃迁至传导带。
利用费米-狄拉克统计（Fermi-Dirac Statistics）可以得到电子占据某个能阶（energy state）E0的机率。
又假设E0 >> EF，EF是所谓的费米能阶（Fermi level），电子占据E0的机率可以利用波兹曼近似简化为：在上式中，Eg是能隙的宽度、k 是波兹曼常数（Boltzmann's Constant），而T则是温度。
半导体材料的能隙可以利用一些工程手法加以调整，特别是在化合物半导体中，例如控制砷化镓铝（AlGaAs）或砷化镓铟（InGaAs）各种元素间的比例，或是利用如分子束磊晶（Molecular Beam Epitaxy, MBE）成长出多层的磊晶材料。
这类半导体材料在高速半导体元件或是光电元件，如异质接面双载子晶体管（Heterojunction Bipolar Transistor, HBT）、雷射二极管，或是太阳能电池上已经成为主流。
固体的能带固体的导电性能由其能带结构决定。
对一价金属，价带是未满带，故能导电。
对二价金属，价带是满带，但禁
带宽度为零，价带与较高的空带相交叠，满带中的电子能占据空带，因而也能导电，绝缘体和半导体的能带结构相似，价带为满带，价带与空带间存在禁带。
无机半导体的禁带宽度从0.1～2.0eV，π-π共轭聚合物的能带隙大致在1.4～4.2eV,绝缘体的禁带宽度大于4.5eV。
在任何温度下，由于热运动，满带中的电子总会有一些具有足够的能量激发到空带中，使之成为导带。
由于绝缘体的禁带宽度较大，常温下从满带激发到空带的电子数微不足道，宏观上表现为导电性能差。
半导体的禁带宽度较小，满带中的电子只需较小能量就能激发到空带中，宏观上表现为有较大的电导率。
能带理论在阐明电子在晶格中的运动规律、固体的导电机构、合金的某些性质和金属的结合能等方面取得了重大成就，但它毕竟是一种近似理论，存在一定的局限性。
例如某些晶体的导电性不能用能带理论解释，即电子共有化模型和单电子近似不适用于这些晶体。
多电子理论建立后，单电子能带论的结果常作为多电子理论的起点，在解决现代复杂问题时，两种理论是相辅相成的。